全国学力・学習状況調査にみられる課題とその手立て

〜教科書を活用した指導のポイント〜

A問題①　式の値②　方程式の活用③　円柱と円錐の体積④　証明の意味⑤　正多角形の内角の和⑥　関数の意味⑦　1次関数の式の表し方⑧　2元 1次方程式のグラフ⑨　相対度数⑩　確率

B問題⑪　連続する自然数の和⑫　碁石の総数⑬　図形の証明⑭　Tシャツのプリント料金

CONTENTS

中学校 数学

─ 1 ─

①　式の値　〈1年2章　文字と式〉

正 答 率

38.3％

81

節

いろいろな整数を，文字を使った式で表そう。

右の にあてはまる数を求めて

みましょう。

xを1から9までの整数，yを0から9までの整数とすると，十の位の数が x，一の位の数

が yの 2桁け た

の自然数は，10x＋yと表すこと

ができる。

十の位の数が a，一の位の数が 3である 2桁の自然数を，文字を使った式で表しなさい。

xと yがともに 1桁の自然数のとき，十の位の数が x，一の位の数が yで

ある 2桁の自然数を xyと表してはいけない理由を説明しなさい。

倍数の表し方

　nが整数のとき，2nはどんな数を表しているかをいいなさい。

　nが整数のとき，2nは 2×（整数）だから，2の倍数，すなわち偶ぐ う

数す う

を

表している。

nが整数のとき，次の式はどんな数を表していますか。理由もあわせて

説明しなさい。

⑴　3n ⑵　7n ⑶　2n＋1

nが整数のとき，次の㋐～㋒の中で，いつでも奇き

数す う

になる式を選びなさい。

㋐　n－1 ㋑　2n－1 ㋒　2（n＋1）

式の活用1

Q

たし 1かめ

p.274 29補充問題

伝えよう

問 1

例題 1

解答

たし 2かめ

p.275 30補充問題

問 2

13＝10× 　＋1×3

20＝10× 　＋1×0

74＝10× 　＋1×4

10x＋yのxとyに1桁の数を代入して確かめてみよう。

5

10

15

20

3 1 式の活用式の活用

1年_2-3-1_式の活用.indd 81 2015/08/24 13:25

1年・文字と式　p.81

68 2 章　文字と式

式の中の文字を数に置きかえて，数量の値を求めよう。

空気中を伝わる音の速さは，そのときの気温に

よって異なる。気温が x℃のとき，音が空気中を

伝わる速さは，ほぼ秒速（331＋0.6x）mで表される

ことが知られている。

気温が 20℃のとき，音が伝わる速さを求めるには，文字 xを 20 に置きかえて計算するとよい。

331＋0.6x ＝331＋0.6×20＝343

このことから，気温が 20℃のときの音が伝わる速さは，秒速 343mであること

がわかる。

次の気温のとき，音が伝わる速さを求めなさい。

⑴　10℃ ⑵　0℃ ⑶　－5℃　　

上の音が伝わる速さを表す式で，xに 25 を代入したときの式の値を求めなさい。また，その式の値はどんな数量を表していますか。

式の値

　a＝－3 のとき，次の式の値を求めなさい。

⑴　3a＋4 ⑵　－a ⑶　 12a ⑷　a2

⑴　3a＋4＝3×（－3）＋4 ⑵　－a＝－（－3） ＝－5 ＝3⑶　 12

a＝ 12－3 ⑷　a2＝（－3）2

＝－4 ＝9

式の値5

たし 1かめ

p.273 14補充問題

式の中の文字を数に置きかえることを，文字

に数を 代だ い

入にゅう

する という。

また，代入して計算した結果を，その 式し き

の値あたい

という。

　331＋0.6x　代入＝331＋0.6×20＝343

　　　　　式の値

問 1

例題 1

解答負の数を代入するときは，（　）をつけるといいね。

5

10

15

20

25

1年_2-1-5_式の値.indd 68 2015/08/24 11:58

1年・文字と式　p.68

　　 正　　答　

0，78，100

　　 誤 答 例　

78，1000 は 2aで表すことができないと考えたり，

整数に 0 が含まれないと考えたりしたものと考えられる。

　課題と指導のポイント　

文字の値が整数のときに，式の値について考察することに課題がある。指導にあたっては，文字のとりうる値の範囲の理解を深め，式の値をもとにして文字の値を求め，それが数の範囲にあてはまるかどうかを判断することも大切である。

1 年・文字と式で，式の中の文字に数を代入し，その計算した結果を式の値ということを学習している。さらに，n が整数のとき，2nが偶数を表していることも学習している。

文字の値が整数のときに，式の値について考察することができるかどうかをみる。

中数Ａ−4

（３） a を整数とするとき，式 ２a で表すことのできる数を，次の中からすべて選びなさい。

０　　１　　３５　　７８　　１００

（４）「１個 a 円の品物を２個買ったときの代金は１０００円より安い。」という数量の関係を表した式が，下のアからオまでの中にあります。正しいものを１つ選びなさい。

ア　２a ≦１０００

イ　２a ＜１０００

ウ　２a ＝１０００

エ　２a ＞１０００

オ　２a ≧１０００

出題の趣旨

─ 2 ─

②　方程式の活用　〈1年3章　方程式〉

　　 正　　答　

ウ

　　 誤 答 例　

イ方程式の解の吟味の必要性と意味を理解し

ていないと考えられる。

　課題と指導のポイント　

方程式を活用した問題解決において解の適否を調べる方法についての理解に課題がある。指導にあたっては，解の意味を検討する場面を設定し，方程式の解の吟味の必要性を理解できるようにすることが大切である。

1 年・方程式で，弟が姉を自転車で追いかける場面を設定し，弟が姉に追いつくかどうかを調べている。

1年・方程式　p.115

出題の趣旨

正 答 率

49.8％

1152 節　方程式の活用

等しい関係にある数量を見つけて，

方程式をつくってみましょう。

つくった方程式を解いて， ? の答えを求めてみましょう。

? で，姉が家を出発してから 12分後に，弟は家を出発して姉を追いかけたとすると，姉が駅に着くまでに，弟は姉に

追い着くことができますか。

下の表の をうめ，考えてみましょう。

方程式を使って問題を解決するとき，方程式の解が問題に適さないことがあります。

したがって，方程式の解をそのまま問題の答えとはせずに，解が問題に適しているか

どうかを確かめる必要があります。

? で，条件をいろいろと変えて，それぞれの問題の答えを求めてみましょう。

3

4深めよう

5

家

姉

弟

700m

12 分間に歩いた道のり

駅

速さ（m/min） 時間（分） 道のり（m）

姉

弟

広げよう

6

駅は家から何m離れたところにあるかな？

追い着くということはどういうこと？

弟が 10分後に分速 120mで走って追いかけると…

5

10

1年_3-2-1_方程式の活用.indd 115 2015/08/24 13:47

1152 節　方程式の活用

等しい関係にある数量を見つけて，

方程式をつくってみましょう。

つくった方程式を解いて， ? の答えを求めてみましょう。

? で，姉が家を出発してから 12分後に，弟は家を出発して姉を追いかけたとすると，姉が駅に着くまでに，弟は姉に

追い着くことができますか。

下の表の をうめ，考えてみましょう。

方程式を使って問題を解決するとき，方程式の解が問題に適さないことがあります。

したがって，方程式の解をそのまま問題の答えとはせずに，解が問題に適しているか

どうかを確かめる必要があります。

? で，条件をいろいろと変えて，それぞれの問題の答えを求めてみましょう。

3

4深めよう

5

家

姉

弟

700m

12 分間に歩いた道のり

駅

速さ（m/min） 時間（分） 道のり（m）

姉

弟

広げよう

6

駅は家から何m離れたところにあるかな？

追い着くということはどういうこと？

弟が 10分後に分速 120mで走って追いかけると…

5

10

1年_3-2-1_方程式の活用.indd 115 2015/08/24 13:47

1152 節　方程式の活用

等しい関係にある数量を見つけて，

方程式をつくってみましょう。

つくった方程式を解いて， ? の答えを求めてみましょう。

? で，姉が家を出発してから 12分後に，弟は家を出発して姉を追いかけたとすると，姉が駅に着くまでに，弟は姉に

追い着くことができますか。

下の表の をうめ，考えてみましょう。

方程式を使って問題を解決するとき，方程式の解が問題に適さないことがあります。

したがって，方程式の解をそのまま問題の答えとはせずに，解が問題に適しているか

どうかを確かめる必要があります。

? で，条件をいろいろと変えて，それぞれの問題の答えを求めてみましょう。

3

4深めよう

5

家

姉

弟

700m

12 分間に歩いた道のり

駅

速さ（m/min） 時間（分） 道のり（m）

姉

弟

広げよう

6

駅は家から何m離れたところにあるかな？

追い着くということはどういうこと？

弟が 10分後に分速 120mで走って追いかけると…

5

10

1年_3-2-1_方程式の活用.indd 115 2015/08/24 13:47

方程式を活用して問題を解決する手順のうち，求めた解がはじめの問題の答えとして適切なものであるかどうかを調べることについて理解しているかどうかをみる。

中数Ａ−7

（４） 次の問題について考えます。

問題

家から１８００ｍ離れた駅に向かって，妹が家を出発しました。兄が妹の忘れ物に気づいて，妹が出発してから１５分後に，同じ道を自転車で追いかけました。妹は分速７０ｍ，兄は分速２２０ｍで進むとすると，兄が妹に

追いつくのは兄が出発してから何分後ですか。

この問題は，方程式を使って次のように解くことができます。

解答

兄が出発してから x 分後に妹に追いつくとすると，

妹に追いつくまでに兄が自転車で進む道のりは２２０x ｍ，兄に追いつかれるまでに妹が進む道のりは７０（１５+ x ）ｍと表すことができる。

これらの道のりは等しいので，２２０x ＝７０（１５+ x ）

この方程式を解くと，２２０x ＝１０５０+７０x１５０x ＝１０５０

x ＝７x ＝７のとき，つくった方程式の左辺と右辺の値は１５４０となり等しいので，x ＝７は方程式の解である。

兄が出発してから７分後までに兄と妹が進む道のり１５４０ｍは，家から駅までの道のり１８００ｍより短いから，兄は妹が駅に着く前に追いつくことができる。

よって，兄が妹に追いつくのは兄が出発してから７分後である。答７分後

中数Ａ−8

前ページの解答で， の の部分では，問題の中の数量を，文字を用いた式で表しています。

解答の の の部分では，あることがらを調べています。そのことがらについて正しく述べたものを，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。

ア　方程式が，等しい関係にある数量を用いてつくられているかどうかを調べている。

イ　方程式から得られた値がその方程式の解であるかどうかを，その方程式の両辺にその値を代入して調べている。

ウ　方程式の解を問題の答えとしてよいかどうかを調べている。

エ　つくった方程式を，等式の性質などを用いて正しく解いているかどうかを調べている。

─ 3 ─

　　 正　　答　

エ

　　 誤 答 例　

イ底面積と高さがそれぞれ等しい柱体と錐体

の体積の関係を，底辺と高さがそれぞれ等しい四角形と三角形の面積の比 2：1 と同様にとらえていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

円錐の体積を，底面が合同で高さが等しい円柱の体積と関連づけて理解することに課題がある。指導にあたっては，柱体の体積と錐体の体積との関係を予想し，その予想が正しいかどうかを，模型を用いた実験による測定を行って確かめる活動を通して，柱体と錐体の体積の関係を実感を伴って理解できるようにすることが大切である。

1 年・空間図形で，角錐や円錐の体積は，底面積と高さが等しい角柱や円柱の体積の であることを学習している。13

③　円柱と円錐の体積　〈1年6章　空間図形〉

1年・空間図形　p.224〜225

出題の趣旨

正 答 率

39.8％

（４）下の図は，円柱，円錐すい

の形をした容器です。それぞれの容器の底面は合同な円で，高さは等しいことがわかっています。この円柱の容器いっぱいに入れた水を円錐の容器に移します。

このとき，下のアからオまでの中に，円柱の容器に入っていた水と�同じ量の水を表している図があります。正しいものを１つ選びなさい。

ア

イ

ウ

エ

オ

中数Ａ−13

円錐の体積と，底面が合同で高さが等しい円柱の体積との関係で理解しているかどうかをみる。

2253 節　立体の体積と表面積

角錐や円錐の体積は，底面積と高さが等しい角柱や円柱の体積の 13 であることが

わかっている。

角錐と角柱の体積の関係は，次のような立体模型を使って調べることもできる。

底面の円の半径が r，高さが hである円錐の体積を Vとするとき，Vを hと rを

使った式で表しなさい。

公式を使って，角錐や円錐の体積を求めよう。

角錐や円錐の体積

　下の図の立体の体積を求めなさい。

⑴ ⑵

⑴　底面が 1辺 6cmの正方形で，高さが 4cmの正四角錐だから，13×6

2×4 ＝ 13×36×4

＝48 答　48cm3

⑵　底面の円の半径が 5cm，高さが 12cmの円錐だから，13×π×5

2×12 ＝ 13×25π×12

＝100π 答　100πcm3

角錐や円錐の体積

　角錐や円錐の体積を V，底面積を S，

高さを hとすると，

V＝ 13 Sh

hh

S S

問 2

例題 1

6cm6cm

4cm 5cm

5cm

13cm12cm

解答

巻末の付録を使ってつくってみよう。

5

10

15

1年_6-3-1_立体の体積.indd 225 2015/08/24 17:31

224

節

角錐や円錐の体積について考えよう。

小学校で学んだように，角柱や円柱の体積は，

（底面積）×（高さ）

で求めることができる。

底面の円の半径が r，高さが hである円柱の体積を Vとするとき，Vを hと rを

使った式で表しなさい。

底面の円の半径が 4cm，高さが 9cmの円柱の体積を求めなさい。

底面積と高さが等しい角柱と角錐の容器があります。

角錐の容器いっぱいに水を入れ，角柱の容器に注ぐと，何回でいっぱいになるで

しょうか。

立体の体積1

角柱や円柱の体積

　角柱や円柱の体積を V，底面積を S，

高さを hとすると，

V＝Shhh

S S

問 1

たし 1かめ p.282 13補充問題

Q

5

10

15

1 立体の体積2 立体の表面積立体の体積と表面積3

1年_6-3-1_立体の体積.indd 224 2015/08/24 17:31

（４）下の図は，円柱，円錐すい

の形をした容器です。それぞれの容器の底面は合同な円で，高さは等しいことがわかっています。この円柱の容器いっぱいに入れた水を円錐の容器に移します。

このとき，下のアからオまでの中に，円柱の容器に入っていた水と�同じ量の水を表している図があります。正しいものを１つ選びなさい。

ア

イ

ウ

エ

オ

中数Ａ−13

─ 4 ─

④　証明の意味　〈2年4章　平行と合同〉

　　 正　　答　

ウ

　　 誤 答 例　

ア，イ実測や操作など帰納的な方法による説明と演繹

的な推論による説明の違いを理解していなかったり，その説明のしかたについて理解していなかったりしていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

証明の必要性と意味の理解に課題がある。指導にあたっては，対頂角の性質や三角形の内角の和，平行四辺形の性質などの学習において，帰納的な方法による説明と比較しながら，帰納的推論には限界があることから，演繹的な推論による説明の役割を理解する場面を設定し，証明の必要性と意味についての理解を深められるようにする。

2 年・平行と合同で，対頂角の意味と性質を学習し，また，根拠となることがらをもとに，図形の性質などを証明するしかたについても学習している。

出題の趣旨正 答 率

26.4％

106

節

90°の角を直角というように，180°の角を平へい

角かく

ということがあります。

180°数学メモ

2直線が交わってできる角について調べよう。

　

右上の図で，対頂角である∠aと∠cの大きさが等しいことは，次のように説明する

ことができる。

1つの直線の片側にできる角が 180°であることに着目すると，∠bが何度であっても，

∠aと∠cの大きさはそれぞれ

　　　

と表すことができる。

したがって，∠aと∠cはどちらも 180°－∠bに等しいから，∠a＝∠cである。

対頂角について，次のことがいえる。

直線と角1

ℓ

m

a

b

dc

180°

ℓ

m

a

b

∠a＝180°－∠b

c

b

ℓ

m 180°

∠c＝ 180°－∠b

対頂角の性質

対頂角は等しい。

右の図のように，2直線ℓ，mが交わってできる

4つの角のうち，∠aと∠c，∠bと∠d

のように向かい合っている 2つの角を 対たい

頂ちょう

角かく

と

いう。

5

10

15

1 直線と角2 多角形の内角と外角1 平行線と角

2年_4-1-1_直線と角.indd 106 2015/08/25 11:53

1272 節　合同と証明

たとえば「a，b が奇き

数すう

ならば a＋b は偶ぐう

数すう

」のような数の性質においても，仮定は「a，b が奇数」，結論は「a＋b は偶数」となります。

数学メモ

前ページの問 1から問 2までの説明は，次のように組み立てられている。

前ページで証明したことがらは，次のような形の文で表すことができる。

線分 ABと線分 CDが点Oで交わるとき，

　　 OA＝OC，OD＝OB ならば AD＝CB

次のことがらの仮定と結論をいいなさい。

⑴　△ABC≡△DEF ならば ∠A＝∠Dである。

⑵　△ABCで，∠A＝90°ならば ∠B＋∠C＝90°である。

OD＝OB

△OAD≡△OCB

OA＝OC

AD＝CB

すでに正しいと認められたことがら

…… 説明しようとしていること

…… 初めからわかっていること

対頂角の性質

三角形の合同条件

合同な図形の性質

このように，あることがらが正しいことを，すでに正しいと認められた

ことがらを根拠として，筋道を立てて説明することを 証しょう

明めい

という。

このように，数学で考えていくことがらには，

ならば

の形で書かれたものが多い。このとき，

の部分を 仮か

定てい

の部分を 結けつ

論ろん

という。

たし 1かめ

p.224 16補充問題

　　　　ならば　仮定　　　　　　結論

仮定は初めからわかっていることがら，結論は証明しようとしていることがらだね。

5

10

15

2年_4-2-3_図形の性質.indd 127 2015/08/25 12:13

2年・平行と合同　p.106

2年・平行と合同　p.127

中数Ａ−19

ある学級で，「対頂角は等しい」ことの証明�について，次の ， を比べて考えています。

下の図のように直線ℓと直線 m が交わっているとき，

a

m

ℓc

b

１８０° １８０°

a

m

ℓc

b

∠ a ＝１８０°-∠ c ∠ b ＝１８０°-∠ c

よって，∠ a ＝∠ b

したがって，対頂角は等しい。

下の図のように直線ℓと直線 m が交わっているとき，２つの角の大きさをそれぞれ測ると，

120601305014040 15030 16020 17010 1800

11070100

80908010070

110

60120

40 140

30 150

50 130

20 160

10 170

0 180

a

m

ℓ

b

12060 13050140401503016020170101800

11070

10080

9080100

70110

6012040

14030150

50130

2016010

170

0180

a

m

ℓ

b

∠ a ＝６０° ∠ b ＝６０°

よって，∠ a ＝∠ b

したがって，対頂角は等しい。

８

中数Ａ−20

２つの直線がどのように交わっても「対頂角は等しい」ことの証明について，正しく述べたものが下のアからオまでの中にあります。� �それを１つ選びなさい。

ア　 も も証明できている。

イ　 は証明できており， は２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめれば証明したことになる。

ウ　 は証明できているが， は２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめても証明したことにはならない。

エ　 も も２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめれば証明したことになる。

オ　 は２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめれば証明したことになるが， はそれでも証明したことにはならない。

証明の必要性と意味を理解しているかどうかをみる。

─ 5 ─

　　 正　　答　

オ

　　 誤 答 例　

ア，ウ（n−2）の nが示すもののみに着目したと

考えられる。

　課題と指導のポイント　

n角形の内角の和を求める式180°×（n−2）における（n−2）の意味の理 解に課題がある。指導にあたっては，多角形の内角の和を表す式の意味を理解することが大切である。また，式の意味を場面に即して読みとることも大切である。

2 年・平行と合同で，多角形の内角の和の学習をしており，多角形の内角の和の式の意味もおさえている。

⑤　正多角形の内角の和　〈2年4章　平行と合同〉

出題の趣旨

2年・平行と合同　p.116〜117

正 答 率

46.9％

116 4 章　平行と合同

下の表の　　をうめて，表を完成させましょう。また，表から気づいたことを

説明してみましょう。

四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 ……

頂点の数 4 5 6 7 8 ……

1つの頂点からひいた対角線の数 1 ……

三角形の数 2 ……

内角の和 180°×2 180°× 180°× 180°× 180°× ……

n角形は 1つの頂点からひいた対角線によって，（n－2）個の三角形に分けられることを説明してみましょう。

また，n角形の内角の和を，nを使った式で表してみましょう。

前ページの 1 で，こうたさんとあやさんは，それぞれ下の図のように考えて

内角の和を求めました。こうたさんとあやさんの考え方を説明し，このときの

n角形の内角の和をそれぞれ式で表してみましょう。

＜こうたさん＞ ＜あやさん＞

2

伝えよう

3

n－3

…

…

×

×

×n－2

n－31

23

321

深めよう

4

八角形は，図を使って考えていないけど，ほかの多角形の結果から予想できないかな？

n 角形の頂点の数はn だから…

2人の考え方では，三角形の個数はそれぞれいくつになるかな？

5

10

2年_4-1-2_多角形の角.indd 116 2015/08/25 11:58

116 4 章　平行と合同

下の表の　　をうめて，表を完成させましょう。また，表から気づいたことを

説明してみましょう。

四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 ……

頂点の数 4 5 6 7 8 ……

1つの頂点からひいた対角線の数 1 ……

三角形の数 2 ……

内角の和 180°×2 180°× 180°× 180°× 180°× ……

n角形は 1つの頂点からひいた対角線によって，（n－2）個の三角形に分けられることを説明してみましょう。

また，n角形の内角の和を，nを使った式で表してみましょう。

前ページの 1 で，こうたさんとあやさんは，それぞれ下の図のように考えて

内角の和を求めました。こうたさんとあやさんの考え方を説明し，このときの

n角形の内角の和をそれぞれ式で表してみましょう。

＜こうたさん＞ ＜あやさん＞

2

伝えよう

3

n－3

…

…

×

×

×n－2

n－31

23

321

深めよう

4

八角形は，図を使って考えていないけど，ほかの多角形の結果から予想できないかな？

n 角形の頂点の数はn だから…

2人の考え方では，三角形の個数はそれぞれいくつになるかな？

5

10

2年_4-1-2_多角形の角.indd 116 2015/08/25 11:58

1171 節　平行線と角

多角形の内角の和について，次のことがいえる。

　多角形というときは，右の図のようなへこんだ部分のある図形は考えないことにする。

多角形の内角の和を求める式を使って，問題を解いてみよう。

多角形の内角の和 1

十二角形の内角の和を求めなさい。

180°×（n－2）の nに 12 を代入すると，

180°×（12－2）＝1800°

したがって，十二角形の内角の和は 1800°である。 答　1800°

二十角形の内角の和を求めなさい。

正九角形の内角の和を求めなさい。また，

その 1つの内角の大きさを求めなさい。

多角形の内角の和 2

内角の和が 1980°である多角形は何角形であるかを答えなさい。

内角の和が 1980°である多角形を n角形とすると，

180°×（n－2）＝1980°

n－2＝11 n＝13

したがって，内角の和が 1980°である多角形は十三角形である。 答　十三角形

内角の和が 2700°である多角形は何角形ですか。

多角形の内角の和

n角形の内角の和は 180°×（n－2）である。

注意！

例題 2

解答

たし 2かめ p.223 6補充問題

たし 3かめ

p.223 7補充問題

例題 3

解答

たし 4かめ p.223 8補充問題

もどって確認

正多角形辺の長さがすべて等しく,内角の大きさもすべて等しい多角形

方程式の形にして求めるといいね。

5

10

15

20

2年_4-1-2_多角形の角.indd 117 2015/08/25 11:58

n角形の内角の和を求める式

180°×（n−2）における（n−2）の意味を理解しているかどうかをみる。

中数Ａ−18

（２） 下の図のように，n 角形は１つの頂点からひいた対角線によって，いくつかの三角形に分けられます。

このことから，n 角形の内角の和は１８０°#（ n -２）で表すことができます。

この式の（ n -２）は，n 角形において何を表していますか。下のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。

ア　頂点の数

イ　辺の数

ウ　内角の数

エ　１つの頂点からひいた対角線の数

オ　１つの頂点からひいた対角線によって分けられた三角形の数

─ 6 ─

⑥　関数の意味　〈1年4章　比例と反比例〉

　　 正　　答　

オ

　　 誤 答 例　

イ，エy＝（整数）×x や y＝（高さ）×x のような

式を考えたり，倍数の集合が決まると考えたりして，yが xの関数であるととらえたと考えられる。

　課題と指導のポイント　

関数の意味の理解に課題がある。指導にあたっては，事象の中に数量の関係

を見いだし，それを関数としてとらえ直せるようにすることが大切である。とくに，既習の数や図形の性質などを関数の視点から考察し，その内容についての理解を深められるようにすることが大切である。

1 年・比例と反比例で，ともなって変わる2 つの数量の関係を調べ，関数の意味を学習している。

出題の趣旨

1年・比例と反比例　p.130〜131

正 答 率

13.8％関数の意味を理解しているかどう

かをみる。

中数Ａ−21

下のアからオまでの中に，y が x の関数であるものがあります。 正しいものを１つ選びなさい。

ア　生徒数が x 人の学校の校庭の面積 y m2

イ　底面積が x cm2 の直方体の体積 y cm3

ウ　身長が x cm の人の体重 y kg

エ　自然数 x の倍数 y

オ　整数 x の絶対値 y

９

130

節

ともなって変わる2つの数量の関係について調べよう。

前ページの窓の例では，たとえば，開けた部分

の横の長さを 10cmと決めると，開けた部分の

面積は 1100cm2 と決まる。つまり，「開けた部分

の横の長さ」を決めると，「開けた部分の面積」

がただ 1つ決まる。

また，開けた部分の横の長さが変わるのに

ともなって，開けた部分の周囲の長さも変わる。この場合も，「開けた部分の横の長さ」

を決めると，「開けた部分の周囲の長さ」がただ 1つ決まる。

窓の例では，たとえば，開けた部分の横の長さを xcm，開けた部分の周囲の長さを

ycmとすると，この場合も xと yはいろいろな値をとるから変数である。

また，「開けた部分の面積」は「開けた部分の横の長さ」の関数である。「開けた部分の

周囲の長さ」も「開けた部分の横の長さ」の関数である。

関数1

開けた部分の横の長さを xcm，開けた部分の面積を ycm2 とすると，

xと yはいろいろな値をとる。この x，yのように，いろいろな値をとる文字を　

変へん

数すう

という。

2つの変数 x，yがあって，xの値を決めると，それに対応する yの値が

ただ 1つ決まるとき，yは xの関かん

数すう

である という。

5

10

15

20

開けた部分の面積開けた部分の周囲の長さ

開けた部分の横の長さ

1 1 関数2 比例の式3 座標4 比例のグラフ

比例

1年_4-1-1_関数.indd 130 2015/08/24 14:03

1311 節　比例

右のグラフは，山の登り口から

頂上までを13分で走るケーブルカーの出発してからの時間と

高さの関係を表したものです。

⑴　 出発してから 3分後では，ケーブルカーは登り口から

何mの高さにありますか。また，6分後，8分後ではどうですか。⑵　 ケーブルカーが登り口から100mの高さにあるのは，出発してから何分後か

わかりますか。

⑶　 ケーブルカーの高さは，出発してからの

時間の関数であるといえますか。

問 1では，「出発してからの時間」を決めると，「ケーブルカーの高さ」がただ 1つ決まる。しかし，「ケーブルカーの高さ」を決めても，「出発してからの時間」は 1つに決まらないから，「出発してからの時間」は「ケーブルカーの高さ」の関数とはいえない。

次の⑴～⑶で，yは xの関数であるといえますか。

⑴　5Lの水を xL使ったときの残りの量 yL

⑵　周の長さが xcmである長方形の面積 ycm2

⑶　1mの値段が 10 円の針金 xmの代金 y円

変数のとりうる値の範はん

囲い

について考えよう。

129 ページの窓の例で，窓をいっぱいに開けると横の長さは 80cmになるとする。このとき，窓を

開けた部分の横の長さを xcmとすると，変数 xの

とりうる値の範囲は

0以上 80 以下である。

問 1

たし 1かめ

p.276 1補充問題

変域

5

10

15

20

25

（m）

登り口……

頂上………

50100150200

0 5 10 （分）

変数は何かな？

x の値が 0 や 80 のときには，窓はどうなっているかな？

xcm

80cm

1年_4-1-1_関数.indd 131 2015/08/24 14:04

─ 7 ─

1年・文字と式　p.84

　　 正　　答　

y＝−x＋8

　　 誤 答 例　

y＝−x＋16，y＝ 長さ 16cm のひもと長方形の縦と横の長

さとの関連が理解できていないと考えられる。

　課題と指導のポイント　

具体的な事象における 1 次関数の関係を式で表すことに課題がある。指導にあたっては，具体的な事象における 2 つの数量の関係を式に表すときに，表などを用いて 2 つの数量を具体的にとらえ，それらの変化や対応を調べる方法を身につけることが大切である。また，具体的な事象において，2 つの数量の変化や対応の特徴をもとに，その関係を式で表すことも大切である。

1 年・文字と式で，数量の等しい関係を図を使って等式で表すことを学習している。さらに，2 年・1 次関数で，表を使って 2 つの数量が 1 次関数かどうかを調べている。

16x

⑦　1次関数の式の表し方　〈2年3章　1次関数〉

出題の趣旨

2年・1次関数　p.69

691 節　1次関数

1 次関数 y＝ax＋bでは，yは xに比例する部分

axと定数の部分 bの和とみることができる。

また，b＝0 のとき，y＝axとなるので，比例は

1次関数の特別な場合といえる。

身のまわりにある数量の関係が，1次関数であるかどうかを調べよう。

線香を燃やした時間と長さ

　長さ 16cmの線せん

香こう

がある。火をつけてから x分後の線香の長さを ycmと

して，対応する xと yの値の関係を調べたところ，下の表のようになった。

x（分） 0 4 8 12 16 20 24 28 32y（cm） 16 14 12 10 8 6 4 2 0

　このとき，yは xの 1次関数であるといえますか。

線香が 1分間に何 cmずつ短くなっているかを考えて，yをx の式で表す。

　線香は1分間に0.5 cmずつ短くなって

いるから，x分後には，はじめの長さから

0.5xcm短くなる。このことから，yは

xの式で次のように表すことができる。

y＝16－0.5x

　すなわち，

y＝－0.5x＋16　したがって，y＝ax＋bの形で表すことができるから，

yは xの 1次関数である。 答　1次関数であるといえる。

例題 1で，火をつけてから 25 分後の線香の長さを求めなさい。

次の⑴～⑶で，yは xの 1次関数であるといえますか。⑴　1辺が xcmである正方形の周の長さ ycm

⑵　30kmの道のりを，時速 4kmで x時間歩いたときの残りの道のり ykm

⑶　面積が 16cm2 である三角形の底辺の長さ xcmと高さ ycm

例題 1

考え方

解答

問 1

たし 1かめ

p.220 1補充問題

16cm

0 分

15.5cm

1 分後 x分後

ycm

0.5xcm

…

…

y＝　　＋　

x に比例する部分　定数の部分

ax b

y＝2xも1次関数だね。

5

10

15

20

2年_3-1-1_1次関数.indd 69 2015/08/25 11:23

正 答 率

26.3％

具体的な事象における 1 次関数の関係を式で表すことができるかどうかをみる。

中数Ａ−24

（３） 長さ１６cm のひもを使って，いろいろな形の長方形を作ります。長方形の縦の長さを変えると，横の長さがどのように変わるかを調べます。

長方形の縦の長さを x cm，横の長さを y cm とするとき，y を xの式で表しなさい。

７cm

６cm

１cm

２cm

…

y cm

x cm

84

節

数量の等しい関係を，等号を使った式で表すことを考えよう。

1本x 円の鉛え ん

筆ぴ つ

4本と y 円の消しゴム 1個を買ったら，代金の合計は 300円でした。この

ことを，xと yを使った式で表してみましょう。

鉛筆 4本と消しゴム 1個の代金の和は，代金の合計と等しいので，（鉛筆 4本の代金）＋（消しゴム 1個の代金）＝（代金の合計）

となるから，このときの数量の関係は次のように表すことができる。

4x＋y＝300

てんびんの左側の皿に xgのコンパスをのせ，右側に ygの定規をのせます。

右側の皿におもりをのせていくと，おもりが 10gのときにてんびんは

ちょうどつり合います。このとき，数量の関係を等式で表しなさい。

全体と部分の関係を表す

　acmのひもから bcmのひもを 3本切りとったら，残りの長さが 8cmになった。

このとき，数量の関係を等式で表しなさい。

等しい関係を表す式1

Q

等号＝を使って，数量の等しい関係を表した式を

等と う

式し き

という。

等式で，等号の左側の部分を 左さ

辺へ ん

，右側の部分を

右う

辺へ ん

といい，左辺と右辺をあわせて 両りょう

辺へ ん

という。

たし 1かめ

p.275 31補充問題

例題 1

4x＋y＝300

　左辺　 右辺

　　 両辺

てんびんがつり合うとはどんな意味かな？

5

10

15

20

4 1 等しい関係を表す式2 大小関係を表す式数量の関係を表す式

1年_2-4-1_等しい関係.indd 84 2015/08/24 13:26

854 節　数量の関係を表す式

　下のように，数量の関係を図を使って表すとよい。

　長さについて

（全体の長さ）－（切りとった 3本の長さ）＝（残りの長さ）という関係があるから，

a－3b＝8 答　a－3b＝8

例題 1の場面で，あやさんは数量の関係を次の等式で表しました。あやさんはどのように考えたかを説明しなさい。

a＝3b＋8

次の数量の関係を等式で表しなさい。

⑴　500 ページの本を 1日に 15 ページずつ a日間読んだら，残りが

bページになった。

⑵　x円のボールを 3割引で買ったら y円だった。　　

速さ・時間・道のりの関係を表す

　時速 3kmで x時間歩き，その後，時速 2.5kmで y時間歩くと，出発地

から5km離れた目的地に着く。このとき，数量の関係を等式で表しなさい。

　下のように，数量の関係を図を使って表すとよい。

　道のりについて

　　　　　　　＋　　　　　　　＝　　　　　　

という関係があるから，

3x＋2.5y＝5 答　3x＋2.5y＝5

家から xm離れた駅へ向かって，分速 60mで y分間歩くと，残りの道のり

は 150mです。このとき，数量の関係を等式で表しなさい。

考え方

cm

cm cm cm

a

b b b 8cm

解答

伝えよう

問 1

たし 2かめ

p.275 32補充問題

例題 2

考え方

5km

時速 3kmで歩く道のり

時速 2.5kmで歩く道のり

出発地 目的地

解答

（ ）時速 3kmで歩く道のり （ ）時速 2.5km

で歩く道のり （ ）目的地までの道のり

たし 3かめ

p.275 33補充問題

5

10

15

20

1年_2-4-1_等しい関係.indd 85 2015/08/24 13:26

─ 8 ─

⑧　2元1次方程式のグラフ　〈2年3章　1次関数〉

2年・1次関数　p.84〜85

　　 正　　答　

オ

　　 誤 答 例　

イ，ウ2 元 1 次方程式の解が正の整数または 0

のみの値の組であるととらえたり，2 元 1 次方程式の解には整数以外の値の組もあることは理解できているがその点が無数にあり，その集合が直線になることについて理解していなかったりしていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

2 元 1 次方程式の解を座標とする点の集合は，直線として表されることの理解に課題がある。指導にあたっては，方程式と関数を相互に関連づけてとらえる活動を取り入れ，2元 1 次方程式の解を座標とする点の座標が直線になることを理解できるようにすることが大切である。

2 年・1 次関数で，2 元 1 次方程式の解は無数にあり，そのグラフは直線になることを学習している。

出題の趣旨

正 答 率

38.6％84

節

2元1次方程式の解を，座標平面上に表すことを考えよう。

2元 1次方程式 2x＋y＝3の解を求めて，下の表の　　をうめてみましょう。

また，x，yの値の組を座標とする点を，左下の図にとってみましょう。

x …… －3 －2 －1 0 1 2 3 ……

y …… ……

x，yの変域をすべての数とすると，方程式

2x＋y＝3の解は無数にある。この方程式の解を座標とする点をすべてとると，右の図のような

直線になる。

2元 1次方程式 2x＋y＝3 で，xの値を決めると，それに対応する yの値はただ 1つ決まるから，yは xの関数である。

2元1次方程式のグラフ1

Q

この直線を，

　　2元 1次方程式 2x＋y＝3 のグラフ

という。

y

x

8

6

4

2

42－2

－2－4 O

y

x

8

6

2

4－2

－2－4 O

2x＋y＝3

x の値をさらに細かくとっていくと，x，yの値を座標とする点全体はどんな形になるかな？

5

10

1 2元1次方程式のグラフ2 連立方程式とグラフ2 1次関数と方程式

2年_3-2-1_2元1次グラフ.indd 84 2015/08/25 11:34

中数Ａ−26

下のアからオまでの中に，二元一次方程式 x+ y ＝３ の解を座標と� �する点の全体を表したものがあります。正しいものを１つ選びなさい。

ア イy

x

-１-１-２-３

-２

-３

１

１ ２ ３Ｏ

２

３

y

x

-１-１-２-３

-２

-３

１

１ ２ ３Ｏ

２

３

ウ エy

x

-１-１-２-３

-２

-３

１

１ ２ ３Ｏ

２

３

y

x

-１-１-２-３

-２

-３

１

１ ２ ３Ｏ

２

３

オy

x

-１-１-２-３

-２

-３

１

１ ２ ３Ｏ

２

３

13

2 元 1 次方程式の解を座標とする点の集合は，直線として表されることを理解しているかどうかをみる。

84

節

2元1次方程式の解を，座標平面上に表すことを考えよう。

2元 1次方程式 2x＋y＝3の解を求めて，下の表の　　をうめてみましょう。

また，x，yの値の組を座標とする点を，左下の図にとってみましょう。

x …… －3 －2 －1 0 1 2 3 ……

y …… ……

x，yの変域をすべての数とすると，方程式

2x＋y＝3の解は無数にある。この方程式の解を座標とする点をすべてとると，右の図のような

直線になる。

2元 1次方程式 2x＋y＝3 で，xの値を決めると，それに対応する yの値はただ 1つ決まるから，yは xの関数である。

2元1次方程式のグラフ1

Q

この直線を，

　　2元 1次方程式 2x＋y＝3 のグラフ

という。

y

x

8

6

4

2

42－2

－2－4 O

y

x

8

6

2

4－2

－2－4 O

2x＋y＝3

x の値をさらに細かくとっていくと，x，yの値を座標とする点全体はどんな形になるかな？

5

10

1 2元1次方程式のグラフ2 連立方程式とグラフ2 1次関数と方程式

2年_3-2-1_2元1次グラフ.indd 84 2015/08/25 11:34

852 節　1次関数と方程式

また，2元 1次方程式 2x＋y＝3 を yについて解くと，

y＝－2x＋3となるから，yは xの 1次関数とみることができる。そのグラフは，傾きが－2 で，

y軸上の切片が 3の直線である。

これまでに調べてきたことから，2元 1次方程式のグラフは，その方程式を yについて解いた式で表される

1次関数のグラフと一いっ

致ち

することがわかる。

方程式 ax＋by＝cのグラフ 1

　方程式 x＋2y＝8 のグラフをかきなさい。

この方程式を y について解くと，

　　y＝－　x＋4

したがって，傾きが－　，

y 軸上の切片が 4 の直線をひけばよい。

次の方程式のグラフを，右の図にかき

なさい。

⑴　x＋4y＝12⑵　4x－3y－12＝0

2元 1次方程式のグラフ

　2元 1次方程式 ax＋by＝cのグラフは直線である。

例題 1

考え方 解答

12

12

たし 1かめ

p.222 15補充問題

y

xO

－2

2

6

42－4 －2

x＋2y＝8

y

xO

－2

－4

2

4

42－4 －2

2x＋y＝3 … 2元 1次方程式　　　グラフは同じ直線

y＝－2x＋3 … 1次関数

5

10

15

20

2年_3-2-1_2元1次グラフ.indd 85 2015/08/25 11:34

─ 9 ─

　　 正　　答　

0.1

　　 誤 答 例　

3，23ヒストグラムから読みとった度数や階級値

をそのまま解答したと考えられる。

　課題と指導のポイント　

与えられたヒストグラムについて，ある階級の相対度数を求めることに課題がある。指導にあたっては，資料の傾向を読みとる活動を行う際に，ある階級の度数が総度数に占める割合を求めて，相対度数の必要性と意味についての理解を深められるようにすることが大切である。

1 年・資料の整理と活用では，ヒストグラムや相対度数の必要性と意味を学習している。

⑨　相対度数　〈1年7章　資料の整理と活用〉

1年・資料の整理と活用　p.242

1年・資料の整理と活用　p.244〜245

出題の趣旨

正 答 率

23.7％

与えられたヒストグラムについて，ある階級の相対度数を求めることができるかどうかをみる。

中数Ａ−29

（２） 下の図は，ある市の平成２４年６月１日から３０日までについて，日ごとの最高気温の記録をヒストグラムに表したものです。この ヒストグラムから，例えば，最高気温が３０℃以上３２℃未満の日が５日あったことがわかります。

最高気温の分布（日）

（℃）２２

１０

５

０２４ ２６２８３０ ３２３４

２２℃以上２４℃未満の階級の相対度数を求めなさい。

242 7 章　資料の整理と活用

度数分布表をさらに見やすくするための方法を考えよう。

図 1は，前ページの表 1について，階級の幅を横，度数を縦とする長方形をすき間なく

横に並べてかき，度数の分布のようすを

表したものである。

ヒストグラムでは，それぞれの長方形の

縦の長さは階級の度数を表している。資料を

ヒストグラムに表すと，度数の分布のようす

がさらに見やすくなる。

度数分布表とヒストグラムから，練馬の 2013 年 2 月の最高気温について，たとえば次のような傾向を読みとることができる。

・最高気温が 8℃以上 10℃未満の日が多い。・ヒストグラム全体の形は，山が 1つで，12℃より低い日が多い。

2007 年 2 月の最高気温について，図 2にヒストグラムをかきなさい。

2007 年 2月の最高気温について，度数分布表とヒストグラムから，どんな傾向を読みとることができますか。

ヒストグラム

このようなグラフを ヒストグラム

という。

たし 3かめ （図 2） 練馬の 2007 年 2月の最高気温

（日）15

5

10

0 4 6 8 10 12 14 16 （℃）18 20

p.283 3補充問題

話し合おう

問 4

（日）15

5

10

0 4 6 8 10 12 14 16 （℃）18 20

（図 1） 練馬の 2013 年 2月の最高気温

「ヒストグラム」のことを「柱状グラフ」ともいったね。

5

10

15

20

1年_7-1-1_度数の分布.indd 242 2015/08/24 17:59

242 7 章　資料の整理と活用

度数分布表をさらに見やすくするための方法を考えよう。

図 1は，前ページの表 1について，階級の幅を横，度数を縦とする長方形をすき間なく

横に並べてかき，度数の分布のようすを

表したものである。

ヒストグラムでは，それぞれの長方形の

縦の長さは階級の度数を表している。資料を

ヒストグラムに表すと，度数の分布のようす

がさらに見やすくなる。

度数分布表とヒストグラムから，練馬の 2013 年 2 月の最高気温について，たとえば次のような傾向を読みとることができる。

・最高気温が 8℃以上 10℃未満の日が多い。・ヒストグラム全体の形は，山が 1つで，12℃より低い日が多い。

2007 年 2 月の最高気温について，図 2にヒストグラムをかきなさい。

2007 年 2月の最高気温について，度数分布表とヒストグラムから，どんな傾向を読みとることができますか。

ヒストグラム

このようなグラフを ヒストグラム

という。

たし 3かめ （図 2） 練馬の 2007 年 2月の最高気温

（日）15

5

10

0 4 6 8 10 12 14 16 （℃）18 20

p.283 3補充問題

話し合おう

問 4

（日）15

5

10

0 4 6 8 10 12 14 16 （℃）18 20

（図 1） 練馬の 2013 年 2月の最高気温

「ヒストグラム」のことを「柱状グラフ」ともいったね。

5

10

15

20

1年_7-1-1_度数の分布.indd 242 2015/08/24 17:59

244 7 章　資料の整理と活用

表 4は，ある中学校の 1年生の立ち幅跳と

び

の記録をクラスごとにまとめたものです。

このとき，次の問いに答えなさい。

⑴　A組，B組の記録をそれぞれヒスト

グラムに表しなさい。

⑵　A組と B組の度数折れ線を，1 つの図にかきなさい。また，度数折れ線

から2つの資料の傾向を読みとり，その違ちが

いを説明しなさい。

度数の合計が異なる2つの資料を比べる方法を考えよう。

表5は，練馬の2007年2月と，1997年～

2006年の 2月の最高気温の 10℃未満

の日数について調べ，まとめたものです。

2007年は1997年～2006年に比べて，

10℃未満の日は多いといえるでしょうか。

表 6は，今年の A中学校 1年生 80 人と同じ市内の中学校1年生 500人のハンドボール投げの記録をまとめたものである。

度数の合計が異なる場合，このままでは分布

のようすを比べにくい。

そこで，それぞれの階級の度数について，

全体に対する割合を求めれば，その値で比べる

ことができる。

問 5

相対度数

Q（表 5） 練馬の 2月の最高気温

2007 年 1997 年～ 2006 年10℃未満の日数 3日 120 日

（表 6） ハンドボール投げ

階級（m）度数（人）

A中学校 市内の中学校以上 未満

2～ 5 2 12 5～ 8 3 38 8～11 15 8511～14 16 9214～17 12 9817～20 16 7020～23 8 6523～26 6 2426～29 2 829～32 0 8

計 80 500

（表 4） 立ち幅跳び

階級（cm） A組（人） B組（人）以上 未満150～175 3 1175～200 8 12200～225 15 9225～250 7 15250～275 3 1275～300 2 0

計 38 38

どうやって比べればいいのかな？

5

10

15

20

1年_7-1-1_度数の分布.indd 244 2015/08/24 18:00

244 7 章　資料の整理と活用

表 4は，ある中学校の 1年生の立ち幅跳と

び

の記録をクラスごとにまとめたものです。

このとき，次の問いに答えなさい。

⑴　A組，B組の記録をそれぞれヒスト

グラムに表しなさい。

⑵　A組と B組の度数折れ線を，1 つの図にかきなさい。また，度数折れ線

から2つの資料の傾向を読みとり，その違ちが

いを説明しなさい。

度数の合計が異なる2つの資料を比べる方法を考えよう。

表5は，練馬の2007年2月と，1997年～

2006年の 2月の最高気温の 10℃未満

の日数について調べ，まとめたものです。

2007年は1997年～2006年に比べて，

10℃未満の日は多いといえるでしょうか。

表 6は，今年の A中学校 1年生 80 人と同じ市内の中学校1年生 500人のハンドボール投げの記録をまとめたものである。

度数の合計が異なる場合，このままでは分布

のようすを比べにくい。

そこで，それぞれの階級の度数について，

全体に対する割合を求めれば，その値で比べる

ことができる。

問 5

相対度数

Q（表 5） 練馬の 2月の最高気温

2007 年 1997 年～ 2006 年10℃未満の日数 3日 120 日

（表 6） ハンドボール投げ

階級（m）度数（人）

A中学校 市内の中学校以上 未満

2～ 5 2 12 5～ 8 3 38 8～11 15 8511～14 16 9214～17 12 9817～20 16 7020～23 8 6523～26 6 2426～29 2 829～32 0 8

計 80 500

（表 4） 立ち幅跳び

階級（cm） A組（人） B組（人）以上 未満150～175 3 1175～200 8 12200～225 15 9225～250 7 15250～275 3 1275～300 2 0

計 38 38

どうやって比べればいいのかな？

5

10

15

20

1年_7-1-1_度数の分布.indd 244 2015/08/24 18:00

2451 節　資料の整理

つまり，（その階級の度数）（度数の合計） を求めて比べるとよい。

表 7は，A中学校の記録の相対度数の分布表

である。

右の相対度数の分布表について，次の

問いに答えなさい。

⑴　市内の中学校の記録の相対度数

の分布表を完成させなさい。

⑵　A中学校と市内の中学校の記録

について，次の割合を求めなさい。

㋐　14m未満　　㋑　23m以上

⑶　A中学校と市内の中学校の記録

の相対度数を比べて，気づいた

ことをいいなさい。

図 5は，A中学校の記録の

相対度数の分布表を，グラフに

表したものである。

市内の中学校の記録の相対度数の分布表について，図 5にそのグラフをかき入れなさい。また，2つのグラフを比べて，気づいたことをいいなさい。

この値を，その階級の 相そう

対たい

度ど

数すう

という。

（表 7） ハンドボール投げ

階級（m）相対度数

A中学校 市内の中学校以上 未満2～ 5 0.025

5～ 8 0.0375 8～11 0.187511～14 0.214～17 0.1517～20 0.220～23 0.123～26 0.07526～29 0.02529～32 0

計 1

たし 5かめ

p.283 5補充問題

0 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32（m）

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25（相対度数）

（図 5） ハンドボール投げ

問 6

10

15

1年_7-1-1_度数の分布.indd 245 2015/08/24 18:00

─ 10 ─

⑩　確率　〈2年6章　確率〉

　　 正　　答　

イ

　　 誤 答 例　

ア，エ相対度数の値が一定の値に近づいていくこ

とは理解しているが，その値をとらえられなかったり，偶然に左右される不確定な事象の起こりやすさの程度を表す数値は一定の値に近づかないととらえたりしていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

「ある事象の起こる回数の割合は，ある一定の値に近づく」という大数の法則の意味の理解に課題がある。指導にあたっては，ある試行を多数回繰り返したときに，ある事象が起こる回数の全体に対する割合が近づいていく値として，確率の意味を理解できるようにすることが大切である。そのために，観察や実験などの活動を取り入れることが考えられる。

2 年・確率で，多数回の試行により，ある事象の相対度数の値が一定の値に近づいていくことを学習している。

2年・確率　p.182〜183

出題の趣旨

正 答 率

33.4％

「ある試行を多数回繰り返したとき，全体の試行回数に対するある事象の起こる回数は，ある一定の値に近づく」ことを理解しているかどうかをみる。

中数Ａ−30

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）表と裏の出方が同様に確からしい硬貨があります。この硬貨を投げる実験を多数回くり返し，表の出る相対度数を調べます。このとき，相対度数の変化のようすについて，下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。

ア　硬貨を投げる回数が多くなるにつれて，表の出る相対度数のばらつきは小さくなり，その値は１に近づく。

イ　硬貨を投げる回数が多くなるにつれて，表の出る相対度数のばらつきは小さくなり，その値は０．５に近づく。

ウ　硬貨を投げる回数が多くなっても，表の出る相対度数のばらつきはなく，その値は０．５で一定である。

エ　硬貨を投げる回数が多くなっても，表の出る相対度数の値は大きくなったり小さくなったりして，一定の値には近づかない。

（２）大小２つのさいころがあります。この２つのさいころを同時に 投げるとき，出る目が両方とも１になる確率を求めなさい。ただし，どちらのさいころも１から６までの目の出方は，同様に確からしいものとします。

15

182

節

あることがらの起こりやすさを，数で表すことを考えよう。

起こりやすさを判断するのに，相対度数が使われる

ことが多い。

右の表は，前ページの実験結果の1つの例を示したものである。

前ページのの Q 1 の表についても，1の目が出る相対度数を小数第 3位まで求めなさい。

右上の表の「投げた回数」と「1の目が出る相対度数」の関係を折れ線グラフで表すと，下の図のようになる。

前ページの Q 1 の表についても，折れ線グラフを上の図にかき入れなさい。

また，1の目が出る相対度数について，グラフからわかることをいいなさい。

グラフから，さいころを投げる回数が多くなるにつれて，1の目が出る相対度数のばらつきは小さくなり，0.17 に近づいていくことがわかる。このように，多数回の実験の結果，あることがらの起こる相対度数がある一定の値

あたい

に

近づくとき，その値でことがらの起こりやすさの程度を表すことができる。

ことがらの起こりやすさ1

（1の目が出る相対度数）＝　　　　　　　　　　　（1の目が出た回数）

（さいころを投げた回数）

問 1

0

0.100.120.140.160.180.200.22（

1の目が出る相対度数）

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000（投げた回数）

問 2

5

10

15

投げた回数

1の目が出た回数

1の目が出る相対度数

50 6 0.120 100 19 0.190 200 35 0.175 400 55 0.138 600 98 0.163 800 129 0.1611000 165 0.1651200 203 0.1691400 234 0.1671600 269 0.1681800 298 0.1662000 334 0.167

1 確率1 ことがらの起こりやすさ2 確率の求め方3 いろいろな確率

2年_6-1-1_確率.indd 182 2015/08/25 12:44

1831 節　確率

あることがらの起こりやすさの程度を表す値を，そのことがらの起こる 確かく

率りつ

という。

さいころを投げるとき，1の目が出る確率はおよそ 0.17 と考えられる。

実験から求める確率

　右下の表は，ペットボトルのふたを投げて，

表，横，裏が出た回数を調べた結果である。ふたが

表になる確率はおよそどのくらいかを求めなさい。

　ふたを投げる回数が多くなる

につれて，表が出る相対度数は

一定の値 0.14 に近づいていく。　したがって，表が出る確率は

およそ 0.14 と考えられる。答　およそ 0.14

例題 1で，ふたが横になる確率はおよそどのくらいかを求めなさい。

実験を多数回行うことができないことがらでは，多数の調査や観察の結果をもとに

して，そのことがらの起こる確率を考える場合がある。

右の表は，わが国の年ごとの

出生数を示したものです。

女子が生まれる確率はおよそ

どのくらいですか。

例題 1

解答

たし 1かめ p.226 1補充問題

問 3

5

10

15

20

投げた回数 表 横 裏 表が出る

相対度数 50 9 18 23 0.180 100 19 39 42 0.190 200 33 76 91 0.165 400 62 138 200 0.155 800 110 281 409 0.1381200 169 425 606 0.1411600 223 562 815 0.1392000 277 698 1025 0.139

表 横 裏

年次 総出生数（人） 女子出生数（人） 相対度数

2004 1110721 541162 0.4872005 1062530 517498 0.4872006 1092674 532235 0.4872007 1089818 529971 0.4862008 1091156 531643 0.4872009 1070035 521042 0.4872010 1071304 520562 0.4862011 1050806 5125352012 1037231 5054502013 1029816 502159

「平成25年人口動態統計　上巻」

2011年から 2013年の女子が生まれる相対度数も求めてみよう。

2年_6-1-1_確率.indd 183 2015/08/25 12:44

182

節

あることがらの起こりやすさを，数で表すことを考えよう。

起こりやすさを判断するのに，相対度数が使われる

ことが多い。

右の表は，前ページの実験結果の1つの例を示したものである。

前ページのの Q 1 の表についても，1の目が出る相対度数を小数第 3位まで求めなさい。

右上の表の「投げた回数」と「1の目が出る相対度数」の関係を折れ線グラフで表すと，下の図のようになる。

前ページの Q 1 の表についても，折れ線グラフを上の図にかき入れなさい。

また，1の目が出る相対度数について，グラフからわかることをいいなさい。

グラフから，さいころを投げる回数が多くなるにつれて，1の目が出る相対度数のばらつきは小さくなり，0.17 に近づいていくことがわかる。このように，多数回の実験の結果，あることがらの起こる相対度数がある一定の値

あたい

に

近づくとき，その値でことがらの起こりやすさの程度を表すことができる。

ことがらの起こりやすさ1

（1の目が出る相対度数）＝　　　　　　　　　　　（1の目が出た回数）

（さいころを投げた回数）

問 1

0

0.100.120.140.160.180.200.22（

1の目が出る相対度数）

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000（投げた回数）

問 2

5

10

15

投げた回数

1の目が出た回数

1の目が出る相対度数

50 6 0.120 100 19 0.190 200 35 0.175 400 55 0.138 600 98 0.163 800 129 0.1611000 165 0.1651200 203 0.1691400 234 0.1671600 269 0.1681800 298 0.1662000 334 0.167

1 確率1 ことがらの起こりやすさ2 確率の求め方3 いろいろな確率

2年_6-1-1_確率.indd 182 2015/08/25 12:44

─ 11 ─

連続する 3つの自然数の和について，予想された事柄が成り立つ理由を説明し，さらに発展的に考え，新たに予想した事柄を説明する問題である。この問題では，文字式を用いて理由を説明したり，いくつかの例から新たな性質を予想し，予想した事柄を「〜は，……になる」の形で表現したりすることが必要である。

事柄が成り立つ理由を，示された方針に基づいて説明することができるかどうかをみる。

出題の趣旨

⑪　連続する自然数の和

中数Ｂ−3

智也さんは，連続する３つの自然数の和がどんな数になるかを調べています。

１，２，３  のとき  １+２+３＝ ６２，３，４  のとき  ２+３+４＝ ９３，４，５  のとき  ３+４+５＝１２

上で調べたことから，智也さんは，次のことを予想しました。

智也さんの予想

連続する３つの自然数の和は，３の倍数になる。

７，８，９のときは，７＋８＋９＝ 2424 ＝３×８予想どおり，このときも３の倍数になっている。

2

6 ＝ 3 × 2 9 ＝ 3 × 312 ＝ 3 × 4３つとも３の倍数になっているね。

中数Ｂ−4

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１） 智也さんの予想がいつでも成り立つことを説明します。下の説明を完成しなさい。

説明

連続する３つの自然数のうち，最も小さい数を n とすると，連続する３つの自然数は，n，n +１，n +２ と表される。したがって，連続する３つの自然数の和は，

n +（ n +１）+（ n +２）＝

（２） 智也さんは，連続する３つの自然数を，連続する３つの偶数に変えたとき，その和がどんな数になるかを考えてみたいと思い，いくつかの場合を調べました。

２， ４， ６   のとき　 ２+ ４+ ６＝１２ ８，１０，１２   のとき　 ８+ １０+ １２＝３０２０，２２，２４   のとき　 ２０+ ２２+ ２４＝６６　　　 ⋮　　　　　　　　　　　　  ⋮

連続する３つの偶数の和は，どんな数になると予想できますか。前ページの智也さんの予想の書き方のように「 　　 は，……になる。」 という形で書きなさい。

３の倍数であることを説明するには，３と自然数の積になることをいえばいいんだ。

正 答 率

38.8％

─ 12 ─

　　 正 答 例　

3（n＋1）n＋1 は自然数だから，3（n＋1）は 3 の倍数で

ある。したがって，連続する 3 つの自然数の和は，

3 の倍数である。

　　 誤 答 例　

誤答の中では，n＋（n＋1）＋（n＋2）を n＋3 やn3＋3 のように誤って計算したり，計算の結果

のみを示し理由の記述が不十分であったりする解答が多く見られる。

（無解答率は 22.5％）

　課題と指導のポイント　

示された方針に基づいて，事柄が成り立つ理由を説明することに課題がある。指導にあたっては，説明の見通しをもって考えることや，結論とその根拠を，文字式や言葉を用いて的確に表現できるようにすることが大切である。

2 年・式の計算では，整数の性質を文字式を用いて説明することを学習している。そこでは，「連続する 3 つの整数の和」の問題を扱い，多様な方法で説明することや，説明を読み直して新たな性質を見いだすことを学習している。さらに，問題を「連続する 3 つの整数の和」から「連続する 5 つの整数の和」や「連続する 3 つの偶数の和」に変えて，発展的に考えることができるようにしている。

2年・式の計算　p.29〜30292 節　式の活用

連続する 3つの整数の和には，どんな性質があるか調べてみましょう。

連続する 3つの整数の和を，右のようにいろいろな整数で調べて，どんな性質が

あるかを予想してみましょう。

連続する 3つの整数を，文字を使って表すことを考えてみましょう。

みさきさんとしょうたさんは，連続する 3つの整数の表し方について，次のように考えました。下の をうめてみましょう。

ある整数を nとすると，連続する整数は次のように表すことができます。

?

1

2

1＋ 2＋ 3＝

9＋10＋11＝

24＋25＋26＝

文字を使って，整数の和の性質を説明しよう

n を基準にして考えればいいね。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……

＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1

4 5

n

6 …………

＋1 ＋1最も小さい整数をn とすると…

みさきさん

4 5

n

6 …………

－1 ＋1真ん中の整数をn とすると…

しょうたさん

……，n－2，n－1，n，n＋1，n＋2，……n

5

2年_1-2-1_式の活用.indd 29 2015/08/25 10:33

30 1 章　式の計算

連続する 3つの整数の和は 3の倍数になります。この理由を，みさきさんとしょうたさんの考え方でそれぞれ説明してみましょう。

また，それぞれどんなよさがあるか話し合ってみましょう。

3 で説明したことを読み直すと，「連続する3つの整数の和は3の倍数になる」ということのほかに，次のこともいえます。下の にあてはまる言葉をうめ

ましょう。

202

連続する 5つの整数の和について，次の問いに答えなさい。⑴ どんな性質があると予想できますか。

⑵ ⑴の予想が正しいことを，文字を

使って説明しなさい。

連続する 3つの偶数の和について，次の問いに答えなさい。⑴ どんな性質があると予想できますか。

⑵ ⑴の予想が正しいことを，文字を使って

説明しなさい。

話し合おう

3

4

「連続する 3 つの整数の和は の 3 倍になる」

問 5

問 6

（整数）×3と考えることもできるね。

連続する 3つの整数の和と似たような性質があるのかな？

1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＝

7＋ 8＋ 9＋10＋11＝

18＋19＋20＋21＋22＝

2＋ 4＋ 6＝

8＋10＋12＝

20＋22＋24＝

5

10

15

2年_1-2-1_式の活用.indd 30 2015/08/25 10:33

─ 13 ─

碁石の個数の求め方に関する問題である。この問題では，碁石全部の個数を求めるためには様々な囲み方があることを捉え，それぞれの囲み方に対応する式を導き出したり，式に対応する囲み方を見いだしたりすることが必要である。

中数Ｂ−11

図１のように，１辺に n 個ずつ碁石を並べて正三角形の形をつくり，碁石全部の個数を求めます。

n個

図１

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

（１）１辺に５個ずつ碁石を並べて正三角形の形をつくります。このとき，碁石全部の個数を求めなさい。

（２）図１で，碁石のまとまりを考えて，ある囲み方をすると，碁石全部の個数は，３（ n -１）という式で求めることができます。その囲み方が，下のアからエまでの中にあります。正しいものを１つ選びなさい。

ア イ　

n個

n個

ウ エ

n個

n個

６

⑫　碁石の総数

出題の趣旨

事象を数学的に表現したり，数学的に表現された結果を事象に即して解釈したりすることを通して，事柄が成り立つ理由を筋道立てて説明することができるかどうかをみる。

正 答 率

25.3％

中数Ｂ−12

（３）図２のような囲み方をすると，碁石全部の個数は，３n -３という式で求めることができます。碁石全部の個数を求める式が３n -３になる理由は，次のように説明できます。

説明

正三角形の辺ごとにすべての碁石を囲んでいるので，１つのまとまりの個数は n 個である。同じまとまりが３つあるので，このまとまりで数えた碁石の個数は３n 個になる。このとき，各頂点の碁石を２回数えているので，碁石全部の個数は３n 個より３個少ない。したがって，碁石全部の個数を求める式は，３n-３になる。

図３のように囲み方を変えてみると，碁石全部の個数は，３（ n -２）+３という式で求めることができます。碁石全部の個数を求める式が３（ n -２）+３になる理由について，下の説明を完成しなさい。

説明

したがって，碁石全部の個数を求める式は，３（ n -２）+３になる。

n個

図２

n個

図３

─ 14 ─

　　 正 答 例　

正三角形の辺ごとに頂点以外の碁石を囲んでいるので，1 つのまとまりの個数は（n−2）個である。同じまとまりが 3 つあるので，このまとまりで数えた碁石の個数は 3（n−2）個になる。このとき，各頂点の碁石を数えていないので，碁石全部の個数は，3（n−2）個より 3 個多い。

　　 誤 答 例　

誤答の中では，「正三角形の辺ごとに頂点以外の碁石を囲んでいるので，1 つのまとまりの個数は n 個であり，頂点の碁石は囲んでいないので，囲んだものに 3 個をたす」という解答が多く見られる。このように記述した生徒は，辺ごとに囲んだ個数を n個と誤って捉えたと考えられる。

（無解答率は 42.2％）

　課題と指導のポイント　

事柄が成り立つ理由を説明することに課題がある。指導にあたっては，数量の関係を式に表し，その式を事象に即して説明できるようにすることや，事象を多面的に見ることができるようにすることが大切である。そのためには，問題解決に必要となる視点を明らかにし，それを基に事象を考察し，様々な式を見いだすとともに，見いだした式を基に事象を振り返る活動を取り入れることが考えられる。

1 年・文字と式では，碁石の個数の求め方に関する問題を扱い，碁石の個数の求め方を多面的に考察できるようにしている。また，碁石を三角形の形に並べる場合から，正方形の形に並べる場合に変えて，発展的に考えることができるようにしている。

1年・文字と式　p.82〜8382 2 章　文字と式

右の図のように，1辺にx 個の碁石を並べて，正三角形をつくりました。

このときの全体の碁石の個数の求め方について，

考えてみましょう。

たいきさんは，右のような図をかいて，全体の碁石

の個数を（3x－3）個という式で表しました。たいきさんの考え方を説明してみましょう。

みさとさん，さとるさん，あかねさんは，全体の碁石の個数をそれぞれ

下のような式で表しました。3人の考え方を，それぞれ下の図に表して説明してみましょう。

みさとさん，さとるさん，あかねさんの式をそれぞれ計算し，気づいた

ことをいってみましょう。

?

1

2

みさとさん

3（x－1）個さとるさん

{3（x－2）＋3}個あかねさん

{x＋（x－1）＋（x－2）}個

3

x個

たいきさん

（3x－3）個

文字を使った式を活用して，碁ご

石いし

の個数を調べよう

5

10

1年_2-3-1_式の活用.indd 82 2015/08/24 13:25

833 節　式の活用

前ページの 4人とは別の考え方を図に表して，全体の碁石の個数を式に表してみましょう。

　次に，右の図のように，1辺に x個の碁石を並べて

正方形をつくりました。

全体の碁石の個数を，前ページのたいきさん，みさとさんのように考えると，

どんな式で表すことができますか。それぞれ下の図に表して説明して

みましょう。

上の 2人とは別の考え方を図に表して，全体の碁石の個数を式に表してみましょう。

4

広げよう

5

たいきさんの考え方で みさとさんの考え方で

6

x個

5

1年_2-3-1_式の活用.indd 83 2015/08/24 13:25

─ 15 ─

平行四辺形の性質や三角形の合同条件を用いて，線分の長さが等しいことを証明する問題である。この問題では，示された方針を基に，三角形の合同を示すために必要なことを見いだして証明し，さらに新たな方針を根拠に基づいて立てることが必要である。

⑬　図形の証明

出題の趣旨

示された方針に基づいて証明することができるかどうかをみる。

中数Ｂ−8

（２）ＡＰ＝ＣＱであることは，右の図のように，線分ＡＱ，線分ＣＰをひき，次のような証明の方針２を考えて証明することもできます。

証明の方針２

１ 　ＡＰ＝ＣＱを証明するためには，四角形ＡＰＣＱが平行四辺形であることを示せばよい。

２ 　四角形ＡＰＣＱについて， 平行四辺形ＡＢＣＤの性質から，ＯＡ＝ＯＣがわかる。

３ 　２ と仮定のＢＰ＝ＤＱを使うと，四角形ＡＰＣＱが 平行四辺形であることは， ことから示せそうだ。

Ａ

Ｐ

Ｑ

Ｏ

Ｄ

Ｂ Ｃ

証明の方針２の に当てはまることがらが，下のアからエまでの中にあります。正しいものを１つ選びなさい。

ア　対角線がそれぞれの中点で交わる

イ　対角線が垂直に交わる

ウ　対角線の長さが等しい

エ　対角線が垂直に交わり，その長さが等しい

Ａ

Ｐ

Ｑ

Ｏ

Ｄ

Ｂ Ｃ

中数Ｂ−7

悠斗さんは，次の問題を考えています。

問題

右の図のように，平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点をＯとし，線分ＯＢ，ＯＤ上に，ＢＰ＝ＤＱとなる点Ｐ，Ｑをそれぞれとります。このとき，ＡＰ＝ＣＱとなることを証明

しなさい。

Ａ

Ｐ

Ｑ

Ｏ

Ｄ

Ｂ Ｃ

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）悠斗さんは，次のような証明の方針１を考えました。この証明の方針１にもとづいて，ＡＰ＝ＣＱとなることを証明することができます。

証明の方針１

１ 　ＡＰ＝ＣＱを証明するためには， ＡＢＰ≡ ＣＤＱを示せばよい。

２ 　 ＡＢＰと ＣＤＱの辺や角につい て，等しいことがわかるものを探せばよい。まず，平行四辺形ＡＢＣＤの性質から，ＡＢ＝ＣＤがわかるし，仮定から，ＢＰ＝ＤＱもわかっている。

３ 　２ を使うと， ＡＢＰ≡ ＣＤＱが示せそうだ。

Ａ

Ｐ

Ｑ

Ｏ

Ｄ

Ｂ Ｃ

この証明の方針１にもとづいて，ＡＰ＝ＣＱとなることを証明しなさい。

４

正 答 率

33.1％

─ 16 ─

　　 正 答 例　

△ ABP と△ CDQ において，仮定より，BP＝DQ ……①平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，　AB＝CD ……②平行四辺形の向かい合う辺は平行だから，　AB//CD平行線の錯角は等しいから，　∠ ABP＝∠ CDQ ……③①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれ

ぞれ等しいから，　△ ABP≡△ CDQ合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，　AP＝CQ

　　 誤 答 例　

誤答の中には，根拠に誤りがある解答が多く見られる。また，「BP＝DQ」と「AB＝CD」という条件は記述しているが，「∠ ABP＝∠ CDQ」に着目できていない解答もある。このように記述 した生徒は，結論を導くために必要な着目すべき辺や角の性質や関係を見いだすことができていないと考えられる。

（無解答率は 22.7％）

　課題と指導のポイント　

示された方針に基づいて証明することに課題がある。指導にあたっては，次の 3 つの事項について考える場面を設定し，証明の方針を立てることができるようにすることが大切である。

Ⅰ　結論を示すためには何がわかればよいか。Ⅱ　仮定からいえることは何か。Ⅲ 　ⅠとⅡを結び付けるには，あと何がいえれ

ばよいか。また，その方針に示された事柄を数学の記号で

表したり，それらが成り立つ根拠を明らかにしたりして，仮定から結論を導く推論の過程を的確に表現できるようにすることも大切である。

2 年・合同と証明では，証明の手順を学習し，三角形の合同条件を使う証明において，どのような点に着目して考えればよいかを捉えられるようにしている。また，以降の論証の学習を通して，証明の記述を徐々に正確に表現できるようにしている。

2年・合同と証明　p.128〜129128 4 章　平行と合同

証明の手順についてまとめよう。

右の図で，

AB＝CD，AD＝CB ならば ∠ABD＝∠CDB

である。このことを証明してみよう。

この証明は，次のような手順で行うとよい。

仮定 AB＝CD，AD＝CB　 結論 ∠ABD＝∠CDB

∠ABD，∠CDBをそれぞれ内角にもつ 2つの三角形は

△ABD と △CDBである。

△ABDと△CDBで，仮定から，AB＝CD，AD＝CB

また，線分 BDは 2つの三角形に共通な辺である。

△ABDと△CDBで，「3組の辺がそれぞれ等しい」から，

△ABD≡△CDBである。

△ABD≡△CDBだから，2つの三角形で対応する角は等しい。したがって，∠ABD＝∠CDBがいえる。

1　仮定と結論を明確にする。

2　 結論の辺や角をふくむ 2つの三角形に着目する。

3　 着目した 2つの三角形で等しい辺や角を見つける。

4　 三角形の合同条件のどれが根拠として使えるか判断し，

合同であることを示す。

5　合同な図形の性質を根拠にして結論を導く。

3組の辺2組の辺とその間の角1組の辺とその両端の角

A

C

DB

A

C

DB

A

C

DBDB

A

C

DBDB

A

C

DB

手順 1 ～ 5 は，証明の見通しを立てるときに使えるね。

5

10

15

20

2年_4-2-3_図形の性質.indd 128 2015/08/25 12:13

1292 節　合同と証明

前ページの 1～ 5 の手順を整理すると，次のように証明することができる。

仮 定　　AB＝CD，AD＝CB

結 論　　∠ABD＝∠CDB

証 明　　△ABDと△CDBで，

　仮定から，

AB＝CD …… ①

AD＝CB …… ②

　共通な辺だから，

BD＝DB …… ③

　①，②，③より，3組の辺がそれぞれ

等しいから，

　　　△ABD≡△CDB

　合同な三角形の対応する角は等しい

から，

∠ABD＝∠CDB

上の証明の筋道をまとめると，次のようになります。 をうめて，図を完成

させなさい。

あることがらを証明するときには，まず，仮定と結論を区別して，仮定から結論を

導いていくなかで，根拠として使えることがらを明確にすることが大切である。

1

2

3

4

5

問 3

根拠となることがら

AD＝CB

△　　　≡△　　　

AB＝CD

3組の辺がそれぞれ等しい2つの 三角形は合同である。

仮 定

結 論

BD＝DB

共通

∠　　　＝∠　　　

三角形の合同条件

合同な図形の対応する角の大きさは等しい。

合同な図形の性質

A

DB

C

DB

上の図のように，仮定であるAB=CD，AD=CBを印を使って表すといいね。

5

10

15

2年_4-2-3_図形の性質.indd 129 2015/08/25 12:14

─ 17 ─

表やグラフで与えられた情報を基に，3つの店の Tシャツの枚数とプリント料金の関係を考える問題である。この問題では，Tシャツの枚数とプリント料金について，グラフ上の座標の意味を事象と対応させて解釈し，最も安い店を調べる方法を，1次関数の知識・技能などを活用して説明することが必要である。

事象を数学的に解釈し，問題解決の方法を数学的に説明することができるかどうかをみる。

出題の趣旨

⑭　Tシャツのプリント料金

中数Ｂ−5

康平さんの所属するテニス部ではオリジナルＴシャツを作ることにしました。そこで，無地のＴシャツを持ち寄って，店にプリントを頼もうとしています。次の表は３つの店の料金をまとめたものです。

Ｔシャツのプリント料金

店 料　　金

カラー工房 Ｔシャツ１枚につき２００円です。

パレット印刷製版代が３０００円で，Ｔシャツ１枚につき１００円追加されます。

染め屋 Ｔシャツ６０枚までは何枚でも８０００円です。

製版代は，プリントするときの元になる版をつくるために必要な料金のことです。

康平さんはプリントする枚数によってどの店の料金が安くなるかを調べるために，Ｔシャツを x 枚プリントしたときの料金を y 円として店ごとの x と y の関係を，次のようにグラフに表しました。

3

プリント枚数と料金

カラー工房

パレット印刷染め屋

（円）

（枚）

１２０００

１００００

８０００

６０００

２０００

１０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０

４０００

Ｏ

y

x

Ａ

Ｂ

Ｃ

ＤＥ

中数Ｂ−6

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）ある枚数のＴシャツをプリントすると，パレット印刷と染め屋のどちらに頼んでも料金が同じになります。このときのＴシャツの枚数は，グラフ上のどの点の座標から分かりますか。下のアからオまでの中から１つ選びなさい。

ア　点Ａ　　イ　点Ｂ　　ウ　点Ｃ　　エ　点Ｄ　　オ　点Ｅ

（２）康平さんの所属するテニス部でオリジナルＴシャツの希望枚数をきいたところ，全部で３５枚でした。Ｔシャツ３５枚のプリント料金が最も安い店は，それぞれの店の料金を計算しなくてもグラフから判断できます。その方法を説明しなさい。

正 答 率

31.3％

─ 18 ─

1533 節　比例，反比例の活用

グラフから読みとる

　ともやさんとけんたさんは，河か

川せん

敷しき

のジョギングコースで，鉄橋から公園

までの 2400mを走った。

　右の図は，出発してから x分後の

鉄橋からの道のりを ymとして，2人の進んだようすをグラフに表したもの

である。

　このとき，ともやさんとけんたさん

が 400m離はな

れるのは，出発してから

何分後かを求めなさい。

出発してからx 分後の 2人の離れている道のりは，　　（x分後のともやさんが進んだ道のり）－（x分後のけんたさんが進んだ道のり）で求められる。この道のりは，x 分後の 2つのグラフの y座標の値の差から読みとることができる。

　x＝8 のとき，ともやさんのグラフでは，y＝1600けんたさんのグラフでは，y＝1200

となり，2人は 400m離れていることを読みとることができる。

答　8分後

例題 2について，次の問いに答えなさい。⑴　2人が公園に到

とう

着ちゃく

するのは，それぞれ出発してから何分後ですか。

⑵　 ともやさんが公園に到着したとき，けんたさんは公園まであと何mの

ところにいますか。

例題 2のグラフについて，ほかにどんなことを読みとることができますか。

例題 2

考え方

解答

問 3

伝えよう

問 4

y（m）

x（分）5 10 15

500

1000

1500

2000

O鉄橋……

公園……

ともやさん

けんたさん

5

10

15

20

25

1年_4-3-1_比例，反比例の活用.indd 153 2015/08/24 14:22

1年・比例と反比例　p.153

　　 正 答 例　

3 つのグラフの中で，xの値が 35 のときの y

の値が最も小さいグラフで表された店を選ぶ。

　　 誤 答 例　

誤答の中では，「35枚のところをみるとパレット印刷が安い」，「35 のところで一番最初にある直線を見る」など，問題解決の方法の説明の記述が十分でない解答が多く見られる。無解答率は 27.2％で，このうち，本問題で無解答であった生徒の 75.3％は，設問⑴を正答できておらず，問題場面とグラフを対応させて考えることができなかったと考えられる。

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎠

　課題と指導のポイント　

問題解決の方法を数学的に説明することに課題がある。指導にあたっては，日常的な事象の考察にグラフを活用し，そのよさを実感することや，グラフを用いた問題解決の方法や手順について，グラフの「用い方」を的確に説明することが大切である。2年・1次関数では，日常的な事象に 1次関数を活用することを学習している。そこでは，グラフや表を用いて印刷料金を調べ，複数の印刷会社の中から最も安い会社を考える問題などを掲載している。また，他学年でも，事象を数学的に解釈する問題や，グラフから事象を読みとる問題などを掲載し，関数を日常的な事象に活用する力が継続的に身につくようにしている。

2年・1次関数　p.95〜96953 節　1次関数の活用

しょうたさんの学校では，文化祭の案内状をカラー印刷で作ることになり

ました。下の表は，印刷会社 A社と B社の印刷料金を示したものです。

印刷会社 印刷料金

A社1枚～ 500枚までは印刷枚数 1枚あたり 18円500枚を超

こ

えた分については 1枚あたり 14円

B社印刷枚数 1枚あたり 10円ただし，印刷枚数に関わらず，初期費用として 6300円が必要。

印刷する案内状の枚数は，1000枚くらいになる予定

です。A社と B社のどちらに依い

頼らい

すると印刷料金が

安くなるでしょうか。A社と B社について，印刷枚数

と印刷料金の関係を調べてみましょう。

印刷枚数を x枚としたときの印刷料金を y円とします。A社と B社，

それぞれについて，yは xの 1次関数といえるでしょうか。理由もあわせて説明してみましょう。

A社と B社について，印刷枚数 x枚と印刷料金 y円の関係を

グラフに表すと，下の図のようになります。

?

1

印刷枚数と印刷料金の関係を調べよう

90006300

O 500 1000 （枚）

（円） A社B社

y

x

yをx の 1次式で表すことができるかな？

グラフをかくと，印刷料金の変化のようすがよくわかるね。

5

10

2年_3-3-1_1次関数の活用.indd 95 2015/08/25 11:40

96 3 章　1次関数

　学校や駅などで，スロープ（傾けい

斜しゃ

した路面）を

見かけることがあります。スロープは，車いす

を使用している人も，高低差のある道を安全に

通ることができるようにつくられています。

　このような配はい

慮りょ

を，バリアフリーといいます。

　スロープを設置するにあたり，建築基準法施し

行こう

令第 26条では「勾配（傾き）が　を

こえない」ことと「傾斜面の表面がすべりにくい材料で仕上げる」という規定があります。

　勾配が　の傾斜面は，水平距離が 8mで高さが 1m上がる傾きぐあいを表しており，

角度で表すと約 7.1°になります。

　しかし，勾配が　の傾斜面でも車いすを

使用している人にとっては，かなりきつい

勾配になるので，自治体ではスロープの基準

を，「屋内では　　（角度では約 4.8°）以下

の勾配にする」と定めているところもあり

ます。

　車いすでの走行は，勾配がきつくなるほど転てん

倒とう

のおそれがあります。

　車いすを使用している人が安心して，安全に道を通過できるようにスロープの勾配に

配慮することは，とても重要なことです。

18

18

18

112

スロープの勾こう

配ばい 数学ミニ事典

しょうたさんは印刷する案内状の枚数が決まったら，すぐに印刷会社に依頼

できるようにしておきたいと考えています。

⑴　 印刷する案内状の枚数が 900 枚のとき，A社と B社ではどちらの印刷料金

が安くなるでしょうか。また，1000 枚，1100 枚，1200 枚のときはどうでしょうか。下の　　をうめて，表を完成させましょう。

900 枚 1000 枚 1100 枚 1200 枚

A社 円 円 円 円

B社 円 円 円 円

⑵　 印刷枚数が何枚を超えると，A社の印刷料金が B社の印刷料金より高く

なるか求めてみましょう。

2

6m

6m

75cm

50cm勾配 1

12

勾配 18

5

10

15

20

25

2年_3-3-1_1次関数の活用.indd 96 2015/08/25 11:40

中学校数学　全国学力・学習状況調査にみられる課題とその手立て

編　者　　教育出版株式会社 編集局発行者　　教育出版株式会社　　　　　代表者　小林一光発行所　　〒 101-0051　　　　　東京都千代田区神田神保町 2-10　　　　　教育出版株式会社　　　　　TEL　03（3238）6864