FACULTAD DE INGENIERÍA - U.B.A. - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6607/adicional/tpe_091c.pdf · 2.1 Teorema de muestreo de Nyquist ... La velocidad de muestreo puede ser reducida

FACULTAD DE INGENIERÍA - U.B.A.

Departamento de Electrónica

66.74 Señales y Sistemas

Trabajo Práctico Especial

Cambio de frecuencia de muestreo

1º Cuatrimestre 2009

Trabajo Práctico Especial: Cambio de frecuencia de muestreo

Señales y Sistemas – 1º Cuatrimestre 2009 Página 2 de 13

Resumen Este trabajo tiene como objetivo que el alumno integre y aplique los conocimientos adquiridos a un problema real. Como objetivo secundario, se pretende que el alumno aprenda a utilizar una herramienta computacional de procesamiento de señales.

Requisitos para la aprobación El presente Trabajo Práctico Especial será evaluado con nota, la cual tiene participación en el cálculo de la nota de la cursada y final de la materia (ver reglamento de la materia). Este trabajo práctico será evaluado exclusivamente en las fechas indicadas en el calendario y en el turno en el cual el alumno se halle inscripto. Se dispondrá de dos fechas de evaluación de las cuales el alumno deberá optar por una de ellas. Bajo ningún concepto se podrá rendir en ambas fechas. Es aconsejable rendir en la primera fecha y dejar la segunda solo para eventuales imponderables (problemas personales, fallas técnicas en la impresión del tp, etc) ya que no habrá posibilidad alguna de rendir fuera de las mismas. La evaluación del tp es individual y se hará en forma oral o escrita por los docentes auxiliares. Puede incluir preguntas sobre:

• Ítems particulares sobre los ejercicios de esta guía y su implementación en Matlab. • Conceptos teóricos necesarios para realizar los ejercicios.

Puede requerirse también al alumno que implemente alguno de los ejercicios o similares en la computadora en el momento de la evaluación. Por lo tanto el alumno debe presentarse el día de la evaluación con:

• Esta guía. • Las soluciones a los problemas planteados: Cuando el problema requiera una implementación, la

misma debe estar adecuadamente descripta y debidamente justificada. Es decir, si es necesario justificación teórica, ésta debe estar desarrollada. Si se pide una implementación práctica la misma debe estar adecuadamente documentada de modo que el docente pueda constatar que las especificaciones requeridas se cumplen. Esto incluye la presentación del programa de MATLAB utilizado, y los gráficos necesarios para mostrar los resultados obtenidos. Los programas de MATLAB deben incluirse en la presentación impresos y en versión electrónica. Todos los gráficos deberán tener título, comentarios en ambos ejes sobre la unidad a representar y el eje de abscisas debe estar en unidades de tiempo o frecuencia según corresponda.

Nota del trabajo práctico especial:

• 0: Tp no entregado, con errores conceptuales o errores en la evaluación que evidencien la no realización personal del trabajo práctico.

• 40: Tp en el que el alumno cumple con los mínimos requisitos de aprobación. • 70: Tp en el que el alumno realiza y demuestra conocimiento de todos los puntos solicitados. • 100: Tp en el que el alumno demuestra una clara conceptualización del trabajo realizado y excede

las pautas solicitadas



1 Introducción La mayoría de las señales discretas tienen naturaleza analógica, como ser los sistemas de comunicación, las señales de audio, señales biológicas, etc. El proceso de convertir estas señales analógicas a digitales es denominado conversión A/D. El proceso inverso de reconstruir la señal discreta a analógica es denominado conversor D/A. En este trabajo especial analizamos los efectos del sistema de conversión real y que ocurre con este cuando realizamos cambios de la velocidad de muestreo de una señal, para ello utilizaremos operaciones de diezmado e interpolación. El cambio de la velocidad de muestreo tiene muchas aplicaciones prácticas, como ser: compresión de datos, procesamiento de señales de audio, etc.

2 Conversión de tiempo Continuo/Discreto El conversor recibe una entrada en tiempo continuo y produce una salida de tiempo discreto. En la Figura 1 podemos ver un esquema de un conversor C/D ideal.

Figura 1: Esquema de un conversor C/D ideal.

El sistema recibe como entrada una señal xc(t), continua, se le realiza un muestreo con un tren de impulsos s(t), con período T, y posteriormente se la convierte a una secuencia, generando la salida x[n]. El tren de impulsos se puede escribir como:

∑∞

−∞=

−=n

nTtts )()( δ

y al multiplicarlo con la señal de entrada obtenemos la señal intermedia xs(t):

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−⋅=

⋅=

nc

nc

cs

nTtnTx

nTttx

tstxtx

)()(

)()(

)()()(

δ

δ

En el dominio transformado se tiene:

∑∞

−∞=

−=k

skT

jS )(2)( ωωδπω

Donde ωs =2 π/ T es la frecuencia de muestreo en radianes/seg. Si X(jω) es la transformada de Fourier de x(t), aplicando la propiedad de la multiplicación de dos señales:

∑∞

−∞=

−=

=

ksc

cs

kjXT

jSjXjX

))((1

)(*)(21)(

ωω

ωωπ

ω

2.1 Teorema de muestreo de Nyquist Sea xc(t) una señal de banda limitada, con Xc(jω) = 0 para |ω | ≥ ωN (como se esquematiza en la Figura 2).



Entonces, xc(t) se puede recuperar a partir de sus muestras x[n] = xc(n.T), n= 0, ±1, ±2,…. ; si ωs > 2ωN , donde ωs es la frecuencia de muestreo.

ω

ωω

Figura 2: Espectro en amplitud de una señal limitada en banda.

3 Reducción de la velocidad de muestreo en un factor entero. La velocidad de muestreo puede ser reducida por un factor entero M, realizando una decimación de la señal discreta y de este modo se genera una nueva secuencia ][nxd .

][][][ MTnxMnxnx cd ⋅=⋅=

La secuencia ][nxd podría ser obtenida por el conversor C/D con período T’=MT. En la Figura 3 se muestra un esquema del sistema planteado.

Figura 3: Esquema del sistema que permite disminuir la frecuencia de muestreo por un factor entero M.

En la Figura 4 se muestra esquema temporal de una reducción de la velocidad de muestreo por un factor de tres (M = 3), y en la Figura 5 la correspondiente versión en frecuencia.

Figura 4: Esquema temporal de una reducción de la velocidad de muestreo por un factor de tres (M = 3). (Extraído de

“Signals and Systems; 2nd ed. Prentice hall. Alan V. Oppenheim, Willsky, Young”) En el siguiente gráfico se observa la reducción de velocidad de muestreo en el dominio de la frecuencia.



Figura 5: Esquema en el dominio de las frecuencias de una reducción de la velocidad de muestreo por un factor de tres

(M = 3). (Extraído de “Signals and Systems; 2nd ed. Prentice hall. Alan Oppenheim, Willsky, Young”) En ejemplo anterior, la reducción de la frecuencia de muestreo puede generar un traslape de los espectros si ΩN > π / M. Cuando esta condición no se cumple, para evitar el traslape se debe incluir un filtrado pasabajos antes de realizar el submuestreo. En estos casos hay que aceptar que se pierde información y que por lo tanto ya no se pude regenerar la señal original a partir de la versión submuestreada. En la Figura 6 se presenta un esquema de un sistema que implementa un filtrado pasabajos (antia-alias) y posterior submuestreo de la señal. En la Figura 7 se puede ver un ejemplo del comportamiento del sistema para una señal genérica x[m], muestreada originalmente con una frecuencia de muestreo fs, y que es reducida en un factor de M = 3.

Figura 6: Esquema de un sistema que implementa un filtrado pasabajos (antia-alias) y posterior submuestreo de la señal

(Extraído de “Digital Audio Signal Processing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Sons Ltd, 2008”).

Figura 7: Ejemplo de un filtrado anti-alias y submuestreo por un factor de tres. (Extraído de “Digital Audio Signal

Processing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Sons Ltd, 2008”).



4 Aumento de la velocidad de muestreo en un factor entero En algunas aplicaciones es útil aumentar la velocidad de muestreo. Consideramos una secuencia ][nx con período de muestreo T, cuya velocidad de muestreo se desea incrementar en un factor L. El objetivo es obtener ),'(][ Tnxny c ⋅= donde T’=T/L, a partir de ][nx .

Para realizar lo antes dicho se realiza una expansión temporal, obteniendo ][nw como:

⎪⎩

⎪⎨⎧

±±=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= caso otroen 0

;....2;;0 si ][ LLnLnxnw

Esto no es más que agregar L-1 ceros entre muestra y muestra de la señal ][nx . Luego de la expansión se realiza el filtrado pasa bajos para interpolar las muestras de la señal original. En la Figura 8 se puede ver un esquema del sistema completo, y en la Figura 9 un ejemplo de aplicación en una señal genérica.

Figura 8: Esquema de un sistema que aumenta la frecuencia de muestreo en un factor entero. (Extraído de “Digital

Audio Signal Processing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Sons Ltd, 2008”).

0 1 2 30

0.5

1

1.5

n

x(n)

1/T

Ω

X(ejΩ)

0 π 2π 4π 6π

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

m

w(m)

↑ 31/T

LW(ejΩ')=X(ejLΩ')

0 π/3π/L

2π/32π/L

π 4π/34π/L

2π6π/L

Ω '=Ω /LL = 3

|H(ejΩ')|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

m

y(m)

L/T=1/T'

Ω '

Y(ejΩ'))

0 π/3 π 2π Figura 9: Ejemplo de un sobremuestreo por 3 y posterior filtrado interpolador. (Adaptado de “Digital Audio Signal


El filtro pasa bajos de la figura anterior es el encargado de interpolar las muestras de la secuencia en el tiempo. La respuesta al impulso del filtro pasabajo ideal es:



Ln

Lnsen

nh⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=π

π][

.

En algunos casos se pueden utilizar filtros interpoladores más sencillos, como el de orden 0 y orden 1. Otro muy utilizado en la practica utiliza splines cubicas. A continuación describiremos brevemente estos interpoladores.

4.1 Interpolador de orden cero El filtro interpolador de orden cero, más conocido como retenedor de orden cero, se define como:

⎩⎨⎧ <≤

=caso. otroen 0

0 si 1][0

Lnnh

En la Figura 10 se muestra la interpolación de la secuencia ][nx con el filtro interpolador de orden cero

][0 nh , y L = 5.

Figura 10: Ejemplo de interpolación con un retenedor de orden 0, con L = 5. (Extraído de “Digital Audio Signal


4.2 Interpolador de orden uno La respuesta al impulso del interpolador de orden 1, también conocido como interpolador lineal, esta dada por:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤−=

caso. otroen 0 si 1][ LnL

nnhlin

En la Figura 11 se muestra la interpolación de la secuencia ][nx con el filtro interpolador lineal ][nhlin , y L = 5.



Figura 11: Ejemplo de interpolación con un retenedor de orden 0, con L = 5. (Extraído de “ Discrete-Time Signal

Processing; 2nd ed. Prentice hall. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck”)

En la Figura 12 se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro de interpolación lineal (L=5) y del filtro pasabajos ideal a modo de comparación.

Figura 12: Comparación de las respuesta en frecuencia de un interpolador ideal y uno lineal, para L = 5. (Extraído de “

Discrete-Time Signal Processing; 2nd ed. Prentice hall. AlaV. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck”)

4.3 Interpolación por spline cubicos Los apartados anteriores hemos visto dos funciones de interpolación comúnmente usadas en la práctica. Algo para hacer notar, es que el interpolador de orden uno puede ser obtenido como la convolución de el interpolador de orden cero por si mismo. Esto genera una familia de funciones conocidas como B-splines de grado n, βn, las cuales son polinomios de orden n, y se las puede obtener en forma recursiva como:

1 )()()( 01 ≥∗= − nttt nn βββ

Donde β0, es el interpolador de orden cero que vimos en el apartado anterior. En la Figura 13 se esquematizan las primeras cinco B-splines, donde se puede observar que a medida que aumenta el orden, se achantan más y se asemejan a una función gaussiana.



Figura 13: B-splines para n = 0 hasta 4.. (Extraído de “Michael Unser, Sampling—50 Years After Shannon, Proc. of

IEEE, vol. 88, no. 4, April 2000”)

La interpolación por spline, también conocida como interpolación segmentaria, tiene como idea central el de no usar un solo polinomio para interpolar todos los datos, sino definir funciones interpolantes entre pares coordenados de datos. Para un conjunto muy numeroso de puntos no es muy útil calcular el polinomio interpolante que pasa por estos puntos, pues este tiende a tener grandes oscilaciones. Mas aconsejable es hacer una interpolación secuencial de grado bajo sobre subconjuntos mas pequeños del total de puntos, definiendo así una función en partes. Se puede decir de manera informal, que la función interpolante spline esta formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. En la interpolación por splines cubicos, en cada uno de los subintervalos (xk, xk+1), se define polinomios de grado 3 de tal forma que cualesquiera dos definidos en intervalos seguidos (xk-1, xk) y (xk, xk+1) , ambos coincidan en xk no solo en el valor de la función sino también en su primera derivada y segunda derivada, con el fin que haya suavidad en cada coordenada (xk, yk). La ecuación que representa a cada polinomio está dada por: Si(x) = ai x3 +bi x +ci x + di para i=1,…,n-1.

5 Cambio de frecuencia de muestreo por un factor racional L/M En los apartados anteriores vimos como cambiar la frecuencia de muestreo por un factor entero. Ahora nos detendremos en el caso donde el factor de cambio se puede expresar como un número racional, de la forma L/M. Esto puede ser implementado por un sobremuestreo por un factor L y posterior submuestreo por un factor M. Este procedimiento se esquematiza en la Figura 14. Existen algoritmos que implementan en forma eficiente esta operación.

Figura 14: Esquema de un sistema que realiza el cambio de frecuencia de muestreo por un factor de L/M. (Extraído de

“Digital Audio Signal Processing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Sons Ltd, 2008”).

6 Aumento de la frecuencia de muestreo en el dominio de las frecuencias

Una alternativa para aumentar la frecuencia de muestreo es trabajar en el dominio de las frecuencias. Como ya analizamos, el efecto en frecuencia de sobremuestrear es una compresión del espectro. Luego al aplicar el filtro pasa bajos, eliminamos los duplicados del espectro original. Esto se puede observar en la Figura 9. Esta tarea también podemos implementarla directamente en frecuencias discretas. Solo basta con agregar ceros en el centro de la FFT y luego antitranformar. En la Figura 15, se ha representado el ejemplo de la Figura 9, pero para el caso de la DFT. El algoritmo sería como sigue:

1. Calcular la FFT de la señal que se desea interpolar. 2. Agregar ceros en el centro de la FFT, tantos como nuevas muestras se deseen. 3. Calcular la FFT inversa par obtener la señal interpolada.

Si observamos la Figura 15, esto sería equivalente a pasar del primer grafico al tercero, sin realizar el segundo.



0 1 2 30

0.5

1

1.5

n

x(n)

0 N-1k

X(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

m

w(m)

↑ 3

0 3N-1

W(k')=X(kL')

k'

|H(k')|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

m

y(m)

0 3N-1

Y(k')

k'

Figura 15:Adaptación de la Figura 9 para el caso de la DFT.

7 Cambio de frecuencia de muestreo por un factor no racional Finalmente, nos ocuparemos del caso general donde se desea cambiar la frecuencia de muestro por un factor cualquiera. La interpolación de señales de tiempo discreto y limitadas en banda es una herramienta básica de uso extensivo en el área de procesamiento digital de señales1. En general, se puede plantear como el cálculo del valor de una señal en un punto arbitrario del tiempo continuo, a partir de un conjunto de valores en tiempo discreto de la amplitud de la señal. En otras palabras, se trata de la interpolación de la señal entre muestras de la misma. Dado que se supone que la señal es limitada en banda, según el teorema de muestreo (ver sección 1.2), la señal se puede ser reconstruida exactamente y de forma única para todo punto del tiempo continuo a partir de sus muestras. A continuación presentaremos brevemente la interpretación analógica del cambio de frecuencia de muestreo. Supongamos que tenemos muestras equiespaciada x[nTs] de una señal x(t) continua y absolutamente integrables. Aquí, t ∈ ℜ, n ∈ Z y Ts es el período de muestreo. Asumimos que x(t) esta limitada en banda, es decir, si X(ω) es la Transformada de Fourier de x(t), entonces cumple con que X(ω)=0 para |ω| >= π Fs, con Fs = 1/Ts la frecuencia de muestreo. Por el teorema del muestreo, x(t) puede ser reconstruida a partir de x[m Ts] por:

)()()()(ˆ txmTthmTxtxm

sss ≡−⋅= ∑∞

−∞=

(1)

donde:

tFtFtFcth

s

sss ⋅⋅

⋅⋅=⋅=

ππ )sin()(sin)(

(2)

Para cambiar la frecuencia de muestreo a Fs', solo necesitamos evaluar la ecuación (1) en puntos múltiplos enteros de Ts’= 1/Fs’, es decir )'(ˆ snTx . Cuando la nueva frecuencia de muestreo es menor que la original, la frecuencia de corte del filtro pasabajos, debe estar por debajo de esta. Es decir que debemos reescribir la ecuación (2) como

1 Smith, J.O. Digital Audio Resampling Home Page.



( )tFFcFFth sssss ⋅= ',minsin',min)(

done el factor de escala es para mantener una ganancia unitaria en la banda de paso. La ecuación (1) puede verse como una superposición de funciones sinc desplazadas y escaladas. Todas las sinc son centradas en la posición de cada muestra de la señal y escalada por la amplitud de esta, y todas las instancias se suman para dar la función original x(t). Esto se ilustra en la Figura 14, donde podemos ver 5 funciones sinc, desplazadas una muestra y de amplitud modulada por el valor de la muestra. En esta figura también se puede observar que los cruces por cero de cada función sinc coinciden con los instantes temporales de las demás muestras.

Figura 16: Reconstrucción de un a señal limitada en banda. Las líneas de puntos reflejan las sinc y la línea llena la

recoconstrucción obtenida por la superposición de estas (Extraído de “Smith, J.O. Digital Audio Resampling Home Page.”).

Una segunda interpretación de la ecuación (1) puede ser la siguiente. Si se desea obtener el valor de la señal en un punto t, se centra una sinc en el punto t, y se obtiene el valor deseado como la suma de los valores de la señal pesado por el valor de la sinc en dichos puntos. Esta segunda interpretación se desprende de la propiedad conmutativa de la convolución. En las figuras 17 y 18 se esquematiza el procedimiento para distintos valores de t=n Ts - αi.

Figura 17: Suma de convolución en el dominio del tiempo (Extraído de “Digital Audio Signal Processing; Udo Zölzer.

2nd ed., JohnWiley & Sons Ltd, 2008”).

Figura 18: Sumas de convolución para diferentes αi. (Extraído de “Digital Audio Signal Processing; Udo Zölzer. 2nd

ed., JohnWiley & Sons Ltd, 2008”). A efectos prácticos, la suma de convolución es truncada en M términos, es decir, la respuesta impulsiva del filtro es ventaneada, y se puede escribir como:

∑−=

−=M

Mmsssss mTnThmTxnTx ]'[][]'[ˆ (3)



Hasta aquí hemos utilizado un filtro pasa bajos ideal, pero la misma deducción se puede realizar para otro tipos de filtros interpoladores. En la práctica uno muy utilizado es el de Kaiser, ya que tiene una mayor atenuación en la banda de rechazo que el filtro pasabajos ideal. Esto se esquematiza en la Figura 19.

Figura 19: Respuesta en frecuencia (en dB) del filtro pasabajos ideal (izquierda) y de Kaiser (derecha) ventaneados con

una ventana rectangular. (Extraído de “Smith, J.O. Digital Audio Resampling Home Page”).

8 Guía de Ejercicios 1. Genere una señal senoidal, con una frecuencia de 500 Hz, muestreada a: a) fs = 44.1 kHz. b) fs = 22.05 kHz. c) fs = 11.025 kHz. d) fs = 8 kHz. e) fs = 1 kHz. d) fs = 0.8 kHz. En todos los casos grafique y escuche el tono generado. Comente los resultados obtenidos. ¿En todos los casos se conserva la identidad del tono? 2. Repita el ítem anterior, comenzando con una frecuencia de muestreo de 2kHz y disminuyendo paulatinamente la frecuencia de muestreo hasta alcanzar el punto donde el tono comience a distorsionarse. 3. Genere un segundo de una onda triangular, de frecuencia 1 Hz, con una frecuencia de muestreo fs = 20. Incremente L = 5 veces la frecuencia de muestreo, intercalando ceros entre muestra y muestra y posteriormente, interpolando con: - Un interpolador de orden cero. - Un interpolador de orden uno. - Un spline Implemente la solución convolucionando la señal con el interpolador, tanto en el domino del tiempo como en el de las frecuencias. Ítem opcional: En cada caso, derive teóricamente las expresiones de las splines. De la misma forma, encuentre sus transformas Z. Grafique los resultados obtenidos. Realice la misma tarea, pero en el domino de las frecuencias, calculando la FFT e insertando ceros. En todos los casos estime el error cometido por el interpolador, comparando las señal obtenida por interpolación y una generada directamente con la frecuencia deseada. Tenga en cuenta los desfasajes generados por el interpolador. Repita el ejercicio para un tono puro de 200 Hz, muestreada a 2 kHz, con un L = 4; En cada caso, grafique un período y escuche el tono interpolado. 4. Repita el ejercicio 3 para un L/M = 3.5;



5. Repita el ejercicio 3 para L/M= pi. 6. Repita el ejercicio para 2 segundos de una señal chirp, cuya frecuencia varíe entre 0 y 1200 Hz, muestreada a 2 kHz, con un L = 4; En cada caso, grafique las señales generadas y escuche los tonos interpolados. 7. Dada una señal chirp, cuya frecuencia varía entre 0 y 1000 Hz en 2 segundos y muestreada a 2 kHz, disminuir su frecuencia de muestreo L/M = 3/4 veces. 8. Calcule y grafique el espectro en amplitud y los espectrogramas de las señales de los ejercicios anteriores. Interprete y compare con los resultados obtenidos anteriormente. 9. El cambio de frecuencia de muestreo se puede pensar como una inserción de ceros, seguido de un filtrado y posterior decimación. Implemente las rutinas necesarias para realizar al cambio de muestreo de 44.1 kHz a 8 kHz y viceversa, utilizando esta metodología. Experimente con diferentes filtros, justificando su elección. Grafique la repuesta en frecuencia del sistema. Pruebe el sistema con las señales de audio cd.wav y tel.wav. Evalúe perceptualmente la salida. 10. Repita el ejercicio anterior, pero invirtiendo el orden de sobremuestreo/decimación a decimación/sobremuestro. ¿Es válido este cambio? Si lo es, ¿lo es siempre?, y si no lo es ¿hay alguna situación en la que es valida? 11. Implemente el ejercicio 11, de la guía de muestreo, para una señal de entrada chirp. 12. Implemente un sistema que permita cambiar la frecuencia de muestreo según la ecuación (3), y repita el ejercicio anterior. Estime el costo computacional de esta implementación y compárela con la implementación del ejercicio anterior.

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