Fasciculo10 Proporciones

Número de oroEste es el “cuadro 72” de Piet Mondrian, construidode acuerdo con las proporciones del número de oro.Pintor neerlandés (1872-1944), Pieter CornelisMondrian, llamado Piet Mondrian, influido por elcubismo analítico pasó de una figuración al estiloVan Gogh a una abstracción geométrica en la queconsigue el rigor extremo combinando los coloresprimarios con el blanco y el grís sobre una tramaortogonal.

Godfrey H. Hardymatemático británico (1877-1947)Esta frase fue escrita en su obraApología de un matemático, 1940

“Los diseños del matemático, como losdel pintor o del poeta, han de ser bellos:las ideas como los colores o las palabrasdeben relacionarse de maneraarmoniosa. La belleza es la primeraprueba: no hay lugar permanente en elmundo para las matemáticas feas”.

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

El mundo de las proporcionesFascículo

Números III

Fot

ogra

fía: R

ogel

io C

hove

t

El mundo de las proporciones

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Este auto es el mismo,uno es de verdad y el otroes su foto.

¿Qué porcentajede la florrepresenta cadauno de suspétalos?

La factura de laelectricidad vinoaltísima, porqueaumentamos nuestroconsumo.

De cada 10 000habitantes de un país,2 000 tienen títulouniversitario.

Un perro tienedos orejas.

¿Cuántas orejastendrán 35

perros?

Estos limones son“semejantes”.

Para subir 2,40 mnecesito 18 escalones.¿Cuántos escalonesnecesito para subir4,50 m?

Los intereses de lastarjetas de crédito enVenezuela eran mayoresal 50% en el 2002.

Todas estas situacionespertenecen al fabuloso mundode las proporciones.

10 20 30 40 50 60 700

1.000

2.000

0

Bs.

KWH

3.000Se observa en esta gráfica quepara 0 KWH corresponde a Bs 0.Mientras mayor sea el consumode electricidad, mayor será lacantidad de bolívares a pagar.


Al expresar esto en una tabla, queda así:

16 cucharadas de leche enpolvo son necesarias parapreparar un litro de leche.

8 cucharadas de leche enpolvo son necesarias parapreparar medio litro deleche.

Cucharadas x 8 16 32 48 64

Litros de leche y 1/2 1 2 3 4

Observamos que al relacionar el número de cucharadas de leche en polvo y la cantidad de litros de leche, obtenemosfracciones equivalentes:

16

1

32

2

48

3

64

4

X

y16= ===

cantidad de cucharadas

cantidad de litrosSi representamosmediante puntosalgunos de estospares en un sistemade coordenadas, alunirlos se obtiene ungráfico como éste.

2.- El siguiente recibo de la Electricidad de Caracas de agosto de 2001 muestra la facturación porconsumo de kilovatios/hora (KWH) durante un mes®

Observa que el consumo es de 872 KWH y el costo de 1 KWH es de Bs. 59,7454. Por lo tanto, el monto a pagarpor este consumo es de Bs. 52 098. Para calcular ese monto a pagar se efectúa la siguiente operación:

872 KWH x Bs. 59,7454 Bs./KWH = Bs. 52 098 aproximadamente.

¿Cuánto costarán 100 KWH? ¿Cuánto costarán 5 KWH? Si se expresa esta relación con un gráfico se obtiene losiguiente:

=

10 20 30 40 50 60 700

1

2

3

4

0

Litr

os

cucharadas

1.- La fórmula señala que para obtener un litro de leche deben agregarse a un litro de agua,16 cucharadas de leche en polvo. Así, si deseamos preparar el doble de litros de leche,necesitaremos el doble de cucharadas de leche en polvo y si deseamos preparar una cantidadmenor disminuiremos la cantidad de cucharadas de leche en polvo.

Proporcionalidad

Existen relaciones que soninversamente proporcionales, es decir,que si una variable aumenta la otradisminuye en una relación similar.Por ejemplo: al aplicar en un circuitoeléctrico una tensión constante, semide la intensidad (Amperios) de lacorriente haciendo variar la resistencia(Ohms).


En las dos relaciones vistas en la página anterior podemos observar lo siguiente:• A cada valor de la variable (KWH o número de cucharadas) le corresponde un valor único (imagen).

Si la variable aumenta o disminuye, la imagen aumenta o disminuye en la misma relación. Porejemplo, si se duplica la cantidad de KWH consumidos, se duplica el monto a pagar, es decir, hayuna variación directa.

• En las dos situaciones anteriores, la relación que se establece entre las variables forma un conjuntode fracciones equivalentes:

16

1

32

2

48

3

64

4

y

x

===cantidad de cucharadas

cantidad de litros

59,74

1=

Monto a pagar en Bs.

Cantidad de KWH consumidos

119,48

2=

179,22

3=

=x

y

• Al representar gráficamente una relación directamente proporcional se obtiene una rectaque pasa por el origen.

Interesante1- El resultado de dividir el numerador entre el denominador siempre es el mismo y se llama constante de

proporcionalidad.

16

1

32

2

48

3

64

4

80

5

cantidad de cucharas

cantidad de litros

2- Dos relaciones cualesquiera de las establecidas en el cuadro anterior cumplen que al multiplicar sus extremosel resultado es el mismo. Por ejemplo: 32

2160 = 160

80

5

3- Si tomas dos fracciones equivalentes, por ejemplo y y sumas directamente los numeradores y losdenominadores, el resultado es una fracción equivalente a las anteriores:

322

483

numeradores 32 + 48 = 80denominadores 2 + 3 = 5

resulta que 322

483

805

es equivalente a

4- La gráfica que resulta al representar los puntos de una relación proporcional siempre es una línea recta:

Todas estas características se cumplen porque la relación de proporcionalidad está expresada por unafunción lineal.

En este caso k = 16

80

5

32

2=

0,40

13,2

Resistencia (Ω)

Intensidad (A)

0,80

6,60

2,03

2,60

2,40

2,20

2,78

1,90

3,30

1,6010

0

Resistencia

1

2

3

4

Inte

nsid

ad

5

2 3 1

y a

Proporcionalidad

Porcentaje (%)


RETO

Porcentaje como parte de un todoEstima el porcentaje de la parte roja en cada una de lassiguientes figuras:

Porcentaje como comparaciónObserva cada par de figuras A y B. En cada caso determinacuál es el porcentaje, que es A de B y luego el que es B deA, es decir, en cada par de figuras completa:A = __% de B y B = __% de A

A B

AB

La inflación

acumulada en

el año 2002 fue

de 17%

El

examen lo

aprobó el

60% del

grupo

El

55% de lapoblaciónmundial es

menor de 25años

Este túnel

está perforado

sólo en un

15%

n por ciento (n%) significa que tomamos en cuenta n de las100 partes iguales en las que dividimos algo.

La

distribución de

agua es 30%para la zona rural y

70% para la zona

urbana

El 25% de la estrella

está coloreada de rojo

Argentina es el país que consume la mayor cantidad de alimentos per cápita (por persona).

Cada habitante consume el 183% de la cantidad necesaria recomendada en 1996 por la FAO

(Organización de Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación). Portugal es el segundo

país, con el 149%, seguido de Irlanda con 142%.Fuente: Libro Guiness de los Records 2002. Editorial Planeta


¿Cómo calculo el n% de una cantidad C?

EjemploEl 20 % de una población tienetítulo para manejar

Población con

Población título para manejar

X Y

20 4

500 100

1 000 200

2 500 500

5 000 1 000

10 000 2 000

500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000

500

1 000

Población

Población con títulopara manejar

Una franela me costó Bs. 3 664. El preciopagado incluyó el IVA, el cual es el 14,5%del PVP. ¿Cuál es el PVP de la franela?

El monto pagado corresponde al 114,5%del PVP.Entonces PVP = 3 664 / 1,145

PVP = 3 200 Bs.

¿Cómo calculo el n% de una cantidad C?Ejemplo: Hallar el 32% de 16

Método 1Se divide 16 en 100 partes iguales =0,16Se multiplica el resultado por 320,16 x 32 = 5,12

Método 2Calculo 32 centésimos de 16 x 16 = 0,32 x 16 = 5,12

Obtengo así el 32% de 16

Divido C entre 100Multiplico el resultado por n

Divido n entre 100Multiplico el resultado por C

Regla de tres

100 n C ?

? = (n x C) /100

16100

32100

Cálculo de un número q del cual D es el n%Ejemplo: Hallar el número del cual 5 es el 25%

Método 1Divido 5 entre 25 con lo que obtengo el valor de una de las cien partes del100% = 0,2Multiplico luego por 100 y obtengo el número correspondiente al 100%0,2 x 100 = 20Este procedimiento puede resumirse así:5 / (25 / 100) = 5 / 0,25 = 20

20 es entonces el número del cual 5 es el 25%

Divido D entre nMultiplico el resultado por 100

ResumenDivido D entre n/100

Regla de tres

100 n q D

q = (100 x D) / n

525

La semejanza de figuras es un importante concepto geométricoque se aplica en: diseño de casas y edificios, diseño de automóviles,

construcción de circuitos impresos, fotografías. En la televisión, en el ciney en el microscopio vemos objetos que son semejantes a los objetos originales.

Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma pero no necesariamente tienen el mismo tamaño.La expresión “igual forma” está relacionada con las ideas numéricas de razón y proporción.


Figuras semejantesEstas mariposas son copiassemejantes de una mismafotografía, pero de diferentetamaño.

Los automóviles son iguales enforma. Uno de ellos es una

réplica a escala.

Los rectángulos ABCD y XYZW sonsemejantes. Una correspondencia entre losvértices es:A <-> X , B <-> Y, C <-> Z y D <-> W.Y así corresponden los lados:AB <-> XY, AD <-> XW, BC <-> YZ yCD <-> ZW.Si el factor de proporcionalidad es 2,entonces cada segmento de XYZW es eldoble de su correspondiente de ABCD:XY = 2AB , XW = 2AD, YZ = 2BC yWZ = 2DC.

A D

CBX

Y Z

W

La proporción se establece entre paresde segmentos así:

XYAB

21

YZBC

21

ZWCD

21

WXDA

21

, , ,

“La longitud del segundo segmento esa la del primero como 2 es a 1.”En las figuras semejantes los ángulosse conservan y las longitudes semultiplican por un número K>0. Si K>1la figura se agranda y si K<1 se reduce.

El dibujo A’ B’ C’ D’ E’ es la imagen semejante deABCDE. El factor de proporcionalidad es 3 por cuantoOA’ es tres OA. Esto se expresa:

A’B’

AB

B’C’

BC

C’D’

CD

D’E’

DE

E’A’

EA3

D’E’

La figura F’ es la imagen semejante de F. El factor deproporcionalidad es : Observa que OX’ es la mitadde OX. Esto se expresa:

A B

C

DE

O

A’ B’

C’

O

X’Z’

Z

W’

W

X

F’ F

X’Z’

XZ

X’W’

XW

1

2

El escalímetro, regla con seis graduaciones, una en cada borde de cada cara del prisma, esun instrumento fundamental para todos aquellos profesionales que trabajan con planos(arquitectos, ingenieros...). Los planos tienen unas escalas o factores de proporcionalidad“estándar” (uso reglamentado) que son 1:100, 1:50, 1:25, 1:200... Esto significa que cadacentímetro medido en el plano corresponde en la realidad a 100 cm (1 m), 50 cm, 25 cm o200 cm (2 m), respectivamente.

12

RETODibuja una figura semejante al pentágono cuyoslados midan la mitad del pentágono dado.

Dibuja una figura semejante al hexágono cuyos ladosmidan tres medios de los lados del hexágono dado.


Pasos para dibujar figuras semejantes:Dibuja un triángulo ABC y un punto O (el triángulo es como la figura proyectada de unadiapositiva y el punto O es como el foco de un proyector).Desde O dibuja los rayos OA, OB y OC.Con un compás se toma la distancia OA (línea roja discontinua) y la repetimos dos vecesdesde A para determinar A’.Se repite para cada vértice del triángulo ABC y así se determina el triángulo A’B’C’semejante al triángulo ABC y además:

A’B’

AB

B’C’

BC

A’C’

AC3

A

B

C

A’

B’

C’

O

A’B’ = 3 AB

B’C’= 3 BC

A’C’= 3 AC

El pantógrafoEl pantógrafo es un instrumento mecánico parareducir o aumentar figuras, produciendo figurassemejantes. El punto O es fijo, el punto V (visor)recorre la figura y el lápiz en el punto V’ dibuja lafigura semejante.

Las diagonales de rectángulos semejantes están sobre

una recta si los rectángulos son colocados como en

la figura de la izquierda.

O

V’

V

Con un par de ligas y un lápiz

Se cruzan las ligas como en la figura. Se fija un extremo en un punto y en elotro extremo se coloca un lápiz.

A medida que el nudo recorrela figura, se va dibujando conel lápiz la figura semejante.

Dibujos e identificación de figuras semejantes

Interesante


Proporciones y recetas de cocina

La receta original es para 4 porciones¿Cómo calculamos los ingredientes para 8 porciones?• 8 es el doble de 4• Entonces multiplicamos por 2 cada una de las

cantidades de los ingredientes.Por ejemplo:El número de tazas de consomé será: 3 x 2 =6Las cucharaditas de pimienta negra serán: x 2 = =

En término de proporciones podemos decir que sila receta original de la crema de brócoli está dadapara 4 porciones, entonces:Para 8 porciones los ingredientes son el doble de los de la recetaoriginal.Para 6 porciones los ingredientes son una vez y media de lareceta original.Para 16 porciones los ingredientes son cuatro veces de los dela receta original.Y así podemos armar una tabla de equivalencias.

4 6 8 16 20

Tazas de brócoli picado 4 6 8 16 20Cucharadas de mantequilla 3 4 6 12 15Taza de cebolla picada 1 2 2Tazas de consomé de carne 3 4 6 12 15Cucharadas de harina 2 3 4 8 10Taza de leche caliente 1 1 2 4 5Cucharadita de sal 1 2 3 6 7Cucharadita de pimienta negra

Ramitas de hierbabuena 2 3 4 8 10Ramitas de cilantro 2 3 4 8 10Cucharadas de crema gruesa 2 3 4 8 10

Nº de porciones

CREMA DE BRÓCOLIIngredientes para 4 porciones4 tazas de brócoli picado3 cucharadas de mantequilla taza de cebolla picada3 tazas de consomé de carne2 cucharadas de harina1 taza de leche caliente1 cucharadita de sal cucharadita de pimienta negra2 ramitas de hierbabuena2 ramitas de cilantro2 cucharadas de crema gruesa

12

12

18

18

28

14

12

12

34

12

12

1214

12

14

12

58

316

18

12

¿Cómo calculamos los ingredientes para 6 porciones?• 6 es 1 y vez de 4. Puedo calcular de dos maneras

equivalentes que conducen a los mismos resultados:1. Multiplico la cantidad de cada ingrediente por 1,5.

El número de tazas de brócoli picado será4 x 1,5 = 6El número de cucharaditas de sal será 1,5 x 1,5 =2,25 = 2

2.- A cada ingrediente le sumo la mitad de la cantidadde la receta original. Receta + receta.El número de tazas de brócoli picado será:4 + = 4 + 2 = 6El número de cucharaditas de sal será:1 + = + = = 2,25 = 2

14

42

12

12

34

32

34

94

14

12

El mundo de las proporciones

FascículoM a t e m á t i c a p a r a t o d o s

Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: “Québien proporcionada está esa chica, sus medidas son 90-60-90”. Esto significa que la medida de su busto y de su caderaes de 90 cm y la de su cintura 60 cm. Si además de esto sucuerpo está distribuido según el estudio de las proporcioneshumanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones quedeben cumplir las diferentes partes del cuerpo humano paraser considerado perfecto), y su cara está demarcada por dosRectángulos de Oro (rectángulo cuya relación entre sus ladoses aproximadamente 1,618), concluiremos que una personaque cumpla con todas estas condiciones es bellamatemáticamente.

Entonces podríamos preguntarnos:

¿Qué es la belleza?

Cabe definir la belleza como eI conjunto de cualidades cuya manifestación sensibleproduce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración (Diccionario Pequeño Larousse,1999). La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono ypalabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas,logros, anticipaciones o sueños (Diccionario filosófico, Julio Rey Pastor e Ismael Quiles,1952, p. 1 057, Buenos Aires).

En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: "Los sentidos se deleitanen cosas debidamente proporcionadas". (Matemáticas, Colección Científica de Time Life,1971, México).

Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entrela belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con eldenominado Número de Oro, también conocido como la Divina Proporción. Este es unnúmero que tiene un valor aproximado de 1,618 y que aparece en la relación que seestablece entre los lados que están en Proporción de Oro de un rectángulo.

El Rectángulo de Oro ha sido utilizado en famosas obras de arte y en la Arquitecturadesde las construcciones griegas como el Partenón, pasando por Leonardo da Vinci,hasta nuestros días, por cuanto ha sido utilizado por Le Corbusier y sus seguidores;Salvador Dalí, Mondrian y otros.

El Partenón, el Panteón de París y la Mona Lisa son obras de arte y arquitectura dediferentes épocas, en las que de alguna manera está presente la Divina Proporción oNúmero de Oro.

60

90


Proporcionalidad y belleza

90

La M

ona

Lisa

de

Leon

ardo

da

Vin

ciS

culp

ture

et

Nu

de L

e C

orbu

sier

El Partenón

El M

odul

or d

e Le

Cor

busi

er

Reine Isabeau de Pablo Picasso

La Divina ProporciónEl Rectángulo de OroObserva la construcción del Rectángulo de Oro

Se dibuja un cuadrado. Se determina M,punto medio de unlado.

Con radio MB se trazaun arco paradeterminar P.

Rectángulo de oroACPQ.

M M

B

M

B

En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (1801-1887) hizo un estudio sobre los rectángulos con

proporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulos

de Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. La

selección fue de los rectángulos cuya razón de las

longitudes de sus lados es:

1 + 5 aproximadamente 1,618: la Razónde Oro o Divina Proporción.2

Los griegos y las proporciones

Estos rectángulos especiales son llamados Rectángulos de Oro.

Las cartas de barajas, muchas puertas y ventanas y portadas de libros,

son ejemplos de Rectángulos de Oro.

Los griegos utilizaron la Razón de Oro para casi todas sus esculturas

y construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro.

Maqueta de El Partenón

b

h

a

e

xy

Las escaleras de casas, edificios o calles guardan una

relación entre la altura de los escalones y el ancho del

escalón. Además, se construyen de forma tal que la

altura del escalón sea proporcional a la altura promedio

de las personas. Cuando una escalera mecánica está

parada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. La

altura de los escalones no son proporcionales a la

altura promedio de las personas.

Maurits C. EscherArtista plástico holandés (1898-1972 )

Relat iv idad

155Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

La intensidad de las sensaciones se incrementa proporcionalmente(de forma logarítmica) con el incremento de los estímulos quecaracterizan nuestras relaciones físico-síquicas.

A

C P

Q

1

1

1

2

1

2

1

2

1

5

2

1

2

5

2

1

2

QP

QA

1 + 52

=

El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro está

presente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humano

a la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón en el brazo

y la razón en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro.

ae

xy

156 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Tengo que pensarlo

La barba de BartolomeoSupongamos que la barba del Sr. Panciatichi crecía a razón de 3

mm cada 24 horas. Si la barba alcanzó 1 dm con 8 cm el 5 de

diciembre de 1540, ¿cuál fue la última fecha en la que el Sr.

Bartolomeo se afeitó?

De Maturín a TucupitaSegún se presenta en el mapa y tomando en cuenta la escala

señalada, ¿calcule la distancia medida en línea recta entre

Maturín y Tucupita?

Escala del mapa 1:2.000.000

La figura¿Cómo puede dividirse la figura en 4 partes tales que cada una de

ellas sea semejante a la figura grande?

El restaurantePagué, en el año 2001, un total de 72 500 bolívares por la cuenta del restaurante.

Si se sabe que el 14,5% corresponde al pago del IVA y 10% al servicio, ¿cuánto

me costó realmente la comida?

Resultados

Bartolomeo se afeitó la barba el 7 de octubre de ese mismo año.Entre Maturín y Tucupita hay 143 km aproximadamente.La comida me costó Bs. 58 232,93; el IVA fue de Bs. 8 443,77 y el 10% fue de Bs. 5 823,29.


Información actualizadaBibliografíaCarvajal, Fernando (1997). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Editorial Grao. Barcelona, España.

Gutiérrez A. (editor) (1987). Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. Madrid, España.

Grupo Beta (1990). Proporcionalidad, geometría y semejanza. Editorial Síntesis. Madrid, España.

Páginas webOMA- Programa Enriquecimiento en Matemática. http://www.oma.org.ar/programa/blan26.htm

Fibonacci y el Número Áureo. http://www.geider.net/esp/mate/logo.htm

MaterialNueve fichas rojas y nueve azules, un par de dados y el cartón de juego.

Número de jugadoresDos (uno con las fichas azules y el otro con las rojas).

Objeto del juegoColocar tres fichas de un mismo color en fila: diagonal, vertical u horizontal.

Reglas del juegoSe elige el jugador que inicia el juego lanzando los dados.En su turno, el jugador lanza los dados y forma una fracción con los números de los dados. El jugador puede marcar unafracción o equivalente, y coloca su ficha en el recuadro correspondiente a dicho valor. Si la fracción seleccionada no estáen el cartón pierde su turno.

Ejemplo:

Un jugador puede remover la ficha delcontrario si en su turno obtiene ese valor.

¡A jugar!

Con estos números se pueden formar las fracciones y porcentajes: 25

= 40% 52

= 250%

50% 60% 200%

40%

125%

13

23

300% 120% 20%

80% 100% 150%

60% 250% 75%

Ventana didácticaEstrategias sugeridas al docente

Uso de mapas para desarrollar el pensamientoproporcional o sentido de proporción en los niños yadolescentes.

¿Se pueden lograr pensadores proporcionales en laescuela básica?Esta fue una interrogante que se plantearon un grupo de docentes conscientesde la importancia que tiene el desarrollo de lo que se ha llamado sentido deproporción en el ser humano.

En muchos de los aspectos de nuestra vida diaria están presentes relaciones que son directamente proporcionales, asílo encontramos en muchas obras de arte, arquitectura, etc. En ciencia, el estudio de soluciones, el uso de balanzas decruz, los cálculos de densidad de sustancias, requieren de la aplicación del concepto de proporción. En geografía, calcularla densidad de población, construir y leer mapas, hacer gráficas, también lo requieren. En matemática, la semejanza defiguras geométricas, el estudio de probabilidades, de las fracciones y del porcentaje están basados en la idea deproporcionalidad.

¿Cómo lograrlo?Apoyados en la opinión de los investigadores, los docentes señalaron que aun cuando el desarrollo de este concepto noes fácil, se puede alcanzar su comprensión aplicando una enseñanza activa que utilice material apropiado, lo cual ayudaal estudiante en la formulación de las respuestas, y esto tiene influencia significativa en el desarrollo del pensamientoproporcional. Ésta competencia se adquiere entre el Quintoy el Octavo Grado de la Educación Básica, a través deuna enseñanza organizada, que se inicie desde tempranaedad, a partir de las relaciones proporcionales que cadaestudiante maneja en su entorno.

Proponen, a continuación, una actividad que hace usode mapas y diferentes escalas en un contexto real y útil;da la oportunidad a los estudiantes de manejar conceptosrelacionados con la idea de proporcionalidad.

ACTIVIDAD SUGERIDA PARA EL DOCENTE

Objetivo

Desarrollar en los niños y adolescentes el sentido deproporción.

¿Cómo nos organizamos en el aula?• Los estudiantes trabajarán en parejas.

¿Qué necesitamos?• Para las demostraciones del docente:

Un mapa político de Venezuela.Un mapa del estado Anzoátegui.Un mapa de la ciudad de Barcelona.

• Para cada pareja de estudiantes:Un mapa del estado Anzoátegui. Escala.Un mapa de la ciudad de Barcelona. Escala.Una regla.Rotafolio con las instrucciones.

158 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

¿Qué haremos?1- Pídale a los estudiantes que ubiquen su mapa del estado Anzoátegui.2- Muestre en el mapa político de Venezuela la ubicación del estado y comente:

• Los mapas están en escalas diferentes, por eso su tamaño es diferente.• Identifique en ambos mapas la escala correspondiente y escríbala en el pizarrón.• Revisar y explicar la escala del mapa político de Venezuela.• Escala del mapa del estado Anzoátegui.

La forma del estado Anzoátegui es igual en ambos mapas, el que tienen los estudiantes y el mapa político de Venezuelagrande que tiene el docente. Las dos figuras son semejantes.En la medida en que a cada unidad de la escala le corresponda un número mayor de la medida natural, el dibujo es máspequeño.3- Cada pareja, con el mapa del estado Anzoátegui, va a responder a las siguientes preguntas; es importante recordar

que un estudiante hace las mediciones y el otro registra los resultados.a ¿Cuál es la escala del mapa?b Determinar la distancia entre Barcelona y Puerto La Cruz.• Ubicar cada una de las ciudades en el mapa.• Medir con una regla graduada en centímetros cuánta es la distancia que las separa.• Usando la escala calcular la distancia.c Ubicar en el mapa un pueblo o ciudad que esté a más de xx km de Barcelona.• Deben determinar a cuántos centímetros corresponden los xx km usando la escala.• Ubicar a Barcelona en el mapa.• Ubicar la regla en su punto cero en Barcelona.• Rotarla con cuidado hasta encontrar un pueblo o ciudad que esté más lejos. Se puede usar un compás con la

abertura en los centimetros establecidos.• Es importante indicar que puede haber distintas soluciones y también pequeños errores de medición.• Se puede cerrar esta parte midiendo y calculando la distancia exacta del pueblo o ciudad encontrado y la ciudad

de Barcelona.d Llenar un cuadro de distancias de Barcelona a diferentes centros poblados.e Indicarle a los estudiantes que el factor que relaciona a ambas cantidades en cada caso es la constante

de proporcionalidad.Los nuevos prospectos de pensadores proporcionales que se espera formar deben saber:

• Que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando aumentan y disminuyen siempre en la mismarelación.

• Que hay un factor constante que relaciona las dos magnitudes: constante de proporcionalidad.• Que gráficamente al representar los puntos de una relación proporcional y unirlos, forman una recta que pasa

por el origen.Adicionalmente, deben ser capaces de:

• Diferenciar lo que es directamente proporcional de lo que no lo es.• Comprender situaciones proporcionales.• Aplicar varios métodos para resolver situaciones que son proporcionales.• Resolver tareas cuantitativas y cualitativas del razonamiento proporcional.


Jesús Alberto León

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*Nació en La Victoria, estado Aragua, el 19de octubre de 1940. Obtuvo la Licenciaturaen Biología en 1963 y en Matemática en

1964, en la Universidad Central deVenezuela, y un doctorado en Cienciasen 1973, en la Universidad de Sussex,

Inglaterra.Ha recibido premios nacionales y

reconocimientos internacionales, talescomo el Premio de la Asociación de

Profesores de la UCV (APUCV) al mejorTrabajo de Ascenso de la UCV, en 1991.

Premio Francisco De Venanzi (APIU-CDCH) a la Trayectoria del Investigador

Universitario (1991). PremioIberoamericano “Federico Riu” a la

investigación filosófica, en 1990. Premioal Mejor Trabajo Científico otorgado por

el CONICIT (1995) y la Orden José MaríaVargas (Corbata), en 1990. Es fundador

de la revista Evolutionary Theory y editorasociado de varias revistas internacionales

de su especialidad. Es miembro delSistema de Promoción al Investigador(Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo

Mendoza Fleury” de Fundación Polar enel año 2001.

Fotografía: Carlos Rivodó

Los trabajos del profesor León, si bien en el área de biología, hacen uso de la matemática.Dejemos que él nos explique: “La biología está, como toda ciencia, llena de aspectosque requieren matemática para su expresión precisa. Pensemos, por ejemplo, en labiomecánica. Es claro que en la constitución de los huesos en animales, o de los troncosy ramas en los árboles, hay implicados problemas de tensión, deformación y resistenciade materiales. Y en la relación entre huesos que sostienen un esqueleto, o lo muevenmediante contracciones y relajamientos musculares, hay toda una música de leyesmecánicas en acción. ¿Dónde se ha visto que esto pueda estudiarse sin las leyes deNewton y su expresión matemática? Y el movimiento de fluidos en los sistemas circulatoriosanimales, o el agua que trepa por dentro de los árboles desafiando la gravedad. ¿Norequieren compleja hidrodinámica para su comprensión? Por otra parte, al ser los seresvivos complicados sistemas físico-químicos, en los cuales campean toda clase demoléculas –desde las simples hasta las grandes y enmarañadas macromoléculas– queinteractúan en incesantes flujos y transformaciones bio-químicas, es apropiado que paraentenderlos se usen las matemáticas de la química y la físico-química.

Hay otros niveles en que la biomatemática no es reducible a las matemáticas ‘importadas’(por decirlo así) de las otras ciencias. Por un lado, los seres vivos se hallan siempre encolecciones que llamamos poblaciones y comunidades. Esto es consecuencia de lapropiedad definitoria de estos seres: la reproducción. Así, las preguntas ¿cuán numerososserán dichos colectivos, cuáles procesos determinarán su abundancia?, deben forzosamenteser formuladas matemáticamente. Se prestará entonces atención a los mecanismos queinducen nacimientos y muertes, eventos básicos que cambian la numerosidad de losindividuos constitutivos de cualquier población. Esta clase de formulaciones (casi siempreusando ecuaciones diferenciales, que son las matemáticas del cambio), son el meollode lo que se llama Ecología Matemática”.

Dos aspectos fundamentales del trabajo del Dr. León son el desarrollo de la teoríamatemática de la coevolución y la de estrategias adaptativas. Como él explica, “alcaracterizar la Selección Natural se ha esbozado la dinámica de la causación de cambiosevolutivos en una especie en un ambiente. Pero las especies están siempre involucradasen redes ecológicas con otras especies (compiten, se comen unas a otras... etc.). Así,cada especie es a la vez ambiente para otras, y esto da lugar a cambios evolutivosrecíprocos, a coevolución.

Por otra parte, el cambio evolutivo guiado por la Selección Natural tiene consecuencias.¿Cuáles serán éstas? ¿Cuál constelación de caracteres será favorecida en un ambientedado? ¿Qué resulta adaptativo en ese ambiente? Como la selección premia a quien escapaz de sobrevivir o reproducirse mejor, hay que encontrar funciones que expresenesto: funciones que indiquen qué relaciones hay –en un cierto ambiente– entre loscaracteres y la supervivencia y reproducción. Así se puede, con técnicas matemáticasde optimización, buscar cuál combinación de caracteres –entre aquellas que son posibles–otorga mayor éxito reproductivo”.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

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