DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES

DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES

DISEÑO DE DOS FACTORES Principios y definiciones básicas

Construcción de un diseño factorial Problema Hipótesis Suma de cuadrados y grados de libertad Análisis de Varianza Comparaciones múltiples Grafica de Interacciones Conclusiones del problema Verificación de supuestos

Principios y definiciones básicas

Los diseños factoriales se utilizan cuando en una investigación se pretende estudiar simultáneamente la influencia del cambio del nivel de varios factores sobre la variable de respuesta

V. R.Proceso

F1 F2 F3

Otros factores no cotrolables

Fn

...

Por diseño factorial se entiende:Cuando cada repetición o replica completa del

experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores.

Ejemplo: Si el factor A tiene a=4 niveles y el factor B tiene b=3 niveles, cada replica contiene todas las ab=12 combinaciones de los tratamientos

A

B 1 2 3 4

1 (1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

2 (2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

3 (3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

REPLICA

Si se efectuarán n=3 replicas en total resultaran

abn=36 observaciones

Se realiza el siguiente experimento, con el fin de precisar las condiciones óptimas de un baño de níquel, se estudian los efectos de la concentración de sulfona y la temperatura del baño en el poder de reflexión de un metal niquelado. Los resultados son:

Ejemplo:

-------------------------------------------------------Concentración Temperatura Poder de reflexión (gramos/litro) F Rep. 1 Rep. 2 Rep. 3

------------------------------------------------------ 5 75 35 39 36 5 100 31 37 36 5 125 30 31 33 5 150 28 20 23 5 175 19 18 22 10 75 38 46 41 10 100 36 44 39 10 125 39 32 38 10 150 35 47 40 10 175 30 38 31------------------------------------------------------

Modelo: ijkijjiijky )(

ijy es la respuesta (reflexión), es la media general, es el efecto de concentración es el efecto de la temperatura es el efecto de la interacción y error experimental.

¿Hay o no efecto de temperatura?

¿Hay o no efecto de concentracion?

¿Hay o no efecto de interacción?

0:0 iH Ha: al menos un

0i

0:0 jH Ha: al menos un

0i

0)(:0 ijH Ha: al menos un

0)( i

)(

SUMAS DE CUADRADOS Y GRADOS DE LIBERTAD.La suma de total corregida es:

SSTotal=SSA+SSB+SSAB+SSE

Grados de libertad para el Factor A, a-1, para el factor B, b-1, interacción (a-1)(b-1), para el error ab(n-1) y para el total N-1

ANOVA‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F‑ratio P-value‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑MAIN EFFECTS A:REFLEXIO.Concen 616.53333 1 616.53333 44.038 .0000 B:REFLEXIO.Temper 591.20000 4 147.80000 10.557 .0001 INTERACTIONS

AB 196.13333 4 49.033333 3.502 .0253

RESIDUAL 280.00000 20 14.000000 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑TOTAL (CORRECTED) 1683.8667 29

Todos los efectos son significativos con una confianza del 95%, ya que el P-value es menor a =0.05

PRUEBA LSD PARA EL FACTOR A (CONCENTRACIÓN)Las medias de los tratamientos son diferentes si

es mayor que nb

CMgltLSD ErrorError

2),( 2/

.. ji yy n=núm.replicas b=núm. de niveles del factor B

Para el ejemplo:

85.2)5)(3()14(2

)086.2( LSD

086.220,2/05. t

Concentración

Promedio

10 38.26

5 29.2

Contraste Diferencia

(10-5) -9.0667

5 10

Means and 95,0 Percent LSD Intervals

Concen

27

30

33

36

39

42

Refle

xion

La concentración de 10 da mayor poder de reflexión

PRUEBA LSD PARA EL FACTOR B (TEMPERATURA)Las medias de los tratamientos son diferentes si

es mayor que an

CMgltLSD ErrorError

2),( 2/

ji yy ..

n=núm.replicas a=núm. de niveles del factor A

Para el ejemplo, el valor

5.4)3)(2()14(2

)086.2( LSD

086.220,2/05. t

Temperatura Promedio

75 39.1667

100 37.1667

125 33.8333

150 32.1667

175 26.3333

Contrastes

75-100

75-125

75-150

75-175

100-125

100-150

100-175

125-150

Diferencia

2

5.33*

7.0*

12.833*

3.333*

5.0*

10.833*

1.667

No existe diferencia en las medias de los tratamientos

*Para estos pares de tratamientos existe diferencia significativa en la media del poder de reflexión.

No existe diferencia en las medias de los tratamientos

Grupos homogéneos y gráfica de mediasTempe-ratura

Promedio

HomogoneusGroups

175 26.3333 X

150 32.1667 X

125 33.8333 XX

100 37.1667 XX

75 39.1667 X

Means and 95,0 Percent LSD Intervals

Temper

Refle

xion

75 100 125 150 17524

27

30

33

36

39

42

Conclusión hay cuatro grupos homogeneos en poder de reflexión, un grupo lo forma la temperatura 175, otro lo forman las temperaturas 125 y 150, otro lo forman las tempertauras 100 y 125, y el grupo conformado por la temperaturas 100 y 75.PARA OBTENER MAYOR REFLEXIÓN SE RECOMIENDAN LAS TEMPERATURAS 75 ó 100.

GRÁFICA DE INTERACCIONES

Como auxiliar en la interpretación de resultados del experimento resulta útil la construcción de una gráfica de las respuestas promedio de cada combinación de tratamientos:

Se calcula el promedio de cada combinación de los tratamientos

Conc. F Rep. 1 Rep. 2 Rep. 3 Promedios

5 75 35 39 36 36.67

5 100 31 37 36 34.67

5 125 30 31 33 31.33

5 150 28 20 23 23.67

5 175 19 18 22 19.67

10 75 38 46 41 41.67

10 100 36 44 39 39.67

10 125 39 32 38 36.33

10 150 35 47 40 40.67

10 175 30 38 31 33.00

Residuall Plot for Reflexion

-8

-4

0

4

8

Temperatura

Res

idu

al

Y se gráfican

Gráfica de Interacciones

41.6739.67

36.33

40.67

33.00

36.6734.67

31.33

23.667

19.667

15

20

25

30

35

40

45

75 100 125 150 175

Temperatura

Ref

lexi

ón

pro

med

io

Conc. 10

Conc. 5

Una interpretación: Cuando se trabaja con un nivel de 10 de concentración siempre se produce mayor poder de reflexión con respecto a la concentración de 5.

Si se aumenta la temperatura del 75 al 125, el poder de reflexión disminuye, para ambos niveles de concentración, y al cambiar a una temperatura de 150 el poder de reflexión aumenta para la conc. de 10, entre tanto, disminuye para la conc. de 5, por último al cambiar a la temperatura de 175 en ambos niveles de concentración disminuye el poder de reflexión.

Conclusión del problema

Con base a la prueba LSD de la concentración se recomienda usar el nivel 10.Con base a la prueba LSD de la temperatura se recomienda usar la temperatura 75 ó 100.Con base a la gráfica de interacciones se recomienda usar el nivel 10 de concentración con 75 de temperatura.

Con base a los resultados anteriores podemos concluir que el nivel de concentración 10 con temperatura 75 es la combinación ideal para incrementar el poder de reflexión.

Gráfica de Residuos para checar supuesto de varianza constante

Residual Plot for Reflexion

-8

-4

0

4

8

Temperatura

Res

idu

al

75 100 125 150 175

No hay embudo, por lo que si se cumple el supuesto de varianza constante en la temperatura

5 10

Residual Plot for REFLEXION

-7

-4

-1

2

5

8re

sid

ual

CONCENTRACION

No hay problema en la varianza constante para los niveles de concentración

Gráfica de independencia

Residual Plot for REFLEXION

-7

-4

-1

2

5

8re

sidu

al

0 5 10 15 20 25 30

row number

No se observa ningún patrón, por lo que si se cumple el principio de independencia

Gráfica de Normalidad

Normal Probability Plot for RESIDUALS

-6 -3 0 3 6 9

RESIDUALS

0.1

15

2050

80

9599

99.9

perc

enta

ge

Si se cumple el supuesto de normalidad en los residuales