Facultad Regional Haedo Universidad Tecnológica Nacional

Análisis Matemático IIGuía de Ejercicios

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Haedo

Edición 2020

Cátedra de Análisis Matemático II

Directora de Cátedra: Lic. María E. Trumbich

Profesores: Ing. Oscar Buccolini

Lic. Raúl Igne

Ing. Francisco Cavallaro

Auxiliares Docentes: Fabián Romero

Alberto Da Silva Daninheimer

Nicolás Bassi

Francisco Cavallaro

Gabriel Buccolini

Giselle Villabrille

Análisis Matemático II

Programa analítico

1ra Parte

Unidad 1:

Ecuaciones diferenciales de primer orden. Formación de la ecuación diferencial.

Ecuaciones a variables separables. Trayectorias ortogonales. Ecuaciones

homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli. Ecuaciones

diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes (homogéneas y no

homogéneas)

Modelado con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

Unidad 2:

Introducción a las funciones de varias variables. Dominio. Curvas de nivel.

Límites reiterados y dobles. Continuidad. Derivada direccional. Derivadas

parciales. Teorema del valor medio. Curvas y superficies en coordenadas

paramétricas. Diferenciabilidad. Fórmula de la derivada direccional cuando la

función es diferenciable. Gradiente y su relación con la derivada direccional.

Unidad 3:

Funciones compuestas. Funciones implícitas. Sistemas de funciones implícitas.

Unidad 4:

Derivadas y Diferenciales sucesivas. Desarrollo en serie de Taylor. Extremos

libres. Extremos ligados (Método de los multiplicadores de Lagrange)

2da Parte

Unidad 5:

Integrales dobles – Volumen. Area alabeada. Integrales triples – Cambio de

variables. Aplicaciones físicas.

Unidad 6:

Integral curvilínea. Teorema de Green. Función potencial (Teorema de existencia

de) Ecuación diferencial exacta. Factor integrante.

Unidad 7:

Divergencia, rotor y gradiente. Circulación. Integrales de Superficie – Flujo.

Teorema de Gauss. Teorema de Stokes.

Nota: En el sitio web http://analisis2.webs.com se encuentran documentos de interés

tales como esta guía de ejercicios, la referencia bibliográfica, la bibliografía evaluada,

tutoriales del Mathematica, ejercicios resueltos, apuntes teóricos y modelos de exámenes

finales.

Los ejercicios de esta guía resueltos en Word, disponibles en el sitio web, están indicados

con el símbolo

Los ejercicios resueltos en Mathematica, están indicados con el símbolo

Esperamos, el sitio web les resulte útil y ante cualquier inquietud agradeceremos nos hagan

llegar sus comentarios a [email protected]

Prof. Fabián Romero

Guía editada por Fabián Romero

Colaboración en las respuestas a los ejercicios: Lic. Beatriz Fernández

http://ar.geocities.com/am2_utn

mailto:[email protected]




7

Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 1

Formación de la ecuación diferencial

1_ Exprese la ecuación diferencial asociada a cada una de las siguientes familias de curvas:

Ecuaciones diferenciales a variables separables

2_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) y

y ax

con a R

b) 2(1 )x dy ydx

c) 2xdyy yxe

dx

d) 2 ; tal que ( 1) 1x y y xy y

3_ Problemas de formación de ecuaciones diferenciales

a) Demuestre que la curva tal que la pendiente de la tangente en cada punto es

proporcional a la abscisa del punto de tangencia, es una parábola.

b) Halle una curva que pase por el punto (0; –2) de tal modo que el coeficiente

angular de la tangente en cada punto sea igual a la ordenada de ese punto.

2

2 3

2 2

2 2

a) ln

b) sen cos

c)

d)

e)

x x

x a

y ax b

y a x b x

y ae be

y cx c

yx be ax

8

Trayectorias ortogonales

4_ Halle la ecuación de la familia ortogonal asociada a la familia de curvas dada.

Represente ambas familias, en un mismo gráfico, para diferentes valores del parámetro c.

a) cyx 2

b) 2axy

c) cxy

d) cyx 12

5_ Pruebe que la familia de parábolas y2 = 2cx + c2 (c R) es ortogonal a ella

misma.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

6_ Halle la solución de:

a) 0 y x dy y dx

b) 2 2x 2 y dx xy dy

c) cos cosy dy y

x y xx dx x

d) 2 2x dy y dx x y dx

e) 0; tal que 1 0y/x y/x y/xxe ye x xe y y

Ecuaciones diferenciales lineales


a) 2 xy y e

b) 3 x dy y dx x dx

c) xeyxdx

dyx 313

d) xxxydx

dyx 23 23




9

e) 11 ;012

yx

yy

f) 2 2; 0 1y xy y

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli


a) 2yx

y

dx

dy

b) 4ln3

dy yy x

dx x

c) 013 32 xayyy

d)

2cos

tg ; 0 1x

y y x yy

9_ Pruebe que la ecuación f(y/x)dx + g(y/x)dy + k x (xdy – ydx) = 0 con R se

reduce a Bernoulli con la sustitución z = y/x.

10_ Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando los métodos vistos.

a) yxyyxy 22

b) 42 xxyy

c) 23 tg 2 sec 0x xe y dx e y dy

d) dyx

ydx

x

y

x 34

2

2

231

e) 1 1ye y

f) 32 ; 0 0xy y e y

g) 2

2

4y xy

x y

Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

11_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 023 yyy

b) 025 yy

10

c) 096 yyy

d) 20 ;10 ;0256 yyyyy

e) 25 0; 0 1; ' 0 0y y y y

f) 22 2y y y x

g) y y x

h) 2 3 xy y y e

i) 4 2sen 2y y x

j) 33 2 x xy y y e e

k) 2 cos ; 0 0; 0 2 5y y x x y y /

l) 3 2 xy y y e x

m) 2 3 cos ; 0 0 0xy y y e x y y

n) 22 xy ky k y e x

Modelado con ecuaciones diferenciales

12_ En los siguientes ejercicios plantee un modelo para resolver el problema y halle la

solución del mismo:

a) Al sacar una torta del horno, su temperatura es de 180 °C. Después de 3 minutos, su

temperatura es de 120 °C. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura

ambiente de 22 °C?

b) Un termómetro se lleva del interior de una casa hasta el exterior, donde la

temperatura del aire es de 5 °C. Después de 1 minuto, el termómetro indica 12 °C;

y, después de 5 minutos, marca 6 °C. ¿Cuál era la temperatura del interior de la

casa?

c) La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en

cualquier momento. Su población inicial es de 500 personas y aumenta el 15% en

10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años?

d) Los núcleos de los átomos de ciertas sustancias radiactivas son inestables. Por

ejemplo, de los núcleos de ciertas sustancias se liberan partículas alfa para hacer

que los átomos queden más estables. A este proceso se lo llama desintegración

radiactiva.




11

Se sabe que la tasa de cambio de la cantidad de núcleos en este proceso de

desintegración es proporcional a la cantidad de núcleos presentes. Es decir, si N t

es la cantidad de núcleos en un momento t, el modelo a tener en cuenta sería

,

d N tk N t

dt siendo k < 0, la constante de desintegración.

Por otro lado, la vida media de una sustancia es el tiempo que tarda en

desintegrarse sus núcleos a la mitad del valor inicial.

Se sabe que el carbono 14 (C-14), tiene una vida media de unos 5730 años. Es

decir, en una muestra de C-14, al cabo de 5730 años, la mitad de sus núcleos se

habrán desintegrado. Este dato sirve para datar fósiles, ya que los seres vivos

incorporan C-14 a través de la ingestión y respiración. Cuando el ser vivo muere la

absorción de C-14 cesa y éste comienza un proceso de desintegración radiactiva.

En base al modelo anterior, ¿cuál sería la edad de un fósil que al momento de su

hallazgo posee la centésima parte de C-14 que poseía originalmente?

e) Una población de bacterias crece con una tasa proporcional a la población en

cualquier momento. Si la constante de proporcionalidad durante los primeros días

es de 0.03 y luego es de 0.05, ¿durante cuántos días la constante de

proporcionalidad fue de 0.03, si se sabe que la población se duplicó en 20 días?

f) Una ecuación diferencial que describe una masa m que cae cuando la resistencia

que le opone el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea v, es

2dvm mg kv

dt , donde k es una constante de proporcionalidad positiva y g la

aceleración de la gravedad.

i. Resuelva la ecuación para la condición inicial 00v v .

ii. Determine la velocidad límite o terminal de la masa.

iii. Si la distancia s se relaciona con la velocidad de caída

mediante

d s t

v tdt

, halle ,s t sabiendo que 00 .s s

g) Un hombre, situado en la terraza de un edificio, lanza una pelota de 0,2 kg de masa

verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. La pelota llega al suelo a

los 5 segundos de haber sido lanzada.

1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

2. ¿Qué altura tiene el edificio?

3. ¿Con qué velocidad llega la pelota al suelo?

12

h) Se fija una masa de 20 Kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico

simple es 2/ oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k del resorte? ¿Cuál es

la frecuencia del movimiento si la masa original se reemplaza por una de 80 Kg?

Escriba la ecuación del movimiento.

i) Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se

fija una masa de 50 Kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10

m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento, resuélvala y esboce su

gráfica.

j) Determine la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC cuando L=0.25 h,

R=20 y C=1/300 f. E(t)=0 V; q(0)=4 C e i(0)=0 A. Resuelva la ecuación del

modelo. ¿Es en algún momento la carga del capacitor igual a cero?

k) Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie

cuando L=1 h, R=2 , C=0.25 f, E(t)=50cos(t) V




13


Funciones de varias variables

1_ Exprese analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones. Además,

estudiar si los conjuntos obtenidos son abiertos, cerrados, acotados.

a) 2 2

1

14 9

f x, yx y

b) 2 2 1f x, y xy x y

c)

2 2ln 2

cos

y x yf x,y

y

d) tg

xyf x, y

x

y

e) 2 2

3

4

2 4 2

xy

x y x

f x, y e x y

x y

2_ Exprese analíticamente el dominio de 2 2 2

yzf x, y,z

x y z

3_ Represente las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) 2 2,f x y x y

b) 1

,f x yx y

c) 2 2,

xf x y

x y

d) 2 2

, x yf x y e

e) 2 2, ln 1f x y x y

14

4_ Calcule, en el origen; si es que existen, los límites reiterados, radiales y dobles de las

siguientes funciones. En los casos en que no existe, fundamentar.

a) 2 2

2 2

3x yf x, y

x y

b) 2 2

xyf x, y

x y

c) sen 1f x, y x / y

d) 2

2 2

xyf x, y

x y

e) 2 2

xyf x, y

x y

f) 2

2 4

xyf x, y

x y

5_ Calcule, si es que existen, los siguientes límites. De no existir alguno, fundamentar.

a) 2 2, ,x y

x ylím

x y

b)

2 2, , 0,0,0

sen

2x y z

xyzlím

x y

c) 2 2 2, , 0,0,0x y z

yzlím

x y z

6_ Estudie, en el origen, la continuidad de las siguientes funciones:

a) senx

f x, yy

b)

2 2

2 2 0 0

0 si 0 0

x yx, y ,

x yf x, y

x, y ,

c)

2

2 2 0 0

0 si 0 0

xx, y ,

x y xf x, y

x, y ,




15

7_ Estudie el conjunto de discontinuidades de las siguientes funciones:

Derivadas parciales - Derivadas direccionales

8_ Aplicando la definición calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) en 1 1f x, y xy x, y ,

b) en 5 0x y

f x, y x, y ,x y

9_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) 2

, 2 3f x y x y

b) 2 3, sen 2f x y x x y

c) 2 2

2 2, arctg

x yf x y

x y

d) , yf x y x

10_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) lnu x, y,z yz xyz

b) x z

y yu x, y,z e e

11_ a) Si ,xy

x y

eu x y

e e

verifique que , , ( 1) ,x yu x y u x y x y u x y

b) Si , ,w x y z x y x z y z verifique que 0x y zw w w

12_ Sea la función t

r

k ett,rf 4

2

; halle un valor de la constante k (k R) de tal

manera que f satisfaga la siguiente ecuación

3 22

2 2 2

2

1

a) b)

0

x yx y x y

x y x yf x, y f x, y

x y x x y

r

fr

rf r

t

2

2

1

16

13_ Definición: la derivada direccional de ,f x y en 0 0,x y , en la dirección y sentido

del versor ,v a b , es 0 0 0 0

0

, ,

h

f x ha y hb f x ylím

h

, si este límite existe.

Aplicando la definición, calcule la derivada direccional de las siguientes funciones:

a) 2, 2f x y x y ; en el origen, con 2 2

,2 2

v

b) 2, 2f x y x xy y ; en (x, y) = (1, 2) con 0, 1v

c) ¿Para qué valor de a, es la derivada direccional de 4 2 1, x yf x y e x y e , igual a

17 , en 0,1 , según la dirección dada por el versor 1

,17

v a

?

Diferenciabilidad – Aproximación lineal – Plano tangente

14_ Dada la función 2 2, 2f x y x xy y halle f y df. Evalúelos en (x, y) = (3, 3) con

x = 0,1 y y = 0,2. Finalmente, calcule aproximadamente f(2,5; 2,7) y compare con su

valor exacto.

15_ Dada 2 2, 3 2f x y x y xy x y , calcule aproximadamente f(1,9; 3,1) y compare

con su valor exacto.

16_ Halle, por cálculo directo, la diferencial de las siguientes funciones:

a) 3 2 2, 1f x y x y x y

b) 2, senf x y x y

c) 2, , lnf x y z xyz

17_ Encuentre el punto de la superficie z = 3x2 + 2y2 – 3x + 4y – 5, donde el plano

tangente es horizontal.

18_ Analice la diferenciabilidad de las siguientes funciones:

2 2

2

; , 0,0a) , en 0,0

0 si , 0,0

b) , 2 en 0,5

x

xyx y

x yf x y

x y

f x y x y e




17

2 2

2 2

3 3

2 2

; , 0,0c) , en 0,0

0 si , 0,0

; , 0,0d) , en 0,0

0 si , 0,0

x yx y

x yf x y

x y

x yx y

x yf x y

x y

Derivada direccional de una función diferenciable – Gradiente

19_ Halle por fórmula la derivada direccional de las siguientes funciones diferenciables,

halle el gradiente y verifique la propiedad que los relaciona.

a) 4 3, 3f x y x xy y ; en (x, y) = (1, 2), con 2 2

,2 2

v

b) ln xf x, y y x y ; en (x, y) = (1, 1) según la dirección y sentido del vector

3 4r i j .

20_ Calcule las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos

indicados.

a_ , ; en 3;3 ,x yf x y xe en la dirección de la normal a la curva 332 xxy , en

el sentido del eje y positivo.

b_ 2 2

, , ; en 1, 1, 3 ; z

f x y zx y

en la dirección y sentido del vector que dirige la

recta x = – 1 – 2t; y = 1 + t; z = 3 + 2t.

21_ Dada la función f(x, y) = yex; halle la dirección en la cual la derivada es máxima en el

punto (0, 3) y el valor de dicha derivada.

22_ Halle la derivada direccional de u(x, y, z) = 2xy – z según la dirección y sentido

del vector que une los puntos P1 (2, –1,1) y P2 (3,1, –1) Halle el gradiente en P1 y verifique

la propiedad que lo relaciona con la derivada direccional. Por último, en qué dirección es

máxima la derivada direccional en P1 y cuál es dicho valor.

18

Curva dada por sus ecuaciones paramétricas

23_ Halle la recta tangente y el plano normal a las siguientes curvas:

Superficie dada por sus ecuaciones paramétricas

24_ Halle el plano tangente y la recta normal a:

Superficie dada por su ecuación implícita

25_ Halle el plano tangente y la recta normal a las siguientes superficies, en los puntos

indicados:

a) 2 2 2 14 en 1, 2, 3x y z

b) 2 22 2 1 0 en 1, 2, 3x xy y z

2

3

2 en el punto

a) [ 1,1], en 0 b) 3 1 donde la curva

2 corta al plano

t

t

x t t e x t t

y t e t t y t t t

z t t z t t yz

2

0

,

a) , , ; en 1

,

,

b) , 2cos 0 ; 0 4; en , ,12

, 2

¿Qué superficie representa?

, cos

c) , 2 0 2 ; 0 3; en

,

x u v u v

y u v u v u v u v

z u v uv

x u v v

y u v u u v u v

z u v sen u

x u v v u

y u v v u v P

z u v v sen u

0, 4,2

¿Qué superficie representa?




19

Curva dada como intersección de dos superficies

26_ Halle la recta tangente y el plano normal a:

2 2 2 2 2 22 2 5 14

a) en 1,1,1 b) en 1, 2, 33 2 0 6

x y z x y z

x y z x y z

27_ Demuestre que las superficies dadas por 2 2 24 4 4x y z y 2 2 2 6 2 6 10x y z x z y , son tangentes en el punto (2, 1, 1)

28_ Verifique que el elipsoide 2 2 22 7x y z y el cilindro parabólico 2 4y x se

cortan ortogonalmente en el punto (1, 2, 1)

29_ ¿Es el vector (4, 6, 3) normal a la superficie del elipsoide 2 2 2

39 4 16

x y z en el

punto (3, 2, 4)?

30_ Encuentre el punto de la superficie z = xy donde la recta normal es paralela a

la recta x = 2 – 6t; y = 3 – 12t; z = 2 + 3t.

31_ Pruebe que las superficies x2 – 2y2 + z2 = 0 y xyz = 1 son ortogonales en

todo punto de intersección.

Ejercicios integradores

32_ La recta determinada por la intersección de las superficies de ecuación y2 = x2 – z2

y z = x, es normal a la superficie de ecuación z = f(x,y) en (1, 0, 1). Calcule,

aproximadamente, f(0,98; 0,01)

33_ Dada f(x, y) = 2yh(x), con h(x) derivable; determine el valor y la dirección de la

derivada direccional máxima de f(x, y) en (1,2) siendo h(x) solución de x h´ – (1 + 3x)h = 0,

con h(1) = e3.

20

34_ Sabiendo que la función f(x, y, z) es diferenciable y constante sobre cada recta

paralela a la recta que une el origen con el punto (1, 1, 1); ¿cuál de las siguientes

aseveraciones es correcta? Justifique

i. f/x = f/y = f/z = 1/

ii. f/x = f/y = f/z = 1

iii. f/x + f/y + f/z = 0

iv. f/x + f/y + f/z = 1

v. Ninguna de las anteriores es correcta.

35_ Sea f : R2R una función diferenciable, tal que f(1; 2) = 5. Sabiendo que su derivada

direccional en (1; 2) es máxima en la dirección del versor 2 2

,2 2

v

y que

1,2 3 2f

x

, se pide hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie gráfica

de f en el punto (1; 2; 5)

36_ Una curva C, ubicada sobre el paraboloide z = x2 + y2, se proyecta sobre el plano xy

como la recta de ecuación x + y = 0. Halle el punto de C en el que su recta tangente es

paralela al plano tangente a la superficie de nivel 3 de f(x, y, z) = 2x2 + 6y3 + z4 – xy, en el

punto (1, 0, 1)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3




21


Funciones compuestas

1_ Siendo z función de t, halle la derivada de z (respecto de t) para:

a) 2 2 ,z x y siendo tx e

y t

en t = 1.

b) z = e3x + 2y, siendo

2

cosx t

y t

en t = 0.

2_ Siendo z = 3x2 + xy – 2y2 + 3x – y, con 2 3x rt s

y r st

, resulta z = z (r, s, t). Halle z´r, z´s

y z´t en (r, s, t) = (1, –1, 0),

3_ Verifique que la función z = z(u,v) con u x at

v y bt

, satisface la ecuación

z´t = a z´x + b zý.

4_ Verifique que la función w = w(x/y, yz) satisface la ecuación x w´x + y wý = z w´z.

5_ Sea w = f(x + y; x – y), con derivadas parciales continuas respecto a u(x, y) = x + y y

v(x, y) = x – y. Pruebe que .

Funciones implícitas

6_ Dada la ecuación 2 3 2xyxy z ln y e x :

i. Determine todas las posibles funciones de dos variables que dicha ecuación

definiría implícitamente.

ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto

(x, y, z) = (0, 1, 1)

iii. Calcule las derivadas parciales de las funciones obtenidas en ii.

22

vuyx ffww

22

7_ Si las siguientes ecuaciones definen implícitamente z = z(x, y), calcule sus derivadas

parciales y evalúelas en el punto dado.

a) xy + yz + zx = 1 en (0, 1, 1)

b) 2 32sen 3 0

2

xye y xz z z x en (2, 0, –1)

c) 2 2 24 9 18 0x y z en (3, 0, 1)

8_ Calcule dz/dy, siendo z = x3 – 3x, una función de y, a través de la ecuación x3 + xy =1.

9_ Si u = ln(z)/z es una función de x e y a través de la ecuación 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c , calcule

u´x y uý en (x, y) = (a, b)

10_ Si z = sen(x y z) + 3x – 1, define implícitamente z = z(x, y),, calcule dz

Sistemas de funciones implícitas

11_ Dado el sistema

2 2

2 2

2 3 0

0

u v x y

uv x y

:

i. Compruebe que en un entorno del punto 0 0 0 0 5 5 5 0x ,y ,u ,v , , , , define

implícitamente al sistema

x x u,v

y y u,v

ii. Calcule en ese punto xú e y´v.

12_ Dado el sistema

2sen cos sen 2

2cos cos cos 1 2

x y z

x y z

:

i. Determine todas las posibles parejas de funciones de una variable que puede

definir implícitamente.

ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto

(/4, 0, 0)

iii. Calcule las derivadas de las funciones obtenidas en ii.




23

13_ Calcule z´x en (x,y) = (1, 1) siendo z = u – v2 + 2, una función de x e y, a través del

sistema 1 0

0

ue v x y

u cos v xy

, que define implícitamente a

u u x, y

v v x, y

.

14_ El sistema 3 2

2 3 5

xy uv

x y u v

, define implícitamente a

x x u,v

y y u,v

, en

(x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1); tal que 2 4

0

u vz t

uv zt

, define implícitamente a

u u z,t

v v z,t

en

(u, v, z, t) = (1, 1, 1, 1). Halle x´t e y´z.


15_ Sea f una función derivable tal que f(x, y, z) = 0. Sabiendo que f define implícitamente

y = y (x, z) y que las derivadas parciales de f son iguales y no nulas. Entonces puede decirse

que:

i. 2y/x2 = 0

ii. 2y/x2 = y/x

iii. 2y/x2 = – y/x

iv. 2y/x2 = cte (distinta de cero)

v. Ninguna de las anteriores es correcta

16_ Demuestre que el plano tangente a la superficie del elipsoide 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

puede escribirse de la forma 12

o

2

o

2

o c

zz

b

yy

a

xx; en el punto (xo; yo; zo)

17_ Sea u un vector tangente en (–2, 0, –2) a la curva 2

4

0

x z

y x z

. Indique si u es o

no una dirección de derivada nula de z = z(x, y) definida por 4x3 – 6xy2 + 1 + ez = 2xz2, en

Po (1, 1, 0)

24

18_ Sea g: R2R una función derivable; y f, otra función, definida por

= ;f x, y g g x, y g x, y Entonces, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es

correcta? Justifique.

i. f/x = f/y

ii. f/x + f/y > 0

iii. Si Grad g 0 entonces Grad f 0

iv. Si g/x + g/y 0 entonces f/x + f/y 0

v. f/x = g/x

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




25


Derivadas y diferenciales sucesivas

1_ Calcule las siguientes diferenciales sucesivas:

a) 2 3d y d si cos( )xz z z z x, y e y .

b)

2_ Si f(x, y) = y2 sen(x), tal que y = ex.; halle d2f.

3_ Calcule d2w, siendo w = et, una función de x e y, a través de t = x + y2.

Fórmula de Taylor

4_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor en el entorno del punto (/2, /2) hasta los

términos de tercer orden la función f(x, y) = sen(x + y)

5_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor el polinomio 3 2 1x x y , en potencias de

1 y 1x y

6_ Conociendo el valor de la función arctgx

f x, yy

, en el punto (1, 1), aproxime

mediante un polinomio de segundo grado el valor de la función en el punto (1, 05; 1,07)

7_ Acote el error que se comete al aproximar sen 31° + 2,2–2 con un polinomio de primer

grado.

8_ Desarrolle mediante la fórmula de Maclaurin la función f(x, y) = cos (x + y)

2

2 2 2

Calcule d , siendo , una función definida implícitamente por

1

z z z x, y

x y z

26

Extremos libres

9_ Halle los extremos libres de las siguientes funciones:

a) 3 3 3 12 20f x, y x y x y

b) 4 4 2 22 4 2 f x, y x y x xy y

c) 2 4 3 23 4 12f x, y x y y y

d) z = f(x, y), definida implícitamente por 2 2 2 4x y z

10_ Para hallar los extremos relativos de la función U = F(x, y, z), sujeta a la

condición z = f(x), ¿cuál de las siguientes condiciones es necesaria? Justifique

i. F/x = F/y = F/z = 0

ii. F/x = F/y = F/z df/dx = 0

iii. F/x = F/y = F/z = df/dx = 0

iv. F/x + F/z df/dx = 0

v. F/x + F/z df/dx = F/y = 0

Extremos ligados

En los siguientes ejercicios halle los extremos ligados utilizando el método de los

multiplicadores de Lagrange y verifique con la diferencial segunda.

11_ a) 2 2 sujeta a 8f x, y x y, x y .

b) 1 4 9

, sujeta a 12; 0 0 y z 0.u x, y,z x y z x , yx y z

12_ Divida 1200 en 3 sumandos positivos tales que su producto sea máximo.

13_ Halle los extremos de 2 3 , sujeta a 6;u x, y,z xy z x y z 0 0x , y

0y z .

14_Calcule las dimensiones de una caja rectangular (con tapa) de capacidad máxima y

superficie igual a 216 cm2.




27

15_ Halle la distancia (mínima) de a) origen a la hipérbola x2 + 8xy + 7y2 = 225

b) del punto (0, 0, 1) a la recta x = y = z

16_ Dada la familia de conos de base circular, cuyo radio de base más altura es igual a seis,

halle las dimensiones de aquél cuyo volumen sea máximo.

17_ Demuestre mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, que

un triángulo es equilátero si el producto de los senos de sus ángulos es máximo.


18_ Analice los puntos críticos de f(x, y), si f x, y = (h(x) + 6xy – 2y – 3; 3x2 – 2x – 1),

donde h = h(t), es la solución particular de 13

2

hx h

x

, que pasa por el punto (1, 15)

19_ Sea n la recta normal a la superficie dada por z = xy – y, en P (1, –1, z(1, –1)).

Halle el punto de n más cercano a la curva g(t) = (–2; 3t – h(t); t); siendo h = h(t), la

solución particular de tdh + (3t – 2h)dt = 0, con h(1) = 0.

20_ Probar que la función , xf x y e sen y , es armónica. Es decir, pertenece a la clase de

funciones 2C y satisface la ecuación de Laplace (

2 2

2 20

f f

x y

).

21_ Sea ,z f x y definida implícitamente en un entorno del punto (0, 0) por la ecuación

1.zxy z e Demostrar que (0, 0) es un punto de ensilladura.

22_ Hallar todos los valores de a , para los cuales la función 22a

f x, y x xy ,x

tiene un extremo local de valor – 4. Para el o los valores hallados, clasificarlos.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

28




29


Integrales dobles

1_ Dibuje el dominio, invierta el orden de integración y resuelva (cuando sea posible) las

siguientes integrales:

a) 0 0

Pi x

f x, y dydx

b) 4 2

2

1 xx y dydx

c) 32

12

y

yxy dxdy

d) ln8 ln

1 0

yx ye dxdy

e) sen

0 0

x

y dydx

Área por integrales dobles

2_ Calcule el área (plana) de los recintos delimitados por:

a) 4

0; 0 y 43

x y y x

b) sen ; cos y 0 (1 cuadrante)y x y x x

Volumen por integrales dobles

3_ Determine el volumen delimitado por:

a) x = 2; y = 3; z = x + y (1º octante)

b) x + 2y + z = 2; x = 2y; x = 0, z = 0

c) 2 8 ; 2; 0y x x z z

d) 2 2 4; 0; 4x y z z x

e) 2 2 9; (1 octante)x z z y

30

4) Área de superficie alabeada

a_ Calcule el área del plano z + x = 1, limitado por x + y = 1, en el primer octante.

b_ Calcule el área de la superficie dada por z = x + y, delimitada lateralmente por 2

2 14

yx , en el primer octante.

c_ Calcule el área de la superficie cilíndrica 2 21 9x y , comprendida entre los planos

z = 0 y z = 4, en el primer octante.

d_ Calcule el área de la zona esférica perteneciente a 2 2 2 25x y z , comprendida entre

los planos z = 2 y z = 4.

Integrales triples – Cambio de Coordenadas

5_ Calcular el volumen de los siguientes cuerpos, empleando las coordenadas indicadas:

Coordenadas cartesianas:

a) Cuerpo delimitado por z = 2; z = 2 + x + y; x + y = 2; x = 0 e y = 0.

b) Cuerpo delimitado por 1 2; 0; y 2.x y z y z y

Coordenadas cilíndricas:

c) Cuerpo delimitado por x2 + y2 = 9; z = 0 y x + y + z = 5.

d) Cuerpo delimitado por el paraboloide dado por z = 2x2 + y2 y el cilindro parabólico

dado por z = 4 – y2.

e) Cono circular de altura igual a 2 y radio de base igual a 4.

Coordenadas esféricas:

f) Esfera de radio igual a 1.

g) Cuerpo común al hemisferio dado por 2 2 2 4

0

x y z

z

y al cono circular con eje

coincidente con el eje z, vértice en el origen y ángulo entre el eje z y la generatriz igual a

6/ , que contiene al punto (0, 0, 2)




31

6_ Calcule lo que se indique empleando las coordenadas más convenientes:

a) momento de inercia respecto del eje z del anillo homogéneo dado por 2 24 9 0 1x y , z .

b) momento estático respecto del plano yz, del cuerpo homogéneo delimitado por z = 2;

y = 0; z = 2 + x, y x + y = 2.

c) masa del cono circular recto dado por 2 22 4z x y ,con densidad proporcional

a la distancia al eje z.

d) coordenadas del centro de masa del cuerpo delimitado por z = 4 – x2; z = 0; y = 0 e

y = 6; siendo la densidad proporcional a la distancia al plano y = 0.

e) Área de la porción de superficie cilíndrica x2 + y2 = 3x; interior a la esfera 2 2 2 9x y z .

f) Área sobres el plano x + z = 2; delimitado por (y – 2)2 + (x + 1)2 = 4; en el primer

octante.

g) Volumen delimitado por x2 + y2 + (z – 1)2 4; 2 21z x y .

h) Calcular el volumen de la porción de cilindro 2 2 4x y x , situada en el primer octante

y exterior al paraboloide z = x2 + y2

i) Calcular el volumen del cuerpo común a x2 + y2 + (z – 3)2 = 9, e y2 + x2 = z2.


7_ Determine los momentos de inercia, respecto de los 3 ejes cartesianos, de la

pirámide homogénea que se muestra en la siguiente figura:

8_ Demostrar que el volumen del tetraedro formado por el plano tangente a la superficie de

ecuación xyz = 1, en el punto 0 0 0x , y ,z de ésta, en el primer octante, limitado por los

planos cartesianos, 9

2.

z

x

y

a

b

h

32




33


Integrales curvilíneas

1_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas:

Cálculo de áreas mediante integrales curvilíneas

2_ Calcule el área delimitada por:

2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

a) los lados del trapecio de vértices 1, 0 ; 3, 0 ; 0, 3 y 0,1

93

b) ; siendo 0 1 y 0 1

0

2 3 6c) ; siendo y

0 2 0 2

y xy x

C c c c x cx

y

y x x y x xC c c c c

x x

2

2 2

a) 1 2 ; siendo :

i. el segmento que va del punto 0, 0 al 1,1

ii. el arco de curva dado por ; desde el punto 0, 0 al 1, 1

b) ;

c

y dx x y dy C

y x

xdx ydy

x y

1 2 3

2 2

2

1 2 3

siendo una circunferencia de radio unitario y centro en el origen,

en sentido antihorario.

c) ; siendo ; donde:

0 1; ; 1 2

0

c

c

C

xdy ydx C c c c

y x yy x

c x c cx

y

2

1 2 1 22

8

0 2

0

en sentido positivo.

0 1 1d) ; siendo ; donde ;

0 1

desde el punto 1, 0 al 1, 1

c

x

x

y

x xx ydx ydy C c c c c

yy x

34

Teorema de Green en el plano

3_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas aplicando el teorema de Green.

a) C

dx dy

y x ; siendo 321 cccC :

1 2 3

1 1 2; ;

1 4 4 1 4

y y y xc c c

x x x

4_ Compruebe el teorema de Green en el plano para:

Función potencial – Ecuaciones diferenciales exactas

5_ Determine si las siguientes expresiones diferenciales son exactas, en caso afirmativo,

halle la función potencial correspondiente.

2 3

1 2 1 2

1 2 3

1 2 3

b) ; siendo ; ; 0 1 0 1

c) ; siendo ;

2 4 2 0 ; ;

0 1 1 2 0 2

c

c

y x y xydx x y dy C c c c c

x x

y x dx ydy C c c c

y x y x yc c c

x x x

1 2 3

2

1 2 3

2 3 2

a) ; siendo

0 4 4 ; ;

0 4 0 4 0 4

b) 2 ; siendo el contorno del cuadrado de vértices 0, 0 ;

2, 0 ; 2, 2 y

c

c

x y dx y dy C c c c

y x y xc c c

x y x

x xy dx y xy dy C

2 2

0, 2

c) ; siendo una circunferencia de radio 2, centrada en el origen.c

x y dx x dy C

2 2

2

2 2

a) 2 2

b) 3 2 4

c)

d) z

e)

y xy dx xy x dy

xy dx x xy dy

y cos x dx sen x dy

cos x yz y cos x dx zx sen x dy sen x yx dz

x yz dx y xz dy xy dz




35

6_ Determine si los siguientes campos son conservativos. En caso afirmativo, halle el

potencial del campo.

7_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

Ecuaciones reducibles a exactas – Factor integrante

8_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

c)

2

2

2

costg cos sen cos 0

cos

xy y x dx x x x dy

y

2 2 2 2d) 2 2 0, con el factor integrante .x xy y dx x xy y dy μ x y

9_ Halle el factor integrante de la ecuación 2 23 y 2 3 0; x dx y y x dy el cual

es de la forma 2yxμμ

2 2 2 2

c) 1 0

d) 1 0

y ye cos x dx e sen x dy

dx x dy

yx y x y

2 2

2 2

a) = 2

b) =

c) =

ˆ ˆV x y i xyj

ˆ ˆyi xjV

x y

ˆˆ ˆV yzi xzj xyk

a) 0

3b) ; 0 0

1

y cos x sen y dx x cos y sen x dy

x yy y

x y

2

2 2

a) 1 0

b) 1 0

y dx xy dy

x y dx x y x dy

36

10_ Para la ecuación sen 2 cos 2 cos 0xy x y x dx x x dy :

a) pruebe que no es exacta

b) halle un factor integrante y obtenga la solución que pasa por el punto (1, 1)

c) pruebe que (x, y) = xy, es también un factor integrante de la ecuación dada

d) resuelva la ecuación con este último factor y halle la solución particular que

pasa por el punto (1, 1)

e) ¿qué puede decir acerca de las soluciones obtenidas en b) y d)?

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




37


Gradiente, divergencia y rotor – Operador Nabla

1_ Calcule el gradiente de los siguientes campos escalares:

2_ Calcule la divergencia de los siguientes campos vectoriales:

3_ Halle el rotor de los siguientes campos vectoriales:

4_ Si 3 2 2, , , 2 , 1V x y z axy z a x a xz ; para que valor de a, V es irrotacional

(es decir, el rotor del campo es nulo)

5_ Determine la constante a de manera que el campo

, , 3 , 2 , ,V x y z x y y z x az sea solenoidal (es decir, la divergencia del campo es

nula)

6_Siendo BA

y dos funciones vectoriales y y dos funciones escalares pruebe que:

2 3 2

2

a) 3 , en el punto 1, 2, 1

b) 2 4 en el punto 2, 2, 3

u x, y,z x y y z

u x, y,z x y xz ,

2

3 2 4

a) , 2 , 2 , en 7, 0, 7

b) , 2 , 2 , en 0, 0, 1

V x, y,z x y xz yz

V x, y,z xz x yz yz

2

a)

b)

c) 0

d)

e) 0

f)

A B A B

A B B A A B

A

2 2 2

2 3 2

a) 2 3 , en 1, 2, 1

b) 3 ,2 , , en 1, 2, 3

V x, y,z x z, xy z, yz

V x, y,z xyz xy x yz

38

7_ Siendo F un campo vectorial y f y g dos funciones escalares, pruebe que:

a) 2 2 rotF F F F F F

b) 2 ( f g ) = f 2 g + g 2 f + 2 ( f g )

Circulación

8_ Siendo 2 2, , (3 6 , 14 , 20 )V x y z x y yz xz , calcule la circulación a lo largo de la

curva C dada por:

a) 2

3

; 0 1

x t

C y t t

z t

; en el sentido que va del punto (0, 0, 0) al (1, 1, 1)

b) C: intersección de los planos z = x + y; y z + y = 4, en el primer octante, en el sentido

positivo del eje x.

9_ Halle el trabajo necesario para desplazar una partícula en un campo de fuerzas dado por

, , (3 , 5 , 10 )F x y z xy z z , a lo largo de la curva intersección entre z = x2 + y2 y

z + x = 1; en el primer octante, desde el punto intersección de la curva con el plano y = 0 al

punto (0, 1, 1)

10_ Un ciclista sube una montaña (modelizada por la ecuación 2π (x2 + y2) + z =2π )

a lo largo de una curva; intersección de esa superficie con una superficie helicoidal, dada

por x = r cos(t), y = r sen(t), z = t/2 (0 r 1; 0 t 4π), tal como se ve en la figura.

¿Qué trabajo realiza el ciclista al ir desde la base A hasta la cima B, si la fuerza

responde a F(x, y, z) = (kz, 3y2, 2x)?

¿Para qué valor de la constante k el campo es conservativo? Es decir, la integral sólo

depende de los límites de integración y no del camino.

¿Si el campo fuese conservativo, cómo calcularía el trabajo?

A (1; 0; 0)

B (0; 0; 2 Pi)

xy

z




39

Integrales de superficie

12_ La superficie de una montaña responde a la ecuación 222 4Rzyx .

Sobre una de sus laderas se construye un restaurante cilíndrico, de radio R, según se

muestra en la figura de la siguiente página. La temperatura que irradia la superficie del

terreno viene dada por:

2 2 2( ; ; ) 3 ( ) 16T x y z x y R z

Se define , la función densidad de flujo de calor, como: TkV

, donde k es una

constante.

Calcule el flujo de a través de la superficie de contacto entre el restaurante y la

montaña, con la orientación del versor normal hacia el exterior de la montaña.

11 Calcule el flujo del campo a través de la superficie dada. Indique la orientación

elegida para el vector normal unitario.

a) , 2 , ; : 2 6; delimitada por 4, e

_ V S

V x, y,z y x z S x y z

2 2

2 2 2 2

2 2

n el 1 octante.

b) 6 , 2 , ; : 9; delimitada por 8, en el 1 octante.

c) , , ; : = 0 = .

d) 1, , ; : super

V x, y,z z x y x S x z y

V x, y,z x xy xz S x y a z z b

V x, y,z y z x z S

2

ficie del cubo de lado 2 , centrado en el

origen.

e) 0, 0, ; : superficie de la esfera centrada en el origen de radio

unitario.

a

V x, y,z xy y S

V

V

z

y

x

40

Teorema de Gauss – Ostrogradski (o de la divergencia)

Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Gauss-Ostrogradski.

13_ Flujo de 2, , 2 , , 3V x y z xy z y x y a través de la superficie (cerrada) formada

por 2x + 2y + z = 6, y los planos cartesianos; con orientación del normal hacia afuera.

14_ Flujo de 4

, , ( , , 0)V x y z z x y

, a través de la superficie (cerrada) formada por

x2 + y2 = 1; z = 10 y los planos cartesianos, en el 1° octante; con orientación del normal

hacia afuera.

15_ Verificar el resultado del ejercicio 11 e.

3 2 2

16_ Verificar el teorema de la Gauss-Ostrogradski para:

a) ( ) a través de la superficie (cerrada) delimitada por 4,

V x, y,z x, y,z x x y z

b)

c)

Teorema de Stokes (o del rotor)

Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Stokes. En cada caso, indicar la

orientación elegida.

17_ Calcular la circulación de 2 1 , a lo largo del cuadrado de

vértices (0, 0, 3), (0,1, 3), (1, 0, 3) y (1,1, 3)

18_ Calcular la circulación de , alrededor de la

V x, y,z y, x,

V x, y,z z x, xy, z

2 2

2 2

curva borde

de la superficie 4 , limitada por el plano 2.

19_ Calcular la circulación de 2 1 , alrededor de la curva =3,

20_ Calcular el flujo del campo

z x y z

V x, y,z y, x , x y

z y

2

2 2

rotor de 2 , a través de la superficie

4, (en el 1 octante) l imitada por los planos cartesianos y el plano

V x, y,z xyz, x , z

x y z x

2 2

( 0) a través de la superficie (cerrada) delimitada por

0; = 1; = 1

V x, y,z x y, x z y,

y x z y .

2 2

, a través de la superficie (cerrada) formada por

9; 2; ; 0 y 0 (4 octante)

V x, y,z ax, by, cz

y z x z y x y




41

21_ En los siguientes ejercicios, verificar el teorema de Stokes. Indicar en cada caso la

orientación elegida.

b)

c)


22_ Determinar los valores de a y b, para los cuales el flujo de ( ),y z

V x, y,z abx, ,a b

a

través z = xy, definida sobre el cuadrado 1 2; x 1 2;y orientada de manera tal que

el normal tiene componente en z negativa, es mínimo.

23_ Determinar a, de manera que sea máximo el flujo de ( );V x, y,z x, y,z a través del

cilindro (con tapas) dado por 2 2 21 4 1; 0 1a x y z .

3 3

3 2 2 2 2a) ( ), a través de 1; 0.3 3

y xV x, y,z z , xz , y x y z z

2 , a través de la superficie helicoidal dada por

cos

sen ; 0 Pi; 0 1;

V x, y,z x, x y, z

x t u t

y t u t t u

z t t

2 2

( 2 ), a través de = 1,

= 0;

delimitada por = 0;

( 1) ( 1) 1

V x, y,z xy, , z x z

x

y

x y

42




43

Respuestas a los ejercicios

Unidad 1

Ej 1 a) 2y y x y y y ; b) 0y y ; c) 6 0y y y ;

d) 22 22 4y yy x y y ; e)

2

2

2 2 1

yx y x y y x y y x y

x x x

Ej 2: a) ay x c , c > 0; b) 2 arctany x c ; c) 2ln 1 xy x e x c ;

d)

1xcey

x

; Ej 3: b) 2 xy e

Ej 4: a) 2y x c ; b) 2

2

2

xy c ; c) 2 2y x c ; d)

22

2

xy c

Ej 6: a) lnx

ycy

; b) 2 2xc x y ; c) sin lny

x cx

;

d) arcsin lny

x cx

; e) 1 2

y

xe x

Ej 7: a) 2x xy e e c ; b) 3

4

x cy

x ; c)

33

xx e c

y ex

;

d) 2

3 2ln2

xy xc x x x

; e) 22y x x ;

f) 2

1xy e erf x ; Ej 8: a)

1

lny

x c x

; b)

2/3 1/3

1/32 2

2

3 4 6 ln

xy

x c x x

;

c)

1/3

2

1 axa axy e c

a

; d) 2 22 cos cosy x x c x

Ej 10: a) ln lny y

x cx x

; b) 2

2 xy e c ; c)

3

2xetg y

c

;

d) 2 3y x x c ; e) ln 1 x cy e ; f) 2 3x xy e e ; g)

3

33

32

x cy x

x

Ej 11: a) 2

1 2

x xy e c e c ; b) 25

1 2

xy e c c ; c) 3 3

1 2

x xy e c xe c ;

d) 314cos 4 5sin 4

4

xy e x x ; e) cos 5y x ;

f) 2 2

1 2

13 2 2

2

x xy x x e c e c ; g) 2

1 22

xxy x e c c ;

h) 3

1 2

11 4

16

x x xy e x e c e c ; i) 1 2

14 2 cos 2 1 8 sin 2

8y x c x c x ;

j) 3

2

1 26 2

x xx xe e

y e c e c

; k) 2 213 5 10 10 8cos 16sin

40

xy e x x x x ;

44

l) 2 2

1 2

12 2

2

x x xy e x x e c e c ;

m) 2 215cos 5 cos 2 4sin 7 2 sin 2

41

x x xy e x e x x e x ;

n)

1 22 3

2

1

xkxe kx

y e c c xkk

Ej 12: a) cuando t= 50, T=22.05;

b) 16.4;

c) 760 personas

d) 38069 años

e) 15.3 días;

g) 1: 77.6 m; 2: 72.5 m; 3: –39 m/s (eje positivo hacia arriba)

h) 320; 1/ ; 16 0k f x x ;

i); 5sin 2x t t ,

x es positivo cuando se estira el resorte

j) 60 202 6t tq t e e ; no analíticamente, pero en la práctica sí, para t = –ln(3)/40

k) 100 150 100 150

sin cos ; cos sin3 3 3 3

q t t t i t t t

Unidad 2

Ej 1 (se da sólo la respuesta analítica): a) D = {(x, y) R2 / 2 2

14 9

x y };

b) D = {(x, y) R2 / 2 2 2 20 1 0 0 1 0xy x y xy x y };

c) D = {(x, y) R2 / 22 1 1 1/ 2x y y k };

d) D = {(x, y) R2 / 02

xxy k

y

};

e) D = {(x, y) R2 / 2 23 4 4 2y x x y x y }

Ej 2: D = {(x, y, z) R3 / ; ; 0; 0; 0x y z }

0 1 2 3 4 5 66

4

2

0

2

4

6

tiempo seg

desp

laza

mie

nto

m




45

Ej 3: a) b) c)

d) e)

Ej 4: a) 1 21, 3 no existe L L L ; b) 1 2 20, 0, no existe

1R

mL L L L

m

;

c) 1 20, no existe, 0, 0RL L L L ; d) 1 20, 0, 0, existe , 0RL L L L L

e) 1 20, 0, 0, 0RL L L L ; f) 1 20, 0, 0, no existe RL L L L

Ej 5: a) L = 0; b) L = 0; c) no existe

Ej 6: a) Discontinua; b) Continua; c) Discontinua

Ej 7: a) Discontinuidad en todos los puntos de las rectas y = x;

b) Discontinuidad en todos los puntos de y = –x2, salvo en (0, 0), en que es continua.

Ej 8: a) 1, 1x yf f ; b) 0, 2 / 5x yf f

Ej 9: a) 8 12 , 12 18x yz x y z x y ;

b) 2 3 22 1 3 cos 1 2 , 2 cos 1 2x yz x xy x xy z x x xy ;

c) 2

4 44 4,x y

y yz z

x yx x y

; d) 1 , lny y

x yz x y z x x

Ej 10: a) 1 1 1

, ,x y zu u z u yx y z

; b) / / / /

2, ,

x y x y z y z y

x y z

e e x e z eu u u

y y y

Ej 12: k = –3/2; Ej 13: a) 2 ; b) –6; c) 4 / 17

Ej 14: 0 01.21, 1.2, 2.5, 2.7 12.6 con 0 e 3, 2.5, 2.7 12.46z dz z x y z

Ej 15: 1.9, 3.1 17.6, 1.9, 3.1 17.55z z

Ej 16: a) 23 2 2dz xy x y dx x x y dy ; b) 22 sin cosdz x y dx x y dy ;

c) 2dx dy dz

dux y z

; Ej 17: (x, y, z) = (1/2, –1, –31/4);

Ej 18: a) no diferenciable; b) diferenciable; c) diferenciable; d) no diferenciable

Ej 19: a) 21

22

, (1,2)

10,11Grad z ; b) –1/5, (1,1)

1,1Grad z ;

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

46

Ej 20: a) 9

10 ; b) –7/6; Ej 21: La dirección está dada por la del vector (3, 1), su valor

es 10 ; Ej 22: 1

8, 2, 4, 1

3r P

D u Grad u , derivada direccional máxima en la

dirección del gradiente.

Ej 23: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 1, 0) + (1, 1, 1); Ecuación del

plano normal: x + y + z = 1,

b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 11, 16) + (1, 12, 24);

Ecuación del plano normal: x + 12y + 24z = 516

Ej 24: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (2, 0, 1) + (1, 1, 1) + (1, –1, 1);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (2, 0, 1) + (2, 0, –2);

b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (0, 1, 1) + (0, 1, –1) + (–1, 1, 0);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 1, 1);

Ej 25: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (1, 0, –1/3) + (0, 1, –2/3);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (–1/3, 0, 0);

b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, –2, –3) + (1, 0, 0) + (0, 1, 2);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, –2, –3) + (0, –2, 1);

Ej 26: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (1, –31/22, 64/11);

Ecuación del plano normal: 22x – 31y + 128z = 119;

b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (–2, 4, –2);

Ecuación del plano normal: x – 2y + z = 0;

Ej 29: Sí; Ej 30: (x, y, z) = (4, 2, 8); Ej 32: 1,02; Ej 33: 32 65e , la dirección está dada

por la del vector8i j ; Ej 34: La iii; Ej 36: (x, y, z) = (–5/16, 5/16, 25/128)

Unidad 3

Ej 1: a) 2 1e ; b) 0; Ej 2: 2, 66, 46r s tz z z ;

Ej 6: i. , o , o ,x x y z y y x z z z x y ;

ii. Define ,y y x z ; iii. 0x zy y ;

Ej 7: a) 2, 1x yz z ; b) 1/ 6, 0x yz z ; c) 1/3, 0x yz z ;

Ej 8: 2

2

3 1=

3y

x xz

x y

; Ej 9:

2 2

3 3

1 ln 1 ln= ; =x y

c z c cu u

a z b z

;

Ej 10:

3 cos cos

1 cos

yz xyz dx xz xyz dydz

xy xyz

; Ej 11: 2, 1/ 5u vx y ;

Ej 12: i.

o o

x x z x x y y y x

y y z z z y z z x

; ii.

x x y

z z y

; iii. 0, 0y yx z ;

Ej 13: 1xz ; Ej 14: 4tx ; 1zy ; Ej 15: La i; Ej 17: No. Ej 18: La iv.




47

Unidad 4

Ej 1: a) 2 2 2cos 2sin cosxd z e y dx y dxdy y dy ;

3 3 2 2 3cos 3sin 3cos sinxd z e y dx y dx dy y dxdy y dy ;

b) 2 2 2 2 2 2 2

3

12d z z x dx xydxdy z y dy

z .

Ej 2: 2 2 2 2 2sin 4 cos 2sin 2 sin xd f y x dx y x dxdy x dy y x e dx

Ej 3: 22 2 2 24 4 2x yd w e dx ydxdy y dy

Ej 4:

Ej 5: 2 3 2

1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1f x y x x y x x y

Ej 6: 0.7766 a 4 c.s.; Ej 7: Error < 0.0075 con = 0; Ej 8:

2

0

, 1!

n

n

n

x yf x y

n

;

Ej 9: a) Máximo en (–1, –2); Ensilladura en (–1, 2); Ensilladura en (1, –2); Mínimo en

(1, 2); b) Casi-máximo en (0, 0); Mínimo en 2; 2 y 2; 2 ; c) Mínimo en

(0, –1); Ensilladura en (0, 0); Mínimo en (0, 2);

d) Máximo en (0, 0, 2) y mínimo (0, 0, –2);

Ej 10: La v. Ej 11: a) Máximo en (2, 2) y Mínimo en (–2, –2); b) Mínimo en (2, 4, 6);

Ej 12: Los sumandos son iguales a 400 cada uno; Ej 13: Máximo en (1, 2, 3);

Ej 14: cubo de lado 6; Ej 15: a) distancia = 5; b) distancia =2

3; Ej 16: r = 4, h = 2;

Ej 18: Ensilladura en (1, –3) y (–1/3, 39); Ej 19: (–2, 1/4, –3/4)

Unidad 5

Ej 1: a) 0 y

f x, y dxdy

; b) 22

2

1 1

81

8

y

x y dxdy ;

c) 3 3

2 8 2

1 2

2252 2

8

x

x xxy dydx xy dydx ; d)

ln ln 8 ln 8

13.354

x

x y

ee dydx ;

e)

1 / 2 1 arcsin

0 arcsin 0 4

y

yy dxdy y dxdy

; Ej 2: a) 6; b) 0.41; Ej 3: a) 15; b) 1/3;

3 2 2 3

1cos 3 3

2 2 6 2 2 2 2 2 2z x y x y x x y x y y

48

c) 128/15; d) 16; e) 9; Ej 4: a) 2

2; b)

3

2 ; c) 22.93; d) 20; Ej 5: a) 8/3; b) 1; c)

45; d) 4; e) 32/3; f) 4/3; g) 2.245; h) 12; i) 27; Ej 6: a) 65k/2; b) 4k/3; c) 8k/3;

d) xg = 0; yg = 4; zg = 8/5; e) 36; g) 3.474; f) 4.907; h) 12; i) 27

Ej 7: 2 21

60xI abh a b k ; 2 21

1260

x zI I abh b h k

Unidad 6

Ej 1: a) i_ 3; ii_ 17/6; b) 0; c) 14/3; d) –1/14; Ej 2: a) 4; b) ½; c) 16/3; Ej 3: a) ¾; b) 0;

c) –2; Ej 5: a) 2 2U x y xy c ; b) Expresión no exacta; c) sinU y x c ;

d) sin sinU y x z xy x c ; e) Expresión no exacta;

Ej 6: a) 3

2

3

xU xy c ; b)

1tany

U cx

; c) U xyz c ;

Ej 7: a) sin siny x x y c ; b) 2 2

3 02 2

x yx y xy ; c) 1 sinye x c ;

d) 2 2ln x x y c ; Ej 8: a) lnxy y c ; b) 1 1

1 22

y x y cx

;

c) tan tany x x y c ; d) 2 2 21

2x y x y c ; Ej 9:

3

2

1

x y

;

Ej 10: b)

1

cos x ; d) 2 2 cos cos 1x y x ; e) la solución de b) es un subconjunto

de d)

Unidad 7

Ej 1: a) 12, 9, 16Grad u ; b) 2, 4, 4Grad u ; Ej 2: a) 4divV ;

b) 80divV ; Ej 3: a) 0, 0, 35rot V ; b) 2, 0, 0rot V ; Ej 4: a = 4;

Ej 5: a = –2; Ej 8: a) 5, b) 1069.5; Ej 9: 1.143; Ej 10: Trabajo = 0.06858 (k – 2);

para k = 2; como diferencia de valores en B y A; Ej 11: a) 108; b) 180; c) 0; d) –8a3;

e) 0; Ej 12: –84kR4; Ej 13: 27; Ej 14: 100; Ej 15: 0; Ej 17: 1; Ej 18: 0; Ej 19: 3 ;

Ej 20: .

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Facultad Regional Haedo Universidad Tecnológica Nacional