Fenomenologinen matematiikanopetus, mitä se on?

Ennakkotehtävän purkaminen

Toiminnalliset, yhteistoiminnalliset ja kommunikatiiviset työtavat

perusopetuksen matematiikassa

Tampereella 11.4.2008

Päivi Portaankorva-Koivisto

Fenomenologia

(Maija Lehtovaara, Lauri Rauhala)

kuunteleminen,tunteet

aistit,kokemukset,ainutkertaisuus

avoimuus

esteettisyys,yksilöllisyys

intuitio,aitous

merkitykset

Fenomenologinen matematiikanopetus

Vuorovaiku-tuksellisuus Kokemuksellisuus

Yhteistoi-minnallisuus

Matematiikkakielenä

Havainnol-lisuus

Tutkimuk-sellisuus

Omasta tutkimuksestani

MITÄ TUTKIN?Tarinoita matkalta matematiikan opettajiksi - fenomenologista matematiikan opetusta etsimässä

Tutkimuskysymykset:1. Miten opettajaopiskelijoiden ymmärrys

matematiikasta ja sen opettamisesta kehittyy opettajankoulutuksessa: tulkintakehyksenä fenomenologinen lähestymistapa matematiikan opetukseen? (kuvaus)

2. Mitä kasvutarinat kertovat opettajaopiskelijoiden kasvusta matematiikan opettajiksi? (kuvaus)

Kohderyhmä

• Syksyllä 2005 opintonsa aloittaneet Tampereen yliopiston opettajankoulutus-laitoksen aineenopettajakoulutuksen maisteritutkinnon opiskelijat (N = 6)

• Pääaine kasvatustiede, pakollinen sivuaine matematiikka

• 5 opiskelijoista suorittaa monialaisia opintoja • Ensimmäinen ryhmän opiskelijoista valmistuu todennäköisesti

keväällä 2008• Joukossa on yksi kevään 2005 ylioppilas• Opiskelijat ovat hyvin eri puolilta Suomea, yksi mies ja muut

naisia

Aineiston keruu• reflektiiviset esseet (9/2005, 12/2006 ja

4/2008)

• haastattelut (12/2005, 5/2006, 5/2007 ja 12/2007)

• luentomateriaalini syksyllä 2005 (20 t), syksyllä 2006 (12 t) ja syksyllä 2007 (8 t), havaintomuistiinpanoni harjoitustunneilta

• pitkittäistutkimus (2005 2008)

Taulukko 1. Fenomenologisen matematiikanopetuksen kulmakivet ja tasot.

Kulmakivet TASO 1 Perinteinen

TASO 2 Konstrukti vis tine n

TASO 3 Sosio kons truk-

tivist inen

Kokemukse l-lisuus

Opp ilas le ikkaa, liimaa, ta itte lee yks in opetta jan oh je ista mana.

Käytetään konkreett is ia apuvä line itä, myös tieto - ja viest intätekn iikkaa. Opp ilaa lla on itse llään tilaa keh ittää ideo itaan ja opetta ja on oh jaa mass a työskente lyä.

Kesk iössä ovat a idot tilante et. Opetta jan roo li on muuttu nut vähä ise mmäks i. Opp ilaat teke vät itsenä is iä mate maatt is isa tutkimuks ia.

Hava inno llisuus

Opetta ja de mons troi, opp ilaat seuraava t.

Jäsenne llään t ietoa yhdessä, te hdään a jatuskart toja, kuvioita ja tau luko ita.

Opp ilas hava inno llistaa mate maatt is ia tilante ita itse itse lleen.

Yhte isto imin- na llisuus

Käytetään kerta luon te is ia yhte isto imin-na llis ia tehtäv iä.

Use in käytetty työskente lymuoto.

Opetta ja on suunn ite llut työskente lyn opp imispro sess in yhte isto iminna lli-sen työsken te lyn poh ja lle.

Taulukko 1. Fenomenologisen matematiikanopetuksen kulmakivet ja tasot.

Kulmakivet TASO 1 Perinteinen

TASO 2 Konstrukti vis tine n

TASO 3 Sosio kons truk-

tivist inen

Vuorova ikutuk- se llisuus

Opetuksessa käytetään opetta ja johtoista työskente lyä ta i par ityötä.

Opp imista kuvaa yks ilöllinen oh jaus, yhdessä työskente lyn kulttuur i.

Opp imispro sess i rakentu u yhte isö llisen työskente lyn poh ja lle, jossa opetta jan roo li on vähä inen.

Tutkimukse l-lisuus

Opetta ja käy ttää yks ittä is iä tutkimusteh täv iä opetuksess aan.

Opp imisee n liitetään tutkimusp rosesse ja, jotka ovat pitkäkesto ise mpia ja ede llyttävät yhte istyötä.

Opp imispro ses -s issa käytetää n tutkivan lähesty mistava n näköku lmaa.

Mate mat iikan kie likasvatus

Kesk iössä on opetta ja mate mat iikan kie len käyttä jänä ja hänen suu llisen ja kirja llisen kie lensä tark kuus.

Opp imisessa otetaan huo mioon opetta jan ja opp ila iden mate mat iikan kie lten ero t.

Keske istä on yhte isten merk itysten löytä minen ja saada opp ila s akt iiviseks i mate mat iikan kie len käyttä jäks i.

Kokemuksellisuus ja havainnollisuus

Tutkittava Kokemuksellisuus Havainnollisuus

2005 2006 2005 2006

A

B

C

D

E

F

Yhteistoiminnallisuus ja vuorovaikutuksellisuus

Tutkittava Yhteistoiminnallisuus Vuorovaikutuksellisuus

2005 2006 2005 2006

A

B

C

D

E

F

Tutkimuksellisuus ja matematiikka kielenä

Tutkittava Tutkimuksellisuus Matematiikka kielenä

2005 2006 2005 2006

A

B

C

D

E

F

Mitä haasteita tämä asettaa opettajille?

• Eriyttäminen ja monipuolisuus (oppilaiden yksilöllisyys)

• Vuorovaikutuksen monipuolistaminen (oppilaat käyttämään matematiikan kieltä)

• Eri aisteilla saatavia kokemuksia (arkielämän matematiikkaa)

• Mitä matematiikka on? (eri työkalujen käyttö, sovellusalueet, rajoitteet, ratkaisujen merkitys)

Miten tukea tätä opettajien koulutuksessa?

• järjestää mahdollisuuksia reflektoida ja keskustella toisten opettajien kanssa

• rohkaista kokeiluihin, joissa käytetään vuorovaikutteisempia työtapoja

• järjestää tilaisuuksia oppia lisää oppilaiden oppimisprosesseista ja oppimistyyleistä

Ennakkotehtävän purkaminen

Ryhmätyö

Miten Sinulle opetettiin matematiikkaa?Miten tämä on vaikuttanut omaan opetukseesi?

Miten minulle opetettiin matematiikkaa?

Perinteisesti13

Ei niin perinteisesti2

•otin itse selvää•kotitehtävät tärkeitä•mekaaniset laskutaidot korostuivat•kopioitiin taululta•vaativa, taitava, kannustava opettaja•opettaja mutisi itsekseen taululle tai ”jankkasi” asioita•matematiikka oli helppoa•pidin matematiikasta (4)

•kokeellisuutta: munakennoja, styroxpalloja (alakoulussa)•eriyttäminen•luovasti ja innostuneesti (alakoulussa)

Miten kokemukseni ovat vaikuttaneet omaan opetukseeni?

Korostettiin työntekoa annan aina tehtäviä kotiin, jotta asiaa tulisi pohdittua vielä kerranpaljon aikaa omatoimiseen harjoitteluun

Vaativa, taitava, kannustava opettaja

pyrin selkeyteen ja vähäsanaisuuteen, koepaperiin kirjoitan aina kannustuksen

olen usein kirjasidonnainenMekaaniset laskutaidot korostuivat

Opettaja ”jankkasi” asioitapyrin ajatteluttamaan oppilaitani, osaan yksinkertaistaa asioita

Miten kokemukseni ovat vaikuttaneet omaan opetukseeni?

Opetus tapahtui pääsääntöisesti liitutaululla

liitu ja taulu ovat itsellänikin käytössälisään vuosi vuodelta pelien, tietokoneen ja havainnollistavien välineiden käyttöä

Liian moni asia jäi irralliseksi

opin itse eniten matematiikasta, kun yritin keksiä, miten asiat opettaisin

opetuksessani korostan oppilaan omaa oivallusta

Opettaja mutisi itsekseen

pyrin selvittämään oppilailleni miksi mitäkin tehdään

pyrin pois saamistani malleista, haluan rikastaa matematiikkaa, uskallan heittäytyä

Vehoef & Terlouw, 2006opetuskeskustelun käyttö

• kirja ei antanut tilaa keskusteluun• opiskelutahti ei antanut

mahdollisuutta• työkulttuuri (yksin työskenteleminen,

järjestyksen ylläpitäminen)• puutteita omissa matematiikan

taidoissa• puutteita teknologian käytössä

HavainnollisuusOpettaja demonstroi

Yhteinen tiedon jäsentely

Oppilas havain-nollistaa itse

Vastauksia yht. 30.

Miten havainnollistan?• matematiikan visualisointi (avaruuskappaleet, palikat, napit, rahat,

helmitaulu, geolauta, värisauvat, murtolukukakut, kuvat, mallit, kuviot, tilavuusyksiköt, laskujärjestys, lukusuora, lämpömittarimalli, satatalo, helminauhat)

• teknologian hyväksikäyttö (Flash, GeoGebra, Cabri, appletit, SmartBoard)• äänikin voi olla havainnollistus, näytteleminen• aikoja 60 metrin juoksusta ja hengityksen pidättämisestä (suhteuttaminen)• opettaja havainnollistaa, jos välineitä ei riitä jokaiselle• arkielämän esimerkeillä• murtolukulaskut - kaatamalla värillisiä vesiä kannusta toiseen• pallon pinta-ala appelsiini kuorimalla• päällystämällä hernekeittopurkkeja säilytysrasioiksi (vaippa)• neliömetrin rajaaminen lattialle, aidataan pieni alue oikeasti ”aidalla”• avaruuskappaleita lumesta• kuvat, värit, pikkutarinat• kuinka paljon on 1 kg kokeilemalla nostaa 1 kilon jauhopussia

Hyvä havainnollistaminen

– ei synnytä tulkinnanvaraisuuksia (esim. jos värillä ei ole merkitystä, käytän samanvärisiä palikoita kaikilla)

– on mielenkiintoista kaikille– kiinnittyy oppilaiden ajatusmaailmaan– antaa kokonaisvaltaisen kuvan asiasta– tarjoaa erilaisia väyliä omaksua asia– voi syntyäkin oppilaan ideasta– tapahtuu usein alitajuisesti

(osa opettajan ammattitaitoa)

Kokemuksellisuuden etuja

• oppijoita, jotka osaavat pohtia ja ajatella asioita monelta eri kannalta

• tuttujen asioiden matemaattinen avaaminen• aidot kokemukset jäävät koulun ulkopuolelle - integraatio

muihin aineisiin• oppilas oppii käyttämään tutkimus- ja opiskeluvälineitä• heikommat oppilaat voivat käyttää välineitä jatkuvasti

ajattelun tukena• tärkeää saada tunteet mukaan oppimiseen• kaikki aistit mukaan, luo pohjan oppimiselle ja käsitykselle

itsestä matematiikan oppijana (silmät sidottuina tunnustelemme erilaisia kappaleita, leikki, laulu, liikunta)

Kokemuksellisuus ≈ konstruktivismi

• matikkatarinat ja matikkaradat• sitominen arkielämän tilanteisiin, mitä tapahtuu jos / kun• asioita ja ilmiöitä on itse kosketeltava, löydettävä

säännönmukaisuuksia ja koettava ne omaan elämään kuuluviksi

• opettaja ei heti osoita, mitä ja miten tulee ajatella• suunnittelimme aterian, etsimme reseptit, teimme

ostoslistan, menimme kauppaan, kirjasimme hintoja ja laskimme aterian hinnan

• rakennetaan oman huoneen pienoismalli tai pohjakuva• oppilas voi mennä kuution sisään• oppilas osallistuu ja pääsee mukaan laskuun ”viisi

poikaa menivät elokuviin ja jokaisen lippu maksoi...”• naputukset, taputukset, hyppimiset, keho ilmentää

numeroita

Kokemuksellisuus ≈ konstruktivismi

• matematiikkaa on, kun ompelemme tai neulomme puseroon säännöllisiä kuvioita, laitamme ruokaa, nostamme raha pankista, pelaamme lottoa, luemme urheilutuloksia, mittaamme yskänlääkettä, pelaamme korttia

• muuttujan sisältävät termit ovat euroja ja vakiotermit kiviä; sinulla on taskussasi 3 euroa ja 4 kiveä (3x + 4), voitko ostaa ”Ärrältä” viidellä eurolla karkkia?

• muistoja - lapsena ajatteli, että kolikoiden määrä ratkaisi rahan arvon

KokemuksellisuusOpp. leikkaa, liimaa, taittelee

Välineet, TVT Aidot tilanteet

Vastauksia yht. 25.

Vuorovaikutuksellisuudesta sanottua

• ”Pyrin luomaan tunneilleni ilmapiirin, joka on avoin ja jossa uskaltaa tehdä virheitä ja kysellä.”

• ”Oppilaat löytävät ratkaisut helpommin keskustelemalla niistä ja esittämällä omia ehdotuksiaan ja kommentoimalla toistensa vastauksia.” ”Väittelytkin ovat tervetulleita.”

• ”Asioita ajatellaan ääneen ja se auttaa ymmärtämistä.”• ”Oikeaan vastaukseen voi päästä eri tavoilla.”• ”Rikastaa oppilaitten matemaattista ajattelua.”• ”Kielennetään matematiikkaa.”• ”Apuopettajana toimiessa asiat sisäistyvät paremmin.”• valmistelemalla pienen opetustuokion, oppilaat saavat itselleen

runsaasti itseluottamusta• eriyttäminen käy yllättävän huomaamattomasti ja helposti

toiminnallisissa touhuissa

Yksilöllinen opiskelu(Johnson & Johnson,1987)

• jokaiselle oppilaalle riittävästi tilaa

• jokainen oppilas voi työskennellä omaan tahtiinsa

• jokainen oppilas ottaa vastuun tehtävän tekemisestä

• jokainen oppilas arvioi itse etenemistään

• yksinkertaiset tiedot ja taidot

• selkeät ohjeet• päämäärä on

tärkeä• tehtävä relevantti• jokaiselle

oppilaalle tarvittavat välineet

Kilpailua hyväksikäyttävä opiskelu (Johnson & Johnson, 1987)

• taitojen harjoittelu, mieleen palauttaminen

• ohjeet ja kilpailusäännöt selkeät

• tavoite ei kovin merkittävä• jokainen oppilas voi hävitä

tai voittaa• opettaja toimii tuomarina,

päättää oikeista ratkaisuista ja palkitsee voittajat

• aktiviteetti on kiehtova• jokaiselle joukkueelle

tarvittavat välineet• mikä tahansa joukkue voi

voittaa• mahdollista seurata

muiden joukkueiden edistymistä

• mahdollista verrata kykyjä, taitoja ja tietoja muiden oppilaiden kanssa

Vuorovaikutuksellisuus

Opettajajohtoi-nen, parityö

Yksilöllinen ohjaus, ryhmät

Yhteisöllinen työskentely

Vastauksia yht. 26.

Yhteistoiminnallisuus

Ei juuri kokemuksia8 (2006)

Hiukan kokemuksia7 (2006)

16 (2007/1) 11 (2007/1)

13 (2007/2) 14 (2007/2)

8 (2008/1) 18 (2008/1)

Kertaluonteiset yto-tehtävät

Usein käytetty työmuoto

Kokonaisvalt. yto-työskentely

Vastauksia yht. 17.

Mitä etuja yhteistoiminnallisuudesta?

• ryhmässä oppilaat jaksavat paneutua pidempään• oppilaat ajattelevat ääneen ja kuuntelevat toisten tapoja ajatella• oppilaiden erilaiset vahvuudet tulevat esiin eri tavoin• ”matematiikka ei asu kirjassa, vaan on ihan oikeaa elämä䔕 yhdessä oppilaat saavuttavat parempia tuloksia• ”laajentaa sekä omaani että oppilaiden käsitystä

matematiikasta”• onnistumisen ja oivaltamisen elämyksiä, yhdessä keksimisen

riemu• ryhmiä voi käyttää moneen (parijonot, uudet kokoonpanot,

vastuu omasta oppimisesta)

Ryhmä 2006

Miten olen käyttänyt yhteistoiminnallisuutta?

• tehtävien tarkistamisessa

• ongelmatehtävissä

• erilaisissa peleissä ja leikeissä

• toiminnalliset matikkaradat

• symmetria ja peilaukset -opiskelukokonaisuus

• kertaustunneilla

Mitä vaikeuksia yhteistoiminnallisuudesta?

• onko oppitunnilla riittävästi yksilöllistä työtä

• opettajan etukäteisvalmistelut

• ryhmätöiden hankala järjestäminen

• aikapula

• miten kaikki saadaan mukaan työskentelyyn

Yhteistoiminnallinen oppiminen

(Johnson & Johnson, 1987)

1. positiivinen riippuvuus

2. kasvokkainen vuorovaikutus

3. yksilöllinen vastuu

4. henkilökohtaiset ja ryhmätyötaidot

5. käsitteelliset ja monimutkaiset tehtävät, joihin sisältyy ongelmanratkaisua, päätöksentekoa ja luovuutta

6. päämäärä koetaan tärkeäksi

Mihin yhteistoiminnallinen oppiminen sopii?

(Johnson & Johnson, 1987)• mitä käsitteellisempiä oppimistuloksia

edellytetään, sitä paremmin ne saavutetaan yhteistoiminnallisella työskentelyllä

• ryhmät kannattaa muodostaa niin, että ne ovat mahdollisimman heterogeenisia ja että väittelyt ovat mahdollisia

• oppilaita on rohkaistava ryhmätyöskentelyyn; kannustus, palaute, vaativat oppimisstrategiat, aktiivisuus, tasapuolisuus

• jäsenten tulosten yhdistämisestä ja niiden arvioinnin oikeudenmukaisuudesta on keskusteltava oppilaiden kanssa

Tutkimuksellisuus

Yksittäisiä tutk.tehtäviä

Tutkimus-projekteja

Tutkiva lähestymistapa

Vastauksia yht. 18

Ajatuksia tutkimuksellisuuteen liittyen

• ”Hienointa olisi, jos opettaja voisi valaista esimerkeillä myös oikeita tutkimustyyppejä ja kertoa niiden matemaattisista ja muista havainnollistamismenetelmistä.”

• ”Me kurssilaiset tiedämme jo, kuinka koulumatematiikkaa saadaan elävämmäksi, entäpä jos osa ei tiedä, eikö matematiikan opetus muutu koskaan?”

• ”Mielestäni tutkimukset syventävät jo opittua asiaa ja tekevät matematiikan opiskelusta mielenkiintoista ja hauskaa.”

• ”Tutkimukset auttavat jäsentämään ja ymmärtämään ympärillämme tapahtuvia ilmiöitä.”

• ”Oppilaat näkevät, missä matemaattisia tietoja sovelletaan ja hyödynnetään arkielämässä.”

Onko matematiikka kieli?

ON EI

Ryhmä 2008 / 1 24 1 ja 4?

Ryhmä 2007 / 2 25 2 (?)

Ryhmä 2007 / 1 22 4

Ryhmä 2006 14 1

Opiskelijat tammikuussa 2006

6 26

Miksi matematiikka ei ole kieli?

• äidinkielellä voi vaikuttaa, tiedottaa, ilmaista tunteita, toteuttaa tekoja, pitää yllä kontakteja ja luoda taidetta

• äidinkielessä symboli on riippumaton tarkoitteesta, ajasta ja paikasta kielelle on tyypillistä avoimuus ja tuotteliaisuus

• matematiikalla ei pysty ilmaisemaan kuten kielellä

Miksi matematiikka olisi kieli?• universaali symbolikieli, kielioppisäännöt ja

oikeinkirjoitussäännöt• matematiikan lauseiden totuusarvoa voidaan tutkia, onko se

tosi vai epätosi• matematiikan oppimiseen kuuluu merkkijärjestelmän oppiminen• tietyt käsitteet• matematiikan kielen avulla kehitetään yksilön loogista

päättelykykyä• matematiikkatarinat• matematiikan kieltäkin voidaan puhua• matematiikan avulla voi kuvailla, tulkita ja hallita maailmaa ja

luoda uutta• matematiikan kielen merkit ja merkintätavat antavat

mahdollisuuden ilmaista erilaisia ongelmia ja ajatusketjuja lyhyesti, täsmällisesti ja kansainvälisesti

Mikä on suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jos siwukkeet ovat toinen

40 jlk., toinen 30 jlk.? Pitkäkö on wastake?