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Expresiones Algebraicas y Teoría de Exponentes
EXPRESION ALGEBRAICA (E.A.)
Es una expresión matemática en la cual para la variable o variables sólo se definen las operaciones aritméticas (Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Radicación y Potenciación), en forma FINITA y sin variables como exponentes.
CONSTANTE : Son aquellas expresiones que
tienen un valor fijo. Generalmente se utilizan las primeras letras del abecedario para representarlas.
VARIABLE : Es un valor arbitrario o
desconocido, representa a una cantidad en forma general. Frecuentemente para representarlas, se utilizan Las últimas letras del abecedario.
Ejemplos: ����� 6�� 5 ; ���, ��� 29�� � � ��� ; � ��, ��� ����
��������� ���
RECUERDA: Si una expresión no cumple con una de éstas condiciones anteriores, es una expresión no algebraica o Trascendente. Ejemplos de expresiones NO algebraicas:
1) 3x - log x2 2) 1 + x - x2 + x3 - x4 + ... 3) 2x + sen2x – arctanx + 1
4)
=
aynx
4324
3412
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión algebraica previamente reducida donde no se define las operaciones de adición ni sustracción entre las variables. PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO:
1. Coeficiente (incluyendo al signo) 2. Parte literal o Parte variable. 3. Exponentes de las variables.
39 x−
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos que tienen la misma
parte literal, afectados de iguales exponentes.
Dos términos se pueden sumar o restar si son semejantes, para lo cual se suma o se restan los coeficientes y se escribe, la misma parte literal.
Ejemplos: yxyxyx 74;7;77 π− CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se clasifican tomando en cuenta los exponentes de las variables (clasificación por su naturaleza). Así: EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (EAR) Son expresiones en las cuales sus variables están
afectadas por exponentes enteros o también porque el subradical no tiene letras, pudiendo contener a su vez términos independientes.
Ejemplos: ü ���, ��� 2�� � 3��� ��� ü ����� 5�� � 35���� � 42�
Término independiente(puesto que �es la variable)
a) Expresión Algebraica Racional Entera
(EARE) Cuando los exponentes de sus variables son enteros positivos incluyendo el cero.
Ejemplos:
yxxyx −+ 32;6
4;34
b) Expresiones Algebraicas Racional Fraccionaria (EARF).- Cuando los
Exponente
Variable Coeficiente
160
exponentes de sus variables son enteros negativos.
Ejemplo:
34;37 −xyz
x
23
39
6 382xz
yzy
x+
+−
EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (EAI) Son expresiones en las cuales las variables están afectadas por lo menos un exponente fraccionario (ℚ), es decir donde se define por lo menos una radicación que involucre a las variables.
Ejemplos:
3572
4;42;3 56 yzyxxyzx +
TEORÍA DE EXPONENTES
Potenciación: Es la operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, tantas veces como otro número llamado exponente. Representación: Sea:
bbbbbbbppbn .................=⇒= “n” factores donde: b : base, b ∈ � � �0� n : Exponente (n ∈ �)
nb : n-ésima potencia de b.
Ejemplo: 2433.3.3.3.335 ==
Propiedades: 1. nmnm aa.a +=
2. nmn
ma
aa −= , a ≠ 0
3. ( ) nnn baab =
4. n
nn
ba
ba
=
; b ≠ 0
5. mnnmnm )a(a)a( ==
6. nn
a1a =− ; a ≠ 0
7. nn
ab
ba
=
−
; a ≠ 0 , b ≠ 0
8. n1
n aa =
9. nnn b.aba =
10. n
nn
ba
ba
= , b ≠ 0
11. mnnm
n m )a(aa ==
12. n pnmn pm a .aa .a =
13. pnmm n p aa =
CASOS PARTICULARES
1.- z.y.xp
c.y.xn
b.xm
ax y z pcnbma =
Ejemplo:
300)2)(3)(5(60
5.)3)(2(6
3.24
22 3 5 6056342 ==
2.- z.y.x pz)ny.m(a
x y z panama ++=
Ejemplo:
4312 4832.3.2 122)63.4(33 1236343 ==++=
5 factores 3
161
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son igualdades donde la incógnita aparece en el exponente, y en otros como base y exponente. Diferentes formas de ecuaciones: 1.- Ley de bases iguales:
1a0a;yxyaxa ≠∧>∀=⇒= Ejemplo:
2/3x2x323x339x27 =∴=⇒=⇒= 2.- Ley de Exponentes iguales:
0x;baxbxa ≠∀=⇒= Ejemplo: 12x8)4x(383)4x(5123)4x( =∴=−⇒=−⇒=− 3.- Ley de simetría:
0ababaa b ≠∀=⇒= Ejemplo:
7x43x44)3x()3x(256)3x()3x( =∴=−⇒=−−⇒=−− 4.- { }0Rb,a0yxbxa y −∈∀==⇒= 5.- Formas Indeterminadas:
5.1) 1n........)1n(n)1n(n)1n(n +=∞++++++
5.2) n........)1n(n)1n(n)1n(n =∞−+−+−+
5.3) n
n nn nn n =
∞N
5.4) n nxn
nxxx =⇒=N
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Determinar los posibles valores de “a” para que
la expresión: 3z2ay
53
az2
6xz3 6yax8)z,y,x(E −+−= ; sea
racional entera.
a) { }6,4,2 b){ }5,3,1 c) { }6,3 d) { }3,2,1 e) { }6,4,2
Solución: La expresión es racional entera, si se cumple
que: 02a0a60
3a
≥−∧≥−∧≥
de donde:
2a;6a;3a ≥≤= Luego, se obtiene que : { }6,3a =
Rpta. Alternativa “c” 2. Simplificar:
3316333 3
33 4 273
4 33E
−−−
=
a) 1 b) 3 c) 9 d) 1/3 e) 3 3 Solución: Usando las propiedades de la teoría de exponentes
33).1633.(
3
4 3
41
27.3
3 3
3 3E
−−−
=
−
−−
−
=43
3.61
33
23
3.61
33.43
3
3E
13E −= = 1/3 Rpta. Alternativa “d”
162
3. Sea la expresión algebraica racional entera
7az5y
2a 3)2a(y.3ax)z,y,x(E
−−
+ −+=
Calcular uno de los valores de E(-2, -2, -2)
a) 152 b) 132 c) 212 d) 182 e) 202 Solución: La expresión es racional entera, si se cumple que:
0a702a03a ≥−∧≥−∧≥+ de donde:
7a;2a ≤≥
Esto es { }7,6,5,4,3,2a ∈
Al simplificar la expresión
a7z.3ay.3ax)z,y,x(E −++=
Luego:
a7)2.(3a)2.(3a)2()2,2,2(E −−+−+−=−−− ; “a” es impar, si a = 5,
Entonces: 18222.82.82)2,2,2(E ==−−−
Rpta. Alternativa “d”
4. Si los términos 3by12ax3)ba(2a)y,x(1E +−
++=
[ ] 1b4y)1a(2x4)ba(a)y,x(2E 2 −−−−= son semejantes, hallar la suma de sus coeficientes a) 0 b) 2 c) 5 d) 6 e) 7 Solución:
Por definición de términos semejantes:
)1a(212a −=− y 1b43b −=+
de donde: a = 1 y b = 4
Luego la suma de sus coeficientes es:
7184)2ba(a3)ba(2aS =−=
−−+
++=
Rpta. Alternativa “d”
5. Si : 1nn3n )x4()x2(x −+ == , calcular el valor de: n + x a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
Solución:
Si n3n )x2(x =+ , entonces 3n
2x =
Asimismo, si 1n3n )x4(x −+ = entonces 21n
2x−
=
Luego : 21n
3n
22−
= Usando la propiedad: yxaa yx =⇒= , de
ecuaciones exponenciales se tiene: 2
1n3n −
=
De donde: n = 3 y x = 2
Por tanto: n + x = 5
Rpta. Alternativa “b”