Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabilecorsiadistanza.polito.it/on-line/CMM/pdf/U12_L5.pdf · p legato alla risoluzione del metodo di conteggio 12 Matrice degli eventi (rainflow)

Comportamento meccanico dei materilai Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile

© 2006 Politecnico di Torino 1

Fatica dei materiali

2

Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile

Introduzione, i cumulativi di sollecitazioneDanneggiamento: regola di Palmgren – MinerMetodo di conteggio: metodo rainflow




4

Introduzione (1/4)

σ(ε)(F)

t

Storia reale



5

Introduzione (2/4)

σ(ε)(F)

t

σ(ε)(F)

tn1,σm1,σa1

n2,σm2,σa2

n2,σm3,σa3

Storia reale

Storia a blocchi

6

Introduzione (3/4)

σ(ε)(F)

t

σ(ε)(F)

tn1,σm1,σa1

n2,σm2,σa2

n2,σm3,σa3

Storia reale

Metodi di conteggio

Storia a blocchi



7

Introduzione (4/4)

σ(ε)(F)

t

σ(ε)(F)

tn1,σm1,σa1

n2,σm2,σa2

n2,σm3,σa3

Storia reale

Metodi di conteggio

Storia a blocchi

NO!

8

Cumulativi di sollecitazione (1/2)

σa(∆σ)

σm = cost(R=cost)

Istogramma dellesollecitazioni

n1 n2 n3 n4 n5 n6 N



9

Cumulativi di sollecitazione (2/2)

σa(∆σ)

σm = cost(R=cost)

σa(∆σ)

σm = cost(R=cost)

Istogramma dellesollecitazioni

Spettro dellesollecitazioni

n1 n2 n3 n4 n5 n6 N

N

10

Spettri tipici (adimensionali)

a

aσσ

NN

ab

cde

00 1

1 Ampiezza costante

Distribuzione normale delle ampiezze (pseudo random)

Andamento lineare (tipico di alcuni fenomeni naturali: vento, terremoti, onde)



11

Eliminazione piccole ampiezze

a

aσσ

NN0

0 1

1

p=0.25

p=0.00

p=0.50

a

,minapσ

σ=

p legato alla risoluzione del metodo di conteggio

12

Matrice degli eventi (rainflow)

40

80

120

-100-50

050

1502.02.53.03.54.04.55.05.5

60

100

140160

180200

220240

260

σa (MPa)

σ m(M

Pa)

Log(N)




14

Danneggiamento (1/2)

Quando è presente una cricca ogni ciclo ne aumenta la lunghezza (propagazione):

Danno (fisico) = ∆a



15

Danneggiamento (2/2)

i

ii N

nD =

Numero di cicli nel blocco i-esimo

Vita nell’ i-esima condizione

Quando è presente una cricca ogni ciclo ne aumenta la lunghezza (propagazione):

Danno (fisico) = ∆aPrescindendo dal danno fisico possiamo definire il danneggiamento.

16102 103 104 105 106100

500

1000

Ni Nni

σa

σai

Ni e ni sul diagramma SN



17

Accumulo del danneggiamento (1/3)

Regola di accumulo del danneggiamento lineare:

rotturaCNn

DDi

ii ⇔=== ∑∑

18



rotturaCNn

DDi

ii ⇔=== ∑∑

C = 0.5 ÷ 2 (Sperimentazione di Miner)C ≈ 1 storie di carico “pseudo random”



19



rotturaCNn

DDi

ii ⇔=== ∑∑

C = 0.5 ÷ 2 (Sperimentazione di Miner)C ≈ 1 storie di carico “pseudo random”

1Nn

DDi

ii === ∑∑

Regola di:Palmgren (1924)Miner (1945)

20

Limite di fatica (1/2)

Con cicli ad ampiezza variabile il limite di fatica può scomparire, infatti a parità di ∆σ < ∆σD:

Se no propagazione!1 thK Y σ a K∆ = ∆ < ∆ ⇒



21

Limite di fatica (2/2)

Con cicli ad ampiezza variabile il limite di fatica può scomparire, infatti a parità di ∆σ < ∆σD:

Se no propagazione!

Se sì propagazione!

(a2>a1)

1 thK Y σ a K∆ = ∆ < ∆ ⇒

2 thK Y σ a K∆ = ∆ > ∆ ⇒

22

Modifica di Haiback (1/3)

103 104 105 106 107

100

500

1000

N

aσ m =σ

k

108

k = ∞



23


103 104 105 106 107

100

500

1000

N

aσ m =σ

k

k

108

k = ∞

24


103 104 105 106 107

100

500

1000

N

aσ m =σ

k

k

108

2k-1

k = ∞



25

Utilizzo della regola di Miner I (1/3 )

Supponendo di avere una storia di carico a blocchi:

ni, σmi, σai

26


∑∑ ==i

ii N

nDD


ni, σmi, σai

Per ogni σmi si ricava Ni dal diagramma SN in corrispondenza di σai e si calcola:



27



ni, σmi, σai

Per ogni σmi si ricava Ni dal diagramma SN in corrispondenza di σai e si calcola:

Il coefficiente di sicurezza (in termini di durata) risulta:

D1

CS =

∑∑ ==i

ii N

nDD

28

Nel caso di σm costante è possibile definire una tensione e una durata equivalenti.

Data una σa,eq vogliamo una neq tale che:

∑∑ =⇒=i

ieqeq

i

i

eq

eq

NnNn

Nn

Nn

Utilizzo della regola di Miner II



29

102 103 104 105 106100

500

1000

Ni NNeq

σa

σai

σa,eq

Neq e Ni dal diagramma SN log-log

kai

keq,a

eqieqk

eq,aikai NNNN

σ

σ=⇒⋅σ=⋅σ

30

∑=i

ieqeq N

nNn

kai

keq,a

eqi NNσ

σ=

Durata e tensione equivalenti I (1/5)



31

∑=i

ieqeq N

nNn

kai

keq,a

eqi NNσ

σ=

∑

σ

σ=

kai

keq,a

eq

ieqeq

N

nNn


32

∑=i

ieqeq N

nNn

kai

keq,a

eqi NNσ

σ=

∑

σ

σ=

kai

keq,a

eq

ieqeq

N

nNn




33

∑=i

ieqeq N

nNn

kai

keq,a

eqi NNσ

σ=

∑

σ

σ=

kai

keq,a

eq

ieqeq

N

nNn

keq,a

kai

ieq nnσ

σ= ∑


34

∑=i

ieqeq N

nNn

kai

keq,a

eqi NNσ

σ=

∑

σ

σ=

kai

keq,a

eq

ieqeq

N

nNn

keq,a

kai

ieq nnσ

σ= ∑ k

eq

kaii

eq,a nn∑ σ

=σ




35

σa(∆σ)

Nneq

NC

σa,eq

Durata e tensione equivalenti II (1/3)

36

σa(∆σ)

Nneq

NC

σa,eq

k kaii

kC

kaii

eq,a Nn

∑

∑

σα=

σ=σ


Se si pone Cieq Nnn == ∑

Cii N/n=α



37

σa(∆σ)

Nneq

NC

σa,eq

Se si pone Cieq Nnn == ∑

k kaii

kC

kaii

eq,a Nn

∑

∑

σα=

σ=σ

Cii N/n=α

Prove di delibera accelerateCalcoli di prima impostazione





39

Time history

Metodo rainflow: versione del serbatoio

300250200150100500

-50-100-150-200

σ (MPa)

t

40

La time history viene tagliata in corrispondenza del picco più alto

300250200150100500

-50-100-150-200

σ (MPa)

Modifica della time history I

t



41

I pezzi della time history vengono traslati in modo da avere i picchi più alti agli estremi (eventuale aggiunta di un pezzo)

Modifica della time history II

300250200150100500

-50-100-150-200

σ (MPa)

t

42

Conteggio 0

300250200150100500

-50-100-150-200

σ (MPa)

Si suppone che la storia così modificata sia un serbatoio pieno di acqua

t



43

Conteggio 1

Si svuota il serbatoio dalla valle più profonda; si registrano il livello massimo (σmax) e il livello di uscità (σmin) ….

300250200150100500

-50-100-150-200

σ (MPa)

t1

A

44

Tabella I: Conteggi (MPa)n min max ∆σ σa σm

1 -200 300 500 250 50

Conteggio 2



45

Conteggio 3

…rimangono dei serbatoi secondari che a loro volta sono svuotati dalla loro valle più profonda …

300250200150100500

-50-100-150-200

1

2

3

4

56

7

89

1011

12

B

t

46


1 -200 300 500 250 502 0 200 200 100 1003 -150 200 350 175 254 0 100 100 50 505 -100 100 200 100 06 -150 100 250 125 -257 -100 100 200 100 08 0 150 150 75 759 50 200 150 75 125

10 -50 250 300 150 10011 -100 250 350 175 7512 100 250 150 75 175

Conteggio 4



47

Conteggio 5

…rimangono ancora dei serbatoi secondari che a loro volta sono svuotati dalla loro valle più profonda …

300250200150100500

-50-100-150-200

1

2

3

4

56

7

89

1011

12

C

1314 15

16

17

18

1920

2122 23

t

48


1 -200 300 500 250 502 0 200 200 100 1003 -150 200 350 175 254 0 100 100 50 505 -100 100 200 100 06 -150 100 250 125 -257 -100 100 200 100 08 0 150 150 75 759 50 200 150 75 125

10 -50 250 300 150 10011 -100 250 350 175 7512 100 250 150 75 17513 -50 100 150 75 25

14 -100 100 200 100 015 -100 50 150 75 -2516 -150 100 250 125 -2517 0 50 50 25 2518 100 150 50 25 12519 50 200 150 75 12520 0 150 150 75 7521 50 150 100 50 10022 0 100 100 50 5023 0 200 200 100 100


Conteggio 6



49

Conteggio 7

…e si completa il processo

300250200150100500

-50-100-150-200

1

2

3

4

56

7

89

1011

12

D

1314 15

t16

17

18

1920

2122 23

24 25 26

27

50


1 -200 300 500 250 502 0 200 200 100 1003 -150 200 350 175 254 0 100 100 50 505 -100 100 200 100 06 -150 100 250 125 -257 -100 100 200 100 08 0 150 150 75 759 50 200 150 75 125

10 -50 250 300 150 10011 -100 250 350 175 7512 100 250 150 75 17513 -50 100 150 75 25

14 -100 100 200 100 015 -100 50 150 75 -2516 -150 100 250 125 -2517 0 50 50 25 2518 100 150 50 25 12519 50 200 150 75 12520 0 150 150 75 7521 50 150 100 50 10022 0 100 100 50 5023 0 200 200 100 10024 -50 50 100 50 025 -50 0 50 25 -2526 -50 50 100 50 027 50 150 100 50 100


Conteggio 8



51

SaSm 250 175 150 125 100 75 50 25 Tot.-25 2 1 1 40 3 2 525 1 1 1 350 1 2 375 1 2 3100 1 2 2 5125 2 1 3175 1 1Tot. 1 2 1 2 5 7 6 3 27

Matrice degli eventi dell’esempio

52

25 50 75 100125150175250-25

025

5075

100125

175

00.51

1.5

2

2.5

3

Cicli

σm (MPa)σa (MPa)

Matrice degli eventi dell’esempio (grafico)



53

Spettro dell’esempio

Considerando un’unica tensione media si può tracciare lo spettro delle sollecitazioni

1 10 100N (log)050

100150200250

σ a (M

Pa)

Sa 250 175 150 125 100 75 50 25Tot. 1 2 1 2 5 7 6 3

Σ 1 3 4 6 11 18 24 27

Documents

Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabilecorsiadistanza.polito.it/on-line/CMM/pdf/U12_L5.pdf · p legato alla risoluzione del metodo di conteggio 12 Matrice degli eventi (rainflow)