Experimentos con factores aleatorios · Diseño de experimentos – p. 2/36 Introducción Hasta ahora hemos supuesto que los factores de un experimento son factores ﬁjos, esto es,

Diseño de experimentos – p. 1/36

Experimentos con factores aleatorios


Introducción

Hasta ahora hemos supuesto que los factores de unexperimento son factores fijos, esto es, los niveles de losfactores usados en el experimento son los niveles específicosde interés. Esto implica que las inferencias estadísticas que sehagan sobre estos factores están limitadas a estos nivelesespecíficos estudiados.

En algunas situaciones experimentales, los niveles de unfactor se seleccionan al azar de una población grande deposibles niveles, y el investigador quiere tener conclusionesacerca de toda la población de niveles, no solamente de losusados en el experimento.

En esta situación se dice que el factor es aleatorio.


Introducción

Para el caso de un solo factor, el modelo estadístico lineal es:

yij = µ + τi + ǫij

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , n

donde µ es la media general, τi son los efectos aleatorios delfactor, ǫij es el error aleatorio. Se supone que τi y ǫij sonindependientes y que se distribuyen:

ǫij ∼ N(0, σ2)

τi ∼ N(0, σ2τ )

La varianza de cualquier observación es:

V (yij) = σ2τ + σ2

σ2τ y σ2 se llaman componentes de varianza y el modelo se

llama modelo de efectos aleatorios o de componentes devarianza.


Introducción

Ahora lo que nos interesa es probar hipótesis acerca de lacomponente de varianza σ2

τ .

H0 : σ2τ = 0 ⇒ tratamientos iguales

H1 : σ2τ > 0 ⇒ variabilidad entre tratamientos

Se tiene que SSEσ2 ∼ χ2

N−a donde N = na, y bajo la hipótesisnula SStrat

σ2 ∼ χ2a−1, entonces, bajo H0:

Fc =SStrat/a − 1

SSE/N − a=

CMtrat

CME∼ Fa−1,N−a


Tabla de ANOVA

F.V. g.l. SS CM Fc E(CM)

Entre grupos a − 1 SSA CMA CMA/CME σ2 + nσ2τ

Dentro grupos N − t SSE CME σ2

Total N − 1 SStot

Bajo H0, CMtrat = CME = σ̂2.

Si H0 no es cierta, CMtrat > CME, por lo tanto rechazamosH0 para valores grandes de Fc, es decir, rechazamos H0 siFc > Fα

a−1,N−a.


Componentes de varianza

Interesa estimar los componentes de varianza (σ2τ , σ2) en el

modelo.

Existen varios procedimientos, el que veremos se llamamétodo de análisis de varianza o de momentos , ya que usala información de la tabla de ANOVA.

El método consiste en igualar la esperanza de cuadradosmedios a sus valores observados.

CMtrat = σ2 + nσ2τ

CME = σ2

por lo tanto

σ̂2 = CME

σ̂2τ =

CMtrat − CME

n


Componentes de varianza

El método de análisis de varianza para estimar loscomponentes de varianza es relativamente sencillo y buenocuando se tienen experimentos balanceados.

A veces este método de estimar las componentes de varianzadá estimaciones negativas.

Algunos autores dicen que es evidencia de que la componentees cero, aunque otros dicen que puede ser evidencia de que elmodelo es incorrecto.

Un método más reciente y que tiene buenos resultados es elde máxima verosimilitud restringida, REML (éste es el métodorecomendado en JMP).


Ejemplo

Una fábrica textil produce un tipo de tela en un número grandede telares. Se desea obtener una tela de resistencia uniforme.

El ingeniero a cargo sospecha que además de la variaciónusual en resistencia de muestras de tela del mismo telar,puede haber variaciones en resistencia entre diferentestelares.

Para investigar esto, selecciona al azar 4 telares y hace 4determinaciones de resistencia en la tela producida por cadatelar. El experimento se corre en orden aleatorio.

Telar Resistencia

1 98, 97, 99, 962 91, 90, 93, 923 96, 95, 97, 954 95, 96, 99, 98

ej12-1.jmp


Ejemplo

F.V. g.l. SS CM F E(CM)

Telar 3 89.19 29.73 15.68** σ2 + 4σ2T

Error 12 22.75 1.89 σ2

Total 15 111.94

Componente Componente de varianza % del totalestimado

Telar 6.96 78.59Error 1.89 21.41Total 8.85 100.00

La mayor parte de la variabilidad se debe a diferencias entretelares. Si el ingeniero logra disminuir la variabilidad entretelares la producción de telas sería más homogénea.


Diseño factorial con dos factores aleatorios

Suponga que se tienen los factores A y B y que ambos tienenun número grande de niveles que son de interés.Seleccionamos aleatoriamente a niveles de A y b niveles de By arreglamos estos niveles en un diseño factorial. Si elexperimento se replica n veces, entonces el modelos lineal es:

yijk = µ + τi + βj + (τβ)ij + ǫijk

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , n

donde τi, βj , (τβ)ij , ǫijk son variables aleatoriasindependientes.

Tambien suponemos que:

τi ∼ N(0, σ2τ )

βj ∼ N(0, σ2β)

(τβ)ij ∼ N(0, σ2τβ)

ǫijk ∼ N(0, σ2)



Por lo tanto, la varianza de cualquier observación es:

V (yijk) = σ2τ + σ2

β + σ2τβ + σ2

Nos interesa probar las hipótesis:

H01 : σ2τ = 0

H02 : σ2β = 0

H03 : σ2τβ = 0

Las sumas de cuadrados se calculan igual que con efectosfijos.



Para formar las estadísticas de prueba, debemos examinar laesperanza de cuadrados medios.

Se puede demostrar que:

E(CMA) = σ2 + nσ2τβ + bnσ2

τ

E(CMB) = σ2 + nσ2τβ + anσ2

β

E(CMAB) = σ2 + nσ2τβ

E(CME) = σ2



Las estadísticas F para probar las hipótesis anteriores secalculan de la siguiente manera:

H01 : σ2τβ = 0 ⇒ Fc =

CMAB

CME

H02 : σ2τ = 0 ⇒ Fc =

CMA

CMAB

H03 : σ2β = 0 ⇒ Fc =

CMB

CMAB



Los componentes de varianza se pueden estimar por elmétodo de análisis de varianza, igualando los cuadradosmedios observados a sus respectivos valores esperados yresolviendo las ecuaciones, quedando:

σ̂2 = CME

σ̂2τβ =

CMAB − CME

n

σ̂2β =

CMB − CMAB

an

σ̂2τ =

CMA − CMAB

bn


Ejemplo con dos factores aleatorios

(Ejemplo 7.1 Kuehl) Evaluación del funcionamiento demáquinas con componentes de varianza.

Se está desarrollando un nuevo espectrofotómetro para uso enlaboratorios clínicos. Se quiere evaluar el funcionamiento delas máquinas de la línea de producción.

Pregunta de investigación:Un componente crítico del funcionamiento de un instrumentoes la consistencia de las mediciones de un día a otro entre lasmáquinas. Se quiere saber si la variabilidad de las medicionesentre las máquinas operadas durante varios días están dentrode los estándares aceptables para aplicaciones clínicas.

Estructura de tratamientos:Se construye un diseño factorial con “máquinas” y “días” comofactores. Serán probadas 4 máquinas en 4 diferentes días enun arreglo 4 × 4.



Diseño experimental:Se seleccionan aleatoriamente 4 máquinas. Se preparan cadadía 8 replicaciones de muestras de suero en sangre con elmismo lote de reactivos. Dos muestras de suero se asignanaleatoriamente a cada una de las cuatro máquinas en cadauno de los 4 días para un diseño completamente al azar condos repeticiones de cada tratamiento. El mismo técnicoprepara las muestras de suero y opera las máquinas durantetodo el experimento. Se miden los niveles de triglicéridos(mg/dl) en las muestras de suero.



MáquinaDía 1 2 3 4

1 142.3,144.0 148.6, 146.9 142.9, 147.4 133.8, 133.22 134.9, 146.3 145.2, 146.3 125.9, 127.6 108.9, 107.53 148.6, 156.5 148.6, 153.1 135.5, 138.9 132.1, 149.74 152.0, 151.4 149.7, 152.0 142.9, 142.3 141.7, 141.2

Las máquinas son un factor aleatorio porque representan unamuestra aleatoria de una población potencial de máquinas aconstruir, y los días son una muestra aleatoria de unapoblación de días en los cuales se usarán las máquinas. Elarreglo factorial permite la evaluación de la interacción entremáquinas y días. La consistencia del funcionamiento de lasmáquinas se evidencía por la ausencia de interacción.

ej7_1_kuehl.jmp



F.V. g.l. SS CM Fc E(CM)

Día 3 1334.46 444.82 5.09* σ2 + 2σ2dm + 8σ2

d

Máquina 3 1647.28 549.09 6.29* σ2 + 2σ2dm + 8σ2

m

Interacción 9 786.04 87.34 4.88** σ2 + 2σ2dm

Error 16 286.33 17.90 σ2

σ̂2 = CME = 17.90

σ̂2dm =

CMdm − CME

n= 34.72

σ̂2m =

CMm − CMdm

na= 57.72

σ̂2d =

CMd − CMdm

nb= 44.69



Componente Estimador % del total

Día 44.69 28.825Máquina 57.72 37.23Día x Máquina 34.72 22.398Error 17.90 11.544Total 155.02 100

La varianza estimada de una observación es:

σ̂2y = σ̂2 + σ̂2

d + σ̂2m + σ̂2

dm = 155.02



Interpretación:

Cada uno de los componentes de varianza contribuyesignificativamente a la variación de las mediciones.

El componente del error σ̂2 = 17.9 representa la variación enla preparación de las muestra de suero en sangre.

El componente de máquinas σ̂2m = 57.7, es la variación en el

funcionamiento de las máquinas.

El componente de días σ̂2d = 44.7, es la variabilidad asociada

con un nuevo inicio utilizando nuevos reactivos para el análisisde las muestras y otras fuentes de variabilidad que puedenasociarse a las diferencias operacionales entre los días.



El componente de la interacción σ̂2dm = 34.7 implica que el

funcionamiento de las máquinas no varía consistentementecon los cambios de operación de los días. Una posibleexplicación es que exista una inconsistencia en la calibraciónde las máquinas a lo largo de los días.

El investigador, basado en su experiencia, debe ser capaz dedecidir si alguna de las fuentes de variabilidad anterioresexcede un nivel aceptable y corregir, si es necesario, cualquierdeficiencia en las máquinas o en las condiciones de operación


Tres factores aleatorios

F.V. g.l. E(CM)

A a − 1 σ2 + rσ2abc + rcσ2

ab + rbσ2ac + rbcσ2

a

B b − 1 σ2 + rσ2abc + rcσ2

ab + raσ2bc + racσ2

b

C c − 1 σ2 + rσ2abc + rbσ2

ac + raσ2bc + rabσ2

c

AB (a − 1)(b − 1) σ2 + rσ2abc + rcσ2

ab

AC (a − 1)(c − 1) σ2 + rσ2abc + rbσ2

ac

BC (b − 1)(c − 1) σ2 + rσ2abc + raσ2

bc

ABC (a − 1)(b − 1)(c − 1) σ2 + rσ2abc

Error abc(r − 1) σ2



Las estadísticas F se construyen de la siguiente manera:

ABC :CMABC

CME

AB :CMAB

CMABC

AC :CMAC

CMABC

BC :CMBC

CMABC



Para probar los tres efectos principales (A,B y C) es necesarioconstruir un cuadrado medio para el denominador de laspruebas F.Existen pruebas F aproximadas utilizando el procedimiento deSatterthwaite, donde se calcula una combinación lineal de loscuadrados medios y sus correspondientes grados de libertad.

Dada una función lineal M , donde

M = a1(CM1) + a2(CM2) + . . . + ak(CMk)

y CM1, CM2, . . . , CMk son cuadrados medios con glν1, ν2, . . . , νk respectivamente, los grados de libertad para Mson aproximadamente

ν =M2

∑k

i=1(ai(CMi))2

νi



Para probar la hipótesis H0 : σ2A = 0 se puede construir la

combinación lineal

M = CMAB + CMAC − CMABC

entonces la prueba queda como:

CMA

M

Calculando los grados de libertad para el denominador con elprocedimiento de Satterthwaite.



Es posible construir un Cuadrado Medio negativo cuando en lacombinación lineal algunos de los cuadrados medios tienencoeficientes negativos.

Para salvar esta dificultad, otra aproximación para probar lahipótesis H0 : σ2

A = 0 es hacer

M1 = CMA + CMABC

M2 = CMAB + CMAC

con gl calculados con el procedimiento deSatterthwaite,entonces la prueba queda como:

M1

M2.

Lo mismo se haría para los otros efectos principales (B y C).


Efectos anidados


Efectos anidados

En algunos experimentos factoriales los niveles de un factor(digamos, B) son similares pero no idénticos para diferentesniveles de otro factor (A).

Este arreglo se llama diseño anidado o jerárquico y se diceque B está anidado en A.

Generalmente los factores que están anidados son aleatorios.

Por ejemplo, una compañía compra su materia prima a tresdiferentes proveedores. La compañía desea determinar si lapureza de la materia prima es la misma en cada proveedor.

Se seleccionan cuatro lotes de materia prima de cadaproveedor y se tomarán tres determinaciones de pureza encada lote.


Ejemplo


Ejemplo

Este es un diseño anidado de 2 etapas, con lote anidado enproveedor, y observación anidada en lote.

Por qué no son dos factores cruzados? Porque el lote 1debería referirse a una característica particular del mismo lote,equivalentemente para los otros lotes.

En el ejemplo, los lotes de cada proveedor son únicos para elproveedor particular.

Esto es, el lote 1 del proveedor 1 no tiene nada que ver con ellote 1 de los otros proveedores, es solamente una etiqueta.


Efectos anidados

El modelo estadístico para los diseños anidados de dosetapas es:

yijk = µ + τi + βj(i) + ǫk(ij)

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , n

a niveles del factor Ab niveles del factor B anidados en cada nivel del factor An repeticiones

Es conveniente pensar en las repeticiones como que estánanidadas en la combinación de niveles de A y B.

Este es un diseño anidado balanceado, ya que hay igualnúmero de niveles de B dentro de cada nivel de A e igualnúmero de repeticiones.

Ya que todos los niveles de B no aparecen con todos losniveles de A entonces no puede haber interacción entre A y B.


Efectos anidados

F.V. g.l. SS CM

A a − 1 SSA CMA

B(A) a(b − 1) SSB(A) CMB(A)

Error ab(n − 1) SSE CME

Total abn − 1 SSTot

SSA =1

bn

a∑

i=1

y2i.. −

y2...

abn

SSB(A) =1

n

a∑

i=1

b∑

j=1

y2ij. −

1

bn

a∑

i=1

y2i..

SSE =

a∑

i=1

b∑

j=1

n∑

k=1

y2ijk −

1

n

a∑

i=1

b∑

j=1

y2ij.

SSTot =

a∑

i=1

b∑

j=1

n∑

k=1

y2ijk −

y2...

abn


Efectos anidados

A fijo A fijo A aleatorioE(CM) B fijo B aleatorio B aleatorio

E(CMA) σ2 + bnθ2A σ2 + nσ2

B + bnθ2A σ2 + nσ2

B + bnσ2A

E(CMB(A)) σ2 + nθ2B σ2 + nσ2

B σ2 + nσ2B

E(CME) σ2 σ2 σ2


Ejemplo

Proveedor1 2 3

Lote 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 -2 -2 1 1 0 -1 0 2 -2 1 3-1 -3 0 4 -2 4 0 3 4 0 -1 20 -4 1 0 -3 2 -2 2 0 2 2 1

Los lotes se toman al azar de cada proveedor.Proveedor es fijo y lote aleatorio.

anidado.jmp


Ejemplo

F.V. g.l. SS CM E(CM) F

Proveedor 2 15.06 7.53 σ2 + 3σ2B + 12θ2

A 0.97Lote(Proveedor) 9 69.92 7.77 σ2 + 3σ2

B 2.94*Error 24 63.33 2.64 σ2

Total 35 148.31

No hay efecto significativo del proveedor en la pureza delmaterial.La pureza de los lotes de materia prima del mismo proveedordifieren significativamente, por lo tanto, hay que trabajar conlos proveedores para que reduzcan su variabilidad de lote alote.

Las estimaciones de los componentes de varianza son:

Componente Estimación % del total

Lote(proveedor) 1.7099 39.32Error 2.6389 60.68Total 4.3488 100.00


Ejemplo

Qué pasa si ignoramos que hay diferentes lotes yconsideramos las 12 observaciones de cada proveedor comorepeticiones?

F.V. g.l. SS CM F p-value

Proveedor 2 15.06 7.53 1.864 0.171Error 33 133.25 4.038Total 35 148.31

No hay diferencia en proveedores.

Sin embargo, en este análisis estamos ignorando que cada 3observaciones tienen en común que provienen de un mismolote donde hay diferencias (según el análisis anterior).

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