Egy új kísérleti készítmény hatását szeretnék vizsgálni egereken. 5 féle dózist adnak be 5 vizsgált egérnek, de nem sikerült mindegyik egérnek pontosan ugyan azt a mennyiséget beadni a dózis-csoportokon belül. A kísérleti jegyzőkönyv adatait a táblázat mutatja. Van-e a dózisok között (és így hatásukban) tényleges különbség?

Feladat

• A dózisok hatását szeretnénk a későbbiekben vizsgálni.• Ahhoz, hogy a hatást vizsgálhassuk, előbb meg kell néznünk, hogy tekinthető-e

a kísérlet sikeresnek abból a szempontból, hogy 5 különböző dózis hatását vizsgálták-e?

• A pontatlan dozírozás miatt az egyes egereknél eltérő a konkrét beadott mennyiség, holott ugyanannak a dózisnak a hatását kellene vizsgálni.

• A kérdés az, hogy az egyes dózisok szórása az 5 egérnél olyan nagy-e, hogy már nem is beszélhetünk ugyanarról a dózisról, vagy a dózisokon belüli szóródás nem annyira számottevő, azaz elhanyagolható a dózisok közötti szóráshoz képest.

Feladat átfogalmazása

• Ha két dózist vizsgálnánk csak, akkor azok eltérését kétmintás t-próbával vizsgálhatnánk, azonban 5 dózis-csoportunk van.

• Kettőnél több független minta összehasonlításához varianciaanalízist használhatunk.

• Az eljárás lényege: a mintákból számolt összvarianciát két részre osztjuk

1. mintákon belüli variancia (Qbelső)2. minták közötti variancia (Qkülső)

a statisztikai analízis során ezt a két részvarianciát hasonlítjuk össze F-próbával

attól függően, hogy melyik hatás (csoporton belüli vagy csoportok közötti) a domináns, döntünk a vizsgálat felől

• Ha a varianciaanalízis eredménye az, hogy a csoportok szignifikánsan különböznek, attól még nem tudjuk pontosan, hogy melyik csoportok különböznek melyektől, csak azt, hogy legalább egy különbözik a többitől.

• Arra a kérdésre, hogy pontosan mely csoportok különböznek szignifikánsan, a varianciaanalízis után elvégezhető post hoc teszt ad választ.

Varianciaanalízis (ANOVA) – Az eljárás lényege

Varianciaanalízis (ANOVA) – Hipotézisek

• A varianciaanalízis során ugyanaz a hipotézis felállításának logikája, mint a t-próbáknál. a csoportok átlagértékei között van-e szignifikáns eltérés Nullhipotézis

o a csoportok átlagértékei azonosako

Alternatív hipotéziso a csoportok átlagértékei nem azonosak

• Az átlagértékek vizsgálatát indirekt módon, a varianciák összehasonlításával végezzük. A varianciákat vizsgáljuk, de a következtetéseket a csoportok átlagaira hozzuk meg.

• Két csoport esetén az eljárás a kétmintás t-próbával azonos a kétmintás t-próba a varianciaanalízis speciális esete ugyanarra a feladatra elvégezve a két teszt azonos eredményt szolgáltat

Varianciaanalízis (ANOVA) – Típusok

• A varianciaanalízis osztályozása a csoportosító faktor (független változó) szerint történik. egyszempontos ANOVA / egyszeres osztályozás (one way ANOVA)

o egyetlen faktort vizsgálunk o jelen feladat is ilyen (esetünkben a dózis ez a faktor)

két-, három- / többszempontos ANOVAo példa: hőkezeléssel és besugárzással enzimaktivitást nézünk, ezen két

szempont hatását értékeljük a vizsgált paraméterreo az eredmények értelmezési nehézsége fokozódik a faktorok

kereszthatásainak következtébeno a számítási kapacitás is nagy mértékben megnő

Egyszempontos varianciaanalízis

• k csoport, 1 faktor

• teljes mintaszám: • teljes mintára vonatkozó átlag:

Egyszempontos varianciaanalízis – Teljes variancia

• A mintára vonatkozó teljes varianciát az egyes mintaelemek nagy átlagtól való eltérésének négyzetösszegeként definiáljuk

• A teljes négyzetösszeg két részre bontható: csoporton belüli és csoportok közötti négyzetes összegekre

adott elem eltérése a

nagy átlagtól

elem csoport-

átlagtól való eltérése

csoport-átlag nagy

átlagtól való eltérése

Belátható, hogy a teljes négyzetösszeg felbontása egyértelmű és a két részösszeg független egymástól.

Egyszempontos varianciaanalízis – Részvarianciák

• Az egyes részvarianciák felírásához szükségünk van a megfelelő szabadságfokok meghatározására.

• A teljes mintára vonatkozóan a szabadságfok szintén két részre bontható

• Így az egyes részvarianciák értéke: Csoporton belüli részvariancia:

Csoportok közötti részvariancia:

teljesszabadságfok

csoportonbelüli

csoportokközötti

Egyszempontos varianciaanalízis – Varianciák összehasonlítása

• A varianciaanalízis során a két részvarianciát hasonlítjuk össze F-próbával

Ha ez az eltérés szignifikáns, vagyis a csoportok közötti hatás a mértékadó, akkor elvetjük a csoportok átlagaira vonatkozó nullhipotézisünket.

Az F-próba során csak egyoldalú próbát használunk, hiszen számunkra az az eset érdekes, hogy a csoporton belüli részvariancia (sb

2) nagyobb-e a csoportok közötti részvarianciánál (sk

2)

Varianciaanalízis (ANOVA) – Használatának feltételei

• A használhatóság feltételei megegyeznek a független kétmintás t-próba feltételeivel:

1. a minták függetlensége2. a minták normális eloszlása3. a minták azonos varianciája (homogenitása)

• A feltételek teljesülését még az analízis előtt el kell végezni.• A varianciaanalízis robosztus teszt a minták nem túlságosan durva eltérése a normalitástól és a homogenitástól

nem torzítja túlságosan a levonható konklúzió érvényességét• A feltételek nem teljesülése esetén a megfelelő nem paraméteres eljárást kell

használni, illetve meg kell próbálni az adatok áttranszformálását négyzetgyök-transzformáció logaritmikus transzformáció reciprok transzformáció arcus sinus transzformáció

Feladat megoldása – Feltételek ellenőrzése

Normalitás ellenőrzése:

HisztogramP-P plot

Kolmogorov-Szmirnov teszt

Feladat megoldása – Feltételek ellenőrzése

Homogenitás ellenőrzése:

Bartlett-próba

F-próba kiterjesztése kettőnél több minta esetére, szórások homogenitásának ellenőrzésére

Feladat megoldása – Kiértékelés

csoporton belüli négyzetes összegcsoportok közötti négyzetes összegcsoporton belüli részvarianciacsoportok közötti részvarianciacsoportok közötti szabadságfokcsoporton belüli szabadságfok

ÖSSZESÍTÉSCsoportok Darabszám Összeg Átlag Variancia

1. dózis 5 48 9,6 9,32.dózis 5 49 9,8 6,73.dózis 5 85 17 7,54.dózis 5 95 19 8,55.dózis 5 139 27,8 9,2

VARIANCIAANALÍZISTényezők SS df MS F p-érték F krit.

Csoportok között 1132,96 4 283,24 34,37379 1,06E-08 2,866081Csoporton belül 164,8 20 8,24

Összesen 1297,76 24

Feladat megoldása – Következtetés

VARIANCIAANALÍZIS

Tényezők SS df MS F p-érték F krit.

Csoportok között 1132,96 4 283,24 34,37379 1,06E-08 2,866081

Csoporton belül 164,8 20 8,24

Összesen 1297,76 24

• F értéke a két variancia hányadosa:

• Az 5%-os szignifikancia-szinthez tartozó kritikus F érték: 2,866081• Mivel 2,866081 < 34,37379 , ezért a nullhipotézist elvetjük, azaz a csoportok

szignifikánsan különböznek egymástól.