FACULDADE DE ARQUITECTURA DA UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA ÁREA CIENTÍFICA DE DESENHO E COMUNICAÇÃO GRUPO DE DISCIPLINAS DE GEOMETRIA

EXERCÍCIOS

PROJECÇÕES COTADAS – (exercícios resolvidos) C_er_01 2006

1) Intersecções entre planos e rebatimentos.

Dados:

Considere dois planos α e β.

n 0α

n1β

n5β

n3α

0 5m

1 U.A. = 1m

Problema:

Determine:

a) a recta de i de intersecção dos planos planos;

b) a distância entre as rectas de nível do plano α.

Resolução:

n =0

n1

n2

n4

n5

α

α

α

α

α

n0n1β

n 2βn3β

n4β

n5βi

A5

A4

A2

A1

A0

A3

dα

n 5r0α

n4r0α

n 3r0α

n2r0α

n1r0α

n 0r0α

n3α

0 5m

1 U.A. = 1m

Para determinar a recta i de intersecção dos dois planos procede-se à graduação de ambos (operação

omitida no desenho) e de seguida intersectam-se pares de rectas de nível a igual cota (note que apenas

são necessários dois pares de rectas).

Para determinar a distância entre as rectas de nível do plano α procede-se ao seu rebatimento. Neste

caso tomou-se a sua recta de cota 0 como charneira (note que todos os pontos de α descrevem arcos

contidos em planos perpendiculares à charneira).

2) Secções.

Dados:

Considere um plano α definido por duas rectas de nível, e um círculo [c] à cota 0 como base de uma semi-

esfera de cota positiva.

n 6α

n 0α

0 5m

1 U.A. = 1m[c]0

Problema:

Determine a secção produzida pelo plano α na semi-esfera.

Resolução:

6

5

4

3

2

1

0

n6α

n5α

n4α

n3α

n2α

n1α

n 0α

5.5

n 5.5α

n2.5α

2.5

6 534 05.52.5

0 5m

1 U.A. = 1m

[c]0

O primeiro passo da resolução consiste em graduar o plano α (operação omitida no desenho) e a

superfície da semi-esfera.

De seguida intersectam-se pares de linhas com a mesma cota. A linha que delimita a secção (a azul no

desenho) será desenhada através da união dos vários pontos determinados (note que neste exercício

foram utilizadas linhas de nível auxiliares que não estão a cota redonda – a verde no desenho).

3) Graduações.

Dados:

Considere o segmento [VE] como eixo de um cone de revolução de vértice V e centro de base E com raio

r.

V3 E9.5

0 5m

1 U.A. = 1m

Problema:

Represente o cone e efectue a graduação da sua superfície.

Resolução:

0 5m

1 U.A. = 1m

V =I3E9.5

Vr0

n9

I r0

T

X r0

X

T'

T''

g'

g''

M r0

M 9

N 9

O 9

A r0

A9 B9

Yr0

Y9

C 9

D 9

Or0

O9

P9

Q9

j

B r0

Z r0

Z

S

W

Er0

F r0

Gr0

GF

raio = r

raio = r

Começa-se por rebater o plano vertical do eixo para o plano de referência (note que o rebatimento pode

ser feito para qualquer plano de nível) obtendo os pontos Vr0 e Er0.

O plano vertical do eixo intersecta o plano da base do cone segundo o segmento [FG] que mede 2r. Estes

pontos são determinados em rebatimento sendo depois determinadas as suas projecções.

Pelo ponto E passa um diâmetro de nível cuja projecção se encontra em verdadeira grandeza. Os

extremos da projecção deste diâmetro e as projecções dos pontos F e G correspondem aos extremos dos

eixos maior e menor da projecção da base do cone (que é obviamente uma elipse).

Para determinar os pontos T’ e T’’ (por onde passam as geratrizes g’ e g’’ de contorno aparente)

determinam-se os planos verticais tangentes à superfície do cone. Para o efeito considera-se a recta

vertical que passa por V, determina-se I (a sua intersecção com o plano da base) pelo qual se conduzem

rectas tangentes à circunferência que delimita a base nos pontos T’ e T’’ (operação equivalente à que

corresponde, no desenho, ao traçado da recta Ir0.T).

De seguida passa-se à graduação da superfície do cone (apenas foi considerada a determinação da linha

de nível de cota 9). Neste caso as linhas de nível são elípticas (contudo, noutra circunstância poderiam ser

parabólicas, hiperbólicas ou circunferenciais).

Os pontos A e B correspondem aos extremos do eixo maior da elipse de cota 9.

Os pontos O e N correspondem aos extremos do eixo menor da elipse de cota 9. Note que a geratriz j

corresponde a um dos lugares geométricos de extremos de eixos menores de linhas de nível.

O ponto M corresponde ao centro da elipse.

Os pontos P e Q correspondem à intersecção da elipse com a circunferência que delimita a base. Por P e

Q passa a porção recta da linha de nível de cota 9.

Os pontos C e D correspondem à passagem da linha de nível pelas geratrizes de contorno aparente.

O arco PBQ não existde de facto.

Os arcos CP e DQ são invisíveis.

O arco CAD é visível.

Após se ter determinado os pontos notáveis da linha de nível e outros que possa ser convenientes para

auxiliar o seu traçado gráfico, procede-se ao desenho da linha de nível.

4) Pertenças.

Dados:

Considere a recta P.O.

0 5m

1 U.A. = 1m

O 9

P4

Problema:

Conduza pela recta P.O um plano β com inclinação αº relativamente ao Plano de Referência.

Resolução:

0 5m

1 U.A. = 1m

O9

P4

Pr0

Or0

αº

[c]4

Xr0

X 4

T 4

n4β

Toma-se o ponto O como vértice de uma superfície cónica de revolução de eixo vertical cujas geratrizes

fazem αº com o plano de referência.

O plano vertical da recta P.O intersecta a superfície cónica segundo duas geratrizes sendo uma delas a

geratriz O.X.

Considera-se a circunferência [c]4 de intersecção da superfície cónica com o plano de nível de cota 4.

Pelo ponto ponto P passa a recta de nível de cota 4 do plano β que deverá ser tangente a [c] (note que há

duas soluções possíveis).

A recta O.P e a recta βn4 definem o plano β que é obviamente tangente à superfície cónica.

5) Pertenças.

Dados:

Considere a linha torsa [c].

0 5m

1 U.A. = 1m

A0

B1

C 2

D3

E 4

[c]

Problema:

Conduza pela linha [c] uma superfíce de inclinação constante αº com o Plano de Referência.

Resolução:

0 5m

1 U.A. = 1m

A0

B1

C2

D3

E4

n 0

n 1

n 2

n 3

[c]

Toma-se cada ponto cotado da linha [c] como vértice de uma superfície cónica (determinada nos termos

do exercício anterior) e intersecta-se cada superfície cónica com os planos de nível de cota inteira.

A superfície pretendida será a envolvente das várias súperfícies cónicas desenhadas, isto é, será tangente

a todas as súperficies cónicas ao longo de uma geratriz.

O traçado das linhas de nível é um traçado de erro que deve observar que estas são normais às geratrizes

de contacto e que são tangentes a todas as circunferências de igual cota das várias superfíces cónicas

auxiliares.