1

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 7

7.1. Data je prostoperiodična struja i(t)=10sin(125t+π/6)[A]. Za datu struju izračunati:

a) amplitudu

b) ugaonu učestanost

c) periodu

d) frekvenciju

e) trenutnu fazu

f) početnu fazu

g) efektivnu vrijednost

h) srednju vrijednost

Rešenje:

i(t)

Im

φi

Imsinφi

ωT

π/3 π 2π ωt

sl. 7.1

Opšti izraz za trenutnu vrijednost prostoperiodične struje je:

iim tItIti sin2sin (1)

a) Amplituda Im predstavlja maksimalnu vrijednost struje, slika 7.1. Amplituda je pozitivna

veličina. U ovom primjeru amplituda je Im=10A.

b) Ugaona učestanost date struje je iz (1) ω=125rad/s.

c) Vremenski interval T nakon čijeg isteka se vrijednost periodične funkcije ponavlja naziva se

njen period i iznosi:

sT 05,0125

14,32

ω

π2

d) Frenkvencija f predstavlja broj ciklusa u jedinici vremena. U toku jedne periode veličina izvrši

jedan ciklus, tako da je frekvencija:

HzT

f 2005,0

11

e) Izraz ωt+φi se naziva trenutna faza ili fazni stav koju struja ima u nekom trenutku vremena.

2

f) Početnu fazu φi ima struja u početnom trenutku posmatranja, slika 7.1. Početna faza može biti

pozitivna, negativna ili jednaka nuli. To je usmjerena veličina, a strelica se usmjerava od tačke

prolaska rastuće prostoperiodične veličine kroz nulu, ka ordinati. Ukoliko je strelica u smjeru

apcise tada se ugao uzima sa pozitivnim predznakom i obratno. U ovom zadatku je početna faza

pozitivna i iznosi φi=π/6 rad, slika 7.1.

g) Matematički izraz za efektivnu vrijednost periodične struje je:

T

dttiT

I

0

21

Kod prostoperiodične struje važi da je efektivna vrijednost jednaka:

2

mII

Tražena efektivna vrijednost struje je AI 252

10

g) Matematiki izraz za srednju vrijednost struje je:

T

dttiT

I

0

1

Iz prethodne relacije može se zaključiti da je srednja vrijednost svake prostoperiodične veličine

jednaka nuli. Stoga je u ovom zadatku Isr=0.

7.2. Efektivna vrijednost struje je 5√2А, početna faza π/3 rad, a perioda 0,02s. Napisati izraz za

trenutnu vrijednost struje ako se ona mijenja po sinusnom zakonu.

Rešenje:

Opšti izraz za intenzitet prostoperiodične struje koja se mijenja po sinusnom zakonu je:

im tIti sin

Kako je efektivna vrijednost struje :

I=5√2А

to je maksimalna vrijednost 2 puta veća i iznosi:

AIIm 102

Ugaona učestanost je:

sradT

f /31402,0

222

Stoga je traženi izraz za struju:

3

Atti 3/314sin10

7.3. Predstaviti analitički i preko obrtnog vektora naizmjeničnu struju koja se mijenja po

sinusnom zakonu ako je njena maksimalna vrijednost Im=14A, početna faza φ=π/6 rad i

frekvencija f=50Hz.

Rešenje:

Pišemo opšti izraz za intenzitet prostoperiodične struje koja se mijenja po sinusnom zakonu:

im tIti sin

Ugaona učestanost je:

sradfT

/3145014,3222

Stoga je vremenski oblik struje:

Atti

6314sin14

Struja i(t) je prikazana na slici 7.2.

i(t)

14

π/3 ωtπ/6

5π/6 11π/6

sl.7.2

7.4. Prostoperiodična struja periode 0,02s predstavljena je datim fazorom, slika 7.4. Napisati

analitički izraz za datu struju koja se mijenja po sinusnom zakonu.

f.o.

2/π

I

2A

sl.7.4

Kako je fazni stav struje i(t) u početnom trenutku

jednak π/6 rad, to se ova struja može prikazati

fazorom Im faznog stava π/6 rad, slika 7.3. Intenzitet

fazora na slici 7.3 je određen je amlitudom struje i(t).

f.o.

Im

14

π/6

sl. 7.3

4

Rešenje:

Opšti izraz za intenzitet prostoperiodične struje koja se mijenja po sinusnom zakonu je:

im tIti sin

Sa slike 7.4 se uočava da fazor struje kasni faznoj osi za π/2, tj. važi da je φi=-π/2 rad. Takođe se

sa slike vidi da je efektivna vrijednost struje 2A.

Struja je sada:

2

π-

π2sin2 t

TIti

Atti

2

π-314sin22

7.5. Prostoperiodični napon, frekvencije 500/π Нz је dat fazorom, slika 7.5. Napisati analitički

izraz za dati napon ako se mijenja po sinusnom zakonu.

f.o.

3/π

U

V210

o

sl.7.5

Rešenje:

Sa slike 7.5 se uočava da fazor napona prednjači faznoj osi za π/3 rad, tj. važi da je početna faza

napona φU=π/3 rad. Takođe se sa slike vidi da efektivna vrijednost napona iznosi 210 V.

Iz izraza za opšti oblik prostoperiodičnog napona dobija se sledeće:

um tUtu sin

3

ππ2sin2 ftUtu

Vtttu

3

π1000sin20

3

π

π

500π2sin2102

7.6. Dva naponska generatora vezana su redno. Njihove elektromotorne sile su e1(t)=Em1cosωt i

e2(t)=Em2sinωt. Naći ekvivalentnu ems, odnosno zbir pojedinačnih ems.

Rešenje:

Obje ems su prostoperiodične istih učestanosti, te se stoga njihov zbir može dobiti sabiranjem

njihovih fazora. Prije crtanja fazorskog dijagrama potrebno je sve veličine predstaviti sinusnom ili

kosinusnom funkcijom:

5

tEte m ωcos11

2

πωcosωsin 222 tEtEte mm

Neka je e(t) ekvivalentna ems tj.:

tetete 21

Kako je fazni stav ems e1(t) u početnom trenutku jednak nuli, moguće ju je predstaviti fazorom

Em1 postavljenim po faznoj osi. Fazni stav ems e2(t) u početnom trenutku je jednak –π/2 rad te se

ems e2(t) može prikazati fazorom koji u odnosu na faznu osu kasni za π/2 rad, slika 7.6.

f.o.Em1

o

Em2 Em

θ

sl. 7.6

Sa slike se može odrediti amplituda rezultantne ems Em:

2

2

2

1 mmm EEE

Takođe se slike uočava da fazor ekvivalentne ems Em kasni za faznoj osi za ugao θ, tj. opšti oblik

ekvivalentne ems je:

θωcos1 tEte m

Ugao θ je, slika 7.6:

1

2

1

2 θθm

m

m

m

E

Earctg

E

Etg

Rezultantna ems je:

1

22

2

2

1ωcosθωcos

m

mmmmm

E

EarctgtEEtEte

7.7. Date su prostoperiodične struje, i1(t)=10sin(256t+π/4)[A], i2(t)=5√2cos(256t-3π/4)[A] i

i3(t)=5sin(256t+3π/4)[A]. Nacrtati fazore datih struja kao i izračunati fazni pomak između struja

а) i1 i i2; b) i1 i i3.Naći struju i4(t) ako važi da je i4(t)=i1(t)+ i2(t).

Rešenje:

6

Kako su sve tri struje iste učestanosti to ih možemo prikazati fazorskim dijagramom, slika 7.7.

Kao što je već istaknuto u prethodnom zadatku potrebno je sve struje svesti na sinusni ili na

kosinusni oblik:

Atti

4256sin101

Atttti

4256sin25

24

3256sin25

4

3256cos252

Atti

4

3256sin101

Kako je fazni stav struje i1(t) u početnom trenutku jednak π/4 rad, to se ova struja može prikazati

fazorom faznog stava π/4 rad. Struja i2(t) se može prikazati fazorom faznog stava –π/4 rad, dok

se struja i3(t) može prikazati fazorom faznog stava 3π/4, slika 7.7. Na slici inteziteti fazora

predstavljaju efektivne vrijednosti struja.

f.o.

I1

I2

I3 2/10

5

2/5I4

φ4

θπ/4

π/43π/4

sl.7.7

Fazni pomak jednak je razlici njihovih početnih faza.

a) Fazni pomak između struja i1 i i2 je:

rad244

2112

Kako smo dobili pozitivan fazni pomak između struja i1 i i2 kažemo da struja i1 prednjači struji i2

za π/2 rad, slika 7.7.

b) Fazna razlika između struja i1 i i3 je:

rad24

3

43113

Kako smo dobili negativan fazni pomak između struja i1 i i3 kažemo da struja i1 kasni za strujom

i3 za π/2 rad, slika 7.7.

8

7.9. Prosto kolo sadrži generator prostoperiodične ems e1(t)=Em1sin(ωt-π/4)[V]. U kom će

trenutku posle t=0 ems prvi put dostignuti maksimalnu vrijednost, ako je f=50Hz. Odrediti

vremenski razmak pojava maksimalnih vrijednosti ovog generatora ems i prostoperiodičnog

generatora e2(t)=Emsin(ωt+π/12)[V].

Rešenje:

I način: Na slici 7.8 su prikazane ems u vremenskom domenu.

sl. 7.8

Ems e1 dostiže svoj maksimum u trenutku t1

kada je e1=Em1 tj. za:

14/sin 1 t

msff

t 5,78

3

π2

4/π31

Ems e2 dostiže svoj maksimum u trenutku t2 za

e2=Em2 tj. za:

12/π5ω 2 t

Traženi vremenski razmak je, slika 7.8:

II način: Ems e1 i e2 postižu maksimume u različitim trenucima. Sa fazorskog dijagrama, slika 7.9

može se zaključiti da je:

3

πΔω t

Traženi vremenski razmak je:

sl. 7.9

12

Iz opšteg oblika prostoperiodične struje važi da je:

C

mmm

X

U

C

UI

ω

1

gdje je Xc=1/ωC kapacitivna reaktansa.

a)

b)

sl. 7.12 Kondenzator u kolu prostoperiodične struje:

a) Usaglašeni referentni smjerovi; b) Talasni oblik napona i struje; c) Fazorski dijagram

][1251080100

116

C

X C

Maksimalna vrijednost struje je:

Vremenski oblici struje kroz priključke kondenzatora i napona na kondenzatoru su:

c)

f.o.U

o

I