EXPRESSÕES ALGÉBRICAS NUMÉRICAS E LITERAIS Web viewTais operações podem ser resolvidas rapidamente, se conhecemos estes padrões, porém podemos encontrar os resultados destas

Oswaldo K. Watanabe 2000 1

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS NUMÉRICAS E LITERAIS

Expressão algébrica é um elemento ou um conjunto de operações.

As expressões formadas só de valores numéricos são as expressões algébricas numéricas e as expressões formadas por valores numéricos e letras são as expressões algébricas literais.

Assim como o termo literal representa, expressão literal é a expressão que possui letras nos lugares de números, como exemplificamos anteriormente..Mas, alguém pode estar perguntando-se: porque usar letras?Respondendo: Na nossa linguagem do dia-a-dia, usamos termos como “ Alguns homens são bons”. Nesta frase, estamos generalizando, pois existem homens bons, mas não estamos dizendo especificamente quem são. Ou ainda, quando dizemos “Silvana é linda”, não estamos identificando de qual Silvana estamos falando. Portanto assim como na nossa linguagem encontramos varias expressões onde não identificamos os elementos, na linguagem matemática usamos letras para representar vários valores, por exemplo: o dobro de um número = 2X, onde X seria o número não identificado, ou o quadrado de uma medida adicionado do quíntuplo deste mesmo número subtraído de 5 = x2 + 5x – 5, ou ainda a soma entre dois valores é 1000 = ( x + y = 1000).

As expressões literais são classificadas como:MONÔMIOS: expressões que não possuem adição ( não possuem as operações d + ou de - )

Exemplos:

1) 2 2) 3xy4 3) (2a3bc2) / (5x2y) POLINÔMIOS: adição entre dois ou mais monômios. Entre os polinômios estão os binômios e trinômios, nomes estes que aparecem com muita freqüência para representar polinômios formados por 2 e por 3 monômios.

Exemplos:

1) 2 + a 2) 3x +2y – 4 3) x2 – 8x + 12 4) 2x –3y + 4z – 5binômio trinômio trinômio

Valor Numérico de uma expressão literal

Uma expressão, na prática, deve ser a descrição quantitativa genérica de um fenômeno ou fato, num caso específico em que conhecemos os valores das variáveis (letras ou símbolos) podemos substituí-los por esses valores e efetuarmos as operações.

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OPERAÇÕES ENTRE EXPRESSÕES LITERAIS

As operações com expressões literais, na sua maioria está presa a uma redução de termos semelhantes, seja ela na adição ou seja ela na multiplicação.Na adição, esta redução de termos semelhantes se resume em juntar os termos que têm as partes literais exatamente idênticas, pois é semelhante a contagem de objetos. Por exemplo: 5 figos + 4 laranjas – 3bananas + 2 laranjas – 2 figos + 7bananas = 3 figos + 6 laranjas + 4 bananas.Na matemática: 2x2y + 5xy2 - 4 xy2 + 3 x2y –6 = 5 x2y + 1 xy2 – 6Vejam que só podemos reduzir os termos semelhantes. Isto é, existem expressões que não podemos representar através de outra mais simples, pois só podemos juntar termos semelhantes. Exemplo: não temos como representar a expressão 5a +2b +7c + 9d através de expressão mais simples, porque não temos termos semelhantes.

Exercícios:Efetue as operações possíveis (reduzir os termos semelhantes):1) 2x + 3y + 5x + 4y – 4x + 2y + 4 =2) 3x4 – 5x3 + 7x2 + 4x –10 + 5x4 – 2x3 - 6x2 - 4x +16 - 2x4 + 9x3 + 8x2 - 11x –12 =

3) + - =

4) 2,3x2 – 3,7x + 0,03 – 1,07 x2 + 5,21x – 0,42 =5) 2 - 3b + 5 - 5 - b –3 =6) 3x + 2y –5z + 3y – 2t + 5x + 3 – 2z + 7t =

Potências: Definição: Potência é um símbolo que representa uma multiplicação de fatores iguais.

Símbolo an = a.a.a...a n vezes o a

Neste símbolo, a é denominado base e é o fator que se repete e n é o expoente que

indica o número de vezes que o fator a se repete.

Esta idéia não é nova, pois a multiplicação n.a também é uma maneira simplificada de

representar uma soma de parcelas iguais. Isto é: n.a = a + a + a + ... + a n vezes o a

Exemplos numéricos:

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1) 34 = 3.3.3.3 = 812) 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

Vejam que as potências são representações mais simples de uma multiplicação de fatores iguais.

Com base na definição, podemos verificar algumas propriedades que as potências apresentam:

1ª) Qualquer número elevado ao expoente um é igual a ele mesmo. a1 = a

2ª) O número um elevado a qualquer potência é igual a um. 1n = 1, pois 1.1.1.1.1....1 = 1

3ª) O número zero elevado a qualquer expoente diferente de zero é igual a zero. 0n = 0, com n ≠ 0. Pois 0n = 0.0.0...0 = 0 n zeros

4ª) Uma potência de uma outra potência é igual a potência que tem a mesma base e expoente igual ao produto entre os expoentes. (am)n = am.n . Pois (am)n = (am).(am). ).(am)… ).(am) = = ( a.a.a ...a ) ( a.a.a ...a ) ( a.a.a ...a ) ...( a.a.a ...a) = a.a.a ...a = am.n

m ases + m ases + m ases +...+ m ases n vezes m ases

Exemplos numéricos:1) (53)4 = (53).(53).(53).(53) = (5.5.5).(5.5.5).(5.5.5).(5.5.5) = 53.4 = 512

2) (24)2 = (24).(24) = (2.2.2.2).(2.2.2.2) = 22.4 = 28

5ª) Na multiplicação de potências de mesma base, o produto é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual a soma dos expoentes dos fatores. am.an = am+n . Pois, am.an = (a.a.a ... a) (a.a.a ... a) = am+n

m ases + n ases Exemplo numérico:53. 54 = (5.5.5).(5.5.5.5) = 53+4 = 57

6ª) Na divisão de potências de mesma base, o produto é uma potência com a mesma base e expoente igual a diferença do expoente da primeira com o expoente da segunda. am : an = am/ an = am-n

m ases

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Pois am : an = = = am-n

n ases n ases m – n ases

Se m > n, temos: = 1.a

n ases

Exemplo numérico:

= = =

7ª) Esta propriedade é conseqüência da 6ª. Qualquer número diferente de zero, elevado a zero é igual a 1. a0 = 1, pois um número dividido por ele mesmo é igual a 1, an : an = an-n = a0 =1.

8ª) Esta propriedade também é conseqüência da 6ª. Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao expoente positivo ( é igual a um sobre a mesma potencia com expoente positivo ).

a-p = . Pois na propriedade 6ª, se o expoente m do numerador for menor que o

expoente n do denominador e n – m = p, m – n = -p. Portanto, na simplificação da fração, sobrarão p ases no denominador. m ases

Se m < n

m ases n – m ases

9ª) Esta propriedade, na verdade é uma convenção, que na época facilitava a visualização do valor de uma potência de expoente fracionário. Ou seja: uma potência de expoente fracionário é igual a raiz de índice igual ao denominador da fração do expoente e radicando igual a base da potência elevado ao numerador do expoente fracionário. A potência am/n = n am

Raiz

A raiz é o símbolo usado para representar uma potência de expoente fracionário, portanto devemos estuda-las com base nas propriedades das potências e das frações. Por ser uma potência de expoente fracionário, devemos nos lembrar que existem as frações aparentes, que na verdade são números inteiros representados na forma de fração. Tais frações, têm como numerador, um número múltiplo do denominador, portanto, se entendemos que toda fração também representa uma divisão do numerador pelo denominador, estas divisões sempre serão exatas no conjunto dos números inteiros.

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Frações aparentes são frações onde o numerador é um múltiplo do denominador.Um número é múltiplo de outro, se ele é o resultado(produto) da multiplicação deste outro com um número natural. Isto é, se o número inteiro y é múltiplo de um número inteiro x, então y = k.x, onde k é um número natural.Exemplos: 0 é múltiplo de 5, pois 0 = 0.5; 12 é múltiplo de 4, pois 12 = 3.4.

Obs. Um número natural é um número que representa quantidades existentes na natureza.N = conjunto dos números naturais = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. ....N* = conjunto dos números naturais não nulos = 1, 2, 3, 4, 5, 6. .... Um número inteiro é o resultado da diferença entre dois números naturais, sendo que se o segundo for maior que o primeiro, fazemos a diferença entre o segundo e o primeiro e no resultado, colocamos o sinal – (negativo) antes, para indicar que houve esta mudança de ordem. Exemplo: o número –5 pode ser considerado o resultado da diferença entre 2 e 7, pois 2 – 7 = -(7 - 2).Z = conjunto dos números inteiros = ... –3. –2, -1, 0, 1, 2, 3, ...Z* = conjunto dos números inteiros não nulos = ... –3. –2, -1, 1, 2, 3, ...

Exemplo de raízes

1) 31/2 = = 2) 5 = = = = ...

PROPRIEDADES DA IGUALDADE ENTRE POTÊNCIAS EM R

1) Se duas potencias de mesma base são iguais, então os expoentes são iguais, se a base for diferente de zero e diferente de um(negativo ou positivo)Se am = an, com a 0 e a 1, então m = n.

2) Se duas potências de mesmo expoentes são iguais, então as bases são iguais, se o expoente é impar e uma base é mais ou menos a outra se o expoente é par.

Se an = bn, então a = b, se n é impar. a = b, se n é par

PROPRIEDADES DA DESIGUALDADE ENTRE POTÊNCIAS

1) Se uma potência é maior que uma outra e as bases são positivas e iguais, então o expoente da primeira deve ser maior que o da segunda, se a base é um número maior que um e o expoente da primeira deve ser menor que o da segunda, se a base é um número que está entre zero e um.Se am an, então, m n, se a 1 e m n, se 0 a 1.Obs. Não devemos esquecer que nas potências de um número entre zero e um, quanto maior for o expoente menor será o produto.

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2) Se uma potência é maior que uma outra e os seus expoentes são iguais, então a base da primeira é maior que o da segunda, se o expoente é positivo e a base da primeiro é menor que a base da segunda, se o expoente for negativo.Se an bn, então a b, se n 0 e a b, se n 0.

Exercícios sobre propriedades das potências:

Complete corretamente:

1) 56 = ( 5....)3 Resp. 2 2) 104 = 5..... . 2...... Resp. 4 e 4 3) 154 =.....4.5..... Resp. 3 e 4

4) (0,25)3 = (..../ 4)3 Resp. 1 5) 56 = 5.....52 Resp. 4 6) 126 = .....12. 36 Resp. 2

ExercíciosEfetue as operações indicadas:

1) ( )3 + ( )2 =

2) . =3) 53.23.10-2 =4) 22x + 2:2x –4 =5) (33x – 4) x + 2 =

Na multiplicação, esta redução está sujeita a operações entre potências e propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição.

Multiplicação de monômio por monômio: multiplicamos os termos numéricos entre si e nas partes literais, aplicamos as propriedades das potências. Exemplos:1) 3a2b4. 5a3bc = 3.5a2+3b4+1c = 15a 5b5c

2)

Exercícios:Efetue as operações indicadas:1) 2)

3)

4)

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Propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição é a própria multiplicação de um monômio por um polinômio.

A multiplicação entre um monômio e um polinômio é igual a soma entre os produtos do monômio por cada uma das parcelas do polinômio.Exemplos:1) Se 3.(a + b + c) = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c) = 3a + 3b + 3c2) Se x.(a + b + c) = (a + b + c) + (a + b + c) + ... + (a + b + c) = x.a + x.b + x.c3) 2(x + y +z – 3t) = (x + y +z – 3t) + (x + y +z – 3t) = 2x + 2y + 2z – 6t4) Se

5) 3a2b3(5a3b + 3a2b2 – 4b2) = 3a2b3. 5a3b + 3a2b3. 3a2b2 - 3a2b3. 4b2 = 15a5b4 + 9a 4b5 – 12 a2b5

6) 2(x + y +z – 3t) = (x + y +z – 3t) + (x + y +z – 3t) = 2x + 2y + 2z – 6t7) 3a2b3(5a3b + 3a2b2 – 4b2) = 3a2b3. 5a3b + 3a2b3. 3a2b2 - 3a2b3. 4b2 = 15a5b4 + 9a 4b5 –

12 a2b5

8) ( x2 – 2x + 7 ) = . x2 – .2x + .7 = - +

Obs. A multiplicação de um polinômio por um monômio é comutativa. Isto é: mesmo invertendo a ordem, colocando o monômio multiplicado pelo polinômio ou o polinômio pelo monômio, o resultado será o mesmo.

Exercícios:1) Efetue as operações e reduza os termos semelhantes, se houverem:

a. 0,6x.(x3 – 7x2 + 5x – 20) =b. 0,32x2y3.(1,25x2y –10,5xy + 25y2) =

c.

d. 5x.(3x4 – 4x3 + 7x2 –11x + 9) + 2.(3x4 – 4x3 + 7x2 –11x + 9) =e. a3.(a2 – 5.a + 7) – 6.a2.( a2 – 5.a + 7) + 8.a.( a2 – 5.a + 7) –13.( a2 – 5.a + 7) =

Multiplicação de polinômio por polinômio

Para podermos multiplicar um polinômio por outro polinômio, usamos a mesma lógica da multiplicação, onde vamos operar com um dos polinômios como se fosse monômio. Exemplo: (a + b)(x – y) = (a + b)x – (a + b)y = ax +bx – ay – by

Vejam que neste exemplo, na primeira fase, o polinômio (a + b) está fazendo o papel igual ao do monômio das operações anteriores. E na segunda já fizemos a operação do polinômio pelo monômio normalmente. Poderíamos também fazer com que (x – y) fizesse o papel do monômio, e neste caso, temos:

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(a + b)(x – y) = a.(x – y) + b.(x – y) = a.x – a.y + b.x – b.y que a menos da ordem de colocação dos termos, dá um resultado igual ao anterior.

Exercícios:

Efetue as operações:1)

PRODUTOS NOTÁVEIS

Existem algumas multiplicações cujos resultados apresentam um mesmo padrão. Tais operações podem ser resolvidas rapidamente, se conhecemos estes padrões, porém podemos encontrar os resultados destas operações, efetuando normalmente.

1) O quadrado da soma entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, somado com o dobro do produto entre o primeiro termo e o segundo e somado com o quadrado do segundo.

( 1º + 2º )2 = ( 1º )2 + 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2

Exemplo:( x + 9 )2 = ( x )2 + 2.( x ).( 9 ) + ( 9 )2 = x2 +18x + 81

a) (a + b)2 pode ser imaginado como área de um quadrado cujos lados medem a + b. Então vamos montar este quadrado.

a b a2 ab ab b2

= + + + a a

b b

a bExercícios:

Efetue as operações, usando a regra do produto notável:

1) (x + y)2 =2) (x + 2)2 =3) (2x + 5)2 =

4) (2.a + 3b)2 =5) (0,3x + 0,2y)2 =3) (5a + 2)2 =4) (3x2 + 5)2 =

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5) (2.a3 + 3b2)2 =6) ( + )2 =

10) ( + 5)2 =

2) O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, subtraído do dobro do produto entre o primeiro termo e o segundo e somado com o quadrado do segundo.

( 1º - 2º )2 = ( 1º )2 - 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2

Exemplo:

( x - 8 )2 = ( x )2 - 2.( x ).( 8 ) + ( 8 )2 = x2 – 16x + 64

b) (a - b)2 pode ser imaginado como a área do quadrado de lados a - b. a b a - b

a - b a a b b b a

(a - b)2 a2 a.b a.b b2

=

Vejam que este quadrado está no interior de um quadrado maior de lados a, que está fatiado em um quadrado e dois retângulos, que tem um quadradinho em comum.

Partindo deste quadrado maior, podemos calcular a área do quadrado, usando os mesmos dados do anterior, porém tomando algum cuidado, pois se do quadrado maior de área a2 tirarmos os dois retângulos de áreas a.b, vamos tirar o quadradinho de área b2 duas vezes, pois ele, o quadradinho, é parte dos dois

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retângulos. Portanto, devemos somar um b2 para compesar as duas retiradas. Com isso, temos que: (a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2.

Exercícios:

Efetue as operações usando a regra do produto notável:

1) (t - v)2 =2) (x - 5)2 =3) (3x2 - 7)2 =

4) (3a - 2b)2 =5) (1,2x - 0,5y)2 =

6) (5a - 8)2 = 7) (3x2 - 6)2 =

8) (4a3 - 5b2)2 =9) ( - 5 )2 =

10) ( - 3)2 =3) O produto da multiplicação entre a soma de dois termos e a diferença entre os mesmos termos é igual ao quadrado do primeiro termo subtraído do quadrado do segundo termo.(ou é igual a diferença entre os quadrados dos dois termos).

( 1º + 2º )( 1º - 2º ) = ( 1º )2 - ( 2º )2

Exemplo:( x + 11 )( x - 11 ) = ( x )2 - ( 11 )2 = x2 – 121

c) (a - b).(a + b)

a + b

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TRANSPORTADO


a b a

a -b a - b a

b

Exercícios:


1) (x + y)(x – y) =2) (t – v)(t + v) =3) (3x + 2)(3x – 2) =

4) ( + )( - ) =

5) ( - )( + ) =6) (5z3 + 2v2) (5z3 - 2v2) =7) (0,4a + 0,3b)(0,4a – 0,3b) =8) (3,2x – 1,5y)(3,2x + 1,5y) =

9) ( + 3) ( + 3) =

10) ( 3xy –7)(3xy + 7) =

4)As multiplicações do tipo ( x + a )( x + b ) têm como resultado um trinômio do 2º grau, onde o coeficiente de x2 é 1, o coeficiente de x é ( a + b) e o termo independente de x ( sem x ) é a.b.

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ÁREA TODA , MARRON E VERDE, MEDIDA IGUAL A(a-b)(a+b)

TIRAR


( x + a )( x + b ) = x2 + ( a + b )x + a.b

Exemplos:

( x + 9 )( x + 7 ) = x2 + ( 9 + 7 )x + 9.7 = x2 + 16x + 63

( x - 9 )( x - 7 ) = x2 + ( -9 + -7 )x + (-9).(-7) = x2 –16x + 63

( x + 9 )( x - 7 ) = x2 + ( 9 + (-7) )x + 9.(-7) = x2 + 2x - 63

( x - 9 )( x + 7 ) = x2 + ( -9 + 7 )x + (-9).7 = x2 – 2x – 63

Obs. Vejam que se o produto, que é o termo final sem x, é positivo, a e b têm o sinal da soma e se o produto é negativo, a e b têm sinais contrários e a soma tem o sinal do maior.

(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab

x a x2 bx ax ab

= + +

x

b Exercícios:


1) ( x + 6 )( x + 7 ) =2) ( x + 5 )( x + 9 ) =3) ( x + 8 )( x + 4 ) =4) ( x + 1 )( x + 9 ) =5) ( x - 9 )( x - 7 ) =6) ( x - 6 )( x - 8 ) =7) ( x - 9 )( x - 5 ) = 8) ( x - 3 )( x - 8 ) =9) ( x - 9 )( x + 4 ) =10) ( x + 8 )( x - 7 ) =11) ( x - 7 )( x + 3 ) =12) ( x - 4 )( x + 7 ) =13) ( x + 9 )( x - 7 ) = 14) ( x - 6 )( x + 4 ) =15) ( x - 9 )( x + 1 ) =

16) ( x + 11 )( x - 7 ) =

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b) O cubo da soma entre dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo.

( 1º + 2º )3 = (1º)3 + 3.(1º)2.(2º) + 3.(1º).(2º)2 + (2º)3

Exemplos:( x + 5 )3 = (x)3 + 3.(x)2.(5) + 3.(x).(5)2 + (5)3 = x3 + 15x2 + 75x + 125

( 2x2 + 6 )3 = (2x2)3 + 3.( 2x2)2.(6) + 3.( 2x2).(6)2 + (6)3 = 23.x6 + 3.22.x4.6 +

3.2.x2.36 + 216 = 8.x6 + 72.x4 + 216.x2 + 216

Exercícios:


1) (x + y)3 = 2) (x + 5)3 =

3) (2x + 5y)3 =4) (t + 6)3 =

c) O cubo da diferença entre dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

( 1º - 2º )3 = (1º)3 - 3.(1º)2.(2º) + 3.(1º).(2º)2 - (2º)3

Exemplos:( x - 2 )3 = (x)3 - 3.(x)2.(2) + 3.(x).(2)2 - (2)3 = x3 - 6.x2 + 12.x – 8

( 3x4 - 10 )3 = (3x4)3 - 3.( 3x4)2.(10) + 3.( 3x4).(10)2 - (10)3 = = 27x12 – 270x8 + 900 x4 – 1000

Exercícios:


1) (t - v)3 = 2) (2x - 5)3 =

3) (x - 5y)3 =4) (t - 4)3 =

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d) A multiplicação da soma entre dois termos pelo trinômio formado pelo quadrado do primeiro termo, menos o produto entre o primeiro e o segundo, mais o quadrado do segundo é igual a soma dos cubos dos dois termos.

( 1º + 2º ) [(1º)2 – (1º).(2º) + (2º)2] = (1º)3 + (2º)3 Exemplo:( x + 3 ) [(x)2 – (x).(3) + (3)2] = (x)3 + (3)3 = x3 + 27

Exercícios


1) (x + y)(x2 – xy + y2) =2) (x + 1)( x2 – x + 1) =3) (x + 3)( x2 – 3x + 9) =4) (x + 5)( x2 – 5x + 25) =5) (x + 2)( x2 –2 x + 4) =

e) A multiplicação da diferença entre dois termos pelo trinômio formado pelo quadrado do primeiro termo, mais o produto entre o primeiro e o segundo, mais o quadrado do segundo é igual a diferença dos cubos dos dois termos.

( 1º - 2º ) [(1º)2 + (1º).(2º) + (2º)2 = (1º)3 - (2º)3

Exemplo: ( x - 6 ) [(x)2 + (x).(6) + (6)2 = (x)3 - (6)3 = x3 - 216

Exercícios


1) (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2) =2) (x - 4)( x2 + 4x + 16) =3) (x - 7)( x2 + 7x + 49) =4) (2x - 5)( 4x2 + 10x + 25) =5) (x - 2)( x2 +2 x + 4) =

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EXERCÍCIOS:

Efetue as operações, usando as regras dos produtos notáveis:

1) (5x + 3)2 + (3x – 7)2 – (2x – 3)(2x + 3) =2) (2x – 5)(2x + 5) – (4x – 7)2 + (2x + 1)2 =3) (x – 2)3 – (x + 3)(x2 – 3x + 9) = 4) (x + 1)2 + (x + 1)3 – (x – 1)(x2 + x + 1) =5) (0.5x – 2)(0.5x + 2) + (2,1x – 3)2 =

6) ( + )2 – ( + )( - ) =

7) (1,2x3 + 0,4) (1,2x3 - 0,4) – ( 0,2x2 – 0,3)3 =

8) ( - )( + ) + ( + )( - ) =

Fatoração de expressões algébricas literais

FATORAR significa transformar em multiplicação equivalente, porém é comum ser usado como: fatorar um número é representar este número através de seus fatores primos.

Fator primo é aquele que só tem dois divisores, o um e ele mesmo.Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....

Exemplos:

1) 10 = 2.52) 24 = 2.12 = 3.8 = 23.3

Nas expressões literais, cada letra, em geral, faz o papel de um número primo, portanto, vamos estudar as fatorações dos polinômios, que na maioria são voltas ou retornos dos produtos notáveis. Para melhor identificarmos qual a multiplicação que deu origem a expressão a ser fatorada, vamos dividi-las em casos.

1º CASO: Caso do fator comum.

Este caso é a volta da propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição.

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Para percebermos que é este caso que devemos aplicar, devemos detectar um fator que aparece em todas as parcelas.

Exemplos: 1) ax + bx + cx – dx = x( a + b + c –d ) Vejam que neste caso o fator comum é x.

2) 2x –6y + 10z = 2( x – 3y + 5z ) Vejam que neste caso todos são pares, logo o fator comum é o 2.

3) 3x4 – 9x3 + 21x2 = 3x2( x2 – 3x + 7 ) Vejam que neste caso todas as parcelas tem x e um múltiplo de 3, logo o fator comum é 3x2.

4) 2a( x – 2 ) + 3b( x – 2 ) –5( x – 2 ) = ( x – 2)( 2a + 3b –5 ) Vejam que neste caso todas as parcelas tem o parênteses, logo o fator comum é o parênteses (x – 2).

Exercícios

Fatore as expressões:

1) ax + bx –cx + dx =2) 2ab + 6a =3) 5x3 – 30x2 + 25x =4) 3a + 6b - 12c =5) 12x5y4z2 - 18x4y2z3 + 42x6y3 =

2º CASO: Caso do agrupamento.

Este caso é a volta da multiplicação entre dois polinômios.

Para que possamos aplicar este caso de fatoração, devemos ter fatores comuns em grupos de número de parcelas iguais e ao fatorarmos cada grupo, deve aparecer um novo fator comum.

Exemplos:

1) ax +bx + ay + by = x( a + b ) + y( a + b ) = ( a + b )( x + y )

2) x3 – 3x2 + 5x – 15 = x2( x – 3 ) + 5( x – 3 ) = ( x – 3 )( x2 + 5 )

3) 2x3 – 8x2 - 5x + 20 = 2x2( x – 4 ) – 5( x – 4 ) = ( x – 4 )( 2x2 – 5 )

4) ax + ay + bx + by + cx + cy = a( x +y ) + b( x + y ) + c( x + y ) =

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= ( x + y )( a + b + c ) ou ax + bx + cx + ay + by + cy = x( a + b + c ) + y( a + b + c ) = ( a + b + c )( x + y )

Obs. Reforçando: neste caso, o número de parcelas sempre é um número múltiplo, isto é: a expressão deve ter 4 parcelas ou 6, ou 8, ou 9, ou 10, ou 12, .... E sempre devem aparecer fatores comuns para grupos de quantidades iguais de parcelas, notem que nos exemplos de 4 parcelas, agrupamos de dois em dois. No de seis, podemos agrupar em 3 grupos de dois em dois ou em dois grupos de três em três parcelas, e assim sucessivamente.

ExercíciosFatorar: 1) 2ax – 3bx + 4ay – 6by =

2) 5pt + 4qt – 7rt –15pz – 12qz + 21rz =3) x2 + 6x – x – 6 =4) x3 – 2x2 + 3x – 6 =5) 2x3 + 12x2 + 7x + 42 =

3º CASO: Caso da diferença dentre dois quadrados.

Este caso é a volta do produto notável : multiplicação da soma pela diferença entre dois termos.

(1º)2 – (2º)2 = ( 1º – 2º )( 1º + 2º ). Portanto, o nosso objetivo é descobrir quem é o 1º e quem é o 2º, para podermos substituir na fórmula.

Exemplos:1) a2 – b2 = ( a – b )( a + b )

o 1º é a e o 2º é b

2) 25x6 – 49 = (5x3)2 – 72 = ( 5x3 + 7 ) ( 5x3 - 7 )o 1º é 5x3 e o 2º é 7

3) x – 9 = ( √x )2 – 32 = (√x + 3 ) (√x - 3 )o 1º é √x e o 2º é 3.

ExercíciosFatorar:

1) t2 – v2 =2) 4x2 – 9 =3) 9y6 – 25z2 =4) x2 – 5 =5) 36x2 – 49y2 =

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4º CASO: Caso do trinômio do quadrado perfeito.

Este caso é a volta do produto notável: quadrado da soma ou da diferença.

( 1º )2 + 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2 = ( 1º + 2º )2 ou ( 1º )2 - 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2 = ( 1º - 2º )2

Vejam que neste caso, os dois quadrados são positivos e através deles, devo descobrir quem é o primeiro termo e quem é o segundo, para em seguida verificarmos se o outro termo é o dobro da multiplicação destes dois termos. Caso isto não ocorra, não será possível efetuar esta fatoração. (vejam que neswte caso também devo descobrir quem são o 1º e o 2º termos)

Exemplos:

1) x2 + 6x + 9 = ( x )2 + 2.( x ).( 3 ) + ( 3 )2 = ( x + 3 )2

1º = x 2º = 3

2) 16x6 - 40x3 + 25 = ( 4x3 )2 - 2.( 4x3 ).( 5 ) + ( 5 )2 = (4x3 - 5 )2

1º = 4x3 2º = 5

Exercícios Fatorar:

1) x2 + 10x + 25 =2) 4x2 + 12x + 9 =3) x2 + 5x + 6,25 =4) 25x4 - 70x2 + 49 = 5) 16x6 - 72x3 + 81 = 6) 25x2 - 60x + 36 =

5º CASO: Caso do trinômio do segundo grau.

Este caso é a volta do produto notável ( x + a )( x + b ) = x2 + ( a + b )x + a.b.Vejam que neste caso, o número que multiplica (o coeficiente de) x2 é 1, o termo que multiplica x é a soma entre a e b e o termo sem (independente de) x é o produto entre a e b. Logo, devemos usar o termo independente de x e o coeficiente de x, para descobrirmos os valores de a e de b.

Exemplos:

1) x2 + 6x + 8 = ( x + 2 )( x + 4 ) Se a.b= 8, então a.b = 8.1 = 2.4, mas como a+b = 6, então a = 2 e b = 4

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2) x2 - 6x + 8 = ( x - 2 )( x - 4 ) Se a.b= 8, então a.b = 8.1 = 2.4, mas como a+b = -6, então a = -2 e b = -4

3) x2 + 2x - 8 = ( x - 2 )( x + 4 ) Se a.b= -8, então a.b = 8.(-1) = (-2).4, mas como a+b = 2, então a = -2 e b = 4

4) x2 - 2x - 8 = ( x + 2 )( x - 4 ) Se a.b= -8, então a.b = -8.1 = 2.(-4), mas como a+b = -2, então a = 2 e b = -4

5) x2 - 12x + 35 = ( x - 5 )( x - 7 ) Se a.b= 35, então a.b = 35.1 = 5.7, mas como a+b = -12, então a = -5 e b = -7

6) - x2 + 12x – 35 = -( x2 - 12x + 35 ) = -( x - 5 )( x - 7 )

Exercícios Fatorar:

1) x2 + 8x + 12 =2) x2 + 6x - 27 =3) x2 - 11x + 24 =4) x2 - 6x – 16 =5) x2 - x - 20 =6) x2 + x - 6 =

6º CASO: Soma ou diferença entre dois cubos

Este caso é a volta dos produtos

( 1º + 2º )[( 1º )2 - ( 1º )( 2º ) + ( 2º )2] = ( 1º )3 + ( 2º )3

( 1º - 2º )[( 1º )2 + ( 1º )( 2º ) + ( 2º )2] = ( 1º )3 - ( 2º )3

Exemplos:

1) 27x6 + 8 = ( 3x2 + 2 )[( 3x2 )2 - ( 3x2 )( 2 ) + ( 2 )2] = ( 3x2 + 2 )( 9x4 - 6x2 + 4 )o 1º é 3x2 e o 2º é 2

2) x3 – 125 = ( x – 5 )( x2 + x.5 + 52 ) = ( x – 5 )( x2 + 5x + 25 )o 1º é x e o 2º é 5

Exercícios: I) Fatorar:

1) x3 – 8 =2) x3 + 27 =3) x6 – 64 =

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4) x3 + 1 =5) x3 – 5 =

II) Fatorar as expressões usando os casos estudados anteriormente até que não seja Mais possíval fatorar:

1) x3 – 3x2 - 4x – 12 =2) x3 + x2 - 25x – 25 =3) x5 – 10x4 + 16x3 – 8x2 + 80x – 128 =4) 16x4 – 81 =5) 3x2 – 15x + 18 =6) 7x3 –21x2 – 70x =

DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS

A técnica ou algoritmo da divisão entre polinômios é semelhante a divisão entre números. Para podermos efetuar a divisão entre dois polinômios é necessário que tanto dividendo como divisor, devem estar colocados em ordem crescente dos expoentes das variáveis, sem perda da seqüência numérica. Vejam o exemplo:

( x4 – 10x2 + 9 ) : ( x2 + 4x + 3 ) = ( x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 ) : ( x2 + 4x + 3 )

Após este passo, vamos fazer a divisão com a chave:

x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 x2 + 4x + 3

Em seguida, dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro do divisor e colocamos o quociente(resposta da divisão) sob a chave, a esquerda.

x4 : x2 = x2

x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 x2 + 4x + 3 x2

Continuando, multiplicamos o quociente com o divisor

x2.(x2 + 4x + 3 ) = x4 + 4x3 + 3x2.

Assim como na divisão entre números, devemos subtrair este resultado do dividendo, que é o mesmo que somar com o oposto, baixar a casa seguinte. - (x4 + 4x3 + 3x2) = -x4 - 4x3 - 3x2

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x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 x2 + 4x + 3 -x4 - 4x3 - 3x2 x2

0 -4x3 -13x2 + 0x

Aqui, voltamos a dividir o novo primeiro

-4x3 : x2 = -4x

x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 x2 + 4x + 3 -x4 - 4x3 - 3x2 x2 – 4x 0 -4x3 -13x2 + 0x

-4x .( x2 + 4x + 3 ) = -4x3 – 16x2 – 12x subtraindo, temos 4x3 + 16x2 + 12x

x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 x2 + 4x + 3 -x4 - 4x3 - 3x2 x2 – 4x 0 -4x3 -13x2 + 0x

4x3 + 16x2 + 12x0 + 3x2 + 12x + 9

3x2 : x2 = 3

x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 x2 + 4x + 3 -x4 - 4x3 - 3x2 x2 – 4x + 3 0 -4x3 -13x2 + 0x

4x3 + 16x2 + 12x0 + 3x2 + 12x + 9

3.(x2 + 4x + 3) = 3x2 + 12x + 9

21


x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 x2 + 4x + 3 -x4 - 4x3 - 3x2 x2 – 4x + 3 0 -4x3 -13x2 + 0x

4x3 + 16x2 + 12x 0 + 3x2 + 12x + 9

- 3x2 - 12x - 9 0 0 0

Briott e Ruffini, desenvolverão um algoritmo para divisão entre polinômios, onde o divisor é do tipo ( x – a ), com base no Teorema: “ Se o polinômio P(x) é igual a zero para x = a, isto é P(a) = 0, então P(x) é divisível exatamente por (x – a).

Este dispositivo simplifica bastante a divisão entre polinômios onde o divisor é um monômio do tipo ( x – a ).

O dispositivo: Vamos supor a divisão (a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + a3xn-3 + a4xn-4 + ...+ an) : ( x – a )

1) Traçar uma horizontal longa e uma vertical próxima e alem do inicio da horizontal

____ _________________________________________________________

2) Em cima, a direita da vertical, colocar com espaço, os coeficientes do polinômio que é o dividendo e abaixo e a esquerda da vertical, o valor a ( valor que colocado no lugar de x no divisor ( x – a ), faz com que ele fique zero.)

a0 a1 a2 a3 a4 a5 ..... an

______________________________________________________________ a

3) Repetir abaixo da horizontal o primeiro termo que está acima.

22


a0 a1 a2 a3 a4 a5 .... an

______________________________________________________________ a a0

4) Multiplicar o número que está a em baixo, a esquerda da vertical com o numero que esta em baixo e a direita da vertical. O resultado somamos com o o termo seguinte que está acima da vertical e o resultado colocamos abaixo deste último.

a0 a1 a2 a3 a4 a5 ....an

______________________________________________________________ a a0 a.a0 + a1

5) Multiplicamos o número que esta abaixo e a esquerda da vertical com o último Resultado encontrado e o resultado somamos com o termo seguinte que está acima da horizontal e o resultado, colocamos abaixo deste último.

a0 a1 a2 a3 a4 a5 ....an

______________________________________________________________ a a0 a.a0 + a1 a(a.a0 + a1) + a2

6) Repetimos o 6) até chegarmos ao último elemento acima da horizontal. Este último será o resto da divisão, portanto se for zero, significa que a divisão é exata de grau igual a um menos que o dividendo com coeficientes que estão abaixo da horizontal a direita da vertical.

Exemplo: (x5 – 10x4 + 16x3 – 8x2 + 80x – 128) : (x – 2)

1 -10 16 -8 80 -128 ________________________________________________________________________ 2 1 -8 0 -8 64 0 x4 -8x3 0x2 -8x 64 resto

resposta: x4 – 8x3 – 8x + 64.

Exercícios Efetue as operações indicadas:

1) (x2 + 8x + 12) : (x + 6) =2) (x2 + 6x – 27) : (x – 3) =

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3) (x2 - 11x + 24) : (x – 3) =4) (x2 - 6x – 16) : (x + 2) =5) (x2 - x – 20) : (x – 5) =6) (x2 + x – 6) : (x + 3) =7) (x3 – 3x2 - 4x – 12) : (x + 2) =7) (x3 + x2 - 25x – 25) : (x – 5) =8) (x2 – 25) : (x – 5) =9) (x3 – 216) : (x – 6) =10) (x3 + 125) : (x + 5) =

MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

O Máximo Divisor Comum (M.D.C.) entre dois termos é igual ao produto entre seus fatores comuns de menores expoentes.

Exemplos

1) O MDC entre 36 e 48

36 = 22.32

48 = 24.3

Portanto o MDC( 36, 48 ) = 22.3 = 4.3 = 12

11) O MDC entre x3 – 9x ; x2( x – 3 )2 e ( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2

x3 – 9x = x( x + 3 )( x – 3 ) x2( x – 3 )2 = x2( x – 3 )2

( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2 = x( x – 2 )( x – 3 )( x + 3 )2

Portanto o MDC [x3 – 9x ; x2( x – 3 )2 e ( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2] é x( x – 3 )

O Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre dois termos é igual ao produto entre todos os seus fatores, onde se houver repetição, toma-se apenas os de maiores expoentes.

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Nos exemplos anteriores, o MMC( 36, 48 ) = 24.32 = 16.9 = 144.

E o MMC [x3 – 9x ; x2( x – 3 )2 e ( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2] = = x2( x – 3 )2( x – 2 )( x + 3 )2

Exercícios

Determine o MMC e o MDC entre as expressões:

1) 36x2y3 , 60 x2yz e 48 x3y2z3 Resp.720 x3y2z3 e 12 x2y3

12) 20x4 , 30x3 e 25x2 Resp. 300x4 e 5x2

13) x2 – 4 , x2 – 5x + 6 e 2x – 4 Resp. 2x 3 – 3x2 – 4x + 12 e x - 2

4) x3 – 1 , x2 + x + 1 e x3 + x2 + x Resp. x4 – x e x2 + x + 1 5) x2 – x - 6 , x2 + 7x + 10 , x2 – 8x + 15 Resp. (x – 5)(x – 3)(x + 2)(x + 5) e 1 6) x2 - 7x + 10 , x2 – 8x + 15 Resp. (x – 5)(x – 3)(x – 2) e x – 5

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES LITERAIS

A simplificação de uma fração literal se baseia em dividir o numerador e o denominador por uma mesma expressão. Normalmente, para simplificarmos uma fração, fatoramos tanto o numerador como o denominador até chegarmos a expressões mais simples possível, porém isto nem sempre é necessário, pois para simplificar o máximo possível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum (M.D.C.) entre eles. Portanto se conhecemos os divisores dos polinômios, podemos efetuar a divisão.

Exemplos

42x2y3z 3y1) ------------- = Resp. ---------

28x3y2z3 2xy2

2x + 6 1 2) ------------- = Resp. ------ 10x + 30 5

x2 – 25 x + 5 3) ----------------- = Resp. ---------

x2 – 10x + 25 x – 5

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x3 – 2x2 + 3x – 6 x2 + 3 4) ---------------------- = Resp. ---------- 5x2 – 10x 5x

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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS NUMÉRICAS E LITERAIS Web viewTais operações podem ser resolvidas rapidamente, se conhecemos estes padrões, porém podemos encontrar os resultados destas