F2-13-predavanje-beamer[1]

7/25/2019 F2-13-predavanje-beamer[1]

1/23

13. predavanje

Vladimir Danani

12. lipnja 2012.

Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 1 / 23


2/23

Sadraj

1 Toplinsko zraenjeSpektralna razdioba zraenjaPlanckova hipoteza

Fotoelektrini uinakStefan-Boltzmannov zakon

2 Bohrov model atoma

3 Crti



3/23

Toplinsko zraenje

Elektromagnetsko zraenje i temperatura

U ovom emo se poglavlju baviti odnosom elektromagnetskoga zraenjamakroskopskih tijela i njihove temperature. Zato govorimo omakroskopskim tijelima, a ne o atomima i molekulama koje sadre naboje iproizvode elektromagnetsko zraenje? Moramo se prisjetiti znaenja pojmatemperature. Naime, definicija temperature pojedinanih atoma i molekula

vrlo je dvojbena stvar, ako uope takva definicija i moe postojati. Pojamtemperature podrazumijeva postojanje velikoga mnotva pojedinanihgradbenih jednica odreenoga sustava. Temperaturu pripisujemo sustavukao cjelini, a ne njegovim osnovnim gradbenim jedinicama. Kaemo da sudva sustava u toplinskoj ravnotei ako su im temperature jednake. Ako

promatramo jako velike sustave, kao to je Zemljina atmosfera, ili Sunce, ilineka druga zvijezda, onda moemo govoriti o temperaturi manjih, ilirelativno jako malih, dijelova sustava koji imaju neku odreenutemperaturu. Naime, ni atmosfera planeta Zemlje, ni Sunce, ni bilo kojadruga zvijezda, nije, kao cjelina, u toplinskoj ravnotei.



4/23

Toplinsko zraenje


Mi emo se baviti sustavom koji u svakom svojem dijelu ima (priblino)

jednu te istu temperaturu, tj. svaki je dio sustava u toplinskoj ravnotei sasvim ostalim dijelovima sustava. Elektromagnetski val ima i gustouenergije i energetski tok. Prva veliina govori o tome koliko energije uprosjeku u jedinici volumena sadri elektromagnetski val. Druga veliinagovori o tome koliko energije, u prosjeku, elektromagnetski val donese na

jedinicu povrine, ili ju iz nje iznese. Nju opisujemo Poyntingovim vektoromS. Svako makroskopsko tijelo prima, ili odailje, elektromagnetske valovepreko svoje povrine, odnosno elemenata povrine dA. Energetski tokelektromagnetskoga vala dodreujemo izrazom:

d = S dA (1)Ukupni energetski tok odreujemo izrazom:

=

S

S dA (2)


T li k j


5/23

Toplinsko zraenje


Po zakonu ouvanja ukupne energije, ukupni energetski tok uk, koji pada

na odreeno tijelo, u meudjelovanju s tijelom rasporedi se na tri toka:reflektirani tok r ,transmitirani tok t iapsorbirani tok a ,

tako da vrijedi zakon ouvanja:

uk= r+ t+ a (3)

Prikladno je definirati tri koeficijenta: koeficijent refleksije , transmisije iapsorpcije , kao omjere:

= r

uk, =

t

uk, =

a

uk(4)

tako da jednadba (3) ima jednostavniji, bezdimenzijski, oblik:

+ + = 1 (5)


T li k j


6/23

Toplinsko zraenje


Openito koeficijenti , , ovise o obliku, kemijskom sastavu,

temperaturi tijela i valnoj duljini elektromagnetskoga vala (ili o frekvenciji).Moemo definirati tri vrste idealnih tijela, od kojih nijedno ne postoji ustvarnosti:

idealno sjajno (ulateno) tijelo, za koje vrijedi = 1 , = 0 , = 0.

idealno prozirno tijelo, za koje vrijedi = 0 , = 1 , = 0idealno crno tijelo, za koje vrijedi = 0 , = 0 , = 1

Za prva dva tijela moemo rei da ona ne izmjenjuju energiju s okolinom,barem ne u obliku elektromagnetskih valova. U tom smislu nam takva(nepostojea) tijela nisu zanimljiva. Izmjena energije izmeu tijela i okolineu obliku elektromagnetskih valova tie se samo onih tijela (a to su gotovosva) koja apsorbiraju elektromagnetske valove u cijelosti, odnosno barem uvelikom postotku. Idealno crno tijelo moemo priblino predoiti s pomouae, ili grafita. Kada crno tijelo apsorbira energiju elektromagnetskih

valova, ta se energija ne moe izgubiti u nita, nego se pretvori u toplinu.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 6 / 23

Toplinsko zraenje


7/23

Toplinsko zraenje


No, proces zagrijavanja ne e tei u nedogled, nego e se tijelo zagrijavati

sve dok ne postigne toplinsku, odnosno temperaturnu, ravnoteu. Kadpostigne toplinsku ravnoteu, tijelo emitira elektromagnetske valove sjednakim intenzitetom s kojim i apsorbira zraenje, ako mu je koeficijenttransmisije zanemarivo mali. Uvedimo koeficijent emisije e, na slian nainkako smo uveli koeficijente , i . Dakle,

e= euk

(6)

Ako nema transmisije, tj. ako je = 0, onda vrijedi + = 1. Upadni tokenergije raspodijeli se na reflektirani tok i emitirani tok. To je jednostavno

zakon ouvanja energije, tj. prvi zakon termodinamike. Time smo izrekliovu jednostavnu injenicu:Ako nema transmisije zraenja i ako se samo dio upadnoga toka

reflektira, onda se dio toka mora apsorbirati, pretvoriti u toplinu te

emitirati. Emitirani tok zajedno s reflektiranim mora energetski

uravnoteiti upadni tok.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 7 / 23

Toplinsko zraenje


8/23

Toplinsko zraenje


No, rekli smo da je emitirani tok u toplinskoj ravnotei s tijelom koje ga

emitira. To zapravo znai da samom emitiranom zraenju pripisujemoodreenu temperaturu jednakoj s temperaturom tijela koje ga je emitiralo.Dakle, tijelo i emitirani tok su u toplinskoj ravnotei. Jasno je da ovakodefinirano zraenje tijela ne ovisi o njegovu obliku, ni o sastavu ni o emubilo drugom to odreuje tijelo, na slian nain kao to prvi zakon

termodinamike ne ovisi ni o kojoj od navedenih znaajki tijela. Za idealnocrno tijelo kaemo da emitira crno zraenje. Kao najbolji realni primjeridealnog crnog tijela esto se navode upljine s malim otvorom. Zidoviupljine imaju neki koeficijent apsorpcijeto je taj koeficijent biskiji s 1, tobolje. Smatramo da gotovo sve zraenje koje kroz mali otvor ue u upljinubude u njoj posve apsorbirano. Naime, ako i postoji geometrijski put zraketakav da nakon konanoga broja refleksija zraka pronae put prema vankroz isti otvor, zanemarivo je vjerojatno da e se to dogoditi, zato to se prisvakoj refleksiji zraka djelomice apsorbira te nakon velikoga broja refleksija,

prije nego to pronae put prema van, bude potpuno apsorbirana.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 8 / 23

Toplinsko zraenje Spektralna razdioba zraenja


9/23


Spektralna razdioba

Toplinsko zraenje sadri valove sviju frekvencija (ili valnih duljina). Pitanje

je koliko energije u emitiranom toku pripada odreenoj frekvenciji (boji)elektromagnetskoga vala. Ne postoji nikakav razuman razlog zapretpostavku da je ukupna energija emitiranoga toka jednoliko rasporeenapo svim frekvencijama. Zapravo, takva bi pretpostavka bila u sukobu sinjenicom da je frekvencija kontinuirana veliina, raspon koje se protee od= 0 pa do = +. Ako bi na sve frekvencije padala jednaka koliinaenergije, ma kako mala, ukupna bi energija bila beskonana. A to proturjeizbilji oko nasemitirana je toplinska energija mjerljiva i uvijek je konana.To je dovoljan razlog za definiranje jedne funkcije, koju emo zvati

gustoa spektralne razdiobe. To znai da emo gustou emitiraneenergije uprikazati u sljedeem obliku:

u=

+0

U()d (7)




10/23


Spektralna razdiobaKirchhoffova hipoteza

Razdioba U()u jednadbi (7) nam govori koliki dio emitirane gustoe

energije pripada valovima kojih se frekvencija nalazi izmeu i + d. Tase funkcija moe eksperimentalno mjeriti. Jasno je da ta funkcija ovisi i otemperaturi. No, prije smo govorili o energetskom toku, a ne o gustoienergije. Iz Maxwellovih jednadbi znamo da su gustoa energije, koja je

odreena kvadratima elektrinoga i magnetskoga polja, i energetski tok,odnosno intenzitet svjetlosti koji je odreen Poyntingovim vektorom, u vrlojednostavnom odnosu. Naime, te su veliine razmjerne jedna drugoj, priemu konstanta razmjernosti ne ovisi o frekvenciji vala. Dakle, moemogovoriti o spektralnoj razdiobi intenziteta na isti nain kao i o razdiobi

gustoe energije. Takoer moemo govoriti o ovisnosti koeficijenata emisijei apsorpcije o frekvenciji i temperaturi. Kirchhoffova je hipoteza da su tadva koeficijenta jednaka za svaku posebnu frekvenciju i za svako tijelo. Ta

je hipoteza kontroverzna kada govorimo o realnim makroskopskim tijelima,ali moemo rei da vrijedi za (nepostojee) idealno crno tijelo.




11/23

p j p j

Spektralna razdioba

Prije smo izveli rezultat da je broj valova dNu volumenu V, koji imaju

frekvenciju izmeu i + d jednak

dN= V8c3

2d (8)

Elektromagnetski val moemo predoiti kao odreeni oscilator frekvencije

. Iz klasine statistike fizike slijedi da je prosjena energija harmonikogoscilatora u sustavu s temperaturom T jednaka kBT, gdje je kBBoltzmannova konstanta. Naime, harmoniki oscilator ima i kinetiku ipotencijalnu energiju, i te su dvije energije u prosjeku jednake. Budui dana svaki stupanj slobode spada energija 1

2kBT, za harmoniki e oscilator

to biti tono 2 puta vie, jer ima i kinetiku i potencijalnu energiju. Dakle,gustoa e energije elektromagnetskoga vala biti jednaka:

du= kBT

V dN=

8c3kBT

2d U(,T) = du

d=

8c3kBT

2 (9)




12/23

p j p j

Spektralna razdioba

Rezultat klasine fizike, koji je opisan jednadbom (9), poznat je pod

nazivom Jeans-Rayleighova formula. Taj je rezultat zapravo katastrofalan.Naime, po toj bi jednadbi ukupna energija zraenja bila beskonana. Zatoje taj rezultat dobio naziv ultraljubiasta katastrofa, jer kae da bi prisvakoj temperaturi emisija imala to vei intenzitet to je via frekvencijavalova. Bilo je raznih pokuaja da se taj rezultat popravi, da se nekako

urazumi, ali se u okvirima klasine fizike nije uspjelo nai lijeka za tukatastrofu. Prije nastavka prie ustanovimo jo jedan, ve prije spomenutidetalj, a taj je odnos izmeu gustoe energije i intenziteta I. Naime, za

jedanmonokromatski val imamo odnos u= Ic

, gdje je cbrzinaelektromagnetskoga vala (svjetlosti). Pretpostavit emo da se zraenjezbiva u vakuumu. Tada je cbrzina svjetlosti u vakuumu. No, zraenje jetijela izotropno, tj. jednako u svim smjerovima, a jedan elektromagnetskival ima samo jedan smjer. Zato valja spomenuti odnos zbrojiti po svimsmjerovima, tj. integrirati po prostornom kutu. A taj prostorni kut iznosi

4. Znai da za idealno crno tijelo vrijedi odnos u= 4

c I.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 12 / 23

Toplinsko zraenje Planckova hipoteza


13/23

Planckova hipoteza

Problem s Jeans-Rayleighovom formulom oito se nalazi u tome to se

svakom valu pripisuje statistiki jednaka energija. Naime, rezultat jeklasine statistike fizike da je gustoa vjerojatnosti da odreeni diosustava, ak i sama estica sustava, u toplinskoj ravnotei na temperaturiTima energiju E jednaka

P(E) = Ze

Ek

B

T

(10)pri emu je Zkonstanta odabrana tako da zbroj (integral) svijuvjerojatnosti bude jednak 1. Po emu se integrira? U klasinoj se fizicistanje neke estice ukupne energije E, koja se giba u trodimenzijskomprostoru, moe ostvariti na beskonano puno naina. Recimo da esticaima samo kinetiku energiju. Ona je razmjerna kvadratukoliine gibanjaesticep, to znai da ne ovisi o smjeru gibanja estice. A tih smjerova imabeskonano puno. Takoer, estica moe imati kinetiku energiju odvrijednosti 0 pa do beskonano. Dakle, integriramo po svim moguim

smjerovima i po cijelom intervalu iznosa koliine gibanja.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 13 / 23



14/23

Planckova hipoteza

Na slian bismo nain postupili i s potencijalnom energijom, samo to ona

ovisi o poloaju, a ne i o brzini estice. Dakle, na je prostor dogaajacijeli volumen Vi cijeli volumen u prostoru koliine gibanja. Dakle,vjerojatnostdWda se koliina gibanja estice nalazi izmeu p ip+ dpudijelu prostora izmeur ir+ dr iznosi

dW= Ze

E(p,r)kBT

d3

pd3

r (11)gdje je Ztzv. particijska funkcija koja izraava normiranje ukupnevjerojatnosti na 1. Dakle:

Z=

e

E(p,r)kBT

d

3

pd

3

r1

(12)Budui da imamo ukupno Nestica, jednadbe (11) i (12) poopujemotako da fazni volumen d3pd3r jedne estice poopimo na Nestica, tjprikaemo kao umnoak faznih volumena sviju estica, a ukupna je

energija zbroj pojedinanih energija sviju estica.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 14 / 23



15/23

Planckova hipoteza

Prosjena se vrijednost bilo koje veliine Orauna na sljedei nain:

O = Z O(p,r)d3pd3r (13)

Iz ove definicije slijedi da je prosjena energija jednog harmonikogoscilatora jednaka kBT. U Boltzmannovu se razdiobu, opisanu jednadbom

(11), nije smjelo sumnjati, zato to je statistika fizika zasnovana na njoj,odnosno statistika termodinamika, bila (i sada je) u savrenoj suglasnosti sfenomenolokim zakonima termodinamike. Drugim rijeima, Boltzmannova

je razdioba po energijama sasvim sigurno dobra. Gdje je izlaz? Planckovaje hipoteza bila da energija harmonikoga oscilatora ne ovisi o dinamikim

varijablamar ipnego samo o frekvenciji oscilatora i to na vrlojednostavan nain:

En = nh , n= 0, 1, 2, .... (14)

Zapravo, Planck je klasine dinamike varijable oscilatora zamijenio s

jednom dinamikom, diskretnom varijablom, naime prirodnim brojemn.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 15 / 23



16/23

Planckova hipoteza

Drugim rijeima, po toj hipotezi energija oscilatora nije kontinuirana

veliina nego je diskretna, tj. moe poprimati vrijednosti samo kaocjelobrojni umnoak jednog obroka energije, iliti kvanta. Energija kvantarazmjerna je frekvenciji oscilatora. Konstanta razmjernosti hzove sePlanckova konstanta. Max Planck je svoju hipotezu iznio 1900. godine. Ito je dobio? Dobio je da je prosjena energija oscilatora jednaka:

E =

+n=0 nhe

nhkBT

+n=0 e

nhkBT

= h

ehkBT 1

(15)

Brojnik jednadbe (15) sadri energiju jednoga kvanta. Kada je ta energija,

h, znatno manja od toplinske energije kBT, tada se jednadba (15)poklapa s klasinim rezultatom, naime kBT. U obrnutom sluaju,kada je energija jednoga kvanta znatno vea od kBT, prosjena energijapostaje zanemarivom mala. Dakle, kvantiziranje energije oscilatora

jednostavno odree spektar vrijednosti energije oscilatora i time izbjegne

ultraljubiastu katastrofu.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 16 / 23



17/23

Planckova hipoteza

Iz izraza za prosjenu energiju oscilatora (15) Planck je dobio izraz zaspektalnu razdiobu intenziteta:

I=

+0

I(,T)d , , I(,T) = c

4U(,T) =

c

48c3

2 E

I(,T) = 22

c2h

ehkBT 1

= 2hc2

3

ehkBT 1

(16)

Planckov je rezultat (16) ostao nezapaen, premda je bio u savrenomsuglasju s eksperimentom. Planckovi su suvremenici smatrali da je

kvantiziranje energije oscilatora samo nekakvo tehniko rjeenje, bezikakve fizikalne podloge. I bili su u pravu naime, kvantiziranje se energijene moe izvesti iz zakona klasine fizike. Ono mora biti postulirano, to jePlanck i uinio.


Toplinsko zraenje Fotoelektrini uinak


18/23

Planckova hipoteza i fotoelektrini uinak

No, Einstein je Planckovu hipotezu shvatio jako ozbiljno i njome je objasnio

fotoelektrini uinak. to je taj uinak i u emu je bila nevolja uobjanjenju toga uinka? Bilo je primjeeno da odreeni materijali izbacujuelektrone kada ih se obasja svjetlou. S klasinim objanjenjem togauinka postojale su dvije potekoe:

Kinetika energija izbijenih elektrona ne ovisi o intenzitetu svjetlosti.

Ta je injenica u potpunom sukobu s klasinim poimanjem vala,odnosno njegove energije. Val ima to veu energiju to mu je veiintenzitet. Dakle, djelovanje elektromagnetskoga polja na nabijeneestice moralo bi ovisiti o amplitudama elektrinoga i magnetskogapolja, dakle o intenzitetu svjetlosti. A bilo je zapaeno upravosuprotno tome.Elektroni nisu izbaeni iz materijala ako je frekvencija svjetlosti niaod neke granine vrijednosti, to je opet u sukobu s klasinimpoimanjem po kojemu intenzitet vala, a prema tome i energija, ne

ovisi o frekvenciji nego samo o amplitudi polja.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 18 / 23



19/23


Einsteinovo je objanjenje fotolektrinoga uinka bilo jako jednostavno.

Naime, rije je o sudaru kvanta svjetlosti, kojega je Einstein nazvaofotonom, energije hi elektrona. Pri tome sudaru vrijede zakoni ouvanjaenergije i koliine gibanja. Zakon ouvanja energije kae da se energijakvanta raspodijeli na kinetiku energiju izbaenoga elektrona i na rad koji

je nuno izvriti da bi elektron uope bio iupan iz materijala. To se

zove izlazni rad. Dakle, vrijedi jednadba:h= Ekin +Wiz (17)

Iz jednadbe je (17) odmah vidljivo da kinetika energija elektrona ne ovisio intenzitetu svjetlosti. Naime, u toj jednadbi nigdje nema amplitudeelektromagnetskoga polja. Takoer je vidljivo da postoji neka najnia,granina, frekvencija g, pri kojoj je kinetika energija elektrona jednaka 0,to znai da elektron samo to nije iupan. Za tu graninu frekvencijuvrijedi jednostavan odnosenergija graninoga kvanta jednaka je izlaznom

radu: hg= Wiz.Vladimir Danani () 13. predavanje 12. lipnja 2012. 19 / 23



20/23


Einsteinovo se objanjenje fotoelektrinoga uinka savreno slagalo seksperimentom. To je bila prva pobjeda Planckove hipoteze, u kojoj jepojam kvanta dobio pravo graanstva u fizici. Planckova je hipotezapostala neto to se shvaa jako ozbiljno. Ali, pri tome se moramo sjetitidavnih borbi oko pitanja je li svjetlost valne ili korpuskularne naravi. U 19.

je stoljeu Fresnelovo objanjenje ogiba smatrano tako jakim i dosljednim(to je i bilo) da je Newtonova korpuskularna teorija bila sasvim odbaenakao neprikladna. Svjetlost je postala valom, kojega znamo tumaiti i opisatiMaxwellovim jednadbama. Einsteinovo je objanjenje fotoelektrinogauinka vratilo na bojite davno sahranjenu korpuskularnu teoriju svjetlosti.

I kako sada da razuman ovjek odgovori na pitanje: je li svjetlost valnenaravi, ili je estine naravi?. Najprecizniji odgovor na takvo pitanje,zapravo je logiki otvoren i glasi jednostavno DA. Naime, logiku operacijuili ne smijemo shvatiti kao iskljuivo ili.


Toplinsko zraenje Stefan-Boltzmannov zakon


21/23

Stefan-Boltzmannov zakon

Od prije je bio poznat fenomenoloki zakon koji kae da je snaga izraenetopline iz odreenoga objekta razmjerna povrini objekta i etvrtoj potenciji

apsolutne temperature. To je bilo poznato kao Stefan-Boltzmannov zakon.Taj se zakon moe vrlo jednostavno izvesti iz Planckove spektralnerazdiobe. Pri tome dobijemo mogunost posrednog mjerenja Planckovekonstante.


Bohrov model atoma


22/23

Bohrov model atoma

Sljedea pobjeda Planckove hipoteze dola je od strane Nielsa Bohra. Bohrje napravio model atoma u kojemu se elektroni gibaju oko jezgre.Postojanje jezgre atoma bilo je dokazano Rutherfordovim eksperimentom.No, klasina je fizika tumaila da nabijene estice u ubrzanom gibanju gubeenergiju u obliku zraenja elektromagnetshih valova. Dakle, ako bi se

elektron gibao oko nabijene jezgre po, recimo, krunoj putanji, on bi nunoimao centripetalno ubrzanje, i prema tome bi zraio i gubio energiju. Toznai da njegovo gibanje ne traje dugo, nego bi se elektron zabio u jezgrui time bi atom na odreeni nain nestao. No, Bohr je postulirao da seelektron ne moe gibati po bilo kojoj krunoj putanji, nego samo poodreenim putanjama na kojima ne zraienergiju. Te su putanjekvantizirane tako da je kutna koliina gibanja elektrona jednakacjelobrojnom umnoku Planckove konstante podijeljenoj s 2.


Crti


23/23

Crti

http://www.youtube.com/watch?v=Q1YqgPAtzho

http://www.youtube.com/watch?v=Q1YqgPAtzhohttp://www.youtube.com/watch?v=Q1YqgPAtzho

Documents

F2-13-predavanje-beamer[1]