Fabricio Marques do Carmo - USPfma.if.usp.br/~fcarmo/Supersimetria.pdf · Supersimetria Super-álgebra de Poincaré Relações de Comutação e Anti-comutação Relações de Comutação

Supersimetria

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Fabricio Marques do Carmo

Introdução à Teoria Quântica de Campos II

Universidade de São PauloInstituto de Física

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O que faremos:

1 Apresentação e Justificativa da Álgebra SUSITeorema de Coleman-MandulaÁlgebra SUSI

2 Modelo de Wess-ZuminoLagrangiana de Wess-ZuminoTransformações SUSIRelações de Comutação

3 Super-álgebra de PoincaréGeradores da Álgebra SUSIRelações de Comutação e Anti-comutação

4 Super-espaço e SupercamposSuper-espaço e a Forma Diferencial dos Geradores SUSISuper-campos e o Modelo de Wess-Zumino

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O que faremos:





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O que faremos:





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O que faremos:





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Apresentação e Justificativa da Álbebra SUSI


Teorema de Coleman-Mandula

Álgebra SUSI

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O teorema de Coleman-Mandula é um teorema no-go que surge emoposição à tentativa de unificar as álgebras do grupo de Poincaré e dogrupo de simetrias internas.

Ele impõe uma restrição sobre essa possibilidade afirmando que aálgebra de Lie mais geral das simetrias da matriz S consistente comuma teoria quântica de campos relativística deve conter, além dosgeradores do grupo de Poincaré, Pµ e Jµν , no máximo um número finitode operadores escalares Bµ pertencentes à álgebra de Lie de um grupocompacto.

Como resolver isso?

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A transposição do obstáculo imposto pelo teorema deColeman-Mandula pôde ser feita devido a um resultado de Haag,Sohnius e Lopuszanski que mostra que, para incluir as simetriasinternas, a álgebra de Lie grupo de Poincaré deve ser estendida parauma álgebra de Lie graduada que é chamada de álgebra SUSI ousimplesmente super-álgebra.

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Álgebra SUSI



Álgebra SUSI

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Álgebra SUSI



Álgebra SUSI

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Álgebra SUSI

Álgebra SUSI

Nosso objetivo é estender a álgebra do grupo de Poincaré de modo aincluir a SUSI, cujos geradores denotaremos Q e Q̄.

Essa álgebra é uma álgebra de Lie graduada, tendo em sua definiçãocomutadores e anticomutadores e é dada por:

{Qα, Q̄β̇} = 2σµαβ̇

Pµ

{Qα,Qβ} = {Q̄α̇, Q̄β̇} = 0

[Pµ,Qα] =[Pµ, Q̄α̇

]= 0

[Pµ,Pν ] = 0

(1)

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Modelo de Wess-Zumino


Lagrangiana de Wess-Zumino

Transformações SUSI

Relações de Comutação

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Nessa seção apresentaremos o modelo de Wess-Zumino.

Esse modelo foi o primeiro exemplo a ser conhecido de TQC em 4-Dcom SUSI.

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A lagrangiana de Wess-Zumino é:

L0 =12

(∂µA)2 +12

(∂µB)2 +14ψ̄γµ←→∂µψ +

12

F 2 +12

G2 (2)

onde←→∂ ≡ (

−→∂ −

←−∂ ), A e B são campos escalares, ψ é um spinor de

Majorana e F e G são campos escalares auxiliares.

A ação correspondende à lagrangiana (2) acima é então:

S =

∫d4x

[12

(∂µA)2 +12

(∂µB)2 +14ψ̄γµ←→∂µψ +

12

F 2 +12

G2]

(3)

A necessidade de introduzir os campos auxiliares surge para possibilitaro fechamento da álgebra das transformações SUSI (das quaisfalaremos a seguir)...

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As transformações que deixam invariante a ação correspondente àlagrangiana (2) são dadas por:

δA = ε̄ψ

δB = i ε̄γ5ψ

δF = i ε̄γµ (∂µψ)

δG = −ε̄γ5γµ (∂µψ)

δψ = −iγµε (∂µA) + γµγ5ε (∂µB)− εF − iγ5εG

δψ̄ = i ε̄γµ (∂µA)− ε̄γ5γµ (∂µB)− ε̄F − i ε̄γ5G

(4)

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Termos de Massa e Interações

A lagrangiana considerada em (2) corresponde ao caso m = 0.

Para o caso m 6= 0 devemos adicionar à lagrangiana L0 o seguintetermo de massa:

Lm =12

mψ̄ψ + m (AF + BG) (5)

Para (5) vale δLm = (divergência total) e portanto a ação permaneceinvariante.

Em particular, para o caso F = −mA e G = −mB, encontramos:

L = L0 + Lm = L AK .G. + L B

K .G. + L ψ̄,ψDirac (6)

Nessa apresentação não consideraremos o caso de interações, masnas referências apresentamos um artigo que introduz tal conceito.

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Considerando as transformações (4), podemos considerar o efeito deduas transformações sucessivas δ1 e δ2 sobre qualquer um dos camposda lagrangiana do modelo de Wess-Zumino.

Com isso podemos determinar que:

[δ1, δ2] = (2ε̄2γµε1) Pµ (7)

onde Pµ é o operador energia-momento, ou seja: o comutador de duastransformações SUSI corresponde a uma translação no espaço-tempo.

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Super-álgebra de Poincaré


Geradores da Álgebra SUSI

Relações de Comutação e Anti-comutação

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Vamos considerar o exemplo de uma rotação.

Nesse caso podemos definir a nossa trasnformação por:

δψ = iθnJnψ (8)

onde os Jn são os geradores das rotações e os θn são parâmetros.

Em analogia com (8), vamos definir as transformações SUSI de modoque:

δX = iεAQAX (9)

onde X é algum campo (escalar ou spinorial), εA são os parâmetros datransformação e QA são os geradores.

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Vale destacar que tanto εA quanto QA são spinores de Majorana com:

εA =

(ηα

η̄β̇

)e QA =

(Qα

Q̄β̇

)(10)

onde podemos ter α = 1, 2. e β̇ = 1, 2..

Sendo assim, podemos substituir (10), na expressão (9) datransformação em termos dos geradores obtendo:

δX = i(ηαQα + η̄β̇Q̄β̇

)X (11)

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Super-álgebra de Poincarés



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Super-álgebra de Poincarés



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Dado o comutador (7) entre duas transformações SUSI, esperamosencontrar alguma relação de comutação (na verdade anticomutação),entre os geradores que leve em Pµ.

Também esperamos encontrar relações de comutação entre osgeradores SUSI e os geradores do grupo de Poincaré de modo asatisfazer uma propriedade de fechamento, definindo uma álgebra – asuper-álgebra.

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De acordo com (7) temos:

[δ1, δ2] = (2ε̄2γµε1) Pµ = 2

(η2α η̄2

α̇)( 0 σµαβ̇

σ̄µα̇β 0

)(η β

1η̄1β̇

)Pµ

= η̄ α̇2(2σ̄µα̇βPµ

)η β

1 − ηα

2

(2σ̄µ β̇

α Pµ)η̄1β̇

(12)

Mas, a partir de (11) encontramos:

[δ1, δ2] = η α1 {Qα,Qβ}η β

2 − ηα

2 {Qα, Q̄β̇}η̄1β̇

+ ηα1 {Qα, Q̄β̇}η̄2β̇ + η̄1α̇{Q̄α̇, Q̄β̇}η̄2β̇

(13)

E comparando (12) e (13) ...

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Comparando (12) e (13), temos:


Pµ

{Qα,Qβ} = {Q̄α̇, Q̄β̇} = 0(14)

que é a primeira parte da super-álgebra, que foi apresentada no ínicioem (1).

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Vamos agora supor que tenhamos alguma relação do tipo:

[Qα,Pµ] = eσµαβ̇Q̄β̇ (15)

onde e é algum número desconhecido.

Nesse caso temos:

[Qα,Pµ]∗ = [Q̄α̇,Pµ] = e∗σµαβ̇Qβ (16)

e, utilizando a identidade de Jacobi na forma:

[[Qα,Pµ],Pν ] + [[Pµ,Pν ],Qα] + [[Pν ,Qα],Pν ] = 0 (17)

encontramos, usando o fato de que [Pµ,Pν ] = 0, que e = 0 e com isso...

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Com isso, chegamos a mais uma parte da super-álgebra (1):

[Pµ,Qα] = [Pµ, Q̄α̇] = 0

[Pµ,Pν ] = 0(18)

Podemos ainda encontrar as seguintes relações de comutação entre osgeradores SUSI e os geradores Jµν :

[Jµν ,Qα] = −i (σµν) βα Qβ

[Jµν , Q̄α̇] = −i (σ̄µν)α̇β̇ Q̄β̇(19)

onde σµν ≡ 14 (σµσ̄ν − σν σ̄µ).

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Juntando as relações de anticomutação (14) e comutação (18) com asrelações de comutação da álgebra do grupo de Poincaré, temos:

[Jµν , Jρσ] = i (gνρJµσ − gµρJνσ + gµσJνρ − gνσJµρ)}

Lor.

[Pµ, Jρσ] = i (gµρPσ − gµσPρ)

[Pµ,Pν ] = 0

Poinc.

[Jµν ,Qα] = −i (σµν) βα Qβ

[Jµν , Q̄α̇] = −i (σ̄µν)α̇β̇ Q̄β̇

[Pµ,Qα] = [Pµ, Q̄α̇] = 0


Pµ

{Qα,Qβ} = {Q̄α̇, Q̄β̇} = 0

Sup

er-Á

lgeb

ra

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Super-espaço e Super-campos


Super-espaço e a Forma Diferencial dos Geradores SUSI

Super-campos e o Modelo de Wess-Zumino

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Super-espaço

A ideia de super-espaço surge de tentar definir os geradores SUSIcomo geradores de translações em um certo espaço de coordenadas θα

e θ̄α̇, ou seja, tentamos definir algo do tipo:

Qα ∼∂

∂θαe Q̄α̇ ∼ ∂

∂θ̄α̇(20)

Tentamos fazer isso em analogia com Pµ = −i ∂∂xµ .

Essas novas coordenadas θ e θ̄, juntamente com as coordenadas x doespaço tempo formam o conjunto de coordenadas z do que chamamosde super-espaço:

zm =(xµ, θα, θ̄α̇

)(21)

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Forma Diferencial dos Geradores SUSI

Para encontrar a forma diferencial específica dos geradores comooperadores diferenciais atuando sobre coordenadas do super-espaço,consideramos a forma de uma translação no super-espaço como:

S(xµ, θα, θ̄α̇) = exp(

ixµPµ + iθαQα + i θ̄α̇Q̄α̇)

(22)

O efeito de duas translações sucessivas pode ser analisado fazendouso da fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff:

exp (A) exp (B) = exp(

A + B +12

[A,B] + . . .

)(23)

Com isso, temos:

S(x ′, θ′, θ̄′) ≡ S(x , θ, θ̄)S(a, ξ, ξ̄)

= exp(

i(x + a)P + (θ + ξ)Q + (θ̄ + ξ̄)Q̄ +12[ξQ, θ̄Q̄

]+

12[ξ̄Q̄, θQ

])(24)

onde os termos de maior ordem se anulam devido à nilpotência doselementos de Grassman.

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Forma Diferencial dos Geradores SUSI

A partir de (24) e usando as relações de anticomutação entre osgeradores, podemos mostrar que:

xµ = xµ + aµ + i(θασµαα̇ξ̄

α̇ − ξασµαα̇θ̄α̇)

θα = θα + ξα

θ̄α̇ = θ̄α̇ + ξ̄α̇

(25)

As formas diferenciais dos geradores que produzem as transformaçõesacima nas coordenadas são:

Qα = −i∂α − σµαα̇θ̄α̇∂µ

Q̄α̇ = +i ∂̄α̇ + θασµαα̇∂µ(26)

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Super-campos e o modelo de Wess-Zumino

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Super-campos e o modelo de Wess-Zumino

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Super-campos

Vamos introduzir campos definidos no super-espaço – os super-campos.

O objetivo aqui é encontrar um super-campo cujas componentes emuma expansão com campos bosônicos e fermiônicos sejam os camposque aparecem na lagrangiana de Wess-Zumino.

Tal expansão é algo do tipo:

Φ(x , θ, θ̄) = C(x) + θχ(x) + θ̄η̄(x) + θθM(x)

+ θ̄θ̄N(x) + θσµθ̄Aµ(x) + θθθ̄ξ̄(x)

+ θ̄θ̄θλ(x) + θθθ̄θ̄∆(x)

(27)

onde os índices omitidos estão contraídos em cada termo.

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Super-campos

A lei de transformação para um super-campo é:

δΦ(z) = −i(aP + ξQ + ξ̄Q̄)Φ(z) (28)

Agora vamos definir uma derivada covariante Dα (e uma D̄α̇) de talforma que tenhamos que, se Φ é um super-campo (no sentido desatisfazer (28)), então DαΦ e D̄α̇Φ também são:

Dα = ∂α + iσµαα̇θ̄α̇∂µ

D̄α̇ = −∂̄α̇ − iθασµαα̇∂µ(29)

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Revisitando o Modelo de Wess-Zumino

Vamos agora à recuperação do modelo de Wess-Zumino, isto é, vamosmostrar um super-campo cuja ação é a ação do modelo deWess-Zumino.

Tal super-campo deve obedecer uma equação de vículo do tipo:

D̄α̇T (x , θ, θ̄) = 0 (30)

Um super-campo que obedece a equação (30) é chamado desuper-campo chiral.

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Podemos mostrar que para a derivada covariante Q̄α̇ vale:

U−1D̄α̇U = −∂̄α̇ (31)

onde U ≡ exp(iθασµαα̇θ̄

α̇∂µ)

= S(iθασµαα̇θ̄α̇, 0, 0).

Assim, definindo T = UT̃ , substituindo isso na equação de vínculo dosuper-campo chiral (30) e usando a equação (31), temos:

U∂̄α̇T̃ = 0 (32)

que significa que T̃ = T̃ (x , θ), de modo que na expansão geral de umsuper campo (27), sobram apenas alguns termos.

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Com isso nossa expansão para T̃ , fica:

T̃ (x , θ) = φ(x) +√

2θαψα(x) + θαθαH(x) (33)

E conforme a definição de T̃ por T = U−1T , encontramos a expansãopara T como:

T (x , θ, θ̄) = φ(x) + i(θσµθ̄)∂µφ(x)− 12

(θσµθ̄)(θσν θ̄)∂µ∂νφ(x)

+√

2θψ(x) + i√

2(θσµθ̄)θ∂µψ(x)

+ (θθ)H(x)

(34)

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Finalmente, podemos definir a ação como uma integral sobre ascoordenadas do super-espaço da seguinte forma:

S =

∫d4xd2θd2θ̄T ∗(x , θ, θ̄)T (x , θ, θ̄) (35)

sendo as integrações sobre as variáveis de Grassman possíveis de secalcular por meio das relações:∫

d2θ(θθ) = 1 e∫

d2θ̄(θ̄θ̄) = 1 (36)

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Fazendo então as integrações sobre as coordenadas grassmanianas,chegamos a:

S =

∫d4x

[(∂µφ)(∂µφ∗) +

i2σµαα̇(ψ̄α̇

←→∂ ψα) + HH∗

](37)

Por fim, definindo campos escalares complexos como:

φ ≡ A− iB√2

e H =F + iG√

2(38)

vemos facilmente que a ação acima é justamente a ação do modelo deWess-Zumino que foi apresentada no início em (3).

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Conclusões

Conclusões

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Conclusões

Conclusões

Justificamos a possibilidade de escapar das restrições impostas peloTeorema de Coleman-Mandula estendendo a álgebra de Poincaré auma álgebra de Lie graduada – a super-álgebra.

Apresentamos as relações de comutação e anticomutação dasuper-álgebra.

Apresentamos o Modelo de Wess-Zumino que foi o primeiro modelo deTQC SUSI em 4-D.

Mostramos a validade das relações de comutação e anticomutação dasuper-álgebra e apresentando essa super-álgebra como uma extensãoda álgebra do grupo de Poincaré.

Introduzimos o conceito de super-espaço e apresentamos as formadiferenciais dos geradores SUSI.

Introduzimos o conceito de super-campos e, finalmente, apresentamoso super-campo correspondente ao Modelo de Wess-Zumino.

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Conclusões

Conclusões







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Conclusões

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Conclusões

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Conclusões

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Conclusões

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Referências

Bibliografia:

Ryder, L. H. Quantum Field Theory. Cambridge University Press, 1996(Second Edition).(Aqui é possível encontrar os detalhes da grande maioria dos cálculos apresentados nesseseminário)

Wess, J. and Bagger, J., Supersymmetry and Supergravity. Princeton University Press, 1992(Second Edition).

Wess, J. and Zumino, B., Nuclear Physics, B70, 39 (1974).

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Referências

Extras:

Wess, J. and Zumino, B., Phys. Lett., 49B, 1 (1974).(Aqui é possível encontrar uma introdução ao caso da Lagrangiana de Wess-Zumino comtermos de interação)

Cooper, F., Khare, A. and Sukhatme, U. Supersymmetry in Quantum Mechanics. WorldScientific, 2001.(Aqui é possível encontrar uma versão relativamente completa das idéias da MecânicaQuântica SUSI)

Drigo Filho, E. Supersimetria aplicada à Mecânica Quântica. Editora Unesp, 2009.(Aqui é possível encontrar uma introdução didática e informal das idéias da MecânicaQuântica SUSI)

Das, A. Field Theory: A Path Integral Approach. World Scientific, 1993.(Aqui é apresentado – no Capítulo 9 se eu estiver certo – o modelo de Mecânica Quântica doOscilador SUSI)

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