ANÁLISE DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA FÍSICA OU GEO~TRICA

Hierônimo Santos Souza

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE

PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO

GRAU DE MESTRE EM CifNCIAS (M.Sc.).

Aprovada por:

Pr6. Sergio Fernandes Villaça

(Presidente)

..--.___ -~"-------+-------"'--~

s dos San tos /

Prof. Humberto Lima Soriano

RIO DE JANEIRO, R.J. - BRASIL

DEZEMBRO DE 1978

i

SOUZA, HIERÔNIMO SANTOS

Análise de Placas Circulares com Ortotropia

Física ou Geométrica. [Rio de Janeiro[, 1978.

X, 216 p., 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., En-

genharia Civil, 1978).

Tese - Universidade Federal do Rio de Janei-

ro - COPPE

1. Placas I. COPPE/UFRJ II. Título (série)

ii

A meu pai, com saudades:

e à minha mãe., com carinho.

iii

. AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Sergio Fernandes Villaça, pela dedicada

e valiosa orientação do trabalho.

Ao Prof. Paulo Alcantara Gomes, pela idéia ini·ci

al da tese.

Aos Profs. Antonio Marmo de Oliveira e José Ber-

nardo Ortiz Monteiro, da Universidade de Taubaté, pelos conheci-

mentos transmitidos no período de graduação.

Pelo mesmo·. motivo, aos professores da COPPE /

UFRJ, durante os cursos de pós-graduação.

Ao CNPq e à CNEN, pelo auxílio financeiro.

à Enise, minha mulher, pela colaboração e incen-

tivo tantas vezes demonstrados.

Ao amigo 11enato Di Thomazo, pela excelente con -

fecção dos desenhos.

A tantas outras pessoas que, de outras formas

prestaram sua contribuição.

,

iv

RESUMO :

O objetivo deste trabalho é a análise. estrutural

da flexão de placas circulares com ortotropia física ou georrétri

ca. No primeiro caso a placa possui espessura uniforme e seu ma

terial apresenta diferentes propriedades segundo as direções ra-

dial e circunferencial; no segundo, a placa isótropa é enrijeci-

da por um conjunto de nervuras U11iformemente distribuídas nas

direções citadas, que lhe conferem características de estrutura

ortótropa.

Para cada caso sao instituídas as equações dife-

renciais de equilíbrio em termos dos deslocamentos do plano mé -

dio da placa e suas soluções gerais são obtidas por meio de se -

ries. Resultados analíticos dessas teorias são apresentados pa-

ra diversas combinações de carregamento e condições de contorno

usuais em placas circulares ou anulares.

Apresentam-se também, métodos aproximados~ para

análise de placas nervuradas, e seus resultados conparados com

as soluções da teoria desenvolvida.

V

ABSTRACT

The purpose of this work is the structural

analysis of circular plates with physical or geometrical ortho-

tropy. In· the former, the plate has uniform thickness and its

material has different elastic properties in the radial and

circunferential directions; in the latter, the isotropic plate

is stiffenned with uniformily spaced radial and circunferential

ribs.

For each case, the equilibrium differential

equations are derived in terms of the middle surface displace -

ments, and their general solutions are found by series. Closed

form solutions for several combinations of usual load and boundary

conditions are given in detail.

Some approximations to the theory of stiffened

plates are presented,and their results are compared to the

solutions of the theoretical developement.

vi

SIMBOLOGIA

CAP!TULO II

r, e, z - coordenadas cilíndricas

ªr' cr8 , ªz - tensões normais paralelas às direções ·de coordenadas

'ar' 'ze' 'rz - tensões tangenciais paralelas às direções de coor

denadas

Er' E8 , Ez - deformações normais

Yer' Yze' Yrz - deformações angulares

u, v, w - deslocamentos nas direções r, e e z respectivamente

Er' E9 , Ez - módulos de elasticidade do material ortótropo

, i,j = r,8,z - coeficientes de Poisson do material ortótropo

Gra' Gaz' Grz - módulos de cisalhamento

Pr, P9 , Pz - forças de superfície

l, m, n - co-senos diretores da normal à superfície

Ü, v, w - deslocamentos prescritos no contorno

CAP!TULOS III E IV

a, b - raios externo e interno da placa circular, respectivarrente

h - espessura

Qr, Q8 - esforços cortantes por unidade de comprimento

Vr' v9 - reações de apoio por unidade de corrprimento

Mr' M8 - momentos fletores por unidade de comprirrento

Mre, Mar - momentos torsores por unidade de comprimento

q (r, e) - carregarrento externo distribuído

w - flechas

vii

ªr' B9 - rigidezes fle.xionais da placa ortótropa

ªre, ªer - rigide zes torcionais da placa ortótropa

H - rigidez torcional efetiva

a, B, ó, II - parâmetros adimensionais associados às rigidezes da placa ortótropa

Lr' L9 , Lre - operadores diferenciais

Ài - raízes da equação característica

' m - índice contador da ordem dos'harmônicos

Cim - constantes de integração dos deslocamentos w

Wm - coeficientes das séries trigonorrétricas, dependentes da va-

riâvel r somente

F - função de tensões

E, v - constantes elâsticas de material isótropo

Fij - funções iniciais de influência

CAP!TULOS V E VI

a, h - raio e altura da placa isótropa

E, v - constantes elâsticas da placa isótropa

br' b 9 - espaçamento eixo a eixo entre nervuras contíguas nas ·di

reções radial e circunferencial respectivamente

hr' h 9 - alturas das nervuras

tr' t 9 - larguras das nervuras

Ar' A9 - áre.as unitárias das nervuras

Er' E9 - módulos de elasticidade das nervuras

er' e 9 - excentricidades das nervuras

ºr' o 9 - rigidezes extensionais unitárias da placa nervurada

ªr' B9 - rigidezes flexionais unitárias da placa nervurada

D, B - rigidezes extensional e flexional unitárias da placa isó-

tropa

Nr' N9 , Nre - esforços de membrana

viii

u, v, w - deslocamentos do plano rrédio da placa isótropa

Lr' La, Lre

x, a, S, Kr

operadores diferenciais

parâmetros adimensionais que relacionam propried~

des físicas e georrétricas das seções transversais

da placa nervurada

Ài' µi - raízes das equações características

K, L - constantes associadas às raízes Ài e µi

m - Índice contador da ordem dos harmônicos

d1 , d 2 , f, n - parâmetros adimensionais associados com o cisa lhamente e à torção da placa isótropa

y, ô - parâmetros adimensionais que relacionam rigidezes da pla-

ca nervurada com as da placa isótropa

e. - constantes de integração dos deslocamentos u, v e w im

n. , 1;. - fatores de multiplicidade entre as constantes de inte im i m

graçao

es, Ds, Bs grandezas referentes aos enrijecedores somante

x1 , a1 , Si - parâmetros adimensionais assoei ados com estas gran-

dezas

!AI - matriz dos coeficientes do sistema de equaçoes diferenci -ais

p coordenada radial adimensional

e: relação entre raios interno e externo da placa circular

ix

· ·tNDICE

CAPtTULO I - INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAP!TULO II - EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE

LINEAR EM COORDENADAS CILiNDRICAS

2.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2 - Estado de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 - Estado de Deformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 - Lei de Hooke Generalizada

2.5 - Condições de Contorno

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAP!TULO III - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA

F!SICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 2 - Hipóteses da Teoria

3.3 - Forças e Momentos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. 4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa

3.5 - 'Relações Deformação-Deslocamento

3.6 - Relações Tensão-Deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 7 - Expressões Esforço 'Resultante - Flech.a

3.8 - Equação Diferencial da Placa

........

3. 9 - Rigidez Torcional Efetiva

3.10- Condições de Contorno

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.11- Solução Geral da Equação Diferencial

3.12- Equação Diferencial das Chapas com Ort0tropia

Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAP!TULO IV - APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CON

DIÇÕES DE CONTORNO - ORTOTROPIA FtSICA

i

4

4

5

6

8

11

13

13

14

15

17

20

21

24

25

27

30

32

38

42

X

4 .1 - Introdução

4. 2 - Flexão Axissinétri ca

4.3 - Flexão Assinétrica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

42

83

4. 4 - Chapas Sujeitas a Pressões Radialmente Simétricas 96

CAPITULO V - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA GEO

fil:TRICA

5.1 - Introdução

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.................................... 5. 2 - Considerações Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 3 - Definições Físicas e Geonétricas

5. 4 - Instituição das Equações de Equilíbrio

5.5 - Soluções Axissimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 - Soluções Não.-Axissinétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 - Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO VI - APLICAÇÕES A CASOS COMUNS DE CARREGAMENTO

101\

100

103

106

111

122

135

145

E CONDIÇÕES DE CONTORNO (ORTOTROPIA GEOfil:TRICA) 147

6.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 - Flexão Axissinétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 - Flexão Não-Axissimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO VII - APROXIMAÇÕES DA TEORIA DE PLACAS". CIRCULARES

147

147

181

COM ORTOTROPIA GEOME!TRICA •••••••••••••• 189

7.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 - Aproximação por uma Equação de 4~ Ordem - Tipo Or-

trotopia Física

CAPITULO VIII - CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

REFE~NCIAS BIBLIOGRÃFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APfNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

191

207

209

213

1

CAP!TULO I

INTRODUÇÃO

A utilização de. estruturas laminares planas em

certos setores da construção civil, aeronáutica e naval, e~ge ,

na maioria das vezes, a preservaçao de um de seus lados como su-

perfície plana que irá receber as solicitações de serviço, tais

como os casos de pisos, pontes, cascos de navio, fuselagens de

avião, etc. Quando se requer da estrutura maior rigidez e esta-

bilidade sem o aumento proporcional da sua espessura, o nervura-

mento excêntrico é uma prática que produz bons resultados, pois

lhe confere as características estruturais desejadas com um in -

cremento relativamente pequeno dó seu peso próprio. O enrijeci-

mento de placas segundo direções perpendiculares leva ao estudo

d~ placas ortótropas.

Uma placa é considerada ortótropa quando aprese!!.

ta propriedades de rigidez diferentes em direções ortogonais pa-

ralelas ao seu plano médio. Este fato, de um modo geral, ocorre

nas seguintes situações: a) a placa tem espessura uniforme e a

variação se dá nas propriedades elásticas do material constituin

te; a esse tipo diz-se que contém ortotropia física ou natural;

b) a placa é construída com material de propriedades elásticas· u

niformes e a variação se dá nas propriedades geométricas da se -

ção transversal; neste caso diz-se que possui ortotropia geomé -

trica ou construtiva.

2

O início do desenvolvimento teórico da flexão

de placas com ortotropia física se deve a M. T. Huber25

que a PªE.

tir de 1914 idealizou este modelo estrutural para o cálculo de

placas retangulares de concreto armado, com nervuras excêntricas

no seu plano médio e uniformemente dispostas em direções parale-

las a seus lados.

Pflüger26 em 1947 foi o primeiro a estudar rig~

rasamente o problema, ao considetar as deformações do plano mé -

dia da placa e o cisalhamento delas decorrentes por efeito da

excentricidade das nervuras, detalhe não considerado por Huber

Depois dele, pode-se citar, entre outros,

27 28 11 12 ks , Giencke , Massonnet , Clifton e

os trabalhos de Tren -

Troitsky6 , que contri-

bUÍram na formação da teoria considerada exata das placas excen-

tricamente enrijecidas.

Neste trabalho, objetiva-se o estudo da flexão,

no domínio de pequenos deslocamentos, das placas circulares com

ortotropia cilíndrica, as quais apresentam diferentes valores de

rigidez segundo as direções de coordenadas polares: raios e cir-

cunferências concêntricas.

No Capítulo II é feito um resumo das equaçoes bá

sicas da teoria da elasticidade linear em coordenadas cilíndri -

cas. Nos Capítulos III e IV apresentam-se a teor±a da flexão de

placas circulares com ortotropia física e resultados anafíticos

para casos clássicos de carregarrento e condições de contorno. '

No Capítulo V desenvolve-se a teoria da flexão

3

de placas circulares com: eririjecedores excêntricos ao seu plano

médio, tendo por base os trabalhos citados anteriormente que re-

latam o assunto detalhadamente para placas de forma retangular

No Capítulo VI procurou-se soluções analíticas para a maioria

dos casos comuns de carregamento e condições de contorno aborda-

dos no Capítulo IV.

Finalrrente no Capítulo VII , estuda-se a viabi1i

dade de aplicar em placas circulares, as aproximações das equa-

çoes da teoria de placas nervuradas por uma equação tipo Huber,

onde se procura substituir a placa isótropa com propriedades ge~

métricas descontínuas por uma placa ortótropa equivalente de

propriedades geométricas contínuas.

4

CAPITULO II

EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE LINEAR

EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

2.1 - INTRODUÇÃO

No estudo das tensões e deformações decorren-

tes da flexão de placas circulares possuindo ortotropia física

ou geométrica, utiliza-se a teoria da elasticidade linear equa-

cionada em coordenadas cilíndricas. Apresentamos a seguir um

resumo desta teoria tendo por base o trabalho de Lekhnitskii1 •

O comportamento estrutural de um sólicb elásti

co sujei to à açao de forças externas e devencb cumprir no con-

torno certas condições de deslocamento, se define em termos de

sua configuração de deformações e tensões internas resultantes.

As grandezas relacionadas a estes estados são referidas a um

sistema de coordenadas cilíndricas (r,e,z) como o da fig. 2.1 ,

sendo o ângulo e medido a partir de um eixo x arbitrário.

º'==--------,~-----__._,..X -~:::·.:::::_~;·· -------.... !,. !""-:' ,;----

'·-.,, 1

r

z

F IG-2.1

5

2.2 - ESTADO DE TENSÕES

O estado de tensões num ponto genérico P (r,

e,z) em equilíbrio no interior do corpo, é definido pelas com-

ponentes de tensão atuantes em 3 facetas perpendiculares as

direçiíes coordenadas, (fig. 2.1) ,que constituem o tensor

cr r Tre

Ter cr e ( 2 .1)

Tzr ''ze

simétrico devido à lei de reciprocidade de tensões cisalhantes:

I i,j=r,e,z

Considerando a variação de tensões sobre um e

!emento infinitesimal de volume r dr de dz , e estabelecendo

.o equilíbrio na posição indeformada (válido para pequenos desl~

camentos), as equações diferenciais do equilíbrio, na ausência

de forças de massa, se escrevem:

= o

il Tre 1 "a e il Tez T re ãr"" + - ãe + ~ + 2 = o ( 2. 2 J r r

ilTrz 1 a Tez il C/ Trz ãr"" + - ã'e"" +

__ z + -- = o r az r

6

2.3 - ESTADO DE DEFORMAÇÕES

O estado de deformações na vizinhança de um

ponto qualquer, é definido pelo tensor

·1 1 Er 2 Yre 2 Yrz

1 1 ( 2. 3) 2 Yer E6 2 Yez

1 1 2 Yzr 2Yze Ez

também simétrico. O vetor deslocamento entre a posição inicial

indeformada e a posição final tem as componentes u,v e w ,re.!!_

pecti vamente nas direções r, e e z.

As relações deformação-deslocamento, no caso

linear, sao:

au av V + 1 au Er = Yre = ãr - - - ãê ar r r

= 1 av + u = aw + au ( 2. 4 l E6 - as Yrz ãr r r az

aw av 1 aw Ez = ãz Yez = -+ as az r

Na figura 2.2 é esquematizada a geometria de

deformaç3es com pequenos deslocamentos que ocorre no plano re,

onde se pmcura realçar a influência dos deslocamentos radiais

sobre as deformações tangenciais e a mtação de corpo rígido do

elemento que deve ser excluída da variação angular total.

7

>v v + 00 rde+ude

o' FIG-2.2

A continuidade dos deslocamentos imp:ie que

as deformações satisfaçam as seguintes equações de compatibili-

dade:

2 e!. r

2 .a .E 6 2(--araz

1 r2

1 2 r

=

=

=

2 1 a Y ez r "'"a._.z-::-a-::-e-

2 1 a Yre - + r arae

a a · ·a · 1 · Y r z · .y e z _r_a_e (- r ae + ar

1 2 r

(2.5)

y -ª-

8

2. 4 - LEI DE HOOKE GENERALTZ:ADA :

O material é considerado homogêneo e segue a

lei de Hooke, em cujas relações constitutivas as deformações sao

funções algébricas lineares das tensões e vice-versa; esta line

aridade física, juntamente com a hipÓtese de pequenos desloca -

mentos, garantem a validade do princípio de superposição de efei

tos.

As equaçoes da lei de Hooke em coordenadas ci

líndricas, no caso mais geral de sólido anisótropo sem nenhuma

simetria elástica, podem ser colocadas na seguinte forma:

{E} = IAI {a}

Er ª11 ª12 ~3 ª14 ª15 ª16- ªr

Ee ª22 ª23 ª24 ª25 ª26 ªe

Ez ª33 ª34 ª35 ª36 ªz = Yre SIM. ª44 ª45 ª46 're

Yez ª55 ª56 'ez

Yrz ª66 'rz

(2.6)

onde JAJ é a matriz elástica, simétrica por considerações de

energia e com 21 elementos indep~ndentes.

O principal caso de anisotropia cilíndrica ,

de especial interesse em nosso estudo, denomina-se Ortotropia

Cilíndrica. t definida2 quando as constantes elásticas que

9

caracterizam o ma teria!, independem da distância radial r e

pernanecem invariantes sob as seguintes transformações de coor-

denadas: uma rotação ao redor do eixo z, uma translação do

eixo z e finalmente uma inversão desse eixo (z e chamado ei-

xo de ortotropia do sistema). Estas transformações significam

que em cada p:>nto do sólido existem 3 planos ortogonais de sime

tria elástica· dos quais um oontém o ei:xo de ortotropia e ou -

tro é normal a ele.

Na fig. 2.3, estão representados alguns ele-

mentos de volume no interior de um sólido ortótropo, que possu-

em propriedades elásticas semelhantes e o seu sistema de refe -

rência.

O cs-c--.-----------,1-------'-Xc.

~ '

e

FIG-2.3

10

A mudança de sinal nas tensões cisalhantes

com um giro de 180° em relação a um plano normal, nos mostra

que alguns elementos da matriz [Aj devem se anular de rrodo a

satisfazer a simetria elástica. De maneira geral, conclui-se

que: os alongamentos não dependem das tensões cisalhantes e as

variações angulares dependem somente das correspondentes ten -

sões de cisalhamento. Dessa forma, as relações constitutivas

simplificam-se, restando somente 9 constantes elásticas indepe~

dentes.

A lei de Hooke, escrita com notação mais fami

liar ao engenheiro, assume então o aspecto:

1 \) re "rz E - E -r E E r e z

o "er 1 "e z

E8 - ~ ~ ~ r z

= "zr "z e 1

Ez ~ - ç E r z 1

Yre ~ re o

1 Yez Gez

1 Yrz ~ rz

( 2. 7)

onde Er , E8 e Ez sao os m5dulos de elasticidade nas direções

r, e e z ; "ij e o coeficiente de Poisson que caracteriza uma

deformação na direção i quando uma tensão normal é aplicada

na direção j , i,j=r,e,z; e Gra' G8z e Grz são os nódulos

11

de cisalhamento entre as dire

12

a) de forças

O equilíbrio de um ponto situado sobre S e a

verificado pelas equaçoes:

T n rz

(2. 9)

nas quais: Pr' P 8 e P 2 sao as componente.s da força externa

por unidade de área segundo as direções coordenadas; l,m e n

sao os co-senos diretores da normal à superfície pelo ponto de

aplicação da força; e ªr' a 8 , etc sao as componentes do ten-

sor de tensões no ponto considerado.

b) de deslocamentos

-sobre su : u = u (2.10) -

V = V

- - conhecidos. w = w u , V e w

13

· CAPfTULO TII

FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES· COM ORTOTROPIA FfSTCA

3 .1 - INTRODUÇÃO

Nesse capítulo, trataremos da flexão de pla -

cas circulares com espessura invariável, no domínio de pequenos

deslocamentos, e nas quais as propriedades elásticas do materi-

al são diferentes segundo as direções de coordenadas polares,

raios e circunferências concêntricas, embora permaneçam consta~

tes ao longo de cada uma dessas famílias de curvas. A este ti-

po de placas, diz-se que apresentam ortotropia cilíndrica físi-

ca ou natural.

Peças estruturais que podem ter esse comporta

menta, sao por exemplo3 : discos de madeira possuindo fibras an~

lares dispostas com uma certa regularidade; placas obtidas jus-

tapondo-se lâminas finas de aço que são curvadas e nonolitica -

mente fixadas a um núcleo central; placas de concreto armado com

diferentes percentagens de armaduras nas seções radial e tan -

gencial, etc.

Adota-se o sistema de coordenadas cilíndricas

nostrado na fig. 3.1, com sua origem coincidindo com o centro da

placa e com o plano polar re coincidindo com o plano médio da

mesma.

14

o,,__~----11-------e ,

J ___ ,__ ____ --, X h -- ---- _______ ,_ __ ___, .. ·r-::_

a

z

3. 2 - HIPÕTESES DA TEORIA

FIG-3.1

A teoria clássica de placas delgadas se fun-

damenta em hipóteses simplificadoras e limitações feitas às e-

quaçoes da teoria da elasticidade tridimensional resumidas no

Capítulo II, levando-se em conta principalmente a forma de es -

trutura laminar,onde duas dimensões são bastante predominantes

sobre a terceira.

As hipÓteses básicas podem ser referidas qu~

to a:

1 - Material - O material da placa é perfeitamente elástico

contínu:, e honogêneo, obedecendo à lei de Hooke generalizada

Não atuam forças de massa.

2 - Geometria - A espessura h é constante e pequena em rela -

çao ao raio a , bem cono as maiores flechas w obtidas pelo

plano médio são pequenas quando comparadas com a espessura h

15

3 - Cbmportamento estrutural (Kirchhoff)

a) Não há deformação no plano médio durante a flexão ,

transformando-se ele numa superfície neutra defletida. Esta con

sideração implica em que o carregamento externo seja normalmen-

te aplicado e que os suportes sejam liberados aos deslocamentos

horizontais, de nodo a evitar esforços de membrana.

b) Segmentos retos e normais ao plano médio indeformado

permanecem retos e normais à superfície média após a aplicação

das cargas. Esta hipótese traduz que as deformações angulares

transversais ao plano da placa são desprezadas: Yrz=y 8~;;o. A

validade da hipÓtese diminui acentuadamente com o aumento da es

pessura e em regiões de brusca variação do esforço cortante.

c) Tensões normais cr z sao desprezíveis em comparaçao com

as derrais: - o • Esta hipótese não é verificada em região onde se tem carga concentrada.

Cbmentários sobre estas hipóteses sao bem de-

4 talhados no livIO de Pane .

3.3 -· FORÇAS E MOMENTOS

As placas, quando solicitadas sob as condições

do í tem 3. 2 , apresentam uma configuração de tensões resul tan -

tes como a indicada no elemento da fig. 3.2.

X o .------r--~ , e

' '

z

' ' '

16

(í g

h 2

__t,_ 2

FIG-3. 2

A distribuição dessas tensões na espessura

da placa tem uma analogia com as tensões, em vigas, de Bernoulli

devido à semelhança na hipótese de seções planas durante a de -

formação, sendo a diferença básica o carácter bidimensional da

placa e a consequente resistência a esforços de torção.

De nodo geral temos: tensões normas ªr e ªe

com variação linear em z originando os momentos flet:ores Mr

e Me ; tensões cisalhantes Trz e Tez com variação parabólica

em z causando os cortantes Qr e Qe e finalmente as tensões

cisalhantes Tre e Ter com variação linear em z dando origem

aos rromentos de torção Mre e Mer •

A distribuição de tensões e os esforços resul

tantes sao esquematizados nas figuras 3.3 e 3.4. Os esforços

são grandezas uni tá rias (por unidade de comprimento) e estão o-

rientados positivamente segundo a convençao adotada por Szilard5 .

17

o ', X

z

o X ' ' ' ' e ' ' ' ' ' ' ' ' '

z

3. 4 - EQUIL1BRIO DE UM ELEMENTO DE PLACA

-~

h 2

h 2

FIG-3.3

h -2

h -2

FIG-3.4

Considerando as variações dos esforços solici

tantes sobre um elemento infinitesimal de placa (r dr de h),

fig. 3.5, p:>denos formular as seguintes equações de equilíbrio:

a) Equilíbrio Vertical de Forças

O carregamento distribuído q (r, e) pode ser

considerado constante e uniforme sobre a área elementar, então:

(Q + r

18

+ q(r,e)r dr de = O

desprezando os infinitésirros de ordem superior,ª equação, se sim

plifica:

( 3 .1)

b) Equilíbrio de M:>mentos na Direção Ridial

'lbrrando corro referência o lado A 'B' , e ain-

da os resultados da geometria diferencial :sen d2e -

de -cos 2 = 1 , terros:

de 7 ;

~ + (M + aMe de •rde)dr + Me dr 2 e rãe rde)dr 2 + Qr rdr de =

= o

que se resume em:

aM aM M -M Q = ___E + ~ + r e

r ar rae r ( 3. 2)

19

'

z

Oe M9r

O ªº'dr r+ ar

dMrs Mre+ã"r dr

FIG-3.5

c) Equilíbrio de Momentos na ·oireção Tangencial

Relacionando-se agora ao lado AA', temos:

ílMre "Tr'"") (r+dr) de -

- M dr de (M + er 2 - er rde)dr de Q d de T + e r r = o

que se reduz para

( 3. 3)

A equaçao (3.1), escrita em termos dos momentos,

tem o aspecto:

íl2 (-ar2

+ 2 íl) M + (l r ílr r r

= -q (r, 6)

1 a - - -)M = r ar -e

( 3. 4)

20

Nas equaçoes definidas acima, podemos ainda con-

siderar que a reciprocidade das tensões cisalhantes: Tre = Ter'

quando elas são distribuídas em uma altura constante, nos forne

ce:

M = M re er (3.5)

3.5 - RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO

Os deslocamentos provenientes da flexão que ocoE

remem um ponto P distante de z do plano médio, são obtidos

diretamente da hipótese 3b.

·- F IG-3.6

Considerando a fig. 3.6a, e a geometria de pequ~

nos deslocamentos, podemos supor que a declividade da superfí -

cie w(r,8) na direção radial é aproximadamente:

21

r tg r aw - = ar

= aw ( 3. 6) u - z ar r

-r

u = sen = z

Analogamente, da fig. 3.6b, temos:

( 3. 7)

Com esses deslocamentos substitu{dos em (2.4),

calculamos as deformações em termos da flecha:

= - z

z (.! aw 2

- + ..l.. a w) ( 3. 8) e:e = ar r r 2 ae 2

Yre = 1 a2w

-2z(- -r arae - ....!. aw,

r2 ae

3.6 - RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO

A lei de Hooke para sólidos apresentando ortotro

pia cil{ndrica, definida no Capitulo II, e simplificada pelas

hipóteses que consideram -Y = y = cr O • rz ez z Este comporta -mente bidimensional de tensões permite também reduzir os subs-

critos:

Com estas simplificações, (2.7) se resume em:

22

. 1 - .v e o Er (J E E6 r r

\) 1

E6 = -~ o cr e ( 3. 9) Er E6

o o 1 Yre G T re

ou na forma inversa:

E v6Er r o (J 1-vrve 1-v v Er r r e

vrEe Ee o (3.10) cr e = E6 1-vr"e 1-vrve

T re o o G Yre

A simetria da matriz dos coeficientes em (3.9)

ou (3.10), conduz à relação:

( 3 .11)

Obtemos as tensões em função das flechas, substi

tuindo-se ( 3. 8) em (3.10):

Erz [ a

2w + 1 a

2w 1 aw>J crr = "e

23

As tensões T e rz 'ez nao aparecem na expre~

sao da lei de Hooke devido à simpli fie ação: Yrz = Yez = o ; p~ dem ser obtidas das equaçoes de equilíbrio (2. 2):

1 ª·'·re +---r a e

=

Agora, derivando (3.12), substituindo e inte-

grando as equaçoes acirra em z ,tendo em vista que para

: , =, = O , encontramos: rz ez

1 2 = 2

24

3. 7 - EXPRESSÕES ESFORÇO RESULTANTE-'FLECHA

Os rromentos e forças cortantes sao calcula -

dos por integração das tensões sobre a espessura da placa:

f h/2 f h/2 T e M = cr r z dz Mre = Mer = z dz r

-h/2 r -h/2

Me = f h/2 cr e z dz (3.14) -h/2

f h/2 fh/2 Qr = T z dz ºe = Te dz

-h/2 r -h/2 z

Antes de efetuarmos as integrações (3.14), é

razoável definir as constantes que representam as rijezas da pl~

ca ortótropa:

fh/2

I = z 2 dz

=

-h/2

Erl 1-V V 1 r e

momento de inércia por unida-

de de comprimento em relação ao

plano médio

rigidez flexional nas di

reções radial e circunferen-

cial respectivamente

rigidez à torção

rigidez torcional efe-tiva

25

Integrando (3.14) com o auxílio de (3.12) e

(3.13), e utilizando as constantes definidas acima, tenos a for

ma final dos esforços solicitantes:

= -B r

Me = -B [ !. aw + e r ar

= _ IB (33w + L r ar3

3.8 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA

aw ãr +

+ H

(3.15)

A equaçao diferencial que governa as flechas

do plano médio de uma placa com ortotropia cilíndrica, pode ser

obtida,por exemplo, substituindo-se os esforcps cortantes de

(3.15) na equação de equilíbrio vertical de forças (3.1 l.

Feitas as substituig:5es e derivag:5es necessá-

26

rias, tem-se finalmente a equaçao.:

B [a4w r[ar4

res diferenciais:

1 = r2

1 ~ r

+

= q (r, e)

( 3 .16)

Designarem::>s por Lr , L6

e Lre os operacb -

1 r3

1 a ~ãr r

(3.17)

logo, 17 4 = Lr + 2Lre + L6 , que é o conhecido · operacbr bi-

harmônico em coordenadas polares.

A equaçao (3.16) é equivalente à equaçao de

Huber em coordenadas cartesianas, aplicável em placas retangul~

res. A transformação pode ser feita através do artifício: qua~

do r+w, ar+ ax e rae + ay ; e com a correspondente troca

de Índices, tem::>s:

27

+ 2H = q(x,y) (3.18)

Com (3.17), escrevemos (3.16) de urna forma mais

simples:

(3.19)

que se reduz ao caso isótropo quando:

ou

v4 (w) = g(r,e) B

2 12(1-v)

3.9 - RIGIDEZ TORCIONAL EFETIVA

Ao resolvermos um problema de placa ortótropa,

é necessário conhecer os valores dos coeficientes Br,Be e H

Dos materiais ortótropos, geralmente se conhecem Er' E8 , "r e

"e , que sao obtidos por testes unidimensionais de laboratório;

o valor do módulo de cisalharnento G é usualmente incógnito,te~

do em vista exigir testes mais laboriosos para sua obtenção.

O método analltico para determinação da rigi -

f 4,6 - -dez torcional e etiva , e baseado em urna analogia com a torçao

de placas isótropas, devendo ser levado em conta o seu gênero a-

proximativo; em aplicações onde se requer maior precisão, reco -

mendam-se verificações experirnentais7 •8

28

O momento torsor atuante em urna placa isótro-

pa, é definido por:

Mre = -(1-v)B( 1 aw ) ?ãã

onde B é a rigidez flexional da placa e " é o coeficiente

de Poisson.

O momento correspondente na placa ortótropa

tem o valor:

..!.. aw) r2 ae

A torção de urna placa ortótropa depende da ri-

gidez que ela apresenta nas direções de ortotropia, parecendo e~

tão razoável trocar os valores de "e B na expressão de materi

al isótropo, pela média geométrica dos valores apresentados pelo

material ortótropo.

Então,

e a rigidez torcional efetiva fica:

, ou

De (3.11),

Be V = V e r Br ,

que,substituido na expressao acima, nos fornece:

29

(3.20)

Da mesma maneira, pode-se definir o módulo de

cisalhamento:

E G = 2(1+v) = (3.21)

Em placas de concreto diferentemente armadas

nas direções de ortotropia, Timoshenko9 aponta os seguintes valo

res de rigidezes:

onde Ec' "c

E s n =

Ec

I ....

[r + (n-1) rJ

(3.22)

módulo de elasticidade e coeficiente de Pois-

son do concreto

módulo de elasticidade do aço

momento de inércia unitário da seçao da placa

em relação ao plano neutro

momentos de inércia unitários das seçoes de

armadura nas direções radial e tangencial em

relação ao plano neutro.

30

3.10 - CONDIÇÕES DE CONTORNO

A resolução da equaçao (3.16) requer que sejam

prescritas condições no contorno da placa. Pela hipótese dos

"segmentos normais", verifica-se que para definir as deformações

em um ponto qualquer da superf!cie média situada no contorno, na

ausência de forças de membrana, são necessários 2 parâmetros geo . -

métricos: uma rotação :; e uma translação vertical w. Essas

condições geométricas têm suas equivalentes condições estáti-

cas, em termos de forças e momentos, segundo o esquema da fig.3-7.

4rJ---~ - r ____ --- ... _ ·------ - ------; ---1 ---:w ' :-----

r::: o

CONDIÇÕES GEOMÉTRICAS CONDIÇÕES ESTÁTICAS

FIG-3.7

A condição estática correspondendo à rotação aw ar é o momento fletor Mr i entretanto para o deslocamento w

existe uma aglutinação entre as condições estáticas de esforço

cortante Qr e momento torsor Mre • Esse fato deve-se à falta

de consideração da deformação cisalhante

nada levaria a um problema de integração

Yrz a de 6-

i uma teoria refi-

ordem, prescreven-

do 3 condições geométricas no bordo e compat!vel portanto ao con

torno estático.

31

Kirchhoff propôs equacionar o equilibrio exis

tente na fronteira através da urna equivalência mecânica entre fo~

ças e momentos distribuidos em espaços unitários, conforme a fig,

3.8.

z

vr Q + = r

ê válido:

ve = ºª +

(Mre+aMre) rde / r ,il8

( M· •Me,) er+ar dr

A expressao

aMre

rae

das reaçoes

Para placas em forma de

aMer ar

M_n~rde

FIG-3.8

de apoio fica sendo:

(3.23)

setor, analogamente

(3.24)

e no canto formado entre o contorno circular e o bordo reto tem-

se urna reação concentrada de intensidade igual a 2Mre

Os casos mais usuais de condições de bordo em

placas circulares de raio a sao:

em r=a

rigidamente engastada : w = o aw ãr = o

32

simplesmente apoiada:

Contorno carregado

com forças ou moment2s de intensidade F e M:

w = o

M = O r

Mr =

Qr +

M

aM re m- = F

3.11 - SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

A solução da equaçao

(3.25)

como sempre, consiste em uma superposição de soluções w=wp+wh,

onde wh é a solução complementar correspondendo à flexão da

placa descarregada em sua superfície e solicitada no seu contor-

no; enquanto que wp é a solução particular correspondendo às

flechas provenientes do carregamento distribuído q(r,e).

A) Solução da Equação Homogênea

A equação bi-harmônica homogênea v4 (w) = O

tem sua solução conhecida desde há muito tempo; Timoshenko9 cita

em referência que em 1862, Clebsch se utilizou das seguintes sé-

ries infinitas para estudar placas isótropas circulares:

(3.26)

onde w0 , Wm e Wm sao funções somente da variável r. Dessa

maneira, consegue-se separar as variáveis e constituir equações

33

diferenciais ordinárias tipo equidimensional ou de Euler para os

éoeficientes das séries.

Em nosso estudo, estamos particularmente inte-

ressados em placas cujo contorno circular é completo, de maneira

que sempre poderemos colocar o carregamento simetricamente em re

lação à variável e , bastando-nos reter os termos em co-seno5 •

Em placas em forma de setor circular, a falta de simetria requer

soluções em série de senos. As expressões de Wm e Wm sao simi

lares, a menos evidentemente das constantes de integração.

Então, tomando-se wh =

lução, na qual aplicando-se os operadores

1 Wm cos me como so m=O (3.17) e indicando a

ordem das derivadas em r por superescritos linha (','',''',etc),

obtemos :

I Íw~v + ~ wi:i • ;i cos m=O L r J

"' t 2 2 2 wJ Lre(wh)= l m W'' + m W' m (3.27) 2 ....,. -.,. cos me m m m=O r r r

"' t 1 1 4 2

Le(wh) = l 2 W'' + r3 W' + cm -2m iwJ cos me , m m r4 m m=O r

que, substituídas em (3.19), nos dão uma equaçao independente

de e :

2 2m H+Be

+ ( )W' + r3 m

= o (3.28)

e

34

Definindo as constantes adimensionais:

H ó =

Br , (3.29)

a equaçao (3.28) em sua forma normal se escreve:

(3.30)

Esta equaçao apresenta as seguintes soluções:

a) m = O

wh = w0 independe de e e representa a solu-

çao dos problemas axissimétricos.

= o (3. 31)

As soluções da equaçao de Euler têm a forma 4 l , onde os sao as raízes da equaçao carac-

i=l terística associada, que para este caso é:

(3.32)

cujas raízes sao facilmente identificáveis e valem: O, 2, 1+re-

e 1-re-

Denominando , temos

(3.33)

35

O caso particular de placa isótropa é obtido

com a= 1

(3.34)

b) m> 1

Novamente as soluções sao da forma

4

l , e a equação característica obtida de (3.30) i=l

é:

4 3 2 2 2 r,4 2 ] l -41 +(5-2m 6-Bll -2(1-2m &-B)l+~ 8-2m (8+6) = o

(3. 35)

Utilizaremos ainda, algumas constantes auxilia

res:

2 K = l-2m 6-8 (3.36)

4 2 L = m B-2m (B+&) , que simplificam (3.35) em:

= o , logo

2

K + = o

2

Resolvendo-se novamente a equaçao do 29 grau,

encontramos todos os li.

36

À = 1 +

Chamando de:

b = 1~-K+/ K2-4L

m

1:-K-/ K2-4L c = m ,

as quatro raízes sao: l+bm, l+cm, 1-bm e 1-cm

- para m=l

e

c = O 1

: K = 1-2ô-B K-1 L =

L = -2ô-B

K2-4L = K2-4K+4 = (2-K) 2

Substituindo-se em (3.37):

= ./ 1+2ô+B

,

b 1 é sempre real e a solução para o 19 harmônico fica:

w = e l+b1 + e r 1 ""b1 r + e 1 1 11 r 21 + c31 41 r n r

para m>l :

(3.37)

( 3. 38)

bm e cm serao reais desde que os parâmetros

que definem a ortotropia B e 8 não se afastem muito da unida-

de ou da situação isôtropa. Eles poderão assumir valores compl~

xos10

quando houver um forte enrijecimento somente em uma das

direções, situação esta que não apresenta interesse prático e

37

que deixaremos de considerar.

As flechas correspondentes aos harmônicos de

maior ordem ficam:

e l+bm 1-b rl+cm + e 1-c = lm r + C2m r m + c3m 4m r m

(3.39)

No caso isótropo: 8 = 5 = 1

bm = m+l

cm = m-1

wl = c11 r3 + c21 -1 r + c3lr + C41 r ln r

(3.40)

2+m -m r m + 2-m w = clm r + c2m r + c3m c4m r m

B) Solução Particular

A solução particular wp da equaçao (3.19)

pode ser obtida representando-se o carregamento prescrito q(r,e)

em uma série infinita de termos em co-seno:

onde

m

q(r,e) = l Qm cos me ItFl

Q é uma função sô de m

(3.41)

r •

A equaçao (3.30) nao homogénea, toma a forma:

38

que tem solução por métodos usuais de cálculo: coeficientes a de

terminar, variação de parâmetros, etc.

Para o caso usual de carregamento uniformemen-

te distribuído com intensidade q0

reduz em:

r 4 w'V + 2r3 W''' - B1r 2 w•• - r w•l o o ~ o oJ

na qual, experimentando a solução na forma

gualando os coeficientes, obtemos

,.-.,.......= 8B (9-o2) r

quando B = 1

=

Br = B , temos a situação isótropa:

4 r qo -B- (3.43)

r

, e i-

(3.44)

,

e quando B=9 , isto é, B = 9B e r ,uma forte ortotropia na dir~

ção tangencial, ocorre uma indeterminação que deve ser levantada

no limite juntamente com a solução complementar.

3.12 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DAS CHAPAS COM ORTOTROPIA POLAR

Neste item, deduziremos a equaçao diferencial

do estado plano de tensões para aplicação em chapas com ortotro

pia polar, mostrando a analogia existente entre essa equação de

finida pela função de tensões no plano e a equação homogênea da

flexão de placas.

As hipóteses simplificadoras sao as mesmas do

39

Item 3.2 , com exceçao evidente da que diz que a superficie mé-

dia permanece indeformada. Na situação presente tanto o plano

médio como os paralelos a ele, são solicitados nela:a tensões

renresentadas na Fig, 3.9,

que satisfazem as

= 1 aF + ªr r ar

a 2F ªe = ;;z

h 2

...h 2

FIG-3.9 •

As tensões dadas pela função de Airy F {r, e) ,

equaçoes de equi1Ibrio no plano, se escrevem:

1 a 2F

?~

{3.45)

1 aF ?ãã

Sob as mesmas simplificações: {az=Yrz=Yez~O),

a lei de Hooke se representa pelas equações:

40

ºr ve Er = E -·r ºe r e

ºe V r E8 = Ee - Er ºr

ou, em termos de F:

1 2 V

e!. aF (a F) r .E0 = Ee - Er -+ ;7 r ar

1 ( 1 aF 1 a2F

Yra = G - r 'ãr"ããl ~ãã

ve

Ee

1 a2F ~ ;?")

(3.46)

(3.47)

Para eliminarmos as deformações e constituir -

mos uma única equaçao em F, lançamos mão da equação de compat!

bilidade de deformações no plano re, a primeira das expressoes

(2.5). Substituindo-se (3.47) nesta equação, encontramos, após

derivações e simplificações:

1 a4F 3 1 vr (~

a4F 1 a3F + ~ a F) Ee

(-:---i + 2(2G - -) ar2ae 2

-, + r~ E ar r r r ara e

4 1 4 2 a2F 1 a2F 1 aF) + 1 a F) + ( 1 a F + = o ;r ;?° E ;r ;;,r ;r ;?° - -"7 ~ + :? ar r r ar (3.48)

Multiplicando-se esta equaçao por E8 e ainda

41

com os operadores definidos anteriormente, temos:

eram:

s =

ô =

outra li =

= o (3.49)

As constantes definidas na equaçao da flexão

B8 E8 =

Br Er

H Br

"rB8+2GI E8 + 2G . definindo = = "r Er Er ' agora uma B r Ee 2G ...,.. + -"'" Er

, a constante que multiplica fica sen

do (li-ô) , daí:

(3. 50)

Comparando esta equaçao com a equaçao homogê -

nea da flexão de placas com ortotropia (3.19), podemos observar

que F e wh têm soluções muito parecidas; no caso assimétrico

bastando trocar ô por (li-ô) nas soluções apresentadas, enqua~

to que no caso simétrico, F e wh são de forma idêntica.

Também devem ser estabelecidas condições de co~

torno na solução de (3.50), em termos de forças ou de deslocamen-

tos.

42

CAPfTULO IV

APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CONDIÇÕES DE CONTORNO

ORTOTROPIA FfSICA

4.1 - INTRODUÇÃO

A seguir apresentam-se algumas aplicações práti -

cas da teoria desenvolvida no Capítulo III, para placas com con-

torno circular completo e podendo possuir um furo concêntrico '

vinculadas de diversos modos e submetidas a diferentes tipos

de carregamento.

Primeiro enfocamos detalhadamente problemas rela-

tivos à flexão axissimêtrica, depois abordamos alguns casos sim-

ples de flexão não simêtrica e por Último, aproveitando a analo-

gia existente entre a equação da flexão com a equaçao do estado

plano de tensões, apresentamos a solução de uma chapa circular

ortótropa sob uma distribuição de pressoes radialmente uniforme.

4.2 - FLEXÃO AXISSIMÉTRICA

As flechas e esforços solicitantes que ocorrem em

placas circulares sujeitas a carregamento e contorno axissimêtri

cos, independem da coordenada angular e , e por isso seu esqu~

ma estrutural é definido apenas por um corte diametral como o da

Fig. 4 .1 .

A expressao de w em função da coordenada radial

e dada por:

43

w = w e + e 2 + e l+a + e 1-a p + 10 20r 30r 40r

onde depende do carregamento distribuído Wp ~

parâmetro que define a ortotropia: a· = / ~ Br

c30 e c40 são calculadas através de condições

métricas impostas ao contorno.

CORTE AA

( 4 .1)

q (r) -, . a. e o e clO' c20'

estáticas ou ge~

FIIG-4.1

Os esforços solicitantes por unidade de compri -

mento, definidos em (3.15), se simplificam para:

M r = - B r

= - B ( r 3

d w + dr

3 1 dw

2 dr r

( 4. 2)

44

A tabela 4.1, representada a seguir, é bastante

útil ao se formular as condições de contorno e escrever as ex-

pressoes dos resultados, sem recorrer a repetitivas derivações

de w ela mostra as funções envolvidas em casos simétricos

em termos das constantes de integração e de um carregamento uni

formemente distribu{do q 0 .

Apresentaremos casos de flexão a. axissimétrica, s~

gundo os sub-Itens desenvolvidos a seguir:

A) PLACAS COMPLETAS

As placas circulares completas apresentam a de -

clividade da superficie e o esforço cortante nulos no centro de

vido à simetria; da tabela 4.1, a parte referente às condições

de bordo dessas funções sao dadas por:

w' 2c 20 r + a -a

= (l+a) c30r + (1-a) c 40r

e

Qr -2

c20 (l-a2 ) =

Br r

o parâmetro a e sempre positivo, logo em r=O

para que tenhamos valores finitos:

( 4. 3)

A condição de cortante nulo na origem tem uma

exceçao para cargas concentradas que proporcionam uma desconti-

nuidade indeterminada para esse esforço no ponto de aplicação da

carga; neste caso, a constante c20 é obtida pelo equil{brio

de forças verticais em um contorno circular de raio r arbitrá

rio:

cio C20 C30 c40 qo

8 (9-c/)Br

1 r2 rl+a 1-a 4 w r r

w' - 2r (l+ct)rª (1-a)r -a 4r3

l\fBr -2(l+v8) a-1 -a-1 -4(3+v8)r

2 - -(l+ct) (a+v8)r (1-a) (a-v9)r

Me/Br 2 2 a-1 2 -a-1 2 2 - -2(1+vr)ct -(l+a) (l+ctvr)ct r - (1-a) (1-av ) a r -4 (1+3vr) a r r

2 2 y'Br

-2(1-a) - - - -4 (9-a ) r r

Tabela 4-1

46

c20 2 p = -2 r (1-a )Br = - --2llr

p

2 411(1-a )B r

( 4. 4)

Feitas estas considerações,calcularemos as cons-

tantes c10 e c30 e apresentaremos um formulário de flechas e

esforços resultantes, nos seguintes casos clássicos:

a) Placa circular apoiada, sob a açao do momento M0 uniforme-

mente distribuído na borda externa.

Mo Mo

r:--~ a j

FIG-4.2

A ausência de carga distribuída anula wp, e com

(4.3) a expressao das flechas fica:

w = e + e rl+a 10 30

- condições de contorno em r=a

w = o

M = M r O

;

1-a a

( 4. 5)

47

- flechas e esforços solicitantes:

MO 2 a

Pl+cx) w = (1 -(l+cx) (cx+v 6) B r

Mr MO cx-1 = p

( 4. 6)

Me ex MO cx-1 = p

Qr o r = p = a

b) Placa circular engastada, submetida a um carregamento unifor

memente distribuído q 0

1 qo

f 1 )1)11) 1111111111111, . 1 o 1

FIG-4.3

As flechas obtidas com este tipo de carregamento

sao dadas por:

qo r4 w = ---"~--

8(9-cx2) Br

l+cx r

- condições de bordo engastado em r=a

4 l+cx qo a

ºW = o o = cio+ c30 a + 2 8(9-cx )B 3 r

w' = o o = c 30 (1+cx)aª + 4qoa

2 8(9-cx) B r

2 8 (9-a )B r

3-a l+a

. '

48

- flechas e esforços resultantes:

2 2(9-a )

2 2(9-a)

I r

p = a

3-a -4q a . o 2 8 (9-a ) B

r

3-a J + l+a

1 l+a ( 4. 7)

( 4. 8)

c) Placa circular apoiada, submetida a um carregamento uniforme

mente distribuído q 0

A solução para este caso pode ser obtida por s~

perposição das soluções a) e b) , segundo o esquema da

onde o momento de engastamento dado por (4.8) é Ma= -

Ma Mo M M

1nnn!Inin[, =~iuuiiinnn~ + ~~º __ __,.j

Fig.4.4 qoa2

2 (3+a) •

FIG-4.4 .

49

Somando-se as expressoes correspondentes nos 2

casos, obtém-se para a placa apoiada:

w = 2 8(9-a )B

r

2 2(9-a)

2

[

,

4(3+"8)

[ a-1 2 J p - p

(3+v8

) (l+avr)

(a+v8

)

r p = a

l+a p +

(3-a) ( 4+a+v 8 ) J (l+a) (a+v

8)

( 4. 9)

Nas figuras 4.5 e 4.6 temos os gráficos que re-

presentam a variação de flechas e momentos fletores (4.9) com a

coordenada adimensionalizada p , para diversos valores de enr~

jecimento (a) e não se levando em conta o efeito de Poisson. No

ta-se claramente pela Fig. 4. 6 que os momentos Mr e M8 nas

proximidades do centro da placa, convergem para valores nulos ai

infinitos, conforme a seja maior ou menor que l; esta singul~

ridade será analisada no sub-ítem B.

o º·ºº

0,.10

0,20

w

0,30

01 2

50

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 P=....!.

a 0,8 0,9 1,0

FIG-4.5

0,60

0,40

º·ºº º·º 0,1

0,60

0,40

0,20

º·ºº 0,1

51

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

,· ' •

O; 7 O,B 0,9 1,0 f

/

0,2 0,3 o,4 o,5 o,6 0,1 o,e o,9 1,0 f

FIG-4.6

52

d) Placa circular engastada, sob açao. de carga centrada

1 o

FIG-4.7

A expressão que define o campo de flechas, ten-

do em vista (4.4) e a ausência de carregamento distribuído, é

dada por:

w = 2 411(1-a )Br

+ e e l+a 10 + 30 r

- condições de bordo engastado em r=a

Pa 2

w = o o = + 2 411 (1-a ) Br

+ ClO

2Pa w' o o + (l+a) c 30 = = 2 411(1-a )B r

Pa 2 1..:a

clO = C30 = -2 ; 411(1-a )Br l+a

- flechas e esforços resultantes

Pa2

[ 2 2 w = 411(1-a 2JB P - l+a

r

p 2 211(1-a )

l+a + 1-a J P l+a

c30 al+a

a a

2Pal-a 1

2 l+a 411 (1-a ) B r (4.10)

(4 .11)

=

2 211 (1-a )

p - 2rrr

53

r p =

a

e) Placa circular apoiada, sob a açao de carga centrada

Analogamente, poderemos obter as soluções supeE_

pondo-se os casos a) e d)

w =

M = r

Me =

=

Pa2

2 411(1-a )Br

p (l+v e) 2 211(1-a)

Pa 2 [l:ve 2 211(1-a)

p - 2rrr , p =

[Pa-1_ 1 ]

a-1 ' J p - (l+v ) . r r a

B) CORREÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES NO CENTRO DA PLACA

(4.12)

De acordo com o que foi mostrado no Capítulo II,

a ortotropia cilíndrica não pode existir na origem do sistema ée

coordenadas (centro da placa), que é um ponto isótropo devido à

coincidência das direções principais da ortotropia. A esta sin

gularidade física, corresponde uma singularidade matemática, ma

nifesta em termo das expressões dos monentos fletores Mr e Me,

54

que em r=O assumem valores O ou= conforme o parâmetro a

seja maior ou menor que 1 (ver fórmulas dos esforços de a) a-

té e) e a Fig. 4.6).

- 19 Faremos a correçao desses momentos, introdu -

zindo na região central um pequeno disco isótropo de raio b e

altura h com constantes elásticas E e v, em substituição ao

núcleo que apresenta a ortotropia alterada. Este disco deve ser

monoliticamente ligado ao restante da placa, devendo se verifi-

car as condições de continuidade de forças e deslocanentos em

r=b

O subscrito i indica as grandezas referentes

à parte isótropa, como no esquema da Fig. 4.8.

~ 1 5 E ,V Ç~'.E,%.

t-----~ÚMl'J;H----t 1 b 1 1 v.; 'w

1

dw;_dw -a-;- -c1r

FIG-4.8

:E; feita em seguida, a correçao dos momentos nos

casos a), b) e d) ; para os casos c) e e) pode-se aplicar,

como fizemos anteriornente, o princípio da superposição.

55

ã) Placa circular apoiada, sob a açao de momento M0 uniforme-

mente distribuido na borda externa

1 1

M I Mo 1 ' ~ ht= c--~--i~ISO-TR-OP0_

1)

Là -t----1U 1 o 1

FIG-4,9

As equaçoes que representam as flechas nas regi -

oes de placa isótropa e ortótropa são definidas por:

r < b

r > b e r2 e l+a 1-a w = clO + 20 + 30 r + c40 r (4.13)

O esforço cortante e nulo em toda a placa; então

da Tabela 4.1:

c20 2 = - 2 (1-a )Br , donde = o r

As constantes que interessam no cálculo dos mome~

tos fletores sao: b 20 , c 30 e c 40 ; que são explicitadas pelas

seguintes condições:

- de continuidade em r=b w' - w' i -

( 4 .14)

- de extremidade em r=a M = M r O

Antes de escrevermos (4.14) em função de (4.13) ,

introduzimos as seguintes constantes auxiliares adimensionais:

C3 = (l+a) ba-l

C4 = (1-a)b-a-l

B2 2 B = b20 M o

onde B Eh3

= 2 12(1-v)

5,;

B r

c30 MO

B r

M0

c30 (4.15)

e

é

b E: = -a

a rigidez flexional do disco isótropo.

Fazendo uso dessas constantes e de (4.13), as con

dições (4.14) se escrevem:

l+ct E:

das quais obtém-se:

-K C3 =

2

K2 (a+v 9 Je: 1-a - K1 (a-v9 )e:

-K C4 =

1

K2 (a+v 9 J e: 1-a - K (a-v )e:

1 e

onde:

Kl (l + B (l+v) = V9 B r

K2 V9 + B (l+v) = (l - B r

= -1

l+ct (4.16)

l+ct

(4.17)

57

Dessa forma, colocamos os momentos fletores em

para r < b (4.18)

para r > b

r , p = a

Nota-se que quando a placa é inteiramente isótro-

pa ou totalmente ortótropa, K1=0 e as soluções retomam as já

conhecidas formas.

Na Fig. 4.10 , apresenta-se um gráfico com os mo-

mentos fletores na direção radial corrigidos para diferentes va-

!ores de o.. Adotou-se B = B e r v ="e= o,3 com o objet.!_

vo de simplificar K1 e K2 , e que o raio do disco isótropo é a

décima parte do raio da placa e:=0,1.

Mr !1 1 1 -,1 1 Mo 11 1 p 1 i' 1 1 1\ 1 1

4,0

3,0

2p

,,o

11

1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \

o

59

b) Placa circular engastada, submetida a carregamento uniforme -

mente distribuído q 0

w =

1 1 qo

FIG-4.11

As flechas nos dois intervalos sao dadas por:

2 8 (9-a ) Br

O valor do esforço cortante em r=b e b -q --o 2 ,

que deve ser verificado com qualquer dos dois campos de flecha;

recorrendo a Tabela 4.1, tiramos:

logo = o

As condições de continuidade sao as mesmas doca-

so anterior: wr = wi

se w' = O •

e Mri = Mr; enquanto que em r=a tem-

As constantes auxiliares no caso de carga distri-

buída sao postas na forma:

60

c3 = (l+ex) bex- 3

c30 B (4.19) 4qo

r

C4 (l-ex)b-ex- 3

c40 B b = e E =

4qo r a

Equacionando-se as condições de continuidade e

contorno com o auxílio de (4.19), obtém-se:

das

onde

3+v B2 (l+v) + 64 =

1 = 2 8 (9-ex )

quais tiramos:

[ 2 -ex-3

J r. = -3+ex +4v 8-4K 2E

-3 2 2ex 32 (9-ex ) (Kl E +K2)

[ 2 ex-3

c4 3+ex +4v 8-4K1 E J = 32 (9-ex2 ) (Kl E 2ex+K2)

B2 B

[c3+c4] 1 = - 64 B r

novamente

Kl = ex + B (l+v) Ve B r

K2 ex - V + B (l+v) = e Br

2ex E

3+Ve 2 8(9-ex)

Assim, os momentos ficam determinados por:

(4.20)

61

r < b

(4.21)

r > b

1+3vr 2 J + 2 p

8(9-a)

r p =

a

d) Placa circular engastada, sob a açao de carga centrada

p.

FIG- 4.12

Sob esse tipo de solicitação, as flechas sao de -

finidas pelas expressoes:

e r 2 e l+a 1-a w = clO + 20 + 30 r + C40 r

quer um dos

62

O esforço cortante em

p w é igual a - 2 ílb

r=b calculado com qual -

Primeiro equacionando na parte isótropa, temos:

p - 2ílb =

agora pelo lado ortótropo:

p - 2ílb

e = - 2 ...lQ B (1-a2 ) b r

p = 8ITB

p 2

4ll(l-a )Br

As constantes auxiliares para o caso de carga con

centrada tomam a forma:

2ITB r p

a-1 c30

(l+a)b

2l1Br -a-1 P c40 (1-alb , E: =

b a

(4.22)

As condições de continuidade e de contorno sao as

mesmas do caso anterior, e podem ser equacionadas por:

B + l + 2 ln b = 2

4

(3+v)+2 ln b(l+v) B2 (l+v) + 4

1 = - l+a2

63

que, depois de resolvidas, resultam:

(4.23)

B2 B

[ ~ + C3 + C4 J - 1+2 ln b = B 4 r 1-cx

onde:

B Kl = cx+v - B(l+v> e r

B K2 = cx-v + BCl+v) e r

K3 = l+v - BB (l+v) e r

Após o cálculo das constantes, podemos escrever

as expressoes dos momentos corrigidos:

r < b Mr = - 8~ [ b

Pcx 2 Me = 2IT

r p = a

64

C) PLACAS COM FURO CONCtNTRICO

As placas circulares possuindo furo concêntrico

nao apresentam condições de simetria imediatas na determinação

de c 20 e c 40 ,como acontece com as placas completas; de maneira

geral teremos 4 equações algébricas, 2 referentes à borda inte-

rior e 2 referentes ao contorno exterior, que nos permite expl!

Dois casos de carregamento axissimétrico têm es-

pecial importância no estudo das placas anulares.

a) Placa anular simplemente apoiada,submetida a momentos unifor-

memente distribuidos: M1 na borda interna livre e M2 na per!

feria.

A solução geral para as flechas e:

2 l+a 1-a w = clO + c20 r + c30 r + c40 r

- condições de contorno:

em r=b

= o (como em toda placa) - 2

FIG-4.13

65

em r=a

o o clO + C30 al+cx +

C40 1-cx

w = = a

M2 cx-1 -cx-1 M = M2 = (l+cx) (cx+v 8)a c 30-(1-cx) (a-v8 )a c 40 r Br

que nos dá:

2 [ (M2-Ml tl+cx) tl-cx (M2-Ml tl-cx) tl+cx j a cio = B (tl-cx_tl+cx) (l+cx) (cx+v8

) + (1-cx) (cx+v8

) r

c30 -1

(M2-Ml tl+cx) bl-cx =

B (tl-cx_tl+cx) (l+cx) (cx+v0

) r

(M2-Mltl-cx)bl+cx (4.25)

c40 -1 =

B (tl-cx_tl+cx) (1-cx) (a-v8

) r

onde

b E: = -a

- flechas e esforços resultantes:

Cl Mé = -(---a-1---cx-=--~l-+-cx-)

t -e

Q = o r , r

p = a

(4.26)

Quando M =O 1

66

e b+O (E+O) ; (4.26) levadas ao li

mite retornam ao caso de placas completas com momentos M2 dis -

tribu!dos na borda externa.

b) Placa anular simplesmente apoiada, submetida a carga linear

Q0

uniformemente distribuída na borda livre

F IG-4.14

A solução geral das flechas novamente se escreve:

r 2 l+a 1-a w = clO + C20 + C30 r + C40 r

- condições de contorno:

em r=b

e Qr = -oo - ºº = - 2

..2Q.(l-a2 )B . b r

o o a-1 Mr = = 2c20 (l+val + (l+a) (a+va) b c 30- (1-a) (a-vai ·

-a-1 ·b C40

em r=a

o o ClO + c20 2

+ C30 l+a 1-a

w = = a a + C40 a

M o o a-1 = = 2c 20 11+val+(l+a) (a+valª c 30-(1-a) (a-vai· r . -a-1 C40 a

mos:

c20 =

C30 =

C40 =

67

Resolvendo o sistema e fazendo b E = -a encontra

(l+v6

) (e: 2-e:1-ªl (l+v6

)

2 (1-cx )Br

+ ----'---(l+cx) (cx+v

6) (e: 1 -ª-e:l+cx) (1-cx) (cx-v

6)

ºob 2

2(1-cx )Br

Q0

b ( 1 +v 6 l ( E l+cx -1) 2 ( 1-cx l+cx) (l+cx) (cx+v 6 ) (1-cx )Br E -e:

Q0b(l+v6 l (El-cx - 1) 2 ( 1-cx l+cx) (1-cx) (cx-v 6) (1-a. )Br E - E

b 1-cx

bl+cx

( 2 1 +ex) J E -e: ~

( 1-cx l+cx) E -e:

( 4. 27)

- flechas e esforços resultantes

2 (l+v6

) 2 1-a. Q0ba [1 2 E -e: l+ w =

(1-a.2)Br 2(1-p ) + 1-cx l+a. (l-p ª) +

(l+a.) (cx+v 6 ) E -e:

(l+v6

) 2 l+a.

(l _ Pl-cx) J E - E + 1-cx l+cx (4.28) (1-a.) (a.-v6

) E - E

ºob (l+v 6 ) [ 1 +

2 1-cx cx-1 2 l+cx P -cx-1 J M = E -e; E -e: r (1-a.2) 1-cx l+a. p 1-cx l+a E -e: E -e: ººb ~

(l+vr) 2 1-cx a-1 2 l+cx Me = (l+v 6 )cx + E -e: + E -e: 2 1-a. l+cx

p 1-cx l+cx ( 1-cx ) (l+v6

) E -e: E -e:

p -cx-1 J Qr

b r = -Qo r p = a

f; 8

Se na primeira das expressoes (4.28), fizermos

p = 21Tb

e levarmos ao limite com c-+-0 , obtemos:

Pa2 w = ------2

41!(1-a )Br

l+a (1-a) (a+v 8+2) J p +

(l+a) (a+v 8) (l+a) (a+v

8)

que é o caso de placa completa sob a açao de uma carga P cen -

trada.

Foi dito anteriormente que estes casos eram impoE

tantes pois se a eles combinamos os casos resolvidos no sub-Íta~

de placas completas, poderemos resolver uma extensa lista de pl~

cas anulares submetidas a carregamento axissimétrico (Ver Timo -

shenko9).

Como exemplo poderíamos calcular uma placa anular

apoiada, sujeita a carregamento distribuído q 0 segundo o esqu~

ma de superposição da Fig. 4.15, onde Q 0 e M1 são obtidos de

(4.9) invertendo-se os sinais:

l}UUH

2 q0

a (3+v8

) e

2 (9-a2 ) ( 2 a-1) e -e ; b E: = ã

, , ~º 'Lº 1 Qo I Qo : : OIIIII1 = lUl+UlU+lUJOUJl + 1~'; M( 1 t= ~F o 1 1 o 1 ~ o 1

FIG -4.15

69

D) LIMITAÇÕES DA TEORIA

Na bibliografia técnica, pouca referência se tem

sobre dados experimentais das constantes elásticas em materiais

que possuem ortotropia física. Entretanto, Carrier3

ao analisar

placas circulares com esse tipo de material, verificou que certos

valores assumidos pelo coeficiente de Poisson poderiam causar va

lores infinitos para os momentos fletores. Essa anomalia o le-

vou a propor restrições de caráter empírico, baseadas na hipÓte-

se de que certas propriedades constatadas em materiais isótro -

pos devam continuar a se verificar em materiais ortótropos.

De acordo com esta analogia, parece claro que um

elemento de sólido ortótropo sujeito a tensões de tração deva au

mentar de volume, consequentemente a variação volumétrica unitá-

ria do elemento é positiva:

> o (4.29)

quando as tensões de tração sao d.o tipo ºr, de acordo com a

lei de Hooke (2,7), pode-se escrever:

1 o (- -r Er

"er Er

> o

e quando são do tipo ºe

> o

Multiplicando-se (4.30) e (4.31) por

respectivamente, temos:

E r

ºr e

( 4. 30)

(4.31)

70

1-v -v er zr > o "er + "zr < 1

(4.32)

1 - "re - "ze > 0 "re + "ze < 1

Continuando com as deduções lógicas, nao parece

claro que uma tração aplicada em uma direção corresponda a um a-

largamento na direção perpendicular à primeira; isto significa

que os números que representam o coeficiente de Poisson devem ser

- - . - 20 todos positivos,embora consideraçoes teoricas da Termodinamica

admitam valores negativos. Sendo assim,os números que interessam

à teoria das placas devem satisfazer:

"er = "r < 1 ( 4. 33)

2 < 1 "re = v e = a. "r

Com o intuito de mostrar o efeito dos coeficien -

tes de Póisson sobre os esforços solicitantes em placas com orto

tropia física, na Fig. 4.16 apresentam-se gráficos momento de en

gaste x coeficiente de enrijecimento (a.) para os casos b) e d)

do sub-item A, tomando-se os seguintes valores para os coefici

entes 3 :

para a.< 1 "r = 0,5

0,5 2 "e = a. ( 4. 34)

"r = 0,5 -2-para a.> 1 a.

"e = 0,5

de modo que eles sempre permanecem menores do que 1 independente

mente de a.

71

Os momentos radiais no engaste nao sao função de

vr e v 9 , e apresentam curvas contfnuas. Com os momentos tange~

ciais, tem-se um ponto anguloso em a=l que é o limite das vari

ações (4.34); a linha tracejada representa os valores que esses

momentos assumiriam se a primeira formação dos coeficientes fos-

se mantida para a>l .

0,200

0,100

1.000

-M P/2lf

0,500

I I

1,0

I I

I I

72

/ /

I I I

I I

/ I

/ I

/ /

2,0

/ /

I I

/

I I

I

I I

I I

I I

I I

I I

!,O

qo

d!rTTJlTTlllITTHTllll~ 41' 1 o 1

Mr

Me

4,0

Mr

Me

~~:__------;-,_----2,e,---i;Í3,o,-:o.:::~ 44.0 o,oooop 1p

2·° FIG-4.16

73

E) m:TODO DAS FUNÇÕES INICIAIS

O cálculo de flechas e esforços solicitantes em

placas circulares possuindo um furo concêntrico ou sujeitas a

um carregamento descontinuo a partir de uma coordenada radial in

termediária, como nos esquemas da Fig. 4.17, apresenta um desen-

volvimento analítico bastante laborioso. Nas primeiras, se faz

necessário satisfazer condições de contorno tanto na borda exter

na como na· interna; nas Últimas, devemos propor dois conjuntos

de soluções, um para cada região de carregamento e efetuar a co~

patibilização de flechas, rotações, momentos fletores e forças

cortantes no ponto de transição das cargas.

jJ)lbíl~ '

1 1 :~Qo 1~ r O 1

FIG-4.17

t vantajoso então, em situações práticas, lançar

mao da técnica empregada por Marguerre14 ou Bryant21 , na qual se

utilizam das funções w ,

74

restrinja as condições de contorno na periferia (r=a).

A solução para as flechas, em problemas axissimé-

-tricos, como temos escrito frequentemente e:

que deve agora ser colocada sob a forma:

(4.35)

Utilizaremos em nossos cálculos, somente o caso

de carga constante uniformemente distribuida, que é a mais comum.

Chamando a ordenada de carga que porventura exista em r=b de

qb, podemos escrever:

e a expressao (4.35) é definida na sua forma final:

(4.36)

De maneira análoga, as outras grandezas que inte-

ressam à análise estrutural da placa são dadas pela Tabela 4.2

75

w

q

Tabela 4.2

na qual as funções contidas nos quadros hachureados têm valor nu

lo, como será mostrado adiante.

Os Fij são denominados na literatura referida a

cima por "beginning or starting functions", sendo que o seu va -

lor é determinado por:

Fii(b) = 1

F .. (b) = O 1J

a) cálculo dos F .. 1J

'

(4.37)

i;,!j

Utilizaremos a Tabela 4.1 para formar diretamente

os sistemas de equaçoes que verificam (4.37).

j=l

wb = 1

"'b = Mb = Qb = qb = o

7,:,

2 c20 2 o o Qb = (1-a ) Br = c20 = b

cio+ e bl+a +

C40 1-a

1 wb = b = 30

a -a

77

constantes:

ClO

b (1+v 6) c20 = o = - 2 1-a

a-v a+v 6 e -a = b = C30 2a (l+a)

C40 2a (1-o.)

funções iniciais:

78

constantes:

elo -b2

c20 = o = 2 Br(l-a)

-b 1-a bl+a = = C30

2a(l+a)Br C40

2a(l-a)Br

funções iniciais:

2 2a (1-a ) Br

[ l+a 1-a J 2a+(l-a)p -(l+a)p

cpr F23 -b

[ (l -a_J = = 2aBr

p - p

1 M = F33 =-r 2a

Q = F = O ·r 43

q = F53 = O

j=4

Qb = 1

wb = c/Jb = Mb

2 c20

Qb = - """"jj"""

[ a-1 (a+v8

)p +

= qb = o

2 (1-a ) Br

r p = b

= 1

(a-v8

) p -a-~

wh = ClO + c20 b2 + c30

bl+a + C40 bl-a

c/Jb 2C20 b + c 30 c1+a)bª + -a = c

40 (1-a)b =

= o

o

(4 .42)

(4.43)

constantes:

b3 e = ---=--

lO 2(1-a2 )B r

b2-a e 3 o = ---"---=2--

2 a (1-a )Br

funções iniciais:

Fl4 = b3

w = 2 2a(l-a )Br

-b2 = =

[ a -

-b 2 2(1-a )B r

2 + l+a ap p

(l+a)pª +

(4 .44)

- Pl-a J

(1-a)p

80

e + ~ Qb = 2 ..1Q(l-n

2 )B = o b r 2

2 + e bl+n + e bl-n + . b4 wb = ClO + C2ob = 30 40 2

Ct cj>b = 2c20b + c 30 (1+alb +

constantes:

b4 e = --...,,.--

10 8(1-n2)B r

b3-n (3+n) 2 2 2et(9-n ) (1-n )Br

funções iniciais:

8(9-n )Br

-a b3 c 40 (1-n)b + 2(9-n2)Br

-bJ+n (3-n) C40 = ---2;;--------::2c-

2et(9-n l (1-n )Br

b4 ~ 2 2 2 l+et 2 2 et(9-n )-2n(9-n )p +4(3+et)p

=

8a (1-n ) (9-n ) B r ( 1-n 2 ~ - 4 3-n)p +a(l-n )p J

o

o

(4 .46)

81

Mr = F35 = 2 2 2a (1-a ) (9-a ) r: 2 a-1 Lª (.9-a ) (l+v 6)- (l+a) (3+a) (a+v 9 ) p -

-a-1 2 2] -(1-a) (3-a) (a-v6 ) p -a (1-a l (3+v 6 ) p (4.47)

Qr = F 45 = ~ [ ! - p J

q = Fss = 1 r p = b

As funções iniciais nao nulas da Tabela 4-2 sao

listadas no Jlpêndi ce.

b) Exerrq;>los de aplicação

b-1

FIG-4.18

Os esforços que atuam em r=b e que serao usa-

dos como constantes de integração são ~ e Qb assim o carrq;>o

de flechas nos 2 intervalos pode ser obtido da Tabela 4-2:

para b < r < c

e

para c < r < a

Obs.: F14 que multiplica P deve ser tomada na nova coordena -

da inicial, isto é, trocando-se b por c no formulário do Apê~

dice, e por isso usamos a barra para distinguí-la.

As constantes Mi, e ~ que definem as flechas

nos dois intervalos, bem como todos os esforços solicitantes,são

calculadas pelas condiççes em r=a:

w = o

M = O r Mi,F 33 (a) + %F 34 (a) + q0F 35 (a) - PF 34 (a) = O

logo:

% p [ F34F13 - F14F33 J [ F35F13 F15F33 J = - q F34F13 - F14F33 r=a O F34F13 F14F33 r=a

Mi, p [ F14F34 - F14F34 J [F15F34 F14F35 J =

F14F33 r:aqO F34F13 F34Fl3 - F14F33 r=a

b-2

FIG -4.19

Neste caso de placa completa com descontinuida-

de de carregamento, temos as seguintes expressões para as fle -

chas:

para para

r < b

r > b + e l+n 30 r + e l+n 30r

83

As constantes c10 e c 30 sao eJeI>licitadas pe -

las condições de contorno em r=a:

w=O

· dw dr= o

4.3 - FLEXÃO ASSI~TRICA

Nesse Item, consideraremos as placas circulares

que estão submetidas a um estado de carregamento que nao apre -

senta simetria de revolução em torno do eixo de coordenadas z.

Nesta situação, as flechas do plano médio podem ser colocadas

sob a forma:

w = wp + "ti + I wm cos m8 m=l onde:

wo = clO + C2or2 + C3orl+a + C4orl-a

e para m > 2

com

a Be

ó ·H

= Br

e = B r

K = 1 - 2m2o - a L = m4a - 2m2 (,s+al

(4.48)

(4.49)

( 4. 50)

84

a = re bm = /2-K+/ K2-4L

2

bl = ,I 2-K cm = /2-K-/ K2-4L

2

Os esforços solicitantes em função de w sao de

finidos em (3.15).

Apresentamos a seguir a solução da placa com uma

carga concentrada em uma posição arbitrária22 , e a da placa soli

citada por um carregamento com variação linear, sendo que esta

necessita apenas do 19 harmônico da série (4.48) e tem uma solu-

ção particular razoavelmente simples (Ver Timoshenko 9 ).

-a) Placa circular engastada, sujeita a açao de carga concentrada em posição qualquer

-------/ ' / ' / ' / \ I 'B X 1 o 1 1 • /, 1 1 \ 1 r / J

' 1 / ! ' -...__J_ ...... / 1

p

º...__I -b~ª-1 ª-----J FIG -4.20

Ile acordo com o proposto no Capítulo III, a solu

85

çao (4. 4 8) é válida quando o eixo polar Ox, origem da coordena

da angular e , passar pelo ponto de aplicação da carga.

O problema apresenta 2 canpos de flecha distin-

tos, que sao separados pela circunferência de raio b - Fig.4.20.

para r > b

m

com w0 e wm definidos por (4.49).

para r < b , temos expressoes análogas que distinguiremos por

um asterisco:

W* = W* + o m

}: w; cos m0 m=l

Esta região contém a origem; então para que te-

nhamos flechas, monentos e forças cortantes finitas em r=O , é

necessário eliminar algumas constantes:

c~o = C40 = o

c~l = C41 = o

m>2 c~m = c4m = o

logo: ., = Cio + Cjo l+a r ( 4. 51)

-W* 1 = Ci1 rl+b1 + Cjl r

m>2 ,W* 'm = Cim rl+bm + C* 3m

rl+cm

Dessa maneira, para cada valor de m temos 6

constantes a determinar: 4 para a parte externa e 2 para a in -

P6

terna à circunferência de raio b. As condições para determi -

naçao dessas constantes são. postas da seguinte maneira:

- bordo engastado em r = a

w = o

aw - = o ar

- continuidade de forças e deslocamentos em r = b

onde

de flechas: w = w*

de rotações : aw ar = aw* ar

de momentos fletores desde que

não atuem momentos externos:

de forças cortantes no ponto

de aplicação da carga: Q - Q* = -P r r

p . -p

pode ser representada pela série: llb

Cálculo dos wm

1) m = o

+ C20 2 l+cx

+ C40 1-cx Wo = ClO r + C30 r r

w* * * l+cx = ClO + C30 r o

( 1 + 2

( 4. 52)

As forças cortantes sao obtidas substituindo-se

estas expressões em (3.15):

· c20 2 Qr = -2 ~(1-a )B r r

Q* = o r

87

Equacionando as condições (4. 52) temos:

em r=a

w = o

· ·aw ãr = o

em r=b

w = w*

· ·aw ãr

· ·aw* = o = ãr

Q - Q* r r

C20 =

C3Q = -

. ·p = - Tnli

Resolvendo-se o sistema, obtém-se as constantes:

Pa2

[ (l-a)-2El+a J 41! (1-a)Br --'-=-..::.1.:...+_a..::...::.--

p 2

41! (1-a ) Br

1-a [ l+a J Pa 2a+ (1-a) E 2 41la (1-a )B l+a r

* ClO =

* c30 =

Então:

2 4Jla(l-a )Br

Pa 2

2 41l (1-a ) Br

Pbl-a 2

4 lla (1-a ) Br

88

[ l+a + E2 J (1-a) -2E

l+Cl

~ 1-a l+a J E (l+a)-2a-E (1-a) (l+a) El-a

Pa 2

2 41l (1-a ) B r

{ (1-a)-2El+a + p2

l+Cl

,

l+a + E pl-a}

Cl

(4.53)

b E = a

(4.54)

Wõ = Pa2 { (1-a)-2El+a + E2 1 [2+El+a (l~a)j Pl+a + - l+a

l+Cl

1-a l+a + _E __ p } Cl

p = r a

Quando b+O (E+O), w0 representa a solução p~

ra carga concêntrica, expressão (4.11):

[ 1-a + 2 __ 2_ l+a J l+a P l+a P

2) m=l

wl = e l+b1 + llr e r1 -b1

21 + c 31r + c 41r ln r

W* e* l+b1 + * 1 = 11 r c3lr

89

As forças cortantes nesse caso sao dadas por:

( B+o) r 2 c41 } cose

As condições (4.52) agora se escrevem:

em r=a

w = o

aw ãr = o

em r=b

w = w*

aw ar =

aw* ãr

* ·p Qr - Qr = - Ilb cose

(C 31-c~1 )b+c41b ln b=

= o

+ c41 (1 + ln b) = O

+

= o

= p

IlbBr

90

donde se obtém as constantes:

logo:

Pa

Pb

IIB b2

r 1

1. l+b .:l LE 1 - E+ b 1 E ln~

, b E = -a

(4.55)

[ b1 l+b1 b1 1-b b1 l (2-E )p -E p 1+2(E -l)p-2blp ln Pj

Wi =

r p = a

3) m>2

w = e l+bm + e 1-bm + e rl+cm + e 1-cm m lmr 2mr 3m 4mr

(4.56)

E]

91

W* = * rl+bm + e* rl+cm m clm 3m

As forças cortantes sao dadas por:

com:

b2 13 2 m2 (13+ô)

Al = - - m ô + m l+b m

A2 = b2 - 13 + m2 ô + m2 (S-ô)

m 1-b m

e~ 8 2 m2 (B+ô)

A3 = - - m ô + l+c m

A4 2 13 + m2ô + m

2 (B-ô) = cm -1-c m

- condições:

em r=a

w = o e l+bm + lmª e al-bm + 2m e l+cm + 3mª e al-cm 4m = o

aw ar = 0 +

9?.

em r=b

w = w* (C -e* )bl+bm + e bl-bm + (C -e* )bl+cm + lm lm 2m 3m 3m

= o

(l+b) (C -e* )bbm + (1-b )C b-bm + (l+cm) (c3

m-m lm lm m 2m

-e* )bem+ (1-c )C b-cm = O 3m m 4m

= p

- Ilb cos me

constantes:

P b2 a-bm-1 [ 2Ecm-l -

b -1 (bm+cm>] clm

E m =

211B (b2-c2) (b -e ) b m r m m m m

2 -e -1 [ 2Ebm-l -

e -1 (bm+cm)] c3m =

p b a m E m 2 2 211B (b -e ) (b -e ) e r m m m m m

c2m = P b2 bbm-1

211B b (b2-c2) (4.57) r m m m

93

c4m =

* P b2 a-bm-1 [ C -1 Ebm-l (b +c l

clni = 2 2 2c m - b m m 2TIBr(bm-cm) (bm-cm) m

-b -1 (bm -cm)J

E m b m

* P b2 a-cm-1

[2cbm-l_ c -1 -cm-1 E m

c3m = 2 2 (bm+cm) + E

2TIBr(bm-cm) (bm-cm) cm c m

· (b -c >] m m

b E = a

2 [ Ebro (b + >] l+bm w = P b { 2ccm ~ + m 2TIBrc(b;-c;> (bm-cm) m cm P

m

1-b (b -c ) p m m m +

(= . -bm J - _c_(b -c ) ·

bm m m

(b +c l + _c~-(b -c) Pl+cm} -cm J m m c m m

m (4.58)

r p = a

94

Os valores de w e w* m m decrescem rapidamente

com o aumento de m, sendo preciso, portanto, poucos termos da

série (4.48) para se obter uma boa aproximação dos resultados.

b) Placa circular engastada, sob açao de carregamento com var·ia

ção linear

formação:

q (r, e)

cular é da forma

º~~--1---~X~ •

' : ' ' 1 1

' ' 1 ' 1 ' 1 1 1 ,rQo.L.COS-8

l l )~- o

~~" º1 a 1 FIG-4.21

O carregamento distribuído tem a seguinte lei de

Sob esta distribuição de carga, a solução parti

w = A r 5 cose p , onde a constante A e de-

terminada substituindo-se esta expressão na equação (3.16) e

igualando-se os coeficientes de termos correspondentes.

95.

Feito isto, encontramos:

A =

q0

r 5 cose e a s9lução particular: wp = ~~~~~~~~

16 d Br a , d= 15-28-S.

A solução 9omplementar é inteiramente definida

pelo harmônico de primeira ordem:

• cose

onde, para que nao haja valores indeterminados no centro, nova-

mente temos:

Assim, a solução geral para as flechas tem por

expressao:

onde as constantes c 11 e c 31 sao determinadas pelas condições

de bordo engastado:

em r=a:

w = a

aw ar= 0

que nos fornecem:

4 qo a

16dB r

5qo a 3

16dB r

+ e l+b1 + 11 ª c31 a = o

+ ( b1 l+b1 )c11 a + C31 = o

4qo 4 . -l-b1 a

c11 a =

16dBr bl (4.59)

qo ª3 ( 4-bl) c31 =

16dB bl r

e a partir destas, as flechas e esforços resultantes:

w = cose

cose

Bre 3 b 1-1 (p + p )sen e (4.60)

r p =

a

4.4 - CHAPAS SUJEITAS A PRESSÕES RADIALMENTE SIM!1:TRICAS

O equilíbrio das chapas que possuem ortotropia

polar é verificado pela equação:

= o (4.61)

cuja solução é dada por:

F e e 2 C l+a C rl-a = 10 + 20r + 30r + 40 (4 .62)

onde a= /5: Er

e F é a função de tensões no plano re , ca-

racterizada por satisfazer:

1 dF ªr = r ãr

d 2F (4.63)

ªe = dr2

As deformações em termos do deslocamento radial

u sao:

du Er = ãr

( 4. 64) u

E8 = -r

ou ainda pela lei de Hooke:

ªr "e Er = - Ee ªe E r (4.65)

ªe "r E8 = Ee - E a r r

Com esses dados, podemos apresentar a solução

do problema clássico de Lamé, ou seja, de um anel uniformairente

comprimido por pressões p 1 e p 2 nos contornos interno e exter

no respectivairente, como mostra a Fig. 4.22.

98

F I G-4.22

Tendo em vista (4.63), c 10 nao interessa ao cál

culo das tensões e c 20 deve se anular para não causar valores

múltiplos para o deslocamento em um mesmo ponto13 Assim, (4.62)

se reduz a :

l+a 1-a F = C30 r + C40 r

As condições de contorno sao fixadas por:

em r=b a-1 -a-1 = c 30 (l+a)b + c 40 (1-a)b

em r=a

donde se obtém:

l+a P1 e -p2 1-a

C30 = a 2a (1-c ) (l+a) (4.66)

1-a P1 e -p2 l+a ·b

c40 = a , e = --2a a (1-c ) (1-a)

as tensões

l+a P1 E -p2 a-1

crr = p 1-E

2 (l

(18 = (l [

e o deslocamento radial:

u = l+a )

E -p2

1 2a -E

+

a-1 p

99

P1 ,E 1-a

-p2 -a-1 -2a

p

1-E

_P~l~E~~-~-2 P-a-l 1-a J l-E-2a

(l (1-a" )p -r

(4.67)

Quando a chapa é completa e existe somente a

compressao p 2 , os resultados de (4.67) se reduzem para:

b -,. o

P1 =

crr =

cr e =

u = -

(E -,. O)

o

a-1 -p2 p

a-1 -p2a p

ªª (1-a"r)p 2 p Ee (l

I r

p = a

(4. 68)

Novamente as fórmulas (4.68) constatam uma sin-

gularidade matemática para r=O, que como sabemos, é um ponto

de singularidade da ortotropia polar. De maneira análoga, po -

der-se-ia corrigir esta singularidade introduzindo-se um disco

isótropo em substituição à região alterada da ortotropia, e fa-

zendo a compatibilização de tensões e deformações ao longo da

circunferência que limita as duas espécies de material.

100

CAPfTULO V

FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA GEOMtTRICA

5.1 - INTRODUÇÃO

Neste capítulo estudaremos a flexão com peque-

nos deslocamentos de placas circulares possuindo ortotropia geo-

métrica ou construtiva. Esta espécie de ortotropia é caracteri-

zada quando a placa apresenta propriedades de forma~ diferentes

e descontínuas nas direções radial e circunferencial, o que, in-

dependentemente da isotropia do material, lhe confere diferentes

rijezas nestas direções.

O modelo estrutural em questão, conhecido pe-

lo nome de placa enrijecida (stiffened plate), é um conjunto for

mado por u