FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI

Guida alla soluzione degli esercizi desame

Dott. Ing. Marcello Bonf Esercizi sulla scomposizione di modelli nello spazio degli stati: Gli esercizi nei quali viene dato un modello matematico del tipo:

con le relative matrici A,B,C di opportune dimensioni, e che richiedono di calcolare gli autovalori della parte raggiungibile-controllabile OPPURE della forma minima (ricordando che questultima corrisponde alla parte osservabile-ricostruibile) del sistema, devono essere risolti anzitutto calcolando la matrice di raggiungibilit:

per il primo caso OPPURE la matrice di osservabilit:

per il secondo caso (n in entrambi i casi la dimensione della matrice quadrata A). Suggerimento: Il calcolo di P o di QT richiede il calcolo di potenze successive della matrice A o AT, le quali devono poi essere post-moltiplicate per B o CT. Se queste ultime matrici hanno molti elementi nulli, si pu osservare che il risultato del prodotto tra esse e le potenze di A o AT corrisponde alla selezione di alcune delle colonne di A o AT e delle loro potenze. Si pu pertanto ridurre notevolmente la quantit di calcoli da svolgere, limitandosi al calcolo delle sole colonne di A o AT (e potenze) che effettivamente compariranno nella matrice P o QT. Si consideri ad esempio lesercizio N. 4 della PROVA 1 della raccolta manoscritta di esercizi pubblicate dal Prof. Sergio Beghelli (docente del corso in oggetto fino al 2011)1, il cui testo richiede di calcolare gli autovalori della parte raggiungibile-controllabile ed indica le matrici:

1 Salvo alcuni riferimenti a testi desame specifici, tutti gli esempi numerici forniti nel seguito della guida faranno riferimento a tale raccolta di esercizi, scaricabile dal sito web del corso in oggetto, nella parte finale della pagina della pagina web relativa al materiale didattico.

Calcolando il prodotto A B:

Come si pu notare, tale matrice risulta essere la seconda colonna di A. Qualora fosse stata data la matrice B:

si sarebbe ottenuto un risultato costituito dalla seconda e dalla quarta colonna di A. Tornando al testo proposto dallesercizio, il procedimento richiede di calcolare il prodotto A2 B:

Ovviamente, il risultato ottenuto ancora la seconda colonna di A2. Si pu quindi evitare di calcolare per esteso tutta la matrice A2 e di conseguenza anche le successive potenze di A, ma sufficiente calcolare la colonna di interesse. Questultima costituita dai seguenti elementi:

- Prodotto della prima riga di A per seconda colonna di A - Prodotto della seconda riga di A per seconda colonna di A - Prodotto della terza riga di A per seconda colonna di A - Prodotto della quarta riga di A per seconda colonna di A

Il risultato finale richiesto dallesercizio quindi completato dal calcolo di A3 B, analogo a quello di A2 B, e di P:

_______________________________________________________________________ Una volta calcolata la matrice P o QT, si pu osservare che se questa ha rango r < n, significa che si possono determinare r colonne linearmente indipendenti ed ortonormali, sulla base delle r colonne indipendenti di P, eventualmente ortonormalizzate (ad esempio applicando il metodo di Gram-Schmidt). A queste r colonne se ne devono poi affiancare altre n r, linearmente indipendenti tra loro e rispetto alle r ottenute da P o QT, in modo da ottenere una matrice di trasformazione T che permette di scomporre il sistema nelle parti raggiungibile-controllabile OPPURE osservabile-ricostruibile (forma minima) e non. Si consideri ancora come esempio lesercizio N. 4 della PROVA 1. La matrice P ottenuta in precedenza ha rango 2, in quanto la terza colonna e la quarta colonna sono dipendenti dalle prime due (la terza colonna infatti = B*6 A B, cio la prima colonna moltiplicata per 6 meno la seconda colonna, mentre la quarta = (A B)*7 B*6), mentre le prime due colonne sono linearmente indipendenti e possono essere ricondotte per ortonormalizzazione a quelle della seguente matrice:

NOTA: questo risultato non richiede lapplicazione esplicita del metodo di Gram-Schmidt (peraltro NON oggetto del corso di Fondamenti di Automatica / Controlli Automatici), ma risulta evidente dallosservazione degli elementi non nulli sulle prime due colonne di P.

Per ottenere una matrice di trasformazione coerente occorre affiancare alla T1 ottenuta, la matrice:

con la quale si ottiene:

Applicando tale matrice di trasformazione alla matrice originaria A si ottiene la parte raggiungibile-controllabile di ordine 2. Senza svolgere esplicitamente i calcoli, si pu anche facilmente osservare che tale sotto-parte del sistema si ottiene eliminando dalla equazione di stato originaria le variabili di stato x1 e x3, in quanto sono solo gli elementi in prima e terza posizione delle colonne di T2 (la sotto-matrice di trasformazione che identifica la parte NON raggiungibile-controllabile) ad essere diversi da zero. Si ottiene pertanto che la matrice di stato di questa sotto-parte (sono evidenziate le parti eliminate inerenti alla prima e terza variabile di stato, NON raggiungibili-controllabili):

Il testo richiede di determinare gli autovalori della parte raggiungibile-controllabile, perci rimane da analizzare la matrice Ac1: come si pu notare, essendo triangolare inferiore gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale, quindi 2 e -3, e si quindi ottenuta la risposta finale richiesta dallesercizio: Autovalori = [ 2 -3 ] ESERCIZI ANALOGHI:

- PROVA 2 N. 1: richiesta la forma minima = parte osservabile-ricostruibile, matrice C = [0 1 0 0 0]. Il rango di QT 3, le variabili di stato da eliminare per ottenere la forma minima sono la terza e la quinta. La matrice Ao1 ottenuta dalleliminazione di queste variabili ancora triangolare inferiore e ha autovalori: -4, -2, -3.

- PROVA 3 N. 6: analogo a quello descritto in precedenza, variabili di stato NON raggiungibili-controllabili: prima e terza, autovalori della parte raggiungibile-controllabile: 1, - 2, -3

- PROVA 4 N. 3: analogo a quello descritto in precedenza, variabili di stato NON raggiungibili-controllabili: seconda e quarta, autovalori della parte raggiungibile-controllabile: -3, 2, -1

- PROVA 5 N. 2, ecc.. _______________________________________________________________________ Esercizi sul progetto di retroazioni stato-ingresso, uscita-ingresso o osservatori Gli esercizi nei quali viene dato un modello matematico del tipo:

e viene richiesto di progettare una retroazione stato-ingresso OPPURE uscita-ingresso OPPURE un osservatore dello stato, in modo da assegnare ad un determinato valore il massimo numero di autovalori, vanno risolti anzitutto calcolando la matrice del sistema ad anello chiuso OPPURE dellosservatore. Per i tre possibili casi, si ottiene:

- A + B H per la retroazione stato-ingresso, con H di dimensione opportuna in modo che il prodotto B H sia una matrice quadrata della stessa dimensione di A

- A + B K C per la retroazione ingresso-uscita, con K di dimensione opportuna in modo che il prodotto B K C sia una matrice quadrata della stessa dimensione di A

- A + K C per losservatore dello stato, con K di dimensione opportuna in modo che il prodotto K C sia una matrice quadrata della stessa dimensione di A

NOTA: La retroazione stato-ingresso modifica solo gli autovalori della parte raggiungibile-controllabile del sistema, quella uscita ingresso solo gli autovalori della parte raggiungibile-controllabile E osservabile-ricostruibile, mentre nellosservatore dello stato sono assegnabili solo gli autovalori della parte osservabile-ricostruibile (forma minima). TUTTAVIA, non in generale necessario scomporre esplicitamente il sistema di partenza nelle varie sotto-parti per poter risolvere questo genere di esercizi. Una volta calcolata la matrice ad anello chiuso, essa risulter avere degli elementi dipendenti dai coefficienti incogniti delle matrici di retroazione H o K. Pertanto, alcuni degli autovalori della matrice risulteranno dipendenti da questi coefficienti, sebbene in generale non da TUTTI i coefficienti incogniti. Qualora ci avvenga, cio vi siano coefficienti della matrice H o K che NON influenzano gli autovalori del sistema ad anello chiuso, tali coefficienti verranno indicati come arbitrari nella soluzione dellesercizio. Si consideri ad esempio lesercizio N. 3 della PROVA 1, il cui testo impone:

e richiede di progettare una retroazione uscita-ingresso. La matrice incognita della retroazione deve essere di dimensione 1 x 2 (una riga e due colonne), in modo tale che pre-moltiplicata per B risulti una matrice 4 x 2, la quale poi post-moltiplicata per C diventa una 4 x 4. La matrice B K C, con K = [ k1 k2 ], risulta:

e pertanto:

Come si pu osservare, tale matrice ha una struttura triangolare a blocchi. Gli autovalori sono pertanto quelli delle due sotto-matrici 2 x 2 sulla diagonale, una delle quali indipendente dai coefficienti della matrice K, cio quella indicata con 1-1, i cui autovalori sono -3 e -1. Per assegnare al valore -3 il massimo numero di autovalori, come richiesto dallesercizio, necessario quindi analizzare solo la sotto-matrice 2 x 2 in basso a destra, indicata con 2-2. Calcolando il polinomio caratteristico di tale sotto-matrice, cio il determinante di:

1-1 1-2

2-2 2-1

ed uguagliandone i singoli coefficienti a quelli del polinomio del secondo ordine che, uguagliato a zero, ha due soluzioni corrispondenti a -3, cio:

si ottiene il seguente sistema di equazioni:

Risolvendo tale sistema nelle incognite k1 e k2 si ottiene il risultato finale:

K = [ -1 -4] NOTA: E di particolare importanza per lo svolgimento di questo tipo di esercizi osservare correttamente il partizionamento in blocchi di una matrice (normalmente fornita triangolare dal testo per agevolare i calcoli) e riconoscere i blocchi sulla diagonale. Non detto che i blocchi siano sempre della stessa dimensione. Ad esempio, si consideri lesercizio 3 del compito di CONTROLLI AUTOMATICI del 25 gennaio 2012, che fornisce la seguente matrice: In tal caso, la matrice scomponibile come evidenziate dalle righe orizzontali e verticali e le sottomatrici sulla diagonale sono evidenziate in rosso. Quella 2x2 al centro anche lunica che influenzata dai coefficienti della matrice di retroazione K. ESERCIZI ANALOGHI:

2-2 2x2

- PROVA 2 N. 3: analogo a quello descritto in precedenza, ma la matrice K risulta uno scalare, inoltre la struttura della matrice A + B K C triangolare a blocchi tale che solamente la sottomatrice 2x2 in basso a destra influenzata dalla retroazione. Infine, anche tale sottomatrice 2x2 triangolare inferiore. Lunico autovalore modificabile quindi quello nella quarta posizione sulla diagonale della A + B K C, che risulta essere 3 k1 3. Pertanto, la riposta finale : K = [ -1]

- PROVA 3 N. 4: analogo a quello descritto in precedenza, la matrice K una 2x2. La struttura della matrice A + B K C triangolare a blocchi e dei blocchi sulla diagonale solamente la sottomatrice 2x2 in basso a destra influenzata dalla retroazione. Anche la sottomatrice in alto a destra influenzata da K, ma NON essendo sulla diagonale non ha interesse per il calcolo degli autovalori. Infine, anche la sottomatrice 2x2 in basso a destra triangolare inferiore. Lunico autovalore modificabile quindi quello nella quarta posizione sulla diagonale della A + B K C, che risulta essere k1 4. Pertanto, la riposta finale : K = [ -1]

- PROVA 3 N. 9: il testo richiede di progettare un osservatore identit. Si deve quindi calcolare A + K C, con K di dimensione 2 x 1 (due righe e una colonna). Uguagliando i coefficienti del polinomio caratteristico, in funzione di K, a quelli del polinomio che uguagliato a zero ha due soluzioni in -5, si ottiene come risultato finale: K = [ - 8 -12]

- PROVA 4 N. 1: il testo richiede di progettare una retroazione stato-ingresso. Sebbene il testo fornisca anche la matrice C, questa non di interesse per la soluzione dellesercizio, in quanto la matrice del sistema ad anello chiuso A+B H. La matrice H deve quindi essere una 1 x 4 (una riga con quattro elementi). La matrice A+B H risulta essere una triangolare a blocchi nella quale solo il blocco 2x2 in alto a sinistra risulta essere influenzato dai coefficienti di H e, tra questi, solamente dai coefficienti h1 e h2. Applicando a tale sottomatrice il metodo basato sulluguaglianza dei coefficienti del polinomio caratteristico con quelli del polinomio con due soluzioni in -3, il risultato finale : H = [-1 -2 arb. arb.]

- PROVA 5 N. 1: ecc. _______________________________________________________________________ Esercizi su esponenziale di matrice, modi e risposte: In molti esercizi viene richiesto, anche se non esplicitamente, di calcolare lesponenziale di una matrice quadrata, che come noto descrive i modi delle variabili di stato di un sistema dinamico lineare:

Ad esempio, pu essere in genere richiesto di calcolare lo stato ad un certo istante di tempo, dato il valore dello stato ad un altro istante di tempo (sia precedente che successivo). Il calcolo della esponenziale di matrice si effettua applicando il metodo del polinomio interpolante, come mostrato nellesempio a pagina 56 e successive della dispensa FdA-1.3-Analisi_2015.pdf. Nei casi particolari in cui gli autovalori abbiano molteplicit non unitaria, il procedimento si modifica leggermente, come mostrato nella pagina 52 della stessa dispensa e nellesempio di pagina 59 . Si consideri ad esempio lesercizio N.1 della PROVA 6, il cui testo definisce la matrice:

La quale essendo triangolare ha un autovalore con molteplicit doppia = -4. La matrice esponenziale va calcolata come segue:

I coefficienti funzionali incogniti si ottengono dalla soluzione del sistema di equazioni espresso come segue:

Risolvendo il quale si ottiene:

E quindi:

Il calcolo della matrice esponenziale serve anche per determinare la matrice di risposta impulsiva, dato un sistema LTI completo:

per il quale la risposta impulsiva :

Per lo stesso tipo di sistema, pu essere spesso richiesto di calcolare la funzione di trasferimento. Il problema in questo caso non si risolve calcolando la matrice esponenziale, ma piuttosto linversa della matrice (sI A), la quale collegata alla matrice esponenziale solo perch ne la trasformata di Laplace. La funzione di trasferimento infatti:

Per tale tipo di problema si pu fare quindi riferimento allesempio a pagina 37 della dispensa FdA-2.1-FunzioniTrasferimento_2015.pdf. _______________________________________________________________________ Esercizi su trasformate di Laplace, funzioni di trasferimento e risposte: In alcuni esercizi viene richiesto di calcolare la trasformata di Laplace DI UN SEGNALE, descritto in modo grafico come diagramma temporale. Per risolvere tale tipo di esercizi si pu fare riferimento agli esempi di pagina 25 e 27 della dispensa FdA-2.1-FunzioniTrasferimento_2015.pdf. Si ricorda di osservare attentamente, nei diagrammi forniti dal testo degli esercizi sul tale argomento, le discontinuit del segnale (dovuti allintroduzione di un gradino nellistante di tempo corrispondente alla discontinuit). In altri esercizi invece, richiesto (seppure in generale NON in modo esplicito) di calcolare lanti-trasformata di Laplace di una funzione di trasferimento, data dal testo. Esempi di questa tipologia di esercizi sono:

Quelli che richiedono di calcolare la risposta impulsiva di un sistema data la sua funzione di trasferimento, come ad esempio lesercizio N. 10 della PROVA 2. Infatti, la risposta impulsiva lanti-trasformata della G(s), in quanto:

Quelli che richiedono di calcolare la riposta di un sistema data la sua funzione di trasferimento e la trasformata di Laplace dellingresso, come ad esempio lesercizio N. 2 della PROVA 6. In questo caso, infatti:

Y(s) = G(s) U(s) y(t) = anti-trasformata di Y(s) Per il calcolo dellanti-trasformata di una trasformata di Laplace si pu fare riferimento al metodo della scomposizione in fratti semplici descritto nelle pagine 4-9 (con esempi alle pagine 10-12) della dispensa FdA-2.2-RispostaSistemiElementari_2015.pdf facendo attenzione al caso particolare di poli complessi e coniugati. ESEMPIO 1:

ESEMPIO 2:

( )

NOTA: In una ulteriore e differente tipologia di esercizi si richiede di calcolare la risposta di un sistema data la sua funzione di trasferimento e dato un ingresso sinusoidale. Tali esercizi

si riferiscono invece al calcolo del regime sinusoidale determinato dalla funzione di risposta armonica corrispondente alla funzione di trasferimento (vedi pagine 7 e 11-12 della dispensa FdA-2.3-DiagrammiBode_2015.pdf). In questi casi quindi necessario calcolare il modulo e largomento della alla pulsazione corrispondente a quella della sinusoide dingresso. Da questi due valori, si ottengono poi le caratteristiche della risposta sinusoidale come appunto descritto dalla pagina 7 citata, cio lampiezza della sinusoide va moltiplicata per il modulo della F(), calcolata nel valore di corrispondente alla pulsazione della sinusoide di ingresso (es. se sin(3 t), allora =3) e nella funzione seno ad t va sommato largomento della F(), sempre calcolata nel valore di pulsazione della sinusoide di ingresso. _______________________________________________________________________ Esercizi sulla riduzione di diagrammi a blocchi: Per determinare la funzione di trasferimento di un sistema descritto da un diagramma a blocchi si possono applicare le regole grafiche descritte sulle dispense (vedi FdA-2.1-FunzioniTrasferimento_2015.pdf). Poich il problema intrinsecamente legato allaspetto grafico del diagramma specifico e poich ogni esercizio pu in genere essere risolto correttamente in pi di un modo (es. spostando prima una certa diramazione, o un nodo sommatore, a monte o a valle piuttosto che unaltra, o altro), non possibile fornire una singola regola generale valida per tutti gli esercizi. E tuttavia possibile fornire alcuni suggerimenti ragionevoli:

1. Gli schemi con rami in retroazione richiedono lapplicazione della regola di riduzione dellanello. Se sono presenti pi rami di retroazione, i relativi anelli possono essere ridotti solo se sono in serie (e quindi indipendenti) tra loro, oppure luno annidato nellaltro, nel qual caso dovranno essere risolti in sequenza partendo da quello pi interno. Se invece vi sono rami che rendono gli anelli intrecciati tra loro, come nellesempio seguente (esercizio N.4 PROVA 4) gli anelli aventi rami di retroazione con i blocchi B ed E:

la riduzione immediata degli anelli intrecciati non possibile. Nel caso particolare di tale esempio (altri andranno analizzati in modo specifico), sufficiente spostare la diramazione che si trova dopo il blocco C a valle dellanello che include D (che pu essere immediatamente risolto sostituendolo con un blocco D/(1+D), non essendo influenzato da altri rami), rispettando la regola relativa (cio moltiplicando il ramo spostato per (1+D)/D), per ottenere uno schema in cui tutti gli anelli residui (cio tre) sono annidati tra loro e quindi possono essere risolti uno dopo laltro, partendo da quello pi interno.

)()()( jGsGF js == =

2. In altri casi, ci che impedisce la riduzione di un anello la presenza di una diramazione uscente da un punto interno dellanello e che raggiunge un nodo sommatore esterno allanello. Un tipico esempio quello dellesercizio N. 1 di PROVA 8:

Qui lanello con retroazione D che non pu essere risolto se prima non viene liberata la diramazione entrante in F. Tale diramazione pu essere spostata a valle di E, ottenendo cos uno schema in cui lanello citato e il parallelo tra un ramo unitario e il blocco F/E sono in serie tra loro.

3. In altri casi ancora, gli intrecci tra anelli o diramazioni in parallelo sono solo apparenti. Talvolta invertendo lordine nodi sommatori immediatamente in serie tra loro (operazione che di fatto NON modifica il diagramma, visto che cambiando lordine di addendi la somma non cambia) OPPURE lordine di due diramazioni, sempre se queste sono luna immediatamente dopo laltra (cio in pratica tali rami prelevano sempre lo stesso segnale!), il diagramma ridisegnato (ma non sostanzialmente modificato) evidenzia lassenza di anelli intrecciati. Un esempio, NON tratto dalla raccolta di esercizi del Prof. Sergio Beghelli, il seguente:

In tal caso, invertendo lordine dei due nodi sommatori indicati con 1 e 2, risulta pi evidente che il parallelo tra B e C e lanello tra un ramo unitario e D sono assolutamente indipendenti (i.e. in serie tra loro).

NOTA 1: Una utile raccolta di esempi focalizzata sulla riduzione per via grafica dei diagrammi a blocchi si pu scaricare a questo link, per gentile concessione della Prof.ssa Mariagrazia Dotoli del Politecnico di Bari: http://climeg.poliba.it/file.php/225/Dispense_I_modulo/Schemi_a_blocchi.pdf NOTA 2: Il suggerimento in casi di difficolt della risoluzione con il metodo grafico quello di fare una controprova con il metodo alternativo basato sulla risoluzione di un sistema di

equazioni, come descritto a pagina 91 della dispensa FdA-2.1-FunzioniTrasferimento_2015.pdf. Si consideri infine che non necessario che il risultato venga fornito con la semplificazione completa del numeratore e del denominatore della funzione di trasferimento complessiva, ma sufficiente che venga evidenziato il modo con cui stata considerata linterconnessione dei vari blocchi. _______________________________________________________________________ Esercizi sui diagrammi di Bode: Gli esercizi sui diagrammi di Bode richiedono normalmente di determinare la funzione di trasferimento compatibile con un diagramma delle ampiezze approssimato fornito nel testo dellesercizio. Il testo dellesercizio specifica normalmente che si suppone che il sistema sia a fase minima, cio con tutti i poli e gli zeri a parte reale negativa. La funzione di trasferimento cercata quindi del tipo descritto alle pagine 19 o 20 della dispensa FdA-2.3-DiagrammiBode_2015.pdf, che si pu ottenere in modo relativamente semplice applicando le considerazioni di pagina 53-54 della stessa dispensa. Per risolvere tale esercizio occorre anzitutto determinare i valori dei poli e degli zeri e la loro molteplicit. Ci risulta pressoch immediato analizzando i punti di rottura del diagramma e la pulsazione corrispondente, ricordando che tali punti di rottura si trovano in corrispondenza di: per i contributi del tipo (POLO o ZERO) La molteplicit del polo o dello zero corrispondente dipende dalla pendenza che assume il diagramma approssimato in quel punto di rottura: per ogni polo la pendenza cala di 20 dB/decade (pendenza = -1 su un diagramma logaritmico), per ogni zero aumenta di 20 dB/decade (pendenza = +1 su un diagramma logaritmico). Per determinare il coefficiente K della funzione di trasferimento, ci semplice se il diagramma non ha poli/zeri nellorigine (pendenza nulla per ), mentre se il diagramma ha una pendenza iniziale diversa da zero (presenza di uno o pi poli/zeri nellorigine) occorre ricordare losservazione di pagina 54 della dispensa FdA-2.3-DiagrammiBode_2015.pdf: si deve cio determinare il guadagno K dal punto di intersezione tra il prolungamento del tratto iniziale e lasse delle ordinate in . Si consideri ad esempio lesercizio N. 5 della PROVA 8:

1= )1( +s

0

10-2

10-1

100

101

102

103

104

10-2

10-1

100

101

102

103

log(|G(j)|)

log()

Come si pu notare la figura ha una pendenza iniziale -1 (20 dB/decade) ed il prolungamento del tratto iniziale passa per il punto ( ,. G = 10). Il coefficiente K quindi = 10. Osservando il cambiamento della pendenza a pulsazione = 0,1 (un polo), = 1 (uno zero doppio, in quanto la pendenza passa da -2 a 0) e = 100 (un polo), la funzione di trasferimento cercata (nella forma descritta a pagina 20 di FdA-2.3-DiagrammiBode_2014.pdf):

_______________________________________________________________________ Esercizi di progetto del guadagno di un controllore (con criterio di Routh o SENZA): Lapplicazione del criterio di Routh non in genere richiesta esplicitamente dal testo di un esercizio. Tuttavia, TUTTI gli esercizi che richiedono di determinare i valori di un certo parametro (solitamente il guadagno K) tali per cui un sistema in retroazione risulta stabile, richiedono lapplicazione di tale criterio. La tabella di Routh ottenuta in questi casi espressa in modo simbolico dipendente dal parametro. Pertanto, la necessit di garantire la persistenza del segno dei termini nella prima colonna della tabella di Routh impone dei vincoli di disuguaglianza, che possono determinare un intervallo di valori ammissibili per il parametro, come appunto richiesto dal testo dellesercizio. Un esempio di tale tipo di problema esposto anche a pagina 23-24 della dispensa FdA-2.4-StabilitaFdT-LuogoRadici_2015.pdf. NOTA 1: In alcuni esercizi, come ad esempio lesercizio N. 8 di PROVA 3, richiesto di calcolare il valore di K per cui due poli sono sullasse immaginario. Tale condizione corrisponde alla stabilit marginale del sistema, per cui si pu determinare applicando il criterio di Routh ed

imponendo che i termini della prima colonna dipendenti da K, anzich avere lo stesso segno dei termini noti nelle righe precedenti o successive, siano NULLI. In tal caso infatti, il sistema avr appunto dei poli a parte reale nulla (puramente immaginari). Fissato il valore di K ottenuto, il denominatore della funzione di trasferimento AD ANELLO CHIUSO risulta assegnato e pertanto sar possibile calcolarne esplicitamente i poli. In particolare, nellesercizio considerato (PROVA 3 N.8) con K = 8 (vi sarebbe unaltra soluzione ottenuta dalla tabella di Routh, K = 0, ma non ammissibile) il denominatore del sistema uguagliato a zero diventa:

s3 + 4 s2 + 2 s + 8 = 0 Si pu osservare che possibile raccogliere un fattore (s+4):

s2(s + 4) + 2(s + 4) = 0

(s2 + 2)(s + 4) = 0

Pertanto i due poli complessi coniugati sono NOTA 2: Altri esercizi, come ad esempio lesercizio N. 4 di PROVA 8, richiedono di calcolare il valore di K in modo che il sistema in retroazione sia in una condizione pi generica di quella di avere due poli sullasse immaginario. In particolare, lesercizio considerato richiede di calcolare K in modo che il sistema abbia due poli coincidenti. In questo caso NON va applicato il criterio di Routh, ma semplicemente occorre considerare che il denominatore del sistema chiuso in retroazione deve essere compatibile con il seguente, espresso in modo simbolico in funzione del valore incognito del polo duplice:

(s - a)2 = s2 - 2 a s + a2 Poich il denominatore del sistema in retroazione in funzione di K :

s2 + 5 s + 6 + K E facile calcolare che il parametro incognito a deve valere 5/2, di conseguenza K = 1/4. ESERCIZI ANALOGHI (senza luso del criterio di Routh: In generale tutti gli esercizi in cui richiesto di calcolare il valore del guadagno K e/o di un altro parametro, in modo che il sistema in retroazione abbia un determinato coefficiente di smorzamento e/o pulsazione naturale e/o tempo di assestamento e/o valori specifici dei poli desiderati (v. PROVA 2 N. 8, PROVA 4 N. 9, PROVA 5 N. 8, PROVA 6 N. 4 ecc.). In tali esercizi, si deve considerare come riferimento il denominatore di un generico sistema del secondo ordine:

e ricordare che il coefficiente di smorzamento, la pulsazione naturale e che il tempo di assestamento di questo tipo di sistema :

_______________________________________________________________________ Esercizi sullerrore a regime o sul valore a regime della riposta: Negli esercizi sul calcolo dellerrore a regime pu essere necessario applicare le considerazioni delle pagine 42-43 della dispensa FdA-2.4-StabilitaFdT-LuogoRadici_2015.pdf, in quanto gli schemi a blocchi proposti dal testo spesso presentano funzioni di trasferimento NON unitarie nel ramo di retroazione. Si consideri ad esempio lesercizio N. 8 di PROVA 5, che propone uno schema a blocchi riconducibile a quello di pagina 43 della dispensa considerando:

Applicando il teorema dellerrore a regime, come da ultima riga della pagina 52, si ottiene:

Con le opportune semplificazioni ed uguagliando lerrore a regime a 0,01 (o 1/100) si ottiene K = 99 / 11 = 9. NOTA 1: In alcuni esercizi, come ad esempio lesercizio N. 10 di PROVA 4, richiesto di calcolare lerrore a regime con un ingresso di riferimento = 0 e con un gradino applicato al segnale di disturbo d(s), entrante nellanello subito prima del blocco che solitamente rappresenta il plant (sistema da controllare). Un altro esercizio simile quello N. 10 di PROVA 10, che differisce dal precedente in quanto richiede di calcolare luscita y(t) a regime, anzich lerrore. In entrambi i casi necessario applicare una opportuna riorganizzazione dello schema a blocchi, al fine di ricondursi allo schema di pagina 43 della dispensa FdA-2.4-StabilitaFdT-LuogoRadici_2015.pdf per il calcolo dellerrore a regime, oppure al fine di calcolare la funzione di trasferimento (ad anello chiuso) tra Y e D per il calcolo della risposta a regime Y.

Si consideri ad esempio lesercizio PROVA 10 N. 10:

Considerando che u(t) = 0 si pu eliminare la giunzione sommante a sinistra del diagramma, CONSIDERANDO PERO che il segno del ramo di retroazione negativo. Per tenerne conto si pu aggiungere in posizione opportuna un blocco con funzioni di trasferimento = 1. Riorganizzando il diagramma in modo da evidenziare la relazione tra Y e D si ottiene:

Riducendo lanello di retroazione in modo da ottenere la funzione di trasferimento ad anello chiuso tra Y e D (NOTANDO che lanello cos ristrutturato ha retroazione POSITIVA) sar poi possibile applicare ad esso il teorema del valore finale (considerando come richiede il testo che d(s) = 1/s) per il calcolo del valore di regime di Y, imponendo che esso sia = 0,5, in funzione di K. La soluzione finale dellesercizio quindi K = 6. NOTA 2: Infine, utile considerare anche il caso in cui venga richiesto di applicare un segnale NON NULLO sia allingresso di riferimento che al segnale di disturbo. In questo caso, occorre applicare la propriet della sovrapposizione degli effetti tipica dei sistemi lineari. Un esempio di tale tipologia di esercizio NON presente nella raccolta di esercizi preparata dal Prof. Sergio Beghelli, ma contenuto nel testo dellesame del 16 luglio 2014 (Esercizio N. 4 sia nel testo da 9 crediti che in quello da 6). Nellesercizio dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi:

e si richiede di calcolare il valore di K tale per cui risulti qualora sia ad u che a d siano applicati dei gradini unitari: . Applicando la sovrapposizione degli effetti di u e d:

nella quale G1(s) la funzione di trasferimento dellanello avente come ramo di retroazione il blocco (s+6)/(s+4), mentre G2(s) la funzione di trasferimento dellanello avente come ramo diretto K/(s+3) e gli altri due blocchi come retroazione.

Sostituendo allespressione ottenuta per y(s) le funzioni di Laplace dei segnali di ingresso u(s) e d(s), applicando il teorema del valore finale:

ed imponendo il vincolo di progetto si ottiene:

K = 1/9 _______________________________________________________________________

Esercizi sul luogo delle radici: Gli esercizi sul luogo delle radici richiedono di disegnare il luogo in modo qualitativo. A tale scopo dovrebbe essere ampiamente sufficiente ricordare le regole descritte nelle pagine 58-60 della dispensa FdA-2.4-StabilitaFdT-LuogoRadici_2015.pdf e soprattutto la procedura riepilogata a pagina 61. Si noti anche che sulla dispensa tutte le figure mostrate negli esempi si riferiscono al luogo DIRETTO, mentre negli esercizi desame richiesto di disegnare sia il luogo diretto che quello INVERSO. Per il calcolo del centro degli asintoti si pu applicare una stima qualitativa sul valore numerico dei poli e degli zeri, in base alla distanza tra essi nella figura. Non per necessario che venga definito un valore preciso, non generalmente fornito nel testo.

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 200 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 400 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/CreateJDFFile false /Description >>> setdistillerparams> setpagedevice