TRIGONOMETRIA ANALITICA E

HIPERNOMETRIA

IDENTIDADES BASICAS (sohcahtoa)

• sen (x) = opuesto/hipotenusa

• cos (x) = Adyacente/Hipotenusa

• tan (x) = Opuesto/Adyacente Hipotenusa

• csc (x) = Hipotenusa/Opuesto Opuesto

• sec (x) = Hipotenusa/Adyacente x• cot (x) = Adyacente/opuesto Adyacente

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

• IDENTIDADES BASICASIDENTIDAD FUNDAMENTAL sen²(x)+cos²(x)=1IDENTIDADES DE COCIENTE

IDENTIDADES RECIPROCAS recíprocamente

recíprocamente

recíprocamente

IDENTIDADES PITAGORICAS

IDENTIDADES PARES – IMPARESparesImpares

IDENTIDADES DE COFUNCION

IDENTIDADES INVERSAS

• Ejemplo 1 Verifica la siguiente identidad:

1seccos

1cos1

cosseccos

sec1

)sen1)(sen1(

2sen1)sen1)(sen1(

2

2

sec1

cos

Ejemplo 2Verifica la siguiente identidad

Solución

Solución

Usando las identidades reciprocas

Identidades trigonométricas

Identidades que relacionan con -

-

(x,y)

(x,-y)

seny)(sen

ysen

cosx)cos(

xcos

tan

cossen

)cos()(sen

)tan(

Identidades trigonométricas

Identidades de ángulos complementarios y suplementarios

90-

90+

(x,y)

xcos

ysen

cos)90(sen

cos)90(sen sen)90cos(

sen)90cos(

(x,y)(-x,y)

(-x,-y)

180-

180+

sen)180(sen

sen)180(sen cos)180cos(

cos)180cos(

(-y, x)

Identidades trigonométricasIdentidades para la suma de ángulos

Identidades para la mitad de un ángulo

sencoscossen)(sen

sensencoscos)cos(

tantan1tantan

)tan(

2cos1

2sen

2cos1

2cos

sencos1

cos1sen

cos1cos1

2tan

• Ejemplo 3 Verifica la siguiente identidad

cossen22sen

)(sen2sen

cossen2

sencoscossen

Ejemplo 4Verifica la siguiente identidad

2sen212cosSolución

)cos(2cos

2

22

22

sen21

sen)sen1(

sencos

sensencoscos

Solución

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

* Las ecuaciones trigonométricas, son identidades que satisfacen ángulos específicos, cuya solución se expresa en medidas de ángulos

* Es pertinente reducirlas en términos de una función, generalmente seno o coseno

*En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas

EJERCICIOS

1.

EJERCICIOS

2.

Factorizando

Proucto Nulo

)cos()cos(

)(1)cos(

)cos(

)(

)cos(

1x

x

xsenx

x

xsen

x

)cos()tan()sec( xxx

)cos()tan()sec( xxx

0)()()(1)(1)(cos)(1 222 xsenxsenxsenxsenxxsen

0]1)()[( xsenxsen

360180,0:)0()0())((0)( 111 ySolucionsenxsenxsensenxsen

)1()1())((1)(0]1)([ 111 senxsenxsensenxsenxsen

EJERCICIOS

3.

ANÁLISIS DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

El soporte del estudio está en los llamados teoremas de seno y coseno, los cuales permiten determinar los lados y ángulos de triángulos no rectángulos.

TEOREMA DEL SENO

Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B,C. respectivamente, se cumple:

c

CSen

b

BSen

a

ASen )()()(

Se utiliza cuando :*Se Conoce un lado y dos ángulos*Se conoce dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos*Se Conoce los tres lados.

EJERCICIOS

1. Para el triángulo que se presenta en la gráfica, hallar todos los lados y ángulos de la misma. A = 400

3

)40(2)(

2

)(

3

)40()()( senBsen

Bsensen

b

Bsen

a

Asen

4284.03

)6427.0(2)( Bsen

TEOREMA DEL COSENO

Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C. respectivamente, se cumple:

Cababc

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

EJERCICIOS

Del triángulo expuesto a continuación, determinar sus lados y ángulos.

4

3

b

a

cos

670,072.24

57.16

)09.3)(4(2

)57,9(43)cos(

2)cos()cos(2

09,3574,9

574,9426,1525`)50cos(24169

`)50cos()4)(3(243

222

222222

2

2

222

bc

cbabccba

cc

c

c

EJERCICIOS

Un Golfista golpea la pelota desplazándola 220 metros en línea recta, la pelota queda a 250 metros del hoyo. El ángulo que se forma en el punto donde quedo la pelota, con la ubicación del Golfista y el hoyo es de 1500 ¿Cuál será la distancia del Golfista al hoyo?

p2 = (220)2 + (250)2 - 2(220)(250) cos(1500 )Desarrollando: p 2 = 48400 + 62500 -110000 (-0,8660) = 110900 + 95260 = 206160p2 = 206.160 ⇒⇒ p = 454,048El golfista esta a 454,048 metros del hoyo.

G = Ubicación del GolfistaH = Ubicación del hoyoP = Ubicación de la pelotap = Distancia del golfista al hoyo

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICASSENO HIPERBÓLICO:COSENO HIPERBÓLICO

TANGENTE HIPERBÓLICA

COTANGENTE HIPERBÓLICA

SECANTE HIPERBÓLICA

COSECANTE HIPERBÓLICA

DOMINIOS Y RANGOSSENO HIPERBÓLICODOMINIO : RealesRANGO : RealesCOSENO HIPERBÓLICODOMINIO : RealesRANGO : ( 1, oo)TANGENTE HIPERBÓLICADOMINIO : RealesRANGO : ( -1, 1)COTANGENTE HIPERBÓLICADOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)RANGO : ( -oo, -1 ) ( 1, oo)SECANTE HIPERBÓLICADOMINIO : RealesRANGO : ( 0, 1)COSECANTE HIPERBÓLICADOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

IDENTIDADESsenh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh ycosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh yLas cuales, haciendo y = x,Senh 2x = 2 senh x cosh xCosh 2x = cosh² x + senh² xLa segunda de estas expresiones permite obtener formulas del “ ángulo medio” sin mas que combinar la identidad1 = cosh² x - senh² x.Sumando resultacosh 2x + 1 = 2 cosh² xmientras que si restamos se tienecosh 2x - 1 = 2 senh² xSustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulasCosh u /2 =* cosh u + 1 / 2Senh u /2 = ± *cosh u -1 /2el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( -) cuando u < 0. Como el cosh u nunca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u.

FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSASUsamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d ( senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es y = senh ^ -1 xPara cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x.La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación esy = cosh ^ xpara cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x.Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación esy = sech ^ -1 x.Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación esy = tan^ -1 x, y = ctgh^ -1 x, y = csch ^ -1 x.