Fenomeni d’urto e Oscillazionibissaldi/Fisica1/08_Cap8_Urti_Oscillazioni.pdf · •Due sfere metalliche di massa = e = sono appese come in figura e sono inizialmente in contatto

Fenomeni d’urto e

Oscillazioni

Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 2

DEFINIZIONE DI URTO

• Interazione molto intensa tra punti materiali o tra corpi rigidi che vengono in

contatto per un un tempo 𝜟𝒕 molto ridotto rispetto al tempo di osservazione del

loro moto prima e dopo il contatto

Assunzione

Durante l’interazione i due corpi non si muovono in modo apprezzabile

Le forze che agiscono sono dette FORZE IMPULSIVE

o Molto intense

o Durante 𝜟𝒕 variano notevolmente la quantità di moto dei corpi coinvolti

nell’urto

o Sono FORZE INTERNE al sistema costituito dai punti interagenti

o In assenza di forze esterne

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO TOTALE

Urto


• Si considerino due corpi puntiformi di masse 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐

Velocità prima dell’urto: 𝒗𝟏,𝒊 e 𝒗𝟐,𝒊

Velocità dopo l’urto: 𝒗𝟏,𝒇 e 𝒗𝟐,𝒇

• Conservazione della quantità di moto:

𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒊 +𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒊 = 𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒇 +𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒇

𝑷𝑻𝑶𝑻,𝒊 = 𝑷𝑻𝑶𝑻,𝒇 = 𝑷𝑻𝑶𝑻 = 𝑷𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 → 𝒗𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

La quantità di moto del CM risulta invariata

𝑷𝑪𝑴 = 𝒎𝟏 +𝒎𝟐 𝒗𝑪𝑴

o Velocità del CM: 𝒗𝑪𝑴 =𝒎𝟏𝒗𝟏+𝒎𝟐𝒗𝟐

𝒎𝟏+𝒎𝟐=

𝑷𝟏+𝑷𝟐

𝑴𝒕𝒐𝒕=

𝑷𝑻𝑶𝑻

𝑴𝒕𝒐𝒕

o Il moto del CM non viene alterato dall’urto, variano invece

le quantità di moto di ciascun punto materiale per effetto dell’impulso

della forza di interazione

Urti tra due punti materiali


• I due punti materiali interagiscono tramite la forza impulsiva interna

𝑭𝟐,𝟏 = −𝑭𝟏,𝟐

• La variazione della quantità di moto dei singoli corpi è pari all’impulso Ԧ𝑱 della

forza interna:

Ԧ𝑱𝟐,𝟏 = 𝚫𝑷𝟏 = 𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒇 −𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒊 = න𝒕

𝒕+𝜟𝒕

𝑭𝟐,𝟏 𝒅𝒕

Ԧ𝑱𝟏,𝟐 = 𝚫𝑷𝟐 = 𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒇 −𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒊 = න𝒕

𝒕+𝜟𝒕

𝑭𝟏,𝟐 𝒅𝒕

Quindi Ԧ𝑱𝟐,𝟏 = −Ԧ𝑱𝟏,𝟐

Le variazioni di quantità di moto sono UGUALI E OPPOSTE


𝑭𝟏,𝟐𝑭𝟐,𝟏

𝒎𝟏 𝒎𝟐


• Nel caso siano presenti anche forze esterne, la variazione di quantità di moto del sistema durante l’urto (Δ𝑡) dovuta ad esse sarà pari a:

𝚫𝑷𝑪𝑴 = න𝒕

𝒕+𝜟𝒕

𝑭 𝑬 𝒅𝒕 = 𝑭𝒎𝑬𝜟𝒕

o 𝑭𝒎(𝑬)

: valore medio della forza esterna durante l’urto

Se 𝚫𝐭 è molto piccolo 𝚫𝑷𝑪𝑴 risulta trascurabile

• Se gli impulsi dovuti alle forze esterne (es. forza di gravità) sono trascurabili:

Il sistema di oggetti che urta risulta praticamente CHIUSO ED ISOLATO

𝑭 𝑬 = 𝟎 →𝒅𝑷

𝒅𝒕= 𝟎 → 𝑷𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

IN TUTTI I TIPI DI URTO SI HA LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO TOTALE

Poiché a priori non è nota la natura delle forze interne, NON si può assumere a priori la conservazione dell’energia meccanica: 𝜟𝑬𝑴 = 𝜟𝑬𝒌o Eventuali energie potenziali non variano nell’urtoo In generale negli urti non si sa a priori se si conserva l’energia cinetica:

𝑬𝒌 = 𝑬𝒌,𝑪𝑴 + 𝑬𝒌′ 𝑬𝒌

′ potrebbe variare!



• Si studia il legame tra le quantità nel sistema CM quelle nel sistema inerziale

Legame tra le velocità nei due sistemi

𝒗𝟏 = 𝒗𝟏′ + 𝒗𝑪𝑴

𝒗𝟐 = 𝒗𝟐′ + 𝒗𝑪𝑴

Sapendo che

𝑷𝑻𝑶𝑻 = 𝒎𝟏𝒗𝟏 +𝒎𝟐𝒗𝟐 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝑷𝑪𝑴 = 𝒗𝑪𝑴 𝒎𝟏 +𝒎𝟐

Sostituendo le trasformazioni e confrontando le espressioni, si trova che

𝑷′ = 𝒎𝟏𝒗𝟏′ +𝒎𝟐𝒗𝟐

′ = 𝟎𝒑𝟏,𝒊′ = −𝒑𝟐,𝒊

′

𝒑𝟏,𝒇′ = −𝒑𝟐,𝒇

′

• Nel sistema di riferimento del CM:

1. I punti arrivano verso il CM con quantità di moto uguali in modulo e

opposte in verso

2. I punti si urtano nella posizione del CM

3. I punti ripartono con quantità di moto uguali in modulo e opposte in

verso

Sistemi di riferimento


• Si classificano tre tipi di urti:

1. URTI COMPLETAMENTE ANELASTICI

o L’energia cinetica NON è conservata

o Dopo l’urto i corpi formano un unico oggetto di massa 𝒎𝟏 +𝒎𝟐.

2. URTI ELASTICI

o L’energia cinetica del sistema è conservata

3. URTI PARZIALMENTE ANELASTICI

o L’energia cinetica NON è conservata

o Parte dell’energia cinetica del sistema viene dissipata in altre forme di energia

Tipi di urti


• Dopo l’urto i corpi rimangono attaccati, formando un unico oggetto di massa

𝒎𝟏 +𝒎𝟐 che si muove con velocità 𝒗𝒇

Conservazione della quantità di moto:

𝑷𝑻𝑶𝑻,𝒊 = 𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒊 +𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒊 = 𝒎𝟏 +𝒎𝟐 𝒗𝒇 = 𝑷𝑻𝑶𝑻,𝒇

o Si ricava così il valore della velocità finale:

𝒗𝒇 =𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒊 +𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒊

𝒎𝟏 +𝒎𝟐= 𝒗𝑪𝑴

Subito dopo l’urto, i punti si muovono con la velocità che aveva il CM

un istante prima dell’urto (𝒗𝑪𝑴 costante!)

1. Urti completamente anelastici

PRIMA DOPO

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒇𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝟏 +𝒎𝟐


• Calcolo dell’energia cinetica (utilizzando il teorema di König)

𝑬𝒌,𝒊 =𝟏

𝟐𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒊

𝟐 +𝟏

𝟐𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒊

𝟐 =𝟏

𝟐𝒎𝟏 +𝒎𝟐 𝒗𝑪𝑴

𝟐 + 𝑬𝒌,𝒊′

𝑬𝒌,𝒊′ : energia cinetica del sistema rispetto al sistema del CM

𝑬𝑲,𝒇 =𝟏

𝟐𝒎𝟏 +𝒎𝟐 𝒗𝒇

𝟐 =𝟏


𝟐 < 𝑬𝑲,𝒊

Poiché dopo l’urto i corpi si muovono come un unico punto materiale,

l’energia cinetica rispetto al centro di massa diviene zero: 𝑬𝒌,𝒇′ = 𝟎

VARIAZIONE DI ENERGIA CINETICA

𝜟𝑬𝒌 = 𝑬𝒌,𝒇 − 𝑬𝒌,𝒊 = −𝑬𝒌,𝒊′ =

𝟏


𝟐 −𝟏

𝟐𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒊

𝟐 −𝟏

𝟐𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒊

𝟐

o L’energia totale è diminuita 𝑬𝒌,𝒊′ è stata ASSORBITA

o Le forze interne hanno compiuto un lavoro in termini di DEFORMAZIONE DEL CORPO, che non viene più recuperato

• Le forze interne in questo tipo di urti NON SONO CONSERVATIVE

1. Urti completamente anelastici

PRIMA

DOPO


• Il pendolo balistico è un dispositivo che veniva usato per misurare la velocità di

un proiettile. In questo caso si consideri un dispositivo costituito da un blocco di

legno di massa 𝒎𝟐 = 𝟓. 𝟒 𝒌𝒈, tenuto sospeso da due funi. Un proiettile di massa

𝒎𝟏 = 𝟗. 𝟓 𝒈 viene sparato contro il blocco e si conficca nel blocco. Il sistema

blocco+proiettile si sposta verso destra sollevandosi di 𝒉 = 𝟔. 𝟑 𝒄𝒎.

1. Calcolare la velocità del proiettile al momento dell’urto.

Esercizio 8.1


• Un urto è definito elastico se si conserva l’energia cinetica del sistema

Le forze interne che si sviluppano nell’urto sono forze conservative

I due corpi subiscono delle deformazioni elastiche

• Relazioni di conservazione: 𝑷𝒊 = 𝑷𝒇 e 𝑬𝒌,𝒊 = 𝑬𝒌,𝒇

Caso elastico UNIDIMENSIONALE

Date masse e velocità iniziali, si possono ricavare le velocità finali

𝒗𝟏,𝒇 =𝟐𝒎𝟐𝒗𝟐,𝒊 + 𝒎𝟏 −𝒎𝟐 𝒗𝟏,𝒊

𝒎𝟏 +𝒎𝟐

𝒗𝟐,𝒇 =𝟐𝒎𝟏𝒗𝟏,𝒊 + 𝒎𝟐 −𝒎𝟏 𝒗𝟐,𝒊

𝒎𝟏 +𝒎𝟐

2. Urti elastici

PRIMA DOPO

𝒗𝟏,𝒊 𝒗𝟐,𝒊 𝒗𝟐,𝒇𝒎𝟏

𝒎𝟐𝒗𝟏,𝒇


• Casi particolari:

𝒗𝟐,𝒊 = 𝟎 (La massa 𝒎𝟐 è inizialmente ferma)

𝒗𝟏,𝒇 =𝒎𝟏 −𝒎𝟐

𝒎𝟏 +𝒎𝟐𝒗𝟏,𝒊

𝒗𝟐,𝒇 =𝟐𝒎𝟏

𝒎𝟏 +𝒎𝟐𝒗𝟏,𝒊

Casi limite

1. Punto materiale incidente massivo 𝒎𝟏 ≫ 𝒎𝟐

ቊ𝒗𝟏,𝒇 ≅ 𝒗𝟏,𝒊𝒗𝟐,𝒇 ≅ 𝟐𝒗𝟏,𝒊

2. Punto materiale incidente leggero 𝒎𝟏 ≪ 𝒎𝟐

ቊ𝒗𝟏,𝒇 ≅ −𝒗𝟏,𝒊𝒗𝟐,𝒇 ≅ 𝟎

Urti elastici

𝒎𝟏 prosegue indisturbato

𝒎𝟐 viene lanciato avanti

𝒎𝟏 rimbalza indietro

𝒎𝟐 rimane fermo


• Due sfere metalliche di massa 𝒎𝟏 = 𝟑𝟎 𝒈 e 𝒎𝟐 = 𝟕𝟓 𝒈 sono appese come in

figura e sono inizialmente in contatto. La sfera 1 viene sollevata verso sinistra sino

ad una altezza 𝒉𝟏 = 𝟖 𝒄𝒎 e poi viene lasciata libera. Nella caduta urta

elasticamente la sfera 2.

1. Calcolare la velocità finale della sfera 1 dopo l’urto.

Esercizio 8.2


• Si consideri un sistema isolato in cui un corpo puntiforme di massa 𝒎 incide con

velocità 𝒗 su un muro di massa 𝑴 ≫ 𝒎 con un angolo 𝜶𝒊 rispetto alla normale

• La forza impulsiva durante l’urto è parallela alla normale,

ovvero perpendicolare al muro

Si ricava che 𝒗∥,𝒊 = 𝒗∥,𝒇 e 𝒗⊥,𝒇 = −𝒗⊥,𝒊

o 𝒗𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜶𝒊 = 𝒗𝒇 𝒔𝒆𝒏 𝜶𝒇

o 𝒗𝒊 𝒄𝒐𝒔 𝜶𝒊 = −𝒗𝒇 𝒄𝒐𝒔 𝜶𝒇

Poiché 𝒗𝒊𝟐 = 𝒗𝒇

𝟐, si ricava che 𝜶𝒊 = −𝜶𝒇

o Legge della riflessione meccanica

Urti elastici in 2 dimensioni

𝒗𝒊

𝒗𝒇

𝜶𝒊𝜶𝒇


• Due punti materiali di massa 𝒎𝟏 = 𝟖𝟑 𝒌𝒈 e 𝒎𝟐 = 𝟓𝟓 𝒌𝒈 in moto con velocità

𝒗𝟏 = 𝟔. 𝟐 𝒌𝒎/𝒉 diretta nel verso positivo dell’asse x e 𝒗𝟐 = 𝟕. 𝟖 𝒌𝒎/𝒉 nel

verso positivo dell’asse y si urtano nell’origine del sistema di riferimento in modo

totalmente anelastico.

1. Determinare la velocità finale del sistema dopo l’urto.

Esercizio 8.3


• Un punto materiale di massa 𝒎 = 𝟏 𝒌𝒈 urta anelasticamente un oggetto di

massa 𝑴 = 𝟑 𝒌𝒈 inizialmente fermo. In seguito all’urto, i corpi proseguono

insieme su un piano orizzontale scabro (𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟑) per 𝟐𝒎 prima di fermarsi.

1. Calcolare la velocità iniziale.

Esercizio 8.4


• Urto anelastico generico

I due corpi non restano uniti dopo l’urto L’energia cinetica non è conservata Caso più comune in natura!

• Considerando le quantità di moto nel sistema del CM di 2 punti materiali, si ha:

𝒑𝑪𝑴′ = 𝟎 ⇒ ൝

𝒑𝟏,𝒊′ = 𝒑𝟐,𝒊

′

𝒑𝟏,𝒇′ = 𝒑𝟐,𝒇

′

COEFFICIENTE DI RESTITUZIONE

𝒆 = −𝒑𝟏,𝒇′

𝒑𝟏,𝒊′ = −

𝒑𝟐,𝒇′

𝒑𝟐,𝒊′ = −

𝒗𝟏,𝒇′

𝒗𝟏,𝒊′ = −

𝒗𝟐,𝒇′

𝒗𝟐,𝒊′

L’energia cinetica finale nel sistema del CM risulta:

𝑬𝑲,𝒇′ =

𝟏

𝟐𝒎𝟏𝒗′𝟏,𝒇

𝟐 +𝟏

𝟐𝒎𝟐𝒗′𝟐,𝒇

𝟐 = 𝒆𝟐𝟏

𝟐𝒎𝟏𝒗

′𝟏,𝒊𝟐+𝟏

𝟐𝒎𝟐𝒗

′𝟐,𝒊𝟐

= 𝒆𝟐𝑬𝑲,𝒊′

Il coefficiente di restituzione risulta 𝟎 ≤ 𝒆 ≤ 𝟏 (quindi 𝑬𝑲,𝒇′ < 𝑬𝑲,𝒊

′ )o Urto completamente anelastico: 𝒆 = 𝟎 (𝑬𝑲,𝒇

′ = 𝟎, l’energia cinetica del moto relativo al CM è

assorbita e trasformata)

o Urto elastico 𝒆 = 𝟏 (𝑬𝑲,𝒇′ = 𝑬𝑲,𝒊

′ , l’energia cinetica si conserva)

3. Urti anelastici


Urti di punti materiali con corpi rigidi

1. Se agiscono SOLO FORZE INTERNE, o quelle esterne NON sono di tipo

impulsivo (es. corpo rigido NON vincolato):

Si conserva la quantità di moto 𝑷

2. Se esiste UN VINCOLO che tiene fermo un punto del corpo rigido, quindi

sviluppa una FORZA ESTERNA DI TIPO IMPULSIVO durante l’urto

NON si conserva la quantità di moto

3. Se rispetto ad un certo polo, fisso in un sistema di riferimento inerziale o

coincidente con il CM, il momento delle forze esterne (comprese quelle

vincolari) è nullo (𝑴(𝑬) = 𝟎)

Si conserva il momento angolare 𝑳 rispetto a quel polo

3.1 Se agiscono SOLO forze interne:

Si conserva SEMPRE il momento angolare 𝑳 rispetto a qualunque polo

Urti tra corpi rigidi


• Un’asta libera di massa 𝒎𝟏 e lunghezza 𝒍 è ferma in un piano orizzontale liscio.

Ad un certo momento l’asta viene colpita da un punto materiale di massa 𝒎𝟐 e

velocità 𝒗 (perpendicolare all’asta) ad una distanza 𝒙 dal centro 𝑶 e ci rimane

attaccato.

1. Determinare la velocità lineare ed angolare del sistema dopo l’urto.

Esercizio 8.5


• Un’asta di massa 𝒎 e lunghezza 𝒍 è ferma in un piano orizzontale liscio ed è

vincolata nell’estremo 𝑪. Ad un certo momento l’asta viene colpita da un punto

materiale 𝒎 e velocità 𝒗 (perpendicolare all’asta) ad una distanza 𝒙 dal centro

𝑶 e ci rimane attaccato.

1. Determinare la velocità angolare del sistema dopo l’urto.

Esercizio 8.6

C


• Si consideri un proiettile lanciato ad un angolo 𝜽 = 𝟑𝟔. 𝟗° con velocità iniziale

𝒗 = 𝟐𝟒. 𝟓 𝒎/𝒔 che si frammenta in due pezzi di massa uguale nel punto più alto

della sua traiettoria. Uno dei due frammenti cade giù in verticale.

1. Dove atterra l’altro frammento?

Esercizio 8.7


• Si consideri un corpo di massa 𝒎𝟏 = 𝟏. 𝟔 𝒌𝒈 che viaggia a velocità 𝒗𝟏 =𝟒𝒎/𝒔 e un corpo di massa 𝒎𝟐 = 𝟐. 𝟏 𝒌𝒈 che viaggia a velocità

𝒗𝟐 = −𝟐. 𝟓 𝒎/𝒔 in direzione contraria lungo l’asse x. Al corpo è collegata una

molla di costante elastica 𝒌 = 𝟔𝟎𝟎 𝑵/𝒎. Non vi sono altri attriti.

Si calcolino:

1. La velocità dei due blocchi dopo la collisione;

2. La massima compressione della molla.

Esercizio 8.8

𝒗𝟐𝒗𝟏


• Si sono studiate varie situazioni (pendolo semplice, composto, molle) che si

riconducono a soddisfare l’equazione dell’oscillatore armonico

𝒅𝟐𝒙(𝒕)

𝒅𝒕𝟐+𝝎𝟐 𝒙 𝒕 = 𝟎

Equazione differenziale di secondo ordine a coefficienti costanti omogenea

Si verifica che se 𝒙(𝒕) è una soluzione, lo è anche la funzione 𝒂𝒙(𝒕) Se si trova un’altra soluzione 𝒚(𝒕), allora anche la combinazione lineare

𝒛 𝒕 = 𝒙 𝒕 + 𝒚(𝒕) rappresenta una soluzione valida (equazione lineare)

• Si dimostra inoltre che l’oscillatore armonico ammette due sole soluzioni

indipendenti, che nel campo reale sono le funzioni seno e coseno

La soluzione generica si può scrivere come

𝒙 𝒕 = 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 Ovvero

𝒙 𝒕 = 𝑨𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝓) con 𝒂 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝝓 e 𝒃 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝝓

Oscillatore armonico


• Si consideri ora l’equazione differenziale non omogenea:

𝒅𝟐𝒙 𝒕

𝒅𝒕𝟐+𝝎𝟐𝒙 𝒕 = 𝒇 𝒕

o 𝒇 𝒕 : generica funzione del tempo, può essere costante

La soluzione è del tipo:

𝒙 𝒕 = 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝒙𝑷 𝒕

Si dimostra che se con una certa 𝒇𝟏 𝒕 la soluzione è 𝒙𝟏 𝒕 e con un’altra 𝒇𝟐 𝒕la soluzione è 𝒙𝟐 𝒕 , allora nel caso in cui sia 𝒇𝟏 𝒕 + 𝒇𝟐 𝒕 , la soluzione vale 𝒙𝟏 𝒕 + 𝒙𝟐 𝒕

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

• Considerazioni analoghe valgono per l’equazione differenziale completa (con anche il termine della derivata prima)

• Applicazioni principali:

Se sono applicate due o più molle insieme La soluzione è una combinazione delle due soluzioni con le molle applicate singolarmente

Se una forza costante è applicata insieme alla molla la soluzione è una combinazione di una costante e di una soluzione oscillante

Oscillatore armonico


• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 appeso verticalmente ad una molla

di costante elastica 𝒌. Se 𝒙 = 𝟎 rappresenta la posizione con la molla non

allungata, attaccando la massa 𝒎 il tutto scende ad una quota 𝒙𝒔 = 𝒎𝒈/ 𝒌,

avendo orientato x positiva verso il basso.

1. Determinare la legge oraria del moto del

punto materiale dopo averlo portato alla

posizione 𝒙 = 𝟐𝒙𝒔 ed averlo lasciato libero

al tempo 𝒕 = 𝟎 con velocità nulla.

Esercizio 8.9


• Poiché la forza elastica è conservativa, durante il moto di un punto materiale che

oscilla l’energia meccanica deve restare COSTANTE

𝑬𝑴 = 𝑬𝒌 + 𝑬𝑷 =𝟏

𝟐𝒌𝑨𝟐 +

𝟏

𝟐𝒎𝝎𝟐𝑨𝟐 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Dove l’energia cinetica e potenziale sono espresse da

𝑬𝒌 =𝟏

𝟐𝒎 𝒗𝟐 =

𝟏

𝟐𝒎𝝎𝟐𝑨𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝎𝒕 + 𝝓

𝑬𝑷 =𝟏

𝟐𝒌 𝒙𝟐 =

𝟏

𝟐𝒌𝑨𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝝎𝒕 + 𝝓

o Quando 𝑬𝑷 è massima, 𝑬𝒌 è minima e viceversa

• 𝑬𝑷,𝒎𝒂𝒙 =𝟏

𝟐𝒌𝑨𝟐 e 𝑬𝒌,𝒎𝒂𝒙 =

𝟏

𝟐𝒎𝝎𝟐𝑨𝟐

Si verifica inoltre che i valori medi di energia cinetica e potenziale

sono uguali: < 𝑬𝑷>=< 𝑬𝒌 >=𝟏

𝟐𝑬𝑴

Energia dell’oscillatore armonico


• Si considerino due punti materiali sottoposti a forza elastica che si muovono di moto armonico lungo l’asse 𝒙. Per valutare il moto complessivo. Occorre combinare linearmente i moti armonici.

Casi particolari: Forze uguali e forze diverse

• FORZE UGUALI

Le costanti elastiche sono uguali, quindi i due moti hanno la stessa pulsazione

𝒙𝟏 𝒕 = 𝑨𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓𝟏 e 𝒙𝟐 𝒕 = 𝑨𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝓𝟐)

La somma è un moto armonico con la stessa pulsazione 𝝎 del tipo

𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝚽

o Si dimostra che i parametri valgono

𝑨 = 𝑨𝟏𝟐 + 𝑨𝟐

𝟐 + 𝟐𝑨𝟏𝑨𝟐𝒄𝒐𝒔 𝝓𝟏 − 𝝓𝟐

𝒕𝒂𝒏 𝚽 =𝑨𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝝓𝟏 + 𝑨𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝝓𝟐

𝑨𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝝓𝟏 + 𝑨𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝓𝟐

o La rappresentazione grafica di 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 come due vettori in rotazione porta allo stesso il risultato ottenuto come somma vettoriale (metodo dei fasori)

Somma di moti armonici sullo stesso asse


• Si consideri un oscillatore armonico che viene frenato da una forza di tipo viscoso

(𝑭 = −𝝀 𝒗), cioè proporzionale e opposta alla velocità, e che non agiscano

forze di attrito costanti. L’equazione del moto diventa:

−𝒌𝒙 − 𝝀𝒗 = 𝒎𝒂

Questa porta ad un’equazione differenziale del tipo

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐+𝝀

𝒎

𝒅𝒙

𝒅𝒕+𝒌

𝒎𝒙 = 𝟎

• Introducendo il Coefficiente di smorzamento 𝜸 = 𝝀/ 𝟐𝒎 e

la Pulsazione propria 𝝎𝟎 = 𝒌/𝒎, si ottiene:

EQUAZIONE DELL’OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐+ 𝟐𝜸

𝒅𝒙

𝒅𝒕+ 𝝎𝟎

𝟐 𝒙 = 𝟎

Esempio più completo di equazione differenziale lineare del secondo ordine

a coefficienti costanti e omogenea.

Oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa


• Ricordando che nel caso di attrito viscoso l’andamento è esponenziale, si trova che esiste una soluzione del tipo 𝒙(𝒕) ∝ 𝒆𝜶𝒕 solo se:

𝜶 = −𝜸 ± 𝜸𝟐 −𝝎𝟎𝟐

• Ci sono 3 casi possibili:

1. Smorzamento forte: 𝜸𝟐 > 𝝎𝟎𝟐, ovvero 𝝀𝟐 > 𝟒𝒎𝒌

o Soluzione più generale:

𝒙 𝒕 = 𝒆−𝜸t 𝑨𝒆𝒕 𝜸𝟐−𝝎𝟎

𝟐

+ 𝑩𝒆−𝒕 𝜸𝟐−𝝎𝟎

𝟐

• 𝑨 e 𝑩 dipendono dalle condizioni iniziali

• Esponenziale decrescente, non avviene oscillazione

2. Smorzamento critico: 𝜸𝟐 = 𝝎𝟎𝟐, ovvero 𝝀 = 𝟒𝒎𝒌


𝒙 𝒕 = 𝒆−𝜸t 𝑨𝒕 + 𝑩

o Il punto raggiunge il più velocemente possibile la posizione di equilibrio rispetto a qualunque altra combinazione dei parametri. Anche qui si tratta di un esponenziale decrescente e non avviene oscillazione



3. Smorzamento debole: 𝜸𝟐 < 𝝎𝟎𝟐, ovvero 𝝀𝟐 < 𝟒𝒎𝒌


𝒙 𝒕 = 𝑨𝟎 𝒆−𝜸t 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓

• 𝑨𝟎 e 𝝓 dipendono dalle condizioni iniziali

• La pulsazione delle oscillazioni è del tipo

𝝎 = 𝝎𝟎𝟐 − 𝜸𝟐 < 𝝎𝟎

• Si ha un’oscillazione con ampiezza smorzata e pseudoperiodo 𝑻 = 𝟐𝝅/𝝎



• Nella realtà ogni oscillazione è smorzata dagli attriti. Se si vuole mantenere

l’oscillazione va applicata all’oscillatore una forza oscillante 𝑭 = 𝑭𝟎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕. L’equazione della dinamica diventa del tipo

−𝒌𝒙 − 𝝀𝒗 + 𝑭𝟎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 = 𝒎𝒂

Questa porta ad un’equazione differenziale del tipo

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐+ 𝟐 𝜸

𝒅𝒙

𝒅𝒕+ 𝝎𝟎

𝟐 𝒙 =𝑭𝟎𝒎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕

o Non è più omogenea

o La forza oscillante può avere pulsazione 𝝎 diversa da quella propria 𝝎𝟎.

Si verifica che la generica soluzione è del tipo

𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓 + 𝒂𝒆𝜶𝟏𝒕 + 𝒃𝒆𝜶𝟐𝒕

o Una volta che si esaurisce la fase transitoria corrispondente alla oscillazione

smorzata (uno qualunque dei tre casi precedenti), il moto a regime è governato

solo dal termine di oscillazione non smorzata 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓 , quindi

dovuta alla forza applicata

Oscillatore armonico forzato


• Si dimostra che i valori di 𝑨 e 𝝓 valgono:

𝑨 =𝑭𝟎𝒎

𝟏

𝝎𝟎𝟐 −𝝎𝟐

𝟐+ 𝟒𝜸𝟐𝝎𝟐

𝒕𝒈𝝓 = −𝟐𝜸𝝎

𝝎𝟎𝟐 −𝝎𝟐

Applicando ad un oscillatore armonico semplice (𝝎𝟎) una forza esterna sinusoidale (𝝎), questo risponde con una sollecitazione la cui pulsazione coincide con quella esterna (𝝎)

Si ha uno sfasamento 𝝓 rispetto alla forza 𝑨 e 𝝓 non dipendono dalle condizioni iniziali, ma dipendono da 𝝎

• Si verifica che quando 𝝎 = 𝝎𝑴 = 𝝎𝟎𝟐 − 𝟐𝜸𝟐, l’ampiezza è massima:

𝑨𝑴 = 𝑨 𝝎𝑴 =𝑭𝟎

𝟐𝒎𝜸 𝝎𝟎𝟐 − 𝟐𝜸𝟐

Quando 𝜸 → 𝟎, allora 𝝎𝑴 → 𝝎𝟎 e 𝑨 → ∞:

o CONDIZIONE DI RISONANZA

Oscillatore armonico forzato


Se la forza CAUSA IL MOTO, cos’è che CAUSA UNA ROTAZIONE?

• Si tratta del MOMENTO DELLA FORZA 𝑴 = 𝒓 × 𝑭

• Il momento della forza dipende:

• DALL’ORIGINE

• DAL PUNTO IN CUI LA FORZA È APPLICATA

Riepilogo (1)

MODULO DEL VETTORE 𝑴:

𝑴 = 𝒓𝑭𝒔𝒆𝒏𝝓

𝒅 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝝓 = BRACCIO


• Il momento della forza ci da la «TENDENZA» di una forza A FAR

RUOTARE UN CORPO ATTORNO AD UN CERTO ASSE

Solo la componente della forza ORTOGONALE A 𝒓 PRODUCE

UN MOMENTO, ovvero TENDE A FAR RUOTARE IL CORPO

Riepilogo (2)


• Se il MOMENTO è l’analogo rotazionale della forza, QUAL È L’ANALOGO

ROTAZIONALE DELLA QUANTITÀ DI MOTO?

Si tratta del MOMENTO ANGOLARE 𝑳 = 𝒓 × 𝒑

o Modulo 𝑳 = 𝒓𝒑𝒔𝒆𝒏𝝓

Il suo valore dipende DALLA SCELTA DELL’ORIGINE

È NULLO SE 𝒓 E 𝒑 SONO PARALLELI

Riepilogo (3)


𝒅𝑳

𝒅𝒕= 𝑴 = 𝑰𝜶

È UNA NUOVA LEGGE DELLA DINAMICA?

NO!

• È L’ANALOGO ROTAZIONALE DELLA SECONDA LEGGE DI NEWTON,

si tratta della seconda legge della dinamica SPECIALIZZATA AL CASO DEL

MOTO ROTATORIO

𝑳 e 𝑴 sono calcolati rispetto AGLI STESSI ASSI e ALLA STESSA ORIGINE

FISSA

Valido per sistemi di riferimento inerziali

Riepilogo (4)


Riepilogo (5)

ESEMPIO PATTINATRICE

• Quando allarga le braccia

Il suo momento d'inerzia 𝑰 aumenta

• Quando le chiude

𝑰 diminuisce.

• Poiché il momento risultante delle forze applicate

(forza di gravità e reazioni vincolari) è nullo:

IL MOMENTO ANGOLARE 𝑳 SI CONSERVA

Quando il pattinatore allarga le braccia, 𝑰 aumenta,

quindi, perché il momento angolare non vari,

occorre che la velocità angolare 𝝎 diminuisca.

Viceversa, quando egli stringe le braccia, 𝑰 diminuisce

e la velocità angolare 𝝎 deve aumentare!

Documents

Fenomeni d’urto e Oscillazionibissaldi/Fisica1/08_Cap8_Urti_Oscillazioni.pdf · •Due sfere metalliche di massa = e = sono appese come in figura e sono inizialmente in contatto