Fachbereich I Management, Controlling, Health Care

Mathematikvorkurs

Wintersemester 2017/2018

Elizaveta Buch

Fachbereich I

Management, Controlling, Health Care

Themenüberblick

11.09.2017 Mathematikvorkurs - Elizaveta Buch

Montag • Grundrechenarten und -regeln

• Bruchrechnen

• Prozentrechnung

Dienstag • Binomische Formeln

• Potenzen, Wurzeln und Logarithmus

• Summen- und Produktzeichen

• Folgen und Reihen

Mittwoch • Lineare Gleichungen

• Funktionsbegriff

• Darstellung von Funktionen

• Definitions- und Wertemenge

• Lineare Funktionen

Donnerstag • Quadratische Gleichungen lösen

Freitag • Quadratischen Funktionen/ Scheitelpunktsform

• Umkehrfunktion

• Grenzwert

Zahlenmengen


ℕ Natürliche Zahlen

ℤ Ganze Zahlen

ℚ Rationale Zahlen

ℝ Reelle Zahlen

ℂ Komplexe Zahlen

Grundrechenarten


1) Addition

Summand + Summand = Summe

2) Subtraktion

Minuend – Subtrahend = Differenz

3) Multiplikation

Faktor • Faktor = Produkt

4) Division

Dividend : Divisor = Quotient

Beispiel:

6 + 2 = 8

6 – 2 = 4

6 ∙ 2 = 12

6 : 2 = 3

Rechenregeln


1) Punkt- vor Strichrechnung

2) Klammern zuerst berechnen

Bei geschachtelten Klammern von innen nach außen rechnen:

Beispiel:

Beispiel:

= 23 + 7

23 + 14 ∶ 2

= 30

= 5 ∗ 35 ∗ 4 − 1

= 15

Beispiel:

= 4 ∗ 5 + 2 − 10

4 ∗ 2 + 3 + 2 − 10

= 20 + 2 − 25

= −3

3) Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

4) Die Division durch 𝟎 ist in keinem Fall erlaubt!

Rechenregeln


(𝑥 − 4) ∗ 𝑥 + 2 = 0

(𝑥 − 4) = 0 (𝑥 + 2) = 0und

𝑥 = 4 𝑥 = −2

Beispiel:

Grundregeln der Multiplikation


1) Kommutativgesetz

Beispiel:

2) Assoziativgesetz

Beispiel:

3) Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern)

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 2 ∗ 4 = 4 ∗2

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ c) 2 ∗ 3 ∗ 4 = 2 ∗ (3 ∗ 4)(6) ∗ 4 = 2 ∗ 12

24 = 24

𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑎 ∗ 𝑑 + 𝑏 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑑𝑎 ∗ 𝑏 + c = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐

2 ∗ 3 + 4 = 2 ∗ 3 + 2 ∗ 42 ∗ 7 = 6 + 8

14 = 14

2 + 5 ∗ 3 + 1 = 2 ∗ 3 + 2 ∗ 1 + 5 ∗ 3 + 5 ∗ 17 ∗ 4 = 6 + 2 + 15 + 5

28 = 28

Beispiel:

Beispiel:

Eine Summe durch Ausklammern zu einem Produkt umformen.

Faktorisieren


Beispiel: 𝑥2 + 3𝑥 = 0

𝑥 ∗ (𝑥 + 3) = 0

𝑥 = 0 (𝑥 + 3) = 0und

𝑥 = 0 𝑥 = −3

Bruchrechnung


1) Kehrbruch: Zu jedem Bruch gibt es einen Kehrbruch

Dabei gilt:

2) Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl 𝑐 ≠ 0 multipliziert.

Beispiel:

3) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl 𝑐 ≠ 0 dividiert.

Beispiel:

𝑎

𝑏∗𝑏

𝑎= 1

𝑎

𝑏∗𝑎 ∗ 𝑐

𝑏 ∗ 𝑐

2

3=2 ∗ 4

3 ∗ 4=

8

12

𝑎 ∗ 𝑐

𝑏 ∗ 𝑐=𝑎

𝑏

8

12=2 ∗ 4

3 ∗ 4=2

3

Zähler

Nenner

Bruchrechnung


4) Strichrechnung:

• Brüche mit gleichem Nenner

Beispiel:

• Brüche mit unterschiedlichen Nennern

• Multiplikation: „Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler“

• Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

𝑎

𝑐±𝑏

𝑐=𝑎 ± 𝑏

𝑐

3

5+1

5=4

5

𝑎

𝑏±𝑐

𝑑=𝑎 ∗ 𝑑

𝑏 ∗ 𝑑±𝑐 ∗ 𝑏

𝑑 ∗ 𝑏=𝑎 ∗ 𝑐 ± 𝑐 ∗ 𝑏

𝑏 ∗ 𝑑

5) Punktrechnung:

Beispiel:3

4+1

6=3 ∗ 3 + 1 ∗ 2

12=11

12

𝑎

𝑏∗𝑐

𝑑=𝑎 ∗ 𝑐

𝑏 ∗ 𝑑 𝑎 ∗𝑏

𝑐=𝑎 ∗ 𝑏

𝑐

𝑎

𝑏:𝑐

𝑑=𝑎

𝑏∗𝑑

𝑐=𝑎 ∗ 𝑑

𝑏 ∗ 𝑐

Bruchrechnung


6) Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden.

Beispiel:

8) Gemischte Brüche

7) Kein Kürzen in Differenzen und Summen

𝑎𝑏𝑐𝑑

=𝑎

𝑏:𝑐

𝑑=𝑎 ∗ 𝑑

𝑏 ∗ 𝑐

2943

=2

9:4

3=2 ∗ 3

9 ∗ 4=

6

36=1

6

4𝑥 − 2𝑥2

2𝑥2=2𝑥 ∗ (2 − 𝑥)

2𝑥 ∗ 𝑥=2 − 𝑥

𝑥

Schreibweise irreführend, daher umformen

in unechten Bruch!

Beispiel: 31

6=18

6+1

6=19

6

Gegeben: Grundwert = 1350,00 €

Prozentsatz = 3%

Gesucht: Prozentwert

Rechnung:

𝟏

𝟏𝟎𝟎= ein Hundertstel = eins „vom Hundert“ = Prozent = %

Grundwert: der Wert, der 100% entspricht

Prozentwert: der Wert, der x% entspricht

Prozentsatz: der Wert, der vor dem %-Zeichen steht

Bruchrechnung:

Sonderfall Hundertstel


= 1350,00€ ∗ 3 ∗1

100

1350,00€ ∗ 3%

Beispiel:

Ein Auto kostet 1350,00 €. Wie hoch ist die

Ersparnis, wenn der Rabatt 3% beträgt?

= 1350,00€ ∗ 0,03

= 40,50€

Binomische Formeln


(a + b)(a – b) = a² – b²

1. Binomische Formel:

2. Binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

3. Binomische Formel:

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏= 𝑎 ∗ 𝑎 + 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑏= 𝑎2 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑏= 𝑎 ∗ 𝑎 − 𝑎 ∗ 𝑏 − 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑏= 𝑎2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏2

𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑎 − 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑏 ∗ 𝑏= 𝑎2 − 𝑏2

1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem man die

Exponenten addiert bzw. subtrahiert und die Basis beibehält:

2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert, indem man das

Produkt bzw. den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert

Potenzgesetze


𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚

𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛𝑎𝑛

𝑏𝑛=

𝑎

𝑏

𝑛

Potenzgesetze


3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die

Basis beibehält

4) Sinnvolle Festlegungen bei 𝑎 ≠ 0 :

5) Negative Exponenten

6) Die 𝑛 -te Potenz einer negativen Zahl ist bei geradem Exponenten 𝑛 positiv, bei

ungeradem Exponenten 𝑛 negativ:

(𝑎𝑛)𝑚= 𝑎𝑛∗𝑚

−1 𝑛 = 1, 𝑛 gerade

−1, 𝑛 ungerade

𝑎0 = 1

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛𝑎−2 =

1

𝑎2Beispiel:

Zusammenfassung Potenzgesetze


Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der

Term nicht vereinfachen!

Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!

Wurzeln


Suche nach der Basis einer Potenz:

Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung 𝑥𝑛 = 𝑎.

Beispiel:

→ zweideutiger Rechenausdruck

𝑥𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 = 𝑥

𝑥2 = 16 ±216 = ±4

Wurzeln


Für das Rechnen mit Wurzeln gilt:

𝑛 𝑎 = 𝑎1𝑛

𝑎 = 2 𝑎 = 𝑎12𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎

1𝑛∗𝑛 = 𝑎

𝑛𝑥𝑚 = 𝑎

𝑚𝑛

𝑛𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑛 𝑎 ∗

𝑛𝑏

𝑛 𝑎

𝑏=

𝑛 𝑎𝑛𝑏

𝑎2𝑏 = 𝑎 𝑏

𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 2 = 𝑎

𝑛 𝑚 𝑎 = 𝑛∗𝑚 𝑎

𝑛 𝑎 𝑚 =𝑛𝑎𝑚

Logarithmus


Suche nach dem Exponenten einer Potenz:

Der Logarithmus einer Zahl 𝑛 zur Basis 𝑎 ist die Zahl 𝑥, mit der man a

potenzieren muss, um 𝑛 zu erhalten.

Dabei gilt: Das Argument des Logarithmus muss immer positiv sein!

Für jedes 𝑎 gilt log𝑎 1 = 0 ,da 𝑎0 = 1 .

𝑎𝑥 = 𝑛 log𝑎 𝑛 = 𝑥

log𝑎 𝑥𝑦 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦

log𝑎𝑥

𝑦= log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦

log𝑎 𝑥𝑘 = 𝑘 ∗ log𝑎 𝑥

𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥

log𝑎(𝑎𝑥) = 𝑥

Natürlicher Logarithmus und

Zehnerlogarithmus


Die eulersche Zahl 𝑒 ≈ 2,718281828

Der Logarithmus zur Basis 𝑒 heißt natürlicher Logarithmus

𝒆𝒏 = 𝒙 𝐧 = 𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧𝒙

Der Logarithmus zur Basis 10 heißt Zehnerlogarithmus

𝟏𝟎𝒏 = 𝒙 𝐧 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒙 = 𝐥𝐠 𝒙

log𝑏 𝑥 =log𝑎 𝑥

log𝑎 𝑏Wichtige Umformung:

Überblick:

Potenz, Wurzel, Logarithmus


𝑎𝑥 = 𝑛 log𝑎 𝑛 = 𝑥

𝑥𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 = 𝑥

𝑥𝑛 = 𝑎Potenzgleichung:

Basis gesucht:

Exponenten gesucht:

Summenzeichen


„Summiere alle Ausdrücke qi auf, wobei der Parameter i alle natürlichen

Zahlen von 0 bis n durchläuft.“

Dabei gilt:

𝑖=0

𝑛

𝑞𝑖 = 𝑞0 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 +⋯+ 𝑞𝑛−1 + 𝑞𝑛

𝑖=0

𝑛

(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖) =

𝑖=0

𝑛

𝑎𝑖 ±

𝑖=0

𝑛

𝑏𝑖

𝑖=0

𝑛

𝑐 ∗ 𝑎𝑖 = 𝑐 ∗

𝑖=0

𝑛

𝑎𝑖

Produktzeichen


Analog bietet das Produktzeichen die Möglichkeit, ein Produkt

vereinfacht darzustellen:

„Multipliziere alle Ausdrücke 𝑎𝑖 , wobei der Parameter 𝑖 alle natürlichen

Zahlen von 1 bis 𝑛 durchläuft.“

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 = 𝑎1 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑎3 ∗ ⋯∗ 𝑎𝑛

Folgen


Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge

festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h.

die erste Zahl) der Folge heißt 𝑎1 ,das zweite 𝑎2 ,... , das 𝑛-te Glied heißt 𝑎𝑛.

Beispiel:

(1, 7, 4, 21, 16, …), wobei 𝑎1 = 1; 𝑎2 = 7; 𝑎3 = 4; …

Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen

Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder

unmöglich.

Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, …)

Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 für 𝑛 ≥ 1

Folgen und Reihen


Gegeben sei eine Zahlenfolge (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ. Die Summe der ersten 𝑛 Folgenglieder

wird mit bezeichnet: 𝑠𝑛 = 𝑖=0𝑛 𝑎𝑖.

Die Zahlenfolge (𝑠𝑛)𝑛∈ℕheißt nun die (endliche) Reihe zu 𝑎𝑛. Die einzelnen

Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑠𝑛)𝑛∈ℕbestehen also aus Summen über

Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ.

n 0 1 2 3 4 5 6 …

an 1 2 4 8 16 32 64 …

sn 1 3 7 15 31 63 127 …

Beispiel:

Geometrische Folge / Reihe


Eine geometrische Folge ist durch ein Bildungsgesetz der folgenden Form

charakterisiert:

Beispiel: Für 𝑎𝑜 = 2 und 𝑞 = 3 ergibt sich:

𝑎1 = 2 ∗ 31 = 2 ∗ 3 = 6 𝑎2 = 2 ∗ 32 = 2 ∗ 9 = 18 𝑎3 = 2 ∗ 33 = 2 ∗ 27 = 54

Für die Summe der ersten 𝑛 Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt sich:

Die Folge der sn nennt man geometrische Reihe.

Für 𝑎0 = 1 ergibt sich:

𝑎𝑛 = 𝑎𝑜 ∗ 𝑞𝑛

𝑠𝑛 = 𝑎0 ∗𝑞𝑛+1 − 1

𝑞 − 1

𝑖=0

𝑛

𝑞𝑖 =𝑞𝑛+1 − 1

𝑞 − 1

Geometrische Reihe


Herleitung der Formel für 𝑛 = 3:

𝑆3 =

𝑖=0

3

𝑞𝑖

𝑆 = 1 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3

𝑆 ∗ 𝑞 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4

∗ 𝑞

𝑆 ∗ 𝑞 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4 − 𝑆 mit 𝑆 =1 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3

𝑆 ∗ 𝑞 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4 − (1 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3) Auflösen der Klammer

𝑆 ∗ 𝑞 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4 − 1 − 𝑞1 − 𝑞2 − 𝑞3

𝑆 𝑞 − 1 = 𝑞4 − 1 : (𝑞 − 1)

𝑆3 =𝑞4 − 1

𝑞 − 1

𝑖=0

3

𝑞𝑖 =𝑞3+1 − 1

𝑞 − 1

−𝑆

Lineare Gleichungen


1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche

auflösen

2) Gleichartige Glieder zusammenfassen

3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle

Variablen auf der linken und alle

absoluten Werte auf der rechten Seite

stehen und weiter zusammengefasst

werden können

4) Multipliziere/Dividiere so, dass die

Variable isoliert wird

10𝑥 − 2 9𝑥 + 7 = −2 ∗ (2 − 𝑥)

10𝑥 − 18𝑥 − 14 = −4 + 2x

−8𝑥 − 14 = −4 + 2x

−8𝑥 − 14 = −4 + 2𝑥 +8𝑥

−10 = 10𝑥 : 10

+4−14 = −4 + 10𝑥

−1 = 𝑥

Beispiel:

Lineare Gleichungen


3 mögliche Fälle:

1. Unendlich viele Lösungen, falls eine „Nullzeile“ 0 = 0 das Ergebnis ist

(d.h. Gleichung gilt für alle 𝑥 ∈ ℝ)

2. Nicht lösbar bei Widerspruch, z.B. 1 = 2

3. Eindeutige Lösung mit 𝑥 = 𝑎.

Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten

der Gleichung angewendet werden.

Überblick:

Lineare Gleichungen lösen


Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung:

1) Auf beiden Seiten Klammern und Brüche auflösen.

2) Gleichartige Glieder zusammenfassen.

3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle

absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammenge-

fasst werden können.

4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.

Funktionsbegriff


Eine Funktion 𝑓 𝑥 ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen.

Dabei wird jedem Element 𝑥 aus einer Definitionsmenge 𝔻 genau ein Element 𝑦

aus der Wertemenge 𝕎 zugeordnet.

Mögliche Darstellungen von Funktionen:

1) Funktionsgleichung 𝑓 𝑥

2) Graph im Koordinatensystem

3) Wertetabelle

4) Pfeildiagramm

Darstellung von Funktionen


Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:

Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente,

kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden.

Beispiel: 𝔻 = {1,2,3,4}

Definitions- und Wertebereich


Die Definitionsmenge 𝔻 enthält alle Zahlen, die für 𝑥 eingesetzt werden

dürfen.

Die Wertemenge 𝕎 beinhaltet alle Zahlen, die 𝑦 annehmen kann.

Überlegungen zur Definitionsmenge:

1) Nenner ≠ 02) Argument der Wurzel ≥ 03) Argument des Logarithmus > 0

Lineare Funktionen


Dies ist eine Zuordnung, bei der jedem 𝒙 das dazugehörige 𝒚zugeordnet wird.

Das heißt: Zu jedem beliebigen 𝑥 -Wert lässt sich der 𝑦 -Wert ermitteln und man

bekommt einen Punkt 𝑃(𝑥 𝑦) des Graphen der Funktion.

Lineare Funktionen


Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch:

1)

2)

3) Steigung 𝒂 und einen Punkt 𝑷 𝒙𝟏 𝒚𝟏 :

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1 Gleichung nach b auflösen

Gleichung:

2 Punkte:

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten legen 𝑎 und 𝑏 eindeutig fest

Schnittpunkte mit den Achsen:• Schnittpunkte mit der 𝑦 -Achse: 𝒙 = 𝟎• Schnittpunkte mit der 𝑥-Achse: 𝒚 = 𝟎• Schnittpunkte zweier Geraden: Geraden gleichsetzen und nach 𝑥 auflösen. Für

Schnittpunkt: 𝑥-Wert in eine Geradengleichung einsetzen und 𝑦 -Wert berechnen

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑃1 𝑥1 𝑦1 und 𝑃2(𝑥2 𝑦2)

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑦2

Quadratische Gleichungen können unterschiedliche Formen

annehmen:

Quadratische Gleichungen


𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Reinquadratische Gleichungen


Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in:

Beispiel: 𝑥2 − 81 = 0

𝑥2 = −𝑐

𝑎

𝑐

𝑎> 0

𝑐

𝑎= 0

𝑐

𝑎< 0

keine Lösung, da 𝑥2 nicht negativ werden kann

genau eine Lösung 𝑥 = 0

zwei Lösungen 𝑥 = ± −𝑐

𝑎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

𝑥2 = 81

𝑥1 = 9 𝑥2 = −9

Die Lösungsmenge ist also 𝕃= −9; 9

Spezielle quadratische

Gleichungen


Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in:

Beispiel:

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist!

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

𝑥 ∗ (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = −𝑏

𝑎

𝑥 ∗ (5𝑥 + 3) = 0

𝑥1 = 0 𝑥2 = −3

5

5𝑥2 + 3𝑥 = 0

Allgemeine quadratische

Gleichungen


𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Die allgemeine quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst:

Binomische Formel

𝑥1/2 = ± −𝑐

𝑎+

𝑏

2𝑎

2

−𝑏

2𝑎

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

Quadratische

Ergänzung𝑥2 +

𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏

2𝑎

2

= −𝑐

𝑎+

𝑏

2𝑎

2

𝑥 +𝑏

2𝑎

2

= −𝑐

𝑎+

𝑏

2𝑎

2

Mitternachtsformel


Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/ abc-Formel,

mit der allgemeine quadratische Gleichungen gelöst werden können:

𝑥1/2 = ± −𝑐

𝑎+

𝑏

2𝑎

2

−𝑏

2𝑎

𝑥1/2 = −𝑏

2𝑎± −

𝑐

𝑎+

𝑏2

4𝑎2

𝑥1/2 = −𝑏

2𝑎±

−𝑐 ∗ 4𝑎 + 𝑏2

4𝑎2

𝑥1/2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Übersicht:

Quadratische Gleichungen lösen


𝑥1/2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑥1 = 0 𝑥2 = −𝑏

𝑎

𝑥1/2 = ± −𝑐

𝑎Wurzel ziehen

Faktorisieren

Mitternachtsformel

𝑏 = 0 :Für

𝑐 = 0 :Für

Allgemein :

pq-Formel


Zur Lösung von

kann, falls 𝑎 = 1 ist oder durch die Umformung

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

alternativ zur abc-Formel die pq-Formel angewendet werden:

𝑥1/2 = −𝑝

2±

𝑝

2

2

− 𝑞

Quadratische Funktionen


𝑎 < 1 𝑎 > 1

nach oben geöffnet nach unten geöffnet

„breiter“ (gestaucht) „schmaler“ (gestreckt)

Scheitelpunktsform


𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎

𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

−𝑏2

4𝑎+ 𝑐

𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏

2𝑎

2

−𝑏

2𝑎

2

+𝑐

𝑎

𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

−𝑏2

4𝑎2+𝑐

𝑎

𝑥𝑠 = −𝑏

2𝑎𝑦𝑠 = −

𝑏2

4𝑎+ 𝑐

Scheitelpunktsform mithilfe der quadratischen Ergänzung:

𝑓 𝑥 = (𝑥 + 𝑥𝑠)2+𝑦𝑠

Scheitelpunkt 𝑆 (−𝑥𝑠 𝑦𝑠)

Quadratische Funktionen


Umkehrfunktion


Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem 𝑦 -Wert genau ein 𝑥 -Wert

zugeordnet ist.

Die Umkehrfunktion wird mit 𝑓−1 𝑥 bezeichnet.

Die Gleichung der Umkehrfunktion von 𝑓 gewinnt man, indem man die

Gleichung 𝑦 = 𝑓 𝑥 nach 𝑥 auflöst und die Bezeichnungen 𝑦 und 𝑥 vertauscht.

Die Graphen der Funktion 𝑦 = 𝑓 𝑥 und ihrer Umkehrfunktion

𝑦 = 𝑓−1 𝑥 liegen spiegelbildlich zur Geraden 𝑦 = 𝑥.

Abschnittsweise definierte

Funktionen


Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken) in ganz ℝ

definiert.

Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein oder stück- bzw.

abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sein:

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2, 𝑥 < −12, −1 ≤ 𝑥 < 33𝑥 − 7, 𝑥 ≥ 3

Grenzwert


Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet denjenigen Wert,

dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert.

Interessante Stellen sind:

Verhalten Richtung ∞

Verhalten Richtung –∞

Verhalten an Definitionslücken

Wertetabelle spiegelt Kurvenverlauf wider.

Betrachtung durch Einsetzen naheliegender Werte für 𝑥.

Betrag und

Betragsfunktion


Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch:

Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man vereinfacht durch Weglassen des

Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen

Zahl von Null.

𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑥 < 0

Verlauf der Betragsfunktion y = 𝑥 in ℝ:

Fragen


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