F R A T T A L IF R A T T A L I

F R A T T A L IF R A T T A L I

F R A T T A L IF R A T T A L I

F R A T T A L IF R A T T A L I

F R A T T A L IF R A T T A L I

F R A T T A L IF R A T T A L I

f r a t t a l if r a t t a l i

f r a t t a l if r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i

f r a t t a l i f r a t t a l if r a t t a l i f r a t t a l i

frattalifrattali frattalifrattali

frattalifrattali

f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i

Il linguaggio della naturaIl linguaggio della natura

Osservando attentamente le forme naturali, si scopre che molte di esse, nonostante la loro forma irregolare e contorta, condividono un’importante caratteristica che può essere oggetto di una nuova geometria.

Nubi, montagne, alberi.... hanno irregolarità di tipo “stranamente ordinato” : le forme si ripetono su scala diversa nello stesso oggetto.

“Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni”: così il matematico Mandelbrot sottolineava in un passo della sua opera “The fractal geometry of Nature” (1982) l’incapacità, da parte della geometria tradizionale, di descrivere adeguatamente, le forme anche più semplici che troviamo in Natura.

Mandelbrot era stato , in qualche modo, un “eretico” tra i matematici rivolgendo il suo interesse a quegli insiemi numerici come la polvere di Cantor o a quelle funzioni come la curva di Koch

Ma che cos’è un oggetto frattale?

che cos’è la polvere di Cantor? ... e la curva di Koch?

ma che cos’è un oggetto frattale?

come si genera e quali sono le sue proprietà caratteristiche?

Fu Mandelbrot stesso che coniò tale termine di derivazione latina (fractus = rotto, spezzato) e che richiama bene la natura “frastagliata” e “spigolosa” di tali oggetti, i quali consentono di descrivere molto bene le forme dei fiocchi di neve, i profili delle coste, le forme di nuvole e montagne, la superficie di un’arancia, l’albero bronchiale, gli andamenti dei ritmi cardiaci....L’idea fondamentale di Mandelbrot fu quella di riprendere il concetto di dimensione, già esplorato e approfondito da Hausdorff nel 1919

Nel 1919 il matematico tedesco Felix Hausdorff suggerì come generalizzare il concetto di dimensione

La dimensione di Hausdorff si basa sull’idea di ricoprimentoricoprimento di una curva, una superficie, ecc.

la polvere di Cantor

prendiamo un segmento AB di lunghezza unitaria, dividiamolo in tre parti e togliamo il tratto centrale

A B

ripetiamo la stessa operazione su ciascun segmento ottenuto e così via..

.. .. .. .. .. .. .. ..

E’ un insieme di “segmentini” in numero via via maggiore e di lunghezza via via minore.

L’insieme geometrico, se si ripetesse la procedura infinite volte, è detto

polvere di Cantor

la curva di Koch (1904)

A

A

A

B

B

B

dato un

segmento AB

di

lunghezza

unitaria

togliamo il tratto centrale e lo sostituiamo con i due lati del triangolo equilatero che su di esso può essere costruito, ripetiamo la costruzione su ciascun segmento.

La procedura può essere iterata quante volte si vuole, e si individua così una linea dal contorno frastagliato detta curva di Koch

1

1/2

N

11

44

1616

.

l

11

1/21/2

1/4 1/4 1/4

......... .........

22 2n 2n ((1/21/2)) nn

il quadrato è ricoperto da 1 quadrato di lato 1

il quadrato è ricoperto da 4 quadrati di lato 1/2

il quadrato è ricoperto da 16 quadrati di lato 1/4

il quadrato èil quadrato è ricopertoricoperto da 2da 22n2n quadratini di lato (1/2) quadratini di lato (1/2)nn

ricoprimentoricoprimento

Autosimilarità e dimensione

Consideriamo un segmento AB e sezioniamolo in parti con un fattore di scala s= ½: otterremo N = 2 segmenti identici tra loro e simili all’originale. Se utilizziamo invece un fattore di scala s = 1/3, otterremo N = 3 segmenti identici e simili all’originale, e così via.

s=1/2 N=2 s=1/3 N=3 s=1 N=1

Se facciamo lo stesso procedimento su un quadrato, con s = !/2 otteniamo N = 4 quadrati identici e simili all’originale, con s= 1/3 otteniamo N = 9 “quadratini”

s=1/2 N=4 s=1/3 N=9

Se infine ripetiamo lo stesso procedimento su un cubo otteniamo N=8 con s=1/2, N=27 con s=1/3, e così via.

Se indichiamo con d la usuale dimensione (topologica) di questi oggetti, vale la formula N = s – d, ovvero d = - log N / log s, con il logaritmo preso in una base qualunque

1 2/3 (2/3)2 (2/3)3 .... (2/3)n .....

Si dà la seguente, valida per tutte le figure totalmente autosimili:

Si chiama dimensione di un oggetto, basata sull’autosimilarità il rapporto:

d = - log N / log sdove N è il numero di copie che si ottengono sezionando l’oggetto con un fattore di scala s

La precisazione basata sull’autosimilarità è importante perchè, questo numero può essere diverso dalla dimensione topologica (euclidea).

Oss. per il segmento, il quadrato, il cubo: la dimensione frattale coincide con la dimensione topologica

Si chiama frattale un oggetto autosimile per cui la dimensione frattale è strettamente maggiore di quella topologica

Calcoliamo la lunghezza dell’ insieme, detto polvere di Cantor, che è la somma delle lunghezze dei segmentini che la compongono:

inizialmente il segmento è lungo 1, dopo ogni operazione otteniamo dei segmenti la cui lunghezza complessiva è 2/3 di quella precedente. Le successive lunghezze formano una progressione geometrica di primo termine 1 e di ragione 2/3:

1 2/3 (2/3)2 (2/3)3 .... (2/3)n .....

Alla ennesima ripetizione, la lunghezza è 2n / 3n .

Poiché la ragione è positiva e minore di 1, la progressione converge a 0 : la lunghezza della “polvere di Cantor” è 0 nonostante che la figura non sia costituita da punti, ma da piccolissimi segmenti che è sempre possibile suddividere nuovamente

E’ “ qualcosa di più di un insieme di punti” e

“qualcosa di meno di un insieme di linee”

la sua dimensione frattale è d = log 2 / log 3 <1 (~ 0,6309)

poiché la ragione è positiva e minore di 1, la progressione converge a 0.

curva di Koch

A

A

A

B

B

B

la lunghezza della linea è 4/3 della precedente

la lunghezza della linea è 4/3 della precedente e (4/3)2 dilla linea iniziale

si costruisce così una successione numerica: 1 4/3 (4/3)2... (4/3)n ....

la successione è divergente: al tendere all’infinito del numero n, la lunghezza della linea che unisce A e B tende a diventare infinita

Calcoliamo la lunghezza della

la lunghezza del segmento AB è 1

Si tratta di una linea infinitamente spezzettata...

Il rapporto d = - log N / log s è costante e vale log 4 / log 3 ( ~ 1,2619)

(la successione è una progressione geometrica di primo termine 1 e di ragione 4/3)

L’isola di Koch o “fiocco di neve”L’isola di Koch o “fiocco di neve”

1 2

3 4

L’isola di Koch o “fiocco di neve”L’isola di Koch o “fiocco di neve”

Il perimetro della figura, che ha 12 lati, è i 4/3 di quello del triangolo originaleIl perimetro della figura, che ha 12 lati, è i 4/3 di quello del triangolo originale

Il passo successivo consiste nell’aggiungere altri 12 triangoli più piccoli nel centro di ogni lato della stella

Anche se il contorno ha perimetro infinitoAnche se il contorno ha perimetro infinito la figura circoscrive un’ la figura circoscrive un’ area finita : è 8/5 di quella del triangolo di partenzaarea finita : è 8/5 di quella del triangolo di partenza

Dato un triangolo equilatero di lato unitario: inserire al centro di ciascun lato un nuovo triangolo equilatero di lato pari a un terzo del lato assegnato e poi cancelliamo la base di ciascuno di questi tre nuovi triangoli. Ne risulta una figura chiusa delimitata da una linea spezzata che ha 12 lati.

Oss. Se i triangoli sono interni e non esterni, l’area è solo 2/5 di quella del triangolo di partenza.

Il perimetro della figura, che ha 48 lati, è i 16/3 di quello del triangolo originaleIl perimetro della figura, che ha 48 lati, è i 16/3 di quello del triangolo originale

Continuando questo procedimento “indefinitamente”, viene determinata una curva limite arricciata, nota come la curva di von Koch o la curva a fiocco di neve

Dopo n suddivisioni il perimetro è (3 . 4n/3n), al tendere di n all’infinito tende a diventare infinito

Nils Fabien von Koch (1871-1924) studiò, con altri matematici suoi contemporanei, alcune curve di questo tipo; curve molto particolari definite teoricamente e non concretamente costruibili.

Tuttavia, l’ utilizzo attuale dei calcolatori – con la conseguente possibilità di ripetere operazioni per un gran numero di volte - consente di disegnare buone approssimazioni della curva di Koch, andando ben al di là di quelle che il suo ideatore avrebbe potuto vedere.

Una particolarita’ della curva di Koch e’ evidente:

la curva ha lunghezza infinita pur racchiudendo una regione finita

Dove nasce questa stranezza?Dove nasce questa stranezza?

Se si hanno due punti A e B del piano, una usuale linea che li congiunge, Se si hanno due punti A e B del piano, una usuale linea che li congiunge, per quanto tortuosa ha sempre lunghezzaper quanto tortuosa ha sempre lunghezza finitafinita

Non è infatti possibile costruire la curva di Koch, perchè occorrerebbe ripetere la stessa operazione infinite volte.

Il “ setaccio di Sierpiński “ nasce come triangolo.

Si prendono i punti medi dei tre lati e si traccia il triangolo inscritto: così si suddivide la superficie di partenza in quattro triangoli. Si toglie quello centrale e su ciascuno dei triangoli rimasti viene ripetuto il procedimento....

Ogni volta il lato del triangolo viene dimezzato e si ha un numero di triangoli che è il triplo del precedente.Perciò il “setaccio di Sierpiński “ ha una dimensione di Hausdorff

d = log 3 /log 2 (~ 1,584...)

altri frattali ....altri frattali ....

Un tappeto di Sierpiński inizia come quadrato. Togliendo “pezze” quadrate si genera la forma frattale

d = log 8 / log 3 (~ 1,8928...)

dimensione che naturalmente è inferiore a quella di un vero tappeto

segmentsegmentoo

quadratquadratoo

cubocubo

Insieme Insieme didi

CantorCantor

La curva La curva didi

KochKoch

CardinalitàCardinalità 11אא 11אא 11אא 11אא 11אא

DimensionDimensionee

11 22 33 00 11

DimensionDimensionee

frattalefrattale

11 22 33 ~ 0.63~ 0.63 ~ 1.26~ 1.26

Possiamo raggruppare quanto finora detto nella seguente tabella:

Mandelbrot ha dato prova di una notevole inventiva nel creare i frattali con strane proprietà. Alcuni di questi assomigliano a forme naturali, per esempio a montagne, altri hanno caratteristiche geometriche che li rendono utili come modelli ideali di processi fisici.

La prima applicazione dei frattali fu nella soluzione del problema del rumore durante la trasmissione di dati.

Servendosi del concetto di polvere di Cantor, Mandelbrot aveva calcolato la distribuzione delle stelle in una galassia e delle galassie nell’ Universo. Anche se il modello è una funzione e non impiega dati astronomici reali, esso ricorda la distribuzione delle stelle viste dagli astronomi

Gli astronomi avevano allora confermato che, come previsto dal modello, la massa dell’intero Universo è distribuita nello spazio come un insieme di Cantor tridimensionale (ora...... l’astrofisica è in continua evoluzione)

A mano a mano che la ricerca sui frattali si sviluppava, i matematici scoprivano che il concetto di “autosomiglianza” non era sufficiente a coprire tutti i frattali possibili.

L’insieme di M. sembrava auto-simile, ma esaminandolo più attentamente, i piccoli insiemi. di M. presentavano un maggior numero di protuberanze e di altre curiose caratteristiche: tali frattali sono chiamati non-linerari

Nel 1980 M. stesso descrisse un ins. frattale (detto insieme di Mandelbrot) che ha l’aspetto di un pupazzo di neve bitorzoluto ottenuto calcolando ripetutamente semplici espressioni matematiche come ( x2 – 3x) a partire da un valore iniziale di x e sostituendo poi ogni volta nell’equazione iniziale il risultato ottenuto.

Per i frattali auto-simili, le linee visibili all’interno di una figura rimangono sempre linee, indipendentemente dalle variazioni di scala; per i frattali non-lineari, i cambiamenti di scala non conservano necessariamente le linee rette, ma rivelano nuove e “affascinanti” caratteristiche

La geometria frattale e la grafica del computer sono inestricabilmente legate fra loro...

La grafica del computer fornisce un comodo sistema per disegnare e studiare oggetti frattali, e la geometria frattale è un utile strumento per creare immagini al computer

Le operazioni semplici , ripetitive, occorrenti per la costruzione di un frattale si accordano perfettamente con il modo di funzionare di un computer

OSS. L‘ immagine che compare sul video non è un vero frattale: un computer che generi “ un setaccio di Sierpiński” non può mostrare triangoli più piccoli dei punti elementari di luce – i pixel – di cui è composto lo schermo.

I frattali suggeriscono una soluzione per disegnare realisticamente sullo schermo - video gli oggetti naturali: generare una forma fondamentale (es: un triangolo) che viene ripetuta molte volte in scala sempre più piccola, all’interno della figura originale. Si inseriscono variabili casuali per dare all’immagine un aspetto più realistico

Si possono creare paesaggi frattali con il metodo dello spostamento dei punti medi. I punti medi dei lati di un triangolo

a) vengono uniti e spostati in su e in giù fuori dal piano dell’immagine

b) si ottengono così quattro piccoli triangoli su cui si ripete il procedimento

Una legge di distribuzione stabilisce l’entità dello spostamento e quindi determina la scabrosità del terreno frattale

c) un programma poi genera le ombreggiature appropriate, dando vita a risultati straordinariamente realistici

come costruirecome costruire montagne frattali ?montagne frattali ?

insieme di Mandebrot

frattali non-lineari

insieme di Mandebrot

frattali non-lineari

insiemi di Julia

Gli insiemi di Julia sono frontiere frattali che vengono generate dall’iterazione della trasformazione quadratica

g(z) = z2 + c (z numero complesso)

il punto zk+1 si ottiene applicando la trasformazione al punto precedente della successione zk .Il numero complesso c è un parametro di controllo che può essere scelto arbitrariamente.

Questo processo iterativo, in apparenza semplice, costiituisce la base di una famiglia sbalorditiva di forme.

Quando si applica la trasformazione a un punto iniziale z0 la successione risultante può comportarsi in due modi diversi: può vagare senza limitazioni, allontanandosi verso l’infinito, oppure restare confinata in una certa regione del piano complesso.

L’insieme dei punti “confinati” e l’insieme dei punti “vaganti” sono separati da una frontiera infinitamente stretta detto ”insieme di Julia”

L’insieme di Julia, per ogni parametro di controllo, può essere un unico insieme connesso oppure un ins. di punti non connessi, come polvere.

insieme di J U L I Afrattali non-lineari

L’insieme di Mandelbrot suddivide gli insiemi di Julia in connessi e non connessi : ingrandendo l’insieme di M. intorno a un punto c situato sulla sua frontiera, appaiono forme che sono anche gli elementi costitutivi dell’ insieme di Julia corrispondente al punto c.

Julia e Mandelbrot: che relazione?

L’insieme di Mandelbrot rispecchia l’ordine soggiacente all’infinita varietà degli insiemi di Julia. Tutti i suoi punti rappresentano valori del parametro c corrispondenti a insiemi di Julia connessi.

Se un punto c non appartiene all’insieme di M. l’insieme di Julia ad esso associato non è connesso

L’insieme di M. contiene una ricchezza di dettagli inimmaginabili: tre ingrandimenti successivi dell’ insieme rivelano strutture simili che si ripetono, fra cui anche copie in miniatura dell’insieme stesso, oltre a forme nuove e differenti

felce di

Barnsley

Un sistema di trasformazioni affini fornisce a un computer le istruzioni per generare questa immagine di una felce, che assomiglia all’asplenio nero.

Gli studi condotti sugli “attrattori strani”o caotici mostrano che sono frattali, e che in genere hanno dimensione

maggiore di 2

Se i sistemi meteorologici si lasciano descrivere da equazioni che danno luogo a comportamento caotico, allora basta un cambiamento minuscolo come ” il battito di ali di una farfalla” per rendere impossibili previsioni del tempo a lunga scadenza......

ma questo è il “CAOS” che in matematica assume un ma questo è il “CAOS” che in matematica assume un significato particolare, di ordine in mezzo al disordine....significato particolare, di ordine in mezzo al disordine....

Paesaggio frattale immaginario generato al calcolatore, ispirandosi alle montagne della nuova Zelanda

appunti tratti da :

Il turista matematico

un viaggio nella moderna scienza dei numeri

di Ivars Peterson Rizzoli

Il caos

le leggi del disordine

a cura di Giulio Casati Le Scienze Ed.

www.frattali.it

Benoit MANDELBROT

Waclaw SIERPINSKI

Niels F. H. von KOCH

insieme di J U L I Afrattali non-lineari