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Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, [email protected]
http://www.ufrgs.br/~viali/
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Experiência para o qual o modelo
probabilístico é adequado.
Experimento Aleatório
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E1: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras;
E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas;
Exemplos
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E3: Uma lâmpada nova é ligada e conta-se o tempo gasto até queimar;
E4: Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários;
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E5: Jogam-se dois dados e observa-se o par de valores obtido;
E6: Jogam-se dois dados e observa-se a soma dos pontos obtido;
22
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É o conjunto de todos os resultados
possíveis de uma experiência aleatória.
Espaço Amostra(l)
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S1 = {0, 1, 2, 3, 4}
S2 = { cccc, ccck, cckc, ckcc,kccc, cckk, kkcc, ckkc,kcck, ckck, kckc, kkkc,kkck, kckk, ckkk, kkkk}
Exemplos
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S3 = { t ∈ R / t ≥ 0 }
S4 = { 1, 2, 3, ... }
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S5 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
S6 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
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Um evento é um
subconjunto de um espaço amostra.
Eventos
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Seja S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }o espaço amostra, obtido no lançamento de um dado.
Então são eventos:
A = { 1, 3, 5} B = { 6 }
C = { 4, 5, 6} D = ∅ E = S
Exemplo:
33
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Seja E um experimento com
espaço amostra associado S. Diremos
que o evento A ocorre se realizado E o
resultado é um elemento de A.
Ocorrência de um Evento
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Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre.
Combinação de Eventos
A∪B
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Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A produto B, A vezes B ou A interseçãoB, se e só se A ocorre e B ocorre.
A∩B
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Sejam A e B eventos de um espaço
S. Diremos que ocorre o evento: A
menos B, A diferença B, se e só se A
ocorre e B não ocorre.
A - B
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Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: Complementar de A (não A) se e só se
A não ocorre.
A’ = AC = A
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Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos.
Eventos mutuamente excludentes
44
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♣♣ Clássico
♥♥ Freqüencial
♠♠ Axiomático
Conceitos de Probabilidade
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Número de casos favoráveisP(A) = -----------------------------------
Número de casos possíveis
Clássico
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Qual a probabilidade de ganhar
na Mega Sena com um cartão de seis
dezenas?
Exemplo:
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Casos favoráveis = 1
Casos possíveis:
860 063 50 660
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Solução:
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%000002,050063860
1
6601
possíveis de Númerofavoráveis de Número
Sena) P(Mega
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
==
=
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Número de vezes que A ocorrefrA = ------------------------------------------
Número de vezes que E é repetido
Freqüência Relativa
55
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Um dado é lançado 120 vezes e
apresenta “FACE SEIS” 18 vezes.
Então, a freqüência relativa de
“FACE SEIS” é:
Exemplo:
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%1515,012018
jogado é dado o que vezesde númeroocorre f_seis"" que vezesde número
fr6
===
=
=
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P(A) = lim frAn → ∞
Conceito Freqüencial
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P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades:
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1 (3) P(AUB) = P(A) + P(B)
se A∩B = ∅
Conceito Axiomático
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(1) P(∅) = 0
(2) P( ) = 1 - P(A)
(3) P(A - B) = P(A) - P(A∩B)
(4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
A
Conseqüências dos Axiomas
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Considere uma urna com 50 fichas,
onde 40 são pretas e 10 são brancas.
Motivação
Probabilidade Condicionada
66
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Suponha que desta urna são retiradas “duas” fichas, ao acaso e sem reposição:
Sejam os eventos:
A = { a primeira ficha é branca}
B = { a segunda ficha é branca}
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Então: P(A) = 10/50 = 0,20 = 20%
P(B) = ?/49Neste caso, não se pode avaliar
P(B), pois para isto é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada.
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Nesse caso, pode-se calcular P(B/A), isto é, a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu, ou a probabilidade de B condicionada a ocorrência de A. Essa probabilidade vale, então: P(B/A) = 9/49, pois se A ocorreu então existem 9 bolas brancas na urna, de um total de 49.
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Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é:
Independência
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Se: (1) P(A/B) = P(A) ou
(2) P(B/A) = P(B) ou ainda
(3) P(A∩B) = P(A).P(B)
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KKK
CKK
KKC
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
0
1
2
3
Sℜ
Xs
)S(X
)s(Xx =
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Uma função X que associa a cada
elemento de S (s ∈ S) um número real
x = X(s) é denominada variável
aleatória.
Variável Aleatória
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O conjunto formado por todos os
valores “x”, isto é, a imagem da
variável aleatória X, é denominado de
conjunto de valores de X.
X(S) = { x ∈ ℜ / X(s) = x }
Conjunto de Valores
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Conforme o conjunto de valores
– X(S) – uma variável aleatória
poderá ser discreta ou contínua.
Tipos de Variável Aleatória
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Se o conjunto de valores for finito
ou então infinito enumerável (contável)
a variável é dita discreta.
Variável Aleatória Discreta (VAD)
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Se o conjunto de valores for
infinito não enumerável então a
variável é dita contínua.
Variável Aleatória Contínua (VAC)
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A função de probabilidade (fp) de
uma VAD é a função que associa a cada
xi ∈ X(S) o número f(xi) = P(X = xi)
que satisfaz as seguintes propriedades:
f(xi) ≥ 0, para todo “i”
∑f(xi) = 1
A função de Probabilidade (fp)
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A coleção dos pares [xi, f(xi)]
para i = 1, 2, 3, ... é denominada de
distribuição de probabilidade da
VAD X.
A Distribuição de Probabilidade
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Suponha que uma moeda
equilibrada é lançada três vezes. Seja
X = “número de caras”. Então a
distribuição de probabilidade de X é:
Exemplo:
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KKK
CKK
KKC
KCKCCK
CKC
KCC
CCC
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
Sℜx
X
]1;0[)x(f
f
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uma tabela
uma expressão analítica (fórmula)
um diagrama
Através de:
Representação de uma Distribuição de Probabilidade
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Seja X = “número de caras”, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado.
1/1641Σ
4/1636/1624/1611/160f(x)x
Tabela
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Considere X = “soma do par”, no lançamento de dois dados equilibrados, então:
f : X(S) → ℜx → (x - 1)/36 se x ≤ 7
(12 - x +1)/36 se x > 7
Expressão Analítica
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0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Diagrama
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(a) Expectância, valor esperado
(b) Desvio padrão
∑∑ ====μ )xX(P.x )x(f.x)X(E
∑ μ∑ μ− −==σ 222 )x(f)x(f x)x(
Caracterização de uma VAD
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Calcular o valor esperado e a
variabilidade da variável X = “número
de caras” no lançamento de quatro
moedas honestas.
Exemplo:
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11/164/166/164/161/16f(x)
32/164/1612/1612/164/16
0x.f(x)
80/1616/1636/1624/164/16
0x2f(x)
4Σ
3210x
Cálculos
1010
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caras 21632
)x(f.x)X(E =∑ ===μ
(a) Expectância ou valor esperado
(b) Desvio padrão
14521680)x(fx 222 =−=−=∑ μ−=σ
Resultados:
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Quando existem apenas duas situações: A ocorre ou A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q = 1 – p.
A VAD definida por X = “número de vezes que A ocorreu nas ‘n’repetições de E” é denominada BINOMIAL.
Experimento:
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X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}
A Função de Probabilidade (fp)
Conjunto de Valores
qpx
n)xX(P)x(f xnx −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
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0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
A função de probabilidade
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Expectância ou Valor Esperado
np qpx
n.x )x(f.x )X(E xnx∑ =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑ == −
Variância
Características:
npq)p1(npnppn
)np(npp)1n(n
E(X)-)X(E)X(V
2
22
22
=−=+−=
=−+−
==
1111
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Suponha que uma amostra de 10
pessoas é entrevistada (com reposição) para saber se comprariam um determinado produto que tem uma aceitação de 10%. Seja X = “o número de pessoas na amostra que compraria o produto”. Determine a distribuição de X.
Exemplo:
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Como se tratam de 10 pessoas a variável X é Binomial com p =10%, assim a distribuição é:
10 ..., 2, 1, 0, x para
.x
10 )xX(P)x(f )9,0()1,0( x10x
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== −
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Seja X uma variável aleatória com
conjunto de valores X(S). Se o
conjunto de valores for infinito não
enumerável então a variável é dita
contínua.
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É a função que associa a cadax ∈ X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:
f(x) ≥ 0
∫ dx).x(f
A função densidade de probabilidade
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A coleção dos pares
(x, f(x)) é denominada de distribuição
de probabilidade da VAC X.
A distribuição de probabilidade
1212
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Seja X uma VAC. Determine o valor de “c” para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp).
c. c.
x se x.c)x(f
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤−
=0
112
Exemplo:
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Para determinar o valor de “c”,
devemos igualar a área total a um, isto é,
devemos fazer:
1 f(x)dx 11-∫ =
1 dx c.11-
2x∫ =
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Tem-se:
231
32
=⇒==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∫ =∫ =
cc
31-
31c
3xc
dx xc dx xc.
333 1
1-
1
1-
11-
211-
2
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0,0
0,5
1,0
1,5
-1,5 -1,3 -1,0 -0,8 -0,5 -0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5
2
)x(f x3 2=
1X-1 ≤≤
Graficamente:
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∫=<< b
a dx)x(f)bXa(P
a b x
y
bXa <<
Cálculo da Probabilidade
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Isto é, a probabilidade de que X
assuma valores entre os números “a” e
“b” é a área sob o gráfico de f(x) entre
os pontos x = a e x = b.
∫=<< b
adx)x(f)bXa(P
1313
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0dx)x(f)aX(P aa === ∫
)bXa(P)bXa(P
)bXa(P)bXa(P
≤≤=≤<=
=<≤=<<
Se X é uma VAC, então:
Observações:
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Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5].
c. c. 0
1 x 1 se 2x3
)x(f
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤−
=
Exemplo:
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A probabilidade solicitada é dada pela integral da função no intervalo, isto é:
%50,12][21
23
dx 23
dx 2
3)5,0X5,0(P
(-0,5)(0,5)
3xx
x
33
0,5
05-
0,5
0,5-2
0,5
0,5-
2
3
=−=
===
==<<−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫
∫
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(a) Expectância, valor esperado
(b) Desvio padrão
∫==μ dx)x(f.x)X(E
∫ μ∫ μ− −==σ 222 dx)x(fdx)x(f x)x(
Características:
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Determinar a expectância e o desvio padrão da variável X dada por:
c. c. 0
1 x 1 se 2x3
)x(f
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤−
=
Exemplo:
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023
23
23
dx2
3dx.
23
.x
x.f(x)dx )X(E
41
41
41-
41
4x
xx
1
1-
1
1-
1
1-
1
1-
31
1-
2
11-
444
==
===
===
===μ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∫∫
∫
A Expectância
1414
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60,053
51
51
23
23
23
dx 23 dx
23.)(E
)(E
51-
51
5x
xxxX
)X(EX
555 1
1-
1
1-
1
1-41
1-
222
22
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
===
===
−=σ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∫∫
O Desvio Padrão
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O desvio padrão de X será, então:
77,0060,0
)(E )X(EX 22
=−=
=−=σ
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É a função F(x) definida por:
∫ ∞−=≤= x du)u(f)xX(P)x(F
A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico “x”.
A Função de Distribuição (Acumulada)
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Considerando a função abaixo como
a fdp de uma VAC X, determinar F(x).
c. c. 0
1 x 1 se 2x3
)x(f
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤−
=
Exemplo:
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A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma:
1 x se 1
1 x 1 se du2
31- x se 0
)x(F x
1
2u
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤≤−
<
= ∫−
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Vamos determinar o valor da integral em “u”:
21
21
23
du23 du
23)x(F
x]u[3u
uu
3x
1
x
1
x1
2x2
33 +
===
===
−
−
−∞−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∫∫
1515
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Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é:
1 x se
x se x
1- x se 0
)x(F3
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤≤−+
<
=
1
112
1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
2
1)x(F x3 +=
Gráfico:
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O uso da FDA é bastante prático
no cálculo das probabilidades, pois não
é necessário integrar, já que ela é uma
função Integral.
Cálculo de Probabilidade com a FDA
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Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis:
)(F)(F)X(P)x(F1)xX(P
)x(F)xX(P
xxxx 1221 −=<<−=>
=≤
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Normal (Gauss-Moivre-Laplace)
t (Student)
χ2 (Qui-quadrado)
F (Snedecor - Fisher)
1616
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0 e - com
x,e..2
1)x(f2x.
21
>σ∞<μ<∞
ℜ∈σπ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−−
Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo:
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
N(0; 1)
N(0; 0,5)
N(0; 2)
N(2; 1)
Gráficos:
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?due..2
1)xX(P xu.
21 2
=σπ
=≤ ∫ ∞−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−
−
A normal não é integrável através do
TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), isto é, não existe F(x) tal que F’(x) = f(x).
Cálculo da Probabilidade:
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Utilizar integração numérica. Como
não é possível fazer isto com todas as
curvas, escolheu-se uma para ser
tabelada (integrada numericamente).
Solução:
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σμ−
=X
Z
A curva escolhida é a N(0, 1), isto é, com μ = 0 e σ = 1. Se X é uma N(μ, σ), então:
Será uma N(0; 1).
A Normal Padrão
1717
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ℜ∈π
=ϕ−
z ,e.21)z(
.2
z2
A fdp da variável Z é dada por:
uma vez que μ = 0 e σ = 1.
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
A Distribuição N(0, 1)
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O que é tabelado ou obtido na Planilha é a FDA da variável Z, isto é:
)z(F)z( due.21
du)u()zZ(P
z-
.2
z-
u2
=Φ=π
=
=ϕ=≤
∫
∫
∞
−
∞
Tabelas ou Planilhas:
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
z
)z(Φ
FDA da N(0; 1)
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direta Leitura)z( z) P(Z =Φ=≤
)z()z(-1z) P(Z-1 z) P(Z −Φ=Φ=≤=>
)()( ) ZP( zzzz 1221 Φ−Φ=<<
Área à esquerda (abaixo) de “z”
Área à direita (acima) de “z”
Área entre dois valores de “z”
Utilização da Tabela (Planilha)
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PlanilhaÉ possível
fornecer um valor padronizado “z”.
Ou um valor não padronizado “x”. Nesse caso, a planilha padroniza o valor fornecido.
1818
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Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar:
(a) P(X ≤ 40)
(b) P(X > 65)
(c) P(45 < X < 62)
Exemplo:
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%56,10)25,1Z(P
)8
5040X(P)40X(P
=−≤=
=−
≤σ
μ−=≤
(a) P(X ≤ 40)
(b) P(X > 65)
%01,3)88,1()88,1(1)88,1Z(P1)88,1Z(P
)8
5065X(P)65X(P
=−Φ=Φ−==<−=>=
=−>σ
μ−=>
Como a curva ésimétrica, tem-se:
)z(1)z( Φ−=−Φ
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%56,66%76,26%32,93)62,0()50,1()50,1Z62,0(P
)8
5062X8
5045(P
)62X45(P
=−==−Φ−Φ==<<−=
=−
<σ
μ−<
−=
=<<
(c) P(45 < X < 62)
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Uma VAC tem distribuição normal
de média 50 e desvio padrão 8.
Determinar:
(a) P(X ≤ x) = 5%
(b) P(X > x) = 1%
A função Inversa
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Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na Planilha. Só que agora devemos entrar com uma probabilidade para obter um valor de “z” ou “x”. Lembrar que a planilha sófornece áreas (valores) à esquerda.
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PlanilhaNesse caso, é
fornecido uma área, por exemplo, 99%.
Nesse caso, a planilha faz a mudança de z para x, Acima fornece z, abaixo x.
1919
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P(X ≤ x) = 5%
Graficamente, tem-se:
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
26 34 42 50 58 66 74
5%
xProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
850xz onde
%5)z()zZ(P
)8
50xX(P)xX(P
−=
=Φ=≤=
=−
≤σ
μ−=≤
Em (a) temos P(X ≤ x) = 5%:
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Inversa Função )05,0(z%)5()]z([
então%,5)z( Se
1
11
⇒==Φ
=Φ
Φ
ΦΦ−
−−
Obtendo na planilha, o valor (z) que
corresponde a uma área à esquerda de
5% = 0,05, tem-se: z = -1,645.Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
84,368.645,150x8
50xz645,1
:setem ,8
50xz Como
=−=
⇒−
==−
−−
=
Assim:
Poderia ter sido utilizado a função INV.NORM(5%, 50; 8 ) que forneceria o valor de x = 36,84 diretamente.
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Em (b) temos P(X > x) = 1%.Nesse caso, basta entrar com uma área
de 99%, lembre-se, a planilha e a tabela, só fornecem a área à esquerda:
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0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
26 34 42 50 58 66 740,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
1%
x
P(X > x) = 1%
Entra com a área(branca) de 99%.
2020
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x para
2.
12
1
)x(f
21
2x
ℜ∈
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ υ
Γπυ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
υ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +υ
Γ
=
+υ−
Uma variável aleatória X tem uma distribuição “t” ou de Student se sua fdp for do tipo:
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A função Γ é a uma generalização da função fatorial e poderá ser obtida com o recurso da planilha. No entanto, será necessário obter apenas valores da t e áreas que a planilha fornece sem a necessidade de utilizarmos essa fórmula.
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0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
fdp det(1)t(5)
t(25)
Gráficos:
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0)X(E ==μ
2-
= Var(X)υ
υ
Expectância ou Valor esperado:
Variância:
O valor υ é denominado de “Grau de liberdade”
Caracterização:
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O que é tabelado é a função inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) de cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor “t” tal que P(Τ ≥ t) = α (unilateral) ou P(|T| ≥ t) = α
(Bilateral).
2121
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As duas opções podem ser colocadas em uma mesma tabela. Pode-se ler uma área (α) de cima para baixo e se ter um valor unilateral (P(T ≥ t) = α) ou ler a área (α) de baixo para cima e se ter um valor “t” tal que P(T ≥ t) = α/2.
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Na planilha, entrando com o valor 2, por exemplo, e um grau de liberdade (gl) de 30 obtém-se a área de 5,46%, soma das duas caudas. Se caudas for = 1 a resposta seria 2,73%.
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Na planilha, entrando com uma área de 5% e um gl de 30 a resposta é 2,04, isto é, P(-2,04 < T < 2,04) = 95%.
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Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo:
0 x se 0
0 x se
22
ex
)x(f 2
2x1
2
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤
>
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ υΓ=
υ
−−υ
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υ==μ )X(E
2 = Var(X)2 υ=σ
Expectância ou Valor esperado
Variância
O valor υ é denominado de“Grau de liberdade”
2222
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
χ2(1)
χ2(2)
χ2(3)
χ2(5)
χ2(5)
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O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor “x” tal queP(χ2 ≥ x) = α
0,995 0,990 0,975 0,950 0,9001 0,000 0,000 0,001 0,004 0,0162 0,010 0,020 0,051 0,103 0,2113 0,072 0,115 0,216 0,352 0,5844 0,207 0,297 0,484 0,711 1,0645 0,412 0,554 0,831 1,145 1,6106 0,676 0,872 1,237 1,635 2,2047 0,989 1,239 1,690 2,167 2,8338 1,344 1,647 2,180 2,733 3,4909 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168
10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865
P[χ2(2) ≥ 0,211] = 90%
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Se formos calcular P[χ2(1) > 4], teríamos com o uso da planilha: 4,55%. A função direta fornece a área à direita nesse caso, ao contrário, da normal que é àesquerda.
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Se fosse solicitado P[χ2(1) > x] = 5%, então, utilizando a função inversa, teríamos o valor de x = 3,84, isto é, P[χ2(1) > 3,84] = 5%.
2323
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Uma variável aleatória X tem uma distribuição “F” ou de Snedecor se sua fdp for do tipo:
( )
0 x se 0
0 x se
2n
2m
mxnxnm2
nm
)x(f
2nm1
2m
2n
2m
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤
>⎟⎠⎞⎜
⎝⎛Γ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛Γ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ
=
+−−
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Expectância ou Valor esperado
Variância
2mm)X(E−
==μ
)4 - )(n2 - m(n)2 - n(m2 = Var(X) m2
2 +=σ
m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador.
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 3 6 9 12 15
F(1, 3)F(2, 5)F(5, 10)F(20, 20)
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O que é tabelado é a percentil 95% ou
99% - área à direita de cada curva (uma para
cada par de valores – numerador,
denominador) igual a 5% e 1%, isto é, “x”tal que P[F(m, n) ≥ x] = 5% ou
P[F(m, n) ≥ x] = 1%.
1 2 3 4 5 6 71 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,772 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,353 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,894 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,095 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,886 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,217 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,798 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,509 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,2910 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,1411 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,0112 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91
P[F(5,7) ≥ 3,97] = 5%
1 2 3 4 5 6 71 4052,18 4999,34 5403,53 5624,26 5763,96 5858,95 5928,332 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,363 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,674 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,985 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,466 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,267 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,998 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,189 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,2011 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,8912 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64
P[F(5, 7)≥ 7,46] = 1%
2424
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Se formos calcular P[F(1, 2) > 4], teríamos com o uso da planilha: 18,35%. A função direta fornece, nesse caso, também a área à direita.
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Se fosse solicitado P[F(1, 2) > x] = 18,35%, então, utilizando a função inversa, teríamos o valor de x = 4, isto é, P[F(1, 2) > 4] = 18,35%.
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Pafnut(i/y) Lvovic(h) Tchebycheff(Tchebichev ou Chebyshev) (1821 –1894)
P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k2
ou
P(|X - μ| < kσ) ≥ 1 - 1/k2
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Esta desigualdade fornece a probabilidade de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simétrico em torno da média de amplitude igual a “k”desvios padrões.
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Assim se k = 2, por exemplo, a desigualdade estabelece que o percentual de valores da variável aleatória que está compreendida no intervalo μ ± 2σ é de pelo menos1 - 1/4 = 75%.
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|X - μ| < 2σ
1 - 1/4 = 75%.