Larrondo 2009

Fotones, electrones, y ….

partículas cuánticas

ó

paquetes de onda

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Dualidad onda partícula

Se difractan si interactúan con objetosde tamaño comparable con su λ. Es decir en ese caso se comportan comoondas.

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Dualidad onda partícula

Si interactúan con objetos de tamaño >>

λ la difracción es despreciable y en esecaso se comportan como partículas.

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Ventaja de los electrones

� Su frecuencia y su longitud de onda son regulables mediante un incremento de su ímpetu.

� Los electrones pueden utilizarse parafotografía y microscopía igual que losfotones, pero en casos en que losobjetos son muchísimo más pequeños.

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Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)

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Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)

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Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)

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c

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Qué partículas son éstas?

λ

x∆

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Fourier demostró(transformada de Fourier)

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Cambio de variables

� Si intercambiamos x por t, se

intercambia k por ω en la transformada de Fourier.

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TF para funciones del tiempo

( ) ( )

1( ) ( )

2

i t

i t

F f t e dt

f t F e d

ω

ω

ω

ω ωπ

∞

−

−∞

∞

+

−∞

=

=

∫

∫

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Y los paquetes se obtienen reemplazando k por (k-k0)

0( )

0( ) ( )i k k x

F k k f x e− −

− = ∫

• La transformada de Fourier de un paquete es igual a la de la envolvente pero está centrada en k0.

• Un paquete con portadora k0 y envolvente f(x) se obtiene sumando senoides de distinto k, cuya

amplitud y fase están dadas por F(k-k0)

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Preparación de un paquete de ondas

1. Elegimos la envolvente y

mediante la Tabla de TF

obtenemos la amplitud y fasede cada k

fourierTransform1.htm

2. Elegimos k0

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Ejemplo (ver tabla de TF)

2 2

2

( )

2 22

x k

e e

σ

σ σ π− −

Envolventede f (x)

Envolventede F (k)

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Y éste es el paquete gaussianocentrado en una portadora

2 20( )

22

k k

e

σ

σ π

−−

portadora

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Pincipio de incerteza

1

2x k∆ ∆ ≥

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Atención

� La expresión anterior corresponde a una manera particular de medir el ancho de los pulsos, tanto en x como en k.

� Note que en rigor un pulso gaussiano es indefinido.

� El pulso gaussiano es el único que cumple la igualdad.

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Consecuencias del Pincipio de incerteza

2x

x p∆ ∆ ≥h

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Consecuencias del Pincipio de incerteza

No se pueden medir

simultáneamente la posición en

x y la componente x del ímpetu

con infinita precisión.

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Ejemplo del apunte

Larrondo 2008

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Receta

Para obtener un paquete único de

ancho finito tenemos que sumarun continuo en k

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Paquete sen x / x

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Forma experimental de hacerlo?

Las partículas cuánticas se

preparan mediante mediciones

del sistema!

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Los fotones

� Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético

� Cada onda es solución de la ecuaciónde Ondas

� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.

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Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición

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Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición

Larrondo 2008

Este es el resultado con bajo tiempo de exposición

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Este es el resultado con alto tiempode exposición

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Los fotones

� Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético

� Cada onda es solución de la ecuaciónde Ondas

� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.

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� Se forman sumando ondas de Campo de materia

que es un campo escalar complejo.

� Cada onda es solución de la ecuaciónde Schrödinger

� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo ) da la probabilidad que los electrones se encuentren en determinado lugar.

Los electrones

Φ

Φ

Φ

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Estas son las ecuaciones

2

2 2

1 ( , )( , )

tt

c t

∂∇ =

∂

E rE r

2( , )

( , ) ( , )2

tt V t i

m t

− ∂Φ∇Φ + Φ =

∂

rr r

hh

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Y en una dimensión

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )x t x t

x c t

∂ ∂=

∂ ∂

E E

2 2

2

( , ) ( , )( , )

2

x t x tV x t i

m t t

− ∂ Φ ∂Φ+ Φ =

∂ ∂

hh

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Solución de la ES

• Partícula libre (V=0): atención cos(kx-ωt) NO essolución pero exp[i(kx-ωt)] SI!

• Partícula en potencial V(x): separación de

variables.

• El problema clásico y la representación en energías.

• Partícula en potencial constante

• Partícula en un potencial escalonado (potencial

unidimensional)