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コイン投げ100回（レポート課題付き）

私達の身の回りで起こる現象には、不確実（ランダム）な要素が含まれているのが普通です。

しかし、身の回りの現象を、何度も繰り返し経験することはできません。

そこで、確率実験を通して、ランダムについて学んでゆきます。

ランダム(random) とは？

結果を確実に言い当てることのできない現象をランダムな現象という。

ランダムにも、程度の差があり、

1. コインやサイコロのように、確率がほぼ分かっているランダム。

ペットボトルのフタを投げるときには、確率が想像できない。

2. 確率分布の形状しか分らないランダム。

3. 確率分布の形状さえ、はっきりしないランダム。 2

3

確率はランダム（不確実）な現象を理解するのに必要な考え方．

「確実に起こらないこと」や「確実に起こること」は、わかりやすい。

しかし、起こったり、起こらなかったりするややこしい現象を、ランダム（不確実）な現象と呼ぶことにしよう。

ランダム（不確実）な現象を、どう取り扱うかについて、昔の人々は悩んで、確率の考え方を導入したのです。

不確実な現象の中でも、最も単純な、コイン投げを取り上げ、確率とランダムの関係を説明する。

確率とランダムとの関係を体験しよう。

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ランダムな現象の例

コイン（サイコロ）投げ（実際にやってみると，意外な発見がある）．

1. フランスの博物学者ビュフォン(1707-88)は4040回投げて2048回表が出た．

2. イギリスの数学者カール・ピアソン(1857-1936)は24000回投げ12012回表だった．

天気予報の降雨確率、宝くじの当選番号。

身の回りの現象も、サイコロやコイン投げと同じように起こると考えてよいのだろうか？

私たちはランダムを勘違いしてはいないか？

人類はこれまで、様々な現象の規則性を発見しながら、進歩してきた。

ランダムの中にも、一定の規則があり，確率法則と呼ばれる。

一度、純粋にランダムな現象であるコイン投げ、あるいは、サイコロ投げを体験してみよう。

5

6

宝くじ当選番号

宝くじの当選番号は，完全にランダムな現象である．言い換えると，完全なランダムになるように苦労を重ねて確立した抽選方法を用いている．

しかし，人はそれにランダム以外の法則を見いだそうと努力する．

完全にランダムな現象でも，ある番号が出やすいといった、傾向が存在しているのかもしれない。

そこで、私たちが考えるランダムなコイン投げと、可能な限りランダムになるようにしたコイン投げを比較してみよう。

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コイン投げの際のランダム性

完全なランダムとは：表の出る確率と裏がでる確率がそれぞれ 0.5 であり，以前の表裏の出方が次に全く影響を与えない．

中途半端なランダムとは：コインの回転数不足のうえに，漫然と同じ投げ方をしていると，直前の結果が次に影響を与える可能性が否めない．コインを机のうえで回転させると，コインの形状が影響を及ぼす．

完全なランダムにするには，通常人が文句を言わないようにすればよいが、これは難しい。

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捏造ランダムと実験ランダムとの差はどこにあるのか（レポート課題１）

コインを投げずに、100回のコイン投げデータを捏造してみよう。表ならH(head)、裏ならT(tail)と書き込んでゆこう。

次に，十分回転を付けることを心がけ，実際に100回投げ、同様に記録して行こう。

両者を，様々な方向から，比較してみよう．

実際のランダムは、捏造されたランダムと、どこが違うのか．

はたして、捏造を見破ることはできるのだろうか？

自分のデータを比較して、法則を見つけよう。

たとえば、“表の出た数が、50に近い方が捏造データである”、のような法則を見つけてみよう。

ほかにも、“10回毎の合計が散らばっている方が捏造である”、“連の長さの最大が大きい方が捏造である”、といった法則が考えられる。

自分でも何か考案してみよう。

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表の出た回数を比較する-1

去年までのデータでは

10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

表の数の比較（119人データ）

捏造データ

実験データ

表の出た回数を比較する-2

去年までのデータでは

11

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

20回中表の数（119人データ）

捏造 実験

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連の長さに注目しよう

コイン投げで，表が出たらH、裏が出たらTと記録するとしよう．

すると、結果は THHTTTHHHHT・・・のように表される．

表の出た回数と裏の出た回数ではなく，同じ面がどの程度連続するかに注目してみよう．

THHTTTHHHHT ・・・・では，長さ１の連(T)に続き，長さ２(HH)の連，長さ３(TTT)の連，長さ４の連(HHHH)が続いている．

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連の長さの度数分布表を作ろう

捏造データ

連の長さ 度数 累積度数 相対度数累積相対度

数

1 30

2 10

3 6

4 4

5 1

6 1

7 0

8以上 0

合計(Σ) 52

304046

5051525252

長さが３以下の連の数

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連の長さの度数分布表を作ろう

捏造データ

連の長さ 度数 累積度数 相対度数累積相対度

数

1 30 30

2 10 40

3 6 46

4 4 50

5 1 51

6 1 52

7 0 52

8以上 0 52

合計 52

58.05230

19.05210

15

連の長さの度数分布表を作ろう

捏造データ

連の長さ 度数 累積度数 相対度数 累積相対度数

1 30 30 0.58

2 10 40 0.19

3 6 46 0.12

4 4 50 0.08

5 1 51 0.02

6 1 52 0.02

7 0 52 0.00

8以上 0 52 0.00

合計 52

58.05230

77.05240

88.05246

16

連の長さの度数分布表を作ろう

捏造データ

連の長さ 度数 累積度数 相対度数累積相対度

数

1 30 30 0.58 0.58

2 10 40 0.19 0.77

3 6 46 0.12 0.88

4 4 50 0.08 0.96

5 1 51 0.02 0.98

6 1 52 0.02 1.00

7 0 52 0.00 1.00

8以上 0 52 0.00 1.00

合計 52

17

グラフを作り，比較する

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

連の長さの分布比較

相対度数（捏造）

相対度数（実験）

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1 2 3 4 5 6 7 8以上

連の長さの累積分布比較

累積相対度

数（捏造）

累積相対度

数（実験）

18

連の長さの理論値を考えよう

理論値

連の長さ 相対度数 累積相対度数

1

2

3

4

5

6

7

8以上

合計

実際にコインを投げて観察しよう

19

最初の面

違う面

同じ面

違う面

同じ面

2

1

2

12

1

2

1

連の長さ1

連の長さ2

再度投げる

同様の作業を繰り返すと、

最初の面

違う面

同じ面

違う面

同じ面

違う面

同じ面

違う面

同じ面

20

連の長さ1

連の長さ2

連の長さ３

21

連の長さの理論値を考えよう

理論値

連の長さ 相対度数 累積相対度数

1 0.5 0.5

2 0.25 0.75

3 0.125 0.875

4 0.0625 0.9375

5 0.03125 0.96875

6 0.015625 0.984375

7 0.0078125 0.9921875

8以上 0.0078125 1

合計 1

連の数についても考えよう

最初の面

違う面

違う面違う面

最初の面

最初の面違う面

最初の面

最初の面

違う面最初の面

違う面

最初の面違う面

最初の面 22

23

グラフを作り，比較する

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

連の長さの分布比較

相対度数（捏造）

相対度数（実験）

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1 2 3 4 5 6 7 8以上

連の長さの累積分布比較

累積相対度

数（捏造）

累積相対度

数（実験）

連の数を比較する

24

0

2

4

6

8

10

12

14

16

35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91

連の数の分布

捏造データ

実験データ

連の最大長を比較する

25

0

10

20

30

40

50

60

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

最長の連の長さの分布

捏造データ

実験データ

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コイン投げによるランダムウォーク

コインを投げて，表(H)裏(T)を記録する．

表ならば１ポイント儲け(＋１)，裏ならば１ポイント損をする(－１)と考える．

この作業を繰り返すときの累積ポイントはどのようになるのだろうか？

エクセルでは，=IF( RAND()>0.5,1, -1)とすればランダムな ( 1, －1) を発生できる．

27

ランダムウォークの作成法

表なら１、裏なら－１

28

ランダムウォークの作成法

29

頭とコインのランダムによる

頭で考えて作成したランダムな系列から作られるランダムウォークと，コインを投げて作成したランダムな系列から作られるランダムウォークとを，グラフを描くことにより比較せよ．

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

酔歩(ランダムウォーク)の比較

捏造

実験

捏造・実験データの比較(53名)

30

31

ランダムウォークの実現例-1ランダムウォーク

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249

32

ランダムウォークの実現例-2ランダムウォーク

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249

33

ランダムウォークの実現例-3ランダムウォーク

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249

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ランダムウォークの実現例-4ランダムウォーク

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249

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レポート提出期限と注意事項

期限：５月10日（月曜日）中

提出先：第１学舎授業支援ステーション

配布プリントを完成し、レポート用紙（A4）に感想・比較方法等を書いて（８００字程度）、合計５枚を提出すること。

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いろいろ考えてみよう

ゲームなどで、連続して起こる現象（連勝、連敗）は，何らかの流れがあるのか、それとも、全くのランダムなのか。

株価の変動も，なにか理由があってのことか、それともランダムなのか。実際のところ分からない。

私たちが、身の回りの不確実な現象について考えるとき、参考になるのではないか。

不確実な現象は、確率を伴う。数多く観察すると、それぞれの事象の起こる割合は、それぞれの確率に近付くが、近づき方はランダムなのである。

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連の長さの度数分布表を作ろう

捏造データ

連の長さ 度数 累積度数 相対度数累積相対度

数

1 30

2 10

3 6

4 4

5 1

6 1

7 0

8以上 0

合計 52

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連の長さの理論値を考えよう

理論値

連の長さ 相対度数 累積相対度数

1

2

3

4

5

6

7

8以上

合計