Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
FEN VE MÜHENDİSLİKTE
MATEMATİK METOTLAR
10. KİTAP
DİFERANSİYEL DENKLEMLER III
DD III
83
İÇİNDEKİLER
I. SO(3) ve KÜRESEL HARMONİKLER
A) SO 3 Spektrumu
B) Diferansiyel Operatör Temsilleri
C) Uzay Tersinmesi
D) Küresel Harmonikler
II. SO(2,1) ve SPEKTRUM OLUŞTURAN CEBİRLER
A) SO 2,1 Spektrumu
B) Örnek I : Harmonik Osilatör
C) Örnek II : Hidrojen Atomu
D) KHGDD ile ilişki
EKLER VE NOTLAR
84
I. SO(3) ve KÜRESEL HARMONİKLER
A) SO(3) Spektrumu
Bu noktaya kadar DD 'ler ve çözümleri, iki ayrı yaklaşımla, reel eksen ve kompleks düzlemde
incelendi. Üçüncü ve son bir yaklaşım olarak DD 'lerin çözümleri Lie grup yapısı içinde
aranacaktır. HGDD 'in özel bir hali olan Legendre DD 'inin SO 3 grubu ile ve KHGDD 'in
SO 2,1 grubu ile ilişkileri saptanacak ve bu grupların jeneratörlerinin 'Spektrum
Oluşturan Cebir 'leri çözümlerin ana yapısını oluşturacaktır. Dönme jeneratörleri
1 2 3 2 3 1 3 1 2 , , , , , i i i L L L L L L L L L
komütasyon bağıntıları ile kapalı bir Lie cebri oluşturur. Sadece komütatörü sıfır olan
operatör çiftlerinin beraberce diyagonal biçime getirilebildikleri ve ortak özketlere sahip
oldukları görülmüştü. Buna göre L 'nin sadece bir bileşeninin spektrumu elde edilebilir.
Küresel koordinatlarda en basit biçimde ifade edilen koordinat z olduğu için bu bileşen
3L olarak seçilir. Skalar olduğu için tüm iL operatörleri ile komütatörü sıfır olan 2L
SO 3 grubunun Casimir operatörüdür.
2
3 , L L 0 olduğu için bu iki hermitsel operatörün ortak özketli özdeğer problemi
2 m m L ; 3 m m m L
biçiminde ifade edilir. 3exp 2 exp 2 i m i m m m L
şartından m özdeğerlerinin tamsayı oldukları sonucu çıkar. Şimdiye kadar kullanım dışı
kalan 1L ve 2L operatörlerinin de hermitsel olmayan ama birbirlerinin hermitsel
eşleniği olan 1 2 1 2 ; i i
L L L L L L L bileşimleri
3 3 , ; , L L L L L L denklemlerini sağlarlar.
3 , L L L denkleminin m ketine etki etmesi sonucu
85
3 3 m m L L L L L
3 1 m m m L L L ,
ve aynı yaklaşım 3 , L L L denklemi için tekrar edilince
3 1 m m m L L L dolayısıyla
1 , 1 m c m m c m L L ifadelerine ulaşılır.
Bu da L Lve operatörlerinin, 3L 'ün spektrum merdiveninde, birim yükseltme
ve alçaltma işlemleri yaptıklarını göstermektedir. c ve c katsayılarının
belirlenmesinde 2 2
3 3 2 ; 2 + L L L L L L L L L L L
özdeşliklerinden elde edilen 2 2 2 2
3 3 3 3 + ; L L L L L L L L L L
denklemlerinden yararlanılarak
2 1 1 m m m m c m m
L L L L
2 2 2 2
3 3 + m m m m m m c m m L L L
sonucuna erişilir. Benzer biçimde 2 c m m bulunur ve
2 1m m m m L ; 2 1m m m m L
ara sonuçlarına erişilir. Üç hermitsel operatörün karelerinin toplamı olan
2 2 2 2
1 2 3 + +L L L L için 2 2
3Spektrum Spektrum L L veya 2 m
olduğu açıktır. Bu da m özdeğerinin alttan ve üstten sınırlı, tek parçalı bir spektruma sahip
olduğunun kanıtıdır. : Tm Üst , : Bm Alt olmak üzere
Tm L ; Bm L sağlayan iki uç ket’inin varlığını
öngörerek 2 1 1 0 2 4T T Tm m m ve
86
2 1 1 0 2 4B B Bm m m bulunur, ancak T Bm m
olması gereğinden 1 1 2 4Tm , 1 1
2 4B Tm m
seçilir ve Tm tanımıyla da 1 elde edilir.
Elde edilen tüm sonuçlar yeni bir yazılımla :
2 1 m m L , 3
m m mL
1 1m m m m L
1 1m m m m L
3Spektrum ; 0 , . . . , 2 L
mm
L olarak ifade edilir. L ve L operatörleri
kullanılarak herhangi bir m özketinden, başka herhangi bir m özketine
geçiş mümkündür. Ancak değişik değerleri arasındaki geçişler için ileride
1 1 örneği ele alınacaktır. Genel spektrum yapısı aşağıdaki figürle
özetlenmektedir :
87
B) Diferansiyel Operatör Temsilleri
Dönme jeneratörlerinin temsillerini önce kartezyen koordinatlarda yazıp, sonra da kısmi
türev zincir kuralı uygulayarak küresel koordinat temsiline geçilebilir. Ancak aşağıda sunulan
metod daha kısa ve pratiktir. L vektörünün bileşenlerinin küresel koordinat temsillerini
, , i i iF G
L olarak yazıp, sonra mesela
1 , L x 0 , 1 , i L y z denklemlerini
1 1 , sin cos 0F G
, 1 1 , sin sin cosF G i
şeklinde ifade ederek elde edilen
1 1 cos cos sin sin 0F G , 1 1 cos sin sin cos cosF G i
denklemleri 1F ve 1G için çözülüp 1 sinF i , 1 ctn cosG i bulunur.
Benzer biçimde 2 cosF i , 2 ctn sinG i ; 3 0F , 3 G i ve
dolayısıyla
1 sin ctn cos i
L ,
2 cos ctn sin i
L , 3 i
L ,
exp ctn i i
L , exp ctn i i
L
sonuçlarına erişilir. Bu operatörler kullanılarak da
2
2
2 2
1 1 sin
sin sin
L diferansiyel operatörü bulunur.
Özdeğer denklemi 2 1 m m L ise
88
ˆ ˆ , mm r m Y r tanımları ile
2
2 2
1 1 sin 1 , 0
sin sinm
Y
haline gelir.
,m
Y fonksiyonları 'Küresel Harmonik' olarak adlandırılır ve çok geniş uygulama
alanları vardır. 0 0
L , 0 0
L , 3
0 0 L
sonuçları 00ˆ ˆ 0 0 Y r r Sabit olduğuna işaret etmektedir.(1)
C) Küresel Harmonikler
Herhangi bir V vektörü için 2 , i L V 0 olmakla beraber, çok özel durumlar
dışında 2 , i V L sıfır değildir. 1 2 i =V V V , 1 2 i =V V V
tanımları yapılarak 3 , L V V ve 2
3 3 , 2 +L V V L V L V
olduğu gösterilir. Bu komütatörlerin 2 1 L ve
3 L denklemlerine etki etmesi sonucunda ise
1 1
V 1 1 elde edilir.
Böylece 0 0
V dolayısıyla 0 0 mm
L V
olmaktadır. Küresel harmonik fonksiyonları konum uzayında belirlerken, boyut problemi
oluşturmaması açısından ˆV r seçimi uygun olacaktır. Bu seçim sonucu
sin cos sin sin
ˆ sin expr i r
r ir
olduğu için
ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 sin exp 0 0 sin exp ˆY r r r r i i
r
bulunur. Zahmetli bir normalizasyon işlemi sonucu
ˆ , cos , ,m m m m
Y r Y Y Y w küresel harmonik fonksiyonları,
0m için, = cosw ve 2 21 sinm
mw olmak üzere
89
2 2
, 1 1 exp
mm
m m m
dY w N w w im
dw
olarak tanımlanır.
Normalizasyon katsayısı ise
1 2 1 !
2 ! 4 !
m
m
mN
m
ile verilir.
0m için ise tanım *
, 1 ,
m
m mY w Y w olmaktadır.
Arfken, Jackson gibi yazarlarca kullanılan bu ifade Condon-Shortley konvansiyonu olarak
adlandırılır. Tüm bu yaklaşımı öğrenip, benimsedikten sonra bile küresel harmonik
fonksiyonları matematik tablolardan bakarak kullanmak en emniyetli ve kolay yoldur.
D) Uzay Tersinmesi
, i L L L denkleminin sol yanı iki L operatörünün çarpımını içerdiği için
tersinme dönüşümleri altında aynı kalacaktır. Sağ yanın da aynı kalma gereği L L
elde edilir. Öte yandan ˆ 0 0 r Sabit olduğu için, doğal olarak uzay tersinmesi
işleminden etkilenmez ve 0 0 0 0 olur. için ise
0 0ˆ
r denklemi 0 0ˆ
r olarak dönüştürülüp
= 1 bulunur. m özketleri mm
L ile
verildiği için m mm
L L
1 1 m m
L sağlanır.
90
PROBLEMLER
P.A.1 ) i) exp 2 2 1 ? L , ii) 2exp 2 3 1 ?L
P.A.2 ) z -ekseni etrafında açısıyla dönmeyi temsil eden cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
matrisini 3exp i L olarak ifade edip, 0
i
işlemi ile
3
0 0
0 0
0 0 0
i
i
L
temsilini elde edin. x y z x koordinat çevrim simetrisi kullanarak diğer
bileşenleri bulun ve , i L L L denklemini doğrulayın.
P.A.3) 2 3
3 1 2 3 oP w a a w a w a w gibi bir 3. derece polinom, 4-Boyutlu bir
sütun vektör olarak 1
2
3
oa
a
a
a
ile gösterildiğinde :
i) 3 3 P w P w dönüşümünden d
dw diferansiyel operatörünün 4 4 matris
temsilini oluşturun,
ii) 3 3 P w P w dönüşümünden 2
2
d
dw diferansiyel operatörünün 4 4 matris
temsilini oluşturun,
iii) (ii) sonucunun (i) sonucunun karesi olduğunu gösterin,
iv) d
wdw
diferansiyel operatörünün 4 4 matris temsilini oluşturun,
v) 2
2
2
dw
dw diferansiyel operatörünün 4 4 matris temsilini oluşturun,
91
vi) 2
2
21 2
d dw w
dw dw Legendre diferansiyel operatörünün 4 4 matris temsilini
oluşturun,
vii) Legendre diferansiyel operatörünün matris temsilinin özdeğerlerini bulun; genel boyutlu
P w için özdeğer formülünü tahmin edin,
viii) Legendre diferansiyel operatörünün matris temsilinin özvektörlerini bulun.
; 0 3P w Legendre polinomlarınıı elde etmek için 1 1P olacak
şekilde "normalize" edin.
P.B.1 ) 1 , sin cos sini L , 2 , sin cos cosi L ,
3 , sin 0 L olduğunu gösterin.
P.B.2 ) 1 , cos sin sini L , 2 , cos sin cosi L ,
3 , cos 0 L olduğunu gösterin.
P.B.3 ) 2
1 , sin ctn cosi L , 2 , sin ctn sin cosi L ,
3 , sin cosi L olduğunu gösterin.
P.B.4 ) 1 , cos ctn sin cosi L , 2
2 , cos ctn sini L ,
3 , cos sini L olduğunu gösterin.
92
P.B.5 ) Silindir koordinatlar cinsinden 1 cos , 1 cos , z z
olarak ifade edilen silindir parabolik koordinatlarda L ve 2L temsillerini oluşturun.
P.B.6 ) i) 1 i y zz y
L denkleminden yola çıkarak
2 2 22 2 2
1 2 2 2
y z yz y z
z y z y y z
L temsilini doğrulayın,
ii) x y z x koordinat çevrim simetrisi kullanarak
2
2 2 2 r r r L olduğunu gösterin.
iii) r rr
eşitliğini kullanarak
2
2
2 2
1 1 sin
sin sin
L olduğunu gösterin.
P.C.1 ) sin ? , cos ? ,
sin ? , cos ?
P.D.1 ) i) 3 L Y
i Y
oluşundan
exp Y i olduğunu,
ii) L exp ctn 0Y i i Y
oluşundan sinY olduğunu,
iii) sin exp Y N i ifadesinde normalizasyon katsayısının
1 2 1 !
2 ! 4N
olduğunu gösterin. [ 1 : konvansiyon ! ]
93
II. SO(2,1) ve SPEKTRUM OLUŞTURAN CEBİRLER
A) SO(2,1) Spektrumu
SO 2,1 cebri, SO 3 cebrine benzemekle beraber sonuç aşamasında büyük farklılıklar
gösteren bir Lie grubudur.
1 1
1 0 0
0 ch sh exp
0 sh ch
i
B ,
2 2
ch 0 sh
0 1 0 exp
sh 0 ch
i
B ,
3 3
cos sin 0
sin cos 0 exp
0 0 1
i
B
denklemlerinden elde edilen 1 2 3 , , jeneratörleri
1
0 0 0
0 0
0 0
i
i
, 2
0 0
0 0 0
0 0
i
i
, 3
0 0
0 0
0 0 0
i
i
ile verilir ve 1 2 3 , i , 2 3 1 , i , 3 1 2 , i
komütasyon bağıntılarını sağlarlar. Öte yandan bir metrik yardımı ile 'üniter' olan matrisler
için geçerli U G U G denkleminde 1 0
0 1
G alınır ve Det 1U
şartı koşulursa 11 12
21 22
u u
u u
U için * *
22 11 12 21 , u u u u olması gerektiği
görülür. 1
2
R I R I
R I R I
i i
i i
U parametrizasyonu sonucu , izi sıfır olan üç
jeneratör 1
01
02
i
i
, 2
0 11
1 02
, 3
1 01
0 12
olarak
94
bulunur ve gene aynı 1 2 3 , i , 2 3 1 , i , 3 1 2 , i
komütasyon bağıntıları elde edilir. Görülmektedir ki SO 3 ve SU 2 çiftinde olduğu
gibi SO 2,1 ve SU 1,1 de benzer cebirsel yapılara sahiptir. Öte yandan SO 3 ve
SO 2,1 arasındaki ilişki 1 1 2 2 3 3 , , i i L L L olarak
özetlenebilir; dolayısıyla Casimir operatörü de 2 2 2 2
3 1 2 olacaktır. Grup
elemanları gerçek anlamda üniter olmadıkları halde jeneratörlerin hermitsel olarak, veya en
azından bir benzerlik dönüşümü ile hermitsel olacak biçimde inşa edilmeleri mümkündür.
Komütasyon bağıntılarının ve spektrumların benzerlik dönüşümlerinden etkilenmedikleri
bilinmektedir. Buna dayanılarak ilerideki tüm çıkartım ve ispatlarda 1 2 3 , ,
operatörlerinin hermitsel olduğu varsayılacaktır. Yukarıda elde edilen formüllere alternatif
olan ve ileride hesap kolaylığı sağlayacak olan bazı formüller ise
2 3 1 3 1 , i , 2 3 1 3 1 , i
3 1 3 1 2 , 2 i
2 2 2
3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 i i
olarak verilir. 2
3 , = 0 olduğu için bu iki hermitsel operatörün ortak özketli
özdeğer problemi 2 Q Q Q ; 3 Q Q
biçiminde ifade edilir. Şimdiye kadar kullanım dışı kalan 1 ve 2 operatörlerinin de
1 2 = i ; 1 2 = i bileşimleri 3 , ;
3 , denklemlerini sağlarlar. Bu denklemlerin Q ketlerine etki
etmesi sonucu
1 Q Q
;
1 Q Q
ifadelerine ulaşılır. Bu da
ve
operatörlerinin, 3 'ün spektrum
merdiveninde birim yükseltme ve alçaltma işlemleri yaptıklarını göstermektedir. ve
katsayılarının belirlenmesinde 3+ +Λ Λ Λ Λ 2 ;
2 2
3+ +Λ Λ Λ Λ 2 özdeşliklerinden elde edilen
2 2
3 3+Λ Λ ; 2 2
3 3Λ Λ
95
denklemlerinden yararlanılarak
2 1 1 Q Q Q Q Q Q
2 2 2 2
3 3 Q Q Q Q Q Q
sonucuna erişilir. Benzer biçimde 2 Q bulunur ve
2 1Q Q Q ; 2 1Q Q Q
ara sonuçlarına erişilir. Casimir operatörü 2 2 2 2
3 1 2 için
2 2
3Spektrum Spektrum veya 2 Q olduğu açıktır. Bu da
özdeğerinin iki parçalı bir spektruma sahip olduğu ve üst parçanın alttan, alt parçanın da
üstten sınırlı olduğunun kanıtıdır. Alttan sınırlı üst parçaya odaklanıp, BQ
sağlayan bir taban ket’inin varlığını öngörerek
2 1 1 0 2 4B B BQ Q bulunur, ancak 0B olması
gereğinden 0Q için 1 1 + 2 4B Q , 1 < 0
4Q durumunda
ise 2 1 1 0 2 4B B BQ Q kullanılır.
Böylece 3
1 1 1 , 0 2 4 4
Spektrum 1 1 , 0
2 4
Q Q
Q Q
;
0 ,1 , 2 , . . . olmaktadır.(1)
96
B) Örnek I : Harmonik Osilatör
Yukarıda geliştirilen matematik yapının hayata geçirilmesi için gerekli adımlar :
i) SO(2,1) jeneratörlerinin somut bir temsilini inşa etmek,
ii) Casimir operatörünü hesaplamak,
iii) 3Spektrum 'ü bulmak,
iv) Bu spektruma uyacak fiziksel problemleri araştırmak
olarak özetlenebilir.
İlk örnek olarak 2 2
2 2
3 12 2
1 1 ,
4 4
d d
d d
temsillerinden
yola çıkıp 2
2 , , , 2
d d dF F F F F
d d d
özdeşliklerini kullanarak,
2 3 1 , i denkleminden 2
1
2 2
i d
d
elde edilir.
Bu noktada daha kullanışlı 2 2
3 1 3 1 2 2 i formülünden Casimir
operatörü 3
16
Q olarak bulunur. 1 < < 04
Q olduğu için de
3
4 341 1Spektrum
2 4 4 14
Q
veya
3
1Spektrum *
4 TekTamsayı sonucuna ulaşılır. Bu noktada 3 operatörü ile
bilinen problemler karşılaştırılınca akla 1 , 2 , 0 2 n nH n H Hermite DD’i
gelir. 2 1 , , 0oF F F y DD 'inin,
2
1 1 1 , exp 2 2 2
o
F F FI F y dx
97
kullanılıp 1 , 0 , 0I invaryant biçime getirilmesi hatırlanarak Hermite DD 'inin
invaryant hali, Sturm-Liouville formatında
2 2
2 1 , 0 , exp 2 1 exp 2 2n nH n H
olarak yazılır.
2
3 1 , 0 , 4 oluşundan
2 2
2 1 , 0 , exp 2 1 exp 2 2n nH n H
ara sonucuna ulaşılır. Bunu somut bir fizik problemine uygulamak için 1-Boyutta Harmonik
Osilatör için yazılan Schrödinger DD 'i 2 2 2
2
2
2 2n n n
d mx E
m dx
,
m
x
tanımıyla 2
2
2
2 n
n n
d E
d
biçimine getirilir ve
2 2 1nE
n
veya 1 2nE n elde edilir.
2
2 2
mU r r
potansiyel fonksiyonu ile belirlenen 3-Boyutlu harmonik osilatör
problemi için ise başlangıç noktası
2 22 2
3 12 2 2 2
1 11 1 ,
4 4
d d
d d
temsilleridir. Bunlardan 2
1
2 2
i d
d
,
1 3
4 16Q
ve
3
3Spektrum
2 4 elde edilir. 1-Boyutlu probleminkine benzer yollardan
bulunan ,3 2
2E ifadesi enerji düzeylerini ve bu düzeylerin çokkatlılık
yapısını doğru olarak vermektedir.
98
C) Örnek II : Hidrojen Atomu
Şimdiye kadar hep hermitsel temsiller kullanılmıştı; bu bölümün jeneratörleri hermitsel
olmamakla beraber bir benzerlik dönüşümü ile kolayca hermitsel yapılabilecek ifadeler
olacaktır. c
U rr
potansiyel fonksiyonu ile belirlenen hidrojen atomu problemi
için ise başlangıç noktası
2 2
3 12 2
1 11 1 ,
2 2
d d
d d
temsilleridir.
Bunlardan 2 d
id
, 1Q ve
3Spektrum 1 bulunur. Sonuçta elde edilen
22
, 2
1E mc
ifadesi enerji düzeylerini ve bu düzeylerin çokkatlılık yapısını
doğru olarak vermektedir. İncelenen 3-Boyutlu problemlerde 1 2 3 , , 'ün üç
tane skalardan oluşan bir küme olduğu ve üç skaların bir vektör etmediği unutulmamalıdır.
D) KHGDD ile ilişki
Uygulamalı matematikte karşımıza çıkan bir çok DD 'in alt yapısını oluşturan KHGDD
1 1 , , 0F denkleminin invaryant biçimi
2 2
1 12
12 2 2 1
1 , 0 , 04
e F
ile verilir. Bu DD, ile çarpılıp Sturm-Liouville formatında yazılınca da
2
2 21 12
12 2
, , 4
de F
d
2 21 1 , , 0
2e F
elde edilir.
99
2
3 2
12 2
4
d
d
2
1 2
12 2
4
d
d
seçimlerinden
2 d
id
, 12 2
Q
ve
3Spektrum 2
sonuçlarına ulaşılır.
3 Spektrum 2 2
eşitliklerinden de şartı elde
edilir ki bu da 2 21 1 , ,e F
özfonksiyonlarının 0 ,
aralığında ' karesi integre edilebilen fonksiyon ' lar olmasını sağlar.
PROBLEMLER
P.2.1 ) 1-Boyutlu harmonik osilatör çözümünde kullanılan jeneratörleri
1 1 ,
2 2
d da a
d d
operatörleri cinsinden ifade edin.
100
P.2.2 ) 2 2
3 12 2 + + , +
2 2 2 2 2 2
d d
d d
temsillerinden yola çıkarak
i) 2 temsilini bulun, ii) SO 2,1 komütasyon bağıntılarının sağlandığını gösterin,
iii) Casimir operatörü Q ’yu hesaplayın, iv) 3Spektrum 'ü belirleyin,
v) Hidrojen atomu için 2 2
2 2 2 2
2 2
1+
E dm c
c r dr r
Klein-Gordon denklemini akılcı bir biçimde boyutsuz hale getirerek SO 2,1 spektrum
oluşturan cebri kullanarak çözün.
İpucu :
1 2
22
, 22
2
1
1 1 2 2
E mc
Dirac denklemi sonucu ise
1 2
22
, 22
2
1
1 1 2 2
jE mc
j
olur ve açılımı 4 mertebesine kadar
2 42
, 2 3
1 3 1
12 2 42
jE mcn n nj
ile verilir.
101
EKLER VE NOTLAR
(1) Bu düzeyde bir kitabın okuyucusunun, toplamda etkisiz ketini etiketleyen
sembolü ile açısını karıştırmaması beklenir.
(2) İleride ele alınacak tüm örneklerde 3 pozitif bir operatör olacağı için
3Spektrum 0 veren bu yaklaşım doğaldır.