คาสดขดและจดอานมา Extreme Values and Saddle Points

ในการศกษาทผานมา เราทราบวธการหาคาสงสด และคาต าสดของฟงกชน 1 ตวแปร เนอหาทจะกลาวตอไปน เปนการขยายแนวความคดดงกลาว เพอใชหาคาสงสด และต าสด ของฟงกชน 2 ตวแปร

ตวอยางการประยกต การหาคาสงสดต าสด

มมและรปรางทเหมาะสมสาหรบการทารางน า

'( )f x อนพนธ ความชน

''( )f x '( )d

f xdx

การเปล ยนแปลง ความชน

''( )......0f x ''( )......0f x

บทนยาม

ให นยามบนบรเวณ

เปนคาสงสดสมพทธ (relative maximum) ของ ถาจด อยในบรเวณ และ ส าหรบจด ทกๆ จดทอยรอบๆ

( , )f x y R โดยท

( , )x y

เปนสมาชกใดๆ ใน R( , )f a b

( , )a b R

( , ) ( , )f a b f x y

( , )a b

f

บทนยาม

ให นยามบนบรเวณ

เปนคาต าสดสมพทธ (relative minimum) ของ ถาจด อยในบรเวณ และ ส าหรบจด ทกๆ จดทอยรอบๆ

( , )f x y R โดยท

( , )x y

เปนสมาชกใดๆ ใน R( , )f a b

( , )a b R

( , ) ( , )f a b f x y

( , )a b

f

รวมกนเปน คาสงสดสมพทธ และ คาต าสดสมพทธ

เพอความสะดวกเราเรยก

คาสดขดสมพทธ (relative extremum)

เรยนภาษาองกฤษใน Calculus !!!! เอกพจน (singular) พหพจน (plural)

minimum minima maximum maxima extremum extrema

phenomenon phenomena

(cos )(cos )z xy x y

z

x y

z

x

z

y

การทดสอบอนพนธอนดบหน ง สาหรบคาสดขดสมพทธ

ให นยามบนบรเวณ

ถา เปนคาสดขดสมพทธและ สามารถ หาอนพนธของ ทจด ไดแลว

( , )f x y R โดยท เปนสมาชกใดๆ ใน R

( , )f a b

( , )a b

( , ) 0xf a b

f

( , ) 0yf a b และ

จงหาคาของอนพนธยอยของฟงกชน 2 2( , ) 9f x y x y

เทยบกบตวแปร x และ y โดยพจารณาทจด (0,0)

ระวงบทกลบของทฤษฎดงกลาวไมเปนจรง!!!

( , ) 0xf a b ( , ) 0yf a b และ ถา

ไมไดหมายความวา เปนคาสดขดสมพทธ ( , )f a b

ตวอยาง ให 2 2( , )f x y y x

จงหาอนพนธยอยของ f เทยบกบ x และ y โดย พจารณาทจด (0,0) และแสดงวา f(0,0) ไมใชคา สดขด

บทนยาม

เราเรยกจด บนพนผว ( , )z f x y วาจดอานมา ( , )a b

ถาสามารถหาระนาบในแนวตง 2 แนว ทผานจด ( , )a b โดยเสนทางทพนผวตดกบระนาบทงสอง แสดงใหเหนคาสงสดสมพทธในระนาบหนง แต แสดงใหเหนคาต าสดสมพทธในอกระนาบหนง

z

x

y

z

y

z

x

บทนยาม

ให นยามบนบรเวณ ( , )f x y R โดยท เปนสมาชกใดๆ ใน R

( , ) 0xf a b ( , ) 0yf a b และ ถา หรอ หาอนพนธของ f ทจด (a,b) ไมได

เราเรยกจด (a,b) นนวา จดวกฤต (critical point)

จดวกฤต จดสงสดสมพทธ

????????????

จดต าสดสมพทธ

จดอานมา

จงหาจดวกฤตของฟงกชน 2 2( , )f x y x y

z

x

y

z

z

ทฤษฎบทการหาจดสงสด-ต าสดโดยใช อนพนธยอยอนดบท สอง

ถา ( , )f x y มอนพนธยอยอนดบทสองซงตอเน อง ในบรเวณทพจารณา รอบจด (a,b) โดยทจด (a,b) เปนจดวกฤตของฟงกชน

( , )f x y

ให 2

( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD f a b f a b f a b

2

( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD f a b f a b f a b

•ถา 0D และ ( , ) 0xxf a b

(หรอ ( , ) 0)yyf a b

ใหคาต าสดสมพทธทจด f ( , )a b

2

( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD f a b f a b f a b

•ถา 0D และ ( , ) 0xxf a b

(หรอ ( , ) 0)yyf a b

ใหคาสงสดสมพทธทจด f ( , )a b

2

( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD f a b f a b f a b

•ถา 0D

จด ( , )a b เปนจดอานมา

2

( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD f a b f a b f a b

•ถา 0D

สรปอะไรไมได !!!!

2

( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD f a b f a b f a b

0D 0D 0D

( , ) 0xxf a b ( , ) 0xxf a b

????????????

'( )f x อนพนธ ความชน

''( )f x '( )d

f xdx

การเปล ยนแปลง ความชน

''( ) 0f x ''( ) 0f x

จงหาจดสดขดเฉพาะท และ คาสดขดเฉพาะทของฟงกชน

และระบวาจดสดขดนนเปนจดสดขดชนดใด

2 2( , ) 2 2 4f x y xy x y x y

จงหาจดสดขด เฉพาะท และ คาสดขดเฉพาะทของฟงกชน 2 2( , ) 3 2 8f x y x xy y y

และระบวาจดสดขดนนเปนจดสดขดชนดใด

จงหาจดสดขดเฉพาะท และ คาสดขดเฉพาะทของฟงกชน 4 4( , ) 4f x y xy x y

และระบวาจดสดขดนนเปนจดสดขดชนดใด

จงหาจดวกฤตของฟงกชน2 2( , ) 3f x y x xy y x

(1) (1, 2)(2) (2, 1)(3) (2, 1)(4) (1, 2)(5) (1, 1)

จงหาจดวกฤตของฟงกชน 3 2( , ) f x y xy x y

(1) 1 10, , 0,

12 6

(2) 1 1

0, 0 , , 6 12

(3) 1 1

0, 0 , , 12 6

(4) 1 1, 0 , , 0

12 6

(5) 0, 1 , 2, 0

(0,0) (1,2) (3,6)

(1,1) (2,4) (1,3) (2,6)

( 1,1) (1,1)

ขอใดเปนจดวกฤตของฟงกชน

และ 1.) 2.)

3.) 4.)

5.)

(1,2)

และ

และ

และ

และ

3 2( , ) 2 6 12f x y x xy x y

และระบวาจดสดขดนนเปนจดสดขดชนดใด

จงหาจดวกฤต, จดสดขดเฉพาะท และ คาสดขดเฉพาะทของฟงกชน

3 2( , ) 2 6 12f x y x xy x y

จงหาจดวกฤตของฟงกชนตอไปน พรอมทงจ าแนกจดวกฤต 3 3( , ) 2 16 9F x y x y xy

จงหาจดวกฤตของฟงกชนตอไปน พรอมทงจ าแนกจดวกฤต 2 4 4( , ) 4 2y yF x y x e x e

จงหาความกวาง ความยาว และความสงของกลอง ซงไม มฝา (ดงรป) โดยกลองดงกลาวมปรมาตร 32 ลกบาศกเซนตเมตร แตมพนทผวนอยท สด

จงหาจดสดขดเฉพาะท และ คาสดขดสมพทธของฟงกชน 2( , ) yf x y x y e

และระบวาจดสดขดนนเปนจดสดขดชนดใด

บทนยาม

ให นยามบนบรเวณปด

เปนคาสงสดสมบรณ (absolute maximum) ของ ถาจด อยในบรเวณ และ ส าหรบจด ทกๆ จดทอยใน

( , )f x y R โดยท

( , )x y

เปนสมาชกใดๆ ใน R( , )f a b

( , )a b R

( , ) ( , )f a b f x y

R

f

บทนยาม

ให นยามบนบรเวณปด

เปนคาต าสดสมบรณ (absolute minimum) ของ ถาจด อยในบรเวณ และ ส าหรบจด ทกๆ จดทอยใน

( , )f x y R โดยท

( , )x y

เปนสมาชกใดๆ ใน R( , )f a b

( , )a b R

( , ) ( , )f a b f x y

R

f

รวมกนเปน คาสงสดสมบรณ และ คาต าสดสมบรณ

เพอความสะดวกเราเรยก

คาสดขด สมบรณ (absolute extremum)

ขนตอนการหาคาสดขดสมบรณ

1. พจารณาคาสดขดสมพทธในบรเวณ R

2. พจารณาคาสดขดทขอบของ R

3. เปรยบเทยบคาสดขดทไดจากขอ 1 และขอ 2 เพอหาคาสดขดสมบรณ

จงหาคาสงสดและต าสดสมบรณของ

เมอพจารณาฟงกชนบนพนทสามเหลยมซงถก ลอมรอบดวยเสนตรง

2 2( , ) 2 2 2f x y x y x y

0, 0, 9x y y x