F

ACULTAD DE CONTADURÍA Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MATERIAL DIDÁCTICO:

“ EJERCICIOS RESUELTOS

PARA

MATEMÁTICAS FINANCIERAS”

presenta:

DR. FERNANDO AVILA CARREÓN

Morelia, Mich., 2 febrero de 2011

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO

INTERES SIMPLE

3.53.- Calcular los pagos equivalentes para cada una de las deudas.

DEUDAS PAGOS EQUIVALENTESFECHA FOCAL TASAa) $1200 a 80 días Total

Hoy 12%b) $ 200 a 3 meses, Total

Dentro de 6 meses 8%$800 a 9 meses

c) $600 hace 2 meses, $500 hoy y el saldoHoy 13%

$400 a 3 meses en 6 mesesd) $800 pagaderos hoy Dos pagos iguales que

Dentro de 7 meses 12%vencen en 4 y 7

mesese) $2000 hace 300 días Tres pagos iguales hoy,

Hoy 11%en 60 días y en

120 días

a) C= M1+ it

12001+(:12) 80

360

=

1168: 8b) M=(1+it) C= M

1+ it 200�1 + (:08) 3

12

�+

8001+(:08) 3

12

= 988: 31

c) M=(1+it) C= M1+ it 600

�1 + (:13) 2

12

�+

4001+(:13) 3

12

= 1000: 4� 500 = 500: 4�1 + (:13) 6

12

�= 532: 93

d) M=(1+it) 800�1 + (:12) 7

12

�=

856:0 856:02:03 = 421: 67

e) M=(1+it) 2000�1 + (:11) 300360

�=

2183: 3 2183:32:946690 = 740: 93

3.54.- Si el dinero vale 13% de interés simple, calcular los valores de unadeuda de $1500 pagadera en 8 meses con intereses de 14 12

a) hoy, b) dentro de 4 meses, c) dentro de un año.

1

M=(1+it) 1500�1 + (:145) 8

12

�=

1645:0a) C= M

1+ it1645

1+(:13) 812

=

1513: 8b) C= M

1+ it1645

1+(:13) 412

=

1576: 7c) M=(1+it) 1645

�1 + (:13) 4

12

�=

1716: 3

3.55.- Se va a liquidar una deuda de $500 que se venció hace 20 días, y otrapor $400 que se vence dentro de 50 días, con un pago de

$600 hoy y un pago �nal dentro de 90 días. Calcular el valor delpago �nal a la tasa de 11% de interés simple, con fecha focal de hoy.

M=(1+it) C= M1+ it 500

�1 + (:11) 20

360

�+

4001+(:11) 50

360

= 897: 04� 600 = 297: 04�1 + (:11) 90

360

�= 305: 21

3.56.- Paula debe $100 pagaderos en 6 meses y $150 a pagar en 1 año. Ellaconviene en que puede liquidar hoy ambas deudas con una

tasa de 16% de interés simple, poniendo el día actual como fechafocal. ¿Cuánto se deberá pagar hoy en efectivo?

C= M1+ it

1001+(:16) 6

12

+ 1501+(:16) 1212

=

221: 9

3.57.- Carlos debe $300 pagaderos en 3 meses y $500 a pagar en 8 meses.¿Qué pago único a) hoy, b) dentro de 6 meses, c) en 1 año,

liquidará esas obligaciones, si el dinero vale 8% y la fecha focal es ladel único pago?

a) C= M1+ it

3001+(:08) 3

12

+ 5001+(:08) 8

12

=

768: 8b) M=(1+it) C= M

1+ it 300�1 + (:08) 3

12

�+

5001+(:08) 2

12

= 799: 42

c) M=(1+it) 300�1 + (:08) 9

12

�+

500�1 + (:08) 4

12

�= 831: 33

2

3.58.- Irma pide prestados $1000 a 11%. Va a hacer tres pagos iguales a 3,6y 9 meses. Calcular la cantidad de los pagos si la fecha focal

es a) hoy, b) al �nal de 9 meses.

a) C= M1+ it

x1+(:11) 3

12

+ x1+(:11) 6

12

+ x1+(:11) 9

12

=

2: 844 9x = 1000 10002:8449 = 351: 51

b) M=(1+it) x�1 + (:11) 6

12

�+

x�1 + (:11) 3

12

�+ x = 3: 082 5x = 1082:50 1082:50

3:0825 = 351: 18

3.59.- A 12% de interés simple, calcular el valor actual del siguiente conjuntode obligaciones: $800 a saldar en 4 meses, con 15% de

interés, $1200 pagaderos en 6 meses con 10 14 de interés y $900pagaderos en 1 año con 12% de interés.

M=(1+it) 800�1 + (:15) 4

12

�=

840:0 1200�1 + (:1025) 6

12

�= 1261: 5 900

�1 + (:12) 1212

�= 1008:0

C= M1+ it

8401+(:12) 4

12

+ 1261:51+(:12) 6

12

+ 10081+(:12) 1212

=

2897: 8

3.60.- Resolver el problema 3.59 usando como fecha focal 1 año a partir dehoy.

M=(1+it) 840�1 + (:12) 8

12

�+

1261:5�1 + (:12) 6

12

�+ 1008 = 3252: 4 3252:4

1+(:12) 1212= 2903: 9

3.61.- Pablo pide prestados $4000 a 18% de interés simple. Debe pagar elpréstamo mediante $1000 al �nal de 3 meses, y dos

pagos iguales al �nal de 6 y 9 meses. Calcular el tamaño de lospagos iguales, usando como fecha focal a) al �nal de los 6

meses, b) hoy.

a) M=(1+it) C= M1+ it 4000

�1 + (:18) 6

12

�=

4360:0 1000�1 + (:18) 3

12

�+x+ x

1+(:18) 312

= 1: 956 9x+1045:0� 4360 = 3315:03315:01:9569 = 1694:0

b) C= M1+ it

10001+(:18) 3

12

+ x1+(:18) 6

12

+ x1+(:18) 9

12

=

1: 798 5x+ 956: 94� 4000 = 3043: 1 3043:11:7985 = 1692:0

3

3.62.- Anoche mario ganó $5000 en una lotería. Se le ofrecen dos opciones.Puede tomar los $5000 hoy o tomar $X cada 6 meses

(comenzando dentrop de 6 meses) durante 2 años. Si las opcionesson equivalentes y la tasa de interés simple es 10%, calcular

X usando una fecha focal de 2 años.

M=(1+it) x�1 + (:10) 1812

�+

x�1 + (:10) 1212

�+ x

�1 + (:10) 6

12

�+ x = 4: 3x = 6000 6000

4:3 = 1395: 3

3.63.- Un préstamo de $2500 hecho el 2 de abril requiere tres pagos igualesel 25 de mayo, el 20 de julio y el 10 de septiembre, y

uno �nal de $500 el 15 de octubre. Si la fecha focal es el 15 deoctubre, ¿A cuánto ascienden los pagos iguales a 9% de

interés simple usando tiempo exacto/interés exacto?

M=(1+it) 2500�1 + (:09) 196365

�= 2620: 8

x�1 + (:09) 143365

�+

x�1 + (:09) 87

365

�+ x

�1 + (:09) 35

365

�+ 500 = 3: 065 3x + 500 = 2620:8 � 500 =

2120: 82120:83:0653 = 691: 87

3.64.- Julio pide $2000 a 14%. Va a pagar la deuda en 4 cuotas iguales, unaal �nal de cada periodo de tres meses, durante un año.

Calcular la magnitud de los pagos, dada como fecha focal a) hoy, b)al �nal de 1 año.

a) C= M1+ it

x1+(:14) 3

12

+ x1+(:14) 6

12

+x

1+(:14) 912

+ x1+(:14) 1212

= 3: 682 9x = 2000 20003:6829 = 543: 05

b) M=(1+it) 2000�1 + (:14) 1212

�= 2280:0

x�1 + (:14) 9

12

�+

x�1 + (:14) 6

12

�+ x

�1 + (:14) 3

12

�+ x = 4: 21x = 2280

22804:21 = 541: 57

3.65.- Amy pide $800 préstados a 16%. Conviene en pagar la deuda conpagos de amgnitud $X, $2X y $4X en 3,6 y 9 meses, respectivamente.

Calcular X usando la fecha focal a) hoy, b) dentro de 3 meses, c)dentro de 6 meses, d) dentro de 9 meses.

4

a) C= M1+ it

x1+(:16) 3

12

+ 2x1+(:16) 6

12

+ 4x1+(:16) 9

12

=

6: 384 8x = 800 8006:3848 = 125: 30

b) M=(1+it) 800�1 + (:16) 3

12

�= 832:0

C= M1+ it x+ 2x

1+(:16) 312

+ 4x1+(:16) 6

12

=

6: 626 8x = 832:0 832:06:6268 = 125: 55

c) M= (1+it) 800�1 + (:16) 6

12

�= 864:0

C= M1+ it x

�1 + (:16) 3

12

�+2x+ 4x

1+(:16) 312

=

6: 886 2x = 864:0 864:06:8862 = 125: 47

d) M=(1+it) 800�1 + (:16) 9

12

�= 896:0

x�1 + (:16) 6

12

�+

2x�1 + (:16) 3

12

�+ 4x = 7: 16x = 896:0 896:0

7:16 = 125: 14

3.66.- Un préstamo de $1000 vence en un año, con 14 12% de interés. Eldeudor paga $200 en 3 meses y $400 en 7 meses. Calcular

el saldo pagadero en 1 año con a) la regla del comerciante, b) la reglade Estados Unidos.

a) M=(1+it) 1000�1 + (:145) 1212

�= 1145:01145 =

200�1 + (:145) 9

12

�+ 400

�1 + (:145) 5

12

�+ x = x+ 645: 92� 1145 = 499: 08

b) M=(1+it) 1000�1 + (:145) 3

12

�= 1036:

3� 200 = 836: 3836:3

�1 + (:145) 4

12

�=

876: 72� 400 = 476: 72476:72

�1 + (:145) 5

12

�=

505: 52

3.67.- Una deuda de $5000 se vence en seis meses, con un interés de 10%.Se hacen pagos parciales de $3000 y $1000 a los 2 y 4 meses,

respectivamente.¿ Cuál es el saldo pagadero en la fecha de laliquidación �nal a) de acuerdo con la regla del comerciante; b) de acuerdo

con la regla de Estados Unidos ?

a) M=(1+it) 5000�1 + (:10) 6

12

�= 5250:0

3000�1 + (:10) 4

12

�+

1000�1 + (:10) 2

12

�+ x = x+ 4116: 7 = 5250:0� 4116:7 = 1133: 3

b) M=(1+it) 5000�1 + (:10) 2

12

�= 5083:

3� 3000 = 2083: 3

5

2083:3�1 + (:10) 2

12

�=

2118:0� 1000 = 1118:01118:0

�1 + (:10) 2

12

�= 1136: 6

3.68.- Un préstamo de $1400 se vence en un año, con interés simple de 12%.Se hacen pagos parciales de $400 en 2 meses, $30 en 6 meses

y $600 en 8 meses. Calcular el saldo que se vence en un año, usandola regla de Estados Unidos.

M=(1+it) 1400�1 + (:12) 2

12

�=

1428:0� 400 = 1028:01028:0

�1 + (:12) 4

12

�=

1069: 1� 30 = 1039: 11039:1

�1 + (:12) 2

12

�=

1059: 9� 600 = 459: 9459:9

�1 + (:12) 4

12

�= 478: 30

3.69.- El 4 de febrero de 1995 Pedro pidió prestados $3000 a 11%. Pagó$1000 el 21 de abril de 1995; $600 el 12 de mayo de 1995 y $700

el 11 de junio de 1995. ¿Cuál es el saldo pagadero el 15 de agostode 1995, a) de acuerdo con la regla del comerciante ? b) de acuerdo

con la regla de Estados Unidos ?

a) M=(1+it) 3000�1 + (:11) 191360

�= 3175: 1

1000�1 + (:11) 114360

�+

600�1 + (:11) 93

360

�+ 700

�1 + (:11) 64

360

�+ x = x+ 2365: 6 = 3175:1

x = 3175:1� 2365:6 = 809: 5b) M=(1+it) 3000

�1 + (:11) 77

360

�= 3070:

6� 1000 = 2070: 62070:6

�1 + (:11) 21

360

�=

2083: 9� 600 = 1483: 91483:9

�1 + (:11) 29

360

�=

1497:0� 700 = 797:0797:0

�1 + (:11) 64

360

�= 812: 59

3.71.- Melisa recibió $1000 prestados el 8 de mayo a 18 12% de interés simple.Paga $500 el 17 de julio y $400 el 29 de septiembre.

¿Cuál es su saldo el 31 de octubre a) según la regla del comerciante ?b) según la regla de Estados Unidos ?

6

a) M=(1+it) 1000�1 + (:185) 173360

�= 1088: 9

500�1 + (:185) 104360

�+

400�1 + (:185) 32

360

�+ x = x+ 933: 3

1088:9� 933:3 = 155: 6b) M=(1+it) 1000

�1 + (:185) 69

360

�= 1035:

5� 500 = 535: 5535:5

�1 + (:185) 72

360

�=

555: 31� 400 = 155: 31155:31

�1 + (:185) 32

360

�=

157: 86

3.72.- Rogelio pidió $4500 a 9% de interés simple el 3 de julio de 1993. Pagó$1250 el 27 de octubre de 1993 y $2500 el 7 de enero

de 1994. Calcular el saldo pagadero al 1 de mayo de 1994 usandotiempo exacto/interés exacto, a) con la regla del comerciante,

b) con la regla de Estados Unidos.

a) M=(1+it) 4500�1 + (:09) 302365

�=

4835: 11250

�1 + (:09) 186365

�+

2500�1 + (:09) 114365

�+ x = x+ 3877: 6

4835:1� 3877:6 = 957: 5b) M=(1+it) 4500

�1 + (:09) 116365

�=

4628: 7� 1250 = 3378: 73378:7

�1 + (:09) 72

365

�=

3438: 7� 2500 = 938: 7938:7

�1 + (:09) 114365

�=

965: 09

INTERÉS COMPUESTO

4.56.- Calcular la tasa anual efectiva equivalente a a) 16% compuesto trimes-tralmente, b) 18% compuesto mensualmente, c) 9 14 compuesto

diariamente, d) 12% compuesto continuamente.M = C(1+ j)n i= j

N

a) j 4=16% c(1+ j) = c(1+ j44 )

4 (1+ j) = (1+ :164 )

4

j = (1 + :164 )

4 � 1 = 0:169 86

7

b) j 12=18% c(1 + j) = c(1 + j1212 )

12 (1 + j) = (1 + :1812 )

12

j = (1 + :1812 )

12 � 1 = 0:195 62

c) j 365=9 14% c(1+j) = c(1+ j365365 )

365 (1+j) = (1+ 0:0925365 )

365

j =�1 + 0:0925

365

�365 � 1 = 0:096 9d) j 365=12% j =

�1 + 0:12

365

�365 � 1 = 0:127 47

4.58.- Calcular a) j 4 equivalente a j 2 = 8%, b) j 2 equivalente a j 4 = 8%, c)j 4 equivalente a j 12 = 8.05%, d) j 2 equivalente a j 52 = 11%, e) j 12 equivalente

a j 2 = 18 14 , f) j 365 equivalente a j 4 = 12.79%, g) j 12 equivalentea j1 = 15%, h) j1 equivalente a j 1 = 13%.

a) (1+ j44 )

4= C(1+ 0.082 )

2

4 log�1 + j4

4

�= log (1:04)

2

log�1 + j4

4

�= log

�1:044

�2�1 + j4

4

�= anti log

hlog (1:04)

2

4

ij44 = anti logf

hlog (1:04)

2

4

i� 1g

j4 = anti logfhlog (1:04)

2

4

i� 1g4

j4 = 0:0792

4.59.- ¿Qué tasa de interés simple es equivalente a j 12= 13 12% si el dinerose invierte durante 2 años?

c [1 + i (2)] = c(1 + j1212 )

24 [1 + 2i] = (1 + :13512 )

24

2i =�1 + :135

12

�24 � 1 i =(1+ :135

12 )24�1

2 = 0:154 004.60.- Para determinada tasa nominal j 12 = 12i, calcular la tasa equivalente

a) j 1 , b) j 2 , c) j 4 , d) j 52 , e) j 365 , f) j1:a) (1 + j12

12 )12 = c(1 + j1

1 )1

(1 + 12i12 )

12 = 1 + j1 (1 + j)12 = 1 + j1 j1 = (1 + i)12 � 1

b) c(1 + j1212 )

12 = c(1 + j22 )

12

�1 + 12i

12

�12= 1 + j2 (1 + i)

12= 1 + j2 j2 = (1 + i)

12 � 1

c) c�1 + j4

4

�= c (1 + i)

4j4 =

h(1 + i)

3 � 1i4

d) c�1 + j12

12

�12= ce:15

8

4.61.- Oliva debe pedir prestados $1000 durante 2 años. Se le ofrece el dineroa a) 13% compuesto mensualmente, b) 13 14% compuesto

semestralmente, c) 14 12% de interés simple. ¿Cuál oferta debeaceptar?

c�1 + j12

12

�24= c

�1 + :1325

2

�424 log

�1 + j12

12

�= log

�1 + :1325

2

�4�1 + j12

12

�= anti log

�log(1+ :1325

2 )4

24

�j12 = anti logf

�log(1+ :1325

2 )4

24

�� 1g12

j = 12

e

�1+ :1325

224

�4

!= 14: 334

4.62.- ¿Qué tasa da el máximo rendimiento y cuál el mínimo, en una inver-sión? a) j 12 = 15%, j 2= 15 12%, j 365 = 14.9%; b) j 12= 16%

j 2= 16 12%, j 365 = 15.9%.a) j 12=15% b)

j 12=16%c (1 + j) = c

�1 + j12

12

�12c (1 + j) =

c�1 + j12

12

�121+j =

�1 + :15

12

�121+

j =�1 + :16

12

�12j =

�1 + :15

12

�12�1 = 0:160 75 j =�1 + :16

12

�12 � 1 = 0:172 27j 2=15 12% j 2=16 12%

c (1 + j) = c�1 + j2

2

�2c (1 + j) =�

1 + j22

�21+j =

�1 + :155

2

�21+

j =�1 + :165

2

�2j =

�1 + :155

2

�2�1 = 0:161 01 j =�1 + :165

2

�2 � 1 = 0:171 81j 365 j 365=15.9%

c (1 + j) = c�1 + j365

365

�365c (1 + j) =

c�1 + j365

365

�3651+j =

�1 + :149

365

�3651+

j =�1 + :159

365

�365j =

�1 + :149

365

�365�1 = 0:160 64 j =�1 + :159

365

�365 � 1 = 0:172 309

4.63.- Un banco paga 12% anual en sus cuentas de ahorros. Al �nal de cadatres años se paga un bono de 2% sobre el saldo en ese

momento. Calcular la tasa efectiva anual de interés que gana uninversionista , si el depósito se retira a) en 2 años, b) en 3 años

c) en 4 años.b)(1 + :12)3 (1 + 0:2) = (1 + j)3

log (1 + j) = log 1:433026563

j =hanti log

�log 1:43302656

3

�i� 1

j =�e(

log 1:433026563 ) � 1

�= 0:127 42

c) (1 + :12)3 (1 + 0:02) (1 + :12) = (1 + j)4

4 log (1 + j) = log (1:6049)

1 + j = anti log�log 1:6049

4

�j = anti log

�log 1:6049

4

�� 1

j =�e(

log 1:60494 ) � 1

�= 0:125 54

4.64.- Si j 2 y j 2 + 0.0025 son tasas de interés equivalentes, calcular j 2 .c (1 + j1) = c

�1 + j2

2

�2(1 + j2 + 0; 0025) =

�1 + j2

2

�2(j2 + 1:0025) = 1 + j2 +

j24

j24 = 0:0025 � 4 = 0:010j2 =

p0:010 = 0:10

4.65.- Una empresa de crédito ofrece certi�cados de inversión garantizadaque pagan j 2 = 8.9% y j 1 = 9%. ¿Cuál opción produce

la mayor tasa efectiva anual de interés?j 2= 8.9% j 1=9%

c (1 + j) = c�1 + :089

2

�2c (1 + j) =

c�1 + :09

1

�11+j =

�1 + :089

2

�21+

j = (1:09)

j =�1 + :089

2

�2�1 = 0:090 98 j =1:09� 1 = 0:094.66.- Se deja invertida una suma de dinero durante 3 años. En el primer

año gana interesés de j 12= 15%. En el segundo año, latasa de interés ganado es j 4 = 10%, y en el tercer año, la tasa de

interés cambia a j 365 = 12%. Calcular la tasa nivelada deinterés, j 1 , que produciría el mismo valor acumulado al �nal de tres

años.

10

c�1 + :15

12

�12 �1 + :10

4

�4 �1 + :12

365

�= c (1 + j1)

3

1:444583388 = (1 + j)3

log 1:444583388 = 3 log (1 + j)log (1 + j) = log 1:444583388

3

1 + j = anti log�log 1:444583388

3

�j =

�e(

log 1:4445833883 ) � 1

�= 0:130 44

4.69.- ¿Qué tasa de interés simple equivale a la fuerza de interés o= 7%, siel dinero se invierte durante 5 años?

ce(:07)5

= c [1 + (i) (5)]

i = e:35�15 = 8: 381 4

4.70.- El banco A tiene una tasa de interés anual efectivo de 10%. El bancoB tiene una tasa de interés nominal de 9 34%. ¿Cuál

es la frecuencia mínima de composición para que la tasa del bancoB sea tan atractiva como la del banco A?

c (1 + 0:10) = c�1 + 0:0975

n

�n1:10 = c

�1 + 0:0975

2

�2= 1: 099 9

1:10 = 1:09991:10 =

�1 + 0:0975

3

�3= 1: 100 7

4.71.- Una compañía de seguros ofrece pagarle su seguro de vida con $100 alprincipio de cada año o $51.50 al principio de cada

semestre. Dicen que la tasa de interés subyacente en este cálculo esj 2 = 3%. ¿Cuál es el valor real de j 2?

100 = (100� 51:1)�2 + j2

2

�100

(100�51:1) = 2 +j22

f�

100100�51:1

�� 2g2 = j2

2�10048:6 � 2

�= 0:115 23

4.73.- Un fondo gana interés a la tasa nominal de 8.04%, compuesto trimes-tralmente. Al �nal de cada trimestre, justo después de

acreditar los intereses, se hace un cargo por gastos, igual a 0.50% delfondo. Calcular el rendimiento anual efectivo que obtiene el fondo.

c�1 + :0804

4

�4 �1� :005

4

�4= c (1 + j)

(1:082856706) (0:995009367) = (1 + j)1:0774525566 = 1 + j1:077452566� 1 = jj = 0:077452565 = 7: 745 3

CALCULO DE LATASA

11

4.90.- Calcular la tasa nominal compuesta trimestralmente, para que $2,000se incrementan a $3,000 en 3 años 9 meses.

M = C (1+ JNN )

N

JN = Afanti log�log M

C

N

�� 1g

JN = 4fanti log�log 3000

2000

15

�� 1g

J = 4

e

�log 3000

200015

�� 1!= 0:109 60

4.91.- Calcular j 12 con la que $100 acumularán $50 de intereses en 4 años7 meses.

M = C (1+ JnN )

n

j12 = nfanti log�log M

C

N

�� 1g

j12 = 12fanti log�log 150

100

55

�� 1g

j = 12

e

�log 150

10055

�� 1!= 8: 879 2

4.92.- Juan depósito $1000 hace tres años y medio. Hoy tiene en su cuenta$1581.72. ¿Qué tasa de interés compuesto semestralmente

ganó en su depósito?

j2 = 2�anti log

�log 1581:72

1000

7

�� 1�

j = 2

e

�log 1581:72

10007

�� 1!= 0:135 39

4.93.- A) ¿A qué tasa de interés anual efectiva se triplicará el dinero en 15años? b) ¿A qué tsa compuesta trimestralmente una inversión

aumentará 50% en 4 años? c) ¿A qué tasa compuesta diariamenteuna inversión duplicara su valor en 5 años? d) ¿A qué tasa compuesta

continuamente un depósito de $1000 acumulará $250 de interesesen 30 meses?

a) c (1 + j)15 = 3c

15 log (1 + j) = log 3log (1 + j) = log 3

15

j = anti log�log 315

�� 1

j =�e(

log 315 ) � 1

�= 7: 599 0

b) c�1 + J

4

�16= 1:5c

16 log�1 + j4

4

�= log 1:5�

1 + j44

�= fanti log

�log 1:516

�g

12

j4 = 4fanti log�log 1:516

�� 1g

j = 4�e(

log 1:516 ) � 1

�= 0:102 66

c) c�1 + j360

360

�= 2c

j360 = 360fanti log�log 21800

�� 1g

j = 360�e(

log 21800 ) � 1

�= 0:138 66

d) j = 360�anti log

�log 1000

1250

900

�� 1�

j = 360

e

�log 1000

1250900

�� 1!= �8: 924 6

4.94.- La población de un municipio era de 200 000 en 1970, y de 250 000en 1980. Estimar el aumento de la población de ese municipio

entre 1990 y 1995.

M = C (1+i)n

M = 250000 (1 + 0:02256)10= 3: 124 8� 105

3: 124 8� 105 (1 + 0:2256)5 = 8: 641� 1053: 124 8� 105 � 8: 641� 105 = �5: 516 2� 105

4.95.- El 1 de enero se depositaron $500 000 en el fondo X y $50 000 en elfondo Y. no hay depósitos previos. El fondo X gana interés

compuesto con tasa anual i. El fondo Y gana interés simple anualde (i+0.01). El 1 de abril se hace un depósito más de $50 000 en el

fondo Y. En el X ya no hacen más depósitos. El 31 de diciembre lasuma de los valores en los fondos X y Y es $642 000. Calcular i.

0:175x� 87500 + x1:175x = 628625x = 535000y = 10700535000500000 � 1 = ii = 0:07

4.96.- Calcular la tasa anual real de rendimiento en los siguientes pares detasas anuales de interés i y de tasa anuales de in�ación r,

respectivamente: a) i=6%; r=2%; b)i=8%;r=4%; c) i=10%; r=6%.a) i real = i�r

1+r =0:06�0:021+0:02 = 0:04

1:02 = 3: 921 6� 10�2

b) i real = i�r1+r =

0:10�0:061+0:06 = 0:04

1:06 = 3: 773 6� 10�2

CALCULO DELTIEMPO

13

4.97.- Suponiendo que se toma en cuenta el interés compuesto para la partefraccionaria de un periodo de inversión, ¿cuánto tardarán

a) $1800 en acumularse hasta $2200 a j 4= 8%? b) $100 enacumularse hasta $130 a j 2= 9%? c) $500 en acumularse a $800 a j 12=12%?

n =log(MC )log(1+i) a) n = log(

22001800 )

log(1+ 0:084 )

4.99.- Usando logaritmos, calcular el tiempo que tardara en a) duplicar elvalor un depósito a j 1=19.56%, b) duplicar el valor de una inversión

a 15% compuesto diariamente, c) $800 aumentar a $1500 a j 2=9.8%,d) triplicarse una inversión a 15% compuesto continuamente.

a) n = log ( MC )log (1+i) n =

log( 21 )log(1+ 0:1956

1 )= 3: 880 0 = 3

años,10 meses, y 16 días.

b) n = log( MC )log (1+i) n =

log( 21 )log(1+ 0:15

365 )= 1687:0 dias

c) n = log( MC )log(1+i) n =

log( 1500800 )log(1+ 0:098

2 )= 13: 141 = 6

años, 6 meses, y 25 días.4.100.- El 1 de enero de 1980 se depósitaron $500 en una cuenta que paga

12% compuesto semestralmente. El 1 de enero de 1893 se depósitaron$400 en otra cuenta que paga 15 12% compuesto anualmente.

Calcular el tiempo para que en las dos cuentas haya el mismo valor, si se usael método exacto para fracciones de un periodo de interés.

500�1 + 0:12

2

�6= 709: 26

709:26�1 + 0:12

2

�2n= 400 (1 + :115)

n

1:77314875�1 + 0:12

2

�2n= (1 + 0:115)

n

log 1:77314875 + 2n log2 (1:06) = n log (1:55)0:24874517 + 0:05061173n = 0:062581984n0:24874517 = 0:062581984n� 0:05061173n0:011975254n = 0:24874517n = 0:24874517

0:011975254 = 20: 7724.101.- Determinar cuánto tiempo se deben dejar $100 para que se acumulen

en j 12=18%el doble del valor de otros $100 depositados al mismotiempo a j 2=10%.100

�1 + 0:18

12

�6n= 200

�1 + 0:10

2

�n0:5�1 + 0:13

12

�6n=�1 + 0:10

2

�nlog 0:5 + 6n log (1:015) = n log (1:05)�0:301029995 + 0:038796253n = 0:021189299n�0:301029995 = 0:17606954n

14

n = �0:301029995�0:17606954 = 1: 709 7=2 = 0:854 85

4.102.- Si el costo de la vida aumenta 8% por año, ¿cuánto tiempo tardárael poder de compra de $1 en caer a 60 centavos?

n = log( MC )log (1+i)

n =log( 0:601 )log(1+ 0:08

1 )= 6: 637 5

4.103.- Si una inversión se duplica a determinada tasa de interés compuestocontinuamente en 5 años, ¿cuánto tardará en triplicar su valor?

j365 = fanti log�log 2

1

1825

�� 1g365

j = 365

e

�log 2

11825

�� 1!= 0:138 66

n =log( 31 )

log(1+ 0:1307365 )

= 3068: 6 = 7:9228 a~nos:

4.104.- ¿En qué fecha se acumularán a $1250, cuando menos, $1000 deposi-tados el 20 de noviembre de 1995, a 12 12% compuesto diariamente?

n =log( 12501000 )

log(1+ 0:1250365 )

= 651: 69

4.105.- La cuenta A inicia hoy con $100 y paga j 1=4%. Después de 2 añosse depositan otros $25 en ella. La cuenta B se abre dentro de un año,

con un depósito de $95 y paga j =8%.¿Cuándo (en años y días) lacuenta B tendrá 1 12 veces el valor acumulado en la cuenta A, si se considera

el interés simple para una parte de un año y se usa tiempoexacto/interés exacto?

100 (1 + 0:04)2= 108: 16

95 (1 + 0:08) = 102: 61:5 [133:16 (1 + 0:04)

n] = 102:60 (1 + 0:08)

n

199:74 (1:04)n= 102:60 (1:08)

n

199:74102:60 (1:04)

n= (1:08)

n

1:9467 (1:04)n= (1:08)

n

0:289299028 + 017033334n = 0:0333423755n0:289299028� 0:033123755n = 0:017033339n0:289299028 = 0:016390416nn = 0:289299028

0:016390416 = 17: 65 + 2 = 19: 65n = 19 a~nos 233 d�{as:

ANUALIDADES

15

5.43.- Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de$3000 por año, durante 7 años, si el dinero vale a) j 1=8%, b) j 1=10 13

c) j 1=17.29%.S = R (1+i)n -1

i

a) S = 3000(1+ 0:08

1 )7�1

0:08 = 26768:

b) S = 3000(1+ 0:1075

1 )7�1

0:1075 = 29125:

c) S = 3000(1+ 0:1729

1 )7�1

0:1729 = 35634:

5.44.- Calcular el valor acumulado de: a) $500 mensuales durante 4 años 3meses, a 10% compuesto mensualmente; b) $800 trimestrales

durante 6 años 3 meses a 14 14% compuesto trimestralmente; c)$1000 cada semestre durante 10 años a 12.23% compuesto semestralmente.

S = R (1+i)n -1i

a) S = 500(1+ 0:10

12 )51�1

0:1012

= 31614:

b) S = 800(1+ 0:1425

4 )25�1

0:14254

= 31420:0

c) S = 1000(1+ 0:1223

2 )20�1

0:12232

= 37244:

5.45.- Lucy depósita $100 cada tres meses, en una cuenta de ahorros quepaga intereses de j 4 = 6%. Si hace su primer depósito el 1 de julio de 1993,

calcular sus ahorros totales justo antes de que haga el depósito deenero de 1996.

S = R (1+J)n -1i

S = 100(1+ 0:06

4 )11�1

0:064

= 1186: 3

5.46.- ¿A qué pago único equivalen mil dólares al �nal de cada año durante5 al �nal de los 5 años, si los intereses son de a) j 1= 5 14%, b) j 1= 10%?

S = R (1+J)n -1i

a) S =1000 (1+ 0:0525

1 )5�1

0:05251

= 5: 553 3

b) S = 1000(1+ 0:10

1 )5�1

0:10 = 6105: 15.47.- Calcular el valor acumulado de depósitos trimestrales de $300 cada

uno, inmediatamente después del 32o. Depósito, si los depósitos ganaronintereses de j 4 =10% durante los primeros 5 años, y de j 4 =12%

durante los ultimos 3 años.S = R (1+ I

N )n -1

i

S = 300(1+ :10

4 )20�1

:104

= 7663: 4

16

7663:4�1 + :12

4

�12= 10926:

S =300 (1+0:03)12�1

0:03 = 4257: 610926 + 4257: 6 = 15184:

5.48.- Juan hace depósitos periódicos de $500 al �nal de cada semestre, du-rante 5 años, y después de $800 durante los tres años siguientes. Calcular

el valor acumulado de sus depósitos, si los intereses son j 2=11%.

S = R (1+ iN )

n -1i

S = 500(1+ 0:11

2 )10�1

0:112

= 6437: 7�1 + 0:11

2

�6= 8876: 6

S = 800(1+ 0:11

2 )6�1

0:112

= 5510: 4

8876: 6 + 5510:4 = 14387:5.49.- Pablo ha depósitado $1000 en una cuenta de ahorros que paga intereses

de j 1=10%, y ahora encuentra qué su depósito ha aumentado hasta$1610.51. Si hubiera podido invertir los $1000 durante el mismo peri-

odo en un certi�cado de inversión garantizada que paga intereses de j 2=13 14%y depósitado ese interés en su cuenta de ahorrros ¿Hasta qué valor

se hubieran acumulado esos $1000 ahora?S = R (1+J)n -1

i

n = log MClog(1+i) =

log 1610:511000

log(1+0:1)

1000�1 + 0:1325

2

�2= 1136: 9

S = 1136: 9 (1+0:10)5�1

0:10 = 6940: 96940: 9 + 1136: 9 = 8077: 8

5.50.- A partir del 30 de junio de 1992, y cada tres meses hasta el 31 dediciembre de 1996. Laura depósita $300 en su cuenta de ahorros. A partir del30

de septiembre de 1997 hace retiros trimestrales de $500. ¿Cuál seríael saldo en su cuenta después del retiro del 30 de junio de 1999, si los intereses

son a j 4 =8% hasta el 31 de marzo de 1995, y de j 4=6% en adelante?

S = 300(1+ 0:08

4 )12�1

0:084

= 4023: 6

4023: 6�1 + 0:06

4

�7= 4465: 6

300(1+ 0:06

4 )7�1

0:064

= 2196: 9

4465:6 + 2196:9 = 6662: 56662:5

�1 + 0:06

4

�2= 6863: 9

A = 5001�(1+ :06

4 )�8

:064

= 3743: 0

6863: 9� 3743:0 = 3120: 93120:9

�1 + :06

4

�8= 3515: 7

17

OTRASANUALIDADES SIMPLES

5.89.- Al principio de cada medio año se hacen depósitos de $500 durante 5años, en una cuenta que paga j 2=6%. ¿Cuánto hay en la cuenta a) al �nal

de 5 años? b) justo antes de su 6o. depósito?S = R (1+i)n -1

i

S = 500�1 + 0:06

2

�10 � 1 = 670: 96S = 500

(1+ 0:062 )

5�10:062

= 2654: 6

5.90.- La renta mensual de una casa en un pueblo es de $520, pagaderos alprincipio de cada mes. Si el dinero vale j 12 =9%, a) ¿Cuál es la renta

anual equivalente pagadera por adelantado? b) ¿Cuál es el equivalentede 5 años de renta al contado?

S = R (1+i)n -1i

S = 520(1+ 0:09

12 )12�1

0:0912

= 6503: 9

S = 5201�(1+ 0:09

12 )�60

0:0912

= 25050:0

5.91.- Una deuda de $1000 con intereses de j 12=18% se va a pagar durante18 meses, con pagos mensuales iguales, el primero de los cuales

se vence hoy. Calcular el pago mensual.R = A (i)

1-(1+i)- n -1

R = 1000( 0:1812 )

1�(1+ 0:1812 )

�18 = 63: 806

5.92.- Dentro de 5 años, una empresa necesitará $150000 para cambiar suequipo usado. A partir de hoy ¿Cuántos depósitos mensuales deben

hacerse en un fondo que paga j 12 =8% durante 5 años, paraacumular esa suma.

R = S (i)(1+i)n -1

R = 150000( 0:0812 )

(1+ 0:0812 )

60�1= 2041: 5

5.93.- La prima de una póliza de seguro de vida se puede pagar por adelantadoanualmente o mensualmente. Si la prima anual es $120¿Qué

prima mensual equivaldría a j 12=11%?A = R 1-(1+i)- n

i

R = 120

�1�(1+ 0:11

12 )�12�

0:1112

= 1357: 7

5.94.- Una póliza de seguro paga una indemnización por muerte de $100000,ya sea puede ser en un solo pago total, o en cantidades iguales durante

18

10 años, al principio de cada mes. ¿De cuánto deben ser esos pagosmensuales para que j 12= 10%?

S = R (1+i)n -1i

R = 1000000:1012

(1+ 0:1012 )

12�1= 7958: 3

488�1 + 0:10

12

�121= 1332:0

5.95.- Un corredor de bienes raíces renta una o�cina por $5800 cada tresmeses, que le pagan por adelantado. De inmediato invierte la mitad de cada

pago en un fondo que paga 13% compuesto trimestralmente. ¿Cuántohay en fondo a �nal de 5 años?

S = R (1+i)n -1n

S = 2900(1+ 0:13

4 )21�1

0:134

= 85434:

5.96.- Se compra un refrigerador con $60 de enganche y $60 mensuales du-rante 15 meses. Si se cargan intereses de j 12 =18 12%, ¿Cuál es el

precio al contado del refrigerador?A = R 1-(1+i)- n

i

A = 60

�1�(1+ :185

12 )�15

0:18512

�= 798: 06 + 60 = 858: 06

5.97.- José �rmó un contrato que exige pagos de $500 al principio de cada6 meses, durante 10 años. Si el dinero vale j 2=13%, calcular el valor de lospagos

que restan a) justo después de que hace el 4o. pago, b) justo antes dehacer el 6o. pago. c) S i después de hacer los tres pagos no hiciera lo siguiente

tres, ¿Cuánto deberiá pagar cuando se venza el siguiente (septimó)pago, para estar al corriente?

S = R (1+i)n -1i

S = 500(1+ 0:13

2 )20�1

0:132

= 19413:

5.99.- Calcular el valor descontando de una anualidad ordinaria diferida 3años 6 meses, que paga $500 semestrales durante 7 años, si el interés es a) 17%

anual compuesto semestralmente, b) 7% anual compuesto semestral-mente.

A = R 1-(1+i)- n

i

A = 5001�(1+ 0:17

2 )�7

0:172

= 2559: 3

b) A = 5001�(1+ 0:07

2 )�7

0:072

= 3057: 3

5.100.- Calcular el valor, el 1 de julio de 1989, de pagos anuales de $500durante 6 años, si el primer pago es el 1 de enero de 1993 y el interés es

19

a)11 14% pagadero semestralmente, b) 9% anual pagadero semes-tralmente.

S = R (1+i)n -1i

S = 500(1+ 0:1125

2 )20�1

0:11252

= 17668:

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