ALLPPT.com _ Free PowerPoint Templates, Diagrams and Charts

Arum H. Primandari

Exponential

Smoothing with

Damped Trend

Rob J. Hyndman

https://robjhyndman.com/

Pendahuluan

• Klasifikasi Pegels’ yang terdiri dari sembilan jenis metode diperluas oleh Hyndman

dkk (2002) dengan menambahkan damped additive trend dan damped multiplicative

trend.

• Peramalan dengan metode exponential Holt maupun Winter sering mengalami

overforecasting;

Klasifikasi Exponensial Smoothing

• Dalam eksponensial smoothing, trend merupakan kombinasi dari faktor level (𝑙)dan faktor pertumbuhan 𝑏. Misalkan 𝑇ℎ merupakan peramalan trend untuk 𝑚periode ke depan, maka (Hyndman, 2008):

• None : 𝑇𝑚 = ℓ• Additive : 𝑇𝑚 = ℓ + 𝑏ℎ

• Additive damped : 𝑇𝑚 = ℓ + 𝜙 + 𝜙2 +⋯+ 𝜙ℎ 𝑏

• Multiplicative : 𝑇𝑚 = ℓ𝑏ℎ

• Multiplicative damped : 𝑇𝑚 = ℓ𝑏 𝜙 + 𝜙2 +⋯+ 𝜙ℎ

Klasifikasi oleh Hyndman

Trend componentSeasonal Component

N(none)

A(additive)

M(multiplicative)

N (none) N,N N,A N,M

A (additive) A,N A,A A,M

Ad (additive damped) Ad,N Ad,A Ad,M

M (multiplicative) M,N M,A M,M

Md (multiplicative damped) Md,N Md,A Md,M

N,N method: SESA,N method: Holt’s ESA,A method: Holt-Winter additiveA,M method: Holt-Winter multiplicative

Klasifikasi

Hyndman

lan

juta

n

Damped Trend Method (Ad, N Method)

• Gardner dan McKenzie (1985) melakukan modifikasi pada metode Holt’s denganmenambanhkan parameter damping pada trend.

• Formula yang digunakan adalah:

1 1

1 1

2

(1 )( )

( ) (1 )

...

t t t t

t t t t

m

t m t t

L y L b

b L L b

F L b

Level

Growth

Peramalan

Damped Trend Method (Ad, A Method)

• Berikut ini perbandingan formula pada Holt dengan dan tanpa damped trend:

1 1

1 1

(1 )( )

( ) (1 )

t t t t

t t t t

t m t t

L y L b

b L L b

F L mb

1 1

1 1

1

(1 )( )

( ) (1 )

t t t t

t t t t

mi

t m t t

i

L y L b

b L L b

F L b

Holt MethodHolt Method with damped

trend

Damped Trend Method (Ad, A Method)

• Parameter 𝜙

– Jika 0 < 𝜙 < 1, maka trend teredam dan nilai peramalan

akan mendekati nilai asimtot 𝐿𝑡 +𝜙

1−𝜙𝑇𝑡;

– Jika 𝜙 = 1, maka akan menjadi metode Holt biasa;

– Jika 𝜙 =0, maka akan menjadi simple exponential smoothing.

– Jika 𝜙 > 1, maka fungsi peramalan mempunyai trend eksponensial (hanya diaplikasikan pada data yang memilikitrend yang sangat kuat)

Md, A method

• Berikut ini adalah formula yang digunakan ketika terdapat trend multiplicative damped dengan musiman aditif:

• Dimana:

1 1

1 1

1 1

(1 )

( / ) (1 )

1

m

s

t t t s t t

t t t t

t t t t t s

t m t t t s m

L y S L b

b L L b

S y L b S

F L b S

Level

Growth

Musiman

Peramalan

2 ...

1 mod 1

m

m

sm m m

Contoh modulo:17 𝑚𝑜𝑑 3 = 211 𝑚𝑜𝑑 5 = 1

Sisa pembagian

Package di R

• Package : forecast• Function : ses, holt, hw

Training dan Testing set

• Pembagian data menjadi dua macam:

– Training set: data digunakan untuk membentuk model

– Testing set: data digunakan untuk menguji model

• Umumnya dalam pembagian digunakan rasio training: 80% dan testing: 20%. Namun demikian, perhatikan juga ukuran datanya. Ukuran dari testing, secaraideal, sama dengan panjang dari periode peramalannya. (https://www.otexts.org/fpp/2/5)

contoh

• Peramalan menggunakan rata-rata• Training set: honda[1:100]• Rata-rata training set honda[1:100] adalah 330030.4

• Testing set: honda[101:110], h = 10

t periode Bulan, tahun honda ത𝑦 𝑎𝑏𝑠(𝑦𝑡 − ത𝑦)

101 5 1-May 339128 330030.4 9097.59

102 6 1-Jun 380019 330030.4 49988.59

103 7 1-Jul 203659 330030.4 126371.4

104 8 1-Aug 388847 330030.4 58816.59

105 9 1-Sep 423256 330030.4 93225.59

106 10 1-Oct 446611 330030.4 116580.6

107 11 1-Nov 450331 330030.4 120300.6

108 12 1-Dec 309796 330030.4 20234.41

109 1 1-Jan 368739 330030.4 38708.59

110 2 1-Feb 345921 330030.4 15890.59

MAE = 64921.454

R

Ms. Excel

Latihan

• Gunakan data penjualan sepeda motor: Honda (Januari 2008 – Agustus 2017)

– Data = honda

– Length(honda) = 116• Pisahkan menjadi training set dan testing set

– Training set: honda.train(honda[1:100])

– Testing set: honda.test(honda[101:116])• Gunakan ses dan holt untuk melakukan analisis runtun waktu

Contoh SES:

> honda.train = ts(honda[1:100], start = c(2008,1), frequency = 12) > honda.test = ts(honda[101:116], start = c(2016,5), frequency = 12)

>

Training dan Testing

Model

Forecasting

Contoh SES: akurasi testing testNo t periode tahun Periode Honda y topi e e^2

1 101 5 1-May 339128 371726 32597.95 1.06E+09

2 102 6 1-Jun 380019 371726 8293.048 68774645

3 103 7 1-Jul 203659 371726 168067 2.82E+10

4 104 8 1-Aug 388847 371726 17121.05 2.93E+08

5 105 9 1-Sep 423256 371726 51530.05 2.66E+09

6 106 10 1-Oct 446611 371726 74885.05 5.61E+09

7 107 11 1-Nov 450331 371726 78605.05 6.18E+09

8 108 12 1-Dec 309796 371726 61929.95 3.84E+09

9 109 1 1-Jan 368739 371726 2986.952 8921882

10 110 2 1-Feb 345921 371726 25804.95 6.66E+08

11 111 3 1-Mar 358524 371726 13201.95 1.74E+08

12 112 4 1-Apr 274155 371726 97570.95 9.52E+09

13 113 5 1-May 394751 371726 23025.05 5.3E+08

14 114 6 1-Jun 263854 371726 107872 1.16E+10

15 115 7 1-Jul 403487 371726 31761.05 1.01E+09

16 116 8 1-Aug 418931 371726 47205.05 2.23E+09

MAE 52653.56 67879.03

R

Ms. Excel

Contoh: SES

• Model yang digunakan:

• Rangkuman

SES model 1 SES model 2

𝛼 0.3066 0.2972

𝐿0 208,130 226,954.6811

RMSE (training set) 47,387.40 47,316.50

RMSE (testing set) 67,879.04 67,887.24

MAPE (training set) 12.39% 12.47%

MAPE (testing set) 17.41% 17.41%

Contoh: Holt ES

> honda.holt = holt(honda.train, h = 16, damped = TRUE, initial = c("optimal"), alpha = NULL, beta = NULL, + phi = NULL, lambda = NULL) > accuracy(honda.holt, honda.test)

Holt ES

• Rangkuman

Holt Model 1 Holt Model 2 Holt Model 3

𝛼

𝐿0

𝑏0

𝜙

exponential TRUE FALSE FALSE

RMSE (training set)

RMSE (testing set)

MAPE (training set)

MAPE (testing set)

Contoh: HW ES

Referensi

• Taylor, J. W., 2003, “Exponential Smoothing with Damped Multiplicative Trend”, International Journal of Forecasting, vol. 19, pp: 715-725.

• Hyndman et al, 2008, Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach, Springer.

• https://www.otexts.org/fpp/2/5