Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas … · Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam 2 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

2 2 22 2 2 16 0z y x+ − − =

Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas Universidad Nacional de La Pampa

Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático

Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam

2

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejercicio Nº 1: Expresar si son ciertas las siguientes igualdades trigonométricas. Demostrar.

(1.a) xxtg 22 sec1 =+ (1.b) ecxxgxtgx cos.seccot =+

(1.c) ( )( ) ( ) xcos.xsenxsenxcos 211 22 =−− (1.d) senxtagxxsenx .cos =−

(1.e) ( )xxsen 2cos1=− (1.f) ( ) ( )[ ]xcosx.senxcosxcos. 212 242 +=−

(1.g) senxtgxxx .cossec =−

FUNCIONES

Ejercicio Nº 2:

Representar gráficamente las siguientes funciones simples.

(2.a) xy += 2 (2.b) xtgy =

(2.c)

x

y

=5

2

(2.d) 4=y

(2.e) ( )xy 5,0ln=

(2.f) x

xy

+−=

1

32

(2.g) 962 ++= xxy

Representar gráficamente las siguientes funciones combinadas.

(2.h) 1−= senxy (2.i) x

ey

x

4

3

=

(2.j) ( ) 23ln xxy +=

(2.k) 32 24 xxxy −−=

(2.l) 32xy x= −

(2.m) xsen

xy

4=

Ejercicio Nº 3: Encontrar los puntos de intersección de las siguientes funciones.



3

(3.a) 3+= xy

e

5= −y x

(3.b) ( )xtgy 2=

e

senxy =

|x °<<°− 360360para

(3.c) 4 2 2 1y x x x= − + − e 322 −+= xxy

(3.d) xy 2= e

2xey =

(3.e) 2 29 x y= + e 2y x= −

(3.f)

2 2

125 9

x y+ = e 2216 yx +=

Ejercicio Nº 4: Grafique una función que pase por los puntos indicados en los ejes de

coordenadas cartesianas y exprésela analíticamente.

(4.a)

(4.b)



4

(4.c)

Ejercicio Nº 5: Tomando las funciones de los Ejercicios Nº 2 y Nº 4:

• Definir Dominio y Recorrido.

• Expresar si es Par, Impar, o si no cumple ninguna de las dos condiciones.

Justificar.

• Identifique tres funciones que tengan inversa y grafíquelas.

APLICACIONES ECONÓMICAS

FUNCIONES ECONOMICAS

1. Las tablas que damos a continuación corresponden a cuatro consumidores y a su demanda

individual de un producto” x “.

Por unidad Demanda Global

p q1 q2 q3 q4 Q Q ‘

20 0 1 2 3 18 1 3 3 5 16 2 5 4 7 14 3 7 5 9 12 4 9 6 11 10 5 11 7 13 8 6 13 8 15 6 7 15 9 17 4 8 17 10 19

a) Complete la tabla de demanda global Q.



5

b) Represente las tablas anteriores en un mismo gráfico que muestre las cuatro curvas

individuales y la demanda global.

c) El consumidor Nº 4 (q4) siente un repentino rechazo por el producto” x “, y deja de

comprarlo (se modifica el parámetro”gustos o preferencias“). Muestre el desplazamiento

resultante en la tabla y en la curva de demanda global Q‘.

2. La siguiente tabla corresponde a la oferta del producto ” x “, por parte de cinco empresas

individuales:

Por unidad Oferta Global

p s1 s2 s3 s4 s5 S S ‘

20 8 9 19 30 10 18 7 8 17 27 9 16 6 7 15 24 8 14 5 6 13 21 7 12 4 5 11 18 6 10 3 4 9 15 5 8 2 3 7 12 4 6 1 2 5 9 3 4 0 1 3 6 2

a) Complete la tabla de oferta global

b) Represente las cinco tablas individuales en un mismo gráfico y la oferta global

c) El producto 3 (s3), desarrolla una nueva técnica de producción que reduce sus costos, y que

le permite ofrecer cuatro unidades de producción más en los distintos niveles de precios.

Muestre gráficamente cómo podrían llegar a resultar afectada la tabla y la curva de oferta

global (S ‘).

3. Cada una de las ecuaciones que siguen representa la demanda de un producto” x “, por

parte de grupos de 1.000 consumidores, siendo el mercado de 4.000 consumidores.

pq2

1101 −=

pq −= 213

pq2

1122 −=

pq −= 234

Por el lado de oferta actúan 5000 vendedores representados en grupos de 1000 por las

ecuaciones siguientes:

pq2

121 +−=

pq2

34 =



6

pq +−= 12 pq

2

15 =

pq2

113 +−=

a) Exprese algebraicamente la demanda y la oferta globales y de acuerdo con ello determine

el precio y la cantidad de equilibrio en este mercado.

b) Construya las tablas de la demanda y de la oferta globales y compruebe los resultados

obtenidos, considerando los siguientes precios:

Cantidad Ofrecida

p Cantidad Demandada

Q S S ‘ 20 18 16 14 12 10 8 6

c) Determine gráficamente el precio y la cantidad de equilibrio.

d) Como consecuencia de un cambio que sobrevino en los costos de producción la oferta

global disminuye hasta hacerse: S‘= -18 + 4 p.

Determine algebraicamente el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio. Hágalo

después completando las tablas y trazando los gráficos correspondientes.

4. Verifique cuál de las siguientes funciones lineales, representan funciones económicas y en

caso afirmativo decir si son de oferta o de demanda:

a) x - 2p = 0 d) 2x + 5p + 4 = 0

b) 3x + 4p - 12 = 0 e) 5x - p - 10 = 0

c) 2x - 3p +1 = 0 f) 2p + 3x + 2 =0

5. La curva de demanda para cierto producto dado es: px4

110−= .

Encontrar:

a) La cantidad demandada cuando el precio es: 4; 16; 26 $.



7

b) El precio si la cantidad demandada es: 9; 7; 2 unidades.

c) Cuál es el precio más alto que se puede pagar por el producto.

6. La curva de oferta de un producto responde a la función: x = 1, 1p –0,1.

Encontrar:

a) El precio si la cantidad ofrecida es: 1 ; 0,8 y 0,5 unidades.

b) La cantidad ofrecida si el precio es: 8 ; 6 ; 4,1 $.

c) Cuál es el menor precio al que este producto se podría ser ofrecido.

7. En una encuesta se verifica que 10 relojes son vendidos cuando el precio es de: 80 $ la

unidad, y 20 relojes son vendidos cuando el precio es de 60 $ la unidad. Suponiendo que la

demanda es de carácter lineal, decir cuál seria la función de demanda de este producto.

Trace su gráfica.

8. Determínese el precio y la cantidad de equilibrio del mercado si las funciones de demanda y

oferta son respectivamente: 3

4

9

1339 2 −=−= pqyqp

9. Para una función benéfica de cine de una determinada localidad, se sabe que el número de

asistentes se relaciona con el precio uniforme de la entrada según la función de

demanda: bp

ax −= , donde a y b son constantes. Se sabe que el cine con una capacidad

de 3000 butacas, está lleno hasta la mitad cuando el precio señalado es 12 $, estando

vacías solamente la sexta parte de las butacas si la entrada cuesta 9 $.

Se Pide:

a) Hállese según esto, el valor de las constantes a y b.

b) Averiguar a que precio se llenaría completamente el cine.

INGRESO

1. Supóngase que una unidad del bien “x”, se vende en el mercado a un precio fijo y

constante de 20 $. En base a una ecuación, determine la función de ingreso total.

2. Dada la función de demanda: x = 120 – 2p, obténgase la función de ingreso total:

a) En función del precio.

b) En función de la cantidad vendida.

c) Grafíquese el segundo caso.



8

3. Dada la función de demanda: 65

90 −+

=p

x , obtenga la función de ingreso total ( en función

de la cantidad de unidades vendidas).

4. Dadas las siguientes funciones de ingreso total, obtener las funciones de demanda

correspondientes:

a) 23120 xxIT −=

b) 24200 ppIT −=

c) b

papIT

2−=

5. Dada la siguiente tabla, completar las columnas correspondiente al IMe y al IMg

Producción

(x) IT IT

IMe = X

ITIMg=

x

∆∆

0 0 1 10 3 27 6 45 7 49 9 54 10 55

6. Si la función IT es igual a : 2105 xxIT −= , obtener la función IMe. COSTOS

1. Un constructor de pequeñas casas de campo, tiene gastos fijos evaluados en $500.000

anuales, siendo los demás gastos de $ 30.000 por cada casa de campo.

Se pide:

a) Obtener lo que al constructor le cuesta cada casa de campo, si construye x casas de

campo anualmente.

b) Si se construyen 10 casas anualmente. ¿Cuánto le cuesta al constructor cada una?

2. Una fábrica construye piletas de natación, siendo el costo

total: )525

13(100 2 ++= xxCT , cuando se producen x piletas por mes. Obténgase las

funciones de: CTMe, CVMe; CFMe.

3. Dada la siguiente tabla completar las columnas correspondientes al CMe y CMg.



9

Producción CT CMe CMg

1 30 2 40 4 48 7 105 9 270 10 450

4. Supóngase que el costo medio variable de producir una unidad del bien x es de $ 2 y el

costo fijo total de producción es de $ 80. Formule la función de costo total.

5. Si una empresa que fabrica ladrillos cerámicos tiene una función de costo total igual a :

5004300 2 ++= xxCT y el costo marginal es xCMg 8300+=

Se pide:

a) Determinar el costo medio mínimo y decir a que nivel de producción corresponde.

b) ¿Cuál es el costo total con el que se produce dicha cantidad de unidades?

6. Una empresa que fabrica radios tiene un 5050010010 23 ++−= xxxCT y un

50020030 2 +−= xxCMg ¿Cuál será el menor costo variable de esta empresa?

7. Una empresa productora de artículos para el hogar tiene un función de costo total igual a:

)525

13(100 2 ++= xxCT

Determinar el monto del costo medio si la empresa fabrica 100 unidades.

8. Siendo la función de costo medio de una empresa igual a:

x

xxCMe10

5005020 2 ++−=

Determinar la función de costo total.

BENEFICIO

1. Determinar el máximo beneficio que puede obtener una empresa cuyos costos e ingresos

responden a las siguientes funciones:

xCMgxIMgxxCTxxIT 270;100;1070;2

1100 22 +=−=++=−=

Decir además a que niveles de producción el empresario no obtiene ni pérdidas, ni

ganancias.



10

2. Una empresa comercial que se dedica a la venta de artículos de limpieza enfrenta una

función de demanda para su producto igual a: p = 30 – x . Si su 1025 +=x

CMe

¿Cuál es su función beneficio?

3. Una empresa que fabrica artículos eléctricos tiene una función de xCT 2050+= siendo

su 2150

4IT x x= − . Si su IMg = x

2

150− y su costo marginal es constante e igual a 20,

Determinar:

a) Qué cantidad debe producir la empresa para que su beneficio sea máximo.

b) Cuál será el monto de dicho beneficio.

PRODUCCIÓN

1. Si en una mina de carbón, trabaja un equipo de x hombres, la producción obtenida será

entonces )12

3(25

2 xxPT −∗= toneladas de carbón. El 2

100

1

25

6xxPMg −= .

a) Dibujar el gráfico representativo del modo según el cual la producción varía con el número

de hombres.

b) Determinar la magnitud del equipo requerido para que la producción sea la máxima posible

y señalar a cuanto asciende esta producción.

c) Expresar en función de x el producto por hombre.

d) Cuál es la mayor cantidad de producto por hombre trabajando que puede alcanzar y

cuántos hombres debe haber trabajando para ello.



11

SUCESIONES

Ejercicio Nº 6: Escriba los 6 primeros términos de la siguientes sucesiones. Grafique en un

sistema de ejes de coordenadas cartesianas las sucesiones de los apartados a) y b).

(6.a) { }1

.3

+=

n

nSn (6.b) { }

3.22

3

+=

n

nSn (6.c) { }

!.2

7.3

n

nSn

−=

(6.d) { }( ) 31

51 +−

−= +n

nSn (6.e) { }

!

4)1(

2 nnSn

n

+−= (6.f) { }

1

)!1()1(

214

++−= +

n

nSn

Ejercicio Nº 7: Escriba el término general de las siguientes sucesiones.

(7.a) { } ;...40

1;

12

1;

6

1:0;1;2 −−=Sn

(7.b) { } ;...10

22;

8

13;1;

4

1;1−=Sn

(7.c) { } ;...7

24;1;

5

2;

4

1;

3

1 −−−=Sn

(7.d) { } ;...2;11

32;6;16;2 −−=Sn

(7.e) { } ;...13

2;

17

2;0;

5

2;2 −−=Sn

Ejercicio Nº 8: De las sucesiones de los Ejercicios: Nº 6 apartados 6.a) y 6.b) y Nº 7

apartados 7.a), 7.c) y 7.d) expresar:

• Si las mismas son crecientes o decrecientes.

• El Intervalo.

• Cotas y Extremos. Represente gráficamente.

LÍMITE DE SUCESIONES

Ejercicio Nº 9: De las siguientes sucesiones:

• Halle sus límites.

• Compruebe mediante la definición teórica del límite de una sucesión.

• Realice la verificación correspondiente para e=0.05.

(9.a) ( ){ }1.2/5 −n (9.b) { }).41/(.3 nn − (9.c) { })2/()3( +− nn



12

(9.d) { })1/()2( 22 +− nn (9.e) { })22/()1( 22 −+− nnn

(9.f) { }nn)1( +

(9.g) { })32/()4( 22 ++ nnn

LÍMITE DE FUNCIONES

Ejercicio Nº 10: Encuentre la expresión analítica de las funciones, cuyos gráficos son los

siguientes.

(10.a)

(10.b)



13

Ejercicio Nº 11: Compruebe de acuerdo con la definición del límite de una función.

(11.a) ( ) 2,031lim 2

2==−

→εparax

x (11.b) ( ) 05,0131lim 2

4=ε=+−

→paraxx

x

(11.c) 3

1lim( 2) 1 0,08x

x para ε→

− = − = (11.d) 12,01)2(lim 2

1==−

→εparax

x

(11.e) ( ) 2,031lim 2

2==−

−→εparax

x

Ejercicio Nº 12: Determine para que valores de x son infinitésimos las siguientes funciones.

(12.a) 34 6xxy += (12.b) ( ) 14cos3 −= xy °<<° 1800 xpara

(12.c)

2 3

2 1

x xy

x

−=−

(12.d) xtgxy cos2 −= °<<°− 27090 xpara

Ejercicio Nº 13: Resuelva los siguientes límites.

13. a)

6 3

5 4 3 20

2 5lim

7 3 2 8→

+ −+ − + +x

x x x

x x x x x 13.b)

4 2

3 2

6 2 7lim

8 3 9x

x x x

x x x→∞

− + −+ + −

13.c) 9

3lim

23 −+

−→ x

xx

13.e) ( )

34

43lim

2

2

2x +++

−→ xx

xx

13.g) 2334

44lim

2345

23

2 ++−+−+−−

−→ xxxxx

xxxx

13.d) 1032

63lim

3

24

2 −−−+−

→ xx

xxxx

13.f) 2433

968lim

34

234

x +−+−−+−

∞→ xxx.

xxx

13.h) 12

32lim

4

2

+−+−

∞→ xx

xxx

Ejercicio Nº 14: Calcule los siguientes límites.

(14.a) 24

4lim

5 9→

−− +x

x

x (14.b)

23

3 6lim

2 2 4x

x

x→−

− −− −

(14.c) 25

2 1lim

25x

x

x→

− −−

(14.d) 9

9lim

9x

x

x→

−−

(14.e) 2322

35lim

2

2

2x +−−

−+→ xx

x

(14.f)

2

21

8 3lim

2 4 1x

x

x x→

+ −− − +



14

Ejercicio Nº 15: Resuelva los siguientes límites en general.

(15.a) 1

coslim

2

4−

−π→ xtg

xsenx

x

(15.b) ( )

( )xesen

xesenx ..8

..2.9lim

0→

(15.c) x

tgxsenxx 20 cos1lim

−−

→

(15.d) ( )

( )xsen

tgxxx 4

.2coslim

0→

(15.e) xxx

cotgcoseclim

2

−π→

(15.f)

tgxxsenx

xxsen

x )(cos

)cos(lim

22

4−

−→

π

(15.g) xsen

xtgxsenx 3

2

0 2lim

−→

Ejercicio Nº 16: Resuelva los siguientes límites especiales.

(16.a)

+∞→ xx

51lim (16.b)

2

0lim(1 5 )

→− x

xx

(16.c)

x

x x

.5

7

.2

11lim

−∞→

(16.d) 5

2

32

42lim

x

x x

x

+−

∞→ (16.e)

1.2

8

31lim

−

∞→

+−

x

x x (16.f) x

x

xx

15

0)41(lim

+

→−

(16.g) 3

4

.52

.52lim

x

x x

x

+−

∞→

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Ejercicio Nº 17: Dadas las siguientes funciones:

• Exprese si son continuas o discontinuas y los intervalos para los cuales se

cumplen dichas cualidades

• En caso de tenerlo determine el Salto

• Clasifique el grado de discontinuidad

• Represente gráficamente

(17.a) 1x

yx

+= (17.b) 2

3

1

xy

x x

+=− −



15

(17.c)

2 16

4

xy

x

−=+

(17.d)

°<<°−−−= 180270para x

senxxcos

xcossenxy

(17.e)

2

1 para x -2

1 para -2<x 2

x+2 para x>2

x

y x

+ ≤= − ≤

(17.f)

( )

>−

=

<≤π−

=

0para32

0para0

04

para3

2 xx

x

xx

xsen

y

DERIVADAS

Ejercicio Nº 18: Derive por incremento las siguientes funciones.

(18.a) 12= +y x (18.b) 8

9=y x (18.c)

5y

x=

(18.d) cos= −y x (18.e)

= xy5

1ln (18.f) xarctgy =

Ejercicio Nº 19: Derive aplicando tablas las siguientes funciones por descomposición.

(19.a) xxlogxseny +−=

(19.b) ( ) xlnxcos

xxy 63

5279 −−+= −

(19.c) ( )2116 3 2 2

7−= − + + −y x sen x

(19.d)

5

3

34 e

xxarcsen.y −−=

Ejercicio Nº 20: Derive los siguientes productos y cocientes.

(20.a) xsen

xtgy

.9= (20.b) ( ) 1056

13−+

−=x.xlog

e.y

x

(20.c) x.xln

e

x

xarctg.y

x

−=3

4 (20.d)

xln.x

xarcsen.

x

xtg.y

42 −=



16

(20.e) 3

3

.4

cos...2

xe

xxxsenxy

x −−=

(20.f)

( )xlog

xcos

eseny += 3

Ejercicio Nº 21: Derive las siguientes funciones de función.

(21.a) ( )35 3 445

2x.lnxy ++= (21.b)

−= xe

x

xtgy

3

2

.16.5

(21.c)

−= 24

4

3

5x.ln

xcosy (21.d) ( ) ( )xsen.lnxlny 33xcotg 42 +−=

(21.e)

( ){ }( )23 33 ln arccosy arcsen x x x x= − − (21.f)

( )( )3

3

xlog

xarctgcosy =

(22.g) ( ) ( )xlnxcos

xsen

y 572 +

=

Ejercicio Nº 22: Encuentre el valor de la derivada en x0.

(22.a) 02cos 60= = oy x x (22.b) 0

41

12

+= =+

xy x

x

(22.c) 14 2y x= + 0 2x = (22.d) 02 3 5 x 1y x x= − − =

(22.e) 3 41= +y x 0 1x =

Ejercicio Nº 23: Derive las siguientes funciones exponenciales.

(23.a)

=x

xy.

7

5cos

(23.b) ( )[ ] 8

34 2

x.x xlog.ey −=

(23.c) ( )( ) xlnxx exlogxarctg.y −−= 2

(23.d) ( )[ ] xexxsenxy .=

Ejercicio Nº 24: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.



17

(24.a) Encuentre, de existir, las rectas tangentes a las siguientes funciones:

* 06 1y x en x= + =

* ( ) 123 0 == xenx.ln.y

(24.b) Encuentre las rectas normales a la función xy e= en los puntos donde se

interceptan con la función2

2 xy −= .

(24.c) Encuentre:

• La recta normal a la función 2 3 1y x x= − − en el punto en que corta al eje

de las Y.

• La recta tangente a la función 2 3 1y x x= − − en el punto en que corta al

eje de las x (en caso de ser más de un punto seleccione uno).

(24.d) En los tres incisos anteriores realice las correspondientes gráficas y verifique.

Ejercicio Nº 25: Encuentre el ángulo formado entre:

(25.a) 3 23 1y x x= − + e

2 2 1y x x= + +

(25.b) xseny .4= e xy cos2= °<<° 360180para x

(25.c)

=2

xseny e

=2

2 xcosy °<<° 1800para x

(25.d)

+= 53

1x.lny en la intersección con los ejes de coordenadas.

Nota: En todos los casos buscar un punto de intersección.

Ejercicio Nº 26: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.

(26.a) Encuentre todas las rectas tangentes que cortan a la función ( )xseny 3= con

una inclinación de 60° en el intervalo [-90°; 90°].

(26.b) Encuentre la recta tangente y el ángulo que se forma en la intersección de las

siguientes funciones: 3 24 3 1y x x x= − + + e 3 1y x= + .

(26.c) Entre 3xy = e ( )5 0.2x

y = encuentre el ángulo entre las mismas (en caso de

cortarse) y la recta tangente a la segunda en dicho punto. A su vez encuentre la distancia del

punto de corte al punto (-3;5).



18

Ejercicio Nº 27: Encuentre las siguientes derivadas sucesivas.

(27.a) 26 era3 4 hasta la 3xy x x e= − −

(27.b) da5 2 la hastaxlnxxarcseny −−=

(27.c) da

2

2 la hastax

xsen

e

xlogy

x−=

(27.d) ( )[ ] da252 2la hasta .3 xxseny −−= π

Ejercicio Nº 28: Resuelva aplicando la regla de Leibnitz.

(28.a) ( ) III3 yencontrar ln. xsenxy =

(28.b) IIIyencontrar

.4

ln.cos

x

xxy =

(28.c) III2 yencontrar .arccos xexy =

Ejercicio Nº 29: Calcule las diferenciales de primer orden de las siguientes funciones.

(29.a) 3ln 4cosxy e x x= − −

(29.b) ( ) ( )623 xxlog.xtgxcosy −−=

(29.c) x

e

x

x

exxxsenhy

−+−=

2.4.2 3

(29.d) ( )

23

3

2 ln

3

senx xy x arctg x

x

+= − −



19


VALOR MARGINAL DE UNA FUNCIÓN

1. Obtener el IMg en cada uno de los casos:

a) 105

1 +−= xp

b) 62 +−= xIMe

2. Los costos totales de producción de una empresa son: 2CT= 8 + 2x + 3x Hallar:

a) Las funciones de CMg y de CMe

b) El valor del CMg y del CMe cuando se producen 1000 unidades.

3. La función de utilidad de un consumidor, para una mercancía x es : 2310 xxUT −= ,

donde x es la cantidad de la mercancía consumida. Hállese la función de UMg.

4. Una empresa tiene las siguientes funciones de costo y de demanda:

30 1CMe=x - 6 + ; x= - p + 5

x 4

Obtener:

a) La función de BMg.

b) La función CMg.

c) La función IMg.

5. La función de Producto Medio de una empresa es: 2360 xxPMe +−= . Hallar la función

de PMg.

6. Hallar la función de DMg en cada uno de los siguientes casos:

a) 0280 2 =+− qp

b) 2)42( xp −=

c) 32 xxIT −=



20

ELASTICIDAD DE UNA FUNCIÓN

Función

Elasticidad de Arco

Elasticidad de Punto

y= f (x)

xx

yy

E ∆

∆= y

xyE ⋅′=

Demanda-precio y Oferta:

Q= f (p) p

pQ

Q

E ∆

∆=

Q

pQE ⋅′=

Demanda-ingreso:

Q= f (I) I

IQ

Q

E ∆

∆= Q

IQE ⋅′=

Ingreso Total:

IT= f (Q) Q

QIT

IT

E ∆

∆= ( )

IT

QITE ⋅′=

Costo Total:

CT = f (Q) Q

QCT

CT

E ∆

∆= ( )

CT

QCTE ⋅′=

Costo Medio:

Cme = f (Q) Q

QCme

Cme

E ∆

∆= ( )

Cme

QCmeE ⋅′=

Producto Total:

PT = f (FV) FV

FVQ

Q

FVFV

PTPT

E ∆

∆=∆

∆= ( )

PT

FVQ

PT

FVPTE ⋅′=⋅′=

Utilidad Total:

UT = f (Q) Q

QUT

UT

E ∆

∆= ( )

UT

QUTE ⋅′=

1. Obtener la elasticidad – precio de la demanda en los x = 1; x = 2,5 ; x = 1,5

si xp 310−=

2. Obtener la elasticidad- precio de la demanda en cada uno de los siguientes casos:

a) bxpa =

b) 1002 =xp



21

3. Hallar la elasticidad de la función de oferta, en cada uno de los siguientes casos:

a) pex 5=

b) 2bxap +−=

4. Considerar la función de demanda: 2348 px −= , cerca del punto p = 3. Si el precio

decrece el 4% determinar el incremento relativo de la demanda y dar una aproximación de

la elasticidad.

Comparar este resultado con la elasticidad de la demanda obtenida aplicando la fórmula

de la elasticidad en un punto.

5. Considerar la función de demanda: 10=+ px , en el punto x = 4. Si la cantidad

demandada se incrementa en un 5%, determinar el porcentaje de crecimiento del precio, y

dar una aproximación de la elasticidad de la demanda. Comparar luego este resultado con

el exacto valor obtenido en el punto x = 4, aplicando la fórmula de elasticidad de punto.

6. En un estudio de Gaba y Reca denominado “Poder Adquisitivo, Veda y sustitutos: un re-

examen de la demanda de carne vacuna en la Argentina” se determina que la elasticidad-

precio de la demanda de carne vacuna en nuestro país es: -0,37. Con el propósito de

incrementar los saldos exportables se desea reducir la cantidad demandada internamente

en un 30% y puede operarse sobre el precio de la carne vacuna y/o sobre el precio de los

sustitutos. Si se decidiese a operar sólo sobre el precio de la carne vacuna, ¿qué variación

porcentual y en que sentido debería realizarse para lograr el fin propuesto?

7. Si el 21

52 50

xCT x= + − . Calcular su elasticidad.

8. Si el 23 1

4 16CT x x= + . Calcular la elasticidad del Cme.

9. Una empresa dedicada a la fabricación de portones metálicos, está atravesando por una

gran crisis financiera, lo cual la obliga a reducir los costos en un 20%.

La empresa produce en forma eficiente y no desea reducir la calidad del producto. Se

conocen las siguientes elasticidades de sus funciones económicas: de la demanda: -0,15: del

costo total: 0,40; del ingreso total: 0,30 y del producto total 0,06 (no deberá usar todas).

Se desea saber cuál será la variación relativa del ingreso de la empresa ante su decisión de

reducir los costos en un 20%.

10. Comprobación de la definición de la elasticidad



22

Datos: 1 1

10 1110 3 1,5 5,5 1,222%

3 9

pp x x x p ε−= − → = → = = → = − = −

Comprobación:

%1

%2222,101222,0

5,1

018334,0018334,0481666,15,1

481666,13

445,4

3

555,5102555,5055,05,52055,001,0*5,5

−=∆

∆

=⇒−=−=∆→−=−=∆−

==−=⇒=+=→==∆

p

px

x

x

xx

xpp

ε

11. Demuestre cómo se obtiene gráficamente el valor de la elasticidad en el punto A de la

siguiente curva de demanda, fundamentando el procedimiento empleado.

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES-(Funciones de una variable)

1. El costo total de producción de una empresa es 25354

1 2 ++= xxCT y el precio de

venta de cada unidad es : x4

150− .

Se pide:

a) Hallar el número de unidades que se debe vender para que el beneficio sea máximo y decir a

cuánto asciende éste.

b) Obtener el costo mínimo por unidad producida.

2. La función de costo total para producir un bien es : 221260 xxCT +−=



23

Se pide:

a) Hallar la función de costo medio y el nivel de producción para el cual esta función se

minimiza. Decir cuál es el menor costo medio.

b) Verifique que en el punto mínimo de la función de costo medio, el costo medio es igual al

costo marginal.

3. Una empresa que fabrica radios produce x aparatos semanales con un costo total de :

100325

1 2 ++ xx , siendo la demanda de mercado de : 75 – 3p. Comprobar que el ingreso

neto máximo (beneficio) se alcanza cuando se producen alrededor de 30 aparatos

semanales. ¿Cuál será el precio de venta en este caso?

4. Determinar cuánto debe producir una empresa que desea maximizar su ingreso total si su

función de demanda es : 65

90 −+

=p

x

5. Un fabricante produce una determinada mercadería a un costo de : 20640 2 ++= xxCT ,

enfrentando una demanda igual a : x= 97,5 – 0,5p.

Se pide:

a) ¿Cuántas unidades de mercadería debería producir para obtener el máximo beneficio?

b) ¿Cuál será el precio que corresponda a ese beneficio máximo?

c) ¿Cuál será el beneficio máximo?

6. Si la demanda de un cierto bien responde a la función q = 120 – 2p determinar para que

nivel de producción el ingreso total será máximo y a cuánto ascenderá dicho ingreso total.

7. Si los costos variables de una empresa responden a la función: )25

13(100 2qqCV += y

los costos fijos son iguales a $ 10.000. ¿Cuál es el costo mínimo por unidad?¿ Cuál es el

mínimo costo marginal?

8. Una empresa de energía eléctrica ha obtenido una concesión para abastecer un mercado con

la siguiente función de demanda: 2

10+−= px . El gobierno desea promocionar el producto

de esta empresa y garantizar la permanencia de la misma en el mercado, por lo tanto ésta

recibe por parte del Gobierno Provincial un subsidio a la producción de $ 8 y de la

Municipalidad, un subsidio fijo igual a $ 16 (ambos no reintegrables). Los costos totales de

producción de la empresa responden a la función : 23 42 xxCT −= .

Se pide:



24

Determinar el monto de los beneficios, el precio fijado y la cantidad producida de energía bajo

cada una de las siguientes hipótesis:

a) Maximización de beneficios.

b) Maximización de ventas.

Compare ambos resultados

IMPUESTOS

9. Sea la función de demanda: xp4

150−= y la de costo total: xCT 2050+=

Determine cuánto debe producir el monopolista, a que precio debe vender su producto, y a

cuanto ascenderá su beneficio en cada uno de los siguientes casos:

a) Si desea maximizar su beneficio.

b) Si desea maximizar su beneficio sabiendo que se le cobra un impuesto específico a la

cantidad producida igual a $ 8.

c) Si desea maximizar su beneficio y soporta un impuesto sobre los mismos del 2%

d) Maximiza beneficios y soportan un impuesto fijo de $ 200.

10. Una empresa cuyas funciones de demanda y costo son respectivamente: pq4

125−=

qCT 5050+= soportaba un impuesto a las ventas de un 1% el que se eleva a un 4%.

¿Cuál es el efecto cuantitativo de ese aumento sobre la cantidad producida y el precio?

11. MAXIMA RECAUDACION IMPOSITIVA. Se sabe que una empresa monopólica tiene las

siguientes funciones de ingreso y costo totales: qqIT 302 2 +−= ; 1043 2 ++= qqCT .

El gobierno desea aplicar un impuesto al producto de esta empresa y desea hacer máxima

la recaudación impositiva “T” proveniente de esta fuente. ¿Qué tasa impositiva “t” (pesos

por unidad de producto), debe elegir el gobierno y que cantidad la empresa producirá en

momentos en que se esté cobrando dicho impuesto?

Verifique mediante las condiciones de segundo orden si la recaudación impositiva es

máxima.

SUBSIDIOS

Se trabaja exactamente igual que en el caso de los impuestos, sólo que en lugar de restarlo de

los beneficios, van sumando.

IMPUESTOS Y SUBSIDIOS SIMULTÁNEOS

BT = IT – CT – Impuestos + Subsidios



25

EJERCICIOS COMBINADOS

12. Una empresa monopólica posee una función de producción igual a: )12

3(25

2 xxPT −= .

Demuestre numéricamente que en el punto máximo de la curva de PMe el producto medio

es igual al producto marginal.

13. Una empresa que produce heladeras enfrenta una función de demanda igual

a: px 2100−= y un 5

15 −=x

CMe . En el año “1”, tiene esta empresa como objetivo

maximizar las ventas, pero como el beneficio obtenido de esta manera era escaso, los

socios deciden que en el año “2”, producirán de tal manera de hacer máximo los beneficios.

Decir cuál es el precio a que esta empresa vende cada heladera durante los años “1” y “2”.

14. Una empresa maximizadora de beneficios fabrica calefactores y heladeras. La función de

demanda de calefactores es: q = 200 – 2p y un 1010 +=q

CMe . Para las heladeras la

demanda es: x = 100 – p y el xCMe2

14 += . En el mercado de los calefactores debe

soportar un impuesto a los beneficios del 3% y en el de las heladeras, recibe un subsidio a

las ventas del 1%. ¿Cuál es el mercado más ventajoso para esta empresa: el de las

heladeras o el de los calefactores?

15. Decir a cuánto asciende el CMg mínimo de una empresa cuyo

xxxCMe

30100001202 2 ++−=

16. Una empresa que produce escritorios posee las siguientes funciones de demanda y costo

medio: px3

115−= , 10

10 +=x

CMe

Si la empresa desea obtener un beneficio máximo y el gobierno le va a imponer un gravamen

de t = 5. ¿Qué le convendrá a la empresa, que éste sea sobre la producción o sobre las

ventas?



26

COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES Ejercicio Nº 30: Efectúe los desarrollos en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda. Nota: En los dos primeros ejercicios complemente con la gráfica.

(30.a) IVy lahastasenxey ..7=

(30.b) ( ) IV0 ylahasta8xenx.7log.5y ==

(30.c) anulesederivadalaquehasta1x.2x.5x.5

2xy 234 ++−−=

(30.d) IV

0 ylahasta45xenx

senxy °==

(30.e) anulesederivadalaquehasta2xen1x2x.5

4xy 0

35 −=−+−=

Ejercicio Nº 31: Determine el comportamiento de las siguientes funciones expresando si son crecientes, decrecientes o estacionarias en los puntos considerados.

(31.a)

===

−=−=

3

0,1hpara2

2

en)2( 2

x

x

x

xy

(31.b) 2

0

-x1

2

x = 0

y= e en x = 1 para h=0,1

x = -1

(31.c)

0

1

2

x = 1tgx

y= en x = 1/2 para h=0,1x

x = -1/2

Ejercicio Nº 32: Determine por el método de la derivada primera:

• Máximos

• Mínimos

• Puntos de inflexión

(32.a) 3 2y= x - 2x - 4x + 9 siendo h = 0,1

(32.b) 0y= 2senx - cosx siendo h = 1 para x en [0°;360°]

(32.c) 2-xy= 6e siendo h = 0,05



27

(32.d) ( )

1,0hsiendox

x2lny

2==

Ejercicio Nº 33: Determine por el método de la derivada segunda:

• Máximos • Mínimos • Puntos de inflexión

(33.a) 4 3 2y= x - x - 2x + 10 (33.c) ( )2

y= cosx - senx para x en [0°;360°]

(33.b) 32

y= - 4x + xx

(33.d) 2y= 2sen x + senx - 3 para x en [0°;360°]

Ejercicio Nº 34: Dadas las siguientes funciones encuentre los puntos de inflexión en caso de tenerlos.

(34.a) ( ) 2x5,0.2y = (34.b) 5x.2xxy 35 +−−=

(34.c) ( )x.2cosxsen.2y 2 −= para x en [0°;180°]

Ejercicio Nº 35: Resuelva los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital.

(35.a) xxxx

xxx

x .5.3.4.7

.5.5.6lim

235

23

0 −+−+−

→ (35.b)

( )( )x.8sen.9

x3sen.2lim

0x→

(35.c)

x senx

2 2x 0

e - elim

2x -3sen x→ (35.d)

23

x

x x.2x.6x

e.3lim

−+∞→

Ejercicio Nº 36: Resuelva.

(36.a) 0

senx - tgxlim

x - senxx→

(36.b) ( ) ( )

−−

−+→ 31x x1.2

1

x1.3

1lim

(36.c) ( )2

lim 1- senx tgxx

π→ (36.d)

2

21

x 1lim -

x-1 ln xx→

Ejercicio Nº 37: Resuelva los siguientes límites exponenciales por L’Hôpital.

(37.a) ( )x

6

xx1lim +

∞→ (37.b)

x.3

x 6x.2

x.25lim

+−−

∞→

(37.c) xsen

x xtg)(lim

31

0

++→

(37.d) ( )4

x+50

lim 1-2xx→



28

(37.e) ( )x

2

0xtgx.9xlim +

+→ (37.f) ( )senx

0lim xx→

(37.g) ( )( )π−π→

.3x.4

1

4

.3x

xtglim (37.h)

x

x x

x.2

1

2.2,0

.32lim

−+−

∞→

(37.i) ( )x

1x

0xxe.3lim −−

+→

(37.j)

3

4

14

21

limx

x

x

x

x

+

+

∞→

INTEGRALES Ejercicio Nº 38: Resuelva las siguientes integrales inmediatas.

(38.a)

-1

3x dx∫ (38.b) 2

5 dx-

sen x∫

(38.c) 6

2cos5

− ∫

xx e dx (38.d) 67

dxx∫

(38.e) dxx∫7 5

(38.f) 2

3

1

dx

x−∫

Ejercicio Nº 39: Resuelva las siguientes integrales por el método de sustitución.

(39.a) 39

4−

∫xe dx (39.b)

322∫xx e dx (39.c)

2 25−∫dx

x

(39.d)

33log∫

xdx

x (39.e) ( )92 7−∫ x xdx

Ejercicio Nº 40: Resuelva las siguientes integrales por partes.

(40.a) 7 .ln(7 )∫ x x dx (40.b) dx∫ xcotg arc

(40.c) cosxe xdx−∫ (40.d) 3ln

2∫x

dxx

(40.e) ∫

dxx.x ln

7

22

(40.f) ( )2 2 1 xx x e dx−− +∫

Ejercicio Nº 41: Resuelva las siguientes integrales trigonométricas.



29

(41.a) ∫ dxxcos.xsen3 (41.b) ∫ dxxcos.xsen 22

(41.c) ∫ dxxcos.xsen 38 (41.d) ( ) ( )∫ dxxcos.xsen 36

(41.e) ( ) ( )∫− dxxsen.xcos 22 (41.f) ∫

dx

xsen.x

3

2

(41.g) ∫ dxxcos3

Ejercicio Nº 42: Resuelva las siguientes integrales racionales por descomposición en fracciones simples.

(42.a) 2 5 4

xdx

x x− +∫ (42.b) ∫ −−−dx

xx

x

132

5

(42.c) ( )2

4

1 3dx

x x−∫ (42.d)

2

2

3 2 1

4 3

x xdx

x x

− ++ −∫

(42.e) ( ) ( )3

21 2 2

xdx

x x x− +∫ (42.f) 2

3

4 1dx

x +∫

Ejercicio Nº 43: Resuelva las siguientes integrales de funciones irracionales.

(43.a) ∫ ++−

dxx

x

11

3

(43.b) 21

6x dx−∫

(43.c) 1

xdx

x−∫

(43.d) ∫ + dxx.x 1

Ejercicio Nº 44: Resuelva las siguientes integrales en general.

(44.a) 2 4 2

dx

x x− +∫

(44.b) ∫ dxxarctagx

(44.c) 2

3

9

xdx

x −∫

(44.d)

2

2

2 1 −∫

xdx

x

(44.f) dxx

x∫

− 216

Ejercicio Nº 45: Encontrar el valor de las integrales definidas aplicando la regla de Barrow.



30

(45.a) 3 2

0

2

9∫x dx (45.b) ( )∫

4

13 dxxln (45.c)

3 2

016 x dx−∫

(45.d) dxxsen.x∫°

°

180

30

(45.e) 21

0

3

4−

∫xxe dx

(45.f) ∫− +1

2 32 xe

dx

Nota: en el inciso a), b) y c) realice la gráfica correspondiente.

Ejercicio Nº 46: Encuentre analítica y gráficamente el área entre la función y ambos ejes de coordenadas.

(46.a) 2

0 12 entre x 2 y x 3y x= − = =

(46.b) °=°=

= 150xy45xentre4

2 10

xsen.y

(46.c) 2

0 12 8 8 entre x 0 y x 3y x x= + + = =

(46.d) 6ye2yentre02

ln4 10 ===− yx

(46.e) 2

0 12 3 entre x 1 y x 4y x x= − − = =

Ejercicio Nº 47: Encuentre el área entre las siguientes funciones. (47.a)

2 2 6 e 1y x x y x= − + + = −

(47.b) ( ) xcos.yxseny 2e2 −== (entre dos puntos de intersección de [0°; 360°])

(47.c) 3 2 23 e 2 3 2y x x x y x x= − + − = + −

(47.d) 3 2 22 2 3 1 e 3 4 1y x x x y x x= − + − = − + −

(47.e) xsen.yxtgy 4e == para x en (-180°;180°)

Ejercicio Nº 48: Mediante el método gráfico de los trapecios encuentre el área entre la función y el eje x. (48.a) 0 14ln entre x 1 y x 10 para h=1y x= = =

(48.b) 2

0 15 entre x 0 y x 3 para h=0,3xy e−= = =

(48.c) 3 2

0 11 entre x 0 y x 6 para h=0,5y x= + = =

(48.d) °=°=°== 10h para 80 xy 10 xentre1

10xseny

Ejercicio Nº 49: Encuentre el área aproximada por intermedio de la fórmula de Simpson.



31

(49.a) 0 1

5 para n>6 entre x 0 y x 2

xy

e= = =

(49.b) °=°=== 120 xy 30 xentre 12n para9 10xsen.y

(49.c) 0 14 para n=8 entre x 2 y x 2xy e−= = − =

(49.d) ( ) 6 xy 1 xentre ustedpor elegidon para 24 10 === xlog.y



32


1. Calcular el IT de una empresa cuyo IMg es igual a: 60 – x.

2. Calcular el CT de una empresa cuyo CMg es igual a: 230 x - 200 x 500 + y su CF es

igual a $ 50.

3. Observe el gráfico y responda:

Si se producen 2 unidades:

a) Decir que representa el área OPTS.

b) Decir que representa el área OAES.

c) Demostrar cómo son entre sí: IMg = 100 – 6 x; IMe = 100 – 3 x.

d) Comprobar si es correcto lo obtenido en c) verificando en la función total

correspondiente.

4. Observar el gráfico de la siguiente hoja y responder:

Si se producen 3 unidades:

a) Decir que representa el área OPTR.

b) Decir que representa el área OAER.

c) Dados: CMg = x2 + 2 x + 3 ; x

6 3 x x

3

1 CMe 2 +++= , determinar el CT

cuando se producen 3 unidades, mediante tres formas distintas que Ud.



33

conozca. Indique gráficamente a cuál corresponde cada una. El Costo Fijo

asciende a $ 6.

5. Dibujar en un mismo gráfico las funciones de IMe, IMg, CMe y CMg, y señalar dos áreas

distintas que representen el Beneficio Total para un nivel de ventas inferior al óptimo

(indicando cómo obtiene cada una).

6. Una empresa tiene las siguientes funciones de ingreso y costo: 2CMg 3 x - 8 x 8= + ;

4 CF ; x4 -12 IMg == . Decir cuál es el máximo beneficio de esta empresa y cuántas

unidades deben producirse para ello.

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

7. Si la función de demanda de una empresa es: px2

110−= , hallar el excedente del

consumidor cuando p = 4.



34

SERIES Ejercicio Nº 50: Escriba los cinco primeros términos de las siguientes series.

(50.a) 1

2 1

5 !n

n

n

∞

=

−−∑ (50.b)

21

cos

2n

nx

n

∞

=∑

(50.c) ( )

( )∑∞

=

+

−−

1

1

!1

21

n

nn

n (50.d)

( )2

1

3

4 !n

n

n

∞

=

+∑

(50.e) ∑∞

=13

2

n

n

n (50.f)

1

1

2

!

n

n

x

n

−∞

=∑

Ejercicio Nº 51: Escriba el término general de cada una de las siguientes series y luego exprese en todos los casos si son convergentes o divergentes.

(51.a) 2 3 4 5

4 8 12 16 20...

2 2 2 2 2+ + + + +

(51.b) 2 2 2 1 2

...2 6 12 10 30

+ + + + +

(51.c) 9 16 25

4 4 ...3 5 7

+ + + + +

(51.d) 1 4 9 16 25

...2 6 24 120 720

+ + + + +

(51.e) ...+π

+π

+π

+π

+π12564278

5432

(51.f) ...coscoscoscos

cos +α+α+α+α+α5

5

4

4

3

3

2

2

5432 para °<α<°− 9090

Ejercicio Nº 52: Determine si las siguientes series son convergentes o divergentes, absoluta o condicionalmente, distinguiendo aquellas que sean geométricas.

(52.a) ( )

21

1

4

n

n n

∞

=

−∑

(52.b)

1

1

( 1)

3 1

n

n n

−∞

=

−−∑

(52.c) ...−+−+− 9313

1

9

1 (52.d)

( )( )∑

∞

= −+−

22

2

1

212

n

n

n

.nn



35

(52.e)

4 2

1

( 1) ( 1)

2 !nn

n

n

∞

=

− −∑ (52.f) ∑

∞

=13

n n

nsen

(52.g) 2

1

2

4n

n

n

∞

=∑

Ejercicio Nº 53: Halle el radio de convergencia de las siguientes series.

(53.a) ...xxxxx +−+−+−50321882

5432

(53.b) 1

2 n n

n

x∞

−

=∑

(53.c) ( )( )∑

∞

=

−

+−−

1

1

5!1

1

n

nn

n

x

(53.d) 1

1

!n

n

xn

∞

=∑

FUNCIONES DE MAS DE 2 VARIABLES Ejercicio Nº 54: Represente por curvas de nivel las funciones que se indican a continuación. (54.a)

2 23 4= +z y x (54.b) ( )xysenxz −=

3

2

(54.c) 2 2 22 2 2 16 0z y x+ − − = (54.d) 2=z xy

Ejercicio Nº 55: Representar las funciones del ejercicio Nº 54 por un sistema informático. Ejercicio Nº 56: Encuentre las siguientes derivadas parciales.

(56.a) ( ) ( )xytgycos

xsenyxz 35

43

5

2 3 −+−=

(56.b) ( )yx

exylogz

xxy

35

426 +−=

(56.c) ( )yx

xsenexysenyyarctg.xz

x

232 +−=



36

(56.d) ( )xln

yzzexysenzx x.y 5

4542 −=+−

Ejercicio Nº 57: Encuentre las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones.

(57.a) ( ) ( )xlneysenxz x 234252 −=

(57.b) 2 2 2 4

5 77

= − + xyzw x y y z

(57.c) 2

24 ln

2xtgy

z x y e yx

= − −

Ejercicio Nº 58: Dadas las siguientes funciones encuentre las Diferenciales Totales.

(58.a) ( )3

224

y

xlogyxlnxez y −−= y el valor en ( )1;2P

(58.b) ( ) ( )0;122 Pen4

4 yxey

tgx.xysenz +−=

(58.c) ( ) ( ) ( );10;3032 Pen °+−= tgx.yycoszxysen.xw

Ejercicio Nº 59: Encuentre las diferenciales totales de las siguientes funciones compuestas.

(59.a)

0

3 2 4 20

0

x 3dz

Hallar sabiendo que z=3x y - 4xy para dt

1

t

y t

t

= + = = −

(59.b)

2 2

00

xdz

Hallar sabiendo que z= para cosdt 4

60

sentx y

y txy

t

=+ =

=

(59.c)

0

02 2 2

00

0

x

cosdwHallar sabiendo que w=2 x para

dt 45

sent

y ty z

t

z tgt

= =+ + = =

Ejercicio Nº 60: Desarrolle en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda.

(60.a) 2 2

04 6 8 10 en el entorno de P (1; 2)z x y xy x y= + − − + − −



37

(60.b) III hasta zxyz e senx=

(60.c) 04ln( ) hasta el 3 término y sus valores en P(1;1)z x y= +



38


PRODUCCIÓN

1. Construir las funciones de PMe y PMg para x1 correspondientes a la función de producción:

Q = x1 x2 – 0,2 x12 – 0,8 x2

2.

y0

x0

X

Y

Z

y0

x0

f1 (x;y0)

f2 (x0;y) X

Z

Y



39

2. La función de producción de una mercadería x es: X = 10 L – L2 + 2 L K + 80 K – 2 K2, en

la cual L y K son respectivamente insumos de trabajo y de capital. Encuéntrese las

productividades Me y Mg de L y K para L = 3 y K = 10.

3. Encuentre las funciones de producto Marginal para la función de producción:

X = 50 L + 2 L2 – 3 L3 + 2 L K2 – 3 L2 K + 5 K2 – K3 y determine a continuación las

productividades marginales de L y K para L = 2 y K = 5.

4. FUNCIONES HOMOGÉNEAS: Decir cuáles de las siguientes funciones de producción son

homogéneas y que tipo de rendimientos a escala poseen:

a) Q = x . y

b) Q = x + y

c) Q = L3 + 3 T2 L

L . T

d) Q = x y2 – x2 y2 1/z

e) Q = A xa yb

f) Q = x2 + 2 x2 y + 5 x y2 + y2

x . y

g) Q = x y + 10 x



40

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

1. PROPAGANDA. Determinar el nivel óptimo de publicidad (A*) para una empresa

maximizadora de beneficios cuyas funciones de ingreso y costo son:

100 A Q 2 A 40 -A 20 Q4

1-Q 5 IT 2 2 +++= ; A 25 Q 3 CT ++=

2. DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS. Una empresa puede separar a los consumidores de un bien

“Q” en dos mercados (1 y 2) cuyas demandas están representadas por las funciones:

p1 = 151 – Q1; p2 = 120 – Q2. La función de costo total de la empresa es:

CT = 100 + 8 Q + Q2.



41

Determinar el precio y la cantidad de equilibrio en cada mercado y el beneficio total de la

empresa.

3. MÁXIMA PRODUCTIVIDAD MARGINAL. Dada la función de producción:

Q = 10 L + 20 K + 0,3 L2 – K2- 0,01 L3 ; donde K representa el capital y L el trabajo.

¿Habrá algún nivel de utilización del trabajo para el cual la productividad marginal de dicho

factor sea máxima? ¿Y para el capital?

4. MONOPOLISTA QUE PRODUCE DOS MERCANCÍAS QUE ESTÁN RELACIONADAS EN EL

MERCADO. Un monopolista produce dos mercancías: 1 y 2, cuyo consumo es

interdependiente ya que la demanda de mercado de la mercancía 1 depende de su precio y

del precio de la mercancía 2, y lo mismo para esta última. Si la demanda de dichas

mercancías es: x1 = 5 – p1 + 2 p2; x2 = 4 + p1 – 3 p2 y la función de costos de la

empresa son: CT = 4 x1 + 2 x2 (donde 4 y 2 son los costos unitarios de ambas

mercancías), se desea determinar a que precio deberá vender cada mercancía si desea

obtener un beneficio máximo.

5. Un monopolista tiene las siguientes funciones de IMe (Demanda): p1 = 63 – 4 Q1 ;

p2 = 105 – 5 Q2; p3 = 75 – 6 Q3 correspondientes a los distintos mercados en que

vende su único producto. Su función de costo total es: CT = 20 + 15 Q y su objetivo es

maximizar los beneficios totales.

SE PIDE: Determinar:

a) Que cantidad producirá el monopolista y a que precio venderá en cada

mercado.

b) A cuánto ascenderán los beneficios totales.

6. La empresa Beta produce dos bienes: 1 y 2 que se venden en el mercado (competencia

perfecta) a los siguientes precios: p1 = $ 12 y p2 = $ 18. El directorio ha solicitado al

asesor económico que indique que cantidades deben producirse para que las ganancias

sean máximas y a cuánto ascenderán éstas. La función de costo total es:

CT = 2 Q12 + Q1 Q2 + 2 Q2

2.

7. PRODUCCIÓN. Una empresa utiliza para producir su único producto, dos factores: capital

(maquinarias) = x1 y trabajo = x2.

Lo que produce cada trabajador está representado por la función:

2

1211

21

2

31

2

21

x

x140 - x x- x17 x

3x

x2-

x20 PMe ++=

x



42

a) Se desea saber si existe algún nivel de utilización del trabajo para el cual la

productividad marginal del capital sea máxima.

b) Cuánto puede producir como máximo cada máquina.

8. PRESENTACIÓN DE UN PRODUCTO. Un empresario cuyo objetivo es maximizar su ganancia

está estudiando la posibilidad de producir un nuevo producto. Existen dos formas de

presentación del mismo: en envases de cartón con lo cual el costo medio del producto es

de $ 90, o en envases de material plástico con un costo medio de $ 130. De elegir la

primera alternativa la demanda estimada es: Q1 = 1900 – 20 p1, si elige la segunda:

Q2 = 2240 – 16 p2

SE PIDE:

a) Si no existe la posibilidad técnica de utilizar las dos maneras de forma simultáneas:

¿qué alternativa elegiría el empresario? ¿A qué precio se venderá el producto y a

cuánto ascenderán los beneficios?

b) Si puede combinar simultáneamente ambas formas de presentación: ¿cuánto producirá

de cada una y cuales serán los precios y el beneficio?

9. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES.

a) Las demandas de dos bienes X1 y X2 están dadas por D1 = 16 -p12 y D2 = 9 - p2

2 y la

función de costo es C (p1;p2)= p12 + 3 p2

2. Determinar las cantidades y los precios que

maximizan el beneficio.- Respuesta: p1=2; p2=1; D1=12; D2=8

b) Si las demandas de dos bienes X1 y X2 son D1 = 24 -2p1 y D2 = 20 – 4 p2 y la función

de costo C (p1;p2)= p12 + p1p2 + 2 p2

2 hallar los precios p1 y p2 y cantidades D1 y D2 que

maximizan el beneficio. Respuesta: p1=268/71; p2=96/71 ; D1=1168/71; D2=1036/71.

c) Si las demandas de dos bienes son X1 = 4 - p1 + p2 y X2 = 3+p1-2p2 hallar los

precios p1 y p2 y cantidades X1 y X2 que maximizan el beneficio si el costo de producción

unitario es de 4 para X1 y de 2 para X2. Respuesta: p1=15/2; p2=9/2 ; D1=1; D2=3/2.

d) Un monopolista produce dos artículos X1 y X2 cuyas demandas son: X1 = 8 - p1 + p2 y

X2 = 9 + p1 - 5 p2. Encontrar las cantidades y precios que maximizan el beneficio si los

costos de producir una unidad de X1 es igual a 4 y de X2 es igual a 2. Respuesta:

p1=65/8 ; p2=25/8 ; D1=3 ; D2=3/2.

e) Un producto se vende en dos mercados diferentes, (1 y 2) cuyas demandas están

representadas por las funciones: p1 = 40 – 5 q1; p2 = 30 – 3 q2. La función de costo es

C (p1;p2)= q12+2 q1q2 3 q2

2. Calcular el precio y la cantidad que deben venderse en cada

mercado para obtener el máximo beneficio. Respuesta: p1=25 ; p2=24 ; q1=3 ; q2=2.



43

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES SUJETAS A UNA

RESTRICCIÓN

1. Maximización de la producción bajo una restricción presupuestaria. Una refinería utiliza para

la producción de nafta dos tipos de petróleo: x1 = petróleo tipo A y x2 = petróleo tipo B. La

producción responde a la función: PT = x1 x22 + x1

2 x2.

El costo de cada factor productivo asciende a $ 5 por unidad para ambos tipos de petróleo.

Encontrar la máxima producción posible de nafta sabiendo que la empresa tiene una

restricción financiera por la cual no puede gastar más de $ 500 en dicha producción.



44

Explicar el significado de x1, x2 y lambda.

2. COSTOS. La producción de un bien “Q” cuando se utilizan las cantidades x1 y x2 de dos

factores productivos, viene dada por la función de producción: Q = x1 x2. Siendo los

precios de los factores constantes e iguales a $ 8 y $ 2 respectivamente y el nivel de

producción deseado de: Q = 100.

a) Determinar el costo total mínimo para Q = 100.

b) Interpretar el significado económico de la variable lambda.

c) Determinar el CMg para ese nivel de producción.

3. Plantear las condiciones de primer orden de los siguientes problemas (NO RESOLVER, SOLO

DEJAR PLANTEADO LO SOLICITADO):

a) Una empresa vende dos bienes en el mercado cuyas demandas son:

x1 = 100 – 2 p1 + 3 p2; x2 = 60 + 4 p1 – 5 p2. La empresa compite con otras dos

empresas en el mismo ramo. Todas intentan ganarse el mercado desplazando a las otras,

tratando de obtener el mayor nivel de ventas posible. Nuestra empresa tiene un costo

medio de $ 2 para el producto 1 y de $ 4 para el producto 2.

El gobierno desea promocionar la venta del producto 1 y le otorga un subsidio a la

producción de $ 70.

La empresa desea obtener un beneficio de $ 150. La misma debe soportar un impuesto a

las ventas del producto 2 del 5%.

Se desea saber cuánto debe vender la empresa de cada producto.

b) Una empresa dispone para producir de los siguientes factores: maquinarias (x1) y trabajo

(x2) y dinero en efectivo el cual asciende a $ 1.200. Lo que produce cada trabajador está

representado por la función: 25 x1 x2 + 50 x12 x2 – 40 x2

2 x1 + 2 x1 + 4 x2 + 50.000

La empresa debe pagar un salario de $ 4 por trabajador. Cada máquina le cuesta $ 10.

La empresa está estudiando la conveniencia o no de cambiar el equipo de máquinas y para

ello necesita saber cuánto se puede producir actualmente como máximo por cada máquina.

c) Suponga que la empresa del punto b) posee ahora una cantidad ilimitada de dinero para

producir y desea saber si habrá algún nivel de utilización del trabajo para el cual la

productividad marginal del mismo sea máxima.

d) Un monopolista produce escritorios de dos tipos: de tapa de fórmica y de tapa de acrílico,

siendo la demanda de cada uno igual a:

x1 = 50 – 2 p1 + 3 p2 (fórmica); x2 = 70 + 3 p1 – 5 p2 (acrílico).



45

Los costos unitarios de la empresa son: $ 5 para los de fórmica y $ 10 para los de acrílico.

Debido a una gran escasez de madera que hay en el mercado, esta empresa no puede

producir más de 250 escritorios.

La empresa desea saber cuánto debe producir de cada tipo de escritorios para poder

maximizar su beneficio.

4. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES

a) Dada la función de utilidad de un consumidor U=x1 . x2 , los precios de los bienes son

p1=1 y p2=3, y el ingreso es I=15, encontrar las cantidades x1 y x2 que hacen

máxima la utilidad y a cuánto asciende ésta. Dar la interpretación económica de λ.

Respuesta: x1 = 7,5; x2= 2,5; U=18,75; λ indica la utilidad marginal del ingreso.

b) Una fábrica produce artículos x1 y x2 . La función de costo es:

C (x1; x2) = x12 + 2 x2

2 - x1 el cual se quiere minimizar. Determinar el costo mínimo y

las cantidades a producir si el total de artículos debe ser 8. Respuesta: x1 = 5,5; x2=

2,5; C = 37,25.

c) La función de utilidad es U = 10x1 + 20x2 + 4x1x2. Si la restricción presupuestaria es

2x1 + 3x2 = 18, hallar las cantidades que maximizan la utilidad y a cuánto asciende

ésta. Dar la interpretación económica de λ. Respuesta: x1 = 31/8; x2= 41/12; U =

3.841/24; λ indica la utilidad marginal del ingreso.

d) El número de fallas N como función de las variables x e y de cambios de dos partes de

una máquina está dado por N(x;y)= 3x3 + y2 + 2xy - 22x + 60. Para minimizar las

fallas, ¿qué número de cambios deben realizarse de cada parte si 2x = y ?. Respuesta:

x = 1 e y = 2, N=49.

e) La producción P en función de las cantidades x e y de los insumos X e Y está dado por

P(x;y) = x2 + 5xy - 4y2 . Hallar las cantidades que maximizan la producción si

2x+3y= 74 y el máximo valor de ésta. Dar la interpretación económica del

multiplicador de Lagrange (λ). Respuesta: x = 31; y= 4; P = 1.517; λ indica la

productividad del capital.

f) Un ganadero tiene la función de producción P(x;y) = 110x-3 x2 - 2xy + 5y2, donde x

es la cantidad de medias reses e y son la cantidad de cueros. Sabiendo que hay 2

costados de res por cada cuero, ¿qué cantidad de vacas maximizará su producción? ¿a

cuánto asciende ésta? Respuesta: 10 vacas; P = 1100.

g) Un fabricante de piezas para industrias de triciclos vende 3 ruedas por cada armazón.

Si la demanda de ruedas es Dr= 63 – 1/4 pr, la demanda de armazones es

Da=60-1/3pa y el costo conjunto es C(Da;Dr)=Dr2+DrDa+Da

2+190. Hallar a qué

precios y con qué producción se obtiene el máximo beneficio y a cuánto asciende éste.

Respuesta: Dr= 27; Da=9; pr =144 ;pa=153 ;B=4.022.



46

h) Dada la función de producción P=3x1x2, obtener el costo mínimo y las cantidades de

cada insumo necesarias para producir 15 unidades si el costo fijo es 150 y los precios

unitarios de cada insumo son p1=5 y p2=9. Respuesta: x1=3; x2= 5/3; Cmin= 180.

i) Dada la función de producción de un artículo P(x1;x2)=3x1x2, si x1 y x2 son las

cantidades de 2 insumos X1 y X2 y p1=4,p2=5 son los precios de los insumos, 300 es el

costo fijo, hallar: a)el costo mínimo para p=6000, b) el producto máximo para C=500.

En ambos casos determinar las cantidades x1 y x2 correspondientes. Dar la

interpretación económica de λ en el caso b). Respuesta: a) x1=50; x2= 40; C= 700.

b) x1=25; x2= 10; P= 1500. λ indica la productividad del capital.

j) La relación entre las ventas V y las sumas x e y gastadas en dos medios de publicidad

está dada por 200 100

5 10

x yV

x y= +

+ +. La ganancia es 1/5 de las ventas menos el costo de

la promoción. El presupuesto para publicidad es 25. Determinar cuánto debe asignarse

a cada medio de publicidad para maximizar la ganancia y a cuánto asciende ésta. Sólo

plantear. Respuesta: x= 15 , y= 10, B= 15.

k) Dada la función de utilidad U(x1;x2)= x1.x2, si x1 y x2 son las cantidades de 2 artículos

X1 y X2 y p1=2 y p2=5 son los precios de los mismos, hallar la utilidad máxima y las

cantidades x1 y x2 que la maximizan si el ingreso es 100. Dar la interpretación

económica de λ . Respuesta: x1=25; x2= 10; U= 250. λ indica la utilidad marginal

del ingreso.

l) Hallar las cantidades de insumo que hacen máximo el nivel de producción si el

costo total del trabajo (a 48 dólares por unidad) más el costo del capital (a 36

dólares por unidad) se limita a 115.200 dólares sabiendo que P(t;c)= 100 t 0,25 c0,75.

Respuesta: t=600, c=2400, P=169.704.



47

ECUACIONES DIFERENCIALES Ejercicio Nº 61: Indique el grado y orden de las siguientes ecuaciones diferenciales. (61.a)

22 ´yx y y= (61.b) 2 3 ´́ 2x xy y= −

(61.c) ´́ ´ 2 4 4 ´́y y x y− + = (61.d) 2 22 ´ 3 ´´ 4 3xy y x y− = −

Ejercicio Nº 62: Realice las siguientes verificaciones.

(62.a) Que la familia de funciones 2y x cx= − es la solución general de la ecuación diferencial 2´xy y x− = .

(62.b) Idem para ln( )y x c= + y la ecuación diferencial ye'y −= .

(62.c) Idem para 1

yx

= siendo 22

2y

x'y +−= .

(62.d) Idem ´́ 2 ´ 2 0y y y− + = para 1) xy xe=

2) 2 xy x e= Ejercicio Nº 63: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables. (63.a) Halle la solución general de la siguiente ecuación general:

2( 4 ) 0

d yy d x

x x+ + =

−

(63.b) Idem con 02 =+ dyxcosdxycos.xsen

(63.c) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial 2´ ( ) 0xy e y y+ − = en el punto P=(0;1). (63.d) Idem 034 =− dyysen.xdxycos. que para por en punto P=(1;0). Ejercicio Nº 64: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales del tipo lineal. (64.a) ´ 2 5y xy x+ =

(64.b) 32 ´ 4x y xy− =

(64.c) ´ 4xy e y− =



48

(64.d) Halle la solución particular que pasa por el punto P=(0;1) de la ecuación xy'y =+

Ejercicio Nº 65: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas. (65.a) ( ) ( ) 024 =+−++ dxxydyyx

(65.b) dxyxdxydyx 22 +=−

Ejercicio Nº 66: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

(66.a) 31

´3

y y y x− =

(66.b) ( )2 2dy xy xy dx= −

Ejercicio Nº 67: Halle la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden: 1.- Con coeficientes constantes y segundo miembro nulo (homogéneas). (67.a) ´́ 4 ´ 3 0y y y− − =

(67.b) ´́ 6 0y y+ =

2.- Con coeficientes constantes y completas. (67.c) ´́ ´ 1 2y y x− = +

(67.d) ´́ 4 ´ 9 2cosy y y x+ + =

Nota: El tema “ecuaciones diferenciales” normalmente no se desarrolla y suele darse como material agregado en un fascículo teórico práctico escrito en 1995 y reimpreso en el 2002 con el objeto de que sirva de apoyo a los alumnos. En general, salvo años muy excepcionales, solamente se llega a los dos primeros ejercicios con la idea de mostrar los distintos “tipos”.

Marzo 2012

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Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas … · Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam 2 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS