FEM -2FEM -2

Gabriella Puppo

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Problema della trave elasticaVisualizzazione della soluzioneProblema della membrana elastica

Trave elasticaTrave elasticaVogliamo risolvere il problema:

Abbiamo già calcolato la matrice di rigidità di questo problema.La struttura della matrice dipende dalla numerazione che scegliamo per gli elementi della base dello spazio delle funzioni test

Matrice di rigiditàMatrice di rigidità

Costruisco la matrice di rigidità per una griglia con N nodi interni numerando le funzioni di base in questo modo:

Φ(i), i=1,…,N le funzioni di base che trasportano il valore della soluzione nel nodo x(i)

Φ(N+i), i=1,…,N le funzioni di base che trasportano il valore della derivata prima della soluzione nel nodo x(i)

functionfunction mat_trave.m mat_trave.m

function a=mat_trave(n)% Crea la matrice di rigidita' della trave % elastica, con N nodi internia=eye(2*n);for i=1:n a(i,i)=24;endfor i=1:n-1 a(i,i+1)=-12; a(i,i+n+1)=6;end

Crea le righe relative alle funzioni di base per i valori nodali della soluzione…

for i=2:n a(i,i-1)=-12; a(i,i+n-1)=-6;endfor i=n+1:2*n a(i,i)=8;endfor i=n+1:2*n-1 a(i,i+1)=2; a(i,i-n+1)=-6;endfor i=n+2:2*n a(i,i-1)=2; a(i,i-n-1)=6;end

Crea le righe relative alle funzioni di base per i valori nodali della derivata prima della soluzione.

24 -12 0 0 0 0 6 0 0 0-12 24 -12 0 0 -6 0 6 0 0 0 -12 24 -12 0 0 -6 0 6 0 0 0 -12 24 -12 0 0 -6 0 6 0 0 0 -12 24 0 0 0 -6 0 0 -6 0 0 0 8 2 0 0 0 6 0 -6 0 0 2 8 2 0 0 0 6 0 -6 0 0 2 8 2 0 0 0 6 0 -6 0 0 2 8 2 0 0 0 6 0 0 0 0 2 8

Per N=5 nodi interni, ottengo la seguente matrice

Numero di condizionamentoNumero di condizionamento

Il numero di condizionamento del problema della trave è molto più grande di quello del filo elastico

AndamentoAndamentoIl numero di condizionamento per il problema della trave elastica cresce come N 4. La curva a pallini è stata ottenuta interpolando i dati sul condizionamento con un polinomio di grado 4, con il metodo dei minimi quadrati

Soluzione del problema della Soluzione del problema della travetrave

Costruire la matrice di rigiditàCostruire il vettore di caricoAggiungere le condizioni al bordoEsportare la soluzione

La function che calcola la soluzione del problema della trave deve:

functionfunction trave.m trave.m

function [uu,uux,x]=trave(f,n)% Risolve il problema della trave elastica% per condizioni al bordo omogenee di% Dirichlet, con carico assegnato f% e N punti internia=mat_trave(n);h=1/(n+1); % spaziatura di griglia

Blocco di inizializzazione: calcolo della matrice di rigidità

x=linspace(h,1-h,n); %nodi internixhalf=linspace(h/2,1-h/2,n+1); %nodi sfalsatifx=feval(f,x); %n componentifxhalf=feval(f,xhalf); %n+1 componentib=h^4/3*(fx+fxhalf(1:n)+fxhalf(2:n+1)); b(n+1:2*n)=h^4/12*(fxhalf(1:n)-fxhalf(2:n+1));

Calcolo del vettore di carico: uso la regola di Simpson per stimare gli integrali. Con questa regola di quadratura devo valutare f anche sui nodi intermedi x i +h/2 (nodi sfalsati).

u=a\b';% Ora aggiungo le condizioni al contornouu(2:n+1)=u(1:n); uu(1)=0; uu(n+2)=0;uux(2:n+1)=u(n+1:2*n); uux(1)=0; uux(n+2)=0;% Calcola il vettore delle ascissefor i=0:n+1; x(i+1) = i*h; end

Soluzione ed esportazione dei risultati.In output questa function fornisce u e u’ nei due vettori separati uu e uux, con le rispettive condizioni al contorno.

Trave con carico uniformeTrave con carico uniformeRosso: N=10, curva blu N=20 f=inline('-1+0*x');

[uu,uux,x]=trave(f,10);subplot(1,2,1)plot(x,uu,'r','Linewidth',2)[uu,uux,x]=trave(f,20);subplot(1,2,2)plot(x,uu,'b','Linewidth',2)

Ho usato i seguenti comandi:

Trave con carico puntiformeTrave con carico puntiforme

Visualizzazione dei risultatiVisualizzazione dei risultati

Nei grafici precedenti, ho utilizzato soltanto i valori nodali della soluzione per tracciare l’andamento della deformazione della trave.In realtà ho a disposizione un’informazione molto più ricca.Per sfruttare in modo più efficace la soluzione ottenuta, devo calcolare l’interpolante cubico a tratti di Hermite che ho usato per costruire il metodo agli elementi finiti della trave elastica

functionfunction visualizza_trave.m visualizza_trave.m

function [uu,xx]=visualizza_trave(u,ux,x)% [UU,XX]=VISUALIZZA_TRAVE(U,UX,X) calcola% i valori UU dell'interpolante cubico a tratti % di Hermite sulla griglia XX, utilizzando i% valori U di una funzione e i valori della sua% derivata UX sui nodi X.% La griglia XX e' costruita infittendo X%n=length(u)-1; %Numero intervallih=1/n;m=10; hh=h/m; % Raffinamento di griglia

xx(1)=x(1); uu(1)=u(1);for i=1:n for jj=1:m ii=m*(i-1)+jj+1; y=jj*hh/h; xx(ii)=x(i)+jj*hh; phi1=1-y^2+2*dx^2*(dx-1); phi2=dx^2-2*dx^2*(dx-1); phi3=dx-dx^2+dx^2*(dx-1); phi4=dx^2*(dx-1); uu(ii)=u(i)*phi1 +u(i+1)*phi2+ ... ux(i)*phi3 +ux(i+1)*phi4;

endend

Calcolo delle funzioni di base di elemento

Calcolo dell’interpolante sull’ elemento i, nel punto y

Trave con carico puntiformeTrave con carico puntiforme

EserciziEsercizi

Paragonare la deformazione della trave e del filo elastico sotto l’azione dello stesso carico.

Studiare la velocita’ di convergenza del metodo FEM per una trave soggetta al carico:

con soluzione esatta:

f(x)=2*exp(-x^2)*(x^2-6*x+1-7*x^4+14*x^3+2*x^6-4*x^5)

exa=x^2*(x-1)^2*exp(-x^2)

Membrana elasticaMembrana elastica

Vogliamo risolvere il problema:

Abbiamo già calcolato la matrice di rigidità per questo problema.Dobbiamo creare una function che abbia in input il numero N dei nodi interni ad ogni lato, e in output la matrice di rigidità.

Costruzione della matriceCostruzione della matrice

Costruisco la matrice di rigidità come matrice tridiagonale a blocchi

Se N è il numero di punti interni di ogni lato, allora la matrice A h è una matrice N 2 per N 2, e i singoli blocchi sono N per N.

I blocchi I sono matrici identità N per N.I blocchi G sono tridiagonali ed hanno la seguente struttura:

Inizio dai blocchi sulla diagonale principale. Siccome ogni blocco occupa N righe, l’i-esimo blocco comincia alla riga:

inizio=(i-1)*n+1;

e finisce alla riga

fine=i*n;

function a=laplaciano(n)% A=LAPLACIANO(N) calcola la matrice del laplaciano% sul quadrato, con N nodi interni su ogni lato.b=ones(n-1,1);g=4*eye(n)-diag(b,-1)-diag(b,1);% g contiene i blocchi sulla diagonalefor i=1:n inizio=(i-1)*n+1; fine=i*n; a(inizio:fine, inizio:fine)=g;end% costruisce le due diagonali lontaneb=ones(n^2-n,1);a=a -diag(b,n) -diag(b,-n);

Metodo FEM in 2DMetodo FEM in 2DA questo punto, posso creare una function che risolva il problema agli elementi finiti della membrana elastica. Questa function deve:

Creare la matrice;Creare il vettore di carico (per ora considero

un carico uniforme)Risolvere il sistema lineare

Ottengo questo programma

function uquad=membrana_unif(n)% UQUAD=membrana(N) trova la soluzione del% problema della membrana elastica, sul % quadrato unitario, con N% nodi interni per lato, con un carico % uniformeh = 1/(n+1); a=laplaciano(n);b= -h^2*ones(n^2,1);u=a\b;

…continua...

Attenzione!

Il vettore soluzione u è un unico vettore colonna con N2 componenti.

Per visualizzare la soluzione, devo riordinare i valori contenuti nel vettore u distribuendoli su un array bidimensionale

Visualizzare la soluzioneVisualizzare la soluzione

Trasformare il vettore soluzione u in un array bidimensionale che dia la soluzione in ogni punto del quadrato

Aggiungere le condizioni al contorno.Fare un grafico con il comando mesh

% scrive u come array bidimensionale, a partire da (1,1)for i=1:n inizio=(i-1)*n+1; fine=i*n; uu(:,i)=u(inizio:fine);end% aggiunge le condizioni al bordouquad(2:n+1,2:n+1)=uu; % aggiunge la cornicefor i=1:n+2 uquad(n+2,i)=0; uquad(i,n+2)=0;end

Quindi la function membrana_unif deve contenere anche queste istruzioni

Per eseguire questo programma e visualizzare i risultati, devo dare i seguenti comandi:

>> uu=membrana_unif(9);>> mesh(uu)

Ottengo la figura seguente:

Matlab stampa il grafico in funzione degli indici della matrice

Per avere le scale corrette sugli assi devo preparare dei vettori che contengano le coordinate dei nodi:

>> x=linspace(0,1,21);>> y=linspace(0,1,21);>> mesh(x,y,u)

N.B.: ci sono 21 nodi per lato, perché devo considerare anche i nodi sui bordi

Vorrei ora poter definire un carico più generale. Devo costruire una funzione f(x,y), che mi dia i valori di f sul quadrato

>> f=inline('x.^2-y.^2');>> x=linspace(-1,1,21);>> y=linspace(-1:1,21);

Se pero’ora calcolo f(x,y) ottengo un vettore, perche’ Matlab valuta f(x(i),y(i)), per i che va da 1 a length(x): quindi otterrei un vettore con 21 componenti

Per ottenere la funzione sul quadrato devo dare i seguenti comandi

>> f=inline('x.^2-y.^2');>> x=linspace(-1,1,21);>> y=linspace(-1:1,21);>> [xx,yy]=meshgrid(x,y);>> fxy=f(xx,yy);

L’ istruzione meshgrid crea la matrice xx e la matrice yy che contengono le ascisse e le ordinate di ogni punto della griglia

Posso ora dare la funzione che calcola la deformazione della membrana, con un carico assegnato

function uquad=membrana(f,n)% UQUAD=membrana(N) trova la soluzione del% problema della membrana elastica, sul % quadrato unitario, con N% nodi interni per lato, con un carico % assegnato tramite la funzione f(x,y)a=laplaciano(n); h=1/(n+1);% Calcola il carico sui nodi interni del quadrato:x=linspace(0+h,1-h,n); y=linspace(0+h,1-h,n); [xx,yy]=meshgrid(x,y);fxy=feval(f,xx,yy);

% Trasforma il carico come vettore colonnafor i=1:n inizio=(i-1)*n+1; fine=i*n; b(inizio:fine)=h^2*fxy(i,:);endu=a\b';

Per impostare il sistema lineare, devo costruire il vettore dei termini noti, impostando il carico come vettore colonna, e moltiplicando per h 2

% scrive u come array bidimensionale, a partire da (2,2)for i=1:n inizio=(i-1)*n+1; fine=i*n; uu(:,i)=u(inizio:fine);end% aggiunge le condizioni al bordouquad(2:n+1,2:n+1)=uu; % aggiunge la cornicefor i=1:n+2 uquad(n+2,i)=0; uquad(i,n+2)=0;end

Per visualizzare la soluzione devo procedere come prima, trasformando u nella matrice uu, definita sul quadrato, e aggiungendo le condizioni al bordo.

Ottengo questa figura, per 19 punti interni

Se ora desidero ottenere più dettagli, devo aumentare il numero di nodi su ogni lato del quadrato.Se però dò questo comando:

pianto il computer (o almeno il mio PC va in crisi…)Cercheremo prima di capire che cosa succede. Poi, nel capitolo sui metodi iterativi, vedremo come è possibile migliorare le prestazioni del nostro programma.

>> u=membrana(f,100);

EserciziEserciziCalcolare il tempo di esecuzione del programma della membrana per N=10, N=20, N=30, N=40, N=50. Con che velocità aumenta il tempo di esecuzione, rispetto ad N? (Usare polyfit per stimare l’andamento del tempo di calcolo)

Modificare il programma membrana.m, in modo da assegnare condizioni al bordo di Neumann omogenee su uno dei lati del quadrato