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数学スタディーズＳＬグラフ電卓

教師用参考資料2006 年第１回試験

ディプロマプログラム（ＤＰ）


数学スタディーズＳＬグラフ電卓

教師用参考資料2006 年第１回試験


2005 年５月に発行の英文原本 Mathematical studies SL (graphic display calculators)—teacher support material の日本語版

2015年12 月発行

本資料の翻訳・刊行にあたり、

文部科学省より多大なご支援をいただいたことに感謝いたします。

注：本資料に記載されている内容は、英文原本の発行時の情報に基づいています。


数学スタディーズＳＬグラフ電卓‐教師用参考資料

International Baccalaureate Organization15 Route des Morillons, 1218 Le Grand-Saconnex, Geneva, Switzerland

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ＩＢの使命IB mission statement

この「ＩＢの学習者像」は、ＩＢワールドスクール（ＩＢ認定校）が価値を置く人間性を10 の人物像として表しています。こうした人物像は、個人や集団が地域社会や国、そしてグローバルなコミュニティーの責任ある一員と

なることに資すると私たちは信じています。

3

探究する人私たちは、好奇心を育み、探究し研究するスキルを身につけます。ひとりで学んだり、他の人々と共に学んだりします。熱意をもって学び、学ぶ喜びを生涯を通じてもち続けます。

知識のある人私たちは、概念的な理解を深めて活用し、幅広い分野の知識を探究します。地域社会やグローバル社会における重要な課題や考えに取り組みます。

考える人私たちは、複雑な問題を分析し、責任ある行動をとるために、批判的かつ創造的に考えるスキルを活用します。率先して理性的で倫理的な判断を下します。

コミュニケーションができる人私たちは、複数の言語やさまざまな方法を用いて、自信をもって創造的に自分自身を表現します。他の人々や他の集団のものの見方に注意深く耳を傾け、効果的に協力し合います。

信念をもつ人私たちは、誠実かつ正直に、公正な考えと強い正義感をもって行動します。そして、あらゆる人々がもつ尊厳と権利を尊重して行動します。私たちは、自分自身の行動とそれに伴う結果に責任をもちます。

心を開く人私たちは、自己の文化と個人的な経験の真価を正しく受け止めると同時に、他の人々の価値観や伝統の真価もまた正しく受け止めます。多様な視点を求め、価値を見いだし、その経験を糧に成長しようと努めます。

思いやりのある人私たちは、思いやりと共感、そして尊重の精神を示します。人の役に立ち、他の人々の生活や私たちを取り巻く世界を良くするために行動します。

挑戦する人私たちは、不確実な事態に対し、熟慮と決断力をもって向き合います。ひとりで、または協力して新しい考えや方法を探究します。挑戦と変化に機知に富んだ方法で快活に取り組みます。

バランスのとれた人私たちは、自分自身や他の人々の幸福にとって、私たちの生を構成する知性、身体、心のバランスをとることが大切だと理解しています。また、私たちが他の人々や、私たちが住むこの世界と相互に依存していることを認識しています。

振り返りができる人私たちは、世界について、そして自分の考えや経験について、深く考察します。自分自身の学びと成長を促すため、自分の長所と短所を理解するよう努めます。

ＩＢの学習

者像

ＩＢの学習者像すべての IBプログラムは、国際的な視野をもつ人間の育成を目指しています。人類に共通する人間らしさと地球を共に守る責任を認識し、より良い、より平和な世界を築くことに貢献する人間を育てます。

ＩＢの学習者として、私たちは次の目標に向かって努力します。


数学スタディーズＳＬグラフ電卓‐教師用参考資料 ix

目次

数学スタディーズＳＬ（グラフ電卓）—　教師用参考資料 1はじめに 1

セクションＡ：カシオ 9850GB+ 2主な機能 2

数学スタディーズＳＬにおける主な機能の使用例 8

過去に出題された試験問題での使用例 20

セクションＢ：テキサス・インスツルメンツ TI-83+ 29主な機能 29

数学スタディーズＳＬにおける主な機能の使用例 35

過去に出題された試験問題での使用例 53


数学スタディーズＳＬグラフ電卓‐教師用参考資料 1

数学スタディーズＳＬ（グラフ電卓）—　教師用参考資料

はじめに

本資料は、教師および生徒を対象としたグラフ電卓使用の手引きです。利用可能なグラ

フ電卓の種類は多岐にわたりますが、本資料で取り上げるのはカシオ 9850GB+ とテキサ

ス・インスツルメンツ TI-83+ の２機種です。

本資料では、各機種の主な機能の説明に重点が置かれています。過去に出題された試験

問題や具体的な使用例に触れながら、主な機能にはどのようなものがあるのかを紹介して

いきます。

数学スタディーズＳＬグラフ電卓‐教師用参考資料2

セクションＡ：カシオ9850GB+

主な機能

実行モード

［SET UP］を押します。

本機は常に Deg モードに設定されている必要があります。

•関数式の解析を行う場合は［Derivative］を「On」にする必要があります。

•［Fix］を使用すると、小数点以下の数字の桁数を設定できます。

•［Sci］は「scientific」の略で、標準的な記数法を用いる場合に使用します。生徒は、

この記数法による表記を数学の表記に書き換えることができなければなりません。

グラフモード／セットアップ

•［Draw Type］では、グラフを連続関数として描画するか、複数の点として描画する

かを選択できます。

•グラフは、個別に描くことも、複数を同時に描くこともできます。

•グラフの描画と数表の表示を同時に行うためには、［Dual Screen］を「On」にする

必要があります。

主な機能


•［Dual Screen］が「On」の場合、［G-T］を選択すると画面が縦に２分割され、左側

にグラフ、右側に数表が表示されます。

［F6］を押すと、［y =］に入力された関数式のグラフが描画されます。

•［View Window］では、必要な定義域および値域（x の値および y の値）をユーザー

が入力します。

•多くの関数に対しては、最初は［STD］（標準化）を使用することが推奨されます。

•周期関数には［TRIG］を使用します。

［Zoom］を押します。

［Trace］を押すと、グラフに沿ってポインターを移動することができます。

［G-SOLV］を押すと、数値を算出することができます。

［G-SOLV］の使い方

•x 切片を求める場合は、ポインターを交点の左側に置いて［EXE］を押した後、ポ

インターを交点の右側に置いて［EXE］を押します。再度［EXE］を押すと０が表

示されます。

•［MAX］は極大点を算出する際に使用し（上記の零点と同様に表示されます）、

［MIN］は極小点を算出する際に使用します（上記の零点と同様に表示されます）。

•y 切片を求める場合は、［ISCT］を使用して２つの曲線が交わる点を算出します。

［X-CAL］および［Y-CAL］を使用すると、個々の座標値が算出されます。

主な機能


テーブルモード［F6］を押すと、［y =］に入力された関数式の値の数表が表示されます。

•［RANG］を使用すると、必要な定義域（x の値）を入力することができます。

•画面上に直接 x の値を入力すると、対応する y の値が求められます。

•［Dual Screen］を「T+G」に変更すると、数表とグラフを同時に表示できます。

方程式計算モード

•代数方程式には［Solver］を使用します。

•二次方程式および三次方程式の係数を入力する場合は［Polynomial］を使用します。

•一次連立方程式の係数を入力する場合は［Simultaneous］を使用します。

主な機能


漸化式モード［Recur］では、数列の項や級数の和を求めることができます。

行列モード［Matrix］では、カイ二乗解析を実行できます。

•カイ二乗計算に用いる分割表の値を入力し、［STAT］［TEST］の順に選択します。

［STAT］モードでカイ二乗検定が実行されると、リストの末尾（［Mat Ans］）に期待度数

が表示されます。

主な機能


統計モード

•［GRPH］を選択すると、グラフのタイプとデータのソースを設定できます。

•［HiSt］を選択するとヒストグラム、［Box］を選択すると箱ひげ図を表示できます。

１変数の代表値

•［CALC］を使用すると、１変数のさまざまな代表値を計算できます。

２変数の統計量

最小二乗回帰回帰と相関

•カイ二乗検定を行う場合は、データを行列として入力します。

主な機能


•［DIST］［NORM］の順に選択すると、正規分布に関する計算を実行できます。

ＴＶＭ［F1］を押すと、単利計算を行うことができます。

［F2］を押すと、複利計算を行うことができます。

•［PV］には負の値を入力します。

•［n］=全支払い回数。

•［I%］=年利。

•［PV］=現在の値。資金の支出（投資）を表す場合は負の値とする。

•［PMT］=支払い額。

•［FV］=将来の値。

•［P/Y］=年間の支払い回数。

•［C/Y］=年間の複利回数。

複利計算に関する問題

複利計算に関する問題を解く場合は、支払いを考慮する必要がないため、［PMT］には

「0（ゼロ）」を設定します。また、［C/Y］には年間の複利回数として正しい値を設定する

必要があります（18 ～ 19 ページに記載されている金融数学での使用例を参照）。



数学スタディーズＳＬにおける主な機能の使用例

科学モード実行モードで選択できます。画面をセットアップしてください。

問題34.62 × 28.5 を計算し、その答えを a × 10k（1 ≤ a < 10, k ∈ ）という形で書きなさい。

生徒は、E+02 が 102 を表すということを理解していると同時に、正しい数学的表記を用

いて答えを書き記すことが求められます。

問題の中で小数第２位まで正確な値を求めるよう指定されている場合であれば、答えは

以下のようになります。

(34.62 × 28.5) = 9.87 × 102

等差数列／等比数列

問題初項が 8、公差が 7 の等差数列を考えます。

(a)第 20 項を求めなさい。

(b)第 15 項までの和を求めなさい。

漸化式



(a)生徒の解答は次のようになります。

U20 = 8 + (19 × 7) = 141

(b)生徒の解答は次のようになります。

S15 = 15/2 (2 × 8 + 14 × 7) = 855与えられた数字に等しい項を求める問題では［Solver］を使用することができます。例

として、初項が 3、公比が 8 の等比数列において、初めて 200 を超える項を求めてみます。

•［Equation］で［Solver］を選択します。

•AR(n-1) = 200 の A および R に対応する値を入力し、［EXE］を押します。

生徒の解答は次のようになります。

3 × 8(n – 1) > 200n = 4

二次方程式の解•［Equation］で［Polynomial］を選択します。

•［Degree］に「2」と入力します。

問題方程式 2x2 + 5x – 3 = 0 を x について解きなさい。

•［GRAPH］を使用することもできます。Y= 2x2 + 5x – 3 と入力します。

•［View Window］を確認します。



•［DRAW］を選択します。

•［G-SOLV］を選択し、さらに［ROOT］を選択します。

［Trace］を使うと、もう１つの根を求めることができる

生徒は、解を書き出す際、その導出過程を省いても構いません。何らかの過程を示す必

要がある場合は、問題の中で最初に関数式を因数分解するよう求められます。

二次関数の頂点

問題関数 y = x2 – 5x – 6 の頂点を求めなさい。

•［G-SOLV］を選択し、さらに［MIN］を選択します。

生徒の解答には、出題の意図に応じて少なくとも２通りの解法が考えられます。

頂点が対称軸上にあることを理解しているかを問う問題であれば、生徒の解答は次のよ

うになります。

x = (–b/2a) = 2.5 (5/2), y = –12.25微分を要求する問題であれば、生徒の解答は次のようになります。

停留値では dy/dx = 2x – 5 = 0よって x = 5/2, y = –12.25解法の指定がない場合は、どちらの解法も認められます。



２曲線の交点•曲線のグラフを描き、交点を解にもつ関数を使用します。

問題以下の関数のグラフの交点を求めなさい。

y = 2/(x – 1)、y = 2x – 1

生徒は、以下のように解答すれば十分です。

2/(x – 1) = 2x – 1 ⇒ x = –0.281 および 1.78

指数関数の方程式［GRAPH］から「Y1 = a^x」と入力します。

［GRAPH］から「Y2 = b」と入力します。

前述した交点を解にもつ関数を使用するか、［Solver］を使用します。

問題上記の式で a = 2、b = 3 とするとき、それらを等号で結んだ方程式を満たす x の値を求

めなさい。


2x = 3 ⇒ x = 1.58（導出過程を記す必要はない）



連立方程式［Equation］で［Simultaneous］を選択します。

問題連立方程式 2x + 3y = 7、x – 4y = 20 を解きなさい。

•連立方程式を y = (7 – 2x)/3、y = (20 – x)/–4 と変形し、それらのグラフを描いて

交点を求めるという解法を用いることもできます。

生徒は２つの方程式をどちらも書き出した上で、それらの解 x および y を求める必要が

あります。


x = 8, y = –3

真理値表•「真」に対応する値「1」と、「偽」に対応する値「0」を使って、p および q の真理

値表に値を入力します。

問題p ∨ ¬ q の真理値表を完成させなさい。

•［List］の見出しにポインターを合わせます。

•［OPTN］を選択します。

•［F1］（LIST）、［F6］（LOGIC）の順に押します。



生徒は、グラフ電卓を使って最終的な答えが得られた場合でも、その導出過程をすべて

明示する必要があります。

［Solver］による余弦定理の公式の利用

問題三角形 XYZ において、XZ = 8.7cm、YZ = 9.3cm、角 XZY = 33° であるとします。

辺 XY の長さを求めなさい。

X

Z

Y

8.7

9.3

［Equation］で［Solver］を選択します。

［ALPHA］を押すと［A =］が表示されます。

代わりに［X =］を使用することもできます。

生徒は以下のように、対応する値を余弦定理の公式に代入し、それによって得られた答

えを書き記す必要があります。

Z2 = 9.32 + 8.72 – 2 × 9.3 × 8.7 cos (33°)Z = 5.14



行列ここで説明する機能が必要となるのは、カイ二乗検定で実測データを入力する場合に限ら

れます。セットアップの手順については、５ページの「行列モード」を参照してください。

問題２×３の分割表に値を入力し、カイ二乗検定を実行しなさい。

•行列を利用するため、［Matrix］から［STAT］［TEST］の順に選択します。

期待度数

別種の問題が出題されない限り、カイ二乗に関するこの値、自由度、および期待度数は

すべてグラフ電卓で算出することが可能です。ただし生徒は、公式とその使い方に習熟し

ている必要があります。

統計このオプションを使用すると、リストにデータを入力できるほか、リストの内容を昇順

や降順に並べ替えることができます。また、公式を用いて新たなリストを生成することも

できます。

［Option］を選択します。

•［GRPH］を使用すると種類を選択できます。

•［CALC］を使用するとさまざまな統計量を算出できます。

•［TEST］を使用するとカイ二乗検定や t 検定を実行できます。



問題［CALC］を使用して、以下のデータ群の平均値、中央値、標準偏差などを求めなさい。

12, 15, 19, 21, 25, 25, 26, 28, 34, 35

データがグループ化されている場合、各グループの階級値を用いると、平均値や標準偏

差はほぼ正しい値が得られますが、四分位数は正確な値が得られません。

生徒は、グラフ電卓で算出した平均値や標準偏差を書き出す際その導出過程を省いても

構いませんが、データの入力は正確に行うよう注意する必要があります。グラフ電卓で算出

した答えが誤っている場合、その導出過程が明示されていないと、得点は与えられません。

•［GRAPH］を選択して、データの形状を表示します。

•［Trace］を使用して、５数要約を表示します。

•［REG］を選択し、さらに［2］を選択して、変数の解析を行います。

•［Correlation］を選択し、さらに［Regression］を選択します。


12, 15, 19, 21, 25, 25, 26, 28, 34, 35

189, 210, 176, 162, 145, 190, 230, 197, 285, 246

生徒はデータが得られたら、相関係数 r、および回帰直線の方程式をグラフ電卓から直

接書き出すことができなければなりません。ただし生徒は、それらの公式とその使い方に

習熟している必要があります。



•［Frequency Table］：［List 1］には数値、［List 2］には度数が表示されます。

•［Cumulative Frequency］：［List 3］には累積和が表示されます（［Cuml］）。［List 2］を

選択し、さらに［OPTN］を選択します。

•階級の上限値を使用します。

微分・積分［SET UP］を押します。

•［Derivative］は「On」にする必要があります。

曲線上の任意の点における yおよび dy/dxの値を算出する•曲線 y = x2 + 3 のグラフを描く場合は、グラフモードで［Trace］を使用するか、数

表に直接 x の値を入力します。


dy/dx = 2xx = 2 のとき dy/dx = 4



接線の方程式

問題曲線 y = x2 + 3 の点 (1, 4) における接線の方程式を求めなさい。


dy/dx = 2xx = 1 のとき、dy/dx = 2 (=m)

y = 2x + c4 = 2 × 1 + cc = 2方程式は y = 2x + 2

極大点／極小点を求める

問題曲線 y = x3 – 5x2 + 2x + 8 のグラフの極大点および極小点を求めなさい。

•［Y1 =］に式を入力し、グラフを描画します。

•［G-SOLV］を選択し、さらに［MIN］を選択します。

•極大点についても同様に操作を行います。


停留値では dy/dx = 3x2 – 10x + 2 = 0•生徒はこの後、プログラムやソルブ計算機能を使用したり、グラフを描いたり、二

次方程式の解の公式を用いたりして、この二次方程式を解く必要があります。




x = 3.12 または 0.214導かれた式を［Y2］に入力し、［CALC］または［Table］を選択すれば、y の値を求める

ことができます。

金融数学

問題ボブは 600 ユーロを年 2.75% の複利で銀行に預金しました。

(a)ボブの預金額は 4年後にいくらになっているか計算しなさい。

(b)預金額が２倍になるのは何年後か計算しなさい。

(a)生徒の解答は次のようになります。

600(1 + 2.75/100)4 = 668.77

(b)生徒の解答は次のようになります。

600(1 + 2.75/100)n = 1200n = 26



問題アンは 600 ユーロを１年複利で別の銀行に預金しました。アンの預金額が２倍になるの

は 20 年後です。アンの預金の利率を求めなさい。


600(1 + r/100)20 = 1200r = 3.53%

問題年度初めに1100ドルを年利12%の月複利で銀行に預金しました。年度末には預金額はい

くらになっているでしょうか。


1100(1 + 12/1200)12 = 1239.51



過去に出題された試験問題での使用例

試験問題１、第４問




アンは 600 ユーロを１年複利で別の銀行に預金しました。アンの預金額が２倍になるの

は 20 年後です。

(c)アンの預金の利率を求めなさい。

生徒は、CALC モードから［TABLE］または［TVM］を選択する必要があります。

(a)•Y1 = 600(1 + 2.75/100)x と入力します。


600(1 + 2.75/100)4 = 668.77

(b)•y の値として 1200 が現れるまで数表を下にスクロールします。



最初の値が 25.6 であることから、答えは 26 年です。


600(1 + 2.75/100)n = 1200n = 26

(c)•数表を使用しても答えを見つけることはできません。ここでは［TVM］を使用し

ます。


600(1 + r/100)20 = 1200r = 3.53%

試験問題１、第 11問

(a)y = 2 + xx (–10 ≤ x ≤ 10) の大まかなグラフを描きなさい。

(b)前問の結果を用いて、水平漸近線および垂直漸近線の方程式を書き出しなさい。

(a)

(b)•垂直漸近線を求める方法として、生徒はグラフに対するトレース機能を使用できる

ほか、数表を使用することもできます（y の値が「ERROR」となっている場所があ

る場合、それに対応する x の値が垂直漸近線の位置を表します）。




垂直漸近線の方程式は x = –2

•水平漸近線を求める場合は、極端に大きな x の値または極端に小さな x の値につい

て曲線をトレースするか、極端に大きな x の値を数表に入力する必要があります。


水平漸近線の方程式は y = 1

試験問題２、第１問

(a)曲線 y = x2 と y = 3 – x1 の大まかなグラフを同じ座標系上に描きなさい。ただ

し、0 ≤ x ≤ 4、0 ≤ y ≤ 4 とし、両軸には目盛りを書き入れなさい。

(b)この２つの曲線の交点を求めなさい。

(c)(i) 曲線 y = 3 – x1の各点 x における傾きを求めなさい。

(ii)点 (1, 2) におけるこの傾きの値を求めなさい。

(d)曲線 y = 3 – x1の点 (1, 2) における接線の方程式を求めなさい。



(a)

•生徒は目盛りを追加する必要があります。

(b)

(c)生徒の解答は次のようになります。

(i) dy/dx = 1/x2

(ii)dy/dx = 1/1 = 1この値はグラフ電卓で求めることもできます。

(d)生徒の解答は次のようになります。

y = mx + c y = 1x + c2 = 1 × 1 + cc = 1y = x + 1



試験問題２、第３問

以下の図は、–2 ≤ x ≤ 5 における関数 y = x2 および y = 2x のグラフを示したもので

す。Ｂ、Ｃ、およびＤは２つの曲線の交点です。

y

xAD

B

C

(a)点Ａの座標を書き出しなさい。

(b)点ＢおよびＣの座標を書き出しなさい。

(c)点Ｄの x 座標を求めなさい。

(d)2x ≤ x2 となる x の値の範囲をすべて書き出しなさい。ただし、x の値の範囲は

区間として表記すること。

(a)


x = 0 のとき y = 1 だから、Ａの座標は (0, 1)



(b)


Ｂの座標は (2, 4)、Ｃの座標は (4, 16)

(c)


Ｄの x 座標は –0.767

(d)生徒は、グラフと交点から、2 ≤ x ≤ 4 および –∞ ≤ x ≤ –0.767 のときに 2x ≤ x2 が成り

立つと判断できなければなりません。



試験問題２、第４問

サーカスのピエロが伸縮するロープにぶら下がりながら左右に大きく揺れています。

その動きを生徒が調べることになりました。生徒が調べた結果、ピエロの動きは関数

f (x) = (0.8x)(5sin100x) のグラフで表されることがわかりました。ただし、x は水平方向

の移動距離を表します（単位はメートル）。

(a)0 ≤ x ≤ 10 および –3 ≤ f (x) ≤ 5 の範囲における f (x) の大まかなグラフを描きな

さい。

(b)最初の極大点の座標を求めなさい。

(c)この曲線が x 軸を横切る点のうちいずれか１つの座標を求めなさい。

もう１人のピエロが大砲から発射され、下の表に示した点を通過しました。

水平方向の移動距離（x）垂直方向の移動距離（y）

0.00341 0.0102

0.0238 0.0714

0.563 1.69

1.92 5.76

3.40 10.2

(d)相関係数 r を求め、r の値についてコメントしなさい。

(e)y の x に対する回帰直線の方程式を書き出しなさい。

(f)小問(a)で描いた f (x)のグラフの上にこの直線の大まかなグラフを重ねて描きな

さい。

(g)この直線が曲線を横切る点のうちいずれか１つの座標を求めなさい。

(a)

•生徒は大まかなグラフに目盛りを追加する必要があります。

(b)•［G-SOLV］を選択し、さらに［MAX］を選択します。




最初の極大点は (0.827, 4.12)

(c)


(1.8, 0)

(d)


r = 1、したがって完全な正の相関

(e)生徒の解答は次のようになります。

回帰直線の方程式は y = 3x + 0.000274 または y = 3x



(f)


(g)


交点の１つは (1.16, 3.48)


セクションＢ：テキサス・インスツルメンツTI-83+

主な機能

実行モード［SET UP］または [MODE] を押します。

•［Sci（科学）］は、標準的な記数法を用いる場合に使用します。生徒は、この記数法

による表記を数学の表記に書き換えることができなければなりません。

•［Float］では、小数点以下の数字の桁数を設定できます。

•生徒は、本機が［Degree］モードになっていることを確認する必要があります。

•生徒は、本機が［Func］モードになっていることを確認する必要があります。

•［Connected］を選択すると、グラフが連続関数として描画されます。グラフが複数

の点として描画されるよう選択することも可能です。

•［Sequential］を選択すると、グラフが個別に描画されます。複数のグラフが同時に

描画されるよう選択することも可能です。

•［Real］は、数学スタディーズを履修する生徒向けのモードです。

•［Full］を選択すると、画面全体を使ってグラフが表示されます。

•［Horiz］を選択すると、画面の上半分を使ってグラフが表示されます。生徒は、画

面の下半分で計算を行うことができます。

•［G-T］を選択すると画面が縦に２分割され、左側にグラフ、右側に数表が表示され

ます。

主な機能


•［WINDOW］：ユーザーはこの画面から、必要な x の値および y の値を入力するこ

とができます。

［ZOOM］

•［4: ZDecimal］は、グラフから垂直漸近線を削除する場合に使用します。

•［6: ZStandard］を選択すると、–10 から 10 までの目盛りを追加できます。

•［7: ZTrig］は、三角関数を扱う場合に使用します。

•［0: ZoomFit］を選択すると、グラフが画面に合った大きさで表示されます。

［FORMAT］（［2nd］［ZOOM］）

•この画面には、座標軸がオンになっているかどうかなどが表示されます。

［TRACE］を押すと、グラフに沿ってポインターを移動することができます。

［CALCULATE］（［2nd］［TRACE］）を使用すると、さまざまな計算を実行できます。

•［1: value］を選択すると、与えられた x の値に対応する y の値を計算できます。

•［2: zero］を選択すると、x 軸との交点を算出できます。ポインターを交点の左側に

置いて［ENTER］を押した後、ポインターを交点の右側に置いて［ENTER］を押

します。再度［ENTER］を押すと０が表示されます。

•［3: minimum］を選択すると、極小点を算出できます（上記の零点と同様に表示さ

れます）。

主な機能


•［4: maximum］を選択すると、極大点を算出できます（上記の零点と同様に表示さ

れます）。

•［5: intersect］を選択すると、２つの曲線の交点を算出できます。ポインターを交点

の付近に置き、［ENTER］を３回押します。

•［6: dy/dx］を選択すると、入力した x の値における傾きの値が算出されます。

•［7: ∫ f (x)dx］を選択すると、入力した２つの x の値を両端とする区間における曲線

下の面積が算出されます。

グラフモード［GRAPH］を押すと、［y =］に入力された関数式のグラフが描画されます。

数表モードこのモードでは、［y =］に入力された関数式に関する数表が表示されます。

［MATH］ビュー

•［1:］を選択すると、結果を分数として算出できます。

•［2:］を選択すると、結果を小数として算出できます。

•［3:］を選択すると、数値の３乗を算出できます（例えば、「10」と入力した後、

［MATH］［3:］の順に選択して［ENTER］を押します）。

•［4:］を選択すると３乗根を算出できます。

•［5:］を選択すると任意の累乗根を算出できます。

•［6:］を選択すると最小点の x 座標を算出できます。

•［7:］を選択すると最大点の x 座標を算出できます。

•［8:］を選択すると特定の点における導関数の値を算出できます（例えば、nDeriv

（関数 ,x, 値）と入力し［ENTER］を押します）。

•［9:］を選択すると、２つの x の値を両端とする区間における曲線下の面積を算出で

きます（例えば、fnInt（関数 ,x, 上端 ,下端）と入力し［ENTER］を押します）。

•［10:］を選択すると、未知変数の解を求めることができます（後述の例を参照）。

NUM、CPX、および PRB は、数学を学習する生徒が使用することはほとんどありません。

主な機能


［TEST］ビュー（［2nd］［MATH］）

•［TEST］では、等号、等号否定、不等号などの記号を選択できます。

•［LOGIC］では、and 関数、or 関数、xor（排他的 or）関数、および not 関数を選択

できます（真理値表を作成する際に使用できます）。

統計モード

•［EDIT］ビューには、以下の機能が表示されます。

-［1: Edit］（リストに値を入力します）

-［2: SortA］（リストの内容を昇順に並べ替えます）

-［3: SortD］（リストの内容を降順に並べ替えます）

-［4: ClrList］（リストの内容を消去します）

-［5: SetUpEditor］

•［CALC］ビューには、以下の機能が表示されます。

-［1: 1–Var Stats］（平均値などの算出に使用します）

-［2: 2–Var Stats］（散布図における平均の点や回帰直線を求めるにあたって、

x および y の平均値および標準偏差が必要な場合に使用します）

-［3: Med–med］

-［4: LinReg(ax+b)］

-［5: QuadReg］など（これらの機能のうち、数学の学習に使用されるものは

ごく一部です）

•［TESTS］ビューからアクセスできる機能はさまざまです。数学の学習に最もよく

用いられる機能は、［C: x2-Test］と［E: LinRegTTest］の２つです。

主な機能


［LIST］（［2nd］［STAT］）

•［NAMES］ビューには、［1: List1］などが表示されます。

•［OPS］:

-［1: SortA］（昇順に並べ替えます）

-［2: SortD］（降順に並べ替えます）

-［3: dim］（次元を指定します）

-［4: Fill］

-［5: seq］（数列を扱う場合に使用します）

- その他

•［MATH］ビューでは、リスト内の数値の最小値、最大値、平均値などを算出する

ことができます。ただし数値は、Mean({2,3,4,5,6}) などのように手動で入力する必

要があります。

［DISTR］（［2nd］［VARS］）

•［1: normalpdf］

•［2: normalcdf］（標準正規分布曲線下の面積を求めます）

•［3: invNorm］（z スコアまたは x の値を求めます）

•その他

主な機能


金融［APPS］を押し、［Finance］［CALC］［TVM Solver］の順に選択すると、以下のような画

面が表示されます。

•［N:］には全支払い回数を設定します。

•［I%:］には年利を設定します。

•［PV:］には現在の値を設定します。資金の支出（投資）を表す場合は負の値を入力

します。

•［PMT:］には支払い額を設定します。

•［FV:］には将来の値を設定します。

•［P/Y:］には年間の支払い回数を設定します。

•［C/Y:］には年間の複利回数を設定します。

複利計算に関する問題を解く場合は、支払いを考慮する必要がないため、［PMT:］には

「0」、［P/Y:］には「1」を設定する必要があります。（51 ～ 52 ページに記載されている金

融数学での使用例を参照）。




科学モード

問題34.62 × 28.5 を計算し、その答えを a × 10k（1 ≤ a < 10, k ∈ ）という形で書きなさい。

生徒は、E2 が 102 を表すということを理解していると同時に、正しい数学的表記を用い

て答えを書き記すことが求められます。

問題の中で小数第２位まで正確な値を求めるよう指定されている場合であれば、答えは

以下のようになります。

(34.62 × 28.5) = 9.87 × 102

等差数列／等比数列

問題初項が 8、公差が 7 の等差数列を考えます。

(a)第 20 項を求めなさい。

(b)第 15 項までの和を求めなさい。



(a)•［LIST］［OPS］［5］の順に押します。次に「8 + 7x, x, 0, 19」と入力して［ENTER］

を押すと、8 から 141 までの項がすべて表示されます。141 が第 20 項です。


U20 = 8 + (19 × 7) = 141

(b)•［LIST］［MATH］［5］［LIST］［OPS］［5］の順に押します。次に「8 + 7x, x, 0, 14」

と入力して［ENTER］を押すと、「855」と表示されます。


S15 = 15/2 (2 × 8 + 14 × 7) = 855

与えられた数字に等しい項を求める問題では SOLVER を使用することができます。例と

して、初項が 3、公比が 8 の等比数列において、初めて 200 を超える項を求めてみます。

•［MATH］を押して SOLVER を呼び出します。データを入力するため上矢印を押し、

「AR(x-1) – 200」と入力して［ENTER］を押します。

•A = 3、R = 8 と値を入力し、ポインターを X の上に合わせ、［ALPHA］［ENTER］の

順に押すと、X = 3.0196 … と表示されます。したがって、初めて 200 を超えるのは

第 4 項です。




3 × 8 (n – 1) > 200n=4

二次方程式の解

問題方程式 2x2 + 5x – 3 = 0 を x について解きなさい。

グラフを描いて解く方法

•Y=

•Y1 = 2x2 + 5x – 3

•Y2 = 0

•ウィンドウを確認し、［GRAPH］を押します。

•［2ND］［TRACE］［5］の順に押し、ポインターを交点の近くに置きます。［ENTER］

を３回押すと答えが得られます。２つ目の交点についても同様の操作を行います。

SOLVER を使って解く方法

•［MATH］を押して SOLVER を呼び出します。データを入力するため上矢印を押し、

方程式を入力して［ENTER］を押します。［ALPHA］［ENTER］の順に押すと答え

が得られます。

•これで一方の交点が得られました。もう一方の交点の x の「推測値」を入力し、再

度［ALPHA］［ENTER］の順に押します。



生徒は、解を書き出す際、その導出過程を省いても構いません。何らかの過程を示す必

要がある場合は、問題の中で最初に関数式を因数分解するよう求められます。

二次関数の頂点

問題関数 y = x2 – 5x – 6 の頂点を求めなさい。

•［Y =］に関数式を入力します。

•「Y1 = x2 – 5x – 6」と入力します。

•［GRAPH］［2ND］［TRACE］［3］の順に押します。ポインターを頂点の左側に置

き、［ENTER］を押します。ポインターを頂点の右側に置き、［ENTER］を押しま

す。再度［ENTER］を押すと座標が得られます。

生徒の解答には、出題の意図に応じて少なくとも２通りの解法が考えられます。

頂点が対称軸上にあることを理解しているかを問う問題であれば、生徒の解答は次のよ

うになります。

x = (–b/2a) = 2.5 (5/2); y = –12.25



微分を要求する問題であれば、生徒の解答は次のようになります。

停留値では dy/dx = 2x – 5 = 0よって x = 5/2, y = –12.25解法の指定がない場合は、どちらの解法も認められます。

２曲線の交点曲線のグラフを描き、前述した交点を解にもつ関数を使用します。

問題以下の関数のグラフの交点を求めなさい。

y = 2/(x –1)、y = 2x – 1

生徒は、以下のように解答すれば十分です。

2/(x – 1) = 2x – 1 ⇒ x = –0.281 および 1.78

指数関数の方程式

［Graph］を使用する方法

［Graph］：Y1 = a^x

［Graph］：Y2 = b

ここで、以前にも使用した交点を解にもつ関数を使用します。

SOLVER を使用する方法

［MATH］を押して SOLVER を呼び出し、［ENTER］を押します。上矢印を押し、関数式

「A^x – B」を入力して［ENTER］を押します。A および B の値を入力し、ポインターを X

の上に合わせ、［ALPHA］［ENTER］の順に押すと解が得られます。

A = 2 かつ B = 3 とした場合の上記の関数式を満たす x の値を求めます。




2x = 3 ⇒ x = 1.58（導出過程を記す必要はない）

連立方程式

行列を用いる方法

問題連立方程式 2x + 3y = 7、x – 4y = 20 を解きなさい。

•［MATRIX］［EDIT］［ENTER］［2］［ENTER］［3］［ENTER］［2］［ENTER］［3］

［ENTER］［7］［ENTER］［1］［ENTER］［-4］［ENTER］［20］［ENTER］［2nd］

［MODE］（QUIT）［MATRIX］［MATH］［B: rref］［ENTER］［MATRIX］［ENTER］

［ENTER］の順に操作します。

答えは x = 8、y = –3 となります。

•連立方程式を y = (7 – 2x)/3、y = (20 – x)/–4 と変形し、それらのグラフを描いて

交点を求めるという解法を用いることもできます。



生徒は２つの方程式をどちらも書き出した上で、それらの解 x および y を求める必要が

あります。

真理値表「真」に対応する値「1」と、「偽」に対応する値「0」を使って、p および q の真理値表

に値を入力します。

問題（p ∨ q）⇒ r の真理値表を完成させなさい。

•［List 1］に「11110000」、［List 2］に「11001100」、［List 3］に「10101010」と入力し

ます。

•［Test Logic］［not L1］［Test Logic］［xor］［ENTER］［L2］）［Test Logic］［or］［L3］

［ENTER］の順に操作します。

•代わりに、この式を［List 4］に入力するという方法を用いることもできます。

p ⇒ q は ¬ p ∨ q と同値であることに注意してください。

生徒は、グラフ電卓を使って最終的な答えが得られた場合でも、その導出過程をすべて

明示する必要があります。



SOLVER による余弦定理の公式の利用

問題三角形 XYZ において、XZ = 8.7cm、YZ = 9.3cm、角 XZY = 33° であるとします。

辺 XY の長さを求めなさい。

X

Z

Y

8.7

9.3

•［MATH］を押して SOLVER を呼び出し、［ENTER］を押します。上矢印を押し、式

X2 + Y2 – Z2 – 2XYcosA を入力して［ENTER］を押します。X、Y、および A の値を

入力し、ポインターを Z に合わせ［ALPHA］［ENTER］の順に押すと辺 XY の長さ

が得られます。

•角度を求める必要がある場合も操作の手順は同様です。既知の値を入力した上で、

目的の角に対応するアルファベットにポインターを合わせます。

生徒は以下のように、対応する値を余弦定理の公式に代入し、それによって得られた答

えを書き記す必要があります。

Z2 = 9.32 + 8.72 – 2 × 9.3 × 8.7 cos (33°)Z = 5.14



行列ここで説明する機能が必要となるのは、カイ二乗検定で実測データを入力する場合に限

られます。

•［NAMES］には、ユーザーが入力した行列のリストが表示されます。

•［MATH］では、判別式、転置行列、次元などを求めることができます。

•［EDIT］では、保存されている情報を変更できるほか、情報を新たに入力すること

もできます。

•２×３行列を入力する場合は、［MATRIX］［EDIT］［2］［ENTER］［3］［ENTER］

の順に操作した後、各成分の数値を入力します。



47 ページのカイ二乗に関するセクションに記載されている例も合わせて参照してくだ

さい。

統計•［EDIT］では、リストにデータを入力したり、リストの内容を昇順や降順に並べ替

えたりすることができるほか、リストの内容を消去することもできます。

•［CALC］では、さまざまな統計量を算出できます。

•［TESTS］では、さまざまな検定を実行できます。

•［STAT］［EDIT］［ENTER］の順に操作すると、リストに値を入力できます。



•［L1］には、1、2、3、4、5、6、7 という数値が表示されています。

•［L2］には、2、4、6、10、14、16、20 という数値が表示されています。

•［L1］が数量、［L2］が度数を表しているとき、リスト内の数値の平均値、中央値、

標準偏差などを求める場合は、［STAT］［CALC］［1: 1-Var Stats］［ENTER］［2nd］

［1］（L1）［,］（カンマ）［2nd］［2］（L2）［ENTER］の順に押します。

•このビューでは下にスクロールすると、さらに他の値も表示されます。

データがグループ化されている場合、各グループの階級値を用いると、平均値や標準偏

差はほぼ正しい値が得られますが、四分位数は正確な値が得られません。

生徒は、グラフ電卓で算出した平均値や標準偏差を書き出す際その導出過程を省いて

も構いませんが、データの入力は正確に行うよう注意する必要があります。グラフ電卓

で算出した答えが誤っている場合、その導出過程が明示されていないと、得点は与えら

れません。

散布図、ヒストグラム、箱ひげ図、累積度数

［STAT PLOT］［ENTER］［plot1 on］［ENTER］の順に操作した後、表示したいグラフの

タイプまで画面を下へスクロールします。データが表示されているリストに値を入力し、

ウィンドウビューの設定を行ったら、［GRAPH］を押します。

•上記のリスト１およびリスト２のデータに関して、次のような散布図が得られます

（生徒は各自のグラフに目盛りを記入することも必要です）。



•次のような棒グラフが得られます（両軸に目盛りが記入されている必要があります）。

•次のような箱ひげ図が得られます（両軸に目盛りが記入されている必要があります）。

•［TRACE］キーを押すと、箱ひげ図から主な特性を読みとることができます（両軸

に目盛りが記入されている必要があります）

累積度数表では、ポインターを移動して［L3］を反転表示させた後、［LIST］［OPS］

［CumSum］［ENTER］［L2］［ENTER］の順に操作すると、累積度数がリスト３に表示され

ます。

［StatPlot］を選択し、［Type 2 graph］を反転表示させます。［xList］が「L1」、［yList］が

「L3」となります。ウィンドウが適切であることを確認したら、［GRAPH］を押します。



カイ二乗検定

実測データは行列として入力します。例として、実測データを行列Ｂ

5 6 128 10 89 9 14

として入力した場合を考えます。

•［STAT］［TESTS］［C: Χ2 – Test］［ENTER］の順に操作します。［Observed］に「[B]」、

［Expected］に「[C]」と入力します（これらの文字は［MATRIX］に移動して入力

します）。ポインターを［Calculate］に合わせ［ENTER］を押すと、カイ二乗値お

よび自由度が算出されます。期待度数はグラフ電卓により自動的に算出されます。

別種の問題が出題されない限り、カイ二乗に関するこの値、自由度、および期待度数は

すべてグラフ電卓で算出することが可能です。ただし生徒は、公式とその使い方に習熟し

ている必要があります。

回帰直線

•［L1］および［L2］（または他のいずれかのリスト）にデータを入力します。

•［STAT］［TESTS］［E: LinRegTTest］［ENTER］の順に操作した後、データを入力し

たリストの名前を入力します。ポインターを下に移動して［Calculate］に合わせ、

［ENTER］を押します。

•回帰直線と相関係数 r が得られます。



代わりに、［STAT］［CALC］［LinReg(ax + b)］の順に操作という方法もあります。ただ

し、この計算を実行する場合は、あらかじめ（［CATALOG］から）［DiagnosticOn］を設定

しておく必要があります。

生徒はデータが得られたら、相関係数 r、および回帰直線の方程式をグラフ電卓から直

接書き出すことができなければなりません。ただし生徒は、それらの公式とその使い方に

習熟している必要があります。

微分・積分

曲線上の任意の点における yの値を算出する曲線 y = x2 + 3 を描画して［CALC］の［value］に移動し、x の値 x = 2 を入力して


•この値は、［Table］を使用して求めることもできます。



曲線上の任意の点 Xにおける導関数の値を算出する

曲線 y = x2 + 3 を描画して［CALC］の［dy/dx］に移動し、x の値 x = 2 を入力して



dy/dx = 2xx = 2 のとき dy/dx = 4

接線の方程式［Y1 =］に式を入力します。［Graph］［ENTER］［DRAW］［5: Tangent］［ENTER］の順に

操作します。接線の方程式を求めたい点の x の値を入力し、［ENTER］を押します。接線

が描画され、その方程式が表示されます。

曲線 y = x2 + 3 の点 (1, 4) における接線の方程式を求めます。




dy/dx = 2xx = 1 のとき、dy/dx = 2 (=m)y = 2x + c4 = 2 × 1 + cc = 2方程式は y = 2x + 2

極大点／極小点を求める

問題曲線 y = x3 – 5x2 + 2x + 8 のグラフの極大点および極小点を求めなさい。

•［Y1 =］に式を入力します。［Graph］［CALC］［minimum］［ENTER］の順に操作し

ます。ポインターを極小点の左側に置き［ENTER］を押します。ポインターを極小

点の右側に置き再度［ENTER］を押します。極大点についても同様の操作を行い

ます。


停留値では dy/dx = 3x2 – 10x + 2 = 0（生徒はこの後、プログラムや SOLVER 機能を使用したり、グラフを描いたり、二二次

方程式の解の公式を用いたりして、この二次方程式を解く必要があります。）


x = 3.12 または 0.214（導かれた式を［Y2］に入力し、［CALC］または［Table］を選択すれば、y の値を求め

ることができます。）



金融数学




(a)


600(1 + 2.75/100)4 = 668.77

(b)


600(1 + 2.75/100)n = 1200n = 26

問題アンは 600 ユーロを１年複利で別の銀行に預金しました。アンの預金額が２倍になるの

は 20 年後です。アンの預金の利率を求めなさい。




600(1 + r/100)20 = 1200r = 3.53%

問題年度初めに1100ドルを年利12%の月複利で銀行に預金しました。年度末には預金額はい

くらになっているでしょうか。


1100(1 + 12/1200)12 = 1239.51




試験問題１、第４問




アンは 600 ユーロを１年複利で別の銀行に預金しました。アンの預金額が２倍になるの

は 20 年後です。

(c)アンの預金の利率を求めなさい。

生徒は、電卓モードで数表または［Finance］を使用する必要があります。

(a)•Y1 = 600(1 + 2.75/100)x と入力します。


600(1 + 2.75/100)4 = 668.77

(b)y の値として 1200 が現れるまで数表を下にスクロールします。



最初の値が 25.6 であることから、答えは 26 年です。


600(1 + 2.75/100)n = 1200n = 26

(c)数表を使用しても答えを見つけることはできません。ここでは［Finance］を使用します。


600(1 + r/100)20 = 1200r = 3.53%

試験問題１、第 11問

(a)y = 2 + xx (–10 ≤ x ≤ 10) の大まかなグラフを描きなさい。

(b)前問の結果を用いて、水平漸近線および垂直漸近線の方程式を書き出しなさい。

(a)•生徒は、垂直線が描画されてはならないことを認識している必要があり、また

［Zdecimal］を使用して垂直線を消去する必要があります。

(b)•垂直漸近線を求める方法として、生徒はグラフに対するトレース機能を使用できる

ほか、数表を使用することもできます（y の値が「ERROR」となっている場所があ

る場合、それに対応する x の値が垂直漸近線の位置を表します）。




垂直漸近線の方程式は x = –2•水平漸近線を求める場合は、極端に大きな x の値または極端に小さな x の値につい

て曲線をトレースする必要があります。


水平漸近線の方程式は y = 1もちろん、教師が生徒に漸近線の計算方法を指導しても構いません。

試験問題２、第１問

(a)曲線 y = x2 と y = 3 – x1 の大まかなグラフを同じ座標系上に描きなさい。ただ

し、0 ≤ x ≤ 4、0≤ y≤ 4 とし、両軸には目盛りを書き入れなさい。

(b)この２つの曲線の交点を求めなさい。

(c)(i) 曲線 y = 3 – x1の各点 x における傾きを求めなさい。

(ii)点 (1, 2) におけるこの傾きの値を求めなさい。

(d)曲線 y = 3 – x1の点 (1, 2) における接線の方程式を求めなさい。

(a)

•生徒は目盛りを追加する必要があります。



(b)

(c)生徒の解答は次のようになります。

(i) dy/dx = 1/x2

(ii)dy/dx = 1/1 = 1この値はグラフ電卓で求めることもできます。

(d)生徒の解答は次のようになります。

y = mx + cy = 1x + c2 = 1 × 1 + cc = 1y = x + 1

•生徒はグラフ電卓で確認する必要があります。



試験問題２、第３問

以下の図は、–2 ≤ x ≤ 5 における関数 y = x2 および y = 2x のグラフを示したもので

す。Ｂ、Ｃ、およびＤは２つの曲線の交点です。

y

xAD

B

C

(a)点Ａの座標を書き出しなさい。

(b)点ＢおよびＣの座標を書き出しなさい。

(c)点Ｄの x 座標を求めなさい。

(d)2x ≤ x2 となる x の値の範囲をすべて書き出しなさい。ただし、x の値の範囲は

区間として表記すること。

(a)


x = 0 のとき y = 1 だから、Ａの座標は (0, 1)



(b)


Ｂの座標は (2, 4)、Ｃの座標は (4, 16)

(c)


Ｄの x 座標は –0.767

(d)生徒は、グラフと交点から、2 ≤ x ≤ 4 および –∞ ≤ x ≤ –0.767 のときに 2x ≤ x2 が成り

立つと判断できなければなりません。



試験問題２、第４問

サーカスのピエロが伸縮するロープにぶら下がりながら左右に大きく揺れています。

その動きを生徒が調べることになりました。生徒が調べた結果、ピエロの動きは関数

f (x) = (0.8x)(5sin100x) のグラフで表されることがわかりました。ただし、x は水平方向

の移動距離を表します（単位はメートル）。

(a)0 ≤ x ≤ 10 および –3 ≤ f (x) ≤ 5 の範囲における f (x) の大まかなグラフを描きな

さい。

(b)最初の極大点の座標を求めなさい。

(c)この曲線が x 軸を横切る点のうちいずれか１つの座標を求めなさい。

もう１人のピエロが大砲から発射され、下の表に示した点を通過しました。

水平方向の移動距離（x）垂直方向の移動距離（y）

0.00341 0.0102

0.0238 0.0714

0.563 1.69

1.92 5.76

3.40 10.2

(d)相関係数 r を求め、r の値についてコメントしなさい。

(e)y の x に対する回帰直線の方程式を書き出しなさい。

(f)小問(a)で描いた f (x)のグラフの上にこの直線の大まかなグラフを重ねて描きな

さい。

(g)この直線が曲線を横切る点のうちいずれか１つの座標を求めなさい。

(a)




(b)


最初の極大点は (0.827, 4.12)

(c)


(1.8, 0)

(d)


r = 1、したがって完全な正の相関

(e)生徒の解答は次のようになります。

回帰直線の方程式は y = 3x + 0.000274 または y = 3x



(f)


(g)


交点の１つは (1.16, 3.48)

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