F.Bouny - Leçons de Mécanique rationnelle - T1.pdf

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MARCEL
HAYEZ
lmprimeur
de
I'Acaddrmie
Royale
da
Betgique
Ruc
dc
Lou)ain,
Ue
BRIIXELLES
Tous
Dnolrs
HÉsnnvÉs
AYANT
vI
AVÀNT-pROp0S.
tiquement
AVANT-PROPOS.
VN
de
la
YNI
AVANT-PNOPOS.
car
ils
sont
tous
équiaalents
entre
tEÇONS
DE
9
cINÉUATIOUE.
Soit
a
le
nombre
qui
mesure
ÏHÉOITIB
4
CINËIIÀTIQUB.
5.
Différenoe
géométrique.
THÉONIE
6
crNÉ:DrÀrreun.
En
représentant
par
a..
la
projection
algébrique
du
vecteur
ÀB
sur
I'axe
Oæ,
nous
écrirons
Pû(Ats
I
clNÉitÀTlous.
Projetons
successivement
sur
trois
axes
eoordonnés
8o
donc
et,
de
même,
rnÉonln
DES
vEcrEURs.
Soit
ô,
la
projeetion
algébrique
orthogonale
orienté
déterminé
par
le
t0
CINÉMATTOU8.
puisque
I'angle
0
formé
par
les
vecteurs
b
et
ô,
tt'acés
à
partir
produit
de
deux
vecteurs.
.19
clNËilÀllouB.
peut
donc
aussi
s'écrire
o
on
a
aussl
donc
et,
par
suite,
14
THEORIE
DES
VEOTEURS.
RnxrnQuns.
{6
d'où,
Y
mesurant
le
Si
a
et
F
sont
de
{:1INÉUATIOUE.
volume
du
parallélipipède,
a
"ln6ô:
S.
h:Y.
part
et
d'autre
tI
pâr
suite
THI1ORIE
DES
VEOTIiURS.
o
nbi
18
â0.
ï"onmules
diver$es.
,,11,
TIIË0nln
nES
f)iscussion.
ll.
Si
t
.'b
i:*
9,2
cINÉilIÀTIouu.
14
TIIIIOIIIE
DES
24
TIIÉ0nIE
M
26
27
L'accroissembnt
géométriqtrc
ùe
ae
la
fonction
est
Às
etlu
c[,
par
suite,
un
accroisseruent
ù,(//t,*)
28
CINÉIIIÂTiQUE.
Exnnpr.n
THIiORIE
DI'S
VECTEURS.
29
Ce
théorème
de
l'O)
At
la
dilïerence
[r,'(rn)
lIIÉONIE
le
définics
rnÉonrr
DEs
deux tangentes
est égal
ses
34
cINÉMArIouE.
Si
4
est
un
vecteur
unitaire
dirigé
suivant
la
normale
prin-
cipale
à
la
courbe
en
THÉONIE
36
CINÉMATIOUE.
ou
du"
THËORIE
DES
VECTEURS.
37
Nous
aYons
donc
dà..dzedTe
1r
.Ll
38
ctNÉMArrQUE.
23.
coordonnée
tangentielle
,, ao
plan
passant
par
les
trois
points4,
%,4.
TITÉORIE
DES
VECTEURS.
31.
Quelle
est
I'indicatrice
de
la
fonction
40
CINÉMATIQUE.
III.
rHÉohlp
Di:s
vECTEURs.
4t'
d'un
vecteur
par
rapport
à
un
point,
il
faut
connaître
42
cINÉilATIouE.
Les
projections
d*
l,
THÉORIE
DES
YECTEURS.
39.
variation
d.u
moment
résultant
lorsqu'on
ehange
de
centre
des
moments.
4
ClNËMÀ1IOUE.
Si
I'on
a
E,/40â:0
avec
d
Le
moment
du
couple
est
TnÉoRrE
DEs
46
crNÉMATrouE.
on
en
déduit,
s
étant
un
concourants
est
équi-
THÉORIE
sapport;
2"
supprimer
ou,
introduire
d,eun
uecteurs
Ttortés
par
Ia
même
droite,demêmegraruleuretdesensopposés;Soremplacer
une
série
d,e
uecteurs
concourants
par
leu,r
résttltante
ou
inuer-
sement.
on
voit
imrnédiatement
que
lorsqu'otl
applique
ces
opérations
à
un
système
de
vecteurs
quelconqtle'
on
le
transforme
etl
un
autre
qui
lui
est
équivalent'
j---
48
crNÉMangun.
45.
Théorème.
-On
peut,
par
(,e
seul
emplai
d'apérations
élémentaires,
transformer
un
sgstème
de
uecterts
quelconque
en
un
sustème
de
deuæ
aecteurs
dont
I'un
est
appl,iqué
en
un
point
arbitrairement
choisi
d'
aaance.
Soient
(lig.
lg)
o,
or,
THEORIE
DES
VECTEURS.
49
décomposons
ii
suivant
les
directions
PrP,
et
PP,
s.
4S.
Théorèrne.
50
crNÉtranoun.
THÉORIE
DES
VECTEUITS.
Par
suite,
tr,n
stlstème
de
52
cINÉuÀrIouE.
49.
Invariant
de
TnÉor.rri
ors
54
crNÉruÀTroun.
D'après
la
première
TIIÉOnIE
DEs
lorsque
les
trois
conditions
(l
5ij
crNÉilrÀrîfJuti.
58
60
THIlOirlE
DE_c
vE0TtirlRS.
fi,t
Réciproqur',rnen,t
pour
que
le
systèrue
62
clNËil,trlotlg'
2.
Vncrnuns
p.rn.l.r,lÈlEs.
THÉoRrB
DEs
yEcTEURs.
63
affectée
du
signe
plus
ou
du
signe
moins
suivant
que
la
dispo-
sition
des
vecteurs
est
positive
ou
négative.
Le
nroment
relatif
64
CIN
I'HÉORIE
DES
VHCTI.;URS.
le
moment
relatif
des
vecteurs
â
AB; soient
68
cri,iËuÀTrQtin.
sont
sittrées
dans
un
plan
æ
il
ftrtidlait
70
et
coupent
également
juguées.
On
doit
avoir
ît:uu
72
crNÉrrAli0rrn.
TIIÉORIE
DES
ÏIiC'TEUfiS.
?3
On
ptut
aussi
âirllicuer
lr.s
ftrrniulcs
lr,
74
d'oir
et
Fz
THËOITIE
DES
VECTEURS.
75
les
côtés
76
CINIiMÀ1IQUE.
5t).
lfontrer
que
si
rl,
et"
r/,
sont
lcs
NOTIONS
TB
cINÉMAIIQUE.
conque
est
alors
fixé
par
quel-
congue
on
fait
choix
d'ttn
insturtt
initial,;
I'instant
considéré
est
alors
caractérisé
par
NOTIONS
FONDAMENTALES.
On
peut
80
cI:iEtrÀTI0uB.
71..
Vitesse
dans
un
mouvement
quelconque.
NCTIONS
82
crNÉrrr.li.tQut..
t,
u*
z,
les
vecteurs
urritaires
por'ûés
suivant
les
axes,
la
coordonnét
q
de
la
projection
de
Ir[
sul
noy
est
r :
I33
Pal
délirrition,
o,
€st
la
uule.ur
algébrique
de
la
uitesse
angulaire
du
point
tlécrivant
NOTIONS
86
ctù"ËilaTr0uE.
III.
'l"OTTONS
FO:iDAIU
EIiTÀI.ES.
87
un
éLant
un
vecteur
88
crNÉMArrouc.
80.
Aceélération
NOTIONS
FONDATIENTALES.
Àbaissons
la
perpendiculaire
9û
NOTIONS
FONDAIIIENTALES.
91
la
vitesse
algébrique
est
constante,
la
direction
de
la
vitesse
92
ctNÉDrarleun.
tl
le
plan
?0,
uo.
Projetons
l'équation
vectorielle
qui
précède
sur
les
trois
âxes
coordonnés,
nous
aurons
û:1)s6te
u
:t,
96
De
ces
deux
équations
on
4
NOTIONS
{02
CINÉMATIOUE.
Donc
les
points
d'un
solide
animé
NOI'IONS
{04
ctl{
ÉM
A'r'IQUF:.
ou
encore
la
NOTIONS
FONDÀMETTALES.
{05
(3)
t
06
clNËMArrour.
f
de
I'axe
AB
celui
de
la
velticale
ascendante
et
enfbnçons
le
tire-bouchon
dans
ie
sol :
J
sera
négatif
et
0
positif.
Dans
le
mouvement
{08
crNÉilATrour.
et
en
vient
NOTIONS
FONDAMITNTÀI,ES.
{09
hélicoïdal
autour
d'un
certain
axe,
1t0
NOTIONS
ll2
clNËMÀrlCIun.
s'obtiennent
en
projetant
sur
Or
les
points
d'intersection
COUPOSITION
1t4
CINÉIIIATIOUE.
vitesse
COIIIPOSITION
DES
VITESSIIS.
Enlin,
la
vitesse
relative
4
{16
crNÉMArroug.
COMT'OSITION
DES
VITESSES.
r20
cIrEuAl't008.
avec
de
(S).
Sa
vitesse
relativenrent
à
122
crNÉMÀrroug.
COilPOSITIO.\
Ti
tp
11l
ou,
en
t1,94
clNÉMArroup.
alignement.
D'autre
OOMFOSII'ION
DES
VITESSES.
t9s
Si
le
solide
(S)
est
aninré
d'une
dans
lequel
tous
les
points
du
solide
ont
des
trajectoiles
circulaires
cle
u,niforme.
Exami-
nons
126
CINÉMATIOUE.
I'on
snppose
que
COMPOSITION
DES
YITESSES.
{28
crNûuArrQUE.
tions,
sur
les
axes
coordonnés,
d'une
des
rotations
o,
et
par
a,
b,
c
les
coordonnées
de
son
origine
COMPOSITION
430
132
cINÉMATIQUE.
COMPOSITION
1,;
t34
CINEMATIOUE.
Deunièmecas..
r,r:0
ou
p:Q-r-0,
*l'
'136
cINÉMArIouB.
Les
équations
de
I'axe
instantané
de
rotation
se
réduisent
à
E-ru:0,
q
COUPOSITION
DES
VITESSES.
{37
(1,
nn
les
trois
nouvelles
équations
u,r:
E
3i
lz:
1,
Uz:
1,
,138
CINEMÂTIQUE.
la
vitesse
de
glissement
et
le
COMPOSITION
DES
VITESSES.
139
Rrurneups.
1
40
ûrNÉMATrouE.
les
l4t
OMPOSITION
DES
VITESSES.
un
système
d'axes
rnobile
Onyz
et
142
CINEMÀTIOUE.
parallèles
à
binormale,
est
la
des
145
83.
Trouver,
par
I'application
de
Ia
méthode
de
Roberval,
une
construction
de
la
tangente
à
la
courbe
représentée,
en
coordonnées
7
r46
CINÉIIIATIOUE.
t
88.
[Jn
avion
dont
la
vitesse
propre
u,.
est
constante
décrit
une
piste
triangulaire
aBC
en
deux
heures
cinq
minutes.
Le
triangle
aBC
est
équilatéral,
la
longueur
d'un
dôs
COilPOSITION
DES
VITESSES.
t47
91.
E:1,rs:-1,
(:0;
f):0,
8:4,
T:1.
pE
COMPOSITION
DES
VITESSES.
149
g&.
Les
vitesses
des
différents
points
d'une
droite
d'ttn
solide
animé
d'un
mouvelnent
quelconque
sont,
à
un
même
instant,
toutes
parallèles
à
un
même
Plan'
Plan
perpendiculaire
à
Ia
conjuguée
de
la
droite
donnée.
95.
150
crNÉilArrouu.
des
axes
hélicoïdaux
est
une
surface
réglée
dont
le
plan
directeur
est
parallèle
à
AB
et
à
la
conjuguée
de
AB
cette
surface
admet
la
perpen-
diculaire
commune
à
ces
deur
COMPOSITION
DES
VITESSES.
{6{
Portons
une
longueur
llMt
It2
cINEÙrATl0UE.
CHAPITRE
IV
Composition
des
accélérations.
r.
coilposlTloN
DES
^CCÉLÉRATI0NS.
1S3
tives
fr,
a,
z,
a
pour
projections
sur
les
axes
mobiles
t84.
CINÉIIATIQUE.
Représentons
pâr
fryr
fçy,
fcz
les
projections
:*t
#à
+,/t'
lJt'
e
COIIIPOSITION
DES
ACCELÉNÀTIONS.
{55
d'ôù
d"%
dro
{56
clNÉMÀrIouE.
les
projections
de
I'accélération
absolue
sur
les
axes
qgLi-I"-e-s
sont
ton:
lj
*q(-rïl+
#^-Ha
158
CINËUATIOUE.
Le
vecteur
COIIPOSITION
DES
ACCÉLÉRATIONS.
gue
.g,
a
le
sens
du
vecter,r
QP.
De
160
CTNÉiTATIOUE.
rapport
au
second
disque
pendant
que
eelui-ci
tourne
unifor-
On
voit,
par
un
raisonnement
r
que
I'accélZration
p
V
r*
de
M
COMPOSIÎTON
DSS
ÀCCÉLËRATIONS.
Son
accélération
t62
COMPOSITION
DES
ÀCCÉLÉNATIONS.
la
vitesse
I
est
celle
t64
CINÉilATIOUE.
Prenons
un
système
auxiliaire
animé
d'une
translation
paral-
COMPOSITION
DES
ACCÉLÉRATIONS.
t6s
de
t66
crNÉMÂrreun.
183.
Exercices
99
à
104.
COHPOSTTION
DES
ACCÉLËRÀTIONS.
167
t02.
Dans
urr
solide
en
mouvement,
les
points
qui,
168
CINElIATIOUE.
CHAPITRE
V
Muvement
d'un
solide.
I.
MOUVEMENT
D'UN
SOLIDE.
r69
autour
du
poinl
A,
âvec
une
770
I
Annr,rcarroN.
centre
instantané
de
rotation,
dont
les
coordonnées
uouvEMENT
D'uN
soLtDE.
ltl
avec
le
centre
irrstantané
de
rotation.
Les
vitesses
absolue
et
relative
17ll
orNÉMÀ'nour.
instantané
MouvEuENT
n'uN
soLtln.
l?3
instantané
de
rotation
'd
CINÉMATIOUE.
gueur
MO,
Ies
cosinus
directeurs
ITOUYEMENT
D'UI{
SOLIDE.
tt6
CINÉilATIQUE.
si
notre
hypothèse
sur
le
sens
de
la
concavité
de
la
roulette
n'est
pas
vérifiée,
la
projection
de
,.p
sur
ilIA
ITIOUYEIIIENT
D,UN
r
connue
sous
le
nom
178
CINËMÀTIQUE.
d,e
Sauary,
"S-dgdU't
l.q
qgrytt".gti"+
-fgi"?
courbure
{80
CINÉMATIOUE.
vitesses
absolue
et
relative,
IlrouvEMENT
T
géuératrice
de
contact
EF
{82
CINETIATIOUE.
Les
deux
}IOUYEÛIENT
D,UN
S(II,IDE.
Ûne
des
extrémités
O
de
t84
CINÉMATIOUE.
située
dans
la
posi
n
[I'H
ou
dans
la
position
svmétrique
lorsqu'on
ramène
la
r
't86
cINÉiuArIQUE.
Il
faudrait
encore
dans
ces
formules,
cornme
dans
les
forrnules
({7)
et
(18),
remplacer
d
par
MOUVEIîIENT
D'UN
SOI,IDE.
,T87
X
48.
Base
et
roulante.
,l88
CINËilTATIOUB.
celles
correspondant
trTouvEMENT
D'uN
sollnr.
189
Considérons
le
cas
oir
I
est
constant.
dz%*
Frl3r
lg2
cfNÉMÂlrour.
animé
{e{
CtNÉMATIOUE.
tïlr*.
hélicoïdal
instantané.
La
trajectoire
relative
de
P
est
une
courbe
(Cr)
MouvElIENr
D'uN
solton.
{97
nous
obtenons
quatre
équations
qui
nous
permettront
de
calcu-
t98
crNÉnrArroun.
Transportons
normale
à
la
roulante.
Rép.
I
IIIOUVEMNNT
200
202
CINÈITATIOUE.
MOUYÊMENT
D'UN
SOLIDE.
cos
Y
COS
C[
UOUVEIIENT
D'UN
SOLIOE.
s0s
-6r,
h
la
plus
courte
hélicoïdal
du
mouvemenl'
distance
des
arbres.
Les
équations
de
I'axe
de
AB
par
rapport
à
I'arbre
CD
sont
206
crNÉMATlouE.
instantanée
DEUXIEIITE
PARTIE]
STATTQUE.
OTIAPITRE
208
srÂrrouE.
fournie
par
la
e
É;.rÉulltrus.
209
toutes
les
conséquences
qu'on
El0
sTATr0uE.
Pnrxcpn
ll.
212
srArreua.
D'autre
part,
le
nrasses des
cÉnÉnll.trtls.
st3
ri'oit
0i,
21,4
sTATr0ul.:.
GÊNÉRALITÉS.
On
peut,
sans
modifier
I'efiet
des
forces
agissant
sllr
un
point
nratériel,
appliquer
à
la
corrposition
et
à
la
décomposi-
fion
tle
ces
9r6
STÀTIQU
il
cÉriÉnrltrÉs.
I)'après
la
forrnule
générale
liant
la
exisl.e,
entre
h\
masse
ru
d'utt
corps
et
2t7
220
toutr:
la
nrécanique.
q6'6)
la
rnasse
û'un,
Quclle
sera
la
la
rrrasse
tl'un,
()n
cÉr
tiue
l,lr
Ës.
I-'uuité
lX.
ril;îiâ
,i-
;t*;*'*
or,r,or*
t
226
sTÀTl0uE.
$p-ryr.r.nquns.
de
I'accélé-
ration
de
la
pesanteur.
Le
poids
cÉrcÉn,rLtrÉs.
221
Rép. :
la
valeur,
eu
Rép. :
139.
Déterminer
les
mesures
en
M.T.S.,
2?8
srAT
lotrr.
ËOUILIBNE
DU
PTIINT
ET
230
STATIOUE.
résultante
de
trois
{brces
quelconques
appliquées
à
un
point
matériel
est
la
diagonale
du
parallélipipède
.*.'lr'''i:"";;1i{
quô'le
rnoûlen[
résultant,
pal'
r'apport
à
I'oligirte,
des
compo-
santes
est
égal
au
motnent
de
la
résultante
par
rapport
au
même
point.
S'il
y
oao
STAJ'IOUE.
trouver
les
conditions
que
cloil'ent
appliquées
pour
que
les
liaisons
tions
qui
les
annulent.
renrplir
les
forces
dir.eeternent
pnissent
développer.
rles
réac-
"d
1-
Éputr.tur,n
liu
ponir
LT
234
STATICIUE.
Les
cosinus
directeurs
Éoun
236
srAl'Ieur.
Si
le
IJQUILIBRT]
DU
POIIiT
ET
DES
SYSTEMES.
237
Dans
ces
formules,
150.
Trois
folees
agissant
sur
un
même
point
O
et
ayant
pour
extrérnités
trois
points
ÉQUILIBRE
DU
pOINT
ET
DES
SYSTÉilES.
239
peul,
écrire
approximativement
210
srArrQUE.
I'angle
clu
fil
et
de
I'axe
lorsque
le
point
ÉQutttsnn
DU
PoINT
nt
uns
sYSTËMES'
241
quée
en
F,
oil
demande
242
S'I'ATIQUE.
Il
suffit
de
remplacer
Ée
par
sa
valeur;
on
peut
ÉouIl,tsnn
DU
PoINT
ET
244
STÀTIOUE.
164.
STÀTIQUE
DES
SOI,IDES.
CHÀPITRE
III
Statique
d
es
solides.
I.
246
pouruu,
STÀTIQUE
DES
SOLIDES.
248
srarreun.
sTÂTr0uE
950
srATrQUE.
quer
en
un
point
arbitraire
O
252
srArloun.
droite,
STÀTIQUE
DES
SOLIDES.
953
points
M'
Mr,
Mr,
M4.
A
partir
d'ttn
point
arbitraire
A'
on
trace
la
ligne
polvgonale
ArArA3AlAo,
dont
les
côtés
sont
des
vecteurs
égaux
aux
f,orces
données.
La
résultante
R
des
forees
est
donc
R
284
STATIQUIl.
d'une
force
a
1
t
r'"1
fq
STATIOUE
DES
SOLIDES.
95S
et
dq
sign_e_
ç
sraTrQUE
DES
SoLrr.tES.
957
mune
des
elles.
Les
958
La
ou
srAlr0uE.
seconde
éguation
peut
s'écrire
({e)
Toute
STÀTIQUE
DES
SOLIDIS.
259
parallèles
s'obtiennent
269
srarrour.
STATIOUE
DES
SOLIDES.
263
IV.
bd
STATIOUE.
où
p
mesure
la
STÀTIOUE
DES
SOLIDES.
287
268
Cherchons
le
Nous
âvons
d'où
STÀTIOUE.
centre
de
gravité
STATIOUE
DES
SOLTDES.
Coxroun
D'uN
IRIÀNcLE.
Soient
(fiS.
milieux
270
STATr0uE.
centre
de
STATIQUE
DES
SOIIDES.
ùl
272
srÀrlout.
bases
ÀB:
STATIOUE
DES
SOLIDES.
213
différents
secteur*
É#
découpent
271
STATr0uE.
de
plans
parallèles,
on
voit
qu'on
est
ramené
STATIOUE
DES
SOLIDES,
276
et
BCH,
Pynmrron, côNn.
STATIQUE.
contours
de
ces
v.-
'T
,Z
)n
-.-ê'-a'
t-'
218
donnée
est
la
linrite
de
la
suites
de
points
matériels.
Posons
(sr
STATIOUE
DES
SOLIDES.
Par
conséquent
rr-l- -
280
Il
vient
donc
STATIOUE.
t,_
ds:
nVn
srÀrrouE
DEs
soLIl)ES.
281
Il
282
srArrouE.
et
détermine
STATIQUE
lélogramme
construit
sur
ces
surface
do.
On
a
donc
lr
284
STATIQUE.
parallélogramme
curviligne
STATIOUE
DES
SOLIOES.
985
Par
suite,
* p'*
qz
drdy
286
STATIOUE.
ùr
w0
STATIOUE
DES
288
srArreup.
Le
lecteur
calculerà
lls
et
zo
comme
exercice.
Il
pourra,
de
plus,
sTATtouB
DES
SOLIDES.
289
Coupons
le
volume
(fig.
80)
par
des
plans
infiniment
voisins
parallèles
290
STATIOUE.
Si
le
.l',,".
.t
en traçant
292
srÀrloun.
Cherchons
fR
lllxanaldr,:l
dn
I
aa
I
xttx
STÀTIOUE
DES
SOLIDES.
993
L'élément
de
volume,
compris
entre
STÂTIQUE.
STATIQUE
DES
SOLIDES.
995
P,?1.
Applications.
s96
STATIOUE.
2?
sun
uNE
LrGNE
ou
suR
uNE
suRFÀcE.
On
ne Dasse Das Dâr
surface
et
d'intensité
quelconque.
Lorsque
le
point
M
du
STATIOUE
DES
SOLIDES.
297
$o
298
STATIOUE.
'Le
mouvcment
de
Ia
surface
est,
en
résumé,
tan
commun; elle
correspond au
roulement proprement
.d.
,f-
{
300
srÀrrQUE.
t'?28.
Étements
connus
et
inconnus
des
forces
STATIQUE
DES
SOLIDES.
liaisons
sont
sintultanén:cnt
imposées
à
un
mème
solide,
llotis
q{ry"e- t"{-o*$^syg*J9i:*1*9"llgH*gsg:**Leiqg** g3l;'lY"Lqçe*b]p:**
a:J:vst:pps.
"1e*
Cônsidérons
un
solide
astreint
à
une
ou
plusieurs
liaisons
simultanées.
Les
forces
extérieulel3gtssant
302
s.rArrouE.
considère
comme
inconnues
les
élérnenl,s
inconnus
des
fc:.ces
de
liaison.
Lorsque
les
conditionr
(3)
sont
satisfaites,
ces
élé-
ments
peuvent
être
calculés
de
façon
à
vérifier
les
équa-
tions
STATIOUE
301
STATIOUE.
que
la
surface
du
solide
et
la
surface
d'appui
srÀrrQUE
DES
S0LTDES.
305
culaires
à
Oûi
les
projections
de
0rO,
est
alors
poinl,s
O1
et
Û,
peuven[
êûre
quelconqttes.
'L,'r,
que
cinq
relations.
STÀTTQUE
DES
SOLIDES.
307
calculer
Xl,
*
.ë
Ê:".
ù'
-,p-
319
s1A'ilQiit).
STÀTIQUE
3'1,4
3r6
STATIOUE.
sphérique.
La
tige
repose
par
STATIQUE
l)ES
S0LII)ES.
r.éduisent
aux
trois
équations
est en
STATIOUE
320
STATIQUE.
QO,)
slA't'tQIlE.
cher
les
STATIQUE
DES
SOLIDES.
323
{85.
lo
Rép.
STÀTIOUE
DES
SOLIDES.
325
Les
398
de
la
sphère
demande
la
qu'il
forme
sa
position
tension
sYSTÈtttES
dn sYstème.
330
STATIQUE.
Pour
que
Ie
groupe
t
.FJ
L,;
Lz:r('I
znt
* Zri,l.
t
Si
ces
332
STATIOUE.
du
plan
srsTÈùrES
nÉrorrursLns.
333
Toutes
les
forces
étant
dans
un
334
STATIQUE.
SYSTÈMES
336
STAI'IOUE.
La
fixité
rtru
point
hI,
joue
ie
mênre
rôle
qu'une
force
F.,
égalc
SYSTË'UES
DÉFORMAELES.
polygone
funiculaire,
est
le
suivant
: un
fil
affectant
la
forme
d'un
338
srArrQUE.
correspondent
au
sens
de
circulation
ÙIlilIzMB
tI5 Mô.
i**
sYSTÈMES
nÉronltlnlrs.
339
qu'il
y
a
équitibre).
Soit
AA,
340
I'on
représente
par
frr,
U;,
polygone
349
srArreun.
suivantes.
Il
faut
et
il
suite.
Ftc.
96.
3t4
"W.-.
sées"-_dgnq_di1igées
g_g-l_vqnt
la
barre,
_qqi
pgUt
*qlfg"ql
_e.
rg
tutfu
oWée.
Les
actions
des
bames
sur
3n
d'équilibre
des
n
næoâï
conduit
à
sin
équationil
qui
STSTEIIIES
348
STATICIUE.
comme
suit
portion du
362
srArroun.
Dans
le
cas
Fds
354
par
suite,
STATIOUE.
courbe
funiculaire.
Représentons
pour
cela
par
F'
Fn
et
F1
les
projections
de
F
sut
ces
.Jaio
donc
ou
encore
STATTQUE.
sYSTÈuES
DEFoRuAtsLEs.
357
SYSTÈIIIES
360
par
suite,
S?ÀTIQUE.
hd,y'
STSTEiIIES
DËFORIIIABLES
Pour
le
point
SYSTËMES
DÊFORMABLES.
363
364
sTATrouE.
Supposons
les
points
d'attache
à
égale
hauteur
et
366
srArloun
données
Fr,,
Frr,
...; Fr'
Frr,
Trouver
Ies
conditions
d'équilibre
du
système
et
368
STATIOUE.
vcrs
le
bas,
on
doit
STSTÊÙIES
DÉFÙRMABLES.
206.
Pour
supporter
un
plancher
longues
que
la
tlistance
entre
les
370
on
demande
si
le
polygone
tensions
srsrÈMES
nÉronxlnlns.
37t
210.
Déterminer
les
conditions
graphiques
d'équilibre
d'un
polygone
funiculaire
372
STÀTIOUE.
sYSTÈMES
nÉponma
RLr:s.
0n
passera
374
STATIOUE.
sYSTËMES
nÉronu,rnlrs.
375
Ou
encore,
si
s
376
et
Finalement
2y:l
u
:V
u'-
SYST
EIIES
DEFOITHABLES.
377
I
3?8
COMPLÉITIENTS
DE
382
STATIOUE.
Les
COMPLÉIIIENTS
DE
CÀLCUL
YECTOBIEL.
On
peut
écrire
aussi,
symboliquement,
383
It+
u2
lla
t+
u2
lta
I
^l
384
STATIOUE.
Le
rotationnel
tle
la
vitesse
est
donc
le
double
COMPLEMENTS
DE
CALCUL
YECTORISL.
385
En
effet,
t),:/4u,8,
386
s'tArlQun.
Soit
E
la
fonction
veetorielle
dont
les
projections
sont
COMPLÉMENT.q
COIUPLÉMETiTS
DE
TÀLCUL
YECTORIEL.
389
La
première
intégrale
est
étendue
à
un
volume
V
situé
dans
le
domaine
considéré
et
la
seconde
à
la
surface
fermée
S
qui
limite
le
volume.
Dans
la
seconde
intégrale,
a,
P,
1
représentent
les
cosinus
directeurs
de
la
normale
à
la
surface
dirigée
uers
l'eætérieur
du
volume.
Désignons
par
n
u
{bnction
vectorielle
dont
390
sTATtouE.
on
applique
Ia
forrnule
(39)
décroisse
indéfiniment
en
conver-
COMPLÉMENTS
DE
CATCUL
VECTONIEL.
39{
mobile
et
une
surface
S
ayant
pour
contour
l.
On
connaît
la
formule
de
Stokes
392
srA.rloun.
la
première
hypothèse,
à
la
même
formule
éuite
394
STATIQTE.
On
verrait
de
même
que
.ur,
396
srÀrr0un.
satisfaisant
aux
relations
(15_)
et
COMPLÊIIENTS
DE
CÀLCUL
YECTORIIiL.
397
sin
398
coMpLÉMENTS
400
srÀrlouu.
Si
la
fonction
linéaire
est
donnée
pâr
ses
projections
sur
trois
axes
rectangulaires,
c(IilPLÉilENTS
DR
la
forme
402
srAlrpun.
Donc
COMpLÉUENTS
DE
404
soit,
COMPLÉIIIENTS
DE
CALCUL
VECTONIEL.
405
129O.
Théorème.
406
STATIOUE.
Si
t
représente
le
Les
formules
(.34)
et
(3;))
408
srarrgug.
si
le
point
0OMpLÉMENTS
410
STATIOUE.
il
suffit
d'étudier
les
propriétés
de
COUPLÉUENTS
DE
CALCUL
VECTORIEL.
4tl
Les
droites
4t2
STATIOUE.
COMPLÉMENTS
DE
CALCUL
VECTORIEL.
D'après
4t4
STATIOUE.
4t6
STATIOUE.
plan
passant
liar
ArAr,
sur
une
courbe
dont
I'espace
| | t
(DunDt',
TOMpIÉMENTS
DE
CALCUL
VECTONIEL.
4I1
229.
A
un
instant
donné,
l:à.m:b,i:ô?
418
STATIOUE
233.
Si
e?:
t(ir)
COMPLËIIENÎS
DE
CALCUL
VRCTORIEL.
o.,
i
bU
*ôa
lorsqu
eàl'lOc:
$ xvgç
,/,/bè:
//ûcA:
Jlâdl:0
420
srArloug.
Si
J
est
soit
perpendiculaire
à
â;
dans
ce
dernier
cas
Q7:0.
couprÉlIENTS
422
srAueup.
Le
COUPLÉXENTS
DE
CALTUL
VECTONIEL.
424
STÂTIOUE.
CHAPITRE
VI
Travail.
I.
426
srArrQUE.
t2
le
TRÀVAIL.
421
L'unité
C.
G.
S.
428
STÀTIQUE.
TRAVAIL.
429
En
remplaçant
dans
(7),
Gu,
on
est
ramené
43{}
srATIouE.
TnÉonÈnrn.
TRAYAIL'
431
La
fonction
u
(*, y,
432
srArloug.
3.
Si
I'on
supprlrê
Le
rotationnel
de
la
force
doit
être
nul.
C'est
la
condition
cherchée.
Ellc
est
identique
à
434
Cette
ligne
rencontre
donc
436
srÂrloup.
gonale
de
TRAVAIL,
437
438
srArrCIuE.
du
signe
plus
oa
du
signe
rnohts,
suivant
qu'elle
est
répulsiue
ou
attractiue,
TRÀVAIL.
439
Supposons
U
manimu,In
en
410
s
fÀTIQUE.
fermés.
0n
pourra
consulter
à
ce
propos
TRÂVAIL.
441
La
fonction
de
force
plan
N0:
et
du
442
STATIOUE.
Rnulneun
Pour
les
points
situés
sur
Oz,
X
et
Y
sont
TRAVÀIL.
443
(?8)
ou
Y
nrl7n
I
Zrd,xr+
dlJ (nr
444
STAI'IQUE.
de
la
{bnction
tles
tbrces
cliangée
de
signe'
Dans
tout
déprlace-
ment
du
système,
Ie
travail
déveioppé
par
les
TRAVAIL.
446
STÂTIOUE.
TRÀVÀ11,.
44i
',.i
316.
Cas
particuliers.
lo
Sortur:
ÀYANr
uN
PoINr
rrxn.
On
choisit
le
point
fixe
0
pour
origirre.
Les
for-
nrules
(32)
et
(33)
se
r'édulsent,
alors
à
p
448
srArloug.
Prenons
TRAVAIL.
449
(4)
la
valeur
numérique
m'
est
r
319.
Potentiel.
fntensité
du
champ
Soienr
rIù1,
rn2,
'tTt3r
450
On
appelle
intensité
champ
qui
solliciterait
point.
On
TRAVAIL.
461
olo
Si
I'on
trace
une
courbe
quelconque
dans
le
champ
et
si
l'on
représente
par
s
I'abscisse
curviligne
d'un
point
un point
152
srArrQUE.
positif,
rnÀvArL.
453
boucles
formées
par
Vn,
renferme
484
STATICIUE.
Dans
un
champ
uniforme
les
tubes
de
force
sont
des
cylin-
TRAYATL.
455
ee
volume.
Dans
le
premier
cas,
on
obtient
le
flux
total
sortant
456
sTATIQUE.
clO:0;
tl'où,
ff
q):
o
:J
J
Hn
oo
458
slArro(rn.
contenant
aucune
rnÀvAIL.
459
ou,
si
;1
est
le
vecteur
unitaire
normâl
à
S,
et
opposé
460
STATIQUE.
Bn
effet,
Y
TNAYAIL.
46L
les
actions
mutuelles
si
I'on
462
STÀTIOUE.
Si
l'agent
est
réparti
d'une
manière
TRAVAIL.
463
une
intégrale
ueclorielle.
Ces
intégrales
peuvent
être
simples,
d,oubles
ot
triples,
suivant
qu'il
s'agit
d'une
ligne,
d'une
surface
ou
d'un
uolume.
Soient
t; *,,
464
STATIOUE.
dérivation,
pâr
rapport
à
fr,
A
et
z,
En
additionnant
ces
formules,
on
trouye
I'équation
de
Laplace
(9).
Remarquons,
d'ailleurs,
que,
puisque
nous
TRAYAIL
465
mules
n'ont
pas
466
slÀrreug.
il
suflit,
pour
calculer
ces
dérivées,
de
remplacer
dans
(tg)
cos
0,
et
cos
0,
par
leurs
valeurs
en
fonction
de
n
et
de
q
Si
468
srarrour.
Si
la
surface
TRAYÀIL.
469
Différentions
la
formule
(18)
en
y
considérant
r
comme
une
fonction
de
0
470
-2"
Le
point
M
onâ
STATIOUE.
est
une
sphère
de
raYon
OM
Mais,
dans
472
srartgug.
champ
sur
cette
normale
sera,
si
nous
désignons
par
TRÀVAIt.
4T3
Rnnr,r.nguns.
le
point
ltr
traverse
la
partie
agissante
elle-même.
2.
Si
le
point
I'I
traverse
J1
f
474
STATIOUE.
homogène
quelconque,
la
même
variation
brusque
htnhp
de
la
TRAVÀIL.
en
476
STATIQUE.
La
composante
normale
de
qu'il
faut
faire
la
constante
égale
à
zéro.
TRAYATL.
477
nF387.
I)ouble
couche.
tr'euillet.
418
STATIOUE.
Cette
formule
s'écrit
TRAVÀIL.
479
Considérons,
par
480
srArr0uE.
Si
le
482
srArIQUu.
TRAVAIL.
483
(tt4)
(t;5)
ift,i.
484
STÀTIQUE.
Mais,
4fi6
srArrourl.
Par
conséquent,
dâns
un
volunre
sphérique
homogène,
rayon
sulfisamment
petit
pour
que
nous
puissions
considérer
dans
cette
TRAYAIL.
487
Prenons
la
div

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F.Bouny - Leçons de Mécanique rationnelle - T1.pdf