FALE

•Równanie falowe w jednym wymiarze

•Fale harmoniczne proste

•Zasada superpozycji

•Równanie falowe w trzech wymiarach

• Interferencja

RÓWNANIE FALOWE W JEDNYM WYMIARZE

Przykład: drgania poprzeczne struny

(z,t) - wychylenie pionowe z położenia

równowagi elementu struny z w punkcie

z w chwili t

0 - gęstość liniowa masy struny

m= 0 z - masa elementu struny

T(z) - naprężenie struny w punkcie z przy

wychyleniu z położenia równowagi

T0 - naprężenie struny w położeniu

równowagi

Zakładamy, że ruch elementu struny

odbywa się tylko wzdłuż osi pionowej Ox.

T(z+z)

T(z)

(z)

(z+z)x

z

(z,t)

T0T0

xx

z

mazzTzzzzTzT

TzzTzzzzT

zzTzzzzTzT

sinsin

coscos

0coscos

0

0

02

2

22

2

2

2

0

02

2

2

2

2

2

00

000

,1

tgtg

tg

tgtgtgtg

tgcostgcos

sinsin

Tv

tvz

tTz

zdz

d

z

tdzmadz

dz

dT

zz

zzzTzTzzT

zzzTzzzzzzT

zzTzzzzTzT

x

x

Ogólna postać równania falowego w jednym wymiarzev - prędkość fali (prędkość fazowa)

FALE HARMONICZNE PROSTE

(z,0)

(0,t)

T

Szczególne rozwiązanie równania falowego w postaci fali biegnącej.A - amplituda- długość fali - najmniejsza odległość przestrzenna miedzy dwoma punktami, w których w tej samej chwili faza drgań jest jednakowa z dokładnością do 2.k - liczba falowa (wektor falowy)T- okres fali - czas, po którym faza drgań dowolnego elementu ośrodka wzrośnie o 2.- częstość

2

,2

,sin, kT

kztAtz

Aby (z,t) było rozwiązaniem równania falowego, musi być spełniona relacja dyspersji

vk

vkt

zkztconst

kzt

00

Faza

Prędkość fazowa -

prędkość przemieszczania się stałej fazy

ZASADA SUPERPOZYCJI

Zaburzenie falowe osrodka, pochodzące od układu źródeł, równe jest sumie (wypadkowej) zaburzeń, pochodzących od poszczególnych źródeł.Równanie falowe jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym, więc kombinacja liniowa niezależnych rozwiązań jest również jego rozwiązaniem.

Przykład: fale stojace w jednym wymiarze

2k=

kztAtztztz

kztAtzkztAtz

cossin2),(),(,

sin),(,sin),(

21

21

t=T/4

t=3T/4

t=0.1T

t=0.05T

t=0

węzeł

strzałka

(z,t)

A(z,t) obwiednia

Prędkość grupowa -

prędkość przemieszczania

się obwiedni = predkości

przepływu informacji

dk

dvgr

2dk

Przykład: prędkość grupowa

zdk

ktd

zdk

td

Atztztz

zdkktdAtzkztAtz

tzA

22sin

22cos2),(),(),(

sin),(,sin),(

),(

21

21

RÓWNANIE FALOWE W TRZECH WYMIARACH

Zaburzenie, rozchodzące się w przestrzeni trójwymiarowej, opisywane jest wektorem o trzech składowych.Każda ze składowych wektora jest funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z i spełnia równanie falowe.

01

,,,,,

,,,

,,

2

2

22

2

2

2

2

2

tvzyx

zyxizyxr

zyxr

iiii

iii

zyx

Operator Laplace’a (laplasjan) 2

2

2

2

2

22

zyx

zyxitvi

i ,,,01

2

2

22

Równanie falowe w trzech

wymiarach

Przykład: fale płaskie

z

x

k

r

constrk

Płaszczyzny stałej fazysą prostopadłe do kierunku propagacji danego wektorem falowym k i odległe od siebie o

x(z,0)

tkzAkkkk

zyxitrkA

iizyx

ii

cos2

,0,0,,

,,,cos

Przykład: polaryzacja fal płaskich

z

x

y

x(z,0)

Fala płaska spolaryzowana liniowo - drgania zachodzą wzdłuż jednej osi.

0,0,cos0,0, tkzAx

x

y

tSuperpozycja dwóch fal płaskich spolaryzowanych liniowo jest w ogólności falą płaską spolaryzowaną eliptycznie - przy ustalonym z=const koniec wektora zaburzenia zakreśla w czasie elipsę.

0,cos,cos0

0,cos,00,,0

0,0,cos0,0,

21

21

22

11

tAtAz

tkzA

tkzA

y

x

t

A

2

,21

AAA

A

t

0

,21

AAA

Przykład: Fale kuliste

krtr

Ar

zyxirr

i

ii

cos

,,, Zasada Huyghensa: każdy punkt, do którego dociera zaburzenie, staje się źródłem nowej fali kulistej. Zaburzenie wypadkowe jest superpozycją fal kulistych, pochodzących od wszystkich punktów ośrodka.

Natężenie fali kulistej: energia, przepływająca przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu

22 rAI

Całkowita energia, przepływająca przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą źródło fali kulistej, nie zależy od odległości constA

IrE

2

2

4

4

a) b)

INTERFERENCJA

Przykład: Interferencja fal kulistych

tPtPtP

krtr

AtP

kdkrtr

Akrt

r

AtP

,,,

cos,

sincoscos,

21

22

2

22

11

1

21,

2

rrdk

d

d

1

2

P

r2

r1

dsin

1,max

,max

2,max

0,min

1,min

Maksimum interferencyjne

Minimum interferencyjne

2

sincos

4)(

2

sincos

2

sincos

2,

22

2

2

22

kd

r

API

kdtkr

kd

r

AtP

Maksima interferencyjne

,...2,1,0,sin

,...2,1,0,2

sin1

2

sincos

max,

nnd

nnkdkd

n

,...2,1,0,2

1sin

,...2,1,0,22

sin0

2

sincos

min,

nnd

nnkdkd

n

Minima interferencyjne

Efektywne natężenie

d=4r 2,min=100

Interferencja fal kulistych na powierzchni wody (u dołu) i światła przechodzącego przez dwie szczeliny (z prawej)

Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie

Przy przechodzeniu fali płaskiej przez szczelinę na ekranie ustawionym za wąską szczeliną obserwuje się obraz dyfrakcyjny. Jest on związany z interferencją fal kulistych, wzbudzonych przez padajacą falę płaską, wychodzących z poszczególnych punktów szczeliny (odległość poszczególnych punktów ekranu od poszczególnych punktów szczeliny jest różna, a różnice są rzędu długości fali)