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Gauss-Jordán y descomposición LU Por Pablo Rodolfo Cruz López 1 Universidad Aztlán Campus Cuernavaca Ingeniería Industrial Materia: Métodos Numéricos Gauss Jordán y descomposición LU Profesor: Ing. Hernández Hernández Erick Alumno: Pablo Rodolfo Cruz López Fecha: 13 de Febrero del 2015

Factorización LU y Gauss Jordan

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Ejercicios resueltos para la Universidad Aztlán sobre el método de Factorización LU y el método de Gauss Jordan.

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  • Gauss-Jordn y descomposicin LU

    Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez

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    Universidad Aztln

    Campus Cuernavaca

    Ingeniera Industrial

    Materia: Mtodos Numricos

    Gauss Jordn y descomposicin LU

    Profesor: Ing. Hernndez Hernndez Erick

    Alumno: Pablo Rodolfo Cruz Lpez

    Fecha: 13 de Febrero del 2015

  • Gauss-Jordn y descomposicin LU

    Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez

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    Gauss-Jordn y descomposicin LU

    Introduccin:

    Buenas tardes profesor. He estado en el trabajo desde las 7 de la maana, y me pusieron a

    inspeccionar una mquina que no tiene dificultades en nada. Ya llevo como 5 horas haciendo la

    tarea, y quera comentarle que hay varios videos en youtube donde explican el mtodo de factorizacin LU y el de Gauss-Jordn que me fueron de utilidad.

    Pero tena una duda, en la anterior tarea cuando hablamos de calcular el determinante, vimos que

    cuando triangulizamos la matriz solo debamos de multiplicar los elementos de la diagonal.

    Y ahora que vi esto del Gauss-Jordn quise hacer lo mismo pero no pude. Porque el determinante

    pues siempre me va a dar uno. Entonces creo haber ledo en el Chapra que decan eso, que solo si se

    trianguliza usando el mtodo de eliminacin gaussiana simple se puede. No s si me pueda indicar

    si estoy bien o no con respecto a eso.

    Luego en sus notas no entend muy bien lo del mtodo LU, porque usan los pasos del mtodo

    Gaussiano simple.

    Solucin:

    Primero me voy a echar el mtodo de Gauss-Jordn.

    Escribir esta cosa de manera matricial:

    |

    |

    Dado que la primera fila ya tiene 1 en el primer elemento ya no tenemos que hacer eso que el

    Chapra llama normalizar.

    Ahora a la segunda fila le restamos el producto por de la primera fila. Es decir:

    |

    | |

    |

    |

    |

    Ahora multiplicamos la primera fila por 2 y se la restamos a la tercera fila. As:

    |

    | |

    |

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    |

    |

    Ahora conviene que dividamos la segunda fila entre -2 para normalizarla, as:

    |

    | |

    |

    |

    |

    Ahora que la tenemos normalizada, a la primera fila le sumamos la segunda fila, y a la tercera fila le

    restamos cinco veces la segunda fila, as:

    |

    |

    |

    |

    |

    |

    ||

    ||

    Ahora si multiplico la tercera fila por

    tendremos:

    |

    |

    |

    | (

    )

    |

    |

    |

    |

    ||

    ||

    Ahora conviene que la tercera fila la multiplicamos por

    y el resultado se lo restemos a la primera

    fila. Luego tambin debemos de multiplicar la tercera fila por

    y restarle el resultado a la segunda

    fila. As:

    ||

    ||

    ||

    ||

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    |

    |

    As tenemos que

    Factorizacin LU

    Tengo que |

    | y que |

    | |

    |

    Donde

    Luego checando eso de la multiplicacin de matrices que viene en el Zill tenemos que:

    (primera fila de L por primera columna de U)

    (primera fila de L por segunda columna de U)

    (primera fila de L por tercera columna de U)

    (segunda fila de L por primera columna de U)

    De esto se tiene que:

    (segunda fila de L por segunda columna de U) De esto nos da:

    (segunda fila de L por tercera columna de U)

    De esto nos da que:

    (tercera fila de L por primera columna de U)

    De esto nos da que

    (tercera fila de L por segunda columna de U)

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    Finalmente tenemos que:

    Con todo lo anterior tenemos que:

    |

    | |

    |

    Ahora en este documento http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-26.pdf encontr que

    como:

    |

    | |

    | |

    | |

    |

    Luego se utiliza una |

    | |

    |, entonces tenemos que:

    |

    | |

    |, |

    | |

    | |

    |

    De aqu tenemos que

    , ,

    Luego tenemos que:

    |

    | |

    | |

    |, |

    | |

    | |

    |

    De la ltima parte tenemos que:

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    b)

    Solucin:

    |

    |

    Conviene que primero apliquemos un pivoteo de la tercera fila a la primera. As:

    |

    | |

    |

    Ya que tenemos 1 en la primera columna de la primera fila ya podemos comenzar a eliminar los

    dems trminos. Multiplicamos la primera fila por 8 y el resultado se lo restamos a la segunda fila,

    tambin multiplicamos la primera fila por 7 y el resultado se lo restamos a la tercera fila:

    |

    |

    |

    |

    |

    |

    Ahora conviene que la segunda fila la dividamos entre 2 para normalizar esta cosa:

    |

    | |

    |

    Multiplicamos la segunda fila por 5 y el resultado se lo restamos a la primera. Tambin

    multiplicamos la segunda fila por 6 y la sumamos a la tercera:

    |

    |

    |

    |

    =|

    |

    Ahora dividimos la tercera fila entre 5 y tendr que:

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    |

    | |

    |

    Luego multiplicamos por dos la tercera fila y el resultado se lo restamos a la segunda fila. Y

    multiplicamos por 13 la tercera fila y el resultado se lo sumamos a la primera:

    |

    |

    |

    |

    |

    |

    As tenemos que

    Factorizacin LU

    Tengo que |

    | y que |

    | |

    |

    Aplicando el algoritmo tenemos que:

    (primera fila de L por primera columna de U)

    (primera fila de L por segunda columna de U)

    (primera fila de L por tercera columna de U)

    Ahora vamos con la segunda fila:

    (segunda fila de L por primera columna de U)

    (segunda fila de L por segunda columna de U)

    ,

    (segunda fila de L por tercer columna de U)

    ,

    Ahora vamos con la tercera fila

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    (tercera fila por primera columna)

    (tercera fila por segunda columna)

    (

    ) (

    )

    (

    )

    (

    )

    ,

    As tenemos que:

    |

    | |

    |

    Repitiendo el mismo procedimiento que el ejercicio anterior:

    |

    | |

    | , |

    | |

    | |

    |

    ,

    Luego tenemos que:

    ||

    || |

    | |

    | |

    |

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    De aqu es claro que:

    ,

    ,

    c)

    Solucin: Primero lo escribimos de manera matricial:

    |

    |

    Conviene que primero multipliquemos la primera fila por -1:

    |

    | |

    |

    Ahora multiplicamos por 2 la primera fila y el resultado se lo restamos a la segunda. Luego

    multiplicamos por 4 la primera fila y le sumamos el resultado a la tercera as:

    |

    |

    |

    |

    |

    |

    Ahora conviene que dividamos la segunda fila por 4, as:

    |

    | |

    | |

    |

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    Ya que tenemos normalizado, conviene que la segunda expresin la multipliquemos por 3 y el

    resultado se lo restemos a la primera fila. Luego que multipliquemos la segunda fila por 5 y el

    resultado se lo restemos a la tercera fila.

    |

    |

    |

    |

    |

    |

    Por pura chiripa ya se resolvi la primera fila.

    Ahora multiplicamos la segunda fila por 5 y le restamos el resultado a la tercera fila, as:

    |

    | |

    |

    |

    |

    Dividimos la tercera fila por 13:

    |

    | |

    |

    Multiplicamos la tercera fila por 4 y el resultado se lo sumamos a la segunda fila:

    |

    | |

    | |

    |

    De esto podemos concluir que

    Factorizacin LU

    Tengo que |

    | y que |

    | |

    |

    Para la primera fila:

    (primera fila de L por primera columna de U)

    (primera fila de L por segunda columna de U)

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    (primera fila de L por tercera columna de U)

    Segunda fila:

    (segunda fila de L por primera columna de U)

    (segunda fila de L por segunda columna de U)

    (segunda fila de L por tercera columna de U)

    Tercera fila: (tercera fila de L por primera columna de U)

    (tercera fila de L por segunda columna de U)

    (tercera fila de L por tercera columna de U)

    As tenemos que:

    |

    | |

    |

    |

    |

    Repitiendo el procedimiento de los dos problemas anteriores tenemos que:

    |

    | |

    |

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    |

    | |

    | |

    |

    De esto se tiene que

    ,

    Luego

    |

    | |

    | |

    |

    ,

    ,

    ,

    , ,

    d)

    Solucin:

    ||

    ||

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    En este me tendr que disculpar pero no s como poner adecuadamente la matriz de 4x4,

    comprender que por eso me ha costado algo de trabajo.

    Afortunadamente la primera fila ya tiene 1, as multiplicamos por 2 la primera fila y le sumamos el

    resultado a la segunda fila. Luego multiplicamos la primera fila por 3 y el resultado se lo restamos a

    la tercera fila. Y finalmente a la cuarta fila le restamos la primera:

    ||

    ||

    ||

    ||

    ||

    ||

    Ahora a la cuarta fila le restamos la segunda fila:

    ||

    || |

    |

    ||

    ||

    ||

    Luego sin necesidad de seguirle podemos ver que hay una inconsistencia en la cuarta y en la tercera

    columna:

    y

    Lo cual nos conduce a que que es una inconsistencia. De hecho si calculamos el determinante me da cero. Pero perdone que no lo capture porque me voy

    a tardar mucho porque tengo que hacer 3 determinantes de 3 x3.

    En el Burden dice que la factorizacin LU sirve siempre y cuando el determinante sea distinto de

    cero. As que no veo el caso de comenzarla.

    [1] Steven C. Chapra., Raymond P. Canale, Mtodos numricos para Ingenieros, Quinta Edicin. Editorial McGraw-Hill.

    [2] Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Mtodos numricos, segunda edicin. Editorial Thomson Internacional.