INTERPOLACIN Y APROXIMACIN

Nataly Diaz MeyerTEMA: INTERPOLACIN Y APROXIMACININTERPOLACIN Y APROXIMACININTERPOLACIN: Es asignar a una cantidad un valor intermedio entre dos valores directamente calculados, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios.

Sea en el sistema de coordenadas de la grfica anterior, las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio a, b se pueden interpolar determinados valores.Son tcnicas distintas pero relacionados.INTERPOLACIN LINEALLa forma ms simple de interpolacin es la de conectar dos puntos con una lnea recta.

La notacin f1(x) indica que se trata de un polinomio de interpolacin de primer orden. Ntese que adems de representar la pendiente de la lnea que conecta los dos puntos, el trmino es una aproximacin de diferencias divididas fintas a la primera derivada.

En general , entre ms pequeo sea el intervalo entre los puntos, ms exacta ser la aproximacin.3APROXIMACIN: Es una representacin inexacta. Ocurre cuando existen problemas demasiados complejos para resolverse analticamente.APROXIMACIN POLINMICASe realiza cuando la funcin puede ser conocida en forma explcita o mediante un conjunto de valores tabulados para cada uno de los argumentos por donde pasa la funcin (valores funcionales).

Normalmente se acepta aproximar a la funcin tabulada en puntos coincidentes mediante un polinomio de grado n (condicin de aproximacin):f(xi) Pn(xi) ; para todo xi en [xo,xn]Donde: Pn(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x+ao, con an0

Donde: E(x) = f(x) Pn(x) ; Para todo x en [x0,xn]Para elaborar una interpolacin se hace uso de dos herramientas que a continuacin daremos a conocer:DIFERENCIAS FINITAS DIFERENCIAS DIVIDIDASINTERPOLACIN DE NEWTNHay ocasiones en las que resulta til construir varios polinomios aproximantes P1(x), P2(x),, PN(x), despus elegir el ms adecuado. Si usamos el polinomio interpolante de Lagrange, uno de los inconvenientes es que no se pueden utilizar los clculos realizados en la construccin de PN-1(x) para la de PN(x); cada polinomio debe construirse individualmente y para calcular polinomios de grado elevado es necesario hacer muchas operaciones. Por ello vamos a recurrir a una construccin muy distinta.

FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIN DE NEWTONEl polinomio de n-simo orden es:

Se requieren n+1 puntos para obtener un polinomio de n-simo ordenEvaluando los coeficientes

Las evaluaciones de la funcin de los corchetes son diferencias divididas finitas.La PRIMERA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA se representa

La SEGUNDA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA que representa la diferencia de las 2 primeras diferencias divididas finitas, se expresa:

De manera similar La N-SIMA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA es:

ANALIZANDO

Esquema grfico de la naturaleza recursiva de una diferencia dividida finitaEstas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de las ecuaciones los cules se sustituyen en la ecuacin para obtener el polinomio de interpolacin:

A la cual se le llama polinomio de interpolacin con diferencias divididas de Newton

Diferencias Divididas Progresiva

Diferencia dividida de Primer orden:

Diferencia dividida de segundo orden:

.

Diferencia dividida de orden n:

Diferencias Divididas Regresiva

EJERCICIO 1:Determinar el polinomio interpolante para la diferencia dividida de Newton en los puntos: (1,0);(2,6);(4;12);(5;24)XiYif[x1,x2]f[x1,x2,x3]F[x1,x2,x3,x4]1

2

4

50

6

12

24(6-0)/(2-1)=6

(12-6)/(4-2)=3

(24-12)/(5-4)=12(3-6)/(4-1)=-1

(12-3)/(5-2)=3(3-(-1))/(5-1)=1

P(x)= 0+6(x-1)+(-1)(x-1)(x-2)+1(x-1)(x-2)(x-4)

P(x)=

DIFERENCIA FINITA PROGRESIVA

(5)(6)(7)

(8)

TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS PROGRESIVA

DIFERENCIA FINITA REGRESIVA

Diferencia finita regresiva de 1er OrdenDiferencia finita regresiva de 2do Orden

La de Orden K

Ambas diferencias fintas relacionados

TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS REGRESIVA

EJERCICIO:Obtener el polinomio de interpolacin usando la frmula de Newton en diferencias Progresivas/Regresivas y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x=9/4

SOLUCIN:PASO1. Calculamos la tabla de diferencias progresivas /regresivas finita.

PASO 2. Aplicamos la frmula progresivaH=3/2PASO 3. Aplicamos la frmula RegresivaPASO 4. Interpolar.

La diagonal de la tabla finita esta en color rojo, sus valores representan la diferencia progresiva en y0 . En color azul, ultima lnea horizontal, estn en diferencia regresiva en yn 1.2.

La diagonal [17,6,0]

3.

La lnea horizontal [29,6,0]

4.Se trata de interpolar en el punto x=9/4 que se encuentra prximo al primer valor de la tabla. Por lo que utilizaremos la frmula progresiva de Newton

Reemplazando:P(X)=18

EJERCICIOS:1. Determinar el polinomio interpolante para la diferencia dividida de Newton, teniendo en cuenta la siguiente tabla.Puntos012345X-2-10236F(x)-18-5-2 -27142Rpta. 1. Obtener el polinomio de interpolacin usando la frmula de Newton en diferencias progresivas/regresivas utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x= -19/6.

Rpta. -77/6

Y as de simple se da la interpolacin.