f1b aula21

Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 - AULA 21

Aula 21 Energia Cinetica e Trabalho noMovimento Retilneo

Objetivos

Aprender a denic ao de energia cinetica de uma partcula em movimentoretilneo e entender o seu signicado.

Aprender o que e trabalho realizado por uma forca durante um intervalo detempo do movimento retilneo de uma partcula.

Demonstrar o Teorema da Energia Cinetica no caso particular de movimen-tos retilneos.

Compreender o conceito de trabalho realizado por uma forca num desloca-mento de uma partcula cuja trajetoria e retilnea.

Aprender a denic ao de forca conservativa no caso de movimentos retilneose entender seu signicado.

Introducao

Vamos estudar o movimento de uma partcula de massa m na presenca decorpos cujos movimentos sao conhecidos. Nesse caso, como ja foi discutido ante-riormente, a forca total F e uma func ao da posic ao e velocidade da partcula e doinstante de tempo em que estamos considerando todas essas grandezas. Como decostume, representaremos a posic ao e a velocidade da partcula em estudo por r ev, respectivamente, e a func ao-forca por F . Desse modo, a situac ao consideradae descrita pela expressao:

F = F(r,v, t) , (21.1)em que t e um instante generico. A Segunda Lei de Newton determina a acelerac aoa da partcula a partir dessa forca e, portanto, estabelece uma relac ao entre suaposic ao, sua velocidade e sua acelerac ao no instante t:

m a = F = F(r,v, t) . (21.2)

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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo

Como sempre, nosso problema primordial e determinar os movimentos quea partcula pode executar sob a ac ao da forca F. A ciencia da Mecanica procurametodos que auxiliem na soluc ao desse problema. Veremos, na proxima sec ao,que e possvel utilizar a Segunda Lei de Newton (21.2) para eliminar a acelerac aoda partcula, de modo a obtermos uma relac ao importante envolvendo apenas a suaposic ao e a sua velocidade. Essa relac ao, chamada teorema da energia cinetica,leva-nos aos conceitos de energia cinetica e de trabalho realizado por uma forcadurante um movimento. Esse teorema da informac oes uteis sobre o movimentoem muitos casos de importancia e, em alguns deles, pode mesmo possibilitar asoluc ao completa do problema fundamental da Mecanica. Estamos particular-

As definicoes precisas de energiacinetica e forca conservativa emmovimentos unidimensionaisserao dadas ao longo desta aula,enquanto as definicoes de energiapotencial e energia mecanicaserao fornecidas na proxima aula.

mente interessados no caso em que as forcas sao de um tipo especial, chamadasforcas conservativas. Nesse caso, somos levados ao conceito de energia potenciale ao teorema da conservac ao da chamada energia mecanica da partcula.

Para simplicar, comecaremos nosso estudo da equac ao (21.2), mas consi-derando apenas movimentos retilneos. Com o eixo OX ao longo do movimento,a posic ao, a velocidade e a acelerac ao da partcula sao dadas, respectivamente, porsuas componentes x, vx e ax. Nesse caso, a forca total F que atua sobre a partculapossui componente nao-nula apenas ao longo deOX , ou seja, F = Fxux. Nao hamais necessidade de vetores para estudar o movimento, e a equac ao (21.2) assumea forma mais simples

max = Fx = Fx(x, vx, t) , (21.3)onde denotamos por Fx a func ao que da a componente Fx da forca, em termos daposic ao x, da velocida de vx e do tempo t. A Figura 21.1 ilustra uma partcula emmovimento retilneo no eixoOX e sob a ac ao de uma forca F que tem componenteapenas nesse eixo.

Figura 21.1: Uma partcula em movimento retilneo no eixo OX , no instante emque sua posic ao e r = xux e sua velocidade e v = vxux. Sobre a partcula agea forca total F = Fxux (por motivos de clareza, os vetores v e F nao foramdesenhados sobre o eixo OX ).

Os conceitos e problemas tratados nesta aula e na proxima serao mais pro-fundamente compreendidos nas Aulas 24 e 25, quando considerarmos movimen-tos nao-retilneos. Reciprocamente, o estudo dos movimentos espaciais consi-derados na Aulas 24 e 25 sera facilitado pelo estudo dos movimentos retilneos

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que faremos agora e na proxima aula. O assunto dessas duas aulas sera ilustradocom varios exemplos na Aula 23, antes de passarmos aos movimentos espaciaisconsiderados nas Aulas 24 e 25.

Nesta aula, veremos os conceitos de energia cinetica e de trabalho e de-monstraremos o teorema da energia cinetica. Na proxima aula, consideraremosos conceitos de energia potencial e mecanica e demonstraremos o teorema daconservac ao da energia mecanica.

Teorema da energia cinetica no movimento retilneo

Podemos eliminar a acelerac ao da equac ao (21.3) simplesmente integrandono tempo ambos os membros desta equac ao. Contudo, a relac ao assim obtidanao apresenta vantagens em relac ao a equac ao original (21.3), exceto nos casosparticularssimos em que a forca depende apenas do tempo, como ocorreu noexemplo 6, tratado na Aula 19.

Em lugar de integrar a equac ao (21.3) no tempo, eliminaremos a acele-rac ao desta equac ao usando outro procedimento, de modo a chegarmos a umarelac ao muito fertil em resultados. Para isso, levaremos em conta a denic ao deacelerac ao, ax = dvx/dt, e a regra da cadeia para as derivadas. Temos, entao:

d

dt(v2x) = 2vx

dvxdt

= 2vx ax = ax vx = 12

d

dt(v2x) . (21.4)

Desse modo, multiplicando ambos os membros de (21.3) por vx, obtemos:

max vx = Fx(x, vx, t)vx = m 12

d

dt(v2x) = Fx(x, vx, t) vx . (21.5)

Levando em conta que as constantesm e 1/2 podem ser comutadas com a operac aode derivac ao, podemos escrever a relac ao anterior na forma:

d

dt

(1

2mv2x

)= Fx(x, vx, t) vx (21.6)

ou, em notac ao mais sucinta,d

dt

(1

2mv2x

)= Fx vx . (21.7)

O nome cinetica provem datranscricao latina kinesis para apalavra grega , quesignifica movimento.

Antes de prosseguirmos em nossa analise, atribuiremos nomes a duas gran-dezas importantes que surgiram de nossos calculos. Uma e o semiproduto damassa da partcula pelo quadrado de sua velocidade, chamada energia cineticada partcula e representada por K:

K =1

2mv2x . (21.8)

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Com essa denic ao, o membro esquerdo da equac ao (21.7) e a derivada emrelac ao ao tempo da energia cinetica da partcula, isto e, a taxa instantanea devariac ao temporal da energia cinetica. Vemos, tambem, que a energia cinetica ediferente de zero se, e somente se, a velocidade da partcula nao for nula, isto e,se houver movimento da partcula. Alem disso, ela aumenta com o aumento davelocidade. Por esse motivo, e considerada como uma medida do movimento dapartcula e e tambem chamada energia de movimento.

A outra grandeza importante e o produto da forca total que age sobre apartcula pela sua velocidade. Em geral, se uma forca age sobre uma partcula, oproduto da forca por sua velocidade e chamado potencia fornecida pela forca a`partcula. Na equac ao (21.7), o membro direito e a potencia fornecida a partculapela forca total. Usando essas denic oes, podemos expressar o conteudo daequac ao (21.7) da seguinte forma:

a taxa instantanea de variacao temporal da energia cinetica de umapartcula e igual a` potencia fornecida a` partcula pela forca total queage sobre ela.

Voltemos a equac ao (21.6) para continuarmos a nossa discussao. O membroesquerdo de (21.6) e a taxa instantanea de variac ao temporal da energia cineticada partcula. Essa taxa de variac ao depende do movimento que a partcula estarealizando. Consideremos um movimento possvel qualquer da partcula, dadopela func ao-movimento fx. Nesse caso, a cada instante t, a posic ao e a velocidadeda partcula sao dadas, respectivamente, por:

x = fx(t) e vx =.

fx (t) . (21.9)

Consequentemente, ambos os membros de (21.6) variam com o tempo, e de ummodo bem especicado pelo movimento em considerac ao, dado por fx.

Substituindo a expressao da velocidade da partcula em func ao do tempo,isto e, vx =

.

fx (t), no membro esquerdo da equac ao (21.6), ele se torna umafunc ao do tempo determinada pelo movimento fx da partcula:

d

dt

(1

2mv2x

)=

d

dt

(1

2m [

.

fx (t)]2

), (21.10)

que podemos integrar em um intervalo de tempo generico, digamos [t1, t2]: t2t1 (fx)

d

dt

(1

2mv2x

)dt =

t2t1

d

dt

(1

2m [

.

fx (t)]2

)dt . (21.11)

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O smbolo (fx), escrito junto ao smbolo de integral, signica que o movimentoconsiderado e dado pela func ao-movimento fx e, portanto, a maneira como vx de-pende do tempo e dada por vx =

.

fx (t). A integral (21.11) tem resposta imediata,pois a integral da derivada de uma func ao e dada pela propria func ao. Temos,entao, t2

t1 (fx)

d

dt

(1

2mv2x

)dt=

t2t1

d

dt

(1

2m [

.

fx (t)]2

)dt

=1

2m [

.

fx (t2)]2 1

2m [

.

fx (t1)]2

=1

2mv2x2

1

2mv2x1 , (21.12)

onde vx1 e a velocidade da partcula no instante t1 e vx2, no instante t2:

vx1 =.

fx (t1) e vx2 =.

fx (t2) . (21.13)

Passemos, agora, ao membro direito da equac ao (21.6). Substituindo neleas expressoes da posic ao e da velocidade da partcula em func ao do tempo, isto e,x = fx(t) e vx =

.

fx (t), ele se torna uma func ao do tempo tambem determinadapelo movimento fx da partcula:

Fx(x, vx, t) vx = Fx(fx(t),

.

fx (t), t) .fx (t) . (21.14)

Vamos integrar essa func ao do tempo no intervalo [t1, t2]. Escrevemos t2t1 (fx)

Fx(x, vx, t) vx dt = t2t1

Fx(fx(t),

.

fx (t), t) .fx (t) dt , (21.15)

onde o smbolo (fx) foi novamente escrito junto ao smbolo de integral para indi-car que o movimento considerado e dado pela func ao-movimento fx e, portanto,os modos como x e vx dependem do tempo sao dados por (21.9). Denotaremosesse trabalho por W (t1, t2; fx). Temos, entao,

O smbolo W , para trabalho, temorigem na palavra inglesa quedesigna esse conceito: work.W (t1, t2; fx) =

t2t1 (fx)

Fx(x, vx, t) vx dt . (21.16)

Note que no smbolo do trabalho esta indicado que ele depende do movimentoconsiderado e dos instantes de tempo que denem o intervalo durante o qual otrabalho e calculado.

Agora temos todos os calculos prontos para entender o signicado da igual-dade obtida integrando os dois membros de (21.6), t2

t1 (fx)

d

dt

(1

2mv2x

)dt =

t2t1 (fx)

Fx(x, vx, t) vx dt , (21.17)

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que, em virtude de (21.12), pode ser escrita como:1

2mv2x2

1

2mv2x1 =

t2t1 (fx)

Fx(x, vx, t) vx dt . (21.18)

O membro esquerdo de (21.18) e a variac ao da energia cinetica da partcula du-rante o intervalo de tempo [t1, t2] do movimento considerado, isto e, do movi-mento dado por fx. O membro direito e o trabalho realizado pela forca total sobrea partcula no mesmo intervalo de tempo [t1, t2] do movimento dado por fx. Aigualdade escrita em (21.18) e chamada teorema da energia cinetica. Podemosenuncia-lo, dizendo que

em um movimento retilneo de uma partcula, a variacao de sua ener-gia cinetica em qualquer intervalo de tempo e igual ao trabalho rea-lizado pela forca total que age sobre ela nesse mesmo intervalo, istoe,

K2 K1 = W (t1, t2; fx) , (21.19)onde fx descreve o movimento seguido pela partcula entre os ins-tantes t1 e t2, K2 e a sua energia cinetica no instante t2, e K1, a suaenergia cinetica no instante t1.

Ilustremos os conceitos aprendidos ate o momento com um exemplo no qualvericaremos, em um caso particular, a validade desse teorema que acabamos dedemonstrar, isto e, do teorema da energia cinetica.

Exemplo 21.1

Suponhamos que a forca total sobre uma partcula de massa m seja dadapela func ao-forca

Fx = Fx(x, vx, t) = m2 xm103 vx , (21.20)

na qual e uma constante positiva conhecida. Essa forca total e a soma deuma forca elastica e de uma forca de viscosidade proporcional a velocidade dapartcula. Podemos imaginar que a partcula e uma pequena esfera presa a umamola e imersa em um uido viscoso. Normalmente, a forca elastica e escritacomo k x, mas preferimos escreve-la na forma m2 x, em termos de umaconstante , para dar uma forma mais simples aos calculos que realizaremos.Pelo mesmo motivo, a constante na forca de viscosidade foi escolhida com o va-lor exato10m/3. Os movimentos possveis da partcula sao determinados pelaSegunda Lei de Newton:

max = m2 xm103 vx . (21.21)

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Um movimento possvel da partcula e dado pela func ao-movimento

x = fx(t) = x0 e3 t , (21.22)

onde, obviamente, x0 e a posic ao da partcula no instante t = 0. E simples veri-car que (21.22) e um movimento possvel da partcula. Dessa func ao-movimento,obtemos a func ao-velocidade

vx =.

fx (t) = 3 x0 e3 t (21.23)

e a func ao-acelerac ao

ax =..

fx (t) = 92 x0 e

3 t . (21.24)

Substituindo as expressoes dadas por essas tres func oes na Segunda Lei de Newton(21.21), voce vericara com facilidade que ela se torna uma identidade, isto e, que(21.22) e, de fato, um movimento possvel da partcula.

A variac ao da energia cinetica da partcula em um intervalo de tempo [t1, t2]e obtida facilmente a partir da func ao-velocidade (21.23):

1

2mv2x2

1

2mv2x1 =

1

2m [

.

fx (t2)]2 1

2m [

.

fx (t1)]2 =

=1

2m(3 x0 e3 t2)2 1

2m(3 x0 e3 t1)2 =

=9

2m2 x20

(e6 t2 e6 t1) . (21.25)

No entanto, desejamos calcular essa variac ao usando o trabalho realizado pelaforca (21.20) durante o intervalo de tempo [t1, t2] do movimento (21.22). Usando(21.20), (21.22) e (21.23) na denic ao de trabalho dada por (21.15), obtemos: t2t1 (fx)

Fx(x, vx, t) vx dt = t2t1 (fx)

{m2 xm10

3 vx

}vx dt =

=

t2t1

{m2 (x0 e3 t)m10

3(3 x0 e3 t)}(3 x0 e3 t)dt . (21.26)

A integral resultante e calculada facilmente, t2t1 (fx)

Fx(x, vx, t) vx dt = t2t1

(27m3 x20 e6 t) dt= 27m3 x20

t2t1

(e6 t

)dt

=9

2m2 x20

(e6 t2 e6 t1) , (21.27)

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resultado que coincide com o obtido em (21.25), de acordo com o teorema daenergia cinetica (21.18).

Na expressao (21.27), e evidente que o trabalho depende do instante inicialt1 e do instante nal t2; depende, tambem, do movimento seguido pela partculaentre esses dois instantes. No problema proposto 4, voce tera a oportunidadede constatar esse fato considerando um outro movimento possvel dessa partcula,entre os mesmos instantes t1 e t2. Seria bom que voce resolvesse agoraesse problema.

O teorema da energia cinetica se torna uma ferramenta poderosa para anali-sar movimentos e resolver problemas, no caso em que as forcas sao as chamadasforcas conservativas. Tal tipo de forca sera o tema de nossa proxima sec ao.

Forca conservativa no movimento retilneo

Continuemos a considerar a situac ao da sec ao anterior, na qual o movimentoda partcula e retilneo, ao longo do eixoOX , e a forca tem somente a componenteao longo desse eixo. No entanto, iremos nos restringir aos casos em que a forcanao depende da velocidade da partcula e tampouco do tempo, mas apenas de suaposic ao. Temos, entao,

Fx = Fx(x) . (21.28)Obviamente, continua sendo valido o teorema da energia cinetica (21.18) que,nesse caso particular, toma a forma

1

2mv2x2

1

2mv2x1 =

t2t1 (fx)

Fx(x) vx dt , (21.29)

onde fx e um movimento possvel da partcula. No membro direito da ultimaequac ao, temos o trabalho realizado pela forca total sobre a partcula, forca que,agora, depende apenas de sua posic ao. De acordo com a nossa denic ao de traba-lho durante um movimento dado por fx, temos para o membro direito de (21.29): t2

t1 (fx)

Fx(x) vx dt = x2x1

Fx(fx(t)

) .fx (t) dt . (21.30)

Nesse caso, em que a forca depende apenas da posic ao, e possvel usar a propriafunc ao-movimento fx para fazer a mudanca da variavel de integrac ao t para avariavel de integrac ao x, na integral no membro direito de (21.30). Fazemos, nointegrando, as substituic oes

x = fx(t) e dx =dfx(t)

dtdt =

.

fx (t)dt , (21.31)

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e a troca de limites de integrac ao

x1 = fx(t1) e x2 = fx(t2) . (21.32)

Com isso, temos para (21.30): t2t1 (fx)

Fx(x) vx dt = x2x1

Fx(x) dx . (21.33)

O trabalho no membro esquerdo da equac ao (21.33), denotado anteriormente porW (t1, t2; fx) na equac ao (21.16), e uma integral no tempo, isto e, uma integralcuja variavel de integrac ao e o tempo. Para usar essa variavel na integrac ao, enecessario que o integrando Fx(x) vx seja escrito como func ao do tempo. Paraisso, devemos usar a func ao-movimento, x = fx(t), que expressa a posic ao emfunc ao do tempo, e a func ao velocidade, vx =

.

fx (t), que expressa a velocidadeem func ao do tempo. Fazendo isso, temos o integrando Fx(fx(t))

.

fx (t) e a

integral no membro esquerdo de (21.33) pode ser realizada.Ja no membro direito, o trabalho e dado por uma integral cuja variavel

de integrac ao e a posic ao, de modo que nao se faz necessario o uso da func ao-movimento. Na verdade, a func ao-movimento foi eliminada do calculo do traba-lho por uma mudanca da variavel de integrac ao. Portanto, a integral no membrodireito de (21.30) e uma integral simples na variavel x, do limite de integrac aoinferior x1 ate o limite de integrac ao superior x2. Para uma dada forca, ela de-pende apenas dos limites de integrac ao, de acordo com a propria denic ao deintergral simples. Sendo assim, o trabalho (21.33) depende, de fato, apenas dos li-mites de integrac ao x1 e x2. Vamos, entao, representar esse trabalho pelo smboloW (x1, x2), de modo que possamos escrever para o membro direito de (21.16):

W (x1, x2) =

x2x1

Fx(x) dx . (21.34)

Como nessa expressao nao se faz menc ao a um intervalo de tempo durante o quala forca realiza o trabalho, mas sim as duas posic oes x1 e x2 que denem umdeslocamento da partcula, o trabalho W (x1, x2), que foi denido em (21.34), echamado trabalho realizado pela forca no deslocamento [x1, x2].

Note que no integrando da equac ao (21.34) temos o valor da forca na posic aox, dado por Fx = Fx(x), multiplicado por um deslocamento innitesimal dx, aolongo da trajetoria retilnea do movimento. Essa quantidade e chamada trabalhono deslocamento infinitesimal dx, ou,equivalentemente, trabalho infinitesimal,e e representado por

dW = Fx dx . (21.35)

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Obviamente, o trabalho no deslocamento [x1, x2] e a integral do trabalhoinnitesimal, desde x1 ate x2, de modo que temos a seguinte notac ao simplicadapara o trabalho no deslocamento [x1, x2]:

W (x1, x2) =

x2x1

Fx dx , (21.36)

na qual ca subentendido que o valor Fx da forca e dado em func ao da variavelde integrac ao x. Quando for importante explicitar que o valor da forca dependeapenas de x, escreveremos Fx(x) no lugar de Fx.

Pelas propriedades das integrais simples, sabemos que o trabalho (21.36) ea area algebrica sob a curva da func ao-forca Fx, de x = x1 ate x = x2, tal comoexemplicado na Figura 21.2

Fx

F =x Fx(x)Fx

O x1 x x2

x

F dx xx1

x2

Figura 21.2: O trabalho realizado por uma forca no deslocamento da partcula e aarea algebrica sob o graco da func ao-forca, desde o incio ate o m do desloca-mento, como ilustrado nesta gura.

Quando a forca depende tambem da velocidade ou do tempo, o trabalhoe calculado como uma integral no tempo, durante algum movimento fx, comodenido em (21.16). No integrando dessa denic ao, temos o produto vx dt, quetem o signicado de um deslocamento innitesimal dx. Nesse caso, temos nointegrando de (21.16) Fx(x, vx, t), que e o valor Fx da forca no instante t. Aindaassim, evitamos escrever o integrando na forma Fx dx. Essa forma poderia dar aimpressao de que podemos sempre obter o trabalho como uma integral em x, oque e falso, ja que, em geral, nao dispomos das variaveis vx e t em Fx(x, vx, t)como func oes da variavel x. De fato, essas func oes nem mesmo existem no caso

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geral, como ca evidente nos casos em que a partcula passa mais de uma vez pelomesmo ponto.

As equac oes (21.35) e (21.36) dao origem a expressao: trabalho e forcavezes deslocamento. Note que, no caso em que a func ao-forca Fx e a func aoconstante, isto e, Fx = Fx(x) e uma constante para qualquer valor da posic ao x,a equac ao (21.36) se reduz a

W (x1, x2) = Fx (x2 x1) , (21.37)

ou seja, o trabalho e igual ao valor (constante) da forca vezes o deslocamento total.Observe que esse trabalho pode ser positivo ou negativo, conforme a componenteFx tenha ou nao o mesmo sinal que o deslocamento x2 x1.

Quando a forca depende apenas da posic ao da partcula em um movimentoretilneo, podemos usar a equac ao (21.33) para substituir, no teorema da ener-gia cinetica (21.29), o trabalho que esta expresso como uma integral no tempopelo trabalho expresso como uma integral na coordenada. Seguindo esse procedi-mento, obtemos:

1

2mv2x2

1

2mv2x1 =

x2x1

Fx(x) dx . (21.38)

Se usarmos as denic oes (21.34) e (21.8), podemos escrever esse mesmo teoremana forma abreviada

K2 K1 = W (x1, x2) , (21.39)onde K1 e K2 sao as energias cineticas da partcula nos instantes em que ela seencontra nas posic oes x1 e x2, respectivamente. Resumindo, temos:

em um movimento retilneo de uma partcula que esta sob a acao deuma forca total dependente apenas de sua posicao, a variacao desua energia cinetica em qualquer deslocamento e igual ao trabalhorealizado pela forca total nesse deslocamento.

Para uma dada forca, o trabalho escrito em (21.34) depende apenas dasposic oes inicial e nal da partcula. Isso tem consequencias importantes. Nomembro esquerdo da equac ao (21.33), o trabalho e calculado usando uma func ao-movimento da partcula, mas o membro direito da equac ao mostra que nao enecessario usar uma func ao-movimento para calcular o trabalho, e que ele, defato, nao depende do movimento realizado pela partcula desde a posic ao x1 ate aposic ao x2. O trabalho depende apenas dessas duas posic oes. Isso signica que,ao calcularmos o trabalho usando a integral no tempo no membro esquerdo daequac ao (21.33), obtemos o mesmo valor para qualquer func ao-movimento que

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usarmos, desde que seja um movimento de x1 ate x2. Podemos mesmo usar umafunc ao fx que nem sequer represente um movimento possvel da partcula. Emoutras palavras: se fx representa um movimento imaginario que a partcula naopode realizar sob a ac ao da forca total Fx, ainda assim o trabalho calculado pelomembro esquerdo de (21.33) continuara dando o mesmo valor que o obtido, nocaso de um movimento real da partcula, desde que o movimento imaginario seja,como o movimento real, de x1 a x2. O proximo exemplo ilustra esses fatos.

Exemplo 21.2

Consideremos que a forca total sobre a partcula seja a forca elastica

Fx = k x . (21.40)

Os movimentos possveis da partcula satisfazem a Segunda Lei de Newton:

max = k x . (21.41)

Consideremos dois movimentos, cujas func oes-movimento serao denotadaspor fx e fx. O primeiro e dado por

x = fx(t) = A sen( t) , (21.42)

onde =k/m. O segundo e o MRU

x = fx(t) = v t , (21.43)

no qual a velocidade v e diferente de zero. O movimento dado por fx e osci-latorio e e um dos movimentos possveis da partcula, como voce pode vericarfacilmente usando as equac oes (21.42) e (21.41). Em contrapartida, substituindo(21.43) em (21.41), obtemos 0 = k v t, que e uma igualdade falsa para todoinstante diferente de zero. Isso signica que a func ao-movimento fx nao satis-faz a Segunda Lei de Newton e, portanto, nao e um dos movimentos possveisda partcula. Certamente, voce ja sabia que uma partcula sujeita a forca totalexercida por uma mola jamais se move em MRU.

Calculemos, por exemplo, o trabalho exercido pela forca elastica (21.40)quando a partcula vai da origem ate atingir, pela primeira vez, a posic ao dada porA, que representa a amplitude do movimento oscilat orio (21.42). Primeiramente,calculemos o trabalho usando esse movimento oscilat orio, descrito pela func ao-movimento fx e realizando uma integral no tempo. Nesse movimento, a partculaesta na origem em t1 = 0 s e atinge a posic ao x = A pela primeira vez no instante

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t2 = pi/(2). Sendo assim, o trabalho e dado pelo membro esquerdo de (21.33),de modo que, no presente caso, obtemos: t2

t1 (fx)

Fx(x) vx dt = pi/(2)

0 (fx)

k x vx dt

=

pi/(2)0

k [A sen( t)] [A cos( t)] dt

= k A2 pi/(2)

0

sen( t) cos( t) dt

= 12k A2

pi/(2)0

sen(2 t) dt

= +1

2k A2

cos(2 t)

2

pi/(2)0

= 12k A2 , (21.44)

onde usamos a identidade trigonometrica sen(2) = 2 sen cos.Calculemos, agora, o trabalho da mesma forca, no mesmo deslocamento

(isto e, de x1 = 0 ate x2 = A), porem usando fx(t) dada em (21.43) para realizara integral no tempo, de acordo com a formula no membro esquerdo de (21.33).Sabemos que esse e um movimento que estamos imaginando para a partcula, masque ela nao pode realizar, se estiver sob a ac ao apenas da forca elastica dada por(21.40). Nesse movimento imaginario, a partcula sai de x1 = 0 no intante t1 = 0e chega a x2 = A no instante t2 = A/v. Temos, entao, com fx(t) = v t: t2

t1 (fx)

Fx(x) vx dt = A/v

0 (fx)

k x vx dt = A/v

0

k (v t) v dt

= k v2 A/v

0

t dt = k v2 t2

2

A/v0

= 12k A2 , (21.45)

resultado que coincide com o anterior, como ja havamos antecipado. Nesse exem-plo, vemos, inclusive, que o calculo do trabalho, utilizando um movimento im-possvel, e ate mais simples do que o calculo utilizando um movimento oscilatoriopossvel. Na verdade, sabemos que para calcular o trabalho em um movimentoretilneo, realizado por uma forca que depende apenas da posic ao x da partcula,nao ha necessidade alguma de especicar o movimento da partcula. Nesse caso,de acordo com nosso resultado (21.33), o trabalho realizado pela forca de umaposic ao inicial ate uma posic ao nal depende apenas dessas posic oes, e nao domovimento seguido pela partcula entre essas posic oes, desde que, como ja enfa-tizamos, a forca dependa apenas da posic ao x da partcula.

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Usando, entao, o membro direito de (21.33), podemos calcular o trabalhorealizado de x1 = 0 ate x2 = A, diretamente, como uma integral na posic ao, sema necessidade de considerar o movimento descrito pela partcula entre as posic oesinicial e nal. Dessa forma, obtemos: x2

x1

Fx(x) dx = A

0

k x dx = k x2

2

A0

= 12k A2 . (21.46)

Como uma observac ao nal neste exemplo, note que, mesmo sendo desne-cessario considerar um movimento entre as posic oes inicial e nal para calcularo trabalho, pode ser util, dependendo das circunstancias, considerar algum movi-mento imaginario bem simples para se analisar o trabalho realizado pela forca.

Em contraste com o que ocorreem movimentos retilneos,

veremos, na Aula 25, que no casogeral nao basta a forca depender

apenas da posicao da partculapara que seja conservativa. Uma forca cujo trabalho, em qualquer deslocamento, depende apenas dos pontos

inicial e nal do deslocamento e chamada forca conservativa (a razao desse nomecara clara logo adiante). Portanto, de acordo com a discussao que acabamos defazer, podemos escrever:

se uma forca tem componente apenas ao longo de um dado eixo,ela sera uma forca conservativa se depender apenas da coordenadadesse eixo.

No exemplo anterior, vimos que a forca elastica Fx = k x e conservativa,pois, como e evidente, depende apenas da posic ao ao longo do eixoOX . O traba-lho realizado por tal forca em um deslocamento de uma posic ao qualquer x1 ateuma posic ao qualquer x2 e dado por x2

x1

k x dx = 12k x22 +

1

2k x21 , (21.47)

que, obviamente, depende apenas da posic ao inicial x1 e da posic ao nal x2.Anteriormente, vimos o mais simples exemplo de forca conservativa: a

forca constante. Nesse caso, a func ao-forca Fx e a func ao constante, isto e,Fx = Fx(x) e uma constante para qualquer valor da posic ao x, e o trabalho re-alizado por essa forca em qualquer deslocamento [x1, x2] e dado pela expressao(21.37) que, evidentemente, depende apenas da posic ao inicial x1 e da posic aonal x2.

Exemplo 21.3

Apresentaremos, nesse exemplo, uma outra forca conservativa muito im-portante em Fsica. Considere uma partcula de massa M xa na origem do eixo

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OX e uma partcula de massa m que pode ocupar qualquer posic ao no semi-eixopositivo, com excec ao da propria origem. A forca gravitacional exercida sobre elapela partcula de massa M e dada por

O caso em que a partcula demassa m pode ocupar qualquer

posicao do semi-eixo negativo etotalmente analogo, havendoapenas uma troca de nvel naexpressao de Fx em (21.48).

Fx = GMmx2

. (21.48)O trabalho realizado por essa forca no deslocamento [x1, x2] e dado por x2

x1

Fx dx = x2x1

GMm

x2dx =

(GMm

x

)x2x1

= GMm

(1

x2 1x1

). (21.49)

Note que, se x2 > x1, o trabalho realizado pela forca gravitacional sobre apartcula de massa m e negativo. Ja para x2 < x1, esse trabalho e positivo.Poderamos ter antecipado o sinal do trabalho simplesmente analisando a areaalgebrica no graco de Fx(x) versus x, como indica a Figura 21.3. Por ser a forcagravitacional um exemplo muito importante de forca conservativa, nao deixe defazer o problema proposto 7, para se certicar de que realmente compreendeu oscalculos anteriores.

x

O

x1x2

Fx

(a)

x

O

x2x1

Fx

(b)

W(x1, 2)0x x

Figura 21.3: A parte (a) ilustra o caso em que x2 > x1, no qual a area algebricasob a graco e negativa; a parte (b) ilustra o caso em que x2 < x1, no qual a areaalgebrica sob o graco e positiva.

Vamos encerrar esta sec ao listanto tres propriedades do trabalho de umaforca conservativa. Usando a denic ao (21.36), e facil mostrar que

W (x1, x2) +W (x2, x3) = W (x1, x3) , (21.50)

W (x1, x1) = 0 (21.51)e

W (x1, x2) = W (x2, x1) . (21.52)

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As forcas que nao sao conservativas violam essas propriedades, como vocepode vericar no caso particular apresentado no problema proposto 10, no qualse tem um trabalho nao-nulo para uma partcula que sai de uma certa posic ao evolta a ela num instante posterior. Se a forca fosse conservativa, o trabalho serianulo, como estabelecido em (21.51). A denic ao e as propriedades das forcasconservativas nos levarao aos conceitos de energia potencial e energia mecanica,assuntos a serem tratados na proxima aula.

Denominamos forca nao-conservativa a forca que nao e conservativa e di-zemos que ela e dissipativa no caso em que e negativo o trabalho que realiza emcaminhos fechados ou em qualquer caminho relevante no movimento em tela.

Para evitar demasiadas repetic oes, convencionemos que so estaremos consi-derando movimentos retilneos no resumo, no questionario e nos problemas pro-postos desta aula, que vem a seguir.

Resumo

Energia cinetica de uma partcula e o semi-produto de sua massa pelo qua-drado de sua velocidade. O produto de uma forca sobre uma partcula pela ve-locidade da partcula e chamado potencia fornecida pela forca a partcula. Emconsequencia da Segunda Lei de Newton, a taxa instantanea de variac ao tempo-ral da energia cinetica de uma partcula e igual a potencia fornecida a partculapela forca total que age sobre ela. Esse resultado pode ser considerado como umaversao preliminar do teorema da energia cinetica.

O trabalho realizado por uma forca que age sobre uma partcula durante umintervalo de tempo de seu movimento e a integral no tempo do produto da forcapela velocidade, desde o incio ate o nal do intervalo. A partir da Segunda Lei deNewton, pode-se mostrar que a variac ao da energia cinetica de uma partcula du-rante um intervalo de tempo de seu movimento e igual ao trabalho realizado pelaforca total sobre a partcula nesse intervalo. Esse e o chamado teorema da ener-gia cinetica. No caso de uma forca que dependa apenas da posic ao da partculaem movimento retilneo, o trabalho realizado pela forca em um certo intervalo detempo do movimento da partcula depende apenas do deslocamento da partculanesse intervalo; dizemos, entao, que ele e o trabalho realizado pela forca no des-locamento da partcula. Portanto esse trabalho e, dado pela integral da forca naposic ao da partcula, isto e, uma integral cuja variavel de integrac ao e a coorde-nada da partcula na reta de seu movimento. No caso de um deslocamento innite-simal da partcula, o trabalho da forca e o produto da forca por esse deslocamento

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innitesimal. Esse e o chamado trabalho innitesimal. Integrando a expressaodo trabalho innitesimal, podemos obter o trabalho em um deslocamento nitoqualquer. No caso de forca dependente apenas da posic ao da partcula, podemosenunciar o teorema da energia cinetica dizendo que a variac ao da energia cinetica,de uma partcula durante um deslocamento e igual ao trabalho realizado pela forcatotal sobre a partcula nesse deslocamento.

No caso de uma forca que dependa apenas da posic ao da partcula em mo-vimento retilneo, o trabalho no deslocamento da partcula depende, na verdade,apenas das posic oes inicial e nal do deslocamento em considerac ao. Uma forcacujo trabalho em qualquer deslocamento dependa apenas das posic oes inicial enal do deslocamento e chamada forca conservativa. Portanto, no caso de umapartcula em movimento retilneo, e conservativa qualquer forca que dependa ape-nas da posic ao da partcula.

Questionario

1. Dena energia cinetica de uma partcula.

2. Em que sentido deve-se entender o adjetivo usado na expressao energiacinetica?

3. O que e potencia fornecida por uma forca a uma partcula?

4. Dena trabalho realizado por uma forca sobre uma partcula durante umintervalo de tempo de seu movimento.

5. O trabalho realizado sobre uma partcula por uma certa forca Fx(x, vx, t)no intervalo [t1, t2] depende apenas dos instantes t1 e t2?

6. Sob que condic ao e possvel denir trabalho de uma forca em um desloca-mento da partcula? Suponha que esta condic ao seja satisfeita e de, nessecaso, a denic ao de trabalho num deslocamento de x1 ate x2.

7. Enuncie o teorema da energia cinetica em sua versao mais geral.

8. Enuncie o teorema da energia cinetica no caso particular em que a forcatotal depende apenas da posic ao da partcula.

9. Dena forca conservativa no caso de um movimento retilneo.

10. Toda forca constante e conservativa?

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11. Considere um pequeno bloco em movimento unidimensional sobre uma su-perfcie. Suponha que exista atrito entre o bloco e a superfcie e, ainda, quea reac ao normal sobre o bloco permaneca constante durante o seu movi-mento. A forca de atrito cinetico exercida pela superfcie sobre o bloco econservativa?

12. Ao considerarmos uma partcula sob a forca gravitacional (21.48), zemosa hipotese de que a partcula jamais ocupasse a posic ao x = 0. Qual omotivo dessa hipotese?

Problemas propostos

1. Considere os movimentos retilneos de uma partcula de massa m sob aac ao da forca constante Fx(x, vx, t) = F0, F0 > 0. Como voce ja sabe, osmovimentos possveis dessa partcula sao dados por

fx(t) = A+Bt+F02m

t2 ,

onde A e B sao constantes arbitrarias. Considere dois instantes de tempo,t1 e t2 > t1.

(a) Utilizando a func ao-movimento escrita anteriormente, calcule a variac aoda energia cinetica da partcula sofrida no intervalo [t1, t2].

(b) Calcule, utilizando a mesma func ao-movimento, o trabalho realizadosobre a partcula no mesmo intervalo de tempo, isto e, calculeW (t1, t2; fx) =

t2t1(fx)

Fx(x, vx, t)vxdt e verique a validade do te-orema da energia cinetica.Obs.: a soluc ao do item (b) deste problema torna evidente o fatode que o trabalho realizado por Fx no intervalo [t1, t2] depende domovimento seguido pela partcula, pois a resposta depende explicita-mente de B e diferentes valores de B signicam diferentes func oes-movimento da partcula.

2. A func ao-movimento de uma partcula que se move ao longo do eixoOX edada por fx(t) = A sen(t), onde A e uma constante positiva.

(a) Determine a variac ao da energia cinetica da partcula sofrida no inter-valo [t1, t2].

(b) Calcule, utilizando essa mesma func ao-movimento, o trabalho reali-zado pela forca total sobre a partcula no mesmo intervalo de tempo,

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isto e, calcule W (t1, t2; fx) e verique a validade do teorema da ener-gia cinetica.

3. Uma partcula e lancada verticalmente de uma certa altura do solo com ve-locidade de modulo igual a v0. Ha, obviamente, duas possibilidades: numadelas, a partcula e lancada para cima e, na outra, para baixo. Demonstre queo trabalho realizado sobre a partcula pelo peso no intervalo de tempo [0, t],quando ela e lancada para cima, nunca e igual ao trabalho realizado pelopeso, nesse mesmo intervalo, quando ela e lancada para baixo, qualquerque seja o valor de v0 (novamente, aqui, vemos que o trabalho realizado poruma forca num certo intervalo depende da func ao-movimento da partculanesse intervalo).

4. Reconsidere o problema discutido no exemplo 21.1.

(a) Verique que x = x0e(/3)t tambem e um movimento possvel dapartcula sob a ac ao da forca total dada por (21.20).

(b) Considere, agora, a combinac ao linear dos movimentos possveis apre-sentados no exemplo 1 e no item anterior, isto e,

x = ae3t + be(/3)t ,

onde a e b sao constantes arbitrarias. Sem fazer conta alguma, isto e,sem substituir essa expressao na equac ao diferencial dada por (21.21),voce saberia dizer se ela tambem e um movimento possvel da partcula?

(c) Substitua, agora, a expressao escrita no item anterior em (21.21) everique que ela e, de fato, um movimento possvel da partcula.

(d) Escolhendo a func ao-movimento escrita no item (a), calcule a variac aoda energia cinetica da partcula e o trabalho realizado sobre ela nointervalo de tempo [t1, t2] e verique a validade do teorema da energiacinetica. Observe que os valores encontrados nesse item sao diferentesdaqueles obtidos no exemplo 21.1, o que ilustra, mais uma vez, o fatode que o trabalho realizado por uma forca entre dois instantes depende,em geral, do movimento seguido pela partcula entre esses instantes.

5. Uma partcula que se move ao longo do eixo OX esta sujeita a ac ao deuma forca total elastica, dada por Fx(x) = kx, onde k e uma constantepositiva. O graco desta forca versus a posic ao x da partcula esta mostradona Figura 21.4. Nele, estao marcadas as posic oes x1, x2, x3 e x4.

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x

Ox1

x4

Fx

x3

x2

Figura 21.4: Forca elastica sobre uma partcula em func ao de sua posic ao.

(a) Determine, a partir das areas algebricas correspondentes do graco, otrabalho dessa forca nos deslocamentos [x1, x2] e [x3, x4].

(b) Calcule, novamente, esses mesmos trabalhos por meio de integrac oesda forca na posic ao e conra os resultados.

6. Uma partcula se move ao longo do eixo OX sob a ac ao de uma forca totaldependente apenas da posic ao e cujo graco esta mostrado na Figura 21.5.

x

O

Fx

l 3l

FO

Figura 21.5: Graco da forca total que atua sobre a partcula do problema 6, emfunc ao da posic ao.

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Em t0 = 0, a partcula tem velocidade vx0 > 0 e, ao atingir a posic aox = 3`, ela tem velocidade nula. Determine vx0 em termos de F0 e `.

7. Considere a Terra como uma esfera de raio R e suponha que a sua massa Mesteja distribuda uniformemente. Nesse caso, a forca gravitacional exercidapela Terra sobre uma partcula de massa m e a mesma que essa partculasofreria caso toda a massa da Terra estivesse concentrada em seu centro.Considere, agora, movimentos retilneos desta partcula ao longo de umeixo OX que, por hipotese, tem sua origem no centro da Terra. A Figura21.6 mostra o graco dessa forca para x R.

x

O

m

R

Figura 21.6: Partcula de massa m sob a ac ao da forca gravitacional da Terra.

(a) Calcule o trabalho da forca gravitacional sobre a partcula quando elase desloca de x1 = R ate x2 = 2R.

(b) Usando apenas argumentos qualitativos, responda se o modulo do tra-balho da forca gravitacional sobre a partcula, quando esta se deslocade x2 = 2R ate x3 = 3R, e maior, menor ou igual ao modulo dotrabalho encontrado no item anterior.

(c) Calcule, explicitamente, o trabalho da forca gravitacional sobre a part-cula no deslocamento [2R, 3R] e verique se o resultado encontradoesta compatvel com a sua resposta ao item anterior.

(d) Calcule o trabalho da forca gravitacional sobre a partcula quando elase desloca da superfcie da Terra ate o innito, isto e, no deslocamento[R,). Utilizando o teorema da energia cinetica, relacione esse re-sultado com a velocidade de escape da Terra.

8. Uma partcula e abandonada em repouso a uma distancia do centro da Terraigual a dez vezes o raio terrestre. Determine o modulo da velocidade comque esta partcula atinge a superfcie da Terra.

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9. Demonstre os resultados escritos nas equac oes (21.50), (21.51) e (21.52).

10. Considere um pequeno bloco de massa m em movimento unidimensionalsobre uma superfcie plana. Seja c o coeciente de atrito cinetico entreo bloco e a superfcie e suponha que, nos movimentos a ser, consideradosa reac ao normal exercida pela superfcie sobre o bloco mantenha sempreo mesmo modulo. Escolha os eixos de modo que o movimento do blocoocorra ao longo do eixo OX .

(a) Mostre, inicialmente, que, se nao houver inversao de sentido no mo-vimento do bloco, o trabalho realizado pelo atrito entre os instantest1 e t2, nos quais o bloco ocupa as posic oes x1 e x2, e dado porW (t1, t2; fx) = cmg|x2 x1|.

(b) Utilizando o resultado do item anterior, mostre que o trabalho reali-zado pelo atrito cinetico sobre o bloco entre um instante t e um instanteposterior t , no qual o bloco esteja na mesma posic ao que ocupava emt, nunca e nulo. Dessa forma, ca evidente que a propriedade (21.51)nao e satisfeita por essa forca. Portanto, ja podemos armar que aforca de atrito cinetico e uma forca nao-conservativa.

(c) Utilizando, novamente, o resultado do item (a), de um exemplo demovimento do bloco no qual a condic ao (21.50) e satisfeita e um outrono qual ela nao e satisfeita.

Auto-avaliacao

Como de costume, voce deve ser capaz de responder ao questionario in-teiro, pois ele abrange todos os conceitos fundamentais introduzidos nesta aula.Voce tambem nao deve ter diculdade para resolver os problemas propostos,excetuando-se, talvez, os itens dos problemas que exigirem integrac oes matematicascomo por exemplo, itens dos problemas 2 e 4. Pode ser que voce ainda nao tenhaadquirido toda a habilidade necessaria para fazer esses calculos matematicos coma rapidez que gostaria. Nesse caso, continue exercitando e encarando os proble-mas que lhe parecem mais difceis, pois e dessa forma que voce se tornara cadavez mais familiarizado com eles. Os problemas 1, 2, 3, 4 e 8 exigem a compre-ensao do Teorema da Energia Cinetica. Tente resolver, pelo menos, tres deles. Osproblemas 5, 6 e 7 envolvem o calculo do trabalho de uma forca conservativa, in-cluindo uma analise desse trabalho a partir do graco da forca. Resolva todos eles.Finalmente, os problemas 9 e 10 envolvem pequenas demonstrac oes a respeito deforcas nao-conservativas. Embora as contas sejam extremamente simples, esses

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problemas devem ser resolvidos, pois, certamente, irao ajuda-lo a compreendermelhor os conceitos de forcas conservativas e nao-conservativas.

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