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Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria. La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio Ejemplos: En un dado, E={1,2,3,4,5,6} En una moneda, E={C,+} Ejercicio 1-1: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a. Lanzar tres monedas. b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. Solución: a. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral: Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

Experimentos aleatorios Probabilidad

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Experimentos de Probabilidad

Text of Experimentos aleatorios Probabilidad

  • Experimentos aleatorios. Espacio muestral.

    Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura,

    velocidad, etc., sabremos con seguridad dnde caer, cunto tiempo tardar, etc. Es una experiencia

    determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qu cara quedar arriba. El resultado

    depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

    La vida cotidiana est plagada de sucesos aleatorios. Muchos

    de ellos, de tipo sociolgico (viajes, accidentes, nmero de

    personas que acudirn a un gran almacn o que se

    matricularn en una carrera...) aunque son suma de muchas

    decisiones individuales, pueden ser

    estudiados, muy ventajosamente,

    como aleatorios.

    A la coleccin de resultados que se

    obtiene en los experimentos aleatorios

    se le llama espacio

    Ejemplos: En un dado, E={1,2,3,4,5,6}

    En una moneda, E={C,+}

    Ejercicio 1-1: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

    a. Lanzar tres monedas. b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c. Extraccin de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d. El tiempo, con relacin a la lluvia, que har durante tres das consecutivos.

    Solucin:

    a. Llamando C a obtener cara y X a la obtencin de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:

    Experimentos o fenmenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser

    previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observado en la realizacin del experimento.

    Suceso aleatorio es un acontecimiento

    que ocurrir o no, dependiendo del azar.

    Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles

    resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo

    designaremos por E.

  • E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}

    b. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

    c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

    E={BB,BN,NN}

    d. Si llamamos L al da lluvioso y N al da sin lluvia, para tres das consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

    E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

    Sucesos. Operaciones con sucesos.

    2.1. Sucesos.

    En el Ejercicio 1.1 del captulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

    E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

    Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:

    Salir mltiplo de 5: A={5,10,15}

    Salir nmero primo: C={2,3,5,7,11,13,17}

    Salir mayor o igual que 12: D={12,13,14,15,16,17,18}

    Todos estos subconjuntos del

    espacio muestral E los

    llamamos sucesos.

    Los elementos de E se llaman

    sucesos individuales o sucesos

    elementales.

    Tambin son sucesos el suceso vaco o suceso imposible , , y el propio E, suceso seguro.

    Suceso de un fenmeno o experimento aleatorio es cada uno de

    los subconjuntos del espacio muestral E.

  • Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.

    Si E tiene un nmero finito, n, de elementos, el nmero de sucesos de E es 2n.

    Ejemplos:

    {1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. En un dado hay 26 = 64 sucesos. En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: , {C},{+}, {C,+}

    Es decir, S={,{C},{+},{C,+}}

    Operaciones con sucesos.

    Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

    Unin

    es el suceso formado por todos los elementos

    de A y todos los elementos de B.

    Interseccin

    es el suceso formado por todos los elementos que

    son, a la vez, de A y de B.

    Diferencia

    es el suceso formado por todos los elementos

    de A que no son de B.

    Suceso

    contrario

    El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.

  • Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningn elemento comn. Es decir,

    cuando = (A y B son disjuntos)

    Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el

    resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5,

    se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E.

    De manera anloga, decimos que:

    El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.

    El suceso se verivica cuando se verifican simultneamente A y B.

    El suceso , contrario de A, se verifica cuando no se verifica A. Dos sucesos incompatibles no se verifican simultneamente.

    Ejemplo:

    En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

    A = "sacar un nmero par". B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 5".

    C = {4,6} = "obtener un 4 un 6". D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 6".

    F = {1,3} = "obtener un 1 un 3". G = "obtener un mltiplo de 3".

    o A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.

    o C est contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un nmero par.

    o B y C son incompatibles, ya que B C = y complementarios, al cumplirse B C = E.

    o = "sacar un nmero par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E. o A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso interseccin de los sucesos "sacar un nmero

    par" y "obtener un mltiplo de tres" es "sacar un 6".

    o B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un nmero impar" = .

  • o C y F son incompatibles puesto que C F = .

    Las operacones unin, interseccin y complementacin (contrario) verifican las propiedades:

    Unin Interseccin

    1. Conmutativa

    2. Asociativa

    3. Idempotente

    4. Simplificacin

    5. Distributiva

    6. Elemento neutro

    7. Absorcin

    A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina lgebras de

    Boole.

    En el lgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De

    Morgan:

    El suceso contrario de la unin de dos sucesos es la interseccin de sus sucesos contrarios:

    El suceso contrario de la interseccin de dos sucesos es la unin de sus sucesos contrarios:

  • Ejercicio 2.1-2: Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste

    en sacar una bola de la urna, anotar el nmero y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes

    sucesos: A="salir un nmero primo" y B="salir un nmero cuadrado". Responde a las cuestiones

    siguientes:

    a. Calcula los sucesos y . b. Los sucesos A y B, son compatibles o incompatibles?. c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

    Solucin:

    Los sucesos A y B estn formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuacin:

    A = {2,3,5,7}

    B = {1,4,9}

    A partir de estos conjuntos, tenemos:

    1. La unin e interseccin de A y B son:

    = {1,2,3,4,5,7,9}

    =

    2. Al ser = , los sucesos A y B son incompatibles.

    3. El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9}

    El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}

    Definicin de Probabilidad. Propiedades.

    3.1. Definicin de Probabilidad.

    Definicin de Probabilidad.

    Probabilidad de un suceso es el nmero al que

  • Un experimento aleatorio se caracteriza

    porque repetido muchas veces y en

    idnticas condiciones el cociente entre el

    nmero de veces que aparece un

    resultado (suceso) y el nmero total de

    veces que se realiza el experimento tiende a un nmero fijo. Esta propiedad es conocida

    como ley de los grandes nmeros, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente

    de variar la sucesin de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien

    el valor al que se aproximan a medida que el nmero de realizaciones aumenta se mantiene

    estable.

    La frecuencia relativa del suceso A:

    Propiedades de la frecuencia relativa:

    1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.

    2. fr( ) = fr(A) + fr(B) si = . 3. fr(E) = 1 fr() = 0.

    Esta definicin presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran nmero de veces y adems siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.

    Definicin axiomtica.

    La definicin axiomtica de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consider la relacin

    entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el nmero de veces que se realiza el experimento es muy grande.

    Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de

    cada suceso es un nmero que verifica:

    1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0.

    2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unin es igual a la suma de sus probabilidades.

    = P( ) = P(A) + P(B).

    3. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.

    tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a

    medida que el nmero de veces que se realiza el

    experimento crece.

  • Definicin de Laplace.

    En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean

    equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el nmero

    de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el nmero de resultados

    posibles del experimento.

    Ejemplo:

    Consideremos el experimento "lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado".

    El espacio muestral es E = {1,X,2}.

    Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:

    P() = 0

    P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3

    P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3

    P({1,X,2}) = P(E) = 1

    3.2. Propiedades.

    1. P( ) = 1 - P( A )

    2. P( ) = 0

    3. Si A B P( B ) = P( A ) + P( )

    4. Si A B P( A ) P( B )

    5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:

  • P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

    6. P( ) = P( A ) + P( B ) - P( )

    7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:

    P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )

    Ejercicio 3.2-1:

    En una baraja de 40 cartas, cul es la probabilidad de AS?, Y de OROS

    Ejercicio 3.2-2: En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes

    probabilidades de ser extradas:

    P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.

    a. Est entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad. b. Cuntas cartas hay?

    Solucin:

    a. P( ni REY ni BASTOS )=P( ) P( REY BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4 P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY BASTOS ) Sustituyendo:

    0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY BASTOS ) P( REY BASTOS ) = 0.05

    Por tanto, el REY de BASTOS est y su probabilidad es:

  • P( REY de BASTOS ) = P( REY BASTOS ) = 0.05 = 1/20

    b. Una porcin de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montn la probabilidad del

    rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.

    Ejercicio 3.2-3: Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los nmeros del 1 al 6. Se pide:

    a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea mltiplo de tres.

    b. Cul es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

    Solucin:

    El espacio muestral del experimento es:

    E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}

    y est formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el nmero de casos

    posibles del experimento.

    Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:

    a. Si llamamos A al suceso "obtener una suma mltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:

    A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.

    Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3

    b. Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:

    B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}.

    Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3

  • Ejercicio 3.2-4:

    En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas

    simultneamente, cul es la probabilidad de que salga una bola de cada color?

    Solucin:

    Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.

    Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe

    tenerse en cuenta, estos casos son:

    Los casos favorables son 15 30 45 = 20 250. stas son las formas de agrupar tres bolas de distinto

    color. La probabilidad pedida es:

    Ejercicio 3.2-5:

    Si escogemos al azar dos nmeros de telfono y observamos la ltima cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:

    a. Que las dos cifras sean iguales. b. Que su suma sea 11. c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13.

    Solucin:

    El espacio muestral de este experimento est formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02,

    03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos

    favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:

    a. Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las ltimas cifras sean iguales es:

    P(ltimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1

    b. Los casos favorables a que la suma de las ltimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto,

  • P(ltimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08

    c. Deben contarse los nmeros de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:

    P(ltimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43

    Ejercicio 3.2-6:

    Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

    a. La suma de los nmeros aparecidos sea menor que 8. b. La suma de los nmeros sea mayor que 4 y menor que 8.

    Solucin:

    Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666.

    Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:

    a.

    b.

    Probabilidad condicionada.

    En el clculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad var en

    funcin del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.

    Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y

    seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extraccin, la probabilidad de

  • extraer, por ejemplo, la bola nmero 3 en la segunda extraccin es la misma que en la primera.

    Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extrada la probabilidad de extraer, por

    ejemplo, la bola nmero 3 en la segunda extraccin depender de la bola extrada en primer lugar.

    Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la

    probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha

    sucedido A.

    De esta igualdad se deduce: P( B A ) = P( B/A ) P( A )

    La frmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:

    P( A B C ) = P( A ) P( B/A ) P( C/A B )

    Esta frmula admite una generalizacin para un nmero cualquiera de sucesos.

    Ejemplo:

    Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener

    un 3 sabiendo que ha salido un nmero impar:

    Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un

    nmero impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A slo 1.

    Ejercicio 4-1: Se lanzan dos dados:

    a. Cul es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, cul es la probabilidad de que en alguno de los dados haya

    salido un tres?

    Solucin:

    Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres".

    a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6

  • b. En este caso, el suceso B/A es salir en algn dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situacin ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3

    Probabilidad condicionada.

    El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del

    suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica

    la probabilidad del otro, decimos que sonindependientes y, si se modifica, decimos que

    son dependientes entre s.

    Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la

    probabilidad del otro, es decir, si

    P( B/A ) = P( B ) P( A/B ) = P( A )

    Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos modifica la

    probabilidad del otro, es decir, si

    P( B/A ) P( B ) P( A/B ) P( A )

    Como consecuencia inmediata de la definicin se tiene:

    Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:

    P( A B ) = P( A ) P( B )

    Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:

    P( A B ) = P( A ) P( B )

    P( A C ) = P( A ) P( C )

    P( B C ) = P( B ) P( C )

    P( A B C ) = P( A ) P( B ) P( C )

  • Ejercicio 5-1:

    Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P(

    )=0.58.

    a. Son independientes A y B?

    b. Si M A, cul es el valor de P( / )?

    Solucin:

    a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) P( B )

    P( ) = P[(A B)c] = 1 - P(A B)

    Por tanto, P(A B) = 1 - P( ) = 1 -0.58 = 0.42

    Por otro lado, P( A ) P( B ) = 0.7 0.6 = 0.42

    Luego, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) P( B ) = 0.42

    b. M A . Por tanto,

    Tablas de contingencia y diagramas de rbol.

    En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta

    interesante y prctico organizar la informacin en una tabla de contingencia o en un diagrama de

    rbol.

    Las tablas de contingencia y los diagramas de rbol estn ntimamente relacionados, dado uno de

    ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fcilmente

    uno de ellos y a partir de l podemos construir el otro, que nos ayudar en la resolucin del

    problema.

    Conversin de una tabla en diagrama de rbol

    Las tablas de contingencia estn referidas a dos caractersticas que presentan cada una dos o

    ms sucesos.

  • En el caso de los sucesos A, ,

    B y , expresados en frecuencias

    absolutas, relativas o probabilidades

    la tabla, adopta la forma adjunta.

    Dicha tabla adopta la forma del diagrama de rbol del dibujo. En ste, a cada uno de los

    sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .

    Sobre las ramas del diagrama de rbol se han anotado las probabilidades condicionadas

    correspondientes, deducidas de las relaciones anlogas a:

    Conversin de un diagrama en tabla de contingencia

    De manera recproca, dado el diagrama de rbol podemos construir la tabla de contingencia

    equivalente si ms que utilizar la expresin

    P( B A ) = P( B/A ) P( A ),

    para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

    A

    TOTAL

    B P( A B ) P( B ) P( B )

    P( A ) P( ) P( )

    TOTAL P( A ) P( ) 1

  • Ejercicio 6-1:

    Un taller sabe que por trmino medio acuden: por la maana 3 automviles con problemas

    elctricos, 8 con problemas mecnicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas

    elctricos, 3 con problemas mecnicos y 1 con problemas de chapa.

    a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecnicos. c. Calcula la probabilidad de que un automvil con problemas elctricos acuda por la maana.

    Solucin:

    En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente,

    pueden verse recogidos los datos del enunciado.

    ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL

    MAANA 3 8 3 14

    TARDE 2 3 1 6

    TOTAL 5 11 4 20

    ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL

    MAANA 0.15 0.40 0.15 0.70

    TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30

    TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00

    Ejercicio 6-2:

    Una compaa de seguros hace una investigacin sobre la cantidad de partes de siniestro

    fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio,

    automvil y "otros", se obtiene la siguiente relacin de datos:

    El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automviles fraudulentos; el 3%

    son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes

    por automvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.

  • a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.

    b. Calcula qu porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cul a la de automviles y cul a "otros". Aade estos datos a la tabla.

    c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. Cul ser, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?

    Solucin:

    a. y b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente:

    INCENDIO AUTOMVIL OTROS TOTAL

    FRAUDULENTOS 6 1 3 10

    NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90

    TOTAL 20 30 50 100

    b.

    c. Es fcil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%.

    La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3

    Probabilidad total.

    Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:

    1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj =

    2. La unin de todos ellos es el suceso seguro,

  • Teorema de la probabilidad total

    Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de

    cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la

    probabilidad del suceso B viene dada por la expresin:

    Ejercicio 7-1:

    Una compaa dedicada al transporte pblico explota tres lneas de una ciudad, de forma que el 60%

    de los autobuses cubre el servicio de la primero lnea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el

    servicio de la tercera lnea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobs se avere es

    del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada lnea. Determina la probabilidad de que, en un da, un

    autobs sufra una avera.

    Solucin:

    El suceso "sufrir una avera" (Av) puede producirse en las tres lneas, (L1,

    L2, L3). Segn el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta

    las probabilidades del diagrama de rbol adjunto, tenemos:

    P(Av) = P(L1) P(Av/L1) + P(L2) P(Av/L2) + P(L3) P(Av/L3) =

    = 0.6 0.02 + 0.3 0.04 + 0.1 0.01 =

    = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

    Ejercicio 7-2:

    Una empresa del ramo de la alimentacin elabora sus productos en cuatro factoras: F1, F2, F3 y F4.

    El porcentaje de produccin total que se fabrica en cada factora es del 40%, 30%, 20% y 10%,

    respectivamente, y adems el porcentaje de envasado incorrecto en cada factora es del 1%, 2%, 7%

    y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. Cul es la probabilidad de que se encuentre

    defectuosamente envasado?

    Llamando M = "el producto est defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede

    proceder de cada una de las cuatro factoras y, por tanto, segn el teorema de la probabilidad total y

    teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de rbol adjunto, tenemos:

  • P(M) = P(F1) P(M/F1) + P(F2) P(M/F2) + P(F3) P(M/F3) + P(F4) P(M/F4) =

    = 0.4 0.01 + 0.3 0.02 + 0.2 0.07 + 0.1 0.04 =

    = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028

    Ejercicio 7-3:

    Se tiene una urna vaca y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola

    blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a

    continuacin, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. Cul es la probabilidad de que en

    la urna queden una bola blanca y otra negra?

    Solucin:

    Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el

    diagrama de rbol pueden verse las configuraciones posibles de las urna,

    despus del lanzamiento de las monedas y las urnas finales, as como las

    probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notacin expresada

    en el diagrama de rbol y segn el teorema de la probabilidad total, se

    obtiene:

    P(BN) = P(BN BBN) + P(BN BNN) = P(BBN) P(BN/BBN) + P(BNN) P(BN/BBN) =

    = 3/8 2/3 + 3/8 2/3 = 1/4 + 1/4 =

    Ejercicio 7-4:

    Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2

    bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas

    blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas

  • blancas y 2 negras. Cul es la probabilidad de extraer bola blanca despus de lanzar las monedas y

    sacar la bola?

    Solucin:

    El diagrama de rbol muestra, primero, las probabilidades

    correspondientes a la eleccin de la urna y, despus, a la extraccin de

    la bola.

    La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando

    por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca.

    P(B) = P(B/UI) P(UI) + P(B/UII) P(UII) + P(B/UIII) P(UIII) =

    = 2/5 1/4 + 4/5 2/4 + 3/5 1/4 = 13/20

    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/8.html