Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Curso propedéutico 2015
Expresiones algebraicas
Elementos de una expresión algebraica
Números de cualquier tipo
Letras
Signos de operación: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones
Ejemplos
a + 1 21a + 4b 2x − 6y + z
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algébrica depende de los valores concretos que reciban las letras.
Por ejemplo, el valor numérico de la expresión algebraica
4x – 2y + 6, cuando x = 5 e y = 2,
es 4 · 5 – 2 · 2 + 6 = 22.
Curso propedéutico 2015
U t i l i d a d de una expresión algebraica
Simplificar una situación real en la que se han de realizar operaciones entre cantidades conocidas y cantidades desconocidas.
1. 5x – 5y + 3, cuando x = 2 e y = 1,
2. 4x + y + 1, cuando x = 7 e y = 1,
3. 6x - y + 3y, cuando x = 3 e y = 9,
6. y + x, cuando x = 3 e y = 5/15,
8. 3x + 4y + 1, cuando x = 7 e y = 1,
7. 4x + y + 1, cuando x = 5/6 e y = 1/12,
5. x + y + 1, cuando x = 4/5 e y = 2/5,
10. -x + -y + -9, cuando x = 3 e y = 18,
4. 34x - 9y + 5, cuando x = 1/6 e y = 2/3,
9. y -4x + -1, cuando x = -7 e y = -1/1,
Curso propedéutico 2015
I g u a l d a d entre expresiones algebraicas
Elementos de una igualdad
Ejemplos
Tipos de igualdades
Dos expresiones algebraicas, denominadas miembros.
Un signo igual, =, interpuesto entre ambas.
2a + 3 = 3
3a-2b = a-c +2
Verdadera: si la expresión algebraica del miembro de la izquierda puede convertirse en la del de la derecha, aplicando las propiedades de las operaciones. Por ejemplo:
a – 4b – 2a + 5a – b = 4a – 5b
Falsa: si la expresión algebraica del miembro de la izquierda no puede convertirse en la del de la derecha. Por ejemplo:
4a – 5b + 2 = 4a – 5b + 7
Curso propedéutico 2015
Ecuaciones
Definición
Solución de
una ecuación
Ecuaciones equivalentes
Igualdades entre expresiones algebraicas, especialmente aquellas cuya falsedad o certeza no pueden establecerse fácilmente.
Valores numéricos que transforman la ecuación en una igualdad entre expresiones numéricas verdadera. Por ejemplo, si se sustituyen las incógnitas de
2x + 4y – 5 = 4x – 5y,
por 2 en el caso de la x, y por 1 en el caso de la y, obtendremos
2 · 2 + 4 · 1 – 5 = 4 · 2 – 5 · 1, y ambos miembros resultan 3.
Ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones.
Curso propedéutico 2015
Propiedades de las expresiones algebraicas
Propiedades de la suma
Propiedad conmutativa
El resultado de sumar dos números en cualquier orden es siempre el mismo:
a+b=b+a
Propiedad asociativa
Si se suman tres números cualquiera, pueden agruparse como se desee:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro de la suma
El elemento neutro de la suma de números es el 0, ya que si se suma este número a cualquier otro número, el resultado es el mismo número:
a + 0 = a
Curso propedéutico 2015
Propiedades de la multiplicación
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Elemento neutro de la multiplicación
Elemento inverso
Dos números pueden multiplicarse en cualquier orden, y el resultado siempre es el mismo:
a · b = b · a
Si se multiplican tres números cualquiera, se pueden agrupar como se desee, porque el resultado siempre es el mismo:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
que si se multiplica cualquier número por 1, el resultado siempre es el mismo número inicial:
a · 1 = a
El elemento inverso de un número cualquiera (que no sea 0) es aquel número que multiplicado con éste da 1 (el elemento neutro de la multiplicación):
el elemento inverso de c es (1/c), ya que c · (1/c) = = 1
Curso propedéutico 2015
Propiedad distributiva de la suma respecto del producto a · (b + c) = a · b + a · c
Curso propedéutico 2015
La resta y la división
Las propiedades de la resta son semejantes a las de la suma, sólo debe recordarse que la resta es la suma con el opuesto:
a – b = a + (–b)
Las propiedades de la división son semejantes a las de la multiplicación; sólo debe recordarse que la división es una multiplicación por el inverso (siendo b ≠ 0):
𝒂
𝒃= 𝒂 𝒙
𝟏
𝒃
Curso propedéutico 2015
Utilidad Se utilizan para simplificar expresiones algebraicas.
Ejemplo Aplicando las propiedades de las operaciones, puede llegarse a la conclusión de que:
a − 4b − 2a + 5a −b es igual a 4a − 5b
Curso propedéutico 2015
¿Cómo se aplican las propiedades para simplificar una expresión algebraica?
a − 4b − 3a + 5a −b
distributiva
−b− 4b − 3a + 5a + a
(−b − 4b) +(− 3a + 5a + a)
(−1 − 4)b +(− 3 + 5 + 1)a
-5b +3a
conmutativa
Elemento neutro
Curso propedéutico 2015
¿Qué son las igualdades entre expresiones numéricas y las igualdades entre expresiones algebraicas, y cómo puede saberse si son verdaderas o falsas?
Una igualdad numérica es verdadera si el resultado del miembro de la izquierda es igual al resultado del miembro de la derecha.
3 · 4 – 5 = 38 – 15 · 2 – 1
Una igualdad numérica es falsa si el resultado del miembro de la izquierda no es igual al resultado del miembro de la derecha.
4 · (–2) + 8 = 3 – 7 · 11
Curso propedéutico 2015
Una igualdad algebraica es verdadera si la expresión algebraica del miembro de la izquierda puede convertirse en la del de la derecha aplicando las propiedades de las operaciones.
a – 4b – 2a + 5a – b = 4a – 5b
Una igualdad algebraica es falsa si la expresión algebraica del miembro de la izquierda no puede convertirse en la del de la derecha.
3a – 5b + 2 = 3a – 5b + 7
Curso propedéutico 2015
¿Qué es una ecuación y qué es una solución de una ecuación?
4a – 2b + c = 3a – 6b + 7 2x + 2y +8 = 2x + 7
Una igualdad entre expresiones algebraicas
también puede denominarse ecuación.
incógnitas
término
coeficiente
término numérico
Curso propedéutico 2015
¿Qué son las ecuaciones equivalentes, y cómo pueden hallarse ecuaciones equivalentes a una dada?
7x – 3 = 6x – 4 14x – 6 = 12x – 8
x = –1
Sumando, multiplicando o dividiendo ambas expresiones por los mismos valores
Curso propedéutico 2015
Ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones de primer grado
con una incógnita
3x – 5 = x + 5
es una ecuación porque es una igualdad entre expresiones algebraicas.
tiene una incógnita,
que es la x.
es de primer grado porque la incógnita x no se multiplica nunca por otra incógnita, incluida ella misma.
Curso propedéutico 2015
Elementos de una ecuación
Término
cada uno de los sumandos de la ecuación.
Coeficiente de la incógnita el número que multiplica a la incógnita.
Término numérico
término que no contiene incógnita.
Curso propedéutico 2015
Resolución de 3x – 5 = x + 5
1. Agrupar términos numéricos
2. Agrupar términos con incógnita
3. Eliminar el coeficiente de la incógnita
3x = x + 5 + 5
3x – x = 10
x = 10/2 = 5
Curso propedéutico 2015
Forma normal de una ecuación de primer grado con una incógnita
Ecuación equivalente cuyo miembro de la derecha es cero, y el de la izquierda está completamente simplificado. Ejemplo: la forma normal de
3x - 5 = 2x + 4
X – 9 = 0
Curso propedéutico 2015
Solución de una ecuación de primer grado en forma normal
Si ax + b = 0 es la ecuación en forma
normal, la solución es x = -b/a
Si el coeficiente de la incógnita es igual a 0, y el término numérico no es 0: a = 0, b ≠ 0.
No existe
Si el coeficiente de la incógnita es diferente de 0: a ≠ 0, existe una sola x = b/a
Si a = 0 y b = 0, cualquier número es solución de la ecuación.
Existe
Curso propedéutico 2015
Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Concepto
3x2 + 3x – 5 = 2x2 – 7
La forma normal de la ecuación anterior es:
x2 + 3x + 2= 0