FASOR DAN ELEMEN-ELEMEN DASAR RANGKAIAN · PDF fileRangkaian listrik I by Zaenab Muslimin 93 FASOR DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASAR RANGKAIAN LISTRIK 1. Fasor

Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin 93

FASOR DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASAR

RANGKAIAN LISTRIK

1. Fasor

Fasor adalah grafik untuk menyatakan magnituda (besar) dan

arah (posisi sudut). Fasor utamanya digunakan untuk menyatakan gelombang sinus dalam bentuk magnituda dan sudut serta untuk analisis rangkaian reaktif. Contoh fasor diperlihatkan pada Gambar 1. Panjang panah fasor menyatakan magnituda dan sudut θ menyatakan posisi sudut seperti pada bagian (a) untuk sudut positif. Contoh fasor pada bagian (b) mempunyai magnituda 2 dan sudut fasa 450. Bagian (c) mempunyai magnituda 3 dan sudut fasa 1800 dan bagian (d) magnituda 3 dan sudut fasa -450 (+3150). Perhatikan bahwa sudut positif diukur berlawanan arah jarum jam dari referensi (00) dan sudut negatif diukur searah jarum jam dari referensi (00).

(a) (b) (c) (d)

Gambar 1. Contoh fasor


1.1 Representasi Fasor Gelombang Sinus

Siklus penuh dari gelombang sinus dapat dinyatakan sebagai putaran fasor 3600. Nilai sesaat gelombang sinus pada setiap titik sama dengan jarak vertikal dari ujung fasor ke sumbu horisontal. Gambar 2. memperlihatkan gerakan fasor terhadap gelombang sinus dari 00 hingga 3600. Tampak bahwa panjang fasor sama dengan nilai maksimum dari gelombang sinus (lihat sudut 900 dan sudut 2700).

Gambar 2. Representasi gelombang sinus dengan putaran fasor

1.2 Diagram Fasor

Diagram fasor digunakan untuk memperlihatkan hubungan relatif dua atau lebih gelombang sinus pada frekuensi sama. Sebuah fasor posisi tetap digunakan untuk menyatakan gelombang sinus penuh, sebab sudut fasa antara dua atau lebih gelombang sinus frekuensinya sama. Misalnya, dua gelombang sinus pada Gambar 3(a) dapat dinyatakan dengan diagram fasor seperti bagian (b). Tampak bahwa gelombang sinus B leading terhadap gelombang sinus A sebesar 300 dan amplituda lebih kecil dari gelombang sinus A, yang ditunjukkan dengan panjang fasor.


Gambar 3. Contoh diagram fasor

Notasi Fasor fungsi sinusoidal untuk tegangan dan arus adalah :

v = Vm Sin (ωt ±θ) V = Vm ±θ

i = Im Sin (ωt ±θ) I = Im ±θ …..…………………….…...(1)

Karena nilai maksimum hanya digunakan dalam analisis rangkaian arus bolak balik maka fasor didefinisikan kembali yaitu nilai fasor ekivalen dengan nilai efektif (rms) untuk keseragaman. Oleh sebab itu bentuk fasor tegangan dan arus dituliskan sebagai berikut :

V = V θ

I = I θ ………………………………...(2)

dimana V dan I adalah nilai rms dan θ adalah sudut fasa. Contoh 1

Konversi bentuk di bawah ini dari domain waktu ke domain fasor Domain waktu Domain fasor

a. √2 (50) sin ωt 50 00

b. 69.6 sin (ωt + 720) (0.707)(69.6) 720= 49.21 720 c. 45 cos ωt (0.707)(45) 900= 31.82 900


Contoh 2

Konversi bentuk di bawah ini dari domain fasor ke domain waktu jika frekuensi 50 Hz. Domain fasor Domain waktu

a. I = 10 300 i = √2 (10) sin (100πt +300)

i = 14.14 sin (100πt +300)

b. V = 115 -700 v = √2 (115) sin (100πt - 700)

v = 162.6 sin (100πt - 700)

2. Hubungan V-I dan Notasi Fasor pada Elemen R, L, C

Elemen Resistor ( R ) Setiap saat daya dapat dikirim ke resistor tanpa memperhatikan

polaritas tegangan atau arus, kecuali pada saat iR= 0 Amp. atau vR= 0Volt. Hal ini diperlihatkan pada Gambar 4. Pada saat tegangan yang diterapkan mencapai nilai maksimum +8V arus yang melalui resistor adalah 4A, dan daya yang dikirim adalah 32W seperti yang diperlihatkan pada gambar. Bila tegangan diperkecil setengah dari tegangan maksimum yaitu 4V maka arusnya adalah 2A dan dayanya 8W. Bila arusnya 0A dan tegangan 0V maka dayanya juga 0W. Bila diterapkan tegangan maksimum -8V maka polaritas arus terbalik seperti pada gambar, tetapi arus yang melalui resistor tetap 4A dan dayanya 32W. Dengan demikian tampak bahwa perubahan arah arus tidak mempengaruhi daya yang dikirim ke resistor.


Gambar 4. Demonstrasi pengiriman daya dengan sumber tegangan

sinusoidal

Jika kita sekarang memplot tegangan dan arus pada grafik yang sama diperoleh gambar seperti pada Gambar 5. Dari Gambar 5. terlihat bahwa arus dan tegangan mencapai nilai maksimum dan nilai nol pada saat yang sama, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk elemen resistor ;tegangan dan arus adalah sefasa.

Gambar 5. Tegangan dan arus sefasa pada resistor


Notasi Fasor

Notasi fasor tegangan pada resistor dapat dituliskan sebagai

berikut :

vR = Vm sin ωt VR = VR 00

dimana VR = VR(rms) = 0.707 Vm

Gunakan hukum Ohm :

IR R

R

R

R

R

R

R

V

R

V

R

V

0

0

00

Untuk keseragaman format, θR dihubungkan dengan elemen resistor. Karena vR dan iR sefasa maka sudut θR = 00. Substitusi θR = 00 maka :

IR000

0

0

0000

0

R

V

R

V

R

V RRR

Konversi hasilnya kembali ke domain waktu adalah :

tsinR

Vi R

R

2 ……………………………………………..(3)

Elemen Induktor ( L )

Untuk elemen induktif, tegangan adalah berbanding lurus dengan L dan laju perubahan arus yang dapat dinyatakan sebagai berikut :

dt

diLv L

L ………………………………………………(4)

Dari persamaan (4), jika laju perubahan arus adalah nol maka tegangan yang terinduksi pada L adalah nol. Jika laju perubahan arus menuju maksimum positif maka tegangannya adalah maksimum positif, jika laju perubahan arus menuju maksimum negatif maka tegangannya adalah maksimum negatif.

Arus sinusoidal selalu menginduksikan tegangan sinusoidal pada rangkaian induktif. Oleh karena itu tegangan dapat digambar berkenaan dengan nilai arus, dengan mengetahui titik-titik pada kurva arus dan nilai tegangan adalah nol pada saat arus maksimum. Hubungan fasa dapat


dilihat pada Gambar 6.(a). Perhatikan bahwa tegangan leading terhadap arus sebesar 900. Hubungan tegangan dan arus sebagai fasor diperlihatkan pada Gambar 6.(b).

Gambar 6. Hubungan fasa arus - tegangan induktor

Notasi Fasor

Notasi fasor untuk arus pada induktor didefinisikan sebagai

berikut :

iL = Im sin ωt IL = IL 00

dimana IL = IL(rms) = 0.707 Im

Gunakan hukum Ohm untuk elemen induktif :

VL = IL 00 . XL θL = IXL θL + 00 = IXL θL

Karena vL harus lead terhadap iL sebesar 900, maka θL harus 900 . Substitusi θL = 900 akan diperoleh

VL = IL 00 . XL 900 = IXL 900 = I jXL

Dalam domain waktu adalah :

v L = √2 (IXL) sin (ωt+900) ………………………………………(5)


Elemen Kapasitor ( C )

Untuk elemen kapasitif, arus adalah berbanding lurus dengan besar kapasitansi C dan laju perubahan tegangan yang dapat dinyatakan sebagai berikut :

dt

dvCi C

C ………………………………………………(6)

Bentuk gelombang tegangan mempunyai laju perubahan maksimum (dv/dt = maksimum) pada nilai nol dan laju perubahan nol (dv/dt=0) pada nilai maksimum, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 7. Dari persamaan (6), jika dv/dt=0 maka i=0 dan jika dv/dt menuju maksimum positif maka i adalah maksimum positif dan sebaliknya dv/dt menuju maksimum negatif maka i adalah maksimum negatif.

Gambar 7. Laju perubahan dari gelombang sinus

Tegangan sinusoidal selalu menghasilkan arus sinusoidal untuk rangkaian kapasitif. Oleh karena itu arus dapat digambar berkenaan dengan tegangan, dengan mengetahui titik-titik pada kurva tegangan dan arus adalah nol pada saat tegangan maksimum. Hubungan fasa dapat dilihat pada Gambar 8.(a) Perhatikan bahwa arus leading terhadap tegangan sebesar 900. Hubungan arus dan tegangan sebagai fasor diperlihatkan pada Gambar 8.(b).


Gambar 8. Hubungan fasa arus - tegangan kapasitor

Notasi Fasor

Notasi fasor untuk tegangan pada kapasitor didefinisikan sebagai

berikut :

vC = Vm sin ωt VC = VC 00

dimana VC = VC(rms) = 0.707 Vm

Gunakan hukum Ohm akan menghasilkan :

C

C

C

C

C

C

CC

C

CX

V

X

V

X

VI

0

0

00

Karena iC leading terhadap vC sebesar 900, maka θC harus mempunyai sudut -900 . Substitusi θC = - 900 akan diperoleh

000

0

0

9009090

0

C

C

C

C

C

C

CX

V)(

X

V

X

VI

Hasilnya dalam domain waktu adalah :

)t(sinX

Vi

C

C

C

0902

……………………………………(7)


3. Impedansi pada Elemen R, L, dan C

Impedansi adalah perbandingan antara tegangan fasor dan arus fasor, yang diberi simbol Z. Magnituda impedansi adalah perbandingan antara magnituda tegangan fasor dan magnituda arus fasor; sudutnya adalah selisih sudut tegangan dan arus. Satuan impedansi adalah ohm.

Impedansi adalah bilangan kompleks, bukan fasor oleh karena

bukan fasor maka tidak mempunyai fungsi dalam domain waktu. Impedansi dapat dinyatakan dalam bentuk polar (persamaan 8) maupun dalam bentuk rektangular (persamaan 9).

Z = ІZІ Z …………………………………………………...… (8)

Z = R + j X …………………………………………………..… (9)

dimana R = Re Z = komponen resistif = resistansi X = Im Z = komponen reaktif = reaktansi

θZ = selisih sudut antara tegangan dan arus

22 XRZ

R

XtanZ

1

Elemen Resistor

0

0

0

00

0

R

R/I

V

I

VZ

R

R

R

R

R ………………………..…(10)

VR = IR ZR

Elemen Induktor

iL = Im sin ωt

)tcosI(Ldt

)tsinI(dL

dt

diLv m

mL

V = ωLI

fLLI

LI

I

VXL

2 …………………………….(11)

ZL = jXL = S L = jωL = ωL 090 ………………………. (12)

VL = IL ZL


Elemen Kapasitor

VC = Vm sin ωt

)tcosV(Cdt

)tsinV(dC

dt

dVCi m

mC

I = ωCIm

fCCCV

V

I

VXC

2

11 …………………………….(13)

ZC = -jXC = -j fC2

1 = 090

2

1

fC ….………….…. (14)

VC = IC ZC

Segitiga Impedansi Rangkaian Seri R-L

Impedansi total rangkaian seri R-L adalah penjumlahan dari R

dan XL yang dapat dinyatakan sebagai berikut : Z = R + jXL ……………………………………………………(15)

Diagram fasor dari R dan XL tampak pada Gambar 9.

Gambar 9. Segitiga impedansi rangkaian seri R-L Segitiga Impedansi Rangkaian Seri R-C

Impedansi total rangkaian seri R-C adalah penjumlahan dari R

dan XC yang dapat dinyatakan sebagai berikut : Z = R – jXC ………………………………………………………(16)


Diagram fasor dari R dan XC tampak pada Gambar 10.

Gambar 10. Segitiga impedansi rangkaian seri R-C

4. Respon Frekuensi pada Elemen R, L, dan C Elemen Resistor

Untuk sebuah resistor ideal, kita dapat mengasumsikan bahwa

frekuensi tidak berpengaruh pada level impedansi seperti yang tampak pada Gambar 11. Perhatikan bahwa pada frekuensi 5 kHz atau 20 kHz, resistansi dari resistor adalah tetap 22 Ω; tidak ada perubahan.

Gambar 11. Grafik R terhadap frekuensi

Elemen Induktor

Untuk induktor ideal, persamaan reaktansi dapat dituliskan

sebagai berikut : XL = ωL = 2πf L = (2πL) f = kf dimana k=2πL

Persamaan yang diperoleh dapat disamakan dengan persamaan garis lurus berikut :


y = mx + b = kf + 0 = kf dimana b=0 dan slope adalah k atau 2πL. XL adalah variabel y dan f adalah variabel x seperti pada Gambar 12. Karena induktansi menentukan slope dari kurva maka induktansi yang lebih besar digambarkan sebagai garis lurus yang lebih curam yang dapat dilihat pada Gambar 12. Selain itu juga terlihat bahwa untuk f = 0 Hz, reaktansi dari setiap titik adalah 0 ohm. Dengan mensubstitusi f = 0 Hz diperoleh :

XL = 2πf L = 2π(0)L = 0 Ω Karena diperoleh reaktansi nol ohm maka dikaitkan sebagai karakteristik short circuit, sehingga dapat disimpulkan bahwa :

Pada frekuensi 0 Hz, sebuah induktor dinyatakan sebagai sebuah karakteristik dari short circuit seperti yang diperlihatkan pada Gambar 13.

Gambar 12. Grafik XL terhadap frekuensi

Gambar 13. Pengaruh frekuensi rendah dan tinggi pada induktor


Pada Gambar 13. terlihat bahwa bila frekuensi dinaikkan maka reaktansi juga bertambah, sehingga mencapai level yang cukup tinggi pada frekuensi yang sangat tinggi. Sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut :

Pada frekuensi yang sangat tinggi , sebuah induktor dinyatakan sebagai karakteristik open circuit seperti yang diperlihatkan pada Gambar 13.

Elemen Kapasitor

Persamaan reaktansi untuk kapasitor adalah :

fCXC

2

1 dapat ditulis sebagai

kC

fXC

2

1

Dimana sesuai dengan format dasar untuk hiperbola : y x = k dimana XC adalah variabel y dan f adalah variabel x serta k adalah konstanta yang sama dengan 1/2πC. Hiperbola mempunyai bentuk sepeti pada Gambar 14. tampak bahwa untuk kapasitansi yang lebih besar kurvanya mendekati sumbu vertikal pada frekuensi rendah dan mendekati sumbu horisontal pada frekuensi tinggi. Pada frekuensi 0 Hz atau mendekati nol reaktansi sangat tinggi, sebagaimana dapat ditentukan dari rumus berikut :

C)(fC

XC02

1

2

1

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

Pada frekuensi 0 Hz atau mendekati nol karakteristik kapasitor dapat dinyatakan sebagai open circuit, dan frekuensi yang sangat tinggi kapasitor dinyatakan sebagai short circuit seperti yang diperlihatkan pada Gambar 15.


Gambar 14. Grafik XC terhadap frekuensi

Gambar 15. Pengaruh frekuensi rendah dan tinggi pada kapasitor

Documents

FASOR DAN ELEMEN-ELEMEN DASAR RANGKAIAN · PDF fileRangkaian listrik I by Zaenab Muslimin 93 FASOR DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASAR RANGKAIAN LISTRIK 1. Fasor