Γραμμικά Συστήματα

Ιωάννης ΛυχναρόπουλοςΜαθηματικός, MSc, PhD

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων ΜηχανικώνΠανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Γραμμικό Σύστημα

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

............................................

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

, , F 1 , 1ij i ia b x i m j n∈ ≤ ≤ ≤ ≤

Λύση (ή Σύνολο Λύσεων) του συστήματος

Είναι οι τιμές των μεταβλητών που ικανοποιούν ή επαληθεύουν ταυτόχρονα ΟΛΕΣ τις εξισώσεις του συστήματος

ix

Ισοδύναμα Συστήματα

Συστήματα που έχουν ακριβώς το ίδιο σύνολο λύσεων

Σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους

Σε Μορφή Πινάκων

Στήλη Σταθερών όρων

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nm n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

×

=

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

............................................

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

Πίνακας Συντελεστών

1

21n

n

xx

x

x

×

=

Στήλη Αγνώστων

1

21m

m

bb

b

b

×

=

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

|

n

n

m m mn m

a a a ba a a b

A b

a a a b

=

Επαυξημένος Πίνακας

Ax b=

Σύστημα γραμμένο σε μορφή πινάκων

Αντίστοιχο Ομογενές Σύστημα

Ax O=

Λύσεις Γραμμικού Συστήματος

Αν υπάρχουν 3 πιθανές περιπτώσεις: Το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση (Μοναδική Λύση)

Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (Αόριστο Σύστημα)

Το σύστημα δεν έχει καμία λύση (Αδύνατο Σύστημα)

Συμβιβαστό ΣύστημαΈχει τουλάχιστον μία λύση (μία ή άπειρες).

Ασυμβίβαστο ΣύστημαΔεν έχει καμία λύση (αδύνατο σύστημα).

Αν ο A είναι Τετραγωνικός και υπάρχει ο αντίστροφός του, τότε το σύστημα έχειμοναδική λύση την:

1 1m n n mA x b× × ×=m n≥

Αν υπάρχουν 2 πιθανές περιπτώσεις m n<

1x A b−=

Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις

Το σύστημα δεν έχει καμία λύση

Γεωμετρική Αναπαράσταση ΛύσεωνΘεώρηση Κατά ΓραμμέςΣτο επίπεδο

Σύστημα 2x2

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x a x ba x a x b

+ = + =

Κάθε εξίσωση αναπαριστά μία ευθεία

Μία λύση Καμία λύση Άπειρες λύσεις

(Οι γραμμές τέμνονται) (Παράλληλες γραμμές) (Οι γραμμές ταυτίζονται)

Στο χώρο Σύστημα 3x3

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b

+ + = + + = + + =

Κάθε εξίσωση αναπαριστά ένα επίπεδο

Καμία λύση Καμία λύση Καμία λύση Καμία λύση

Μία λύση Άπειρες λύσεις Άπειρες λύσεις Άπειρες λύσεις

Γεωμετρική Αναπαράσταση ΛύσεωνΘεώρηση Κατά Γραμμές

(3 παράλληλα επίπεδα)

(2 παράλληλα επίπεδα)

(καμία κοινή τομή) (2 συμπίπτοντα επίπεδα παράλληλα προς το τρίτο)

(κοινή τομή σε ένα σημείο)

(κοινή τομή σε ευθεία γραμμή)

(κοινή τομή σε επίπεδο)

(2 συμπίπτοντα επίπεδα. κοινή τομή σε ευθεία γραμμή)

Στο επίπεδο Σύστημα 2x2

11 12 11 2

21 22 2

a a bx x

a a b

+ =

Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων του

Γεωμετρική Αναπαράσταση ΛύσεωνΘεώρηση Κατά Στήλες

( )11 21,α α( )12 22,α α

( )1 2,b b

( )1 11 1 21,x xα α

( )2 12 2 22,x xα α

2

Στο χώρο Σύστημα 3x3

11 12 13 1

1 21 2 22 3 23 2

31 32 33 3

a a a bx a x a x a b

a a a b

+ + =

Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων του 3

Αν το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις, και διαθέτει λ ελεύθερες μεταβλητές, τότε το σύνολό όλων των λύσεών του ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών λ διαφορετικών μεταξύ τους ειδικών λύσεων αυτού.

To έχει μοναδική λύση το έχει μόνον την τετριμμένη

Λύσεις Ομογενούς Συστήματος

Κάθε ομογενές σύστημα είναι συμβιβαστό καθώς έχει πάντοτε τουλάχιστον την τετριμμένη μηδενική λύση.

1 1m n n mA x O× × ×=

Γενική λύση του

Σχέση λύσεων ομογενούς και μη ομογενούς συστήματος

Ax b=

0 px x x= +

Αν είναι δύο λύσεις του ομογενούς συστήματος τότε και κάθε γραμμικός συνδυασμός των είναι επίσης λύση αυτού.

1 2,x x1 2,x x

Ax O=Ax b=

Ax O=⇔

Ειδική λύση του Ax b=

Λύσεις του

Αν m<n τότε το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Αν ο A είναι Τετραγωνικός τότε

μηδενική λύση.

Στοιχειώδεις Πράξεις στις Γραμμές ενός Πίνακα

Αντικατάσταση γραμμής με τον εαυτό της αυξημένο κατά ένα πολλαπλάσιο μίας άλλης γραμμής

Εναλλαγή δύο γραμμών

Πολλαπλασιασμός μίας γραμμής με αριθμό διάφορο του μηδενός

i jr r↔

1 3

1 2 3 45 6 7 8 5 6 7 89 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15

9 10 11 12

1 2 3164

r r

↔

3 3 18 20 22 2

1 2 3 4 1 2 3 45 6 7 8 5 6 7 8

29 10 11 12

13 14 15 16 13 14 154

16

r r

→ −

− −

−

−

i ir rλ→

i i kr r rλ→ +

2 2 1

1 2 3 4 1 2 3 45 6 7 8

29 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 1

3 2 1 0

5 16

r r r

→ −

Παράγουν (Γράμμο)ΙσοδύναμουςπίνακεςΠροσοχή: Δεν ισχύει το ίδιο με στοιχειώδεις πράξεις στις στήλες του πίνακα

Κλιμακωτή Μορφή ως προς τις Γραμμές

0 * * * * * * * * *0 0 0 * * * * * * *0 0 0 0 * * * * * *0 0 0 0 0 0 0 * * *0 0 0 0 0 0 0 0 0 *0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή ως προς τις Γραμμές0 * 0 0 * * 0 0 0 *0 0 0 0 * * 0 0 0 *0 0 0 0 * * 0 0 0 *0 0 0 0 0 0 0 0 0 *0 0 0 0 0 0 0 0 0 *0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11

11

10

Οδηγός:πρώτο μη μηδενικό στοιχείο από αριστερά. (Ορισμένοι απαιτούν ο οδηγός να είναι μονάδα, αν και αυτό δεν είναι υποχρεωτικό)

- Ο οδηγός κάθε γραμμής βρίσκεται δεξιότερα από τον οδηγό της προηγούμενης γραμμής.

- Σε κάθε στήλη που περιέχει οδηγό, όλα τα στοιχεία κάτω και πάνω από αυτόν είναι ίσα με το μηδέν.

- Κάθε οδηγός είναι ίσος με τη μονάδα (υποχρεωτικά).

- Σε κάθε στήλη που περιέχει οδηγό, όλα τα στοιχεία κάτω από αυτόν είναι ίσα με το μηδέν.- Ο πίνακας είναι άνω τριγωνικός.- Όλες οι μηδενικές γραμμές (αν υπάρχουν) βρίσκονται στο τέλος του πίνακα.

Κάθε στήλη που περιέχει οδηγό γραμμής ονομάζεταιοδηγός στήλη

Απαλοιφή GaussΧρησιμοποιείται για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων.Παραλλαγές της μεθόδου είναι η απαλοιφή Gauss με μερική και με πλήρη οδήγηση.

1. Ξεκινούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και μέσω των τριών στοιχειωδών πράξεων επί των γραμμών του, τον μετασχηματίζουμε σε κλιμακωτό κατά γραμμές (άνω τριγωνικό), μετακινώντας όλες τις μηδενικές γραμμές (αν προκύπτουν) στο τέλος του πίνακα

2. Εκτελούμε προς τα πίσω αντικατάσταση για να βρούμε τις λύσεις του συστήματος (αν υπάρχουν).

Διαδικασία 2 βημάτων

Πιθανές Εκβάσεις- Προκύπτει μία γραμμή της μορφής: 0 0 ... 0 0c cµε ≠

Τότε το σύστημα είναι αδύνατο

- Προκύπτουν μηδενικές γραμμές:

Τότε αν το σύστημα είναι αόριστο. Κάθε μηδενική γραμμή δίνει και μία ελεύθερη μεταβλητή, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό των υπολοίπων μεταβλητών. Γενικότερα, ελεύθερες μεταβλητές προκύπτουν σε κάθε περίπτωση που στον τελικό πίνακα συντελεστών, στη στήλη κάποιας μεταβλητής δεν υπάρχει οδηγός γραμμής.

- Διαφορετικά, αν όλα τα διαγώνια στοιχεία του τελικού πίνακα συντελεστών είναι διάφορα του μηδενός (δηλ. υπάρχουν οδηγοί σε κάθε γραμμή) τότε υπάρχει μοναδική λύση

0 0 ... 0 0n m≥

Αλγόριθμος Απαλοιφής GaussΒήμα1.1: Ξεκινούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και ανταλλάσσουμε γραμμές ώστε ο πρώτος άγνωστος να εμφανίζεται με μη μηδενικό συντελεστή δηλ

11

11

ii i

ar r ra

→ −

Βήμα 1.2: Χρησιμοποιούμε το ως οδηγό για να απαλείψουμε το από όλες τις γραμμές κάτω από τη γραμμή του οδηγού. Δηλ. για εφαρμόζουμε την στοιχειώδη πράξη:

Βήμα 1.3: Εξετάζουμε κάθε νέα γραμμή r για να δούμε αν αυτή εκφυλίζεται:α) Αν η r έχει τη μορφή 0 0 … 0 | 0 τότε την μεταφέρουμε στο τέλος

του πίνακαb) Αν η r έχει τη μορφή 0 0 … 0 | c με c 0 τότε σταματούμε τον

αλγόριθμο καθώς το σύστημα είναι αδύνατο

Βήμα 1.4: Εκτελούμε τα βήματα 1,2,3 για τον δεύτερο άγνωστο ξεκινώντας από την δεύτερη γραμμή του πίνακα

Βήμα 1.5: Εκτελούμε την ανωτέρω διαδικασία μέχρι ο επαυξημένος πίνακας να έρθει σε κλιμακωτή μορφή

Βήμα 2: Εκτελούμε την προς τα πίσω αντικατάσταση

1x11 0a ≠

11a 1x1i >

≠

Στοιχειώδεις ΠίνακεςΤετράγωνοι πίνακες που προκύπτουν αν στον Ταυτοτικό Πίνακα εφαρμοστεί μία στοιχειώδης πράξη.

Κάθε στοιχειώδης πίνακας είναι αντιστρέψιμος και ο αντιστροφός του είναι και αυτός στοιχειώδης πίνακας.

Η εκτέλεση μίας στοιχειώδους πράξης επί των γραμμών ενός πίνακα Aισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό από αριστερά του πίνακα Α με τον Στοιχειώδη Πίνακα, ο οποίος αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη στοιχειώδη πράξη. (Πολλαπλασιασμός από δεξιά έχει σαν αποτέλεσμα η στοιχειώδης πράξη να εφαρμοστεί στις στήλες του πίνακα Α).

Αναίρεση μίας στοιχειώδους πράξης που έχει ήδη εφαρμοστεί στον πίνακα Α πραγματοποιείται με τον πολλαπλασιασμό από αριστερά με τον αντίστροφο του Στοιχειώδους Πίνακα που αντιστοιχεί στην αρχική πράξη.

Η απαλοιφή Gauss ισοδυναμεί με τον διαδοχικό πολλαπλασιασμό από αριστερά του επαυξημένου πίνακα με κατάλληλους στοιχειώδεις πίνακεςμεγέθους mxm (όπου m ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος) μέχρι να προκύψει ένας ισοδύναμος κλιμακωτός πίνακας B:

1 2 1... ( | )k kB E E E E A b−=

Στοιχειώδεις Πίνακες - Παραδείγματα

2 4r r↔ 1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

E

=

1

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

E E−

= =

Πίνακας Μετάθεσης

3 32r r→ 1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1

E

=

1

1 0 0 00 1 0 0

10 0 02

0 0 0 1

E−

=

3 3 12r r r→ − 1 0 0 00 1 0 02 0 1 0

0 0 0 1

E

= −

1

1 0 0 00 1 0 02 0 1 00 0 0 1

E−

=

Στα επόμενα υποθέτουμε ένα σύστημα 4ων εξισώσεων

Απαλοιφή Gauss-JordanΧρησιμοποιείται για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων και για την εύρεση του αντιστρόφου ενός τετραγωνικού πίνακα

Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, η διαδικασία που ακολουθείται είναι ίδια με αυτή του πρώτου βήματος της απαλοιφής Gauss, με την μόνη διαφορά ότι καταλήγουμε σε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα (και όχι σε απλά κλιμακωτό). Επίσης στη συνέχεια δεν απαιτείται προς τα πίσω αντικατάσταση.

Παρατήρηση: Ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας που προκύπτει με την απαλοιφή Gauss-Jordan είναι μοναδικός, ασχέτως με τη σειρά των στοιχειωδών πράξεων που εφαρμόζουμε για να καταλήξουμε σε αυτόν.

Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

Πολλές φορές η απαλοιφή Gauss-Jordan είναι υπολογιστικά ασύμφορη σε σχέση με την απλή απαλοιφή Gauss.

Εύρεση του Αντιστρόφου ενός Τετράγωνου Πίνακα

1( | ) ( | )Gauss Jordann n n nA A− −× Ι → Ι

Αν δεν καταλήξουμε στον Ταυτοτικό πίνακα, τότε ο αντίστροφος του Α δεν υπάρχει.

Ισοδυναμεί με την ταυτόχρονη επίλυση n γραμμικών συστημάτων με κοινό πίνακα συντελεστών τον πίνακα Α και διανύσματα σταθερών όρων τις στήλες του ταυτοτικού πίνακα .

Η επίλυση του κάθε συστήματος δίνει και μία στήλη του αντίστροφου πίνακα, έτσι π.χ. η λύση του συστήματος

n nA ×

nΙ

01

0

n nA x×

=

δίνει τη δεύτερη στήλη του πίνακα 1A−

Η ταυτόχρονη επίλυση των n γραμμικών συστημάτων μπορεί να γίνει με την απαλοιφή Gauss-Jordan ως εξής:

Αντίστροφος Πίνακας 2x2

a bA

c d

=

1 1 d bA

c aad bc− − = −−

Παρατήρηση: Η ποσότητα αποτελεί την ορίζουσα του πίνακα. Επομένως ο πίνακας A έχει αντίστροφο όταν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός. (Αυτό ισχύει για κάθε τετράγωνο πίνακα οποιουδήποτε μεγέθους)

ad bc−

Παραγοντοποιήσεις LU και LDUΑν η απαλοιφή Gauss δεν απαιτεί μεταθέσεις γραμμών και χρησιμοποιεί τους ακόλουθους στοιχειώδεις πίνακες

τότε η Doolittle παραγοντοποίηση LU δίνει:

Ο πίνακας είναι κάτω τριγωνικός και αποτελείται από τους πολλαπλασιαστέςτης απαλοιφής Gauss. (Στη διαγώνιό του έχει παντού μονάδες).

1 2 1... ( | )k kE E E E A b−

( )1 1 1 11 2 1 1 2 1... ...k k k k

L

E E E E A U A E E E E U A LU− − − −− −= ⇒ = ⇒ =

Ο πίνακας είναι άνω τριγωνικός στη διαγώνιό του έχει τους οδηγούς κάθε γραμμής, όπως αυτοί προκύπτουν κατά την απαλοιφή Gauss.

Επίσης ορίζοντας ένα νέο U μπορούμε να γράψουμε τον Α ως

PA LU=

Ο πίνακας L είναι o ίδιος με πριν.Ο πίνακας D είναι διαγώνιος και περιέχει μόνον τους οδηγούς κάθε γραμμής.Ο πίνακας U είναι ίδιος με πριν με τη μόνη διαφορά ότι κάθε στοιχείο του έχει διαιρεθεί με το στοιχείο της διαγωνίου (δηλ. τον οδηγό) της ίδιας γραμμής. (Ως αποτέλεσμα η διαγώνιος του έχει παντού μονάδες).

A x b=n×nΈστω το σύστημα:

Ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζεται η γραμμή του οδηγού πριν την αφαίρεσή της από την γραμμή όπου βρίσκεται το στοιχείο που θέλουμε να απαλείψουμε

2 Μέθοδοι: Doolittle, Crout

Στην περίπτωση που η απαλοιφή Gauss απαιτεί μεταθέσεις γραμμών τότεόπου P ο συνολικός πίνακας μετάθεσης.

A LDU=

Χρησιμοποιείται για την ευκολότερη επίλυση του συστήματος ως δύο απλούστερων συστημάτων: και

Ax b=Ux y=Ly b=

PA LDU=ή

1A−∃

n nL ×

n nU ×

και