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EXPLOREMOS LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A TRAVÉS DE UN
AULA VIRTUAL
LET'S EXPLORE THE LINEAR EQUATION SYSTEMS THROUGH A VIRTUAL
CLASSROOM
NÉSTOR FABIO CERÓN ERAZO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA
MANIZALES
2017
EXPLOREMOS LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A TRAVÉS DE UN
AULA VIRTUAL
LET'S EXPLORE THE LINEAR EQUATION SYSTEMS THROUGH A VIRTUAL
CLASSROOM
NÉSTOR FABIO CERÓN ERAZO
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de: Magister En Enseñanza De Las Ciencias Exactas y Naturales
Director: Magister Gonzalo Medina Arellano
MODALIDAD: Maestría de Profundización
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA
MANIZALES
2017
3
DEDICATORIA
A Dios por darme la fortaleza, la salud y el conocimiento suficiente para ver culminada esta
meta
A mis padres Habacuc Cerón Erazo y María Carmela Erazo Bolaños, quienes gracias a sus
consejos y afecto contribuyeron con este objetivo de mi vida
A mis hermanos Javier Hernán y Carlos David por su constante apoyo
Y a la memoria de mi tío, amigo y padrino Jesús Miguel Erazo Bolaños
4
AGRADECIMIENTOS
Agradezco al Mg. Gonzalo Medina Arellano quien con su buena voluntad acogió mi propuesta
e hizo el acompañamiento constante para su realización, a la Universidad Nacional de
Colombia Sede Manizales por darme la oportunidad de seguirme cualificando como
profesional y como persona, a la Institución educativa Metropolitano María Occidente
(Popayán Cauca) por permitirme llevar acabo esta propuesta, a todos mis amigos/as y
familiares que me apoyaron para ver cumplida esta meta y a mi novia Sandra Lorena Moreno
por sus consejos y ayuda para la consecución de este sueño.
5
RESUMEN
El presente trabajo muestra los resultados obtenidos en las estrategias de
mejoramiento de los estudiantes de los grados 9-03 y 9-04 de la institución educativa
Metropolitano María Occidente en la temática de solución de ejercicios y problemas
asociados a los sistemas de ecuaciones lineales. Para ello se clasificaron los dos grupos, uno de
control (9-04) y otro experimental (9-03).
Para el grupo experimental se abordó la estrategia de diseñar unas guías de teoría y
ejercicios las cuales fueron implementadas en la plataforma Moodle, siendo trabajadas en la
sala de sistemas de la institución y fuera de ella. El otro grupo que es el de control siguió la
metodología tradicional de trabajo (clase magistral).
Mediante el pre-test, pos-test y las valoraciones de los estudiantes en la asignatura, se
obtuvieron unos datos los cuales fueron analizados, mostrando un mayor avance en el grupo
experimental que en el grupo de control.
PALABRAS CLAVES:
Sistemas de ecuaciones lineales, TIC, plataforma virtual, enseñanza-aprendizaje
6
ABSTRACT
This research project shows the findings gathered in the improvement of strategies of
9th-03 and 9th-04 students from the educational institution Metropolitano María Occidente
with the topic of exercise and problem solutions associated with the systems of linear
equations. For that, the two groups were ranked, one is the control group (9-04) and the other
is the experimental group (9-03).
For the experimental group the strategy consisted of designing some guides of theory
and exercises which were implemented in the Moodle Platform, being solved in the
computing room of the school and out of it. The other group, which is the control group,
followed the conventional methodology of work, that is to say, a chalk and talk class.
Through the pre-test, post-test and grading of the students, some results were
obtained and analyzed. These results revealed more advancement in the experimental group
than in the control group.
KEY WORDS:
Linear equation systems, ICTs, virtual platform, teaching-learning.
7
Tabla de contenido DEDICATORIA .....................................................................................................................................3
AGRADECIMIENTOS ...........................................................................................................................4
RESUMEN ...........................................................................................................................................5
ABSTRACT ...........................................................................................................................................6
LISTA DE GRÁFICAS ...........................................................................................................................10
ANEXOS ............................................................................................................................................11
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................12
1. JUSTIFICACIÓN .............................................................................................................................13
2. OBJETIVOS: ...................................................................................................................................14
2.1 Objetivo general .....................................................................................................................14
2.2 Objetivos específicos ..............................................................................................................14
3. ANTECEDENTES ............................................................................................................................15
4. MARCO DE REFERENCIA ...............................................................................................................16
4.1 Marco histórico sobre los sistemas de ecuaciones lineales ....................................................16
4.2 Las TIC como herramienta de enseñanza ..............................................................................18
4.3 Las TIC y las matemáticas .......................................................................................................21
4.4 Los sistemas de ecuaciones lineales en la institución educativa ............................................23
5. PROPUESTA DIDÁCTICA: EXPLOREMOS LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A TRAVÉS DE
UN AULA VIRTUAL ............................................................................................................................25
5.1 GUÍA 0. OBJETIVOS .................................................................................................................25
5.2 GUÍA 1. ECUACIONES LINEALES, GRÁFICA DE UNA ECUACION LINEAL Y SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES. ................................................................................................................26
5.3 GUÍA 2. MÉTODO GRÁFICO. ...................................................................................................28
5.4 GUÍA 3. MÉTODO DE IGUALACIÓN. ........................................................................................32
5.5 GUÍA 4. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. .......................................................................................35
5.6 GUÍA 5. MÉTODO DE REDUCCIÓN. .........................................................................................37
5.7 GUÍA 6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS....................................................................................39
6. METODOLOGÍA.............................................................................................................................43
6.1 Participantes...........................................................................................................................43
6.2 Tipo de propuesta ..................................................................................................................43
8
6.3 Análisis de resultados .............................................................................................................43
6.3.1 Análisis del pre-test .........................................................................................................43
6.3.2 Análisis del pos-test .........................................................................................................46
7. CONCLUSIONES ............................................................................................................................49
8. RECOMENDACIONES ....................................................................................................................50
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFIA ........................................................................................................51
10. ANEXOS ......................................................................................................................................53
9
LISTA DE TABLAS Tabla 1. Resultados obtenidos en la aplicación del pre-test ............................................................44
Tabla 2. Número de estudiantes aprobados en el pre-test ..............................................................44
Tabla 3. Resultados obtenidos en la aplicación del pos-test ............................................................46
Tabla 4. Número de estudiantes aprobados en el pos-test ..............................................................46
10
LISTA DE GRÁFICAS
Gráfico 1. Representación gráfica de la ecuación lineal ............................................27
Gráfico 2. Representación gráfica de las ecuaciones lineales y ..............29
Gráfico 3. Representación gráfica del sistema de ecuaciones lineales cuya solución es el conjunto
vacío .................................................................................................................................................29
Gráfico 4. Representación gráfica del sistema de ecuaciones lineales cuya solución son todos los
pares ordenados donde las componentes pertenecen a los números reales ..................................31
Gráfico 5. Representación grafica del sistema de ecuaciones lineales cuya solución es única.........31
Gráfico 6. Representación grafica de la solución de un sistema por el método de igualación .........34
Gráfico 7. Representación gráfica de la solución de un sistema por el método de sustitución ........36
Gráfico 8. Representación gráfica de la solución de un sistema por el método de reducción .........38
Gráfico 9. Porcentajes de aprobación del pre-test de los grupos de control y experimental ...........44
Gráfico 10. Porcentajes de aprobación del pos-test de los grupos de control y experimental ........47
11
ANEXOS
Encuesta previa al trabajo con los grupos .......................................................................................53
Resultados de la encuesta ................................................................................................................54
Pre-test realizado a ambos grupos (G.C y G.E) .................................................................................58
Pos-test realizado a ambos grupos (G.C y G.E) ................................................................................60
Imágenes de la plataforma ..............................................................................................................62
12
INTRODUCCIÓN
La presente propuesta didáctica de mejoramiento académico, fue desarrollada con
estudiantes del grado noveno de la institución Educativa Metropolitano María Occidente
(Popayán Cauca). En esta se implementaron siete guías de estudio las cuales fueron llevadas a
una plataforma virtual (Moodle), con la intención que los estudiantes obtengan un mejor
entendimiento en las temáticas que involucran sistemas de ecuaciones lineales,
aprovechando el impacto que las nuevas tecnologías tienen en los jóvenes de la era actual.
El aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes se ha convertido en una
problemática en la mayoría de instituciones educativas del país, pruebas como PISA
(Programme for International Student Assessment) lo constatan, en el texto: ("Colombia: qué
y cómo mejorar a partir de la prueba PISA - ...:Ministerio de Educación Nacional de
Colombia::..", 2017) señala que:
El menor desempeño se registró en matemáticas. Menos de la quinta parte (18%) de los
evaluados alcanzó el nivel mínimo (dos). Estos estudiantes pueden interpretar situaciones
en contextos que sólo requieren una inferencia directa, utilizar algoritmos, fórmulas,
procedimientos o convenciones elementales y efectuar razonamientos directos e
interpretación literal de los resultados. Solo 10 de cada 100 mostraron competencias en los
niveles tres y cuatro.
Por ello es necesario considerar otras metodologías apartándonos un poco de la
tradicional, para mejorar nuestro quehacer docente y fortalecer los procesos de enseñanza–
aprendizaje en aras de generar un mejor entendimiento en nuestros jóvenes y así lograr
mejores resultados.
Entre las nuevas metodologías de enseñanza, en esta propuesta se involucran las TIC
(tecnologías de la información y la comunicación) a través del diseño de guías las cuales son
llevadas a una plataforma virtual que facilita Moodle, esta permite que los estudiantes se
apropien de una manera distinta de los conceptos; fomentando una mejor comunicación
docente-estudiante, un acceso a la información de manera oportuna, el trabajo colaborativo y
un aprendizaje autorregulado.
La temática que abordan las guías es referente a la solución de sistemas de ecuaciones
lineales y problemas de aplicación.
La plataforma virtual fue habilitada para los estudiantes del grado 9-04 que son el
grupo experimental, los cuales las trabajaron y desarrollaron en la sala de sistemas de la
institución educativa y fuera de ella, demostrando un mejor entendimiento (el cual quedó
demostrado en el análisis de los datos obtenidos) que el grupo 9-03 que es el grupo de
control.
13
1. JUSTIFICACIÓN
En la actualidad existe una dificultad en la asimilación de los conceptos por parte de
los estudiantes en el área de matemáticas, es una problemática nacional la cual queda
evidenciada en el texto: (BBC Mundo, 2016), donde señala que “Perú, Colombia, Brasil y
Argentina se encuentran entre las diez cuyos estudiantes tienen un nivel más bajo en áreas como
las matemáticas, la ciencia y la lectura” este informe fue realizado basándose en estudiantes
que tienen una edad de 15 años, además informa que “Colombia en lectura alcanza el 51% y en
ciencia el 56%. En matemáticas, el 73,8% de los estudiantes se encuentra debajo del promedio de
rendimiento”.
Esta problemática no es ajena a nuestro contexto, pues en los rendimientos
académicos que se presentan en los grados novenos de la institución educativa
Metropolitano María Occidente en la temática de ecuaciones lineales se evidencia el bajo
rendimiento.
Dado que las matemáticas juegan un papel importante en la vida diaria, se debe
brindar a los estudiantes la posibilidad de aprender mediante nuevas metodologías, las cuales
deben conllevar a un mejor entendimiento de los conceptos y así obtener mejores resultados.
Esta propuesta va encaminada a la utilización de las TIC como estrategia metodológica,
puesto que estas nuevas tecnologías han generado en los jóvenes un gran impacto el cual
debe ser bien aprovechado por los docentes en la preparación de sus actividades académicas.
Además se pretende que los alumnos se apropien de los conceptos matemáticos, más
precisamente los que involucran sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones a la vida
cotidiana.
14
2. OBJETIVOS:
2.1 Objetivo general:
Diseñar e Implementar una estrategia metodológica para la comprensión de los
sistemas de ecuaciones lineales donde se involucren las TIC y se motiven a los estudiantes a su
aplicación en diversas situaciones.
2.2 Objetivos específicos:
Lograr que los estudiantes interioricen los procedimientos que llevan a la solución de ecuaciones lineales.
Desarrollar en los estudiantes la capacidad de plantear y resolver ejercicios y problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.
Utilizar las nuevas herramientas tecnológicas en el desarrollo del proceso de enseñanza – aprendizaje relacionado con las ecuaciones lineales.
15
3. ANTECEDENTES
Volveras, Fabian (2015) en su tesis maestral “Propuesta didáctica para la enseñanza de
límites de funciones en el grado undécimo de la I.E el Rosario integrando Geogebra” , enfocó
su proyecto en las TIC al implementar el software educativo Geogebra como medio de
enseñanza-aprendizaje de los limites. Con esta propuesta logro despertar el interés por el
trabajo en esta temática, como lo menciona en las conclusiones
Trabajar con las computadoras y el software educativo Geogebra produjo en los
estudiantes un especial interés ya que observan y manipulan el ordenador para fines
formativos tanto en lo académico como en lo humano y no como como una forma de
simple ocio.
Además, con esta metodología logro tener un mejor avance en el grupo experimental
sobre el grupo de control, en la temática que involucra límites, lo cual queda evidenciado en la
siguiente mención:
Los resultados obtenidos después del tratamiento demuestran que existió una diferencia
representativa entre el aprendizaje del grupo control y el grupo experimental; esto
corrobora que la metodología utilizada mejoró el rendimiento del tema límites de funciones
en el G.E, aunque vale decir que el resultado de las pruebas sólo son válidas para los grados
once de la Institución Educativa El Rosario año lectivo 2015
Quijano, Yobany (2010), en su artículo “Impacto del uso de entornos virtuales de
aprendizaje para la enseñanza de neuroanatomía en estudiantes de medicina” argumenta que
basó su propuesta en una estrategia pedagógica virtual al aplicar b-learning (aprendizaje
combinado en modalidad presencial y en línea) a uno de los dos grupos a los que les oriento
clases. El desempeño del grupo al que le aplico la estrategia pedagógica fue superior, lo cual
queda evidenciado en los resultados “el porcentaje de alumnos que aprobaron la evaluación
en el grupo de estudio fue de 37,8%, mientras que en el de control fue de 6,9%”
Cirilo, Marta y Molina, Marta (2011) en su artículo “La modalidad virtual en el ingreso
a la face-unt” hablan sobre la creación de un curso de ingreso a la Facultad de Ciencias
Económicas (FACE) de la Universidad de Tucumán (Argentina) el cual es virtual e
implementado en Moodle que reúne dos módulos: Matemática Elemental y Vida
Universitaria. En los resultados obtenidos, es de resaltar que el cambio de metodología
favoreció los procesos de enseñanza-aprendizaje, como las autoras lo mencionan “Este
cambio de metodología unido a una revisión de contenidos, permite que los alumnos se
involucren más en el aprendizaje de la matemática. El Modelo Pedagógico elegido fomenta el
autoaprendizaje en los estudiantes desde el comienzo de sus estudios universitarios”
16
4. MARCO DE REFERENCIA
4.1 Marco histórico sobre los sistemas de ecuaciones lineales
El concepto que hoy manejamos en matemáticas de ecuación, se refiere a la búsqueda
de los valores de una incógnita para conservar una cierta igualdad, este concepto es tan
antiguo como la aritmética misma.
Entre los años 2000 y 1700 a.C. hay evidencias directas e indirectas que los Babilonios
ya resolvían ecuaciones de cierta complejidad. Dichas evidencias fueron encontradas en unas
tablillas, las cuales contenían problemas a resolver, cabe la pena mencionar que en estas
tablillas no se encuentra un proceso con el cual hallemos la solución a estos problemas.
En los años 300 antes de Cristo, los griegos desarrollaron un tipo de álgebra llamada
álgebra geométrica, donde utilizaban métodos geométricos para la solución de ecuaciones.
Los egipcios en sus papiros, en especial el de Rhid que data de los años 1650–1850 a.C.
relatan una gran cantidad de problemas desarrollados que son asociados a situaciones de la
vida cotidiana
Hacia el siglo III después de Cristo, los Sulvasütras aplicaron sus conocimientos en la
construcción de templos, un problema que se consideró en esa época es: “Hallar el lado de un
rectángulo; conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado
dado”
Estos métodos llegaron a Europa a través de los Árabes quienes se encargaron de
extenderlos.
Los inicios de los sistemas de ecuaciones lineales se atribuyen a los Babilonios entre
los años 600 y 300 a. C, en una de las tablillas encontramos el siguiente problema:
Los griegos también resolvían sistemas de ecuaciones lineales, pero sus métodos eran
geométricos. Thymaridas (400 a.C.) realizó su trabajo con la solución de sistemas de
ecuaciones encontrando una fórmula general para su solución, por otro lado Diofanto resolvía
sistemas de ecuaciones lineales, llevando dicho sistema a una ecuación lineal para
posteriormente encontrar su solución, aunque solo consideraba soluciones positivas.
17
Documentos Indios también hablan de la solución de sistemas de ecuaciones lineales,
pero no hay métodos generales para su solución, puesto que resuelven tipos especiales de
ecuaciones.
Los Indios también trabajaron con sistemas de ecuaciones lineales, pero resolvían solo
tipos especiales de ecuaciones.
Los Chinos también tienen su aporte histórico en la solución de sistemas de
ecuaciones lineales, en un tratado matemático que según los historiadores data del siglo I a. C.
denominado “nueve capítulos sobre el arte matemático”, influenció el desarrollo de las
matemáticas y sentó las bases de la misma. En su capítulo octavo habla sobre “el método de
las tablas” el cual da una explicación acerca de los números positivos y negativos y trata el
tema de la solución de sistemas de ecuaciones lineales, el cual da una base al esquema del
método de eliminación de Gauss.
Hacia el siglo III d.C. Diofanto publicó de manera rigurosa las ecuaciones de primer
grado, trabajó con la simbología en el álgebra y asignando la primera letra de la palabra
arithmos (número) a la incógnita, esta fue la base de lo que más tarde sería la “teoría de
ecuaciones”.
En la edad media en Europa, el Italiano Leonardo Pisano (1170-1250) más conocido en
las matemáticas como Fibonacci introduce el sistema Hindú-Arábigo de numeración el cual
queda evidenciado en su obra “el libro del abaco”, además en su obra “liber quadratorum”
expuso la solución de ecuaciones determinadas e indeterminadas de primer grado.
Para el renacimiento, hacen sus aportes a la simbología en el álgebra los matemáticos
Johann Widman (1460-1498) al introducir en 1489 los símbolos “+”, “-” y Robert Recorde
(1510-1558) el símbolo “=” en 1557. Continuando con esta formalización el matemático
Italiano Francoise Viete (1540-1603) asocia los parámetros de una ecuación con las letras,
tiempo después Rene Descartes (1596-1650) le asigna las letras a, b, c a las constantes y x, y, z
a las variables o incógnitas.
Para 1770 el matemático Aleman Leonhard Paul Euler (1707-1783) en su libro
“Elementos del álgebra” desarrolla métodos de resolución de diferentes tipos de ecuaciones.
Con los avances del álgebra y su globalización el método de falsa posición para
solucionar ecuaciones desaparece dando paso a nuevos procedimientos, los cuales ofrecen
un nuevo enfoque metodológico más efectivo.
Como mencionamos anteriormente, los Chinos en el siglo III a.C sentaron las bases
para el método de eliminación de Gauss, el cual se extendió a los babilonios y los griegos,
incluso Diofanto lo utilizó en la solución de uno de sus ejercicios. Pero fue el físico y
18
matemático ingles Isaac Newton (1642-1727) quien dio a conocer este método de manera
formal, aunque no lo publicó. Gauss quien consideraba que era un método común, logro
reconocimiento con el mismo, pues un método en matemática necesita un problema para
resolver y fue el quien lo aplico por primera vez en la solución de problemas con mínimos
cuadrados, por ello es que ahora conocemos este procedimiento como “método de
eliminación de Gauss”.
Este método de eliminación Gaussiana, desde su formalización hasta la actualidad ha
estado en constante cambio, en aras de optimizar sus resultados. El militar Frances André-
Louis Cholesky (1874-1918) desarrolló el primer algoritmo para resolver problemas que
involucran el método de eliminación de Gauss con mínimos cuadrados, tiempo después el
matemático Prescott Crout (1907-1984) aplicó este método a la ingeniería eléctrica.
Con el desarrollo en la teoría de matrices, en el año de 1947 el matemático Hungaro-
Estadounidense John Von Neumann (1903-1957) presenta el método de eliminación de Gauss
utilizando matrices.
En la actualidad con los avances en la tecnología, existen algoritmos que resuelven
sistemas de ecuaciones lineales de una forma óptima, a través de los ordenadores. Programas
como Wolfran Alpha, Matlab, Derived entre otros contribuyen para este fin.
4.2 Las TIC como herramienta de enseñanza
En la actualidad es notorio el avance en las nuevas tecnologías de la información y la
comunicación (TIC) y los jóvenes que educamos en la sociedad actual han sido impactados por
estas nuevas tecnologías.
Echevarría, Javier (2000) en su artículo “Educación y tecnologías telemáticas” habla
sobre el surgimiento de un tercer entorno social de interacción humana (los otros dos son el
entorno natural y urbano) que son las tecnologías de la información y las telecomunicación,
cuyo surgimiento posibilita los procesos de enseñanza aprendizaje, puesto que con ellos se
puede trasmitir el conocimiento a través de las redes telemáticas; para moverse en el nuevo
entorno, toca educar y ser educados en este y por ultimo con la adaptación de las escuelas y
colegios a estas nuevas necesidades es posible educar a distancia y en red.
Estas nuevas herramientas cuentan con una serie de beneficios, que contribuyen a mejorar las
metodologías actuales de cómo orientar una clase llegando a nuestros estudiantes a través de
estas nuevas tecnologías, dichos beneficios los menciona Rodríguez, Eva (2010) en su artículo
“ventajas e inconvenientes de las tics en el aula” , los cuales son :
Motivación: mediante la utilización de las herramientas que ofrecen las TIC el
estudiante se sentirá motivado, además tiene la posibilidad de interiorizar de una manera
más amena, divertida y diferente los conceptos básicos. El motivar al estudiante es primordial
19
en los procesos de enseñanza, esto lo manifiesta el texto: ("Las TICS en el ámbito educativo -
Educrea", 2017) que argumenta “Quizá esta ventaja (motivación) es la más importante puesto
que el docente puede ser muy buen comunicador pero si no tiene la motivación del grupo será
muy difícil que consiga sus objetivos.”
Interés: recursos como videos, animaciones, presentaciones, audios, gráficos,
software educativos, entre otros, pueden ser aprovechados por los docentes para despertar el
interés y el deseo en los estudiantes de aprender con una forma innovadora, aprovechando el
impacto que tienen las nuevas tecnologías en los jóvenes.
Interactividad: lo define Rogers (1986) citado por Rost (2006) en su tesis
doctoral “la interactividad en el periódico digital” como “la capacidad de los nuevos
sistemas de comunicación de responder a los usuarios, casi como un individuo participando
en una conversación”. Este dialogo entre los sistemas informáticos y los estudiantes
facilitan los procesos de enseñanza-aprendizaje, puesto que se pueden diseñar propuestas
pedagógicas en aulas virtuales o en software educativos que sean más didácticos y
educativos, además desarrolla en los alumnos la capacidad de analizar, reflexionar y dar
respuesta a una problemática planteada.
Cooperación: las TIC estimulan el trabajo colaborativo en los estudiantes,
puesto que pueden hacer reflexiones, ejercicios y actividades en grupos de trabajo,
además mejora la cooperación entre docentes y alumnos. Otro beneficio que
encontramos en este ítem es el intercambio de experiencias entre los docentes.
Aprendizaje en “feed back” (retroalimentación de la educación): en aras de
mejorar el desempeño de los alumnos, el trabajo con las nuevas tecnologías en la
educación, permite formar estudiantes auto reflexivos, es decir, que con la información
inmediata y oportuna que obtienen, sean capaces de mejorar y fortalecer sus
desempeños. Generar en los estudiantes la capacidad de corregir sus errores es
importante, pero también lo es fortalecer aún más sus habilidades, como lo menciona
Fonseca (2009) en su artículo “Retroalimentación durante el proceso de enseñanza-
aprendizaje: un arma de doble filo” el cual argumenta “La retroalimentación no está
restringida sólo a corregir los errores y omisiones que cometa el aprendiz para que se
haga cada vez más competente (retroalimentación negativa), si no también para que se dé
cuenta de sus aciertos (retroalimentación positiva), como una forma de estimularlo para
hacer las cosas cada vez mejor. Es una forma de aumentar su motivación intrínseca para
aprender y/o trabajar con mayor eficiencia.”
Iniciativa y creatividad: la educación actual debe apuntar a formar estudiantes
con iniciativa, que sea capaces de ir más allá de lo que les orienta el maestro en el aula de
clases, las TIC permiten desarrollar esta iniciativa puesto que con los avances tecnológicos
20
y de comunicación, se tiene de una manera óptima y oportuna la información requerida.
También es de vital importancia desarrollar en los alumnos la imaginación, pues con esta
se estimula la creatividad, un claro ejemplo seria que puedan diseñar y resolver (si tiene
solución) problemas contextualizados de matemáticas.
Comunicación: con los foros, correo electrónico, chats, se motiva a los
estudiantes a una sana comunicación, donde se pueden compartir ideas, reflexiones y
discusiones que contribuyan a una retroalimentación en los procesos educativos, dejando
a un lado el papel pasivo del alumno en la metodología tradicional.
Autonomía: con la globalización de la información gracias al internet, las TIC
ofrecen a los alumnos un aprendizaje autónomo, pues estos pueden buscar la información
requerida en los procesos de enseñanza. El rol del docente está enfocado en orientar al
estudiante a seleccionar dicha información y como utilizarla.
Así como tenemos beneficios a la hora de integrar estas nuevas tecnologías con la
educación, también encontramos una serie de inconvenientes los cuales son mencionados
por Fernández, Inmaculada (2010), en su artículo “las TIC en el ámbito educativo” los cuales
son:
Distracción: el estudiante al trabajar con las nuevas tecnologías de la
informática y la comunicación, puede caer en una serie de distracciones que están
inmersas en dichas tecnologías y que lo alejan de los procesos de enseñanza-aprendizaje,
como lo son el chat, páginas de internet, juegos, música, videos, entre otros. Castrejón,
Nora (2012) en el artículo “El mal uso del internet y como afecta en la educación” hace
mención a este inconveniente “un mal uso de Internet en clase puede derivar en
distracciones y dispersión del alumnado que a veces se dedica a jugar en vez de trabajar.
Ello es debido a que la navegación por los atractivos espacios de Internet, inclina a
desviarse de los objetivos de su búsqueda. Se pierde entonces mucho tiempo en realizar las
tareas y se divaga”. Para diezmar esta problemática, es importante que el docente haga
una planeación de las actividades y evitar al máximo la improvisación. Adicción: la
utilización no adecuada de las TIC puede generar una dependencia a los chats,
videojuegos, páginas web, etc. Esta adicción es un fenómeno mundial que afecta a la
sociedad sin importar la edad, Domínguez, Juan (2014) en el artículo “Adicción a Internet:
problema de todos” hace referencia a este hecho “desde niños hasta personas de la
tercera edad se sienten atrapadas en un callejón sin salida, pues desde que despiertan en
la mañana hasta bien entrada la noche (si es que pueden dormir) el Internet absorbe las
vidas de muchas personas hasta el punto que su salud, sus hábitos y hasta sus relaciones
personales se ven deteriorados ”, además agrega “La adicción al Internet es el uso
compulsivo y patológico del Internet y todas sus posibilidades tecnológicas: redes sociales,
21
juegos en línea, correo electrónico, chats, compras, pornografía, etc. Su abuso se configura
como una adicción porque una persona con esta enfermedad presenta síntomas similares
a la adicción al alcohol, las drogas o el juego”
Pérdida de tiempo: dada la cantidad de información que se encuentra en
internet, buscar fuentes confiables puede resultar en perdida de tiempo, además de las
distracciones que se mencionaron anteriormente.
Fiabilidad de la información: es necesario orientar a los estudiantes en la
búsqueda de contenidos en internet, puesto que hay muchas fuentes que no son fiables o
no son del todo públicos.
Aislamiento: la excesiva utilización de herramientas tecnológicas, nos aísla del
entorno que nos rodea, pues como se mencionó anteriormente genera adicción y
dependencia. Además, sin una adecuada orientación va en contra vía del normal
desarrollo de las formas comunicativas como lo son: audiovisual, verbal, no verbal,
escrita, corporal, etc.
Aprendizajes incompletos y superficiales: sin un debido acompañamiento por
el docente, el estudiante puede tener acceso a información poco fiable, de poca calidad y
en algunos casos descontextualizada, además muchos de los contenidos en internet
carecen de profundidad siendo muy superficiales a la hora de realizar una buena consulta.
Ansiedad: el trabajar en exceso con las nuevas tecnologías puede traer como
consecuencia ansiedad, que es uno de los síntomas de una de las enfermedades del siglo
XXI que es la nomofobia (ansiedad de estar sin el celular).
Por lo anterior, las nuevas tecnologías de la informática y la telecomunicación, nos
llevan a la creación de plataformas virtuales, las cuales deben servir como apoyo a la labor
docente, que sea controlada totalmente por el mismo; Sánchez, José (2013), en su artículo
“plataformas de enseñanza virtual para entornos educativos” menciona una de las utilidades
de las plataformas virtuales
Apoyar a las asignaturas presenciales. Para designar esto se acuñó hace unos años el
término “blended learning”, que consiste en “mezclar” la formación presencial con la
formación a través de las Tecnologías de la Información y la Comunicación, tratando de
aprovechar todas las ventajas de éstas en los procesos de aprendizaje presenciales.
4.3 Las TIC y las matemáticas
A lo largo de la historia, las matemáticas han jugado un papel fundamental en los
avances de la humanidad. Esta ciencia surge de las necesidades sociales y económicas de los
22
contextos vividos, los avances son notorios puesto que en un principio para contar se
utilizaban las partes del cuerpo y/o símbolos, pero en la actualidad se utilizan máquinas para
simplificar las operaciones y el tiempo de ejecución de las mismas.
Paralelamente al avance matemático viene el desarrollo tecnológico, que permite
actualizar las metodologías y los currículos con el fin de dinamizar la enseñanza de esta
ciencia, atrás debe quedar la metodología tradicional donde para resolver un ejercicio se
utilizaban algoritmos repetitivos de forma mecánica para llegar a su solución. El MEN no
desconoce esta evolución en la educación, pues como menciona (MEN, 1998) citado por
(Vega, Niño Duarte and Cárdenas, 2015) "las nuevas tecnologías amplían el campo de
indagación sobre el cual actúan las estructuras cognitivas que se tienen, enriquecen el
currículo con las nuevas pragmáticas asociadas y lo llevan a evolucionar"
En la actualidad existen muchas herramientas tecnológicas que contribuyen a un
mejor entendimiento de las matemáticas, programas como Geogebra, Wolfram Alpha,
Fooplot, Matlab, Derive, entre otros permiten un mayor acercamiento a la solución de
problemas, y se convierten en una herramienta muy útil para la preparación de actividades
académicas.
Asociado a lo anterior, debemos mencionar la importancia que tienen los entornos
virtuales de aprendizaje (EVA), que está definido como (Salinas 2011) “un espacio educativo
alojado en la web, conformado por un conjunto de herramientas informáticas o sistema
de software que posibilitan la interacción didáctica”. Estos entornos permiten darle mayor
flexibilidad a los estudiantes, permitiendo que la educación no solo sea dentro del aula de
clases sino fuera de ella, como se menciona en el texto (Competencias virtuales, 2011)
La educación virtual supera las barreras del tiempo y la distancia así como la de la
comunicación sincrónica, o en tiempo real, pues favorece el ambiente de aprendizaje que
no demanda la presencia física al mismo tiempo y en el mismo lugar. Por el contrario,
ofrece la oportunidad de comunicación Asincrónica o en tiempo diferido, es decir, en el
momento en el que el estudiante pueda y desea hacerlo
En este orden de ideas debemos integrar las TIC con las matemáticas, para ello, el
MEN diseñó las competencias para el uso de estas tecnologías de la información y la
comunicación, las cuales podemos desarrollar junto con las competencias matemáticas.
En el portal Colombia aprende del ministerio de educación nacional, define las
competencias como (MEN, 2013) “el conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes,
comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente
relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad
23
en contextos relativamente nuevos y retadores”, las competencias que deben desarrollar los
docentes al aplicar las metodologías con las TIC son (MEN, 2103):
Tecnológica: la capacidad para seleccionar y utilizar de forma pertinente, responsable
y eficiente una variedad de herramientas tecnológicas entendiendo los principios que
las rigen, la forma de combinarlas y las licencias que las amparan
Comunicativa: la capacidad para expresarse, establecer contacto y relacionarse en
espacios virtuales y audiovisuales a través de diversos medios y con el manejo de
múltiples lenguajes, de manera sincrónica y asincrónica.
Pedagógica: la capacidad de utilizar las TIC para fortalecer los procesos de enseñanza y
aprendizaje, reconociendo alcances y limitaciones de la incorporación de estas
tecnologías en la formación integral de los estudiantes y en su propio desarrollo
profesional.
Gestión: la capacidad para utilizar las TIC en la planeación, organización,
administración y evaluación de manera efectiva de los procesos educativos; tanto a
nivel de prácticas pedagógicas como de desarrollo institucional
Investigativa: la capacidad de utilizar las TIC para la transformación del saber y la
generación de nuevos conocimientos.
Estas competencias pueden contribuir al fortalecimiento de los saberes matemáticos,
puesto que las podemos integrar de manera adecuada con las competencias matemáticas
contempladas por PISA según (OECD, 2004, p. 40) citado por (Rico, 2016) son:
Pensar y razonar.
Argumentar.
Comunicar.
Modelar.
Plantear y resolver problemas.
Representar.
Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones.
Usar herramientas y recursos.
4.4 Los sistemas de ecuaciones lineales en la institución educativa
Son muchas las causas que generan en los estudiantes el bajo rendimiento académico
en la asignatura de matemáticas, que van desde el orden socio-económico hasta el cognitivo.
En el quehacer docente en la institución educativa Metropolitano María Occidente, a la hora
de abordar el tema de ecuaciones lineales, la falta de motivación e interés son quizás las
causas principales para tener estos resultados, sumadas a la poca comprensión de los temas
24
previos, todo esto consecuencia en parte al modelo tradicional de enseñanza, cuya
característica principal es formar estudiantes pasivos y memoristas, Canfux, Verónica (2000)
hace referencia de este hecho
El profesor, generalmente exige del alumno la memorización de la información que narra y
expone, refiriéndose a la realidad como algo estático, detenido, en ocasiones la disertación
es completamente ajena a la experiencia existencial de los alumnos y los contenidos se
ofrecen como segmentos de la realidad, desvinculados de la totalidad, sin un carácter
integrador.
Como docentes debemos ir mejorando las prácticas y aplicar nuevos métodos de
enseñanza. La implementación de un aula virtual, es una herramienta, como lo mencionamos
anteriormente, útil tanto para los estudiantes como para los docentes, aprovechando el
impacto que estas nuevas tecnologías tienen en los jóvenes. En una encuesta realizada (ver
anexos), a los estudiantes de los grados 9-03 y 9-04 de la institución educativa, el 62% de los
encuestados cuenta con internet en su domicilio, lo cual motiva a la realización de esta
propuesta, pues el implementar guías de aprendizaje en una plataforma virtual permite
interactuar con estos desde sus hogares, además los estudiantes que no cuentan con este
servicio tienen la posibilidad de conectarse desde un café internet, la casa de un amigo o
desde la misma institución, lo cual les permite tener acceso a la plataforma virtual. Es de
resaltar que los estudiantes cuentan con herramientas que les permiten acceder a la
plataforma virtual, pues de los encuestados (ver anexos) el 54% se conecta desde un
computador (portátil o de escritorio), 43% desde su celular y el 3% desde una Tablet.
Con el diseño de la plataforma virtual se pretende que los estudiantes se apropien del
conocimiento de una manera que sea motivadora e interesante para ellos, pues van a contar
con herramientas que en esta era digital les son muy familiares, como los celulares, las
tablets, computadores, etc. Además, si los alumnos están motivados a trabajar con estas
nuevas tecnologías, van a estar predispuestos a aprender, lo cual es una tarea que se va a ver
facilitada en matemáticas. Por otro lado, los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas
aplicaciones en la vida diría, por ello lograr que los estudiantes aprendan a desarrollar los
diferentes métodos y utilizarlos de forma correcta en la solución de un problema sería un
gran beneficio para ellos tanto en la vida personal como en la académica pues mejorarían en
sus desempeños.
Para lograr los objetivos propuestos, como docentes es importante hacer un
seguimiento continuo a los procesos, esto se facilita, puesto que cada guía cuenta con
ejercicios planteados, los cuales cada estudiante estará en capacidad de resolver una vez haya
leído la teoría, apoyándose en las otras herramientas que ofrece la plataforma como lo son,
los videos, gráficos en Geogebra, preguntas en el foro (implementado en la plataforma), etc.
25
Además, lo estudiantes pueden regular su aprendizaje, pues la plataforma permanece activa
el tiempo que dure el curso y pueden acceder en el instante que ellos deseen, ya sea desde un
computador, tablet o celular. Cabe la pena resaltar, que la plataforma tiene otros ejercicios
interactivos a parte de los que están en cada guía, los cuales contribuyen a un aprendizaje
reflexivo.
Al finalizar la propuesta se pretende que cada estudiante esté en la capacidad de
comprender el concepto de ecuación lineal, reconocer un sistema de ecuaciones lineales,
utilizar los diferentes métodos y aplicarlos en la solución de problemas de la vida cotidiana.
También, con la ayuda del aula virtual el estudiante debe ser capaz de auto aprender, pues
estas plataformas motivan el aprendizaje reflexivo.
5. PROPUESTA DIDÁCTICA: EXPLOREMOS LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A
TRAVÉS DE UN AULA VIRTUAL
Para el desarrollo de la presente propuesta, se diseñaron unas guías de trabajo que
constan de teoría y práctica, las cuales fueron implementadas en una plataforma virtual que
ofrece Moodle a través del portal www.milaulas.com, además se anexaron herramientas
útiles que ofrece la mencionada plataforma, como lo son: chat, videos, link de Geogebra on
line y un foro. En los anexos se encuentran las imágenes de la plataforma virtual. La teoría que
esta implementada en las guías, la expreso a continuación. El link de la plataforma es
https://nestormath.milaulas.com/
5.1 GUÍA 0. OBJETIVOS
Dominio conceptual.
El alumno debe ser capaz de:
Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que hallar el
valor de la incógnita que la hace verdadera.
Identificar la transposición de términos en una ecuación como método para
transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla.
Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incógnitas
relacionadas entre sí.
Conocer los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Procesos.
Traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico y recíprocamente.
26
Identificación de problemas que se pueden resolver mediante ecuaciones y/o sistemas
de ecuaciones.
Decisión sobre qué método es más adecuado en la resolución de una ecuación
(ensayo-error, geométrico) o de un sistema de ecuaciones (sustitución, igualación,
reducción y gráfico).
Utilización de las gráficas para describir las posibles soluciones de una ecuación y/o de
un sistema de ecuaciones.
Aplicaciones.
Resolución de problemas de la vida real mediante el uso de rectas, sus ecuaciones y
sus posiciones relativas.
Incorporación del lenguaje algebraico a la forma de proceder habitual.
Actitudes.
Confianza de los alumnos en sus propias capacidades, fomentando la autonomía de
pensamiento.
Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolución de problemas.
Gusto por la sistematización y secuenciación de la resolución de un problema.
Tomado de la página “Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales”
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/objetivos.html
5.2 GUÍA 1. ECUACIONES LINEALES, GRÁFICA DE UNA ECUACION LINEAL Y SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, que
involucra una o más variables elevadas a la primera potencia, que no contiene productos
entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de
una variable a la primera potencia.
GRÁFICA DE UNA ECUACION LINEAL
La gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una recta en el plano (es por eso
que se le llama lineal). El proceso consiste en encontrar dos soluciones y
para dicha ecuación y uniendo los puntos y graficamos la ecuación lineal.
Ejemplo:
27
Consideremos la ecuación lineal , para realizar la gráfica debemos primero
encontrar dos soluciones a dicha ecuación.
Despejemos la variable y de la ecuación lineal, para después realizar una tabla.
Procedemos a tabular,
x 2 5
y 1 -1
Los puntos obtenidos son y , por último unimos los puntos mediante una
línea recta y obtenemos la gráfica de la ecuación lineal .
Grafico 1. Representación gráfica de la ecuación lineal
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Un conjunto formado por dos o más ecuaciones de primer grado, con dos o más
incógnitas o variables, se denomina sistema de ecuaciones lineales.
28
El anterior es un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos
incógnitas. Usualmente, se denomina sistema 2x2.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es determinar el
conjunto de pares ordenados de números reales que satisfacen de manera simultánea a
las dos ecuaciones. Este conjunto de parejas ordenadas se suele llamar conjunto solución.
5.3 GUÍA 2. MÉTODO GRÁFICO.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables o incógnitas se
realiza mediante métodos gráficos y algebraicos.
MÉTODO GRÁFICO.
Procedimiento:
1. Se grafica cada una de las ecuaciones lineales en el plano cartesiano
2. Estimamos el valor de las coordenadas del punto de intersección de las gráficas
de las ecuaciones lineales.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Graficamos la ecuación lineal
Despejamos la variable y para luego tabular:
Por los puntos y , trazamos una recta que es la gráfica que representa la
ecuación
Graficamos la ecuación lineal
Despejamos la variable y para luego tabular:
Por los puntos y , trazamos una recta que es la gráfica que representa la
ecuación .
1 5
-2 4
-3 9
2 0
29
Las gráficas de las rectas las encontramos en el siguiente plano cartesiano.
Grafico 2. Representación gráfica de las ecuaciones lineales y
Como se puede notar, las rectas tienen un punto de intersección el cual es la solución
del sistema, dicho punto tiene coordenadas .
Por lo tanto C.S = { }.
(La sigla C.S hace referencia al conjunto solución)
En la solución de sistema de ecuaciones lineales, podemos encontrar tres casos:
1. El sistema no tiene solución: esto se da por que las ecuaciones representan rectas
paralelas, es decir, que no tienen ningún punto en común.
Ejemplo:
C. S = Ø (Conjunto solución vacío)
30
Grafico 3. Representación gráfica del sistema de ecuaciones lineales cuya solución es el
conjunto vacío
2. El sistema tiene infinitas soluciones: en este caso tenemos rectas coincidentes, es
decir, que las ecuaciones del sistema representan la misma recta, por lo tanto todos
los puntos de la misma son solución del sistema.
Ejemplo:
Gráfica del sistema
El conjunto solución son todos los pares ordenados
cuyas componentes pertenecen a los números reales.
C.S=
31
Grafico 4. Representación gráfica del sistema de ecuaciones lineales cuya solución son todos
los pares ordenados donde las componentes pertenecen a los números reales
3. El sistema tiene solución única: estos sucede porque las rectas que representan las
ecuaciones son secantes, es decir, que se cortan o intersectan en un punto el
cual es la solución del sistema.
Ejemplo:
Gráfica del sistema
C.S = { } (Solución única)
Grafico 5. Representación gráfica del sistema de ecuaciones lineales cuya solución es única
32
Nota:
En la situación tenemos un sistema inconsistente, mientras que en y 3 tenemos sistemas
consistentes.
Ejercicios:
Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, determinar cuáles tienen
solución única, tienen infinitas soluciones o no tienen solución. En caso de tener solución
única expresar a través del método grafico la solución.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
5.4 GUÍA 3. MÉTODO DE IGUALACIÓN.
Procedimiento:
1. Despejamos la misma variable o incógnita en las dos ecuaciones.
2. Se igualan los valores obtenidos.
3. Despejando la ecuación con una incógnita obtenemos el valor numérico.
4. El valor encontrado se reemplaza en cualquier ecuación, la cual posteriormente se
despeja y así solucionamos el sistema.
33
Ejemplo:
Despejamos la misma variable en las ecuaciones (1) y (2), en este caso despejaremos .
(3)
(4)
Igualamos las ecuaciones (3) y (4)
Sustituimos y = -2 en la ecuación (1) 0 (2), en este caso lo hacemos en (1)
Por lo tanto C.S = { }.
Gráfico del sistema
y = -2
x = 3
34
Grafico 6. Representación gráfica de la solución de un sistema por el método de igualación
Ejercicios: Utilizar el método de igualación para encontrar la solución de los siguientes sistemas:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
35
5.5 GUÍA 4. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
Procedimiento:
1. Despejamos una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.
2. Sustituimos la variable en la otra ecuación con la finalidad de obtener una ecuación
con una incógnita.
3. Despejando la ecuación con una incógnita obtenemos el valor numérico.
4. El valor encontrado se reemplaza en cualquier ecuación, la cual posteriormente se
despeja y así solucionamos el sistema.
Ejemplo:
Despejamos la variable o en cualquiera de las dos ecuaciones, para este ejemplo vamos a
despejar en la ecuación (1),
, sustituimos esta variable en la ecuación (2)
Este valor se sustituye en la ecuación (1) o (2), en este caso sustituimos en la ecuación
(2)
Por lo tanto C.S = { }.
36
Gráfico del sistema:
Grafico 7. Representación gráfica de la solución de un sistema por el método de sustitución
Ejercicios:
Utilizar el método de sustitución para encontrar la solución de los siguientes sistemas:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
37
5.6 GUÍA 5. MÉTODO DE REDUCCIÓN.
Procedimiento:
1. Expresamos ambas ecuaciones de la forma: .
2. Multiplicamos una o las dos ecuaciones por un número de tal forma que los
coeficientes de una de las variables sean opuestos aditivamente.
3. Realizamos una suma miembro a miembro de tal forma que obtengamos una ecuación
con una incógnita.
4. Resolvemos la ecuación obtenida y así encontramos el valor de una de las incógnitas.
5. El valor obtenido lo sustituimos en una de las ecuaciones y así queda solucionado el
sistema.
Ejemplo:
Multiplicamos la ecuación (1) por 5 y la ecuación (2) por 2, de tal forma que los coeficientes
de la variable sean opuestos aditivos.
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones
Luego la ecuación resultante es , procedemos a solucionarla.
Sustituimos este valor encontrado en la ecuacion (1) o (2), en este caso en la ecuación (2)
Por lo tanto C.S = { }.
38
Gráfico del sistema:
Grafico 8. Representación gráfica de la solución de un sistema por el método de reducción
Ejercicios:
Utilizar el método de reducción para encontrar la solución de los siguientes sistemas:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
39
5.7 GUÍA 6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Para resolver un problema que involucra situaciones matemáticas, lo primero que
debemos hacer es analizar lo que está en lenguaje común y expresarlo en lenguaje
matemático.
Pero primero entendamos lo que es el lenguaje común, que lo define el texto
(Tiempodeexito.com, 2016) como “El lenguaje común es el que comúnmente utilizamos a
través de un denominado código o lenguaje, por lo que a partir de este podemos relacionarnos
mutuamente, ya que lo ocupamos en la vida diaria”
Una vez interpretado el problema que esta expresado en lenguaje común,
procedemos a representarlo mediante lenguaje matemático, es decir, con simbología
matemática donde debemos plantear variables las cuales se representan con letras del
alfabeto y determinar de forma adecuada la operación u operaciones que debemos utilizar
para resolver el problema planteado.
En el análisis de un problema, como mencionamos anteriormente, debemos identificar
la operación que se debe utilizar, plantear de forma adecuada dicha operación, para ellos
debemos conocer los sinónimos matemáticos que tienen las operaciones básicas:
Suma: Adición, aumentar, sumar, añadir, exceder, más, agregar.
Resta: Sustraer, diferencia, menos, disminuir, menos que, menos, de, quitar, reducir.
Multiplicación: Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de,
incrementar, los vocablos: doble, triple, cuádruplo, etc.
División: Cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, porción, parte, reparto,
mitad, tercio, cuarto, etc.
Otros términos
Semi: Indica la mitad de algo.
Al cuadrado o el cuadrado de: Elevado a la 2.
Al cubo o el cubo: Elevado a la 3.
Igual o Equivalente: Igualdad.
Consecutivos o Sucesor: Siguiente.
Antecesor: Antes de.
Simétrico: Inverso Aditivo.
Recíproco: Inverso Multiplicativo.
40
Ejemplo:
Los siguientes son unos ejemplos de interpretar de forma matemáticas algunas situaciones:
1. Un número cualquiera: .
2. La suma de dos números diferentes: .
3. La diferencia de dos números: .
4. El producto de dos números: .
5. El cociente de dos números: .
6. El cubo de un número: .
7. El triple del cuadrado de un número: .
8. La suma de los cuadrados de dos números: .
9. La quinta parte del cubo de un número: .
10. El cubo de la quinta parte de un número: .
Ejercicios:
Interpretar en lenguaje matemático las siguientes expresiones:
1. El doble de un número aumentado en la mitad del mismo número.
2. El doble de , aumentado en .
3. La mitad de más el triple de .
4. El doble del cuadrado de .
5. El cuadrado del doble de .
6. La cuarta parte del triple del cuadrado de .
7. El triple de la cuarta parte del cuadrado de .
8. El cuadrado de la cuarta parte del triple de .
9. La diferencia entre el quíntuple de y la mitad de .
10. La suma de tres números pares consecutivos.
41
Problemas de aplicación de sistemas
Existen problemas de la vida diaria que se pueden solucionar a partir del
planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales. Al resolver un problema por medio de un
sistema de ecuaciones se puede utilizar la siguiente estrategia:
1. Analizar y comprender el enunciado.
2. Determinar las incógnitas que se plantean.
3. Plantear el sistema de ecuaciones correspondiente (pasar de lenguaje común al
lenguaje matemático).
4. Resolver el sistema de ecuaciones.
5. Comprobar que la solución satisface las condiciones del problema.
Ejemplo:
Pague por dos bolsas de leche y tres paquetes de galletas $18.000 y por tres bolsas de leche y
un paquete de galletas $13.000. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
Consideremos las variables:
el precio de una bolsa de leche
el precio de un paquete de galletas
Las ecuaciones planteadas son:
(1) y (2)
El sistema que cumple las condiciones es:
Utilizando uno de los métodos conocidos, en este caso el de reducción.
Multiplicamos las ecuaciones (1) y (2) por los números 3 y -2 respectivamente, obtenemos:
Reemplazando y= 4.000 en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2), encontramos el valor de x, que
es x= 3.000
Y=4.000
42
Luego, una bolsa de leche tiene un valor de $3.000 y un paquete de galletas $ 4.000.
Ejercicios:
Resolver los siguientes problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales
1. Pagué por tres bolígrafos y dos lápices $3100 y por cinco bolígrafos y un lápiz $4000.
¿Cuánto cuesta cada artículo?
2. En un grupo de arañas y moscas se cuentan 16 cabezas y 114 patas. Sabiendo que una
araña tiene 8 patas y una mosca 6. ¿Cuantas arañas y moscas hay?
3. la suma de patos y vacas es 132 y la de sus patas es 402. ¿Cuántos patos y vacas hay?
4. La suma de dos números es 45 y su diferencia es 9. Hallar los números.
5. Si a la edad de juan le quitamos 5 años obtenemos el doble de la edad de Pedro, si ambas
edades suman 71 años ¿Qué edad tiene cada uno?
6. Los de los balones que tiene Daniel y los de los balones que tiene Carlos suman 10. Si el
doble de los balones que tiene Daniel más el triple de los balones que tiene Carlos suman 38,
¿Cuántos balones tiene cada uno?
7. La edad de María hace 8 años era el triple de la edad de su hijo Pablo. Dentro de cuatro la
edad de Pablo será de la edad de su madre. ¿Qué edad tienen actualmente María y pablo?
8. Ana le dice a su hija Beatriz: “Hace 7 años mi edad era 5 veces la tuya, pero ahora solo es el
triple”. ¿Qué edad tiene cada una?
43
6. METODOLOGÍA
6.1 Participantes
En la propuesta participaron 59 estudiantes de grado noveno de la Institución
Educativa Metropolitano María Occidente de la ciudad de Popayán distribuidos así: el grado 9-
03 con 30 estudiantes y el grado 9-04 con 29 alumnos, los cuales tienen edades entre 13 y 18
años. Cabe la pena resaltar que a los dos cursos se les oriento las mismas temáticas pero con
metodologías diferentes en el transcurso del tercer y cuarto periodo del año escolar 2015.
6.2 Tipo de propuesta
El modelo de esta propuesta de trabajo es cuasi-experimental (propuesta por
Campbell) puesto que se cuenta con dos grupos que ya estaban dispuestos antes de realizar la
investigación, en consecuencia no hay aleatoriedad en la conformación de los mismos. Los
resultados de esta propuesta son cuantitativos por lo cual se va a determinar su efectividad
mediante la realización de una pre-prueba, tratamiento y post-prueba.
Para comprobar los resultados obtenidos en los aprendizajes de sistemas de
ecuaciones lineales, se realizaron pruebas diagnósticas (pre-test y post-test). El grupo de
estudiantes 9-03 fue el seleccionado para aplicar la metodología propuesta en este proyecto
el cual lo llamamos grupo experimental (G.E) y 9-04 a quienes se les impartió la temática
mediante un modelo tradicional lo llamamos grupo control (G.C).
6.3 Análisis de resultados
6.3.1 Análisis del pre-test
El pre-test consta de 12 preguntas abiertas las cuales fueron diseñadas por el docente
y su aplicación pretende revelar las ideas básicas que tienen los estudiantes de ambos grupos
con respecto a los sistemas de ecuaciones lineales.
Es de resaltar que el acuerdo de evaluación que aplica la institución educativa
considera como nota mínima 0.0 y nota máxima 5.0, además, un estudiante que tenga como
nota mínima 3.0 se considera que ha superado una prueba.
En las siguientes tablas se muestran los resultados obtenidos por los dos grupos en la
aplicación de pre-test.
44
Tabla 1. Resultados obtenidos en la aplicación del pre-test
PRE-TEST G.E
Notas N° de Estudiantes
0,0 - 0,4 0
0,5 - 0,9 0
1,0 - 1,4 18
1,5 - 1,9 5
2,0 -2,4 4
2,5 -2,9 1
3,0 - 3,4 2
3,5 - 3,9 0
4,0 - 4,4 0
4,5 - 5,0 0
TOTAL 30
La tabla 2 muestra el número de estudiantes que aprobaron la prueba pre-test tanto en los
dos grupos (G.E y G.C).
Tabla 2. Número de estudiantes aprobados en el pre-test
N° DE ESTUDIANTES
APROBADOS N° DE ESTUDIANTES
REPROBADOS MEDIA VARIANZA MUESTRAL
G.C 4 25 =1,50 =0,74
G.E 2 28 =1,50 =0,36
Grafico 9. Porcentajes de aprobación del pre-test de los grupos de control y experimental
PRE-TEST G.C
Notas N° de Estudiantes
0,0 - 0,4 0
0,5 - 0,9 0
1,0 - 1,4 6
1,5 - 1,9 2
2,0 -2,4 13
2,5 -2,9 4
3,0 - 3,4 3
3,5 - 3,9 1
4,0 - 4,4 0
4,5 - 5,0 0
TOTAL 29
45
Con la distribución F de Snedecor se comprobó previamente que no existen
diferencias significativas entre las varianzas de las calificaciones del pre-test de G.C y G.E
H0: no existe diferencia entre las varianzas delos dos grupos
H1: existe diferencia significativa entre las varianzas
El estadígrafo es
Como es un ensayo de dos colas, para un nivel del 95% de confianza se tiene que
para el límite inferior y para el límite superior. Los grados de libertad
son 28 y 27 del numerador y denominador respectivamente.
Como
Podemos concluir
Ensayo de hipótesis
Donde indica que no existe diferencia entre el rendimiento promedio alcanzado
por los dos grupos en el pre-test; mientras dice que los rendimientos promedios son
diferentes.
El estadígrafo es
=
Para un 95% de confianza, y para grados de libertad.
Como es un ensayo de dos colas se encontró que y . Como
46
, no se rechaza y se concluye que con un , no existe una
diferencia significativa en el rendimiento promedio de los dos grupos.
6.3.2 Análisis del pos-test
Al igual que el pre-test, el pos-test consta de 12 preguntas abiertas las cuales fueron
diseñadas por el docente. Su aplicación tiene como objetivo principal evaluar y hacer una
posterior comparación entre los dos grupos sobre la asimilación de los conceptos que
involucran sistemas de ecuaciones lineales.
En las siguientes tablas se muestran los resultados obtenidos por los dos grupos en la
aplicación de pos-test.
Tabla 3. Resultados obtenidos en la aplicación del pos-test
POS-TEST G.E
Notas N° de Estudiantes
0,0 - 0,4 0
0,5 - 0,9 0
1,0 - 1,4 0
1,5 - 1,9 0
2,0 -2,4 1
2,5 -2,9 3
3,0 - 3,4 19
3,5 - 3,9 7
4,0 - 4,4 0
4,5 - 5,0 0
TOTAL 30
La tabla 4 muestra el número de estudiantes que aprobaron la prueba pos-test tanto en los
dos grupos (G.E y G.C).
Tabla 4. Número de estudiantes aprobados en el pos-test
N° DE ESTUDIANTES
APROBADOS N° DE ESTUDIANTES
REPROBADOS MEDIA VARIANZA MUESTRAL
G.C 6 23 =2,45 =0,17
G.E 26 4 =3,17 =0,11
POS-TEST G. C
Notas N° de Estudiantes
0,0 - 0,4 0
0,5 - 0,9 0
1,0 - 1,4 0
1,5 - 1,9 1
2,0 -2,4 12
2,5 -2,9 10
3,0 - 3,4 6
3,5 - 3,9 0
4,0 - 4,4 0
4,5 - 5,0 0
TOTAL 29
47
Grafico 10. Porcentajes de aprobación del pos-test de los grupos de control y experimental
Con la distribución F de Snedecor se comprobó previamente que no existen
diferencias significativas entre las varianzas de las calificaciones del pre-test de G.C y G.E
H0: no existe diferencia entre las varianzas delos dos grupos
H1: existe diferencia significativa entre las varianzas
El estadígrafo es
Como es un ensayo de dos colas, para un nivel del 95% de confianza se tiene que
para el límite inferior y para el límite superior. Los grados de libertad
son 28 y 27 del numerador y denominador respectivamente.
Como
Podemos concluir
Ensayo de hipótesis
48
Donde indica que no existe diferencia entre el rendimiento promedio alcanzado
por los dos grupos en el pre-test; mientras dice que los rendimientos promedios son
diferentes.
El estadígrafo es
=
Como, se tiene que , se tiene que , es decir,
Por lo tanto se obtuvieron resultados altamente significativos como para
rechazar , de lo cual se dice que el promedio de calificaciones obtenidas por los dos
métodos en el G.C y G.E respectivamente son diferentes.
49
7. CONCLUSIONES
Con los resultados obtenidos en este proyecto, queda evidenciado que la utilización de
medios tecnológicos facilitan la interiorización de los conceptos básicos de la
matemática.
El trabajo con las TIC despertó en los estudiantes un interés particular, pues articularon
las matemáticas con los medios tecnológicos de una manera diferente e innovadora,
dejando a un lado los métodos tradicionales de enseñanza-aprendizaje logrando una
interacción más activa entre el docente y los estudiantes.
Al interiorizar de una manera más efectiva los conceptos básicos, desarrollaron la
capacidad de plantear y resolver problemas que involucran toda la temática referente a
sistemas de ecuaciones lineales. Es de relatar que con esta metodología se contribuyó al
aprendizaje colaborativo
Los resultados obtenidos después de implementar la estrategia planteada en este
proyecto y el método tradicional, denotan una diferencia significativa entre los dos
grupos, esto quedó evidenciado en los resultados obtenidos en el postest, además el
mejoramiento académico del grupo experimental fue superior al del el grupo control.
50
8. RECOMENDACIONES
Dado los resultados obtenidos en esta propuesta, se puede sugerir a los docentes de las
diferentes áreas del conocimiento la implementación de aulas virtuales para los
procesos de enseñanza-aprendizaje, aplicando las TIC.
Crear en los estudiantes ambientes de aprendizaje diferentes al aula tradicional, para
lograr una mejor interacción entre el docente y los estudiantes, fomentando el trabajo
colaborativo
Gracias a los avances tecnológicos y la llegada de la internet a los diferentes rincones
del país, se tiene acceso a la información de una manera más oportuna, la creación de
aulas virtuales contribuye que la enseñanza se salga de la institución educativa logrando
un seguimiento más profundo de los procesos educativos por parte de los docentes.
Dado que hubo un mejoramiento significativo en los estudiantes que abordaron la
metodología propuesta en este proyecto, es importante denotar que hay aspectos a
mejorar. Sería importante continuar con esta propuesta metodológica para grados
venideros mejorándola con cada experiencia.
51
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFIA
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metodo-de-eliminacion-de-gauss-para-resolver-sistemas-lineales/
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10. ANEXOS
10.1. Encuesta previa al trabajo con los grupos
INSTITUCIÓN EDUCATIVA METROPOLITANO MARÍA OCCIDENTE
ENCUESTA ACERCA DEL USO DE LA INTERNET PARA LABORES ACADÉMICAS
CURSO ENCUESTADO 903
Nombre: Edad: Sexo:
Objetivo:
Identificar el uso que se la da a la internet para luego concientizar y dar a conocer los beneficios que tiene
esta tecnología en los procesos de enseñanza – aprendizaje.
1. ¿Cuentas con internet en tu domicilio?
Si ⃝ No ⃝
2. ¿Desde dónde te conectas a internet?
Casa ⃝ Café internet ⃝ Casa de un amigo ⃝ Colegio ⃝
3. ¿Con que herramienta cuentas para la conexión de internet?
Computador ⃝ Tablet ⃝ Celular ⃝
4. ¿Cuánto tiempo te conectas a internet a la semana?
Menos de 5 horas ⃝ 5 a 15 horas ⃝ 15 a 30 horas ⃝ Más de 30 horas ⃝
5. ¿Cuánto tiempo a la semana le dedicas a consultar trabajos o tareas en internet?
Menos de 5 horas ⃝ 5 a 15 horas ⃝ 15 a 30 horas ⃝ Más de 30 horas ⃝
6. ¿Cuáles son las actividades que realizas cuando estas conectado a internet?
Revisar el correo ⃝ Redes sociales ⃝ Actividades escolares ⃝ Otros ⃝
Si su respuesta es otros, especifique cuales:
7. ¿Crees que la implementación de una plataforma virtual ayudaría a tus labores escolares?
Si ⃝ No ⃝
8. ¿Cuántos días a la semana estarías dispuesto a visitar la plataforma en caso de ser implementada?
1 ⃝ 2 ⃝ 3 ⃝ 4 ⃝ 5 ⃝ 6 ⃝ 7 ⃝
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10.2. Resultados de la encuesta
10.2.1. ¿Cuenta con internet es su domicilio?
10.2.2. ¿Desde dónde te conectas a internet?
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10.2.3. ¿Con que herramienta cuentas para la conexión de internet?
10.2.4. ¿Cuánto tiempo te conectas a internet a la semana?
56
10.2.5. ¿Cuánto tiempo a la semana le dedicas a consultar trabajos o tareas en internet?
10.2.6. ¿Cuáles son las actividades que realizas cuando estas conectado a internet?
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10.2.7. ¿Crees que la implementación de una plataforma virtual ayudaría a tus labores
escolares?
10.2.8. ¿Cuántos días a la semana estarías dispuesto a visitar la plataforma en caso de ser
implementada?
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10.3. Pre-test realizado a ambos grupos (G.C y G.E)
INSTITUCIÓN EDUCATIVA METROPOLITANO MARÍA OCCIDENTE
PRUEBA DIAGNOSTICA
Nombre: Grado: Fecha:
La presente prueba diagnóstica que tiene como objetivo medir qué tan avanzados están los
conceptos asociados a sistemas de ecuaciones lineales, buscando con la plataforma virtual un
mejoramiento en dichos conceptos para una posterior aplicación de los mismos.
1. En sus palabras defina:
a. Ecuación lineal
b. Sistema de ecuaciones lineales
2. Que métodos conoce para resolver un sistema de ecuaciones lineales
3. Cuál es la utilidad de los sistemas de ecuaciones lineales.
4. Construya un problema cuya solución involucra sistema de ecuaciones lineales
5. Dados los siguientes gráficos asociados a sistemas de ecuaciones lineales, exprese: cual tiene
solución única, cual infinitas soluciones o cual no tiene solución
a. b. c.
6. Exprese la solución del sistema en el siguiente gráfico:
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7. Utilizando el método gráfico, resuelva el siguiente sistema:
8. Resuelva el siguiente sistema utilizando cualquiera de los métodos (igualación, reducción o
sustitución)
9. Resuelva el problema planteado en el numeral 4
10. Construya un sistema de ecuaciones lineales y encuentre su solución
11. Exprese mediante ecuaciones lineales los siguientes enunciados:
a. La edad de Juan y la edad de Pedro suman 64
b. El precio de 4 cuadernos y 10 marcadores es $50.000
c. El valor de dos pizzas menos el valor tres gaseosas es $7800
12. Resuelva el siguiente problema utilizando sistemas de ecuaciones lineales:
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.000; el costo total de otros 6 libros de
texto iguales y 3 lapiceros es de $33.000. Hallar el costo de cada artículo.
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10.4. Pos-test realizado a ambos grupos (G.C y G.E)
INSTITUCIÓN EDUCATIVA METROPOLITANO MARÍA OCCIDENTE
PRUEBA DIAGNOSTICA
La presente es prueba diagnóstica cuyo objetivo es medir los avances obtenidos con la
implementación de la plataforma virtual en la temática sobre sistemas de ecuaciones lineales
Nombre: Grado: Fecha:
1. En sus palabras defina:
a. Ecuación lineal
b. Sistema de ecuaciones lineales
2. Que métodos conoce para resolver un sistema de ecuaciones lineales
3. Cuál es la utilidad de los sistemas de ecuaciones lineales.
4. Construya un problema cuya solución involucra sistema de ecuaciones lineales
5. Dados los siguientes gráficos asociados a sistemas de ecuaciones lineales, exprese: cual tiene
solución única, cual infinitas soluciones o cual no tiene solución
a. b. c.
6. Exprese la solución del sistema en el siguiente gráfico:
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7. Utilizando el método gráfico, resuelva el siguiente sistema:
8. Resuelva el siguiente sistema utilizando cualquiera de los métodos (igualación, reducción o
sustitución)
9. Resuelva el problema planteado en el numeral 4
10. Construya un sistema de ecuaciones lineales y encuentre su solución
11. Exprese mediante ecuaciones lineales los siguientes enunciados:
a. 2 veces La edad de Juan y tres veces la edad de Pedro suman 105
b. El precio de 10 gaseosas y 5 pasteles es $60.000
12. Resuelva el siguiente problema utilizando sistemas de ecuaciones lineales
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.000; el costo total de otros 6 libros de
texto iguales y 3 lapiceros es de $33.000. Hallar el costo de cada artículo.
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10.5 Imágenes de la plataforma
10.5.1 Definiciones preliminares
10.5.2 Método Grafico
63
10.5.3 Método de Sustitución
10.5.4 Método de Igualación
64
10.5.5 Método de Reducción
10.5.6 Resolución de problemas
