Experimentelle Physik III · Experimentelle Physik III Lösungen der Übungsblätter KIT - Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2011/12 Mitschriebe ausgearbeitet von

Experimentelle Physik IIILösungen der Übungsblätter

KIT - Karlsruher Institut für TechnologieWintersemester 2011/12

Mitschriebe ausgearbeitet vonPhilipp Basler, Nils Braun, Larissa Bauer

13. Februar 2012

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Inhaltsverzeichnis

1. Übung 51. Aufgabe (Wellengleichung im Material) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Aufgabe (Rechnungen mit einer elektromagnetischen Welle) . . . . . . . . . . 83. Aufgabe (Kugelwelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Aufgabe (Fizeau und die Lichtgeschwindigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. Aufgabe (Evakuierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Übung 146. Aufgabe (Gruppen- und Phasengeschwindigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . 177. Aufgabe (Der Taucher) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188. Aufgabe (Brillengläser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189. Aufgabe (Luftmoleküle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910. Aufgabe (Kühlschrank auf - Bier raus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Übung 2111. Aufgabe (Brewster-Winkel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312. Aufgabe (Geschwindigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413. Aufgabe (Entropie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614. Aufgabe (Wir bauen ein Thermometer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Übung 2815. Aufgabe (Doppelbrechung mit Kaliumphosphat) . . . . . . . . . . . . . . . . 3116. Aufgabe (Kalzit-Prismen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117. Aufgabe (Polarisator und Analysator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418. Aufgabe (Eisenring) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419. Aufgabe (Abkühlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3520. Aufgabe (Verschiedenes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Übung 3721. Aufgabe (Spiegelbilder) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3922. Aufgabe (Aufstellen eines Schirms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4023. Aufgabe (Fermatsches Prinzip) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4124. Aufgabe (Heiße Gase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4225. Aufgabe (Wärmeleitungsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2

6. Übung 4326. Aufgabe (Bikonvexlinse in Material) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4627. Aufgabe (Konfokaler Resonator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4628. Aufgabe (Mikroskop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4729. Aufgabe (Kühlschrank zum Zweiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4830. Aufgabe (Sonne als Strahler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7. Übung 4931. Aufgabe (Jones-Matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5232. Aufgabe (Newtonsche Ringe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5333. Aufgabe (Mach-Zehnder-Interferometer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5434. Aufgabe (Feuerzeug) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5435. Aufgabe (Quadratische Wärmemenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8. Übung 5736. Aufgabe (Fabri-Perot-Interferometer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6037. Aufgabe (Brillengläser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6038. Aufgabe (Einzel- und Doppelspalt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6139. Aufgabe (Lügender Maschinenhersteller) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6240. Aufgabe (Carnot-Prozess) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6241. Aufgabe (Kohlekraftwerk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9. Übung 6542. Aufgabe (Fouriertransformation am Beugungsbild) . . . . . . . . . . . . . . 6743. Aufgabe (Optik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6844. Aufgabe (Stirling-Motor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10. Übung 7045. Aufgabe (Astronomisches Fernrohr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7346. Aufgabe (Sonnenlicht in Spalt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7447. Aufgabe (Ericsson-Prozess) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7448. Aufgabe (Entropieänderung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11. Übung 7949. Aufgabe (Mondabbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8250. Aufgabe (Mikroskoplinse und Auflösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3

51. Aufgabe (Vermischung dreier Gase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8352. Aufgabe (Thermodynamische Potentiale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8453. Aufgabe (Chemische Potentiale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

12. Übung 8654. Aufgabe (Spektralanalyse an einem Gitter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8955. Aufgabe (Photoeffekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8956. Aufgabe (Tauchsieder) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9057. Aufgabe (Van-der-Waals-Gleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

13. Übung 9258. Aufgabe (Photonen auf Netzhaut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9559. Aufgabe (Falsche Compton-Strahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9560. Aufgabe (Raumstation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9661. Aufgabe (Kritischer Druck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9662. Aufgabe (Dampfkochtopf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4

1. Übung

5

Physik III (Optik und Thermodynamik) 1. Übungsblatt WS 2011/2012 Ausgabe: 19.10.11, Besprechung 27.10.11 U. Nienhaus / G. Fischer

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Leiten Sie für ein leitfähiges Material mit Ejrr⋅=σ und ρ ≠ 0 die Wellengleichung für das E

r- Feld her.

Aufgabe 2: (2 + 4 = 6 Punkte)

a) Berechnen Sie den zeitlich gemittelten Energiefluss einer Lichtwelle mit )cos(0 trkEE ⋅−⋅= ωrrrr

und )cos(0 trkBB ⋅−⋅= ωrrrr

. Welcher Fehler tritt bei unkorrekter Anwendung der komplexen

Formulierung auf?

b) Geben Sie die Ausbreitungsrichtung und Polarisationstyp (Skizze!) der folgenden Wellen an:

+−

−

=

0

)cos(

)cos(

)( 0 ϕωωkzt

kzt

EtE für i) ϕ = 0, ii) ϕ = π/4, iii) ϕ = π/2 und iv) ϕ = - π.

Aufgabe 3: (1,5 + 1 + 2,5 = 5 Punkte)

Das elektrische Feld ),( trEr

einer elektromagnetischen Kugelwelle im Vakuum hat die Form

),( ) (0z

tkri eer

EtrE

rr⋅= −ω

(Kugelkoordinaten, r = Radius).

a) Zeigen Sie, dass eine solche Kugelwelle die dreidimensionale Wellengleichung löst! Welche

Beziehung muss dazu zwischen k und ω bestehen?

b) Erfüllt die gegebene Wellenform auch die Maxwell-Gleichungen, d.h. kann sie tatsächlich existieren? Begründen Sie Ihre Antwort anschaulich ohne Rechnung!

c) Betrachten Sie jetzt nur noch Punkte auf der x -Achse, die sehr weit vom Zentrum der Kugelwelle

weg sind, sodass sie näherungsweise von ebenen Wellen ausgehen können. Geben Sie ),( txEr

,

),( txBr

sowie ),( txHr

in vektorieller Form an. Berechnen Sie dann den Poynting-Vektor ),( txSr

und dessen zeitlichen Mittelwert Sr

. Drücken Sie dabei die Formeln so aus, dass sie nur noch

das elektrische Feld enthalten!


Beim Originalversuch von Fizeau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit betrug die Strecke vom

Zahnrad bis zum Spiegel 8.633 km. Das Zahnrad hatte 720 Zähne und die erste Verdunkelung trat bei

einer Drehfrequenz von 12,6 Hz ein. Welchen Wert für die Lichtgeschwindigkeit erhielt Fizeau? Nehmen

Sie an, dass beim Zahnrad Lücke und Zahn jeweils gleich groß sind. Wie groß muss die Strecke

mindestens sein, um auf diese Art die Lichtgeschwindigkeit bestimmen zu können? Wovon hängt die

Genauigkeit der Methode ab?


Ein Rezipient mit dem Volumen V0 = 3 dm3 soll mittels einer Kolbenluftpumpe evakuiert werden. Durch

Zurückziehen des Kolbens strömt das Luftvolumen V1 = 2 dm3 in den Kolbenzylinder, welches bei der

darauffolgenden Vorwärtsbewegung über ein Ventil ausgestoßen wird (siehe Skizze). Der Pumpvorgang wird periodisch wiederholt und verläuft so langsam, dass die Temperatur als konstant angesehen werden kann. Vernachlässigen Sie das Volumen der Verbindungsrohre!

a) Berechnen Sie Luftdruck und Luftdichte in dem Rezipienten nach dem vierten Kolbenhub!

b) Wie viele Kolbenhübe müssen ausgeführt werden, damit der Luftdruck im Rezipienten auf 1/10 seines ursprünglichen Wertes sinkt?

V1

Ventil

V0

1. Aufgabe: Wellengleichung im Material

Wieder benutzen wir die Maxwellgleichungen als Ausgangspunkt unserer Rechnung. Wirhaben also

∇× E = −∂B∂t

∇×B = µ0j + µ0ε0∂E

∂t

und diesmal auch zusätzlichj = σE ∇ · E =

ρ

ε0

Dies setzen wir jetzt zusammen

∇×∇× E = −(∇× ∂B

∂t

)= − ∂

∂t(∇×B) = −µ0

∂

∂t

(σ · E + ε0

∂E

∂t

)und mit einer Regel für das doppelte Kreuzprodukt

∇×∇× E = ∇(∇ · E)−∇ · (∇E)

Schlussendlich erhält man also

∆E− µ0σ∂E

∂t− µ0ε0

∂2E

∂t2= ∇ ρ

ε0

2. Aufgabe: Rechnungen mit einer elektromagnetischen Welle

(a) MitE = E0 cos(k · r− ωt) B = B0 cos(k · r− ωt)

erhält man erst einmal für den Poynting-Vektor S

S = E×H =1

µ0

cos2(k · r− ωt)(E0 ×B0)

Für dessen zeitliches Mittel benötigen wir erst einmal folgende Integralformel:∫cos2(a− bt) dt = − 1

2b(a− bt− sin(a− bt) cos(a− bt))

Mit dieser erhält man also

T∫0

S dt =1

2µ0ω(E0 ×B0)[cos(k · r) sin(k · r)︸︷︷︸

konstant

− cos(k · r− ωT ) sin(k · r− ωT )︸︷︷︸begrenzt durch 1

+ωT ]

8

Bildet man jetzt also das zeitliche Mittel von S, so erhält man

〈S〉 = limT→∞

1

T

T∫0

S dt =1

2µ0

(E0 ×B0)

und dessen Betrag ist

〈S〉 =1

2ε0cE

20

Setzt man jetzt fehlerhaft als Welle nur den komplexen Teil (also Real- und Imag-inärteil) an, so erhielte man

1

T

T∫0

exp2(i(k · r− ωt)) dt = − i

2Tω

(e2ik·r − e2i(k·r−ωT )

)Für t→∞ geht dies aber gegen 0!

(b) Die Ausbreitungsrichtung ist die z-Richtung.

3. Aufgabe: Kugelwelle

(a)

~E(r, t) =E0

rei(

~k~r−ωt)~ez

∆ =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)∂ ~E

∂r=

[− 1

r2+ik

r

]E0e

i(kr−ωt)~ez

∆ ~E − 1

c2= −k

2

rE0e

i(kr−ωt)~ez +ω2

c2rE0e

i(kr−ωt)~ez!

= 0

=⇒ ~ω = c~k

(b) Kann nicht existieren, da in die Polarisationsrichtung keine Energie abgegeben werdenkann.

(c)~E(x, t) =

E0

xei(kx−ωt)~ez

9

x

y

0

5

10z

x

y

0

5

10z

x

y

0

5

10z

x

y

0

5

10z

Abbildung 1: Die Skizzen zu den einzelnen Wellen mit φ = 0, π/4, π/2,−π

~B(x, t) =1

ω(~k × ~E) = −kE0

ωxei(kx−ωt)~ey

~H(x, t) = −cε0E0

xei(kx−ωt)~ey

k =ω

c1

c2= ε0µ0

10

~E(x, t) =E0

xcos(kx− ωt)~ez

=1

2

(ei(kx−ωt) + e−i(kx−ωt)

)~H =

−cε0E0

2x

(ei(kx−ωt) + e−i(kx−ωt)

)~ey

~S =cε0E

20

x2

1

2(cos (2(kx− ωt)) + 1)~ex

〈~S〉 =1

2

(cε0E

20

x2

)~ex

4. Aufgabe: Fizeau und die Lichtgeschwindigkeit

Die Zeit zwischen zwei Zähnen des Zahnrades beträgt

∆t′ =1

fz

und die zwischen Zahl und Zahn und Lücke damit

∆t =1

2fz

In dieser Zeit hat das Licht eine Strecke von

∆s = 2 · s

zurückgelegt. Die Lichtgeschwindigkeit ist also

c =∆s

∆t= 4sfz = 313.274.304 km/s

Wir nehmen an, dass die Drehfrequenz und die Anzahl der Zähne auf dem Zahnrad konstantist. Das bedeutet, dass die Lichtgeschwindigkeit nicht mehr messbar ist, wenn die Streckeso klein ist, dass der Lichtstrahl durch das gleiche Zahnrad reflektiert wird, durch das eranfangs gekommen ist.

s =1

2c∆t =

1

4zfc = 8261 m

Die Genauigkeit der Methode hängt ab von

• der Genauigkeit der Verteilung der Lücken und Zähne des Zahnrades

11

• der Messung der Strecke s

• der Messung der Frequenz f

• dem Unterschied von: am Anfang der Lückeöder äm Ende der Lücke"

c0t0 = 2s0

=⇒ s0 =c0D

2vr

5. Aufgabe: Evakuierung

Man betrachtet schrittweise einen Hubvorgang. Vor dem i+ 1-ten Hubvorgang gilt

V = V0 T = T0 N = Ni p = pi

Nun wird der Kolben herausgezogen. Dabei bleiben T und N konstant und V wird zuV0 + V1. Somit gilt für den Druck

pi =NikBT0

V0 + V1

Wird jetzt der Kolben hineingeschoben, bleibt p und T konstant und V wird wieder zuV = V0. Die Teilchenanzahl ist also dann

Ni = Ni −piV1

kBT= Ni

V0

V0 + V1︸︷︷︸α

Ist der Kolben ganz hineingeschoben, dann ist

Ni+1 = Ni = αNi Vi+1 = V0, Ti+1 = T0 pi+1 =Ni+1kBT

Vi+1

= αpi

Man erhält also die Formeln (mit den Anfangswerten)

Vi = V0 Ti = T0 pi = αip0 Ni = αiN0

Man muss den Vorgang also− ln(10)/ ln(α) ≈ 4, 5

12

bzw. 5 Mal wiederholen, um den Druck auf 1/10 zu senken.

13

2. Übung

14


Aufgabe 6: (1,5 + 1 + 1,5 = 4 Punkte)

a) Zeigen Sie, dass zwischen der Phasengeschwindigkeit kvPh /ω= und der

Gruppengeschwindigkeit dkdvg /ω= einer elektromagnetischen Welle folgender

Zusammenhang besteht:

λ

λλλλ

d

dvvv PhPhg

)()()( −=

b) Folgern Sie aus a), ob bei normaler Dispersion die Gruppengeschwindigkeit kleiner oder größer als die Phasengeschwindigkeit ist!

c) Im Röntgenbereich ist die Brechzahl für elektromagnetische Wellen etwas kleiner als 1:

2

2

1ω

an −≈ mit .1

2

2

<<ω

a

Zeigen Sie, dass - obwohl die Phasengeschwindigkeit vph größer als die Lichtgeschwindigkeit c ist - die Gruppengeschwindigkeit vg kleiner als c bleibt!


Ein Taucher, der aus der Tiefe von h =10 m unter der Wasseroberfläche nach oben schaut, sieht über sich einen kreisförmigen Bereich, durch den er nach „außen“ blicken kann. Der Brechungsindex von Wasser ist

33,1=Wn .

a) Unter welchem Winkel ϕS gegen das Lot auf die Wasseroberfläche sieht der Taucher die Sonne, wenn ein Beobachter außerhalb des Wassers sie unter 45° beobachtet (Skizze)?

b) Unter welchem Winkel ϕmax sieht der Taucher die Sonne am Abend unter gehen?

c) Wie groß ist der Radius, r, seines Blickfeldes (des Kreises) nach außen? Was sieht der Taucher außerhalb des Kreises?


Zur Reflexionsverminderung bringt man z.B. auf Brillenglas eine dünne Schicht eines Materials mit geringerem Brechungsindex auf. Die Schichtdicke wird dabei so bemessen, dass die an Vorder- und Rückseite der Vergütungsschicht reflektierten Strahlen destruktiv interferieren –am besten bei gleicher Amplitude. Rechnen Sie für senkrechten Einfall!

a) Welcher Anteil der auftretenden Amplitude (r) bzw. der Intensität des Lichts (R) wird von Glas reflektiert (n1 = 1,6) bzw. transmittiert (t, T)?

b) Welchen Brechungsindex nv muss eine dünne Vergütungsschicht haben, damit die Bedingung gleicher Amplituden erfüllt ist? Vernachlässigen Sie die Schwächung der eindringenden (und austretenden) Welle um den an der Vorderseite reflektierten Anteil sowie Vielstrahlinterferenz.


Bestimmen Sie den Erwartungswert, d.h. den Mittelwert, der Höhe h eines Luftmoleküls der Masse m im

Schwerefeld der Erde. Verwenden Sie hierbei den Boltzmann-Faktor.


Luft von Atmosphärendruck wird in einem Kühlschrank, der hermetisch schließt, von 27°C auf 0°C abgekühlt. Die Tür des Kühlschranks ist 1 m hoch und 0,5 m breit. Der Türgriff befindet sich 5 cm vom Rand entfernt. Mit welcher Kraft muss man ziehen, um die Tür zu öffnen? Hinweis: Nehmen Sie Luft als ideales Gas an.

6. Aufgabe: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit

(a) Wir benötigen die Zusammenhänge

(1) vg =dw

dk(2)vph =

w

k(3)λ =

2π

k

Wir starten mit (1) und nutzen sofort (2):

vg =dw

dk=

dvph · kdk

Nun benutzen wir die Produktregel und die Kettenregel

=dvphdk

k + vph =dvphdλ· dλ

dk· k + vph

Nun noch zweimal die Beziehung (3)

= −dvphdλ

2π

k+ vph = vph −

dvphdλ

λ

(b) Normale Dispersion bedeutet, dass der Brechungsindex mit der Frequenz ansteigt,also:

dn

dλ< 0

vg = −dvphdλ· λ+ vph = −dvph

dn

dn

dλ· λ+ vph

Da vph = cngilt, ist dvph

dn< 0.

Somit ergibt sichvg < vph

(c) Die Phasengeschwindigkeit berechnet sich als

vph =c

n

Für n ≈ 1− a2

ω2 und a2

ω2 << 1 gilt also

vph > c

17

Für die Gruppengeschwindigkeit gilt

c

n+ ω dndω

=c

1− a2

ω2 + 2ω a2

ω2

=c

1 + a2

ω2

=⇒ vgr < c

7. Aufgabe: Der Taucher

(a) Wir benutzen das Snellius-Brechungsgesetz

n1 sin θ1 = n2 sin θ2

mitn1 = 1 n2 = 1, 33 θ1 = 45

und erhaltenθ2 ≈ 32, 11763126

(b) Mit der gleichen Rechnung und θ1 = 90 ergibt sich

θ′2 = 48, 75346662

(c) Die Tangensbeziehung isttan θ′2 =

r

h

also istr ≈ 11, 40420641 m

Außerhalb dieses Kreises sieht der Taucher nur eine Spiegelung.

8. Aufgabe: Brillengläser

(a) Berechnet man die einzelnen Größen, so erhält man

r =nL − nGnG + nL

≈ −0.23 R = r2 ≈ 0.05 t =2nL

nL + nG≈ 0.77 T =

nGnLt2 ≈ 0.940

(b) Damit die Amplituden des an der Vergütungsschicht reflektierten und am Glas reflek-

18

tierten Welle gleich sind, muss gelten

nL − nVnL + nV

=nV − nGnV + nG

nV = ±√nLnG ≈ ±1.264911064

Sinnvoll ist nur die positive Lösung.

9. Aufgabe: Luftmoleküle

Wir benutzen die Barometrische Höhenformel für die Teilchendichte

n = n0 · e−mghkBT

Zuerst berechnen wir den Normierungsfaktor über

∞∫0

n dh = 1 =⇒ mg

kBT= n0

Also muss kBT/mg der Normierungsfaktor sein. Wollen wir jetzt den Erwartungswertberechnen, so müssen wir das Integral

∞∫0

nh dh

lösen. Man erhält durch partielle Integration gerade den Vorfaktor hoch 3, nämlich(kBT

mg

)−1

10. Aufgabe: Kühlschrank auf - Bier raus

Es giltp1

T1

=p2

T2

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Die Werte vom Übungsblatt ergeben

T1 = 273.2 + 27 K

p1 = 1.013 · 105 Pa

T2 = 273.2 + 0 K

Somit ergibt sich für den neuen Druck

p2 = p1T2

T1

= 92189 Pa

Der Druckunterschied beträgt damit

∆p = |p2 − p1| = 9.11 · 103 Pa

D.h. die Saugkraft beträgtF = ∆pA = 4.55 · 103 N

Für die zu öffnende Kraft Fo gilt dann

F0 · (0.5− 0.05) m > F · 1

2· 0.5 m

=⇒ F0 > 2.53 · 103 N

20

3. Übung

21


Aufgabe 11: (1,5 + 2,5 = 4 Punkte)

Bei einem Gaslaser ist eine Küvette mit dem Lasermedium zwischen zwei Spiegeln angeordnet. Die Küvette ist durch zwei Glasfenster begrenzt. Der Laserstrahl wird zwischen den Spiegeln hin- und her reflektiert und durchläuft dabei sehr oft die Küvette und ihre Fenster.

a) Zeigen Sie, dass beim Durchgang durch ein Fenster für die Reflexion an der zweiten (hinteren) Grenzfläche (Fensterglas/Luft) die Brewster-Bedingung automatisch erfüllt ist, wenn sie für die Reflexion an der ersten (vorderen) Grenzfläche (Luft/Fensterglas) erfüllt ist!

b) Wie groß wäre der Reflexionsverlust an den Fenstern bei 100-maliger Reflexion zwischen den Spiegeln bei senkrechtem Einfall des Lichtstrahls? Wozu dienen dann wohl die abgeschrägten „Brewster-Fenster“ in der Küvette mit dem Lasermedium bei einem Gaslaser? Erläutern Sie kurz die Funktionsweise der Brewster-Fenster.


Leiten Sie die in der Vorlesung diskutierten Ausdrücke für die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vW, die

mittlere Geschwindigkeit v und die „root mean square“ Geschwindigkeit vRMS aus der Maxwell-Boltzmann-

Verteilung tatsächlich her:

Berechnen Sie vW für Helium bei Raumtemperatur (300 K) und der Temperatur auf der Sonne (5000 K).

Hinweis: mHe = 4⋅u mit u = 1,66⋅10-27 kg (atomare Masseneinheit).


Jeweils ein Mol dreier unterschiedlicher Gase befindet sich zunächst in drei unterschiedlichen Gefäßen des

gleichen Volumens V. Nun werden die drei Gefäße miteinander verbunden. Wie groß ist der Anstieg der

Entropie? Geben Sie das Ergebnis in J/K und in bit an. Wie ändert sich die Entropie, wenn es sich um drei

gleiche Gase handelt?


In der Vorlesung wurde gezeigt, dass sich der einfache Zusammenhang zwischen Druck p, Volumen V und Temperatur T beim idealen Gas zum Bau eines Gasthermometers ausnutzen lässt. Dazu wird ein als ideal angenommenes Gas (V0 = 100 cm

3) bei T0 = 20°C in ein

Gefäß gefüllt und durch eine Flüssigkeit (Hg) in einem U-förmigen Glasrohr (Innendurchmesser 5 mm) eingeschlossen (siehe Abbildung). Das U-Rohr ist aufgrund der Schlauchverbindung beweglich, der Außendruck sei p0 =

1013 hPa. Die Temperatur ∆T soll entweder durch die Volumenänderung (mittels h0) bei konstantem

Gasdruck p0 oder durch die Druckänderung (mittels ∆h) bei konstantem Volumen V0 gemessen werden.

Wie können diese Fälle für die gezeigte Anordnung jeweils experimentell realisiert werden? Leiten Sie h0

bzw. ∆h als Funktion der Temperatur her und berechnen Sie deren Zahlenwerte für ∆T = 1 K.

Hinweis: die Dichte von Quecksilber ist ρ = 13,55 g/cm3.

dvevTk

mdvvf Tkmv

B

MBB2/2

2/322

)( −⋅

=

π

11. Aufgabe: Brewster-Winkel

(a) Sei nL der Brechungsindex von Luft und nG der Brechungsindex von Glas. Im erstenÜbergang sei der Brewster-Winkel mit θB bezeichnet. Der Einfallswinkel in die rechteWand ist dann

θB,2 = 90 − θB

Annahme: Die Brewster-Bedingung für die erste Wand sei erfüllt.

nGnL

= tan(θB) =sin(θB)

cos(θB)

Durch invertieren ergibt sich

nLnG

=1

tan θB

=cos θBsin θB

=cos(90 − θB,2)

sin(90 − θB,2)

=sin(θB,2)

cos(θB,2)

= tan(θB,2)

Somit ist die Brewster-Bedingung für die zweite Wand erfüllt, wenn die Brewster-Bedingung für die erste Wand erfüllt ist.

(b) Der Reflexionsverlust bei einer Passage Luft-Glas beträgt 4 % der Intensität. Alsokommen bei zwei Passagen nur noch 0.962 = 0, 9216 der Intensität durch. Bei 100 Re-flexionen wäre also der Anteil der Intinsität, der ducrh kommt nur noch 0, 9216100 =

0, 000284608 = 0.02% was so gut wie nichts ist. Die ”Brewster-Fenster” sind genauim Brewsterwinkel angeordnet. An ihnen wird das parallel-polarisierte Licht fast voll-ständig durchgelassen und das senkrecht-polarisierte Licht zu einem großen Teil we-greflektiert. Durch mehrmaliges Anwenden dieser Technik besteht der Laserstrahl amEnde fast nur noch aus Licht einer Mode.

23

12. Aufgabe: Geschwindigkeiten

Für die Verteilung gilt

fMB(v) =

√2

π

(m

kBT

) 32

v2 exp

(− mv2

2kBT

)• Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

Für die Wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw gilt

dfMB(vw)

dv= 0

dfMB(v

dv=√

2

(m

kBT

)3/2

ve−1/2 mv2

kBT(2 kBT −mv2

) 1√πkB−1T−1

Aufgelöst folgt daraus

vW ∈ 0,√

2kBT

m,−√

2kBT

m

Da die negative Lösung sowie 0 keinen Sinn ergeben, folgt daraus

vw =

√2kBT

m

• Mittlere GeschwindigkeitFür die mittlere gilt

v =

∞∫0

vfMBdv

Definiere weiterhin

k1 =

√2

π

(m

kBT

) 32

k2 =m

2kBT

24

v = k1

∞∫0

v3 exp(−k2v2)dv

u=v2,du=2vdv=

k1

2

∞∫0

u exp(−k2u)du

= − k1

2k2

[u exp(−k2u)]∞0 −∞∫

0

exp(−k2u)du

= − k1

2k2

(− 1

k2

)=

k1

2k22

=

√8kBT

πm

=2√πvw

• RMS Geschwindigkeit

vRMS =√v2

Oder laut Gleichverteilungssatz

Ekin =1

2mv2 =

f

2kBT

Wobei f = 3 die Anzahl der Freiheitsgrade gibt. Somit

vRMS =

√3kBT

m

25

Nun soll die wahrscheinlichste Geschwindigkeit auf der Sonne von Helium berechnet werdenmit

TR = 300 K

TS = 5000 K

mHe = 4 · 1.66 · 10−27 kgkB = 1.38 · 10−23 J

K

vw,R =√

2

√kBTRm

= 1116.69m

s

vw,S = 4558.85m

s

13. Aufgabe: Entropie

Für unterschiedliche Gase gilt:Wir betrachten erst einmal ein Gas. Werden die Ventile geöffnet, so verteilt sich das Gasauf drei verschiedene Behälter, hat also einen Informationsverlust von ∆V = kBNA ln(3).Jetzt haben wir das dreimal (für alle drei Gase). Also

∆S = kBNAn ln(V2

V1

)

≈ 27.4J

K

Für die Umrechung in Bit erfolgt

∆SB =NA · nln(2)

ln(V2

V1

)

Hier somit∆B = 2.86 · 1024 bit

Bei gleichen Gasen ist die Entropie ∆S = 0.

14. Aufgabe: Wir bauen ein Thermometer

1. Möglichkeit Wir heben oder senken die Röhre mit Quecksilber so lange, bis die beidenFlüssigkeitssäulen auf gleicher Höhe sind. Damit herrscht für das eingeschlossene Gas

26

genau Außendruck. Für das Volumen des Gases gilt:

V =T

T0

V0 =⇒ ∆V = V − V0 = V0

(T

T0

− 1

)=⇒ ∆h0 = V0

∆TT0− 1

πr2≈ 17, 4 mm

2. Möglichkeit Wir heben oder senken die Röhre so lange, bis sich das Volumen desinneren Gases nicht geändert hat (also h0 so bleibt wie vorher). Dann drückt auf dasGas der zusätzliche Druck

∆p =mg

O= ρg∆h

Da wir das Volumen als konstant annehmen, gilt also jetzt

∆h =p0

T0ρg(∆T ) ≈ 2, 6 mm

27

4. Übung

28



Licht einer Natrium-Dampflampe (λNa = 589 nm) fällt parallel zur 'ar-Achse auf einen doppelbrechenden

Kaliumphosphat-Kristall. Das einfallende Licht ist linear polarisiert, der Winkel zur cr

-Achse des Kristalls

beträgt 45° (siehe Skizze). Der Brechungsindex für aErr|| beträgt n1 = 1,5095, für cE

rr|| ist n3 = 1,4684.

Wie dick muss das Kaliumphosphat-Plättchen sein, damit das austretende Licht zirkular polarisiert ist?

Aufgabe 16: (1 + 2 + 2 = 5 Punkte)

Das skizzierte Prisma ist aus zwei Kalzit-Prismen (Kaltspat-Prismen) zusammengesetzt. Die optischen Achsen der Kalzit-prismen sind wie skizziert senkrecht bzw. parallel zur Papier-ebene angeordnet. Die Brechungsindizes betragen für den ordentlichen Strahl no = 1,6584 und nao = 1,4864 für den außerordentlichen Strahl.

a) Licht, das in der Papierebene polarisiert ist, fällt von

links senkrecht (β = 0°) auf das Prisma. In welchen Richtungen bezüglich der Einfallsrichtung verlässt das Licht das Prisma?

b) In welchen Richtungen verlässt Licht das Prisma, wenn das einfallende Licht senkrecht zur Papierebene polarisiert ist und senkrecht auf das Prisma trifft?

c) Unter welchem Winkel β muss unpolarisiertes Licht mindestens auf die linke Seite des Prismas treffen, damit vollständig polarisiertes Licht die rechte Seite des Prismas verlässt?

Aufgabe 17: (1 + 2 + 2 = 5 Punkte)

Unpolarisiertes Licht fällt auf einen idealen Polarisator P1 und anschließend auf einen idealen Analysator A,

der im Winkel φ gegenüber P1 gedreht ist.

a) Wie groß ist die durchgelassene Intensität ID hinter dem Analysator?

b) Nun stehen P1 und A senkrecht zueinander. Wie groß ist die durchgelassene Intensität Iϕ hinter

dem Analysator, wenn zwischen dem Polarisator P1 und dem Analysator ein weiterer Polarisator P2

gebracht wird, der um den Winkel ϕ gegenüber P1 gedreht ist?

c) Wie kann mit einem λ/4-Plättchen und einem Polarisator unpolarisiertes Licht von zirkular polarisiertem Licht unterschieden werden?

cr||

ar||

cr

ar

'ar

Er

Dicke: d


Ein Eisenring soll über einen zylindrischen Eisenstab passen. Bei 20°C beträgt der Stabdurchmesser 6,445 cm, während der Innendurchmesser des Rings 6,420 cm ist. Um über den Stab gezogen werden zu können, muss der innere Ringdurchmesser um etwa 0.12% größer sein als der Stabdurchmesser. Auf welche Temperatur muss der Ring erwärmt werden, damit er auf den Stab passt? Kann man den Stab auch abkühlen, damit der Ring darauf passt?

Der lineare Ausdehnungskoeffizient von Eisen ist α = 12⋅10-6

1/K


Ein heißer, 1 kg schwerer Eisenklotz der Temperatur TK = 200°C wird in einen Eimer mit Wasser (10 Liter, TW = 300K) gelegt.

a) Suchen Sie sich die in b) benötigten spezifischen Wärmen der Materialien aus der Literatur heraus. (Quelle angeben)

b) Welche absolute Endtemperatur TE stellt sich im System Wasser/Klotz ein? Betrachten Sie die Wärmekapazitäten als temperaturunabhängig und vernachlässigen Sie die Wechselwirkung mit der Umgebung.


a) Geben Sie die Anzahl der Freiheitsgrade für ein Wassermolekül an. Nehmen Sie dabei an, dass die Bindung zwischen Wasserstoff und Sauerstoff starr ist.

b) Sie haben zwei wärmeisolierte Gefäße. In einem befindet sich 1 Mol Argon im anderen 1 Mol Stickstoff. Beiden Gasen wird die gleiche Wärmemenge zugeführt. Welches Gas erwärmt sich stärker? Begründen Sie Ihre Antwort.

15. Aufgabe: Doppelbrechung mit Kaliumphosphat

Für die Zeit in Richtung parallel zur Kristallachse gilt

t|| =d

c||=dn||c

und analog

t⊥ =dn⊥c

Die Zeitdifferenz muss jetzt gerade λ/4c betragen, also

4d(n|| − n⊥) = λ

Eingesetzt liefert dasd ≈ 3, 637 µm

16. Aufgabe: Kalzit-Prismen

(a) In beiden Fällen steht die Polarisation des Lichts senkrecht auf der Kristallachse.Also besitzen die beiden Kristallprismen den gleichen Brechungsindex. Der Strahl gehtsenkrecht durch.

(b) Wir berechnen mit Snellius und dem Winkel θ1 = π/4

sin θ2 =n1

n2

sin θ1

Im ersten Fall gilt n1 = no und n2 = nao, also

θ2 = 52.09

. Also ist der Winkel zum Lot der rechten Außenkante

θ3 = θ2 − 45

Wieder benutzen wir Snellius mit der Außenbrechzahl 1, also

θ4 = 10.6

31

(c) Wir betrachten nur den Lichtstrahlanteil, der senkrecht zur Papierebene polarisiertist. Diesen müssen wir wieder aufteilen in einen Anteil senkrecht zur Kristallachseund orthogonal. Im Extremfall wird ein Anteil (WELCHER???) an der Schnittebenetotalreflektiert mit

sin(α) =naono

=⇒ α = 63.7

Nun muss noch die (eigentlich davorliegende Brechung) an der ersten Brechachse be-trachtet werden. Deshalb muss der Winkel β nach Snellius gerade

β = 32.1

Umgangssprachliche Erklärung: Erst mal was allgemeines. So ein doppelbrechenderKristall hat immer eine optische Achse (oder Kristallachse). Man sagt dann, es gibt zweiunterschiedliche Brechungsindizes n. Einen senkrecht zu dieser Achse und einen parallel.D.h. Licht, dessen elektrisches Feld senkrecht zu dieser Achse steht (also das senkrechtdazu polarisiert ist) wird anders gebrochen (und hat auch eine andere Geschwindigkeit)als Licht, dass parallel steht (also genauer: parallel dazu polarisiert ist).Dabei immer wichtig (wie unser Tutor auch gesagt hat): Man muss zwischen k, E, D und S-Vektor unterschieden. D und S müssen aufgrund der Stetigkeitsbedigungen ihre Richtungnormal beibehalten. Nur E und k ändern ihre Richtung Aber das ist für diese Aufgabeirrelevant.Also los gehts: a) Hier kommt Licht, das in der Papierebene polarisiert ist, auf den Kristall.Also Polarisation von oben nach unten, wenn wir so wie das Bild aussieht draufschauen.1. Grenzfläche Vakuum (oder Luft) und Kristall. Wir haben (für den Kristall gesehen)nur Licht in einer Polarisation: nämlich senkrecht zur optischen Achse. Also nur EINENBrechungsindex. Also wie ein homogenes Medium. Senkrechter Einfall auf homogenes Medi-um? Genau. Passiert gar nix (nach Snellius ist n1 sin alpha1 = n2 sin alpha2. Da aberalpha1 = 0 muss auch alpha2 = 0). 2. Grenzfläche zwischen den beiden Medien: im linkenMedium waren wir mit unserer Polarisation senkrecht zur optischen Achse. Und im zweitenMedium auch! Also ändert sich am Brechungsindex gar nix. Für die Welle gibt es keinenUnterschied zwischen den beiden Medien. Sie geht einfach weiter gerade durch. 3. Gren-zfläche Kristall-Luft: wie in 1. schon. Es passiert gar nix. Zusammenfassung: Die Wellegeht eins zu eins durch.b) Jetzt senkrecht zur Papierebene. 1. Jetzt sind wir wieder senkrecht zur optischen Achse.Wie a)1. passiert nix. 2. Aha! Im ersten Medium sind wir senkrecht zur optischen Achse

32

und im zweiten Medium parallel. Ein Grenzübergang zwischen zwei Medien! Wir könnenden ganzen Quatsch zur Doppelbrechung vergessen und einfach sagen: links ein Mediummit Brechungsindex n1 (nämlich dem Brechungsindex, den eine Welle spürt, die senkrechtzur optischen Achse polarisiert ist, also ordentlich: no) und rechts ein Medium mit n2 (de-mentsprechend außerordentlich nao). Warum können wir das so einfach? Nun, wir habenkeine gemischten Anteile. Entweder alles senkrecht (links -> nur EIN Brechungsindex) oderalles parallel (rechts -> nur EIN Brechungsindex) Und Medien mit nur einem Brechungsin-dex, das können wir (das ist der stink-normale Fall). Also machen wir mit Snellius: im erstenMedium ein Winkel θ1 = π/4 zum Los (die Grenzfläche steht im 45 Grad Winkel). Wirhaben gesagt: n1 = no und n2 = nao. Dann erhalten wir den Winkel θ2 3. Hier wirds wiedereinfach. Wir haben eine Grenzfläche zwischen dem Medium mit Brechungsindex n2 = nao

und der Luft mit n = 1. Können wir den Winkel ausrechnen. Fertig!Wir merken: Solange wir unsere Polarisation entweder NUR senkrecht oder NUR parallelzur optischen Achse haben, sieht das Medium aus, als wäre es ein ganz normales Mediummit homogenem Brechungsindex (ist es dann sozusagen auch!). Wir können mit Snelliusrechnen wir normal.Schwierig wirds, wenn wir Anteile senkrecht und parallel besitzen. Wie in der... c) Jetzthaben wir unpolarisiertes Licht. Das lässt sich natürlich zerlegen in einen Anteil senkrechtund einen Anteil parallel zur Papierebene. Zuerst zum parallelen Anteil: wir haben vorhinschon gesehen, dass dieser Anteil die Grenzfläche zwischen den beiden Kristallen "nichtsieht". Also kann er vor allem da auch keine Totalreflektion machen. Langweilig! Alsolieber zum senkrecht zur Papierebene polarisierten Teil. Der kommt jetzt im Winkel betarein und wird an der ersten Grenzfläche laut Snellius gebrochen. Warum hier Snellius? Wirhaben wieder NUR senkrecht zur optischen Achse. Deshalb haben wir zerlegt! Also außenn = 1. Innen n = n1 = no. Außen Winkel β. Innen dann irgendein Winkel θ1 (könnenwir noch nicht berechnen). Mit dem Winkel θ1 gehts jetzt weiter und auf die Grenzflächezwischen den beiden Kristallen. Wie oben gesehen: Hier passiert was! Wir haben sozusagenzwei unterschiedliche Medien mit Brechungsindex no links und nao rechts. Wir könnenausrechnen, wann es da gerade Totalreflektion gibt: Bei sinα = nao/no, also α = 63Grad.Damit jetzt der Strahl hier α = 63Grad hat, müssen wir θ1 = α− π/4 haben (weil θ1 zumanderen Lot gemessen wurde) Jetzt können wir auf beta zurückrechnen (siehe oben) underhalten β = 32Grad.Also wird unpolarisiertes Licht, was unter den Winkel beta rein kommt, folgendermaßenbehandelt: Der Polarisationsteil parallel zur Papierebene wird stinkt normal an der ersten

33

Grenzfläche gebrochen, geht ganz durch den Kristall durch (er sieht keine weitere Gren-zfläche) und wird hinten wieder gebrochen. Insgesamt geht er aber durch! Der andere Teilsenkrecht zur Ebene wird an der ersten Grenzfläche stink normal gebrochen. In der Mittewird er totalreflektiert und kommt nicht durch! Also haben wir hinten schon polarisiertesLicht parallel zur Papierebene!

17. Aufgabe: Polarisator und Analysator

(a)ID = I0 cos2 φ

(b)Iφ = I0 cos2 φ sin2 φ

(c) Bei zirkular-polarisiertem Licht: Durch λ/4-Plättchen wird das Licht linear polarisiert.Also existiert eine Stellung des Polarisators, bei der nichts mehr ankommt. Bei unpo-larisiertem Licht kommt immer gleich viel an.

18. Aufgabe: Eisenring

Für die Temperaturänderung gilt:

TC =∆L

Lα=dRing, neu − dRing, alt

dRing, altα=dStab · 1.0012− dRing, alt

dRing, altα= 425 K

Man müssten den Stab also auf 445C erhitzen.

Will man jetzt den Stab abkühlen, statt den Ring zu erhitzen, geht man ähnlich vor:

TC =∆L

Lα=

dRing1.0012

− dStab, alt

dStab, altα= −423 K

Der Stab kann also nicht abgekühlt werden, weil die errechnete Temperatur kleiner als 0 K

wäre und somit den Temperaturnullpunkt unterschreiten würde.

34

19. Aufgabe: Abkühlung

(a) Quelle: Wolfram Alpha

cW = 4187J

kgK

cE = 449J

kgK

(b) Die Wärmemenge teilt sich zwischen den Körpern auf, bleibt aber insgesamt konstant:

Qges = QW +QE

= cWmWTW + cEmETE

= (cWmW + cEmE) · Tend

Tend =cWmWTW + cEmETE

cWmW + cEmE

= 301.8 K

20. Aufgabe: Verschiedenes

(a) Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Gases setzen sich aus folgenden Freiheitsgradenzusammen

f = ftrans + frot + fvib

Die Anzahl der Translationsfreiheitsgrade beträgt 3. Die Anzahl der Rotationsfreiheits-grade beträgt 3, da ein Wassermolekül nicht linear ist und somit 3 Hauptachsen derRotation besitzt. Die Anzahl der Schwingungsfreiheitsgrade ist 0, da die Bindungenstarr sind. Also

f = 3 + 3 + 0 = 6

(b) Es gilt für die Wärmezufuhr mit der spezifischen Molwärme Cm

∆Q = Cm ·∆T

Also∆T =

∆Q

Cm

Quelle: Wolfram Alpha

35

Die spezifischen Molwärmen sind

Cm,Argon = 12.48J

mol ·K

Cm,Stickstoff = 20.82J

mol ·KFolglich erhöht sich das Argon stärker, da es die kleinere spezifische Molwärme hat.

Alternativ :fN2 = 6, fArgon = 3

MitU =

1

2fNkBT =⇒ T ∝ 1

f

36

5. Übung

37


Aufgabe 21: (3 + 1,5 = 4,5 Punkte)

Ein Gegenstand befindet sich vor einem sphärischen Spiegel. Konstruieren Sie graphisch das Spiegelbild,

a) Wenn es sich um eine Konkavspiegel (Hohlspiegel) handelt und sich der Gegenstand innerhalb bzw. außerhalb der Brennweite befindet.

b) Wenn ein Konvexspiegel (Wölbspiegel) vorliegt.

Diskutieren Sie anhand Ihrer Skizzen in a) und b) jeweils, ob das Spiegelbild reell oder virtuell, vergrößert oder verkleinert bzw. aufrecht oder auf dem Kopf stehend ist.

Aufgabe 22: (2 + 1,5 + 1 = 4,5 Punkte)

Ein Gegenstand befindet sich im Abstand d von einem Schirm. Mittels Konvex-Linse (Brennweite f) zwischen den beiden soll der Gegenstand auf dem Schirm abgebildet werden.

a) Berechnen Sie die Position(en) der Linse, bei denen dies möglich ist. Welcher Abbildungsmaßstab ergibt sich jeweils, und ist er größer oder kleiner als 1?

b) Wie groß darf die Brennweite der Linse maximal sein, damit noch ein reelles Bild auf dem Schirm entsteht? Wo befindet sich dann die Linse, und wie ist der Abbildungsmaßstab?

c) Wie muss f gewählt werden, damit für beliebige Positionen der Bikonvex-Linse 0 < x < d stets ein virtuelles Bild auftritt? Wo befindet sich dann das virtuelle Bild qualitativ?


a) Erläutern Sie mit Hilfe des Fermatschen Prinzips, dass alle achsenparallelen Strahlen, die auf einen Parabolspiegel treffen, im Brennpunkt vereinigt werden.

b) Berechnen Sie mit Hilfe der Überlegungen aus a) den Brennpunkt eines Parabolspiegels (y = x2). Gehen Sie von parallelen Lichtstrahlen aus, die auf den Spiegel treffen.


Je 10 g He, N2 und CH4 sind in 3 Kammern eines Gefäßes getrennt. Die Temperaturen der Gases sind im Anfangszustand 300 K (He), 400 K (N2) und 500 K (CH4). Das Gefäß ist gegen die Umgebung völlig isoliert. Dann werden die Ventile zwischen den Kammern geöffnet. Wie groß ist die Endtemperatur? Nehmen Sie die Gase als ideal an und beachten Sie, dass die Schwingungsfreiheitsgrade der Moleküle nicht zur spezifischen Wärme beitragen.

Aufgabe 25: (1 + 3 + 1 = 5 Punkte)

Zwei Eisenblöcke (jeweils 1 kg schwer) sind verbunden durch einen Eisenstab. Anfänglich haben die beiden Eisenblöcke unterschiedliche Temperaturen. Durch Wärmeleitung findet ein Temperaturausgleich statt. Wärmestrahlung soll vernachlässigt werden. Nehmen Sie an, dass Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit temperaturunabhängig sind und die Wärmekapazität des verbindenden Stabs vernachlässigt werden kann.

a) Welche Endtemperatur stellt sich ein und warum?

b) Berechnen Sie den zeitlichen Temperaturverlauf.

c) Wie lange dauert es, bis die Temperaturdifferenz auf 1% des ursprünglichen Wertes abgesunken ist?

Der Eisenstab hat eine Länge von 10 cm und einen Querschnitt von 1 cm2. Die spezifische Wärmekapazität von Eisen ist c = 0,45 J/(g⋅K), seine Wärmeleitfähigkeit: λ = 79 J/(K⋅s⋅m)

21. Aufgabe: Spiegelbilder

GS

B

G′

B′M

Abbildung 2: Konkaver Spiegel mit Gegenstand außerhalb der Brennweite

(a) Aus der Skizze ist ersichtlich, dass bei einem konkaven Spiegel mit einem Gegen-stand außerhalb der Brennweite ein reelles Bild entsteht. Dies ist an den reflektiertenStrahlen zu erkennen, die sich in einem Punkt vor dem Spiegel schneiden. Das Bilddes Gegenstands wird verkleinert und steht auf dem Kopf.

MG′

G B

B′

Abbildung 3: Konkaver Spiegel mit Gegenstand innerhalb der Brennweite

Anhand dieser Skizze ist erkennbar, dass bei einem konkaven Spiegel mit einem Gegen-stand innerhalb der Brennweite ein virtuelles Bild entsteht. Dies kann man an denreflektierten Strahlen erkennen, die sich vor dem Spiegel auffächern. Die Verlängerun-

39

gen dieser aufgefächerten Strahlen schneiden sich hinter dem Spiegel. Das Bild desGegenstandes ist vergrößert und aufrecht.

(b) Aus der Skizze ist ersichtlich, dass bei einem konvexen Spiegel ein virtuelles Bildentsteht. Das Bild des Gegenstandes ist verkleinert und aufrecht.

G

G′

B

B′

M

Abbildung 4: Konvexer Spiegel

22. Aufgabe: Aufstellen eines Schirms

(a) Es giltd = g + b

Mit1

g+

1

b=

1

f

folgt

d =b2

b− fSomit ergibt sich für die Bildweite

b1 =d

2+

1

2

√d2 − 4fd b2 =

d

2− 1

2

√d2 − 4fd

Für die Gegenstandsweite ergibt sich

g1 = d− b1 = b2 g2 = d− b2 = b1

40

Für den Vergrößerungsfaktor gilt

β1 = − b1

g1

= −b1

b2

= −d+√d2 − 4fd

d−√d2 − 4fd

< −1

Somit folgt

β2 =1

β1

> −1

(b) Die Maximale Brennweite unterliegt der Bedingung

d2 − 4fd ≥ 0 =⇒ f ≤ d

4

Der Grenzwert ist also f = d/4. Die Linse steht dann genau in der Mitte und derVergrößerungsfaktor beträgt gerade 1 (also keine Vergrößerung).

(c) Für f > d tritt selbst ganz weit von dem Gegenstand entfernt ein virtuelles Bild auf.Das virtuelle Bild ”steht” außerhalb der Schirmgrenzen.

23. Aufgabe: Fermatsches Prinzip

(a) Definiere eine Leitgerade, die Parabel sind dann alle Punkte, bei denen der Abstandvom Brennpunkt und zur Leitgeraden gleich groß ist. Die Leitgerade hat den selbenAbstand zum Scheitel wie der Brennpunkt. Mit der Bedingung dass alle im selbenPunkt mit der gleichen Phase ankommen müssen, ergibt sich eine Parabel als Formfür den kürzesten Weg.

(b) y = x2 P (0, c) aus Symmetriegründen. Wähle beliebigen Punkt auf der Parabel mitQ(x, x2). Für den Abstand ergibt sich

d(P,Q) =√x2 + (x2 − c)2

Die Leitgerade hat zum Punkt Q den Abstand

d(Q, g) = x2 + c

Da beide gleich sein müssen ergibt sich

x2 + c =√x2 + (x2 − c)2

41

Es ergibt sich

c =1

4

24. Aufgabe: Heiße Gase

fHe = 3, fN2 = 5, fCH4 = 6

Molare Massen in gmol

: MHe = 4,MN2 = 28,MCH4 = 16

Es giltQstart =

∑Qi

Qi = Cimi

Mi

Ti

Ci =1

2fiR

QEnd = TEnd∑i

Cimi

Mi

SomitTEnd = 371 K

25. Aufgabe: Wärmeleitungsgleichung

(a)

TEnd =T1 + T2

2

(b) dQdt

= −λAdTdx

= −λA∆TL

und cmdTdt

= dQdt

Das ergibt zusammengesetzt

cmdT1

dt=λA

L∆T cm

dT2

dt=λA

L∆T

und mit T2 − T1 = ∆T erhält man

d∆T

dt= −2

λA

Lc∆T

Der Rest ergibt sich.

42

6. Übung

43



Eine Bikonvexlinse mit zwei identischen Krümmungsradien, r, besteht aus einem Material mit dem Brechungsindex n = 1,5. Ein Gegenstand in 20 cm Entfernung vor der Linse wird 10 cm hinter der Linse scharf abgebildet. Nun wird der Raum hinter der Linse mit einer Flüssigkeit gefüllt, die den gleichen Brechungsindex wie das Linsenmaterial hat. In welchem Abstand hinter der Linse findet man nun das (reelle) Bild?


Die Skizze zeigt einen sogenannten konfokalen Resonator wie er oft in Lasersystemen eingesetzt wird. Er besteht aus zwei identischen, konkaven, sphärischen Spiegeln, zwischen denen das Licht hin und her reflektiert wird. Der Abstand, d, der Spiegel ist identisch mit dem Krümmungsradius beider Spiegel, R. Zeigen Sie mit Hilfe der Matrix-Methode aus der Vorlesung, dass ein Lichtstrahl, der unter einem beliebigen Winkel vom linken Spiegel aus nach rechts läuft, nach vier Reflexionen wieder seinen Ausgangszustand einnimmt, so dass der gleiche Weg erneut durchlaufen wird und das Licht den Resonator nicht verlässt.

Hinweis: Abbildungsmatrix eines sphärischen Konkavspiegels mit Krümmungsradius R:

−

10

/21 R


Sie möchten Zellen mikroskopieren, die aufgrund ihrer Luftempfindlichkeit in einem Glasgefäß unter Schutzgas aufbewahrt werden. Als Objektiv dient Ihnen eine Kombi-nation aus zwei Linsen mit gleicher Brennweite, f, deren Abstand, d, Sie variieren können. Bestimmen Sie die Brennweite, f(d), des Gesamtsystems inklusive des Glas-deckels in Abhängigkeit des Abstands, d, der beiden Lin-sen zueinander. Der Glasdeckel hat die Dicke b (x4 – x3).

Hinweis zur Vorgehensweise: Verwenden Sie die Matrix-Methode. Beginnen Sie mit dem Durchgang durch die erste Linse (x1 = 0) und einem einfallenden Lichtstrahl

=ϕh

k

r( h = Abstand zur optischen Achse, ϕ = Winkel

zur optischen Achse, hier ϕ = 0). Der Brennpunkt soll dann auf der optischen Achse liegen (h = 0).

h

d

f(d)

X1 X2 X3 X4 Xf

k

bX

M1, R1 = R M2, R2 = R

d = R


Das Kühlaggregat eines Kühlschranks mit 150 Liter Inhalt nimmt eine elektrische Leistung von 150 W auf. Der Kühlschrank wird zur Hälfte seines Volumens mit Lebensmitteln von 25°C gefüllt, die im Wesentlichen aus Wasser bestehen. Der Kühlschrank ist auf 5°C eingestellt. Welche Wärmemenge muss den Lebensmitteln entzogen werden, damit die Solltemperatur erreicht wird? Wie lange würde eine Heizung von 150 W brauchen, um die Lebensmittel von 5°C auf 25°C zu erwärmen?


Obwohl die Sonne als kugelförmig anzunehmen ist (Radius RS), erscheint sie uns bei Betrachtung als eine Scheibe mit homogener Helligkeit. Argumentieren Sie wie demzufolge die Winkelabhängigkeit der Abstrahlung eines Oberflächenelements auf der Sonnenkugel in einen Raumwinkel aussehen muss. Welche Formel ergibt sich daraus für die totale Leistung, die die Erde trifft?

Nehmen Sie die Entfernung Sonne–Erde als groß an.

26. Aufgabe: Bikonvexlinse in Material

Wir betrachten zuerst den Fall ohne Material. Dann wird ein Gegenstand im Abstandg = 20 cm vor der Linse auf b = 10 cm scharf abgebildet. Da die beiden Krümmungsradiengleich sind, sind auch die Brennweiten gleich und für sie gilt

1

g+

1

b=

1

f=⇒ f = −f1 = f2 =

20

3cm

Betrachten wir jetzt den Fall mit dem eingefüllten Medium, so gibt es an der hinterenKante der Linse keine Grenzfläche zwischen zwei Brechungsindizes mehr und damit auchkeine Ablenkung des Strahls. Stattdessen wird er nur an der ersten Grenzfläche gebrochen.Für sie ist die Brennweite f1 immer noch gleichgeblieben und deshalb gilt:

1

g+n

b= − n

f1

=1

20 cm+

3

2b=

3

20 cm

Also ein b von 15 cm.

27. Aufgabe: Konfokaler Resonator

Wir benutzen die folgenden Matrizen:

Translation um d: T =

(1 d

0 1

)Spiegelung sphärisch: S =

(1 0

−2d

1

)

wobei wir schon benutzt haben, dass n = 1 in der Luft und der Radius R = d ist. EinLichtstrahl wird jetzt immer mit T transliert und mit S gespiegelt. Betrachten wir also

S · T =

(1 0

−2d

1

)·

(1 d

0 1

)=

(1 d

−2d−1

)

Dies entspricht einer Spiegelung. Damit wir vier Spiegelungen ausführen, berechnen wireinfach (S · T )4, also

(S·T )2 =

(1 d

−2d−1

)·

(1 d

−2d−1

)=

(−1 0

0 −1

)(S·T )4 =

((S · T )2

)2=

(1 0

0 1

)= E4

Zu erkennen ist also, dass ein Strahl egal welcher Richtung wieder auf sich selbst abgebildetwird.

46

28. Aufgabe: Mikroskop

Diesmal verwenden wir die folgenden Matrizen:

Translation um d: T (d) =

(1 d

0 1

)Linsendurchgang bei dünnen Linsen: M =

(1 0

− 1f

1

)

Außerdem noch zwei Hilfsmatrizen:

ins Glas hinein: iG =

(1 0

0 n

)aus dem Glas heraus: aG =

(1 0

0 1n

)

Den ganzen Effekt des Linsensystems kann man in Teilschritte zerlegen. A soll immer diegesamte Abbildungsmatrix beschreiben.

(a) Durchgang durch Linse 1: A = M

(b) Wegstrecke d zwischen den Linsen A = T (d) ·M

(c) Durchgang durch Linse 2: A = M · T (d) ·M

(d) Wegstrecke x2 − x3 (nennen wir es x): A = T (x) ·M · T (d) ·M

(e) Ins Glas, dann Wegstrecke im Glas (b) und wieder heraus: A = aG · T (b) · iG · T (x) ·M · T (d) ·M

(f) und schließlich noch bis zum Objekt (Strecke nennen wir mal s):

A = T (s) · aG · T (b) · iG · T (x) ·M · T (d) ·M

Nach längerer Rechnung erhält man für A:

A =

1− n(b+ sn)+x

f−

n(b+ sn)+x+d

(1−n(b+ s

n )+xf

)f

n(b+ s

n

)+ x+ d

(1− n(b+ s

n)+x

f

)− 1f− 1− d

f

f1− d

f

Startet man jetzt in der Höhe h und ohne Winkel, so endet man also in

A ·

(h

0

)=

hf2

(d(bn+ s+ x− f) + f(f − 2(bn+ s+ x)))(− 1f− 1− d

f

f

)h

47

Damit wir den Brennpunkt berechnen können, betrachten wir jetzt die Stelle s, bei der derStrahl auf die optische Achse trifft, also

d(bn+ s+ x− f) + f(f − 2(bn+ s+ x)) = 0

Dies wird gelöst durch

s =d(f − bn− x) + f(2(bn+ x)− f)

d− 2f

Die Gesamtbrennweite ist dann also

fg(d) = d+ x+ b+ s =df + f 2 − d2 + b(d− 2f)(n− 1)

2f − d

29. Aufgabe: Kühlschrank zum Zweiten

Die Wärmemenge ergibt sich als

∆Q = cm∆T = 6.27 · 106 J

Daraus kann mit der Leistung P = Qtdie Zeit berechnet werden

t =Q

P= 41870 s

30. Aufgabe: Sonne als Strahler

dAs = dA · cos θ

As ist die sichtbare Fläche.Bei einer Ringfläche ergibt sich

dA = 2πrRsdθ = 2πR2s sin θdθ

dW

dt= S∗

∫ π2

0

2πR2s sin θ cos θdθdΩE = S∗dΩEπR

2s = S∗dΩEπR

2s

48

7. Übung

49


Aufgabe 31: (2 + 1,5 + 1,5 = 5 Punkte)

Mit einem Polarisator und einem λ/4-Plättchen wird aus unpolarisiertem Licht rechts-zirkular polarisiertes

Licht (d.h. σ−) hergestellt, das dann an einem Spiegel senkrecht in sich selbst zurück reflektiert wird. Das

reflektierte Licht trifft im Anschluss wieder auf das λ/4-Plättchen und den Polarisator.

a) Welche Polarisation weist das Licht nach der Reflexion am Spiegel auf (anschauliche Begründung ohne Rechnung)? Durch welche Jones-Matrix lässt sich die Reflexion am Spiegel demnach beschreiben? Zeigen Sie, dass Ihre Matrix tatsächlich zur richtigen Polarisation führt.

b) Welche Stellung muss der Polarisator gegenüber dem λ/4-Plättchen haben, damit nach dem λ/4-

Plättchen das Licht wirklich rechts-zirkular polarisiert (σ−) ist. Geben Sie den Jones-Vektor des

Lichts vor dem λ/4-Plättchen an und zeigen Sie durch Anwendung der entsprechenden Jones-

Matrix, dass nach dem λ/4-Plättchen σ−−Licht entsteht.

c) Berechnen Sie die Polarisation des Lichts, nachdem es vom Spiegel reflektiert und erneut durch

das λ/4-Plättchen getreten ist. Was folgt daraus für die Intensität des ausfallenden Lichts hinter dem Polarisator (Rechnung nicht erforderlich)?

Aufgabe 32: (2 + 1,5 + 1,5 = 5 Punkte)

Eine Anordnung zum Ausmessen von Newtonschen Ringen besteht aus einer Glaslinse (Krümmungsradius R = 10 m, Durch-messer D = 4 cm, n = 1,5), die auf einer ebenen Glasplatte liegt. Es entsteht eine dünne Luftschicht, deren Dicke t (t << R) sich mit dem Radius r ändert. Das Interferenzmuster wird im reflektierten Licht beobachtet.

a) Wie viele helle Ringe würde man bei Beleuchtung der

Anordnung mit gelben Licht (λ = 590 nm) sehen?

b) Wie groß ist der Durchmesser des 6. hellen Rings? Was ändert sich, wenn man den Luftspalt mit Wasser (nw < n) füllt? Wie groß ist dann der Durchmesser des 6. hellen Rings?

c) Beobachtet man in der Mitte (am Auflagepunkt der Linse) ein Intensitätsmaximum oder ein Intensitätsminimum? Wie unterscheiden sich das transmittierte und das reflektierte Muster?


Mit einem Mach-Zehnder-Interferometer kann die Brechzahl von Gasen sehr genau bestimmt werden.

a) Die Kammern der Länge l = 23 cm sind mit Luft gefüllt. Die Brechzahl von Luft hängt vom Druck ab, und zwar ist dn/dp =

2,8⋅10-4 bar

-1. Wie groß ist die Druck-

differenz zwischen den beiden Kammern, wenn sich das Interferenzbild, das man zu Beginn des Versuchs sieht, zum ersten Mal wiederholt? Wie viele Hell-Dunkel-Durchgänge werden insgesamt beobachtet, wenn eine der beiden Kammern komplett evakuiert wird? Das verwendete

Cd-Licht hat die Vakuumwellenlänge von λ0 = 644nm. Der Luftdruck in den beiden Kammern

beträgt zu Beginn des Versuchs p0 = 1 bar.

b) Wie viele Hell-Dunkel-Durchgänge können tatsächlich beobachtet werden, wenn die spektrale

Breite der Cd-Lampe ∆ν/ν = 2⋅10-2 beträgt? Nehmen Sie an, dass zu Beginn des Experiments der

Gangunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen Null ist.

R

n

n

rt

D

p

C D p2

I

p1 II

B A

V1 V2 V


In einem pneumatischen Feuerzeug wird ein Gasvolumen (T1 = 20°C) adiabatisch auf 1/10 seines seiner ursprünglichen Größe komprimiert, so dass der Flammpunkt des Feuerzeug-Benzins überschritten wird. Berechnen Sie die Temperatur T2 nach der Kompression. Nehmen Sie dazu an, dass das Feuerzeug-Benzin 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgrade hat.

Aufgabe 35: (2,5 + 1,5 = 4 Punkte)

In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass dU = δQ – p dV kein totales Differential ist, weil die Wärme-menge Q keine geeignete Zustandsgröße ist. Vielmehr hängt die aufgenommene oder abgegebene Wärmemenge bei einer Zustandsänderung vom Weg im Zustandsdiagramm ab. Verifizieren Sie diesen Aspekt anhand des hier gezeigten Beispiels:

Zustandsänderung eines idealen Gases von A nach C auf dem Weg I oder II

a) Berechnen Sie unter Verwendung der Wärmekapazität die Wärmemenge ∆QI bzw. ∆QII, die 1 mol

eines idealen Gases aufnimmt, wenn sein Zustand auf dem Weg A-D-C (I) bzw. A-B-C (II) von A nach C verändert wird. Betrachten Sie dazu zunächst die einzelnen isochoren bzw. isobaren Prozesse und bilden anschließend die Summe der beiden beteiligten Beiträge für den betrachteten Weg. Zeigen Sie dann, dass die Differenz der aufgenommenen Wärmemengen zwischen beiden

Wegen ∆QI−II = ∆QI – ∆QII für p2 > p1 und V2 > V1 stets größer als null ist. (Wäre Q eine Zustandsgröße, müsste die Differenz null sein!)

b) In a) haben Sie gezeigt, dass je nach Weg dem Gas eine unterschiedliche Wärmemenge zugeführt werden muss, um es vom Zustand A nach C zu überführen. Die Differenz der inneren Energie U zwischen A und B ist aber wegunabhängig, weil U eine Zustandsgröße ist. Demnach

muss die Wärmeenergie ∆QI−II, die auf dem Weg I mehr benötigt wird als auf dem Weg II, bei der Zustandsänderung als zusätzliche mechanische Arbeit wieder abgegeben worden sein. Berechnen

Sie nun ∆QI−II, indem Sie die Differenz der vom Gas geleisteten mechanischen Arbeit auf den

Wegen I und II betrachten. Zeigen Sie, dass sich tatsächlich das gleiche Ergebnis wie in a) ergibt.

31. Aufgabe: Jones-Matrix

(a) Anschaulich sieht man, dass rechtszirkuläres Licht σ− durch den Spiegel in links-zirkuläres Licht überführt wird σ+ (oder???). Also aus

Jσ− =1√2

(1

−i

)

wird

Jσ+ =1√2

(1

i

)Die Matrix des Spiegels lautet also

MS =

(1 0

0 −1

)

(b) Nach der Polarisation ist das Licht linear polarisiert. OBdA können wir also schreiben

J =

(cosφ

sinφ

)

und dann das λ/4-Plättchen in x-Richtung ansetzen. Also ist der resultierende Jones-Vektor:

Jr = e−iπ/4

(1 0

0 i

)·

(cos θ

sin θ

)Dies muss jetzt gerade Jσ− entsprechen, also

θ = −π/4

Es muss also um 45 verdreht werden (im Urzeigersinn).

(c) Nach dem Spiegeln ist aus Jσ− ein linkszirkuläres Jσ+ geworden und der Jones-Vektornach dem λ/4-Plättchen lautet dann

1√2

(1

−1

)

Die Intensität ist also 0 hinter dem Polarisator (da er gerade senkrecht steht!)

52

32. Aufgabe: Newtonsche Ringe

(a) Da der Krümmungsradius so groß ist, betrachten wir den reflektierten Strahl als nahezusenkrecht auf die Platte. Er habe die Länge ∆d. Mit dem Phasensprung am Spiegelist also die optische Weglänge

∆s = 2∆d+λ

2

Der Satz des Pythagoras liefert den Radius r, bei dem ∆d auftritt:

r2 = 2R∆d

da ∆d2 genügend klein ist. Um jetzt Maxima zu erreichen, muss gelten

∆shell = kλ =⇒ ∆dhell =λ

2

(k − 1

2

)k = 0, 1, . . .

Also sind die Radien für Maxima gegeben durch

r2hell = Rλ

(k − 1

2

)Damit der Ring noch sichtbar ist, muss dieser Radius kleiner gleich dem halbenGesamtdurchmesser sein, also

r2hell ≤

D2

4

und somitk ≤ D2

4Rλ+

1

2≈ 68.2

Somit sind also 68 Ringe zu sehen.

(b) Mit Luft ist der Durchmesser des 6. Rings

d6 = 2r =√

4Rλ(k − 1/2) ≈ 1.13 cm

Im Wasser wäre der Durchmesser um den Quotienten√nW kleiner.

(c) In der Mitte befindet sich ein Minimum der Intensität. Im transmittiertem Bild ist dieMaximum-Minimum-Verteilung gerade umgedreht!

53

33. Aufgabe: Mach-Zehnder-Interferometer

(a) Der optische Wegunterschied zwischen den beiden Strahlen ist gerade

∆s = l∆n

Damit sich das Muster gerade einmal wiederholt, muss

∆s = λ

gelten, also

∆n =λ

l=⇒ ∆p = 0.01 bar

Ein Wechsel zwischen dunkel un hell ist gerade bei λ2zu sehen, also

k =2l∆pα

λ

wen α der Umrechnungsfaktor ist. Man erhält k = 200.

(b) Das Licht hat eine begrenzte Koheränzlänge. Man kann sich also das Licht als einzelnePhasenzüge mit jeweils konstanter Phase vorstellen. Ein Stückchen hat gerade dieLänge einer Koheränzlänge. Mit der spektralen Breite und der Koheränzzeit ∆tc ergibtsich

lc = c∆tc =c

∆ν= 50λ

Schiebt man jetzt die zwei Wellen zu weit auseinander (über die Koheränzlänge), sokann ein Phasenzug nicht mehr mit sich selbst interferieren. Schlecht! Also geht ab 50nix mehr.

34. Aufgabe: Feuerzeug

Wir benutzen einfachT · V κ−1 = const.

Also mit T1 = 20 = 273.3 K

T2 = T110κ−1 ≈ 736.736 K

54

35. Aufgabe: Quadratische Wärmemenge

In der Vorlesung wurden für beide Prozesse schon die Wärmemengendifferenzen berechnet.Für einen isobaren Prozess ergibt sich

dQ = CpdT

und für einen isochoren ProzessdQ = CV dT

Außerdem haben wir natürlich moch die Beziehungen

Cp = CV +R pV = RT

Wir bezeichnen die einzelnen Eckpunkt gegen den Urzeigersinn unten links startend. Danngilt für die Temperaturen

Ta =p1V1

RTb =

p2V1

RTc =

p1V2

RTd =

p2V2

R

Auf dem ersten Weg ergibt sich also eine Wärmemengendifferenz von

∆QI = ∆Qp=const+∆QV=const = (CV +R)(Tc−Ta)+CV (Td−Tc) =CvR

(p2V2−p1V1)+p1(V2−V1)

Auf dem zweiten Weg analog (aber vertauscht!)

∆QII = ∆QV=const+∆Qp=const = CV (Tb−Ta)+(CV +R)(Td−Tb) =CvR

(p2V2−p1V1)+p2(V2−V1)

Die Differenz zwischen den beiden Wärmemengendifferenzen ist also

∆∆Q = QI −∆QII = p1∆V − P2∆V = ∆p∆V > 0

Betrachten wir jetzt die mechanischen Energiebeiträge, so wird nur bei den isobarenProzessen überhaupt Energie geleistet. Diese beträgt

W = −∫p dV

55

Für den unteren Weg ist sie also gegeben durch

WII = −p1∆V

und auf dem oberen analogWI = −p2∆V

Die Differenz ist also

∆W = WI −WII = −(p2 − p1)∆V = ∆p∆V = ∆∆Q

56

8. Übung

57


Aufgabe 36: (3,5 Punkte)

Entwerfen Sie ein Fabry-Perot-Interferometer (Brechungsindex zwischen den Spiegeln nF = 1), das bei λ0 = 500 nm für senkrechten Einfall eine Transmission von T = 1 aufweist und bei λ1 = 510 nm eine Trans-mission von T ≤ 0,01. In welcher Ordnung k muss man das Interferometer betreiben, damit ein technisch leicht realisierbarer Spiegelabstand von d = 10 mm verwendet werden Kann? Wie groß müssen dann das (Intensitäts-) Reflexionsvermögen R der Spiegel und die Finesse F* des Pabry-Perot-Interferometers sein?


Erinnern Sie sich an Aufgabe 8 (2. Übungsblatt): Zur Reflexverminderung bringt man z.B. auf Brillenglas eine dünne Schicht eines Materials mit geringerem Brechungsindex (nV) auf. Die Schichtdicke wird dabei so bemessen, dass die an Vorder- und Rückseite der Vergütungsschicht reflektierten Strahlen destruktiv interferieren – am effektivsten bei gleicher Amplitude.

Welche Dicke d muss die Schicht für Licht einer festen Vakuumwellenlänge λ0 bei senkrechtem Einfall haben?

Aufgabe 38: (3,5 + 2 + 1,5 = 7 Punkte)

a) Ein langer Einfachspalt mit einer Breite von d = 0,05 mm wird senkrecht mit einem Argon-Ionen-laser (λ = 514 nm) beleuchtet. In großer Entfernung (D = 1 m) hinter dem Spalt befindet sich ein Schirm auf dem das Beugungsbild beobachtet wird. In welchem Abstand vom zentralen Maximum befindet sich das erste Beugungsminimum? Welche zu λ = 514 nm benachbarte Wellenlänge ergibt an diesem Ort ein Maximum (welches)?

b) Ein Doppelspalt werde mit einem Laser der Wellenlänge λ senkrecht beleuchtet. Der Doppelspalt bestehe aus zwei langen Einfachspalten identischer Breite b. Die Mitten der beiden Spalte sollen den Abstand g = 90 µm voneinander haben. Sie beobachten das von der Anordnung erzeugte Beugungsbild auf einem Schirm mit sehr großem Abstand d vom Doppelspalt.

g

Laser

d

b b

Doppelspalt

Schirm

∆x

i) Leiten Sie eine Formel für den Abstand ∆x des dritten Beugungsmaximums des Doppelspalts vom zentralen Maximum auf dem Schirm her! Die Formel soll keine trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan, o.ä.) mehr enthalten, aber trotzdem auch bei großen Beugungswinkeln exakt gültig sein! (Hinweis: Zählen Sie bei der Nummerierung der Maxima das zentrale Maximum NICHT mit!)

ii) Berechnen Sie die Breite b der Einfachspalte (Zahlenwert), die gewählt werden muss, damit das dritte Beugungsmaximum aus Aufgabenteil i) mit dem ersten Minimum der Einfachspalte zusammenfällt, also ausgelöscht ist!


Ein Maschinen-Hersteller bietet eine Maschine an, die eine Wärmeaufnahme von 9,0 kJ/s bei einer Temperatur von 475 K aufweist. Die Wärmeabgabe soll 4,0 kJ/s bei 325 K betragen. Kann man diesen Angaben glauben? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.


Zwei ideale Gase mit der gleichen Anzahl von Molekülen durchlaufen jeweils einen Carnot-Prozess einer Wärmekraftmaschine zwischen den Temperaturen T1 und T2 und den gleichen minimalen und maximalen Volumina (V1 und V2). Das eine Gas besteht aus einatomigen, das andere aus zweiatomigen Molekülen.

Sind die Graphen beider Prozesse im p–V–Diagramm identisch? Wenn nicht, worin unterscheiden sie sich?

Aufgabe 41: (0,5 + 1,5 = 2 Punkte)

Ein Kohlekraftwerk hat eine elektrische Leistung von 1000 MW. Die Turbinen werden mit Wasserdampf von 600°C betrieben. Die Temperatur des Kühlwassers aus einem Fluss beträgt 15°C.

a) Wie groß ist der Carnot-Wirkungsgrad der gesamten Anlage?

b) Der tatsächliche Wirkungsgrad beträgt etwa 40%. Wie groß ist der Kühlwasserbedarf unter der Annahme, dass beim Durchfluss die Temperatur des Kühlwassers um 2°C steigen darf? Wärmekapazität von Wasser: c = 4,18 kJ/(kg⋅K)

36. Aufgabe: Fabri-Perot-Interferometer

Die Phasensprünge können getrost weggelassen werden, da sie immer einen Sprung uminsgesamt 2π hervorrufen. Für die konstruktive Interferenz muss gerade

∆φ =d

λ2π · n · 2 =

4πnd

λ0

gelten. Für die Intensität gilt laut Vorlesung

I

I0

=1

1 + F sin2(∆φ/2)

Damit diese maximal wird, muss

sin(∆φ/2) == d =λ0

2nk

Mit dem gegebenen d also die Ordnung

k = 40000

Für die zweite Wellenlänge soll gerade

I

I0

= 0.01

gelten. Dies führt zu

F sin(∆φ/2) ≥ 99 F =4R

(1−R)2r ≥ 0.92 =⇒ R ≥ 0.85

Die Finesse muss dannF ∗ ≥ 18.8

sein

37. Aufgabe: Brillengläser

Die optische Strecke ∆s, die der Lichtstrahl in der Schicht zurücklegt, beträgt

∆s = 2nfd

60

Er wird zwar an der hinteren Grenzschicht mit Phasenverschiebung reflektiert, aber auchder Strahl, der sofort an der vorderen Schicht reflektiert wird, bekommt eine Phasenver-schiebung. Damit ist also nur die optische Weglänge ∆s wichtig. Weitere Strahlen brauchenwegen der geringen Reflektivität (siehe Aufgabe 8) nicht beachtet werden. Die zwei Strahlenwerden genau dann ausgelöscht, wenn

∆s = (2n+ 1)λ0

2=⇒ d =

λ0

4nf(2n+ 1)

Für die kürzeste Schicht alsod =

λ

4nf

38. Aufgabe: Einzel- und Doppelspalt

(a) Es gibt genau dann ein Minimum, wenn

x = mπ = πb

λsin θ

Außerdem isttan(θ) =

d

D

Man erhält (für m = 1) geraded ≈ 1 cm

Damit eine andere Wellenlänge dort ihr Maximum hat, muss gelten

x =π

2(2n+ 1) = π

b

λnsin θ

aber da wir uns immer noch beim gleichen θ befinden, gilt

x = πb

λn

λ

b=⇒ λ

λn=

1

2(2n+ 1)

Es gäbe also eine bei 2λ, aber die nächste ist bei 23λ.

(b) (i) Der Phasenunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen ist

∆s = g sin(φ) = 3λ

61

Außerdem ist

tanφ =∆x

d=⇒ ∆x = tanφd = d

sinφ

cosφ= d

sinφ√1− sin2 φ

=d√

1/ sin2 φ− 1=

d√g2

9λ2− 1

(ii) Für den Doppelspalt istg sinφ = 3λ

Für den Einzelspalt istb sinφ = λ

und damitb = 30 µm

39. Aufgabe: Lügender Maschinenhersteller

In Wirklichkeit ist der Wirkung kleiner als die der Carnotmaschine. Dieser ist gegebendurch

η = 1− T1

T2

= 0.31

Für die Maschine ist aber der Wirkungsgrad

η =∆Q1 −∆Q2

∆Q1

= 0.56

40. Aufgabe: Carnot-Prozess

Durch die Festlegung der Randbedingungen sind die beiden Punkte A und C des carnot-Prozesses festgelegt. Auserdem ändert sich bei den Isothermen (pV = RT mit R und T

gleich) damit nichts. Nur die adiabatischen Verläufe (pV κ = const.) werden steiler:

62

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0

5

10

15

20

25

30

Abbildung 5: Weniger Freiheitsgrade - nur 1atomig

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0

5

10

15

20

25

30

Abbildung 6: Mehr Freiheitsgrade - 2atomig

63

41. Aufgabe: Kohlekraftwerk

(a) Der theoretische Wirkungsgrad beträgt

ηtheo =T1 − T2

T1

≈ 67%

(b) Pro Sekunde erzeugt das Kohlekraftwerk eine elektrische Leistung von

∆W = 1000 MJ

Wenn der wahre Wirkungsgarde bei η = 0.4 liegt, so beträgt die aufgenommeneWärmemenge

∆Q1 = ∆W/0.4 = 2500 MJ

Das bedeutet die abgegebene Wärmemenge ist

∆Q2 = ∆Q1 −∆W = 1500 MJ

Es müssen also pro Sekunde

m =∆Q2

cT≈ 178 t

Wasser fließen.

64

9. Übung

65



Das Fraunhofer-Beugungsbild einer Beugungsanordnung ergibt sich im Wesentlichen aus der Fourier-Transformierten der entsprechenden Transmissionsfunktion. Betrachten Sie dazu folgendes Beispiel: Eine ebene Welle fällt senkrecht auf einen Doppelspalt, bei dem die Breite b der einzelnen Spalte

vernachlässigbar ist gegen ihren Abstand d. λ ist die Wellenlänge des einfallenden Lichts. Vor einem der Spalte befindet sich ein dünnes Glasplättchen, das zu einer Phasenverschiebung der Welle von 90° (bzw.

π/2) relativ zum anderen Spalt führt.

a) Wie lautet die Transmissionsfunktion τ(x) der Anordnung? Hinweis: Verwenden Sie zur Darstellung der

Funktion die Delta-Distribution δ(x). Die Phasenverschiebung soll ebenfalls als Teil der Transmissionsfunktion aufgefasst werden.

b) Berechnen Sie durch Fourier-Transformation der Transmissionsfunktion und Betrags-Quadrat-Bildung die Form der Intensitätsverteilung (I/I0) des Beugungsbildes in x-Richtung! Leiten Sie dann daraus eine Formel für die Lage der Beugungsminima her! Was verändert sich qualitativ am Beugungsbild durch Anbringen des Glasplättchens vor einem der Spalte?

Aufgabe 43: (2 + 2 + 2 = 6 Punkte)

a) Ein Diaprojektor wirft von einem Dia (Kleinbildformat 24 mm x 36 mm) ein 72 cm breites Bild auf einen Schirm. Rückt man den Projektor um 1 m weiter vom Schirm weg, wird das Bild um 1 m breiter. Welche Brennweite hat das Objektiv und in welchem Abstand vom Schirm stand das Gerät ursprünglich?

b) Der Nahpunkt eines weitsichtigen Auges liegt bei s = 50 cm. Welche Brechkraft muss eine Kontaktlinse haben, damit der Nahpunkt wieder in die deutliche Sehweite s0 = 25 cm rückt?

c) Das Auge ist chromatisch offenbar gut angepasst. Da aber rotes Licht schwächer gebrochen wird als blaues, muss der Akkommodationsmuskel die Linse stärker wölben, wenn eine rote statt einer blauen Fläche im gleichen Abstand betrachtet wird. Wie kommt es, dass Rot „aggressiv auf uns zukommt“ und Blau „uns in seine Tiefe zieht“, wie die Maler sagen? Betrachtet man bunte Kirchenfenster, so scheinen die Farben oft in verschiedenen Ebenen zu stehen. In der französischen Trikolore ist der rote Streifen (37%) merklich breiter als der weiße (33%) und dieser breiter als der blaue (30%). Warum?

Aufgabe 44: (1,5 + 4+ 0,5 = 6 Punkte)

Eine Stirling-Maschine ist ein Heißluftmotor, in dem Luft abwechselnd in Kontakt mit einer Wärmequelle (z.B. einer Glühkerze oder sonnengeheizten Metallfläche) und mit einer Kühlung gebracht wird. Dies führt in erster Näherung zu folgenden Prozess-Schritten: Im Wärmekontakt mit dem heißen Reservoir: Isochore (V = V1) Drucksteigerung von p1 auf p2 und anschließend isotherme Expansion bei T2. Im Wärmekontakt mit dem kalten Reservoir: Isochore (V = V2) Drucksenkung von p3 auf p4 und anschließend isotherme Kompression bei T1.

a) Stellen Sie den Stirling-Prozess qualitativ im p-V-Diagramm dar!

b) Berechnen Sie die während eines Umlaufs geleistete mechanische Arbeit ∆W und die dem

heißen Reservoir insgesamt entnommene Wärmemenge ∆Q! Berechnen Sie dann den Wirkungsgrad

η = ∆W /∆Q und zeigen Sie, dass er immer kleiner als der Carnot-Wirkungsgrad ist! Was kann man tun, damit der Wirkungsgrad dem des Carnot-Prozesses möglichst nahe kommt?

c) Welche Funktion hat eine Maschine, bei der der Prozess in umgekehrter Richtung abläuft? Hinweis: Nehmen Sie die Luft als n mol eines idealen Gases mit der molaren Wärmekapazität cV an!

42. Aufgabe: Fouriertransformation am Beugungsbild

Wir betrachten in der ganzen Aufgabe nur die x-Komponente des Feldes, da die y-Komponenteunverändert bleibt.

(a) Das einfallende Feld sei E = E0. Der erste Spalt befinde sich an der Position z =

0, d = −d/2. Da die Breite vernachlässigbar ist, lässt sich seine Transmissionsfunktionangeben als

τ1 = δ(x− d/2)

Der zweite Spalt befinde sich an der Position x = −d/2, z = 0. Auch er kann durcheine Deltadistribution beschrieben werden, nur hier noch zusätzlich mit einer Phasen-verschiebung um π/2:

τ2 = δ(x+ d/2)eiπ2

Die gesamte Transmissionsfunktion lautet also

τ(x) = τ1 + τ2 = δ(x− d/2) + eiπ2 δ(x+ d/2)

(b) Wir betrachten also die Fouriertransformierte von τ , also

∞∫−∞

τ(x)e−2πix′x/z0λ dx =

∞∫−∞

δ(x− d/2)e−2πix′x/z0λ dx +

∞∫−∞

δ(x+ d/2)eiπ2 e−2πix′x/z0λ dx

und aufgrund der Definition der Deltadistribution:

= e−πidx′/z0λ + ieπix

′d/z0λ

Setzen wir jetzt noch πx′dz0λ

= a, so erhalten wir (nach irgendwelchen trigonometrischenIdenditäten):

E ′ = e−ia + ieia =√

2(1− i) sin(a+ π/4)

Und damitI ′ = 4 sin2(a+ π/4) = 4 cos2(a− π/4)

Dies gleicht einem normalen Doppelspalt, außer der Phasenverscheibung um π/4. AlleMaxima- und Minima sind also gerade um z0λ/4d verschoben.

67

43. Aufgabe: Optik

(a) Wir haben durch die Aufgabenstellung folgende Gleichungen vorgegeben:

G

B=g

bG

B + 1=g′

b′

1

g+

1

b=

1

g′+

1

b′

g + b+ 1 = g′ + b′

Setzen wir das zusammen,so erhalten wir für b:

b =G+B

(G+B+1)2

B+1− (G+B)2

B

und für g

g =G

Bb

Somit erhalten wirb ≈ 75.6 cm

undf ≈ 36 mm

(b) Weitsichtigkeit bedeutet, dass das Bild hinter der Netzhaut abgebildet wird. Somit istdas Bild virtuell und es folgt b = −50 cm. Der Gegenstand soll allerdings in g = 25 cmsich befinden. Somit findet sich für die Brechkraft

D =1

f=

1

g+

1

b= 2 dpt

(c) Bei einer roten Fläche, muss der Muskel sich mehr anspannen. Dies ist die gewohnteEinstellung für die Nahsicht und somit erscheint die rote Fläche näher als sie ist. Beider blauen Fläche ist der Muskel entspannt, was der Einstellung für die Fernsichtentspricht. Also erscheint uns der Abstand größer.

68

44. Aufgabe: Stirling-Motor

Der Stirling-Prozess sieht qualitativ so aus (gedreht!!! p-V verwechselt sorry):

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Für die Gesamtenergie gilt: Auf den isochoren Teilschritten wird keine Energie frei oderbenötigt. Für einen isothermen Teilschritt gilt:

∆W = −RT ln

(V1

V2

)und damit für die Gesamtenergie:

W = R ln

(V2

V1

)(T2 − T1)

Die dem heißen Wärmebad entzogene Wärmemenge gilt:

Q = ∆Q1 + ∆Q2 = cv(T2 − T1) +RT2 ln

(V2

V1

)

69

10. Übung

70


Aufgabe 45: (2 + 3*1,5 = 6,5 Punkte)

In einem astronomischen Fernrohr mit der Vergrößerung V = 10 und der Einstellung auf ∞ beträgt der Abstand zwischen Objektiv und Okular 25 cm.

a) Skizzieren Sie den Strahlengang bei der Einstellung auf ∞ (es fällt ein paralleles Lichtbündel unter einem Winkel ε0 ein).

b) Wie groß sind die Brennweiten der Objektiv- und Okularlinse?

c) Bis zu welchem Abstand kann mit dem Fernrohr scharf gesehen werden, wenn sich das Okular um 1 cm verschieben lässt?

d) Wie kann das Bild gegenüber Teil a) mit einer zusätzlichen Linse umgekehrt werden (Abbildungs-maßstab soll beibehalten werden)? Um wie viel ändert sich dadurch mindestens die Länge des Fernrohrs?


Sie wollen Beugung am Spalt mit Sonnenlicht beobachten. Dazu verwenden Sie ein Filter, das nur für Licht der Wellenlänge λ = 545 nm durchlässig ist. Wie breit darf der Spalt maximal sein, damit das erste Beugungsminimum noch beobachtet werden kann? Hinweis: Die scheinbare Größe der Sonne, genauer der Winkelbereich, den sie von der Erde aus gesehen abdeckt, beträgt ca. 0,5°. Aufgabe 47: (2 + 3 = 5 Punkte)

Eine Gasturbine verwendet als Arbeitssubstanz 1 Mol eines ein-atomaren idealen Gases und wird näherungsweise durch folgende Prozess-Schritte beschrieben (Ericsson-Prozess): Zunächst ist das Gas am Punkt 1 des p-V-Diagramms (siehe Skizze) mit Temperatur T1 und Druck p1. Bei konstanter Temperatur T1 wird das Gas zunächst auf den Druck p2 = µ⋅p1 komprimiert. Dann wird es bei konstantem Druck expandiert, wobei es sich auf die Temperatur T2 aufheizt. Eine Expansion bei konstanter Temperatur bringt es dann wieder auf den Druck p1. Schließlich wird das Gas bei konstantem Druck komprimiert und gelangt wieder zum Ausgangspunkt.

a) Leiten Sie, ausgehend von der Definition dS = dQrev/T, Formeln für die Entropieänderung ∆S der Arbeitssubstanz bei isobaren Zustandsänderungen her, die nur noch von T1 und T2 bzw. nur noch von V1 und V2 abhängen (d.h. dem jeweiligen Anfangs- bzw. Endwert der entsprechenden Größe)!

b) Berechnen Sie die Entropieänderungen im Gas bei den einzelnen Prozess-Schritten als ausschließliche Funktionen von T1, T2 und µ! Verifizieren Sie dann, dass sich die Entropie des Gases nach einem Zyklus unabhängig von der Wahl der drei Parameter nicht geändert hat.

2 3

1

p

4

V

p1

p2

T1 T2

Aufgabe 48: (1 + 1 + 1,5 +1,5 = 5 Punkte)

Jeweils 1 Mol dreier unterschiedlicher Gase A, B und C befinden sich bei Raumtemperatur zunächst in drei unterschiedlichen wärmeisolierten Gefäßen GA, GB und GC mit gleichem Volumen V. Nun werden die Gefäße miteinander verbunden. Betrachten Sie die Gase als ideal und unabhängig voneinander (wechselwirkungsfrei).

a) Wie ändert sich die Temperatur, wenn sich die Gase durchmischen? Begründen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung.

b) Berechnen Sie mittels klassischer Thermodynamik (d.h. ohne Verwendung der statistischen Entropie-Definition) die Zunahme der Entropie durch die Durchmischung der Gase. (Die Gesamtentropie ergibt sich als Summe der Entropien der Einzelgase.) Woher kommt die zusätzliche Entropie?

c) Berechnen Sie nun mit Hilfe der Formel S = kB ⋅ ln W (W: Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des makroskopischen thermodynamischen Zustands) die Zunahme der Entropie S, und zeigen Sie, dass sich das gleiche Ergebnis wie in b) ergibt. Hinweis: Betrachten Sie die Zahl der Möglichkeiten vor und nach dem Verbinden, die Gasatome auf die Gefäße zu verteilen. Zählen Sie jede mögliche Verteilung als eine Realisierungsmöglichkeit, unabhängig von der Verteilung der Gasatome innerhalb eines Gefäßes.

d) In c) haben Sie bei der Berechnung der Entropie nicht berücksichtigt, dass die Gasatome auch innerhalb eines Gefäßes unterschiedlich verteilt sein können. Unterteilen Sie nun jedes Gefäß in Gedanken in l identische Teilgefäße, und berechnen Sie dann die Entropie vor und nach dem Verbinden der Gefäße. Zeigen Sie, dass sich unabhängig von l immer die gleiche Entropie-Zunahme ergibt. Wie unterscheiden sich die Ergebnisse für die Entropie bei verschiedenem l (anschauliche Begründung), und wieso ergibt sich für die Entropie-Änderung trotzdem immer der gleiche Wert?

Die Anmeldung zur Vorleistung in QISPOS ist ab sofort bis zum 2.02.2012 möglich. Die Vorleistung ist Voraussetzung, um sich danach zur Klausur anmelden zu können. Das gilt für Bachelor-Studiengänge, alle anderen werden am Ende des Semesters von den Tutoren gemeldet.

Frohe Frohe Frohe Frohe WeihnachtenWeihnachtenWeihnachtenWeihnachten

und einenund einenund einenund einen

guten Rutsch ins neue Jahr!guten Rutsch ins neue Jahr!guten Rutsch ins neue Jahr!guten Rutsch ins neue Jahr!

45. Aufgabe: Astronomisches Fernrohr

(a) Der Strahlengang sieht in etwa so aus:

F AUGE

L1 L2

ε0 ε

f1 f2

(b) Die Länge des Tubus ist gegeben durch:

d = f1 + f2

und die Vergrößerung durch:

γ =f1

f2

Somit ist:

f1 = γf2 = d− f2 =⇒ f2 =d

γ + 1=

25

11cm =⇒ f1 =

250

11cm

(c) Wenn sich das Okular um 1 cm verschieben lässt, darf auch das Zwischenbild in diesemBereich schwanken. Die Linsengleichung für den Fall, dass das Okular in der Aus-gangsposition ist, ist

1

f1

=1

b+

1

g

und dann mit g = f1 folgt b = ∞. In der Ausgangsposition lässt sich also bis insUnendliche scharf stellen. Schiebt man jetzt das Okular im 1 cm nach hinten, so mussdas Zwischenbild auch um einen Centimeter nach hinten wandern und es wird:

1

f1

=1

f1 + 1+

1

b

73

Daraus folgt:b = 5.8 m

ist der minimale Bildabstand. (Zusatz: schiebt man die Linse stattdessen weiter nachvorne, ist die Linsengleichung nie erfüllt!).

(d) Wir fügen zwischen die beiden Linsen eine Umkehrlinse mit Brennweite f ein. Da wireine Vergrößerung von 1 haben müssen, ist die Vergrößerung des Abstandes 4f .

46. Aufgabe: Sonnenlicht in Spalt

Die Sonne ist eine Lichtquelle mit Ausdehnung. Vom Spalt aus haben die am weitestenentfernten Strahlen den Winkel α = 0.5. Wir betrachten jetzt die beiden Randstrahlenals zwei Punktquellen (dazwischen gibt es jeden möglichen Strahl). Beide dieser Strahlen(Strahl a unten und Strahl b oben) erzeugen ein Beugungsbild, dass der Beugung am Spalteiner Punktquelle entspricht. Es ist gerade noch ein Minima zu unterscheiden, wenn dasMaxima des einen Strahles auf das Minimum des anderen Strahles fällt. Sei θ der Winkelvom Strahl a zum 0. Minimum des Strahles a und β der Winkel vom Strahl b zum 1.Maximum. Es muss dann gelten:

sin(β) =2λ

dsin(θ) =

λ

d

Damit das Minimum noch sichtbar ist, muss

θ ≤ β − α

gelten und damit

d ≤ λ

α≈ 62 µm

47. Aufgabe: Ericsson-Prozess

(a) Es ist nach Definition

dS =dQ

T=

dU + pdV

T

Bei einem mol eines idealen Gases ist aber auch:

dU = CV dT pV = RT

74

und damit:dS = CV

dT

T+R

dV

V

Dies können wir jetzt integrieren und erhalten:

∆S = CV lnT2

T1

+R lnV2

V1

Nach der Beziehung oben ist aber bei konstantem Druck auch

T1

T2

=V2

V1

und deshalb:∆S = ln

T2

T1

(CV +R) = lnV2

V1

(CV +R)

und die Beziehung CV = fR/2 macht daraus sogar noch:

∆S =5

2R ln

T2

T1

(b) Wir betrachten die einzelnen Teilschritt:

1 auf 2: Hier ist T konstant und p2 = µp1, weshalb auch V2 = µ−1V1 sein muss.Daraus folgt

∆S = CV lnT2

T1

+R lnV2

V1

= −R lnµ

2 auf 3: Nach der Formel von oben ist dies

∆S = lnT2

T1

(CV +R)

3 auf 4: Hier ist die Situation gleich zu 1 auf 2. Wieder ist

lnT2

T2

= 0

und damit∆S = R ln

V3

V4

75

Diesmal vergrößert sich aber das Volumen, also

∆S = R lnµ

4 auf 1: Hier können wir wieder anwenden:

∆S = lnT1

T2

(CV +R) = − lnT2

T1

(CV +R)

Insgesamt sieht man sofort, dass die Entropieänderung im ganzen Kreisprozess null ist(sonst wäre es ja auch kein Kreisprozess!)

48. Aufgabe: Entropieänderung

(a) Die Temperatur ändert sich gar nicht (isobar). Wenn die Moleküle sich durschmischenhat jedes Molekül noch genausoviele Möglichkeiten, sich mit einem anderen Molekülzu stoßen, da zwar jetzt mehr Platz da ist (3 mal) aber auch mehr Moleküle da sind(3 mal)

(b) Bei isothermer Prozessführung ist

dU = 0 =⇒ ∂Q = −∂W = pdV

Also

∆Q =

V2∫V1

RTdV

V= RT ln 3

Damit ist die Entropiedifferenz eines Gases gegeben durch

∆S =∆Q

T= R ln 3

und die für alle drei Gase analog

∆Sges = 3R ln 3

(c) Jedes Gasmolekül hat vor der Verbindung genau eine Möglichkeit in einem der dreiGefäße zu sein. Deshalb ist

S1 = 0

76

Nach der Verbindung hat jedes Molekül genau 3 Möglichkeiten. Bezeichne Ni dieAnzahl der Moleküle von Typ i, dann ist

Ni = NA

mit der Avogadrokonstante NA und es gibt dann

W =(3NA

)3

Möglichkeiten insgesamt. Für die Entropie gilt dann

S2 = kB lnW = 3NAkB ln 3 = 3R ln 3

und damit für die Entropiedifferenz:

∆S = S2 − S1 = S2 = 3R ln 3

(d) Wir unterteilen jedes Gefäß in l Teilgefäße. Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten zuBeginn für jedes Molekül genau l und damit die Gesamtzahl der Realisierungsmöglichkeit-en

W =(lNA)3

Die Entropie ist alsoS1 = KN lnW = 3R ln l

Nach dem Verbinden hat jedes Molekül 3-mal so viele Möglichkeiten, also

W =(

(3l)NA)3

und damitS2 = 3R ln(3l)

Als Entropiedifferenz erhält man also jetzt wieder

∆S = S2 − S1 = 3R(ln(3l)− ln(l)) = 3R ln

(3l

l

)= 3R ln 3

und damit wieder das selbe Ergebnis. Je mehr Teilgefäße wir schaffen, desto mehr

77

Entropie ergibt sich natürlich (weil es einfach mehr Realisierungsmöglichkeiten gibt).Aber auch desto mehr Entrophie gibt es nach dem Zusammenschließen. Deshalb bleibtdie Entrophiedifferenz gleich.

78

11. Übung

79


Aufgabe 49: (1 + 2 + 1 = 4 Punkte)

a) Mit einer Linse soll der Mond auf einen Schirm abgebildet werden (Bilddurchmesser 3 cm). Bestimmen Sie die erforderliche Brennweite der Linse, sowie den Abstand zwischen Linse und Schirm.

b) Was ist ein Airy-Scheibchen und was ist das Rayleigh-Kriterium?

c) Welchen Durchmesser muss die Linse mindestens haben, damit auf dem Bild bei einer Lichtwellen-

länge von λ = 550 nm noch Mondkrater mit einem Durchmesser von 4 km aufgelöst werden können?

Zahlenwerte: Monddurchmesser: 3,5⋅106 m, Abstand Erde-Mond: 3,8⋅108 m


Die plankonvexe Objektivlinse eines Mikroskops hat einen Krümmungsradius von r = 1cm, eine Brechzahl

von n = 1,5 und einen Durchmesser von d = 1 cm. Berechnen Sie für eine Wellenlänge von λ = 500 nm den kleinstmöglichen Objektabstand, der gerade noch aufgelöst werden kann.


Erinnern Sie sich an Aufgabe 24 (5. Aufgabenblatt):

Je 10 g He, N2 und CH4 sind in 3 Kammern eines Gefäßes getrennt. In jeder Kammer herrscht ein Druck von 1 bar. Die Temperatur der als ideal angenommenen Gase ist im Anfangszustand 300 K (He), 400 K (N2) und 500 K (CH4). Das Gefäß ist gegen die Umgebung völlig isoliert. Dann werden die Ventile zwischen den Kammern geöffnet. Es stellte sich eine Endtemperatur von 371 K ein.

a) Wie groß sind die Partialdrücke und welcher Enddruck ergibt sich?

b) Wie groß ist die Entropieänderung zwischen Anfangs- und Endzustand (Zahlenwert)?


Thermodynamische Potentiale:

a) Zeigen Sie unter Verwendung des 1. Hauptsatzes, dass für die Enthalpie pVUH +=: die in der

Vorlesung erwähnten Beziehungen

.constSp

HV

=

∂∂

= und

.constpS

HT

=

∂∂

= gelten!

b) Formulieren Sie den 1. Hauptsatz der Thermodynamik unter Verwendung der Entropie für irreversible Prozesse als Ungleichung! Verwenden Sie dann diese Ungleichung und die Definition der freien

Enthalpie, TSpVUG −+= , um zu zeigen, dass bei irreversiblen Prozessen mit konstantem Druck

und konstanter Temperatur G stets abnimmt. Im Gleichgewicht wird demnach die freie Enthalpie minimal.


a) Prüfen Sie rechnerisch, ob die folgende chemische Reaktion - allein vom Standpunkt der chemischen Potentiale aus gesehen - unter Normalbedingungen spontan ablaufen kann: CaC2 + 2 H2O→Ca(OH)2 + C2H2

b) Die „Knallgas“-Reaktion 2 H2 + O2 → 2 H2O kann unter Normalbedingungen - vom Standpunkt der

chemischen Potentiale aus betrachtet - spontan ablaufen. Wie Sie vermutlich wissen, ist dies jedoch nicht der Fall. Woran könnte das liegen?

Hinweise:

Chemische Potentiale µ unter Normalbedingungen: CaC2: -68 kJ/mol; H2O: -237 kJ/mol; Ca(OH)2: -897 kJ/mol; C2H2: +209 kJ/mol. Vernachlässigen Sie den Einfluss der Mischungsentropie!

Die Anmeldung zur Vorleistung in QISPOS ist ab sofort bis zum 2.02.2012 möglich. Die Vorleistung ist Voraussetzung, um sich danach zur Klausur anmelden zu können. Das gilt für Bachelor-Studiengänge, alle anderen werden am Ende des Semesters von den Tutoren gemeldet.

49. Aufgabe: Mondabbildung

(a) Nach der Linsengleichung muss1

f=

1

b+

1

g

Da aber 1gso klein ist, ist dies näherungsweise

f = b

Die Gleichung für die Vergrößerung ist dann

b

g=B

G

und führt auff = b = 3.257 m

(b) Ein Airy-Scheibchen entsteht, wenn eine Punktlichtquelle an einer Kreisblende gebeugtwird. Das Rayleigh-Kriterium besagt, dass zwei Punkte genau dann noch zu unter-scheiden sind, wenn Maxima und Minima der zwei Airy-Scheibchen gerade aufeinanderfallen. Dies ist der Fall wenn

δ > 1.22λ

D

(c) Wie im letzten Übungsblatt überprüfen wir wieder das Rayleigh-Kriterium. Diesmaljedoch für Airy-Scheibchen. Es muss also gelten

αmin = 1.22λ

D

Außerdem folgt aus der Geometrie der Aufgabenstellung:

tan(α

2

)=

2 kmME

=⇒ α = 0.0000105263

Und damitDmin = 0.063745 m

82

50. Aufgabe: Mikroskoplinse und Auflösung

Nach der Formel1

f= (n− 1)

(1

r+

1

∞

)ist

f = 2 cm

Für das Mikroskop lautet das Rayleigh-Kriterium:

∆xmin = 1.22λf

D= 1.22 · 10−6 m = 1.22 µm

51. Aufgabe: Vermischung dreier Gase

(a) Es istn =

m

M

und damitnHe = 2.5 mol nN2 = 0.36 mol nCH4 = 0.63 mol

An Anfang ist für jedes Gas ip0Vi = niRTi

und am Schluss:pIVges = nIRTend

Man erhält aus der ersten Gleichung:

Vges = V1 + V2 + V3 = 1205.3 · Rp0

und aus der zweiten Gleichung dann:

pHe = 0.77p0 pN2 = 0.11p0 pCH4 = 0.19p0

und damit der Gesamtdruckpges = 1.07p0

(b) Es ist

dS = dQ/T =dU + pdV

T=f

2nR

dT

T+ nR

dV

V

83

Insgesamt ist also die Gesamtentropieänderung eines Gases i gegeben durch

∆Si =f

2nR ln

TendTi

+ nR lnVgVi

und der Gesamtwert:∆S = 24.67 J/K

52. Aufgabe: Thermodynamische Potentiale

(a) Es istdU = TdS− pdV

Betrachten wir jetzt alsoH(S, p) = U(S, V ) + pV

So ist offensichtlich

dH = dU(S,V) + dpV + pdV = TdS− pdV + pdV + V dp = TdS + V dp

Andererseits folgt aber auch aus der Definition des totalen Differenzials:

dH =

(∂H

∂S

)p=const.

dS +

(∂H

∂p

)S=const.

dp

Vergleih der beiden Formeln bringt das gewünschte Ergebnis.

(b) Es ist nach dem 1. Hauptsatz:

dU = dQ + dW = TdS− pdV

da Druck und Temperatur konstant sind. Bei irreversiblen Prozessen ist die innereEnergie aber kleiner als sie nach dem reversiblen Prozess sein sollte, also auch

dU < TdS− pdV

Also istdG = dU + pdV + V dp− TdS− SdT < V dp− SdT = 0

Damit fällt G monoton, bis im Gleichgewicht die minimale freie Enthalpie erreicht ist.

84

53. Aufgabe: Chemische Potentiale

(a) Es ist für die Produkte ∑niµi = −542

und für die Edukte−688

Damit läuft die Reaktion freiwillig ab, da

∆G = ∆H < 0

ist.

(b) Die Reaktion könnte zwar ablaufen (∆G < 0), aber es ist Anfangsenergie nötig, umdie Reaktion zum Laufen zu bekommen.

85

12. Übung

86


Aufgabe 54: (1 + 2 + 1 = 4 Punkte)

a) Warum ist ein Gitter viel besser für die spektrale Zerlegung und Analyse von Licht geeignet als ein Einfach- oder Doppelspalt?

b) Leiten Sie die allgemeine Bedingung für das Auftreten von Beugungs-Hauptmaxima bei einem Reflexionsgitter (geblaztes Gitter) in Abhängigkeit vom Einfallswinkel θ1, Ausfallswinkel θ2 und der Wellenlänge λ her. Die Winkel werden zur Gitternormalen gemessen. Betrachten Sie erst θ1 = 0 und dann einen beliebigen Einfallswinkel.

c) Ein typisches Reflexionsgitter hat 1200 Spalte/mm. Bis zu welcher Maximalwellenlänge λmax kann man dieses Gitter für die Spektralanalyse bei geeigneter Anordnung verwenden? Welcher Ein- bzw. Ausfall-winkel liegt dann vor?


Nach Öffnen eines schnellen Verschlusses zum Zeitpunkt t = 0 wird eine Kathode (A = 1 cm2) mit gefil-tertem Sonnenlicht (λ = 500 nm, I = 18 W/m2) bestrahlt und emittiert daraufhin Elektronen (Photoeffekt).

Betrachtet man das Licht als kontinuierliche Welle und seine Absorption durch ein „Atom“ als einen rein klassischen Vorgang, dann benötigt ein Atom der Kathode eine gewisse Zeit ∆t bis es genug Energie EA zur Ablösung eines Elektrons absorbiert hat (EA = 2,48 eV). Berechnen Sie ∆t unter der Annahme, dass der Absorptionsquerschnitt eines Atoms σ = 0,1 nm2 ist. Der Absorptionsquerschnitt entspricht der mitt-leren Fläche, die das auftreffende Licht vollständig absorbiert.

Im Teilchenbild entspricht das Licht dagegen einem unregelmäßigen Fluss von Photonen etwa gleicher Energie EP = hν = hc/λ. Von wie vielen Photonen wird ein Atom im Mittel pro Sekunde getroffen, d.h. wie oft wird ein Photon von dem Atom absorbiert?

Wie unterscheiden Sich die Ergebnisse der beiden Bilder bzgl. der Elektronenemission nach dem Öffnen des Verschlusses, wenn die Absorption aller Oberflächenatome der Kathode berücksichtigt wird (es sind 1014 Atome/cm2)? Aufgabe 56: (2 + 1 + 1 + 1 = 5 Punkte)

Wasser wird mit einem Tauchsieder (700 W) von 27°C auf 77°C erwärmt. Der Vorgang dauert 10 Minuten. Man beobachtet, dass die Temperatur dabei linear mit der Zeit wächst.

a) Um welchen Betrag hat sich die Entropie des Wassers erhöht?

b) Zur Berechnung von a) sollten Sie eine Integration verwendet haben. Lohnt sich das? Berechnen Sie alternativ die Entropie, indem Sie für die Temperatur den konstanten Mittelwert annehmen. Vergleichen Sie mit a). Welche Fehler könnte die Messung noch enthalten?

c) Was bedeutet die angenommene zeitlich lineare Temperaturzunahme des Wassers für die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität?

d) Die Formel, die Sie in a) hergeleitet haben, gilt analog auch für Eis. Sie versagt aber dennoch für sehr tiefe Temperaturen. Woran könnte das liegen?

Aufgabe 57: (1 + 3 + 1 = 5 Punkte)

Das Verhalten eines realen Gases lässt sich in vielen Fällen durch die Zustandsgleichung von van der Waals beschreiben. Sie lautet für 1 Mol eines Gases:

( ) RTbVV

ap =−⋅

+

2

Das zugehörige p-V-Diagramm weist für die Temperatur T = Tc einen sogenannten kritischen Punkt auf, der

durch 0

c

=

∂∂

=TTV

p und 0

c

2

2

=

∂∂

=TTV

p definiert ist.

a) Welche physikalische Bedeutung hat die kritische Temperatur Tc?

b) Leiten Sie Ausdrücke für Vc, Tc und pc her, die nur noch von a und b abhängen! Wie Sie sehen sollten, steigt Tc mit zunehmendem a und sinkt mit zunehmendem b. Versuchen Sie dies aufgrund der anschaulichen Bedeutung von a und b plausibel zu machen.

c) Zeigen Sie, dass man die van-der-Waals-Gleichung durch Einführen der neuen Variablen c

/ˆ ppp = ,

c/ˆ VVV = und

c/ˆ TTT = in eine von a und b unabhängige universelle Form für alle Gase bringen

kann!

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

54. Aufgabe: Spektralanalyse an einem Gitter

(a) Weil ein Gitter viel schärfere Maxima aufweist.

(b) TODO: Bild Der Gangunterschied ist dann

∆ = |CA′ −BA′| = g| sin θ1 − sin θ2|

(c) Die Gitterkonstante wäre dann

g = 8.33 · 10−7 m

Man setzt k = 1 aufgrund des ersten Hauptmaxima. Außerdem ist

λ = g(sin θ1 − sin θ2)

Dies wird dann Maximal, wenn der Einfallswinkel 90 ist (also der Ausfallswinkelgerade -90).

55. Aufgabe: Photoeffekt

(a) Die Energie, die pro Zeiteinheit ∆t auf das Atom trifft, ist also

E = Iσ∆t

Die Zeit, bis ein Elektron abgelöst werden kann wäre dann:

∆t =EAIσ

= 0.22 s

(b) Es ist

Ep =hc

λ= 2479283 meV ≈ 2.48 eV

Da pro Zeiteinheit die Energie Iσ auf das Atom trifft, ist die Anzahl der Photonenalso:

n =Iσ

Ep= 4.5

89

56. Aufgabe: Tauchsieder

(a) Es ist:

∆Q = cm∆T = tP =⇒ cm =tP

∆T

Also∆S =

∫dS =

∫dQ

T=

∫cm

dT

T=

tP

∆Tln

(TETa

)= 1294.26

JK

(b) Hier ist also:

∆S ≈ tP

T=

tP

325.15 K= 1291.72

JK

und damit sehr nah am vorigen Ergebnis. Das Problem ist, dass aus einer konstantenTemperaturzunahme nicht eine konstante Entropiezunahme folgt.

(c) Die Wärmekapazität ist temperaturunabhängig.

(d) Die Wärmekapazität ist temperaturabhängig.

57. Aufgabe: Van-der-Waals-Gleichungen

(a) Dort hat das p − V -Diagramm einen Wendepunkt, also ist der Phasenunterschiedzwischen Gas und Flüssigkeit nichtmehr auszumachen - es kommt zu einer Koexistenzbeider Phasen.

(b) Es ist:

p =RT

V − b+

a

V 2

aus der Van-der-Waals-Zustandsgleichung und dann:

∂p

∂V= − RT

(V − b)2+

2a

V 3= 0

∂2p

∂V 2=

2RT

(V − b)3− 6a

V 4= 0

Teilt man jetzt die beiden Gleichungen nach dem Umstellen durcheinander, so erhältman:

2

V − b=

3

V=⇒ VC = 3b

Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, so erhalten wir:

TC =8a

27Rb

90

und schließlich in die Gleichung für p:

pC =a

27b2

Wird jetzt a größer, so steigt der Binnendruck und damit die Wechselwirkungskräftezwischen den Molekülen. Somit wird die zu überwindende potentielle Energie größer=⇒ es ist eine höhere Temperatur erforderlich, um diese Schwelle zu erreichen. Steigthingegen b an, so haben die Moleküle weniger ”Platz” und einen höheren Wechsel-wirkungsquerschnitt. Somit führt eine Erhöhung der Temperatur schneller zu einerÜberwindung der potentiellen Energie. TC sinkt.

(c) Wir setzen einfach ein:

p =a

27b2p V = 3bV T =

8a

27RbT

und erhalten: (p

1

27

a

b2+

a

V 29b2

)·(

3bV − b)

= 0

und schließlich: (p+

3

V 2

)·(

3V − 1)

= 0

91

13. Übung

92



Wenn Licht der Wellenlänge λ = 550 nm auf die Netzhaut eines menschlichen Auges fällt, wird es noch wahrgenommen, wenn die Leistung P = 1,8⋅10-18 W beträgt. Wie vielen Photonen pro Sekunde entspricht diese Leistung?


Ein Photon der Wellenlänge λ1 = 0,2 nm stößt mit einem ruhenden, freien Elektron. Das Photon wird um 180° gestreut und besitzt nach der Streuung die Wellenlänge λ2. (Rechnen Sie nicht relativistisch.)

a) Berechnen Sie den Impuls p2 des Elektrons und seine kinetische Energie W2 nach dem Stoß.

b) Wie groß ist die Wellenlänge λ2 des Photons nach dem Stoß?

Zahlenwerte: me = 9,1⋅10-31 kg, h = 6,6262⋅10-34 Js Aufgabe 60: (2,5 + 2,5 = 5 Punkte)

Eine sehr große, kugelförmige Raumstation mit dem Radius R soll auf einer festen Position zwischen Erde und Mond installiert werden. Die Oberfläche der Station soll ähnlich wie die der Erde 30% der einfallenden Sonnenstrahlung reflektieren und sei aufgrund der Rotation gleichmäßig temperiert. Zeigen Sie, dass sich im Gleichgewicht mit der Sonnenstrahlung die Oberflächentemperatur der Station zu etwa T0 = -17°C einstellt.

In einem zweiten Schritt soll die Station mit einer künstlichen Atmosphäre versehen werden, welche durch eine sphärische Glashülle geschützt wird. Die Atmosphäre sei mit der Station im Temperaturgleichgewicht (bis zum inneren Rand der Glashülle), ihre Höhe im Vergleich zu R vernachlässigbar klein. Das Glas der Hülle ist für das Sonnenlicht transparent, für die Temperaturstrahlung der Station dagegen völlig undurch-lässig. Welche Dicke d muss für die Glashülle gewählt werden, damit die Temperatur der Station ange-nehme T1 = 20°C annimmt?

Hinweis: Betrachten Sie die Bilanz der Strahlungs- und Wärmeflüsse.

Zahlenwerte: Temperatur der Sonne Ts = 5800 K, Sonnenradius Rs = 695,3⋅106 m, Abstand Sonne-Erde (≈ Abstand Sonne-Station) D = 149,6⋅109 m, Wärmeleitfähigkeit des Glases κ = 0,5 W/(K⋅m), Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5,67⋅10-8 W/(m2

⋅K4) Aufgabe 61: (2 + 1 = 3 Punkte)

a) Berechnen Sie den Druck, die Temperatur und die Dichte von Wasser am kritischen Punkt. Verwenden Sie dazu die Formeln, die sie aus der van der Waals-Gleichung in Aufgabe 57 hergeleitet haben, und die Zahlenwerte a = 0,559 Nm4/mol2 und b = 3,08⋅10-5 m3/mol.

b) Bei einer Temperatur von 374°C und einer Dichte von ρ = 0,195 g/cm3 erreicht Wasser den kritischen Druck von pkrit = 218 bar. Wie groß wäre der Druck, wenn sich Wasser wie ein ideales Gas verhalten würde?

Zahlenwerte: R = 8,3 J/(mol⋅K), mH = 1 g/mol, mO = 16 g/mol

Aufgabe 62: (1 + 1 + 2 = 4 Punkte)

Der Dampfdruck p von Wasser wird durch p(T) = p0 ⋅ exp(-QV/RT) beschrieben, wobei die Verdampfungswärme von Wasser QV = 2,25⋅106 Ws/kg beträgt.

a) Bestimmen Sie den Zahlenwert von p0.

b) In einem Dampfkochtopf wird gemäß der Gebrauchsanweisung die ganze Luft durch Wasserdampf verdrängt und dann erst der Topf verschlossen. Welche Temperatur Tx herrscht im Topf bei einem Überdruck von 1 bar?

c) Wie groß ist der Überdruck bei der Temperatur Tx, wenn der Dampfkochtopf bereits bei Zimmer-temperatur T0 = 293 K fest verschlossen und dann erwärmt wurde? Der Partialdruck von Luft kann dafür aus der idealen Gasgleichung entnommen werden.

Die Anmeldung zur Vorleistung in QISPOS ist nur noch bis zum 2.02.2012 möglich! Die Anmeldung zur Klausur wird ab dem 7.02.2012 möglich sein. Bitte beachten Sie dazu das Merkblatt zur Klausur im ILIAS und als Aushang im Foyer des Physikhochhauses.

58. Aufgabe: Photonen auf Netzhaut

N =E

Ep=P · 1sh cλ

≈ 4.984

59. Aufgabe: Falsche Compton-Strahlung

Vor dem Stoß Hat das Photon

Ep =hc

λ1

pp =h

λ1

und das ElektronEe = 0 pe = 0

Nach dem Stoß Hat das Photon

E ′p =hc

λ2

p′p = − h

λ2

und das ElektronE ′e =

1

2mev

2 p′e = mev

Nun gilt Impuls- und Energieerhaltung und damit folgt:

hc

λ1

=hc

λ2

+1

2mv2 h

λ1

= − h

λ2

+mev

Umgestellt und eingesetzt erhalten wir

v1/2 = −c±√c2 +

4hc

mλ1

Man erhält dann

pe = 6.55 · 10−24 kg m/s We = 2.36 · 10−12 J = 147.3 eV

und für die neue Wellenlängeλ2 = 0.2049 nm

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60. Aufgabe: Raumstation

Wir betrachten einerseits die reflektierte Strahlung (30 %) und die Wärmestrahlung derStation. Die Leistung der Sonne ist

PS = σAT 4

Die Raumstation bekommt davon jedoch nur einen Bruchteil ab, der gegeben ist aus demVerhältnis dem Raumwinkel (oder der Fläche der ganzen Sonnenstrahlung gegenüber derRaumstation), also

PRS = σ4πR2ST

4S

πR2

4πD2

mit RS dem Sonnenradius, D dem Abstand Sonne-Raumstation und und R dem Radiusder Raumstation. Die Raumstation strahlt die Leistung

PR = σ4πR2T 4

ab. Deshalb muss im Strahlungsgleichgewicht gelten:

0.7PRS = PR =⇒ T ≈ −17

Betrachten wir jetzt eine Glaskuppel um die Raumstation, so hat diese Außen wieder -17Grad un innen soll sie 20 Grad haben. Die Schicht ist d dick und hat den Wärmeleitungsko-effizienten κ. Also muss

κ4πR2

d(T1 − T0) = σ4πR2T 4

0 =⇒ d = 7.6 cm

mitT0 = −17 T1 = 20

Im Strahlungsgleichgewicht gilt also

61. Aufgabe: Kritischer Druck

(a) Wir hatten in der letzten Aufgabe schon die Formeln berechnet. Wir setzen ein underhalten:

pk = 218 bar Tk = 374 Vk = 9.24 · 10−5 m3/mol

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Die Dichte ist dannρk = 194 kg/m3

(b) Beim idealen Gas wäre der Druck

pk = 582 bar

also vollkommen falsch :-)

62. Aufgabe: Dampfkochtopf

(a) Achtung: Verwende hier mit mH20 = 18 gmol

Qv = 2.25kJ

g= 40.5

kJ

mol

Es ergibt sich dannp0 = 4.75 · 1010 Pa

(b)p(Tx) = 2 · 105 Pa =⇒ Tx = 393.5 K = 120.5 C

(c) Es ist der Gesamtdruck gegeben durch

pg = pL + pW

Der Partialdruck der Luft folgt aus der idealen Gasgleichung zu

pL = pL(T0)TXT0

= 1.345 bar

Der Partialdruck des Wasserdampfes ergibt sich (wie in der Aufgabe vorher) wiedermit 2 bar. Also insgesamt

pg = 3.345 bar

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Experimentelle Physik III · Experimentelle Physik III Lösungen der Übungsblätter KIT - Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2011/12 Mitschriebe ausgearbeitet von