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el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 1
EXPERIMENTOS Y SUCESOS ALEATORIOS
Experimento determinista es aquel en que se puede predecir el resultado, siempre que se realice en las
mismas condiciones. (Ejemplo: medir el tiempo que tarda en caer un objeto desde una misma altura
sobre la superficie de la Tierra).
Experimento aleatorio es aquel del que no se puede predecir el resultado, aunque se realice en las
mismas condiciones. (Ejemplo: lanzar al aire una moneda).
Los posibles resultados de un experimento aleatorio se llaman sucesos aleatorios y se clasifican en
elementales y compuestos.
- Suceso elemental es cada uno de los sucesos que no se puede descomponer en sucesos más simples.
- Suceso compuesto es el que está formado por más de un suceso elemental.
- Espacio muestral es el conjunto formado por todos los sucesos elementales.
- Suceso seguro, puesto que ocurre siempre que se realiza el experimento y se representa por la letra
E. (Ejemplo: si se lanza al aire una moneda, el espacio muestral es E={cara,cruz}).
- Suceso imposible es el que no ocurre nunca y se representa por la misma letra que para el conjunto
vacío: .
OPERACIONES CON SUCESOS
- Suceso unión: dados dos sucesos A y B, se llama y se designa por A U B, al suceso que se produce
siempre que se verifica uno de los dos, es decir, si se verifica A ó B.
Ejemplo: Tiramos un dado y consideramos los siguientes sucesos: A=“salir par” y B=“salir mayor que 4”.
Entonces, A={2,4,6}, B={5,6} y AUB={2,4,5,6}.
- Suceso intersección, Dados dos sucesos A y B, se denomina y se designa por A B al suceso que se
realiza si se verifica A y B.
Ejemplo: A:”salir par” y B: “salir mayor que 4”. Entonces, A={2,4,6}, B={5,6} y AB={6}.
- Suceso contrario de un suceso A ( A ) es el suceso que ocurre siempre que no se verifica A. Es
equivalente a la negación lógica.
Si dos sucesos no se pueden verificar simultáneamente, su intersección es el conjunto vacío. Cualquier
suceso que sea igual al conjunto se llama suceso imposible y, por tanto, será un suceso que no se
produce nunca. Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible, se dice que son incompatibles.
La unión de sucesos contrarios es el suceso seguro y su intersección es el suceso imposible.
Sean los sucesos A y B; se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, A B, si siempre que se
verifica A, también se verifica B.
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EJERCICIOS
1º.- Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman los puntos de las caras superiores. Describe los
sucesos elementales asociados al experimento y el espacio muestral. ¿Son los sucesos elementales
“igualmente posibles”?
2º.- Se lanzan dos dados sobre la mesa y se anota el par de números obtenido (pero no se suman).
Describe el espacio muestral indicando el número de sucesos elementales que lo forman. Siendo los
sucesos A=”al menos uno de los números es par” y B=”la suma de los dos números es múltiplo de tres”,
calcula A B, A B, A y B .
PROBABILIDAD DE UN SUCESO: REGLA DE LAPLACE
Supongamos un experimento aleatorio que puede dar lugar a n sucesos elementales, incompatibles entre
sí e “igualmente posibles”, es decir, con las mismas posibilidades de ocurrir.
Sea A un suceso cualquiera, formado por k sucesos elementales, se define la probabilidad de A como el
cociente:
posiblesigualmentecasos
favorablescasosAP .
Ejemplo 3º: Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman sus caras superiores. Halla la probabilidad
de obtener una suma igual a 8.
Solución: 5/36.
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de sucesos verifica las siguientes propiedades:
1.- La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Toma el valor 1 cuando se trata
del suceso seguro y vale 0 cuando se trata del suceso imposible: P(E) = 1 y P() = 0.
2.- La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de las probabilidades de los dos sucesos menos
la probabilidad de su intersección:
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)
Si A y B son sucesos incompatibles AB= P(AUB) = P(A) + P(B).
3.- Si A es un suceso cualquiera y A es su contrario:
)(1)( APAP
EJERCICIOS
4º.- (ejercicio resuelto 1 pág. 327):
Encuentra el espacio muestral asociado a los siguientes sucesos:
A) Lanzar dos monedas al aire:
“C” = obtener cara; “X” = obtener cruz.
XXCXXCCCE ,,,,,,,
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B) Familias de tres hijos considerando el sexo de éstos.
“H” = hombre; “M” = mujer.
MMMHMMMHMMMHHHMHMHMHHHHHE ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
5º.- (ejercicio resuelto 2 pág. 328):
En el experimento aleatorio de estudiar las familias de tres hijos por el sexo de dicho hijos
consideramos los siguientes sucesos:
ónesmayorhijoelA var
sexoigualtienenhijostreslosB
óneshijoningúnC var
Encuentra los elementos de los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: E; A; B; C; BA ;
CA ; B .
Solución: llamamos “H” = varón; “M” = mujer.
MMMHMMMHMMMHHHMHMHMHHHHHE ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
18
8 EP
MMHHMHMHHHHHA ,,,,,,,,,,, 2
1
8
4 AP
MMMHHHB ,,,,, 4
1
8
2 BP
MMMC ,, 8
1 CP
HHHBA ,, 8
1 BAP
CA 0 CAP
HMMMHMMMHHHMHMHMHHB ,,,,,,,,,,,,,,,,, 4
3
8
6 BP
6º.- Se lanza al aire una moneda cinco veces. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de
que el número de caras obtenida sea tres. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la secuencia CXXCC? ¿Es
la misma que la probabilidad de obtener tres caras?
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Se llama probabilidad de A condicionada a B, y se simboliza por P(A/B), al cociente:
)(
)()/(
BP
BAPBAP
con P(B)0.
(Es la probabilidad de que se realice A sabiendo que se ha realizado B).
De aquí obtenemos la siguiente expresión para la probabilidad compuesta (o del producto):
)/()·()( ABPAPBAP
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7º.- (ejemplo pág. 329):
Realizamos una encuesta a los alumnos sobre el color de los ojos y del pelo. En la tabla de contingencia
podemos ver los resultados obtenidos:
ojos claros ojos oscuros TOTALES
pelo rubio 14 16 30
pelo moreno 8 12 20
TOTALES 22 28 50
La probabilidad de elegir un alumno rubio y de ojos oscuros: 25
8
50
16ORP .
La probabilidad de elegir un alumno rubio con ojos oscuros: 15
8
30
16/ ROP .
INDEPENDENCIA DE SUCESOS
Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro:
)()·()( BPAPBAP
Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno modifica la probabilidad del otro:
)()·()/()·()( BPAPABPAPBAP
Ejemplo 8º: De una baraja española de 40 cartas sacamos, primero una, la devolvemos y luego sacamos
otra. Sean los sucesos A: “sacar oros” y B: “sacar copas”. ¿Cómo son los sucesos A y B, dependientes o
independientes? ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero oros y después copas?
Solución:
Los sucesos A y B son independientes ya que, al haber devolución en la segunda extracción, tenemos las
mismas cartas que en la primera extracción.
0625,040
10
40
10)()·()( BPAPBAP
Ejemplo 9º: Se extraen tres cartas sucesivamente de una baraja de 40 cartas. Calcula la probabilidad
de que las tres sean del mismo palo.
Solución:
Se consideran los sucesos: A = “la primera carta es de un palo válido”; B = “la segunda carta es del
mismo palo que la primera” y C = “la tercera carta es del mismo palo que las dos primeras”.
Nos piden la probabilidad: P(ABC) = P(A) · P(B/A) · P(C/AC).
Como A = suceso seguro, se tiene P(A) = 1.
Además P(B/A) = 39
9 y P(C/AC) =
38
8.
Entonces: %12,10112,038
8·
39
9·
40
10CBAP
Ejemplo 10º: Se tiene una urna con cuatro bolas rojas y dos azules. Se extraen tres bolas. Calcula la
probabilidad de que las tres sean rojas:
a) Con reemplazamiento.
b) sin reemplazamiento.
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Solución:
A) Con reemplazamiento, las tres pruebas son independientes:
27
8
3
2
6
4·
6
6·
6
4··3
3
RPRPRPRP
B) Sin reemplazamiento, las tres pruebas son dependientes:
5
1
4
2·
5
3·
6
4ª2ª1/ª3·ª1/ª2·ª13 RRyRPRRPRPRP
Ejemplo 11º: En el experimento aleatorio de lanzar tres monedas, si A={sacar dos caras}, su
probabilidad es 8
3)( AP , pues los casos favorables son tres: CCX, CXC, XCC, siendo los casos posibles
8: CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX y XXX.
Por tanto, ahora, la probabilidad del suceso A, sabiendo que ha ocurrido B={hay, como mínimo una cruz}
(que llamaremos suceso A condicionado con B y se escribe A/B), sería:
)(
)(
8
78
3
7
3)/(
BP
BAPBAP
EJERCICIOS
12º.- En una clase donde hay 20 chicos y 10 chicas, se han ofrecido inglés y francés como opciones
para cursar lengua extranjera. Han elegido inglés 25 alumnos y el resto han optando por el francés;
además se sabe que sólo dos de las 10 chicas han preferido francés. Calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos:
a) Tomar al azar un nombre de la lista que sea el de un chico.
b) Elegir un chico que estudia francés.
c) Sabiendo que se ha seleccionado un chico, que éste estudie francés.
Solución: Se construye la tabla:
A Chicos A Chicas Total
B Inglés 17 8 25
B Francés 3 2 5
Total 20 10 30
Observando la tabla se consideran los siguientes casos:
A = “el alumno elegido es chico”; A = “el alumno elegido es chica”; B = “el alumno elegido estudia
francés” y B = “el alumno elegido estudia inglés”.
Así tendremos:
a) p(chico) = p(A) = 20/30 = 2/3
b) p(chico que estudia francés) = p(AB) = 3/30 = 1/10
c) 20
3
30
2030
3
)(
)()/(
AP
BAPABP
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Árbol de probabilidades:
Un árbol de probabilidades es un diagrama en árbol, de forma que en cada rama escribimos su
probabilidad, que es la probabilidad de un experimento simple. Un camino es un conjunto de ramas que
nos lleva desde el principio hasta el final.
La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de sus ramas y la
probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.
Ejemplo 13º: Tenemos una urna A con 2 bolas
rojas y tres verdes y otra urna B con 5 bolas
rojas y 4 verdes. Elegimos una urna al azar y de
ella extraemos una bola. Haz el árbol de
probabilidades y calcula la probabilidad de que
la bola extraída sea roja.
48,090
43
9
5
2
1
5
2
2
1)( rojaP
EJERCICIOS
14º.- En las familias formadas por cuatro hijos la probabilidad de que éstos sean dos varones y dos
hembras es: a) ¼ b) ½ c) 3/8 d) No puede saberse.
Solución:
Construyendo un diagrama en árbol se tiene: P = 3/8.
15º.- De una baraja española se saca una carta y después otra sin devolver la primera. Calcula la
probabilidad de que:
a) La primera seas un as.
b) La segunda sea un as, si no se sabe si la primera lo fue o no.
c) Las dos sean ases.
Solución:
A) 10
1
40
4)( asP
B) Construyendo un diagrama de árbol se tiene: 1,010
1
130
13
130
12
130
1
39
4·
40
36
39
3·
40
4P
C) 130
1
39
3·
40
4P
16º.- Se considera una familia con tres hijos en la que la probabilidad de que uno de los hijos sea niño
es la misma que la de que sea niña. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) En la familia hay tres niñas.
b) Hay un sólo niño.
c) Sólo hay un niño ó una niña.
Solución:
A) 8
1)3( chicasP ; B)
8
3P ; C)
8
6P
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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS
Una función que a cada uno de los sucesos del espacio muestral le hace corresponder un número real se
llama variable aleatoria, y el conjunto de todos los posibles valores obtenidos se llama recorrido de la
variable.
En el ejemplo del número de caras obtenidas al tirar una moneda al aire, la variable aleatoria toma
valores de forma que entre cualesquiera dos de ellos, no siempre existen otros valores de la variable.
Por eso se dice que la variable es discreta.
Existen otras variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor de los comprendidos en un
determinado intervalo de números reales, como, por ejemplo, el tiempo que tarda el autobús en llegar a
una parada o la talla de una persona elegida al azar. Estas variables se llaman variables aleatorias
continuas y en sus gráficas se representa la probabilidad mediante el área, como veremos más adelante.
DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA DISCRETA
Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número finito de valores.
17º.- (ejemplo pág. 330):
Se lanzan dos dados 100 veces, se suman los puntos que se obtienen:
Suma de puntos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Frecuencias 3 6 8 11 14 17 13 10 9 7 2
La media aritmética es:
99,6100
699·
N
fxx
ii
La desviación típica es:
44,299,6100
5483 2 s
En el intervalo 43,9;55,4, sxsx está
el 65 % de los datos.
En el intervalo 87,11;11,22,2 sxsx
está el 95 % de los datos.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA
Una distribución de probabilidad es una modelización de la correspondiente distribución estadística de
frecuencias. Es decir, una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la tabla en
la que aparecen los diferentes valores de la variable aleatoria discreta con sus correspondientes
probabilidades.
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 8
La ley que asocia a cada valor de la variable su correspondiente probabilidad se llama función de
probabilidad.
Para que una distribución de probabilidad esté correctamente definida, las probabilidades de los
sucesos elementales del espacio muestral deben ser números no negativos y su suma debe ser 1.
Ejemplo: “Número obtenido” al lanzar un dado:
xi 1 2 3 4 5 6
Pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Ejemplo: “Suma de los resultados” al lanzar dos dados:
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pi 1/36 2/36 3/3 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Ejemplo: “Número de caras” al lanzar dos monedas:
xi 0 1 2
Pi 1/4 2/4 ¼
EJERCICIOS
18º.- (ejemplo pág. 331):
En el ejemplo anterior (se lanzan dos dados 100 veces, se suman los puntos que se obtienen):
ESPACIO
MUESTRAL
E
(1,1) (1,2)
(2,1)
(1,3)
(2,2)
(3,1)
(1,4)
(2,3)
(3,2)
(4,1)
(1,5)
(2,4)
(3,3)
(4,2)
(5,1)
(1,6)
(2,5)
(3,4)
(4,3)
(5,2)
(6,1)
(2,6)
(3,5)
(4,4)
(5,3)
(6,2)
(3,6)
(4,5)
(5,4)
(6,3)
(4,6)
(5,5)
(6,4)
(5,6)
(6,5)
(6,6)
Suma de puntos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Frecuencias
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
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19º.- Se lanza al aire una moneda tres veces. Dibuja el árbol de probabilidades y representa
gráficamente la distribución de probabilidades.
Solución:
Si la moneda no está trucada, la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es la misma que la de
obtener cruz, y vale ½. Se tiene:
20º.- Lanzamos al aire una moneda tres veces. Supongamos que la moneda está trucada, de modo que la
probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es 0,6, mientras que la de obtener cruz es 0,4.
Dibuja el árbol de probabilidades y representa gráficamente la distribución de probabilidades.
Solución: Se tiene:
21º.- En el lanzamiento de dos dados consideramos la variable aleatoria que asocia a cada resultado el
mayor de los números obtenidos. Halla y representa la función de probabilidad asociada a dicha variable
aleatoria.
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Solución:
X 1 2 3 4 5 6
Pi 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
22º.- Describe la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria “número de caras” en el
lanzamiento de cuatro monedas.
Solución:
nº de caras 4 3 2 1 0
probabilidad 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
23º.- Se lanza al aire una moneda tres veces. Se considera el experimento: ix = “ nº de caras
obtenidas al lanzar tres veces al aire una moneda”. Supongamos que la moneda está trucada, de modo
que la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es 0,6. Representa la distribución de
probabilidad de esta variable.
Solución:
El recorrido de la variable es 3,2,1,0R . Considerando el caso en que la moneda esté trucada con p(
C)=0,6, la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria es:
24º.- Halla la función de distribución correspondiente a la variable aleatoria “nº de caras” en el
lanzamiento de tres monedas, y represéntala gráficamente.
Solución:
x F(x)
x < 0 0
0 x < 1 1/8
1 x < 2 4/8
2 x < 3 7/8
3 x 1
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PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Como las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de las distribuciones estadísticas. La
probabilidad es una idealización de la frecuencia relativa N
fp i
i , por lo que los parámetros se
expresan en función de ellas.
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
La media de una variable aleatoria representa el valor central que tomaría la variable si toda la
distribución correspondiese a un único valor de la misma. Se llama también valor esperado o esperanza
matemática y se representa con la letra griega .
La media de una variable discreta es la suma de todos los productos obtenidos multiplicando cada valor
de la variable por su correspondiente probabilidad:
iiii fp
N
fxx ·
·
El valor de la media es el parámetro utilizado para medir si un juego es equitativo o no: una esperanza
igual a cero indica que no hay ventaja para ningún apostante.
VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA
Para medir la dispersión de los valores de la variable respecto de la media, se pueden utilizar las
desviaciones de cada valor respecto de ella y hallar su valor medio, pero como la suma de las
desviaciones positivas coincide con la de las negativas, esto daría siempre cero y, por tanto, no sirve
para medir la dispersión.
Para prescindir de los signos tenemos dos métodos: utilizar valores absolutos o sumar los cuadrados
(que siempre son positivos), hallando posteriormente la raíz cuadrada.
Llamamos varianza al parámetro que se obtiene al hacer la media de los cuadrados de las desviaciones
respecto de la media:
22
i
22 ·p· iii xxp
Llamamos desviación típica a la raíz cuadrada de la varianza:
22· ii xp
Ejemplo 25º: (ejercicio resuelto 3 pág. 332):
En una caja hay bombillas, unas lucen, son buenas, y otras no lucen, son defectuosas, con igual
probabilidad ambas. Elegimos dos bombillas. Tomamos como variable aleatoria “número de bombillas
defectuosas”.
A) Encuentra el espacio muestral y estudia si la variable aleatoria es o no discreta.
B) Construye la distribución de probabilidad y comprueba que 1 ip .
Solución: A) E={BB, BD, DB, DD}; la variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2, por lo que es discreta.
B)
X 0 1 2
Pi 1/4 2/4 1/4
14
1
4
2
4
1)2()1()0( XpXpXppi
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Ejemplo 26º: (ejercicio resuelto 4 pág. 333):
Lanzamos dardos a una diana circular con tres círculos concéntrico y cada uno con un número del 1 al 6 y
obtenemos la siguiente distribución de probabilidad:
X 1 2 3 4 5 6
Pi 0,32 0,28 a 0,12 0,06 0,01
A) Halla el valor de a para que se trate de una distribución de probabilidad.
B) Calcula: )42(,),3(),4( xpyxpxp
Solución: A) 1)6()5()4()3()2()1( xpxpxpxpxpxp
Por tanto: 0,32 + 0,28 + a + 0,12 + 0,06 + 0,01 = 1, es decir: a = 0,21.
B) 19,001,006,012,0)6()5()4()4( xpxpxpxp
6,028,032,0)2()1()3( xpxpxp
21,0)3()42( xpxp
Ejemplo 27º: (ejercicio resuelto 5 pág. 333):
Lanzamos tres monedas al aire. Definimos la variable aleatoria “número de caras obtenidas”.
A) Encuentra el espacio muestral.
B) ¿Qué valores toma esta variable aleatoria?
C) Construye la distribución de probabilidad.
D) Calcula la media y la desviación típica de esta variable aleatoria.
Solución: A) E={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
B) La variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2 y 3, por lo que es discreta.
C)
X 0 1 2 3
Pi 1/8 3/8 3/8 1/8
D) 5,18
12
8
1·3
8
3·2
8
3·1
8
1·0
87,04
35,1
8
1·3
8
3·2
8
3·1
8
1·0 22222
Ejemplo 28º: En una bolsa hay 20 bolas numeradas: 9 con un “1”, 5 con un “2” y 6 con un “3”. Se extrae
una bola al azar. Construye la distribución de probabilidades y halla sus parámetros y .
Solución:
45,020
91 p ; 25,0
20
52 p ; 30,0
20
63 p
ix ip ii xp · 2· ii xp
1 0,45 0,45 0,45
2 0,25 0,50 1,00
3 0,30 0,90 2,70 1 1,85 4,15
85,1· ii fp ; 7275,085,115,4·p 222
i
2 ix ; 85,07275,0
Ejemplo 29º: Halla y en la distribución que se obtiene al sumar las puntuaciones de dos dados.
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Solución:
ix ip ii xp · 2· ii xp
2 1/36 2/36 4/36
3 2/36 6/36 18/36
4 3/36 12/36 48/36
5 4/36 20/36 100/36
6 5/36 30/36 180/36
7 6/36 42/36 294/36
8 5/36 40/36 320/36
9 4/36 36/36 324/36
10 3/36 30/36 300/36
11 2/36 22/36 242/36
12 1/36 12/36 144/36 252/36 1974/36
736
252 ; 415,27
36
1974 2
EJERCICIOS
30º.- Un amigo propone el siguiente juego: “Lanzamos un dado. Si sale múltiplo de tres, yo te doy 6 €,
y, en caso contrario, tu me das 4 €”. ¿Se debería aceptar el juego? ¿En qué condiciones se debería
aceptar?
Solución:
Variable aleatoria: ix = “premio obtenido en el juego”. Su distribución de probabilidad se puede ver en
la siguiente tabla:
Para averiguar si el juego es equitativo se calcula la esperanza matemática de la variable:
ix ip ii px · 2
ix ii px ·2
-4 2/3 -8/3 16 32/3
6 1/3 6/3 36 36/3 1 -2/3 52 68/3
3
2 ;
9
200
9
4
3
682 ; 3
210
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 14
67,03
1·6
3
2·4 €. No se debería aceptar el juego propuesto, ya que resulta ventajoso para el
amigo que lo propone.
Si cada vez que saliera un múltiplo de tres, él diera 8 €, entonces el juego sería equitativo:
03
1·8
3
2·4
31º.- Halla la media o valor esperado de la variable aleatoria x, cuya función de probabilidad es:
X 1 2 3 4 5 6
Pi=P(X=xi) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
Solución: 47,4
32º.- Un jugador lanza tres monedas. Recibe 1000 euros, si salen tres caras; 250 euros, si salen dos
caras; y nada, si sale cualquier otra combinación. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que el
juego fuese equitativo o justo?
Solución:
ix 1000 250 0
ip 1/8 3/8 4/8
€75,2188
1750
33º.- En un sorteo pueden tocar seis premios de 600, 60 y 6 € con probabilidades de 0,0001; 0,0005 y
0,002, respectivamente.
Considerando la variable ix = “premio conseguido”, halla y . Se debe tener en cuenta que la suma
total de las probabilidades de los valores de la variable debe ser 1.
Solución:
ix ip ii px · 2
ix ii px ·2
600 0,0001 0,0384 360000 13824
60 0,0005 0,1923 3600 692,28
6 0,002 0,7692 36 27,69 14543,97
23,39 ; 03,11423,3997,14543 2
34º.- En la siguiente distribución de probabilidad, calcula el valor de k, la media de la variable y su
desviación típica:
ix 1 2 3 4 5
ip 0,25 0,2 k 0,15 0,15
Solución: 25,075,01115,015,02,025,0 kk
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 15
ix ip ii px · 2
ix ii px ·2
1 0,25 0,25 1 0,24
2 0,2 0,4 4 0,8
3 k = 0,25 0,75 9 2,25
4 0,15 0,6 16 2,4
5 0,15 0,75 25 3,75 9,44
75,275,06,075,04,025,0 ; 3702,15625,744,9
35º.- Calcula la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad
es:
ix 1 2 3 4 5 6
ip 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
Solución: 47,4 ; 41,199,1
36º.- En el lanzamiento de tres dados consideramos la variable aleatoria consistente en anotar el
número de múltiplos de tres que aparecen.
a) Halla su función de probabilidad y represéntala.
b) Determina su función de distribución y represéntala.
c) Halla la media y la desviación típica.
Solución: a)
ix 0 1 2 3
ip 64/216 96/216 48/216 8/216
B)
x F(x)
x < 0 0
0 x < 1 64/216=0,2963
1 x < 2 160/216=0,7407
2 x < 3 208/216=0,9630
3 x 216/216=1
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 16
C)
1216
8·3
216
48·2
216
96·1
216
64·0
8165,06667,01216
8·3
216
48·2
216
96·1
216
64·0 22222
37º.- Determina el valor de k en las siguientes distribuciones de probabilidad:
a)
ix 1 2 3 4
ip 0,3 3k k 0,3
b)
ix 0 2 3 4 5
ip k 3k 2k 3k k
En ambos casos, halla las funciones de distribución y los parámetros y .
Solución: a) 1,013,0133,0 kkk
ix x<1 1 x < 2 2 x < 3 3 x < 4 4 x
F(x) 0 0,3 0,6 0,7 1
4,23,0·41,0·33,0·23,0·1
2,14,23,0·41,0·33,0·23,0·1 22222
b) 10/11323 kkkkkk
ix 0 2 3 4 5
ip 1/10 3/10 2/10 3/10 1/10
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 17
ix x<0 0 x < 2 2 x < 3 3 x < 4 4 x < 5 5 x
F(x) 0 1/10 4/10 6/10 9/10 1
9,210
29
10
1·5
10
3·4
10
2·3
10
3·2
10
1·0 ; 375,189,1
38º.- Lanzamos una moneda cuatro veces. Sea X el número de caras consecutivas. Halla la función de
probabilidad, la media y la desviación típica.
Solución:
ix 0 1 2 3
ip 8/16 5/16 2/16 1/16
75,016
12
16
1·3
16
2·2
16
5·1
16
8·0 ; 372,18819,1
39º.- Dos bolas son tomadas de una urna que contiene cinco bolas numeradas con 1, 1, 2, 2 y 3. Sea X la
suma de números e Y el mayor de los números obtenidos. Halla la función de probabilidad, la media y la
desviación típica de:
a) X b) Y; c) X+Y; d) XY
Solución:
A)
ix 2 3 4 5
ip 2/20 8/20 6/20 4/20
6,320
4·5
20
6·4
20
8·3
20
2·2 ; 42,2
B)
ix 1 2 3
ip 2/20 10/20 8/20
2,220
8·3
20
10·2
20
2·1 ; 93,0
C) Z1 = X + Y
1z 3 4 5 6 7 8
ip 4/400 36/400 108/400 132/400 88/400 32/400
9,5 ; 12,1
C) Z2 = X · Y
2z 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15
ip 4/400 16/400 32/400 8/400 96/400 60/400 64/400 40/400 48/400 32/400
28,8 ; 178,3
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 18
40º.- Un jugador lanza tres monedas. Gana 500 €, si salen tres caras; 250 €, si salen dos caras; y 100
€ si sale una cara. Si el juego es equitativo, ¿cuánto deberá perder cuando no sale ninguna cara?
Solución:
ix 500 250 100 x
ip 1/8 3/8 3/8 1/8
Equitativo: €145008
1·
8
3·100
8
3·250
8
1·5000 xx
41º.- Un jugador lanza un dado y cobra tantos euros como indica el número obtenido. ¿Cuánto debe
pagar por jugada para que el juego sea equitativo?
Solución:
ix 1 2 3 4 5 6
ip 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
5,36
1·6
6
1·5
6
1·4
6
1·3
6
1·2
6
1·1 . Pagar 3,5 € por jugada
42º.- Un jugador lanza dos dados, y cobra tantos billetes de 5 € como veces aparezca el cinco.
Describe este juego mediante una variable aleatoria. ¿Es rentable participar en este juego, si para ello,
hay que pagar 3 € por tirada?
Solución:
ix 0 1 2
ip 25/36 10/36 1/36
€33,0 ; El valor del juego es 1,67 €. No resulta rentable si paga 3 € por tirada.
43º.- En una urna hay 20 bolas marcadas: diez lo están con el 1, cinco con el 5, cuatro con el 10 y una
con el 125. El juego consiste en extraer una bola al azar, obteniéndose como premio tantos euros como
indica el número que la bola lleva marcado, X.
a) Escribe la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.
b) Calcula la ganancia media .
c) Si para poder participar tienes que pagar 15 euros por jugada, ¿interesa hacerlo?
Solución: A)
ix 1 5 10 125
ip 10/20 5/20 4/20 1/20
B) 10 ; C) No interesa a 15 €/jugada, porque se pierden 5 E/juagada de media.
44º.- Un jugador lanza un dado. Si sale un número primo, gana este número de euros, pero, si sale un
número que no es primo, pierde este número de euros. ¿Es favorable este juego para el jugador?
Solución:
ix -6 -4 -1 2 3 5
ip 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6/1 ; Juego desfavorable para el jugador.
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 19
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La variable aleatoria ix = “nº de veces que ocurre el éxito A cuando se realiza el experimento n veces”
sigue una distribución de probabilidad binomial de parámetros ‘n’ y ‘p’, y se representa por B(n,p),
cuando:
- el experimento se repite un número determinado n de veces idénticas.
- cada vez que se realiza se pueden considerar sólo dos posibles resultados, A = éxito y A =
fracaso.
- La probabilidad de estos dos sucesos es la misma cada vez que se realiza el experimento:
p(A)=p; qAp ; con p + q = 1. Es decir, los experimentos son independientes.
Consideremos el lanzamiento tres veces consecutivas
de una moneda trucada. Generalizando a una moneda
en la cual la probabilidad de obtener cara es p( C)=p y
la de obtener cruz es P(X)=q, es evidente que p + q = 1.
La suma de todas las probabilidades de la distribución
es:
3223 330123 qpqqpppppp
1133 qp
Tenemos que la probabilidad de que la variable ix = “nº de caras en tres lanzamientos” tome cada uno
de sus valores, viene descrita por cada uno de los términos del desarrollo de la potencia del binomio
3qp .
Se puede demostrar que, si en lugar de tres lanzamientos, se realizan n, las probabilidades se
comportan de la misma forma. Entonces cada uno de los términos del desarrollo de la potencia del
binomio nqp representa la probabilidad de que la variable ix = “nº de caras en ‘n’ lanzamientos”
tome el valor correspondiente al exponente del término p.
NOTA: Recordamos que el desarrollo de la potencia de nqp viene dado por el binomio de Newton:
nknknnnnq
nqp
k
nqp
n
nqp
n
np
n
nqp
0......
21
221
NOTA: El número combinatorio
k
n representa el número de grupos distintos de k elementos que se
pueden formar eligiéndolos de entre n elementos. Se calcula aplicando la expresión: !!·
!
knk
n
k
n
.
(También se pueden calcular los números combinatorios leyéndolos de las filas correspondientes del
triángulo de Tartaglia).
Entonces resulta que la probabilidad de que la variable ix tome el valor k viene dada por la expresión:
knkknk
i ppk
nqp
k
nkpkxp
1 , con k = 0, 1, 2, …, n.
Esta es la función de probabilidad de la distribución binomial.
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 20
Nº de
éxitos: r
0 1 2 … n-1 n
ip nq
n
0
1·1
nqpn
22·2
nqpn
qpn
nn ·
1
1
np
n
n
Es decir, la posibilidad de obtener k éxitos será: knk ppk
nkp
1 .
45º.- (ejercicio resuelto 6 pág. 334):
Lanzamos un dado 20 veces. Observamos, en cada caso, si la puntuación obtenida es múltiplo de tres.
Comprueba si la variable que expresa el número de veces que se ha obtenido un múltiplo de tres sigue la
distribución binomial. En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.
Solución: En cada tirada: A = obtener múltiplo de 3; son 20 lanzamientos: resultados independientes.
p(A) = 2/6 = 1/3 = constante; Los valores posibles de la variable (0, 1, 2, 3, …, 19, 20)
Parámetros de la distribución: n=20; p = 1/3. Por tanto: B(20, 1/3)
Ejemplo 46º: Se tiene una moneda trucada, de modo que la probabilidad de que salga cara en cada
lanzamiento es p = 0,3. Halla la probabilidad de que:
a) En cinco lanzamientos se obtengan 3 caras.
b) En 10 lanzamientos se obtengan 6 caras.
Solución:
a) p(3 caras en 5 tiradas) = 1323,049,0·027,0·107,0·3,0·3
523
b) p(6 caras en 10 tiradas) = 0368,02401,0·10·29,7·2107,0·3,0·6
10446
Ejemplo 47º: Se toman 10 bombillas de un almacén en el que la probabilidad de que una sea defectuosa
es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos bombillas defectuosas?
Solución: El número de bombillas defectuosas que hay entre las 10 elegidas es una variable aleatoria
que sigue una distribución binomial B(10; 0,03). Por tanto:
0317,097,0·03,0·2
10)2( 82
p
Ejemplo 48º: En cierto país, la tasa de paro de la población activa es del 18 %. Si se toma una muestra
de 30 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra haya exactamente 4 parados?
Solución: El número de parados en dicha muestra es una variable aleatoria que sigue una distribución
binomial B(30; 0,18). Por tanto:
1652,082,0·18,0·4
30)4( 264
p
Ejemplo 49º: Se toman 5 bombillas de una caja de la que se sabe que la probabilidad de que cada
bombilla no luzca es de 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas estén en mal estado?
Solución: El número de bombillas estropeadas que hay entre las 5 elegidas es una variable aleatoria que
presenta una distribución binomial B(5; 0,03). Por tanto:
0082,0000821,0·2
597,0·03,0·
2
5)2( 32
p
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 21
Ejemplo 50º: Se sabe que tres de cada 10 alumnos de un país hablan inglés. ¿Cuál es la probabilidad de
que en una clase de 40 alumnos haya, al menos, 5 alumnos que sepan inglés?
Solución: El número de alumnos en una clase de 40 que saben inglés es una variable aleatoria que sigue
una distribución binomial B(40; 3/10).
40...655 pppxp i
Podemos abreviar este cálculo considerando el suceso contrario:
432101515 pppppxpxp ii
9974,010·96,110·95,410·12,910·09,110·37,61 34557
MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Dada una distribución binomial de la forma: B(n,p), tenemos:
pn· y qpn ··
Ejemplo 51º (ejercicio resuelto 1 pág. 336):
Se supone que la probabilidad de nacer niño es del 0,50. Calcula la probabilidad de que en una familia de
seis hijos sean:
a) Todos varones.
b) Al menos, dos varones.
c) Tres varones
d) Calcula la media y la desviación típica.
Solución: B(6,1/2); x = nº hijos varones en familias de 6 hijos.
A) todos varones: 015625,02
1·
6
66
6
xp
B) al menos dos varones:
890625,0109375,012
1
2
1
1
6
2
1·
0
61101212
56
xpxpxpxp
C) tres varones: 3125,02
1·
2
1·
3
63
33
xp
D) 32
1·6· pn ; 223,1
2
1·
2
1·6·· qpn
Ejemplo 52º: Calcula la media y la desviación típica de una variable aleatoria que sigue una distribución
binomial con n = 40 y p = 0,3.
Solución: Es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(40; 0,3).
123,0·40 ; 90,28983,27,0·3,0·40
***TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 22
EJERCICIOS
53º.- Se lanza un mismo dado 12 veces. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Exactamente una vez 5 en los 12 lanzamientos.
b) Exactamente 3 veces 5 en los 12 lanzamientos.
c) Al menos una vez 5 en los 12 lanzamientos.
d) Al menos 3 veces 5 en los 12 lanzamientos.
Solución: 12 veces; x = nº de cincos; B(12,1/6)
A) 111
6
5·
6
1·
1
121
xp
B) 93
6
5·
6
1·
3
123
xp
C) al menos un 5: 120
6
5
6
1·
0
121011
xpxp
D) al menos tres cincos: 2101313 xpxpxpxpxp
54º.- En el ejercicio anterior, calcula la media y la desviación típica de la variable ix = “nº de cincos
obtenidos en 12 tiradas”.
Solución: 5
1·12· pn ;
5
6·
5
1·12
55º.- Según un estudio estadístico realizado entre jóvenes de 15 y 16 años, se observa que el 40 %
practica deporte habitualmente. ¿Cuál es la probabilidad de que lo hagan menos de la cuarta parte de
una clase de 20 alumnos de esa edad? En una muestra de 500 jóvenes, ¿cuál es el valor de la media y la
desviación típica del número de deportistas?
Solución: 40 % deporte; n = 20; p = 40/100 = 0,4; B(20; 0,4)
A) menos de 1/4:
43210520·
4
1xpxpxpxpxpxpxp
B) n=500; B(500; 0,4); 2004,0·500 ; 6,0·4,0·500
56º.- Una empresa fabrica chips para ordenadores personales. Tras varios controles de calidad,
descubre que el 5% de los que fabrica son defectuosos. El último año fabricó 80000. ¿Cuántos debe
esperar que resulten defectuosos?
Solución: p (defectuosos) = 0,05; n = 80000; defectuosos: n · p = 80000 · 0,05 = 4000 chips
57º.- Lanzamos un dado cinco veces y observamos el resultado obtenido. Considerando los resultados
que son múltiplos de tres, calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de tres en cada uno de los
cinco lanzamientos.
Solución: B(n = 5; p = 2/6 = 1/3); 0041,03
1·
5
55
5
xp (tabla)
58º.- Un arquero tiene una probabilidad de 5/6 de hacer blanco. Si realiza cuatro disparos, calcula:
a) La probabilidad de hacer dos blancos.
b) La probabilidad de hacer dos o más blancos.
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 23
Solución: B(4, 5/6) A) 1157,06
1·
6
5·
2
42
22
xp
B)
4322
6
5·
4
4
6
1·
6
5·
3
4
6
1·
6
5·
2
44322 xpxpxpxp
9838,04823,03858,01157,0
59º.- En una urna hay 3 bolas blancas y 7 negras. Se extraen, con devolución, 3 bolas y se observa
cuántas son de color blanco. Calcula:
a) La función de probabilidad, la media y la desviación típica.
b) P(X2).
c) P(X1).
Solución: n = nº experimentos; r = nº éxitos; p = 3/10
A) x = nº bolas blancas
ix 0 1 2 3
ip 0,343 0,441 0,189 0,027
9,0 ; 794,0
B) 973,0189,0441,0343,02102 xpxpxpxp
C) 216,0441,0343,01101111 xpxpxpxp
60º.- De una baraja de 40 cartas se extraen, con devolución, cuatro cartas y se anota el número de
copas que aparecen. Halla la función de probabilidad y la esperanza matemática.
Solución:
ix 0 1 2 3 4
ip 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039
1 ; 86,0
61º.- La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es:
X
P a b c
Sabiendo que P(X2)=0,7 y P(X2)=0,75, halla la esperanza matemática y la desviación típica.
Solución:
1,0;45,0;15,0
75,02,075,0)2(
7,01,07,0)2(
13,0
cba
cbxp
baxp
cba
ix 0 1 2 3 4
ip 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039
15,2 ; 1948,1
62º.- Dada la distribución de la variable aleatoria discreta X, P(X=1)=3/10; P(X=2)=4/10 y
P(X=3)=3/10, ¿cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria esté en el intervalo [-,+]?
Solución:
ix 1 2 3
ip 3/10 4/10 3/10
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 24
2 ; 77,06,0
10
4)2(77,223,1,77,2;23,177,02;77,02, xpxpp
63º.- Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad:
Xi 1 2 3 4 5 6
Pi 1/9 1/18 1/9 5/18 1/6 x
a) Completa la distribución de probabilidad.
b) Calcula la media y la desviación típica.
Solución: A) 18
51
6
1
18
5
9
1
18
1
9
1 xx
ix 1 2 3 4 5 6
ip 1/9 1/18 1/9 5/18 1/6 5/18
B) 17,4 ; 5986,1
64º.- La probabilidad de nacimientos de niños varones en España es de 51,7 %. Halla la probabilidad de
que una familia de 5 hijos tenga:
a) Por lo menos una niña.
b) Por lo menos un niño.
Solución:
A) P (al menos una niña) = 1 – P (ninguna niña) 9631,0517,0·5
51 2
B) 9737,0483,0·0
5101111 5
xpxpxp
65º.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es de 0,3. Calcula la
probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso:
a) Los siete finalicen la carrera.
b) Al menos dos acaben la carrera.
Solución: B(7; 0,3)
A) 000227,03,0·7
77 7
xp
B)
67 7,0·3,0·
1
77,0·
0
71101212 xpxpxpxp
6706,02471,00824,01
66º.- Se tiene una moneda trucada, de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de
sacar cruz. Se lanza seis veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades:
a) Obtener dos veces cruz.
b) Obtener, a lo sumo, dos veces cruz.
Solución: B(4; 4/5); p(cara)=4/5; p(x)=1/5
A) 2458,05
1·
5
4·
4
44
24
xp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 25
B)
2456
5
1
5
4·
4
7
5
1
5
4·
5
6
5
4·
6
6456 xpxpxp
9011,02458,03932,02621,0
67º.- Una moneda está trucada, de forma que la probabilidad de sacar cruz es 7/11. Se lanza la
moneda 10 veces. Encuentra:
a) La probabilidad de sacar 8 caras.
b) La probabilidad de sacar, al menos, una cruz.
Solución: B(10; 4/11)
A) 0056,011
7·
11
4·
8
108
28
xp
B) P (al menos una cara) m= 1 – P (ninguna cara) 99996.000004,0111
4·
10
101
10
68º.- En un juego se gana cuando, al lanzar dos dados, se obtiene suma de 10 puntos, o más. Un jugador
tira en 12 ocasiones los dos dados. Calcula:
a) Probabilidad de que gane exactamente en tres ocasiones.
b) Probabilidad de que pierda las doce veces que juega.
Solución: B(12; 1/6)
A) 1974,06
5·
6
1·
3
123
93
xp
B) 1122,06
5·
0
120
12
xp
69º.- Cierto medicamento contra una enfermedad provoca mejoría en el 60 % de los casos.
A) ¿Cuál es la probabilidad de que, de cinco pacientes que siguen el tratamiento, los cinco mejoren?
B) ¿Y de que cuatro no experimenten mejoría?
Solución: P (éxito) = 0,6; 5 pacientes
A) que los 5 mejoren: 0777,06,0·5
55 5
xp
B) que 4 no mejoren: 0768,04,0·6,0·1
51 4
xp
70º.- La probabilidad de que un alumno de primero de bachillerato estudie Matemáticas I es de 0,4.
Calcula la probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos elegidos al azar haya exactamente 7 que no
estudien Matemáticas I.
Solución: B(10; 0,4); 2150,06,0·4,0·3
103 73
xp
71º.- Un arquero tiene una probabilidad de hacer blanco de 4/5. Si tira 3 veces, calcula:
a) La probabilidad de hacer blanco exactamente una vez.
b) La probabilidad de hacer blanco más de una vez.
Solución: B (3; 4/5)
A) 096,05
1·
5
4·
1
31
2
xp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 26
B) 896,0512,0384,05
4·
3
3
5
1·
5
4·
2
3321
32
xpxpxp
72º.- Una variable aleatoria X sigue la ley binomial de tipo B(5; 0,3). Determina:
a) Su función de probabilidad.
b) La media y la desviación típica.
c) La función de distribución F(x).
Solución: A)
ix 0 1 2 3 4 5
ip 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024
B) 5,13,0·5· pn ; 025,17,0·3,0·5·· qpn
x F(x)
x < 0 0
0 x < 1 0,1681
1 x < 2 0,5283
2 x < 3 0,8370
3 x < 4 0,9693
4 x < 5 0,9977
5 x 1
73º.- Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se saca una bola al azar, se apunta el color, y se
devuelve a la urna. Si la experiencia se repite 5 veces, halla:
a) La probabilidad de obtener dos bolas blancas.
b) La probabilidad de obtener, a lo sumo, dos bolas blancas.
Solución: B (5; 0,4)
A) 3456,06,0·4,0·2
52 32
xp
B)
3245 6,0·4,0·
2
56,0·4,0·
1
56,0·
0
52102 xpxpxpxp
6825,03456,02592,00777,0
74º.- Supóngase que la probabilidad de que una persona sea mujer es ½. Se eligen al azar 100 familias
de cinco hijos cada una. ¿En cuántas es de esperar que haya 2 mujeres y tres hombres?
Solución: B (5; 1/2)
p (2 mujeres y 3 hombres) 3125,02
1·
2
1·
2
532
En 100 familias: 100 · 0,3125 = 31 familias
75º.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con
las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años es de 3/5.
Determina la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:
a) Los cinco individuos.
b) Al menos tres.
c) Sólo dos.
d) Al menos uno.
Solución: B (5; 3/5)
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 27
A) 0778,05
3·
5
55
2
xp
B)
5423
5
3·
5
5
5
2
5
3·
4
5
5
2·
5
3·
3
55433 xpxpxpxp
6826,00778,02592,03456,0
C) 2304,05
2·
5
3·
2
52
32
xp
D) 9898,05
2·
0
5101111
5
xpxpxp
76º.- El 2 % de camiones de un determinado modelo sufre averías durante la primera semana de
rodaje, cambiando el fabricante, en este caso, el camión a su propietario. Si una empresa de transporte
compró 10 vehículos de este modelo, calcula la probabilidad de que durante la primera semana de
rodaje:
a) Sufran avería dos camiones.
b) No se averíe ninguno de los diez.
c) Determina el número medio de camiones que tendrá que cambiar la fábrica este año si se
han vendido 50.000 camiones de este modelo.
Solución: B (10; 0,02)
A) 0153,098,0·02,0·2
102 22
xp
B) 8171,098,0·0
100 10
xp
C) 20000 · 0,02 = 1000 camiones
77º.- Clara juega al golf. La probabilidad de que Clara haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia
es de 0,2. Si lo intenta cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de que no acierte ninguno? ¿Cuál es la
probabilidad de que acierte alguno? De cada 100 lanzamientos que haga a esa distancia, ¿cuántos
acertará por término medio?
Solución: B (5; 0,2)
P (no acertar ninguno) 3277,08,0·0
55
P (acertar alguno) 6723,03277,018,0·0
51 5
De 100 acierta: 100 · 0,2 = 20 lanzamientos
78º.- La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es de 0,45. Se lanza la moneda siete
veces. Calcula la probabilidad de que:
a) Salgan exactamente tres caras.
b) Salgan, al menos, tres caras.
c) Salgan, a lo sumo, tres caras.
Solución: B (7; 0,45)
A) 2918,055,0·45,0·3
73 43
xp
B) 2101313 xpxpxpxpxp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 28
6836,02140,00872,00152,0155,0·45,0·2
755,0·45,0·
1
755,0·
0
71 5267
C) 6082,02918,06836,01331313 xpxpxpxp
79º.- En una determinada región, el 30 % de sus habitantes tiene sangre de tipo A. Se analiza la
sangre de 10 personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cinco personas con sangre de tipo A, entre las
examinadas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad tenga sangre de dicho tipo?
c) ¿Cuántos cabe esperar que tengan sangre de tipo A?
Solución: B (10; 0,3)
A) 1029,07,0·3,0·5
105 55
xp
B) 432105 xpxpxpxpxpxp
647382910 7,0·3,0·
4
107,0·3,0·
3
107,0·3,0·
2
107,0·3,0·
1
107,0·
0
10
8497,02001,02668,02335,01211,00282,0
C) De media: 10 · 0,3 = 3 habitantes tipo A
80º.- Cuatro de cada cinco candidatos consideran que los parques de su ciudad están mal conservados.
Si se eligen 10 ciudadanos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que alguno considere que los parques
están bien conservados?
Solución: B (10; 1/5); p = 1/5 (bien conservado)
8926,05
4·
0
10101111
10
xpxpxp
81º.- En un examen trimestral de cierta asignatura suele aprobar el 70 % de los que se presentan.
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben los 8 alumnos que se han presentado en un día determinado?
¿Cuál es la probabilidad de que apruebe sólo uno?
Solución: B (8; 0,7)
0576,07,0·8
88 8
xp ; 0012,03,0·7,0·
1
81 7
xp
82º.- El 5 % de las bombillas fabricadas por una fábrica son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de
que 6 de 10 bombillas compradas funcionen correctamente? La empresa fabrica 150.000 durante un
año. ¿Cuántas bombillas cabe esperar que sean defectuosas?
Solución: B (10; 0,95); 001,005,0·95,0·6
106 46
xp
De 150000 se tiene: 150000 · 0,05 = 7500 defectuosas
83º.- En una epidemia de gripe, tres de cada cinco personas de una población están afectadas por
dicha enfermedad. Elegidas 8 personas al azar, calcula:
a) Probabilidad de que tres de ellas padezcan la enfermedad.
b) Probabilidad de que, al menos cuatro, estén sanas.
Solución: B (8; 3/5)
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 29
A) 1239,05
2·
5
3·
3
83
53
xp
B) p (al menos 4 sanos) = P (menos de 4 enfermos)
43210 xpxpxpxpxp
44536278
5
2·
5
3·
4
8
5
2·
5
3·
3
8
5
2·
5
3·
2
8
5
2·
5
3·
1
8
5
2·
8
8
4061,02322,01239,00413,00079,00007,0
84º.- Se ha hecho un estudio sobre las causas que producen la muerte de los conejos durante el
primer año de vida en una cierta zona y se ha observado que el 20 % muere porque se los come un
depredador (zorro, lobo, ave rapaz, ...); el 10 % muere por enfermedad (mixomatosis, ...); y el 15 % tiene
un accidente (son cazados, atropellados, ...).
a) ¿Qué probabilidad tiene un conejo de cumplir su primer año de vida?
b) En una camada de 10 conejos, ¿qué probabilidad hay de que, al menos 3, cumplan su primer
año de vida?
Solución:
A) p (morir 1 conejo) = 20 + 10 + 15 = 45 %
p (vivir) = 100 – 45 = 55 %. Por tanto: p = 0,55
B) B(10; 0,55); 2101313 xpxpxpxpxp
9726,00274,010229,00042,00003,0145,0·55,0·2
1045,0·55,0·
1
1045,0·
0
101 82910
85º.- En un examen tipo test hay 10 preguntas, con 4 respuestas posibles a elegir por cada una (siendo
sólo una de ellas correcta). Si una persona desconoce completamente la materia y responde al azar:
a) ¿Cuántas respuestas acertará por término medio?
b) ¿Cuánto vale la desviación típica?
c) ¿Qué probabilidad tiene de acertar, al menos, cinco preguntas y, por tanto, aprobar?
Solución: B(10; ¼)
A) 5,24
1·10 preguntas.
B) 37,14
3·
4
1·10
C) 10987655 xpxpxpxpxpxpxp
10928374655
4
1·
9
10
4
3·
4
1·
9
10
4
3·
4
1·
8
10
4
3·
4
1·
7
10
4
3·
4
1·
6
10
4
3·
4
1·
5
10
076,00600,000003,00004,0003,00162,00563,0
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 30
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA
Recordamos que una variable aleatoria es una función que a cada elemento del espacio muestral E de un
experimento aleatorio le asocia un número real. Una variable aleatoria es continua cuando toma todos
los valores pertenecientes a un intervalo de la recta real.
En este caso se presenta el problema de que no puede asignarse un número real (un valor de
probabilidad) a cada uno de los infinitos valores del intervalo sobre el que está definida la variable
(porque la probabilidad puntual vale 0). Lo que si se puede calcular es la probabilidad dentro de un
intervalo.
Por tanto, para que las variables aleatorias continuas tengan sentido, hay que definirlas mediante por
una función que se denomina función de probabilidad, distribución de probabilidad o función de
densidad.
La función de densidad se define como la función correspondiente a la curva límite del histograma de
una distribución continua de frecuencias, al considerar un número cada vez mayor de intervalos de
amplitud progresivamente menor.
Ejemplo 86º: En un carrera de maratón tenemos los siguientes datos: el ganador ha recorrido los
42195 metros en un tiempo de 2 horas 21 minutos 35 segundos; el último corredor ha tardado 4 horas
50 minutos, y la carrera la han terminado un total de 500 corredores.
Se ha considerado la variable x = “tiempo empleado por cada corredor” y se han agrupado los tiempos
invertidos por los 500 corredores en cinco intervalos de 30 minutos. Los resultados se recogen en la
tabla siguiente y se adjunta el correspondiente histograma de frecuencias relativas:
Tiempo
(minutos)
Número de
corredores
Frecuencia
Relativa
(140,170] 27 0,054
(170,200] 95 0,19
(200,230] 152 0,304
(230,260] 173 0,346
(260,290] 53 0,106
Suma 500 1
Si se hace una nueva distribución de frecuencias, esta vez agrupando los resultados en diez intervalos
de quince minutos de amplitud, se tienen los resultados mostrados en la tabla siguiente:
Tiempo
(minutos)
Número de
corredores
Frecuencia
Relativa
(140,155] 8 0,016
(155,170] 19 0,038
(170,185] 45 0,090
(185,200] 50 0,1
(200,215] 62 0,124
(215,230] 90 0,18
(230,245] 100 0,2
(245,260] 73 0,146
(260,275] 40 0,080
(275,290] 13 0,026
Suma 500 1
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 31
Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones
estadísticas de variable continua.
Estaturas, pesos, tiempos… son variables continuas.
Si seguimos dividiendo los intervalos de modo que se tienda a considerar un número infinitamente
grande de intervalos infinitamente pequeños, aparece como “límite” del polígono de frecuencias una
curva que corresponde a una función real de variable real.
Esta función se llama función de densidad y debe cumplir las siguientes condiciones:
f(x) 0, para todo valor de x.
El área bajo la gráfica de f(x) sobre el eje de abscisas es 1.
Del mismo modo que para calcular probabilidades en una variable discreta se necesita su función de
probabilidad, para poder calcular probabilidades en una variable aleatoria continua se precisará de su
función de densidad, pero ahora la probabilidad corresponde al área.
Para hallar la probabilidad bxaP , obtendremos el área bajo la curva en el intervalo ba, :
bxaP = Área bajo la curva en ba, .
Resumiendo: Si x es una variable aleatoria continua y f(x) su función de densidad, la probabilidad de que
x pertenezca a un cierto intervalo ba, , es el área de la región limitada por la gráfica de f(x), las
rectas ax , bx y el eje OX. Es decir:
baxfÁreabxaP ,, = Área limitada por f(x) sobre OX desde 1x hasta 2x .
Las probabilidades de sucesos puntuales son cero: 0 axP , 0 bxP , …
Por tanto: bxaPbxaP :
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 32
CÁLCULO DE PROBABILIDADES A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD F(X)
Hay que calcular el área bajo la curva de la función de densidad entre los valores que se desea.
Eso se hace con el cálculo integral, que se estudiará el curso próximo.
Aunque con algunas funciones sencillas se puede calcular de forma geométrica.
Ejemplo 87º: Calcula k para que la función:
5,10
5,1
)(xsi
xsik
xf sea una función de
densidad. Halla la probabilidad: 32 xP , 52 xP , 5,22 xP .
Solución: El área total bajo la curva vale 1: 4
11·451 kkxPxP
4
1
4
1·2332 xP
Análogamente se calculan las otras dos probabilidades.
Ejemplo 88º: Calcula m para que la función:
4,00
4,0
)(xsi
xsimx
xf , sea una función de
densidad. Halla la probabilidad: 32 xP .
Solución: El área del triángulo vale 1: mm
82
4·4 . Por tanto:
8
11840 mmxPxP
La función densidad es y = x/8 con 4,0x . El área del trapecio coloreado nos da la probabilidad
buscada:
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 33
16
5
2
18
3
8
2
32
xP
EJERCICIOS
89º.- Sea la función:
1,00
1,02
)(xsi
xsix
xf . Comprueba que es función de densidad y halla
2/10 xP .
Solución: Se cumple: f(x) 0, para todo valor de x. El área del triángulo vale 1: 12
2·1
2
·
hbA .
Por tanto: 4
1
2
1·2
1
2
2
1·
2
1
2
10
f
xP
90º.- Sea la función:
axsi
axsik
xf,00
,0
)( . Calcula el valor de k para que f(x) sea función
de densidad y halla 3/4/ aXap .
Solución: Función de densidad, por tanto: k > 0. Área 1: a
kakA1
1· .
Por tanto: ka
kaaa
xa
P ·12
·4334
. Como
ak
1
12
11·
12
a
aP
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Si se conoce la función de densidad de una variable aleatoria continua, f(x), se puede calcular la
probabilidad de que la variable esté comprendida entre dos valores determinados mediante el área que
limita esa función de densidad sobre el eje de abscisas, entre los dos valores dados. Además, sabemos
que la probabilidad puntual es cero.
Por tanto, si a y b son dos valores cualesquiera del dominio de la variable, se tiene:
baxfÁreabxapbxapbxap ,,
Pero el cálculo del área puede ser complicado y necesita del cálculo integral. Para facilitar el cálculo se
ha definido una función que da el área encerrada por la gráfica de la función de densidad sobre el eje
OX desde - hasta x. Esta función se llama función de distribución y se define como:
xXpxF
El valor de la función de distribución para un determinado valor, x, de la variable, representa la
probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que x.
Por tanto se pueden hallar probabilidades a partir de la función de distribución F(x) sin necesidad de
calcular áreas, teniendo en cuenta las dos relaciones básicas para ello:
aFbFbXap
aFaXpaXpaXp 11
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 34
Ejemplo 91º: Dada una variable continua cuya función de distribución es:
xsi
xsix
xsi
xF
31
312
1
10
)( , calcula la probabilidad de que la variable tome valores entre 1,5 y 2.
Solución: 25,02
15,1
2
125,1225,1
FFxp
EJERCICIOS
92º.- La función de distribución de una variable aleatoria es:
xsi
xsix
xsi
xF
21
217
10
)(3
. Halla la
probabilidad de que:
a) x sea menor que 3/2.
b) x sea mayor que 3/2.
c) x esté comprendido entre 1,3 y 1,7.
Solución: A) 56
27
7
2
3
2
3
2
3
3
FxP
B) 56
29
56
271
2
31
2
3
xPxP
C) 7
3,1
7
7,13,17,17,13,1
33
FFxP
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La mayor parte de las variables aleatorias continuas, sobre todo las que dependen de un gran número de
factores, tienen una distribución de probabilidad que acumula muchos individuos en los valores
centrales, pero el número de éstos va decreciendo según se aleja la variable en cualquiera de los dos
sentidos.
Lo normal es que haya pocos individuos con valores extremos, ya sea por debajo o por encima de la
media, y multitud de individuos que tomen valores intermedios, próximos a la media.
La apariencia gráfica de estas distribuciones es una curva, más o menos simétrica, en forma de campana
llamada campana de Gauss.
Si la gráfica de la función de densidad de una variable aleatoria continua se ajusta a una campana de
Gauss se dice que la variable presenta una distribución normal. Las características esenciales de una
distribución normal son la media y la desviación típica, de modo que las variables que presentan una
distribución normal de media y desviación típica , se representan por ,N .
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 35
La campana de Gauss o curva normal es una
curva simétrica con un máximo en x = , puntos
de inflexión en x = y una asíntota
horizontal en y = 0, es decir, el eje de abscisas.
Para cada par , existe una campana de Gauss distinta, pero todas ellas verifican las siguientes
propiedades:
- El área total bajo la curva desde x = - hasta x = + vale 1, ya que la curva es su función de
densidad.
- El área bajo la curva entre dos abscisas cualesquiera representa la probabilidad de que la
variable tome algún valor entre esas dos abscisas.
- El área bajo la curva entre los dos puntos de inflexión vale 0,6827, es decir, que el 68,27 %
de los individuos (aproximadamente un porcentaje de 2/3) toma valores centrales en una
distribución normal.
- El área bajo la curva entre - 2 y + 2 es 0,9545, esto es, sólo el 5 % de los individuos
presenta un valor de la variable que difiere de la media dos veces más que la desviación
típica.
- El área bajo la curva entre - 3 y + 3 es 0,9973 o, lo que es lo mismo, que
prácticamente la totalidad de los individuos tiene un valor de la variable que difiere de la
media, en valor absoluto, menos de tres veces la desviación típica.
La expresión de la función de densidad de una variable x que sigue una distribución normal es:
2
2
2
2
1)(
x
exf
Ejemplo 93º: La duración, en horas de funcionamiento, de las pilas alcalinas fabricadas por una
determinada empresa, sigue una distribución normal de media = 60 y desviación típica = 5.
a) Se examinan cien pilas alcalinas, ¿cuántas de ellas se espera que tengan una duración
comprendida entre 55 y 65 horas?
b) ¿Y cuántas durarán más de 70 horas?
Solución:
a) Como = 60 y = 5, resulta que 55 = - y 65 = + . Por tanto, según las propiedades de la
distribución normal, el número de individuos comprendidos entre éstos dos valores es el 68,27 %. Así,
es de esperar que, de las cien pilas alcalinas, 68 tengan una duración comprendida entre 55 y 65 horas.
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 36
b) Como 70 = 60 + 2 · 5 = + 2, la proporción de individuos con valores superiores a + 2 o inferiores
a - 2 es del 4,55 %; siendo la distribución perfectamente simétrica, es de esperar que de las cien
pilas la mitad, que corresponde al 2
55,4 %, es decir, 2,275 2 pilas, duren más de 70 horas.
Ejemplo 94º: Las estaturas de 800 personas se distribuyen según la normal N(175,10). Distribuye a
esas 800 personas en los intervalos 2,3 , ,2 , , , , ,
2, y 3,2 .
Solución:
En primer lugar, calculamos los extremos de los intervalos indicados: 1453 , 1552 ,
165 , 185 , 1952 y 2053 .
Se sabe que las medidas se situarán entre los 145 y los 205 cm y que entre 155 y 195 cm se sitúa el
95,45 % del total, lo que supone 764 personas. Por tanto, habrá 800 – 764 = 36 personas repartidas en
los intervalos 155,145 y 205,195 . Como la distribución es simétrica, debe haber 18 personas
situadas en el intervalo 155,145 y otras 18 en 205,195 .
Del mismo modo, entre los 165 y 185 cm se encuentra el 68,27 % del total, es decir, 546 personas. Por
tanto habrá 764 – 546 = 218 personas repartidas en los intervalos 165,155 y 195,185 , en cada uno
de los cuáles habrá un total de 109 personas. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:
Intervalo 2,3
155,145
,2
165,155
,
175,165
,
185,175
2,
195,185
3,2
205,195
Nº de
personas
18 109 273 273 109 18
EJERCICIOS
95º.- El conjunto de calificaciones de matemáticas obtenidas por un grupo de 200 alumnos en las
pruebas de Selectividad, sigue una distribución normal N(5; 1,33). Haz una distribución de las
calificaciones de los 200 alumnos en intervalos de amplitud 1,33, partiendo de la media hacia arriba y
hacia abajo.
CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
Para poder calcular probabilidades en una distribución normal, es necesario saber calcular el área bajo
la curva de su función de densidad entre dos valores cualesquiera. Puesto que éste cálculo no es
sencillo, se han elaborado tablas para la función de distribución, xXpxF . El problema es que
existen infinitas distribuciones normales diferentes. Pero como todas tienen propiedades comunes, se
puede reducir una de ellas a cualquier otra, haciendo un cambio de variable adecuado.
Se ha tabulado la distribución normal más sencilla, que es la distribución N(0,1), es decir, la que tiene
media 0 y desviación típica 1, y que se llama distribución normal estándar o tipificada. En las tablas la
precisión de la variable llega hasta las centésimas, mientras que la de la función de distribución llega
hasta las diez milésimas.
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 37
Ejemplo 96º.- (ejercicio resuelto pág. 354 - 355):
Si x sigue una distribución N(0,1), calcula:
A) 32,1zp B) 74,0zp
C) 26,2zp D) 73,1zp
E) 13,247,0 zp F) 66,127,1 zp
G) 65,077,1 zp .
Solución: A) Para obtener 32,132,1 zpF , se busca en la
tabla N(0,1), en la columna de la izquierda, el valor 1,3, pero la
segunda cifra decimal 0,02 se encuentra en la fila superior. El
valor correspondiente, 0,9066, es la probabilidad buscada.
B) Para obtener 74,0zp , se puede utilizar la probabilidad
del suceso contrario y el hecho de que la suma de la probabilidad
de un suceso con su contrario es la unidad:
2296,07704,0174,0174,0174,0 Fzpzp
C) Como la tabla solo nos da probabilidades para valores positivos de
la variable z, para obtener 26,2zp se tiene en cuenta la
simetría de la función densidad y que el área bajo toda la curva es la
unidad:
26,2126,226,2 zpzpzp
0019,09981,0126,21 F .
E) Para obtener 73,1zp , observamos el dibujo y
consideramos el área que podemos obtener directamente en la
tabla:
F)
9582,073,173,1 zpzp .
E) Para calcular 13,247,0 zp , observamos el dibujo y restamos
el área mayor menos la menor:
6808,09834,047,013,213,247,0 zpzpzp
3026,0 .
F) Para calcular 66,127,1 zp , observamos el dibujo y tenemos
en cuenta todo lo visto anteriormente:
27,166,127,166,166,127,1 zpzpzpzpzp
8495,08980,019515,027,1166,1 zpzp
G) Para calcular 65,077,1 zp , observamos el dibujo
tenemos:
65,077,177,165,065,077,1 pzpzpzp
2194,07422,09616,0
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 38
Ejemplo 97º.- (ejercicio 1 resuelto pág. 356):
Sea Z una variable aleatoria que sigue una distribución N(0,1). Halla las siguientes probabilidades:
A) 32,0zp B) 0zp C) 3,2zp
D) 0zp E) 51,051,0 zp F) 55,10 zp
Solución:
a) 3745,06255,0132,0132,0 zpzp
b) 5,00 zp
c) 9893,03,23,2 zpzp
d) 5,000 zpzp
e) 43394,05,06950,0·25,051,0·251,00·251,051,0 zpzpzp
f) 4394,05,09394,0055,155,10 zpzpzp
Ejemplo 98º.- (ejercicio 2 resuelto pág. 356):
Si Z es una variable aleatoria que sigue una distribución normal N(0,1), halla el valor de a en cada una de
las siguientes igualdades:
A) 7673,0 azp B) 9940,0 zap
C) 4115,00 azp D) 9974,02 azp
Solución:
a) tabla: a = 0,73.
b) Probabilidad mayor que 0,5, por tanto, área mayor que 0,5, por tanto, a negativo.
51,29940,0 aazpazp
c) 35,19115,05,04115,05,000 aazpazpzpazpazp
d) 79,079,229974,02 aaazp
Ejemplo 99º: Sea X una variable que sigue una distribución N(0,1). Calcula la probabilidad de que:
a) x > 1,23 b) 01,223,1 x
c) x < -1,23 d) 01,223,1 x
Solución:
a) 1093,08907,0123,1123,1123,1 Fxpxp
b) 0871,08907,09778,023,101,201,223,1 FFxp
c) Por simetría: 1093,023,1123,123,1 Fxpxp
d) 8685,01093,09778,023,101,201,223,1 xpxpxp
EJERCICIOS
100º.- Sea Z una variable aleatoria N(0,1), calcula:
a) p Z( , ) 1 45 b) p Z( , ) 1 45 c) )57,225,1( Zp
d) p Z( , , ) 2 57 1 25 e) p Z( , , ) 0 53 2 46
Solución:
a) 9265,0)45,1( Zp
b) 0735,09265,0145,1145,145,1 zpzpzp
c) 1005,08944,09949,025,157,257,225,1 zpzpzp
d) 57,225,157,225,125,157,2 zpzpzpzpzp
1005,09949,08944,057,225,157,2125,11 zpzpzpzp
e) 53,046,253,046,246,253,0 zpzpzpzpzp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 39
6950,07019,019931,053,0146,2 zpzp
101º.- Sea Z una variable aleatoria N(0,1), calcula:
a) p Z( , ) 132 b) p Z( , ) 1 32 c) )17,2( Zp
d) p Z( , ) 2 17 e) p Z( , , )1 52 2 03 f) p Z( , , ) 2 03 152
Solución:
a) 0934,09066,0132,11)32,1( zpZp
b) 9066,032,132,1 zpzp
c) 9850,017,2 zp
d) 0150,09850,0117,2117,217,2 zpzpzp
e) 0431,09357,09788,052,103,203,252,1 zpzpzp
f) 03,252,103,252,152,103,2 zpzpzpzpzp
9145,09788,019357,003,2152,1 zpzp
102º.- (ejercicio 5 pág. 366):
En una distribución normal N(0,1), calcula el valor de k, sabiendo que k 0, en los siguientes casos:
a) 1075,0)( kzp b) 7967,0)( kzp c) 4236,0)( kzp
Solución:
a) 24,18925,01075,011 kkzpkzp
b) 83,07967,0)( kkZp
c) 195,15764,04236,011 kkzpkzp
103º.- En una distribución normal N(0,1), calcula el valor de k, sabiendo que k 0, en los siguientes
casos:
a) 7673,0)( kzp b) 9761,0)( kzp c) 0045,0)( kzp
Solución:
a) 75,0k b) 98,1k c) 61,2k
TIPIFICACIÓN DE LA VARIABLE
Si una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media , para calcular probabilidades es
preciso hacer un cambio de variable y así poder utilizar las tablas de la distribución tipificada. Esto se
llama tipificar o estandarizar la variable.
Se trata de calcular los valores de la variable referidos a su media, y hacerlo en unidades de la
desviación típica. Esto se consigue calculando Z para que: X = + Z, es decir:
XZ .
Entonces, si X sigue una distribución normal ,N , la nueva variable
XZ sigue una
distribución normal de = 0 y = 1, es decir, una 1,0N .
Ejemplo 104º: Sea X una variable que sigue una distribución normal N(120,30). Halla la probabilidad de
que la variable tome valores entre 110 y 125.
Solución: Para tipificar la variable hacemos el cambio: 30
120
XZ :
1666,03333,0
30
120125
30
120
30
120110125110 zp
xpxp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 40
33,0117,033,0117,033,017,0 FFzFzpzpzp
1968,06293,015675,0
EJERCICIOS
105º.- En una distribución normal N(5,2), calcula:
a) )6( xp b) )5,4( xp c) )2,7( xp
d) )63( xp
Solución: Tipificando:
A) 6915,05,02
566
zpzpxp
B) 4013,05987,0125,0125,02
5,455,4
zpzpzpxp
C) 8643,01,12
52,72,7
zpzpxp
D)
15,05,01
2
56
2
5363 zpzpzpzpxp
5328,08413,016915,0115,0 zpzp
106º.- En una distribución normal N(5,2), calcula el valor de k, para que se cumplan las siguientes
igualdades:
a) 8106,0)( kxp b) 4801,0)( kxp c) 5934,0)55( kxkp
Solución: Tipificando:
A) 76,688,02
58106,0
2
5
k
kkzp
B)
5199,0
2
54801,0
2
511
kzp
kzpkxpkxp
1,505,02
5
k
k
C) 12
·2222
55
2
5555
kzp
kz
kp
kz
kpkxkp . Como:
66,183,02
7967,02
5934,012
25934,055
k
kkzp
kzpkxkp
107º.- Un autobús tiene prevista su entrada en la terminal a las 12.00 horas. Pero la hora a la que llega
habitualmente es una variable aleatoria que sigue una distribución 5,2;00:12N , donde la media está
expresada en horas y la desviación típica se mide en minutos. Calcula la probabilidad de que el autobús:
a) Se retrase 5 minutos como máximo.
b) Se adelante 10 minutos como mínimo.
c) Llegue puntualmente, con un margen de error de 1 minuto.
Solución: A) 9772,025720 zpxp
B)
4144
5,0
72071071010720 zpzpzpzpxpxp
(no tabla)
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 41
C)
40,040,0
5,2
720721
5,2
720719721719 zpzpxp
40,0140,040,040,040,040,0 zpzpzpzpzpzp
3308,06554,016554,0
108º.- Una variable presenta una distribución 5,1;6N . Calcula, usando las tablas de la distribución
1,0N , la probabilidad de que la variable tome un valor mayor o igual que 4,5, siendo 5,4xp .
Solución: 8413,0115,1
65,45,4
zpzpzpxp
109º.- Se tiene una distribución normal 8,35N . Calcula los cuartiles y el percentil 60.
Solución: Cuartiles (p:25) no viene en la tabla. Miro 75P y por simetría.
4,4035675,0·8675,0
8
35
75,02
68,067,0:
75,08
35
aa
zptabla
azpaxp
25,06,296,294,5354,5354,4025 xpP
Percentil 60:
04,3735255,0·8255,0
8
35
60,02
26,025,0:
60,08
35
aa
zptabla
azpaxp
35;4,40;04,37;6,29 50756025 PPPP
110º.- Las calificaciones de cierta asignatura en un curso de 280 alumnos siguen una distribución
normal 8,1;5,5N . Si el aprobado se consigue con una calificación mayor o igual que 5, calcula el número
de aprobados que ha habido en ese curso en dicha asignatura.
Solución: %03,616103,028,028,08,1
5,555
zpzpzpxp
alumnosde 1708,170280·100
03,61280%03,61
111º.- Las calificaciones de los estudiantes de un curso siguen una distribución normal. Si las
puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y –0,4 y sus notas reales fueron 88 y 64 puntos,
¿cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones? ¿Cuál es la probabilidad de que un
estudiante saque una calificación comprendida entre 75 y 90 puntos?
Solución: 20;72644,0
888,0644,0;
888,0
xz
75,015,0
20
7590
20
72
20
72759075 zp
xpxp
2138,05596,07734,015,075,0 zpzp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 42
112º.- La duración media de un lavavajillas es de 15 años con una desviación típica igual a 0,5 años. Si
la vida útil del electrodoméstico se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comprar un
lavavajillas éste dure más de 16 años.
Solución: 0228,09772,012125,0
151616
zpzpzpxp
113º.- Considera la siguiente tabla de frecuencias:
Intervalo 3 5 6 5, , ) 6 5 9 5, , ) 9 5 12 5, , ) 12 5 15 5, , ) 15 5 18 5, , )
Frecuencia 3 5 9 6 2
a) Calcula la media y la desviación típica
b) Calcula la probabilidad de que una variable normal de media y desviación típica iguales a las
obtenidas en el apartado a sea mayor que 12,5.
Solución:
intervalo ix F x·f
ii fx ·2
3 5 6 5, , ) 5 3 15 75
6 5 9 5, , ) 8 5 40 320
9 5 12 5, , ) 11 9 99 1089
12 5 15 5, , ) 14 6 84 1176
15 5 18 5, , ) 17 2 34 578
25 272 3230
A) 88,1025
272 ; 338,388,10
25
3238 2
B)
49,0149,0149,0
338,3
88,105,125,12 Fzpzpzpxp
3121,06879,01
114º.- Las precipitaciones anuales de una ciudad son, en media, de 2000 ml/m2, con una desviación
típica de 300 ml/m2. Calcula, suponiendo distribución normal, la probabilidad de que un año determinado
la lluvia:
a) No supere los 1200 ml/m2.
b) Supere los 1500 ml.
c) Esté entre los 1700 y los 2300 ml.
Solución: A)
67,2167,267,2
300
200012001200 zpzpzpzpxp
0038,09962,01
B) 9525,067,167,1300
200015001500
zpzpzpxp
C)
11
300
20002300
300
2000170023001700 zpzpxp
6826,018413,0·211·211111 zpzpzpzpzp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 43
115º.- Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 66 cm y una
desviación típica de 5. Calcula cuántos recién nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre 65 y
70 cm.
Solución:
8,02,0
5
6670
5
66657065 zpzpxp
2,018,02,08,02,08,0 zpzpzpzpzpzp
nacidosreciénde 293800·100
74,36800%74,363674,05793,017881,0
116º.- En un examen a un gran número de estudiantes, se comprobó que las calificaciones obtenidas
correspondían razonablemente a una distribución normal con calificación media de 6 y desviación típica
de 1. Elegido al azar un estudiante, calcula cuál es la probabilidad de que su calificación esté
comprendida entre 6,7 y 7,1.
Solución:
1,17,0
1
61,7
1
67,61,77,6 zpzpxp
1063,07580,08643,07,01,1 zpzp
117º.- Los ingresos diarios en una empresa tienen una distribución normal, con media 35560 y
desviación típica 2530 euros. Justifica si es razonable o no el esperar obtener un día unas ventas
superiores a 55000 euros. Calcula cuántos días en un año se espera obtener unas ventas superiores a
40620 euros.
Solución: 068,7168,72530
355605500055000
zpzpzpxp
%28,20228,09772,012122530
355604062040620
zpzpzpxp
díasde 832,8365·100
28,2365%28,2
118º.- El peso de las truchas en una piscifactoría sigue una ley N(200,50). Se extrae una al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que su peso no exceda los 175 gramos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su peso exceda los 230 gramos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que su peso esté comprendido entre 225 y 275 gramos?
Solución: A) 3085,05,015,05,050
200175175
zpzpzpzpxp
B) 2743,06,016,050
200230230
zpzpzpxp
C)
5,15,0
50
200275
50
200225275225 zpzpxp
2417,06915,09332,05,05,1 zpzp
119º.- El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye como una distribución normal
de 500 kg de media y 45 kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 100 toros:
a) ¿Cuántos pesarán más de 500 kg?
b) ¿Cuántos pesarán menos de 480 kg?
c) ¿Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg?
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 44
Solución: A) toroszpzpxp 505,05,01010500
B) 3300,044,0144,044,045
204800
zpzpzpzpxp
toros3333,0·100
C)
22,022,0
45
500510
45
500490510490 zpzpxp
22,0122,022,022,022,022,0 zpzpzpzpzpzp
toros171742,05871,015871,0
120º.- Sea x una variable aleatoria que mide la estatura de los individuos de una población y que se
distribuye según una normal de media 1,74 y desviación típica .
a) Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una estatura inferior o igual a la
media.
b) Si la desviación estándar es 0,05, calcula la probabilidad de que la estatura de un individuo
elegido al azar esté comprendida entre 1,64 y 1,84.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una estatura inferior a 1,84?
Solución: A) 5000,0074,174,1
74,1;74,1
zpzpxpN
B)
22
05,0
74,184,1
05,0
74,164,184,164,105,0;74,1 zpzpxpN
2122222 zpzpzpzpzpzp
9544,09772,019772,0
C) 9772,0205,0
74,184,184,1
zpzpxp
121º.- La compañía aérea “Avión” sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con
una retraso medio de 10 minutos y desviación típica de 5 minutos. Calcula:
a) Probabilidad de que un vuelo no tenga retraso.
b) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 10 minutos de retraso.
c) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 20 minutos de retraso.
Solución: A)
2122
5
10005,10 zpzpzpzpxpN
0228,09772,01
B) 5000,005
101010
zpzpxp
C) 9772,025
102020
zpzpxp
122º.- Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y
desviación típica 15.
a) Determina el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50 % de la población?
c) En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se espera que tengan un coeficiente
superior a 125?
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 45
Solución: A)
67,0332,0
15
100110
15
100951109515,100 zpzpxpN
33,0167,033,067,033,067,0 zpzpzpzpzpzp
3779,06293,017486,0
B) 25,0025,005,0;5000,0%50 zpazpazpazap
110,90110675,015
100675,075,05,025,0
x
xaazp
C) 0475,09525,0167,1167,115
100125125
zpzpzpxp
1251190475,0·2500 conCI
123º.- Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una
distribución normal N(65,18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura
general, de cultura general aceptable, de excelente cultura) de modo que haya en el primero un 20 % de
la población, un 65 % en el segundo y un 15 % en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que
marcan el paso de un grupo a otro?
Solución: A)
18,0)(
18
65%20;18,65 negativo
azpaxpbajaN
79,49845,02
85,084,0
18
65;80,0
18
65
a
aTabla
azp
B)
15,0
18
651
18
6515,0%15
azp
azpaxpexcelente
72,8304,118
6585,004,1;85,0
18
65
a
azpTabla
azp
REPARTO: excelentexaceptablexbajax 72,83;72,8379,49;79,49
124º.- Aplicando un test a un grupo de 300 personas, se ha obtenido una distribución normal de media
50 y desviación 5. Se pide:
a) Calcula las puntuaciones que delimitan el 30 % central de la distribución.
b) Calcula el número de personas que obtiene en el test más de 56 puntos o menos de 47.
Solución: A) Puntuación que limita 30 % central: 70 % fuera; es decir, 35 % por encima y 35 % por
debajo.
35,0)(
5
50negativo
azpaxp
tabla
azp
azp
azp 65,0
5
5035,0
5
501
5
50
05,4839,05
5065,039,0
a
azp
B)
2,16,0
5
5056
5
50475647 zpzpxp
6106,07257,018849,06,02,1 zpzp
personasxpxp 1173894,0·3003894,06106,014756
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 46
125º.- Se sabe que dos poblaciones distintas, X e Y, se distribuyen normalmente con media 0. Además
1587,032 ypxp . Calcula sus respectivas varianzas.
Solución: 21 ,0:;,0: NyNx
8413,021587,02 xpxp
tablazp 8413,0
02
1
8413,011,0: zpNz 2102
1
1
Análogamente:
2
2
038413,01587,0133
zpyp
Varianzas
126º.- a) Los litros de gasolina distribuidos cada día por una gasolinera es una variable normal de
media 15.000 litros y desviación típica de 1000 litros. Determina la cantidad diaria que hay que tener
dispuesta a la venta para poder satisfacer la demanda el 95 % de los días.
b) Si la gasolinera compra el litro de gasolina a 75 céntimos de euro y lo vende a 125 céntimos, ¿qué
porcentaje de días sus beneficios superarán las 8000 euros?
Solución: A)
645,1
2
65,164,1;95,0
1000
1500095,0 Tabla
azpaxp
Laa
16645164515000645,11000
15000
B)
1000
150001600011600011600016000
75125
800000zpxpxpL
%87,151587,08413,0111 zp
127º.- Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en un examen de Matemáticas siguen una
distribución normal 0,1;5,5N . Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya obtenido
una nota:
a) Superior a 7.
b) Comprendida entre 5 y 7.
c) Inferior a 5.
Solución: A)
5,115,1
0,1
5,5770,1;5,5 zpzpzpxpN
0668,09332,01
B)
5,05,15,15,0
0,1
5,57
0,1
5,5575 zpzpzpzpxp
6247,06915,019332,05,015,15,05,1 zpzpzpzp
C) 3085,06915,015,015,05,00,1
5,555
zpzpzpzpxp
128º.- La tasa de desempleo en una Comunidad Autónoma es del 16 % de la población activa. Se
selecciona una muestra de cien personas de esa población. Di cuál es la probabilidad de que esa muestra
contenga:
a) Al menos 10 desempleados.
b) No más de 5 desempleados.
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 47
c) Exactamente 8 desempleados.
Solución: 67,3;1667,3)16,01·(16,0·100··
1616,0·100·;100%;16N
qpn
pnn
A) 9484,063,163,167,3
161010
zpzpzpxp
B) 0013,09987,0131300,367,3
1655
zpzpzpzpxp
C) 08 xp
129º.- Se ha observado durante un largo periodo de tiempo que la cantidad semanal gastada en
mantenimiento y reparaciones de una empresa presenta una distribución normal de media 400 € y
desviación típica 20 €. Si el presupuesto para la próxima semana para esa partida es de 450 €, di cuál
es la probabilidad de que los costes reales superen lo presupuestado. ¿Y de que el coste real sea
inferior a 350 €?
Solución: 20,400N
A) 0062,09938,015,215,220
400450450
zpzpzpxp
B) 0062,09938,015,215,25,220
400350350
zpzpzpzpxp
130º.- El tiempo que necesitan los alumnos para terminar los exámenes de un profesor es una variable
aleatoria que sigue una distribución normal de media = 60 minutos y desviación típica = 10 minutos.
Si en un examen de dicho profesor se limita el tiempo a 1 hora 15 minutos, ¿qué porcentaje de alumnos
terminará el examen?
¿Cuánto tiempo debería durar para que el 90 % de los alumnos finalicen a tiempo?
Solución: 10,60N ; 1 h 15 min = 75 min
A) 9332,05,110
607575
zpzpxp
B) min425,6610
60
2
29,128,19000,0
10
609000,0
a
aazpaxp
131º.- Un profesor tiene la costumbre de poner las calificaciones siguiendo una distribución normal.
Reserva el Sobresaliente para el 19 % de los alumnos que obtengan las calificaciones más altas. En un
examen, la distribución ha resultado ser 5,1;2,6N . ¿Qué nota se ha debido obtener para conseguir la
calificación de Sobresaliente?
Solución: Sobresaliente: 10 %; 5,1;2,6N ;
10,0
5,1
2,6110,0
5,1
2,610,0
azp
azpaxp
13,81275,82,6285,1·5,1285,15,1
2,6
90,02
29,128,1:
90,05,1
2,6
aaa
zpTABLA
azp
el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 48
132º.- Una compañía de seguros estima que la probabilidad de que un asegurado tenga un accidente de
motocicleta es del 60 %. De 10 asegurados:
a) ¿Cuál es el número medio de accidentados que se puede esperar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de accidentados sea superior a 4?
Solución: Accidente motocicleta: 60 %; n = 10 asegurados; B(10;0,6); q = 0,4
A) 66,0·10· pn accidentados
B) 432101414 xpxpxpxpxpxpxp
647382910 4,0·6,0·
4
104,0·6,0·
3
104,0·6,0·
2
104,0·6,0·
1
104,0·
0
101
367,02508,02150,01209,00403,00060,01
