Upload
igorpaesdefreitas
View
318
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Fenômenos de Transporte Parte B - primeira parte
Citation preview
Fenmenos de Transporte: Parte B Transferncia de Calor
- Introduo - Resistncia Trmica - Conduo de calor unidimensional Parede plana; Configurao radial; Configurao cilndrica. - Transferncia de calor por conveco nas
configuraes: Parede plana; Configurao radial; Configurao cilndrica.
1
Unidades de medida Medida S.I Ingls Mtrico
Tempo (t) Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s)
Comprimento (L) Metro (m) P (ft) Metro (m)
Massa (M) Massa (kg) Libra-massa (lb) Quilograma (Kg)
Temperatura (T) Kelvin (K) Tk=Tc+273,15
Farenheit (F) TF=1,8.Tc+32
Celsius (C)
Fora (F) Newton (N) F=m.a=Kg.m.s-2
Libra-fora (lbf) Kilograma-fora (Kgf)
Energia (E) Joule (J) E=F.dx=N.m
Lbf.ft (BTU) Kgfm (kcal)
Potencia (P) Watt (W(=J/s)) BTU/s Kcal/h
2
Conduo de calor unidimensional em regime permanente Lei de Fourier
. =
" o fluxo de calor por conduo por unidade
de rea k a condutividade trmica do material dT/dx o gradiente de temperatura na direo x do fluxo de calor. Unidade de medida de k: Mtrico: kcal/h.m.C SI:W/m.K Ingls: BTU/h.ft.F
" =
3
Coeficiente de condutividade trmica em condies normais de presso e
temperatura
4
Coeficiente de condutividade
trmica em funo da temperatura no SI para diferentes
materiais
5
Lei de Fourier em regime permanente - No h variao da quantidade de
calor com o tempo;
- A rea de seco transversal constante;
- A condutividade trmica um valor mdio;
Assim:
=
6
0
= 2
1
=
7
Exemplo 01 Exerccio 1.1 Uma folha isolante extrudada rgida possui k=0,029 W/(m.K). A diferena de temperatura entre as superfcies da parede de 10C (T1-T2). A folha tem espessura de 20 mm. a) Qual o fluxo trmico atravs da folha isolante cuja as dimenses dos lados da seo
transversal ao fluxo de 2m x2m? b) Qual a taxa de transferncia de calor atravs da folha de isolante?
8
Exemplo 02 Exerccio 1.11 Em um circuito integrado um chip quadrado de silcio (k=150 W/(m.K)) com lados de 5 mm e espessura 1 mm, est termicamente isolado pelos lados e na superfcie inferior a superfcie superior est exposta a um fluido refrigerante. Se 4 W forem dissipados na superfcie inferior do chip, qual a diferena de temperaturas das superfcies inferior e superior no estado estacionrio?
9
Conveco: Fundamentos Lei Bsica da conveco Lei de resfriamento de Newton:
=
q a taxa de transferncia de calor (W=J/s);
A rea de transferncia de calor (m2);
diferena de temperatura entre a superfcie de contato e o fluido (Ts-T) (K);
h coeficiente convectivo (coeficiente de transferncia de calor por conveco) ou coeficiente pelcula (J/s.m2.K).
A equao embora simples no explica o comportamento do coeficiente convectivo.
10
Exemplo 03 Exerccio 1.13 Com a superfcie da mo a 30C, determine o fluxo de calor por conveco para (a) uma velocidade de deslocamento de um veculo de 35 Km/h no ar a -5C, com coeficiente convectivo de 40W/(m2 K); (b) em uma corrente de gua com velocidade de 0,2 m/s com temperatura de 10C, com coeficiente convectivo de 900W/(m2 K). Qual condio faria sentir mais frio?
11
Exemplo 04 Exerccio 1.18 Em um circuito integrado um chip quadrado (k=200W/(m.K)) com lados de 5 mm e espessura 1 mm, est termicamente isolado pelos lados e na superfcie inferior a superfcie superior est exposta a um fluido refrigerante. O chip opera em condies isotrmicas. A temperatura do fluido refrigerante que escoa na superfcie superior do chip de T=15C. A temperatura mxima na superfcie superior do chip no pode ultrapassa a 85C.
Determine a mxima potncia que poder ser dissipada pelo circuito se:
a) O lquido refrigerante for ar (h=200 W/m2K).
b) O lquido refrigerante for um fluido dieltrico (h=3000 W/m2K).
12
Exemplo 05 Um recipiente barato para alimentos e bebidas fabricado de poliestireno (k=0,023 w/mK), com espessura de 25 mm e dimenses interiores de 0,8mx0,6mx0,6m. Sob condies nas quais a temperatura da superfcie internar de aproximadamente 2C e a da superfcie externa de 20C. Qual o fluxo trmico atravs das paredes do recipiente? Considerando desprezvel o ganho de calor pela base do recipiente de 0,8mx0,6m. Qual a carga trmica total para as condies especificadas?
13
Exemplo 06
Qual a espessura requerida para uma parede de alvenaria com k=0,75w/m.k, se a taxa de calor deve ser 80% da de uma parede estrutural (k=0,25w/mK) cujo dx=100mm? A diferena de temperatura imposta nas duas paredes a mesma.
14
Resistncia trmica
No caso da transferncia de calor unidimensional sem gerao de energia interna e com propriedades constantes podemos fazer a seguinte analogia:
Da equao de Fourier temos: ,1 ,2
=
O lado esquerdo da Equao acima relaciona a fora
motriz ,1 ,2 para o processo de transferncia de calor e a respectiva taxa de transferncia de calor.
15
A razo entre a fora motriz e a taxa conhecida como resistncia trmica para a conduo (, ):
,1 ,2
=
,
A analogia em relao conduo de eletricidade que um material pode oferecer ou no resistncia conduo dos eltrons (fnons de energia trmica);
Pela lei de ohm ,1,2
=
16
Assim para a conduo podemos associar a um determinado material a sua resistncia trmica conduo atravs da relao:
, ,1 ,2
=
Para fluidos na superfcie da parede a lei do resfriamento de Newtons fica rearranjada para:
= ( )
,
=1
17
A analogia com a conduo de eletricidade facilita a soluo de alguns problemas em fenmenos de transferncia de calor. Podemos usar o conceito de circuitos em circuito trmico equivalente:
a) Parede plana com
conveco nas duas
superfcies
Como o fluxo de calor
constante:
Pode-se representar cada
meio material como um
material resistivo trmico
e por analogia fazer uma
associao em srie: 18
Assim podemos escrever o fluxo como:
=,1 ,11/1
=,1 ,2/
=,2 ,21/2
A diferena de Temperatura total : ,1 ,2
Ento: =,1,2
,
Onde : RT,total a resistncia trmica equivalente do sistema em anlise:
, =1
1+
+1
2
19
b) Parede composta:
=,1 ,4
RT a resistncia trmica de cada componente do sistema
20
Dois valores diferentes de RT so obtidos, o valor real da taxa de transferncia estar compreendido entre estes dois valores; Quanto maior a diferena entre a condutividade trmica dos corpos em paralelo maior ser a diferena entre as resistividades trmicas, no caso da figura, superior e inferior.
21
Resistencia de contato (RT,c)
", =
22
Em sistemas compostos normal a soluo de problemas de transferncia de calor em termos do coeficiente global de transferncia de calor U: Onde U est relacionado ao fluxo de calor atravs da relao:
= Onde: dT a diferena global de temperatura;
Da equao de fluxo de calor para parede composta: =,1,4
Temos que: = 1/,
Ou: =1
.,
23
Exemplo 07 Uma parede de um forno constituda de duas camadas uma com 0,20 m de espessura de tijolo refratrio e outra de 0,13 m de espessura de tijolo isolante. A temperatura na superfcie interna do refratrio de 1675C e a temperatura na superfcie externa do isolante de 145C. desprezando a resistncia trmica das juntas de argamassa calcule:
a) O calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede.
b) A temperatura da interface refratrio/isolante.
Krefratrio=1,2 kcal/hmC e Kisolante=0,15 kcal/hmC
24
25
Exemplo 08 A base de concreto de um poro tem 11 m de comprimento, 8 m de largura e 0,20 m de espessura. Durante o inverno, as temperaturas so normalmente de 17C e 10C em suas superfcies superior e inferior, respectivamente. Se o concreto tiver uma condutividade trmica de 1,4 W/(mK), qual a taxa de perda de calor atravs da base? (4312 W). 2. Uma cmara de congelador um espao cbico de lado igual a 2 m. Considere que a sua base seja perfeitamente isolada. Qual a espessura mnima de um isolamento base de espuma de estireno (k = 0,030 W/(m.K)) que deve ser usada no topo e nas paredes laterais para garantir uma carga trmica menor do que 500 W, quando as superfcies interna e externa estiveram a -10 e 35C? (0,054m)
Exemplo 09
Obtenha a equao para o fluxo de calor em uma parede plana na qual a condutividade trmica varia com a temperatura de acordo com a equao:
K = a + b T
26
Conduo de calor atravs de configuraes radiais
Temperaturas interna e externas constantes haver transferncia de calor em regime permanente.
27
A taxa de calor por unidade de rea que atravessa a parede radial dado pela Lei de Fourier:
=
Com
o gradiente de temperatura na direo radial.
A rea de configuraes radiais dado em funo do raio e comprimento: A=2rL
Assim: = (2)
Para as condies de contorno do problema rearranjamos a equao acima e integramos os dois lados da mesma:
28
= (2)
2
1
= (2) 2
1
ln 12 = 2 1
2
=2
(2/1). (1 2)
29
Resistencia trmica em configuraes radiais Por definio: a razo entre o potencial trmico e o fluxo de calor a resistncia trmica:
=
=2
(2/1).
1
=
2
(2/1)
Ento a resistncia trmica em parede radiais ser:
=(2/1)
2
30
Para configuraes com associao em paralelo a soluo de problemas ser anloga s configuraes planas modificando apenas a resistncia trmica:
=
com = 1 + 2 ++
A resistncia convectiva permanece a mesma observe apenas a necessidade de modificar rea de troca de calor.
31
Conduo por conveco e configurao radial: Pela lei de resfriamento de Newton o fluxo de calor :
=
Ento: = (2)
Sendo q , h (coeficiente convectivo), r o raio, e L o comprimento do tubo, por exemplo, ento:
= (2)
A Soluo : = 2
A resistncia trmica ser:
, =
1
,= 2 , =
1
2
Ateno para o raio ele deve ser a medida do centro da configurao at a superfcie onde h a troca de calor.
A diferena de temperatura sempre obedece o sentido do fluxo de calor.
32
Exemplo 10: 15,1 0,075 0,038
Um tubo de ao de 1,25 cm de espessura e 25 cm de dimetro externo utilizado para conduzir ar aquecido. O Tubo isolado com 2 camadas de materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura com espessura de 2,54 cm e a segunda com isolante trmico de 2 cm de espessura. Sabe-se que a temperatura na superfcie interna do tubo de 800C e a temperatura na superfcie externa de 30C. Determine:
a) A taxa de transferncia de calor por unidade de comprimento do tubo. 0,917 (q=846,15w)
b) Determine a temperatura na interface dos dois isolantes. 469,7C
c) Compare o fluxo de calor se houvesse a troca de posio dos dois isolantes. (o fluxo diminui resolvido na Turma B)
33
34
Exemplo 11 Uma tubulao de cobre (K=400 W/mK) de dimetro igual a 40 mm e espessura de 0,9 mm usada para transportar gua a 5C para um trocador de calor. Considere que o coeficiente convectivo da gua com a superfcie interna do tubo de 10 W/m2K. Em regime estacionrio e para um comprimento unitrio de tubo em um ambiente com ar a 27 C determine: a) A taxa de transferncia de calor para o ambiente, considerando a temperatura externa do tubo como a mesma do ambiente. b) Qual deve ser a espessura de um isolante de fibra de vidro (k=0,036 W/mK) necessrio para reduzir em 80% a taxa de transferncia de calor?
Esfera oca
A lei de Fourier apropriada para essa configurao (fluxo de calor) :
=
= (42)
rea normal direo de transferncia de calor 42
Limites da conduo: r1 a r2 = espessura e dT T1 a T2
2
2
1
= (4) 2
1
2
2
1
= (4) 2
1
35
2
2
1
= (4) 2
1
1 12 = 4 1
2
=4(,1 ,2)
11
12
A resistncia trmica ser:
, =
=
4(,1,2)11
12
1
,=
411
12
, =11
12
4
36
Transferncia por conveco e configurao esfrica: Pela lei de resfriamento de Newton o fluxo de calor :
=
Ento: = (42)
Sendo q , h (coeficiente convectivo), r o raio, e L o comprimento do tubo, por exemplo, constantes, ento:
= (42)
A Soluo : = 42
A resistncia trmica ser:
, =
1
,= 42 , =
Ateno para o raio ele deve ser a medida do centro da configurao at a superfcie onde h a troca de calor.
A diferena de temperatura sempre obedece o sentido do fluxo de calor.
37
Exemplo 12 Um recipiente esfrico metlico com parede delgada usado para armazenar nitrognio lquido a 77 K. O recipiente possui um dimetro de 0,5m e coberto por um isolante trmico refletivo, composto de slica com vcuo nos interstcios. O isolante tem espessura de 0,25 m e sua superfcie externa est exposta a uma temperatura de 300 K. O coeficiente convectivo do fluido externo 20 W/m2.k. O calor latente de vaporizao e a densidade do nitrognio lquido so 2x105J/kg e 804 kg/m3, respectivamente. a) Determine a taxa de transferncia de calor para o nitrognio
lquido. b) Qual a taxa de perda de lquido para o ambiente. Condies: Regime estacionrio; Transferncia de calor unidimensional na direo radial Desprezar a transferncia de calor na parede do recipiente e dessa
para o lquido, parede delgada. Propriedades constantes. Troca trmica entre superfcie externa do isolante e vizinhanas por
radiao desprezvel; H conservao de energia trmica: Eentra=Esai 38
39
Transferncia de Calor em Superfcies estendidas
At este pondo consideramos a transferncia de calor atravs das fronteiras de um slido na mesma direo do fluxo de calor.
Uma superfcie estendida extremamente importante em processos de transferncia de calor pois permite aumentar a rea de transferncia de calor e consequentemente a eficincia de troca de calor entre uma superfcie e um fluido refrigerante.
Diferente do que j analisamos em superfcies estendidas a transferncia de calor perpendicular ao sentido do fluxo de calor.
40
Comparao do fluxo de calor entre parede plana e superfcie estendida:
41
Em geral, superfcies estendidas so utilizadas para aumentar a taxa de transferncia de calor;
Neste caso a superfcie estendida camada de aleta.
Diversas configuraes so possveis:
Trocadores de calor com tubos aletados:
42
Configuraes de aletas:
Aleta plana com seo transversal uniforme
Aleta plana com seo transversal no-uniforme
Aleta anular
Aleta puntiforme
43
Conduo de calor por aletas anlise geral
Em nossa anlise iremos considerar que: Condies de regime estacionrio de calor;
Condutividade trmica constante;
Radiao na superfcie desprezvel;
Efeito de gerao de calor ausente;
Coeficiente de transferncia de calor por conveco uniforme;
Como h conservao de energia a equao de taxa de transferncia de calor global pode ser escrita como:
= + +
44
= + + (Eq. 1)
Para um elemento diferencial de slido temos que:
=
(Eq. 2)
= ( ) (Eq. 3)
45
A taxa de transferncia de calor no elemento de volume (x+dx) :
+ = +
Ento:
+ =
Substituindo as equaes de taxa de calor na equao de balano de energia teremos:
Eacu = Eentra-Esai+Eg
2
2+
1
1
= 0
Forma geral da equao de energia para a superfcie estendida. Sua soluo necessita das condies de contorno definidas. 46
A transferncia de calor por conveco na extremidade da aleta. B despreza a perda de calor na extremidade da aleta , troca de energia nula portanto adiabtica C Temperatura na extremidade especificada; D Aleta longa
47
Valores de P e Atr=Ac para configuraes com rea de seo transversal uniforme
48
Exemplo 15:
Um basto de cobre (k=380 w/mK) com 100 mm de comprimento e 5 mm de dimetro se estende horizontalmente a partir de uma solda a 200 C. O basto encontra-se em um ambiente com T=20 C e h=30W/m2K.
Quais so as temperaturas no basto a 25, 50 e 100 mm da solda?
25 mm= 195,56C
49
A transferncia de calor por conveco na extremidade da aleta. B despreza a perda de calor na extremidade da aleta , troca de energia nula portanto adiabtica C Temperatura na extremidade especificada; D Aleta longa
P o permetro da superfcie da base da aleta (superfcie de contato da solda)
50
Exemplo 3: Soluo O que para determinar? Temperatura em 3 pontos distintos ao longo do comprimento da aleta. Conceitos envolvidos: A temperatura ao longo da aleta deve diminuir com o comprimento devido perda de calor no sentido transversal ao fluxo de calor. A distribuio de temperatura ao longo da aleta de seo transversal uniforme (quando essa perde calor tambm pela extremidade) dado pela relao:
=[cosh ]+
[ ( ]
cosh +
()
Onde: h o coeficiente convectivo; L o comprimento da aleta; x o ponto em relao ao comprimento onde se deseja saber a temperatura; k o coeficiente de condutividade trmica do material da aleta; = diferena de temperatura entre o fluido ao redor da aleta e o ponto x. = diferena de temperatura entre a base (Tb) da aleta e a temperatura do fluido ao redor da mesma (Tx).
=
m constante para uma aleta especfica onde h o
coeficiente convectivo do fluido; P o permetro da REA DA BASE DA ALETA; K a condutividade trmica do material da aleta; Atr a AREA DE SEO TRANSVERSAL DA ALETA.
51
Dados fornecidos pelo problema: k=380 W/mK h=30 W/m2K D=0,005 m L=0,1 m T=20C Tb=200C x1=0,025m x2=0,05m x3=0,1m Para a configurao da aleta temos que:
=
com: =
2
2=
=2
4
Ento:
=
=
4
=
4 30
380 0,005 =7,95m-1
Temos tambm:
=
30
3807,95= 9,93x103
52
Para o ponto x2=0,025
=[cosh 7,95 0,10,025 ]+9,93x103 [ 7,95 0,10,025 ]
cosh 7,950,1 +9,93x103(7,950,1)
=cosh (0,596) + 9,93x103(0,596)
cosh (0,7950) + 9,93x103(0,7950)
=1,183 + 9,93x103(0,632)
1,33 + 9,93x103(0,881)=1,183 + 6,275103
1,33 + 8,748103
=1,18927
1,33875= 0,88
Como: = = 200 20 = 180
= = 20 Ento: 20 = 0,88 180
= 159,9 + 20 = ,
53
=[cosh ]+
[ ( ]
cosh +
()
Para o ponto x2=0,05
=[cosh 7,95 0,10,05 ]+9,93x103 [ 7,95 0,10,05 ]
cosh 7,950,1 +9,93x103(7,950,1)
=cosh (0,3975) + 9,93x103(0,3975)
cosh (0,7950) + 9,93x103(0,7950)
=1,08 + 9,93x103(0,408)
1,33 + 9,93x103(0,881)=1,08405
1,33875= 0,81
Como: = = 200 20 = 180
= = 20
Ento: 20 = 0,81 180 = 145,8 + 20 = ,
54
Para o ponto x2=0,1
=[cosh 7,95(0,10,1)]+9,93x103 [ 7,95 0,10,1 ]
cosh 7,950,1 +9,93x103(7,950,1)
=
cosh (0) + 9,93x103(0)
cosh (0,7950) + 9,93x103(0,7950)
=
1,00 + 9,93x103(0)
1,33 + 9,93x103(0,881)=1,000
1,33875= 0,74
Como: = = 200 20 = 180
= = 20
Ento: 20 = 0,74 180 = 134,4 + 20 = ,
55
Desempenho das aletas
Efetividade da aleta (): razo entre a taxa de transferncia de calor da aleta e a taxa de transferncia de calor sem a aleta.
=
,
Onde , a rea de transferncia de calor da base da aleta e Tb a temperatura da base da aleta.
Quando a 2 justifica-se o uso de aletas
56
Considerando o caso de aleta infinita, teremos:
= =
Onde P o permetro da rea de seo transversal da aleta.
Assim:
= ,,
=
,
Observaes:
a aumenta com o uso de materiais com elevado;
a aumenta com o aumento da relao P/Atr,b;
Aletas devem ser usadas onde h pequeno;
Para a 2 Pk/hAtr,b 4;
No necessrio o uso de aletas muito longas pois para
L=2,65/m obtm-se 99% da transferncia de calor de uma
aleta infinita (ver exemplo 3.8 do Incorpera, cap. 3, 4ed)
57
a pode ser quantificado em termos de resistncia trmica:
Na aleta: =,
Na base exposta: =,
Ento:
==,,
Eficincia da aleta (): dada pela razo entre a taxa de transferncia de calor atravs da aleta pela taxa ideal de transferncia de calor atravs da aleta para toda a superfcie da aleta a temperatura da base.
=
()
Onde Aale a rea da superfcie externa da aleta e Tb a temperatura da base (no haveria diferencial de temperatura com o comprimento da aleta).
=
58
Para aleta plana, seo uniforme e extremidade adiabtica
tr b tra 2 2
b
hP A hP A tanhmLtanhmL
hPL Lh P
a2 2
trtr
1 tanhmL 1 tanhmL
L LhPh PAhP A
atanhmL
mL Ento
= ( ) 59
Um artifcio utilizado para se trabalhar com a equao da aleta com conveco desprezvel no topo, que mais simples, consiste em se trabalhar com um comprimento adicional da aleta (Lc) de forma a compensar a conveco desprezada no topo, ou seja:
c
c
L L t / 2
L L D/ 4
para aleta retangular
para aleta puntiforme
T a espessura e D o dimetro
Assim: = , tan
=tan
Erros associados a essa aproximao so desprezveis se
ht / ou hD/ 2 0,0625 60
Para uma aleta retangular com a largura w muito maior que a altura t o permetro pode ser aproximado por P=2w e:
multiplicando o numerador e o denominador por Lc1/2 e introduzindo
uma rea corrigida do perfil da aleta Ap=Lc.t, resulta:
c c c ctr
hP h2w 2hmL L L L
A wt t
1/ 23 / 2c
c c c1/ 2cc
L2h 2hmL L L
t tLL
3 / 2c
p
2hL
A
61
Tabela 3.5- Relao da Eficincia da aleta ( = ) para algumas geometrias comuns, Incropera.
62
Exemplo 4:
Uma aleta plana fabricada com liga de alumnio 2024 (k=185 W/mK) tem uma espessura na base de 3mm e um comprimento de 15 mm. Sua temperatura na base de Tb=100C e ela est exposta a um fluido no qual T= 20C e h=50 W/m2K. Para as condies dadas e uma aleta de largura unitria, compare a taxa de transferncia de calor na aleta e a eficincia para os perfis retangular, triangular e parablico.
63
Hipteses: 1 regime permanente; 2 conduo unidimensional; 3 propriedades constantes; 4 Radiao desprezvel; 5 coeficiente convectivo constante ao redor da aleta.
Dados: Aleta de base retangular de alumnio 2021 KAl = 185 W/mK
Espessura na base, = t = 3mm = 0,003m
Comprimento, L= 15 mm= 0,015m.
Temperatura na base, Tb=100C
fluido com T= 20C e h=50 W/m2K.
largura unitria w= 1 m
Compare a taxa de transferncia de calor na aleta e a eficincia para os perfis retangular, triangular e parablico.
Soluo:
Sabe-se que a eficincia de uma aleta dada por:
=
()
Onde: a taxa transferncia ideal, caso no houvesse dT ao longo da aleta.
Assim pode-se:
i) Calcular qale usando a relao: = ()
ii) A eficincia para uma configurao conhecida pode ser obtida atravs da Tabela 3.5 mostrada a seguir.
iii) Poderia ser calculado qale se conhecermos a relao de taxa para a geometria dada e depois calcular a eficincia.
Por facilidade vamos usar os passos ii e i.
64
65
Para aleta retangular :
depende do fator m dado por: =
;
como a largura da aleta de base retangular, w, muito maior que a espessura o perimetro pode ser dado por P=2w+2t=2w, (w>>t), e sendo Atr=w.t, assim:
=2
=
2 50
185 0,003= 13,4 1
= 13,4 0,015 0,201 = 13,4 0,015 +0,003
2= 0,221
A eficincia da aleta :
=tanh
= 0,218
0,222= 0,982 ~ 98,2%
= = 2 = 2 1 0,015 +0,003
2= 0,0332
A taxa de transferncia de calor : = = 0,982 x 50 x 0,033 x 100 20 = 129,6 W/m
66
Para aleta Triangular:
depende do fator m dado por: =
;
como a largura da aleta de base retangular, w, muito maior que a espessura o perimetro pode ser dado por P=2w+2t=2w, (w>>t), e sendo Atr=w.t, assim:
=2
=
2 50
185 0,003= 13,4 1
= 13,4 0,015 0,201 = 13,4 0,015 +0,003
2= 0,221
A eficincia da aleta :
=1
1tanh 0
= 0,205
(0,201)0,222= 0,978 ~ 97,8%
= = 2 2 + 2 2 1
/2 = 0,0302
A taxa de transferncia de calor : = = 0,978 x 50 x 0,030 x 100 20 = 117,3 W/m
67
Para aleta Parablica:
depende do fator m dado por: =
;
como a largura da aleta de base retangular, w, muito maior que a espessura o perimetro pode ser dado por P=2w+2t=2w, (w>>t), e sendo Atr=w.t, assim:
=2
=
2 50
185 0,003= 13,4 1
= 13,4 0,015 0,201 = 13,4 0,015 +0,003
2= 0,221
A eficincia da aleta :
= 0,963 ~ 96,3%
= = 0,0302
A taxa de transferncia de calor : = = 0,963 x 50 x 0,030 x 100 20 = 115,6 W/m
68
Conveco: Fundamentos Lei Bsica da conveco Lei de resfriamento de Newton:
=
q a taxa de de transferncia de calor) (W=J/s);
A rea de transferncia de calor (m2);
diferena de temperatura entre a superfcie de contato e o fluido (Ts-T) (K);
h coeficiente convectivo (coeficiente de transferncia de calor por conveco) ou coeficiente pelcula (J/s.m2.K).
A equao embora simples no explica o comportamento do coeficiente convectivo.
69
O coeficiente pelcula uma funo complexa que depende:
- Escoamento do fluido;
- Propriedades fsicas do fluido: densidade, viscosidade, condutividade trmica e calor especfico;
- Da geometria do sistema;
Em relao ao ESCOAMENTO DO FLUIDO:
- Pode ser laminar ou turbulento
Fluxo livre
Camada limite hidrodinmica
Camada limite hidrodinmica: - Variao de velocidade (u) do escoamento do fluido nas proximidades da superfcie; - Variao de velocidade e u 0 nas proximidades da superficie devido viscosidade. 70
A camada limite trmica caracterizada pela existncia de um diferencial de temperatura entre o fluido contido na camada limite hidrodinmica.
Para haver transferncia de calor por conveco entre o fluido e a superfcie necessrio:
Gradiente de temperatura (camada limite trmica)
Regio de baixa velocidade (camada limite hidrodinmica): sempre ocorre em escoamento de fluidos
71
No caso da conduo de calor atravs da camada limite temos duas regies: 1 regio de baixa velocidade : conduo predominante (fluido estacionrio); 2 regio de alta velocidade: conveco mistura entre massa de fluido de maior temperatura com fluido de menor temperatura.
Assim podemos considerar o fluido prximo superfcie (camada limite trmica) como uma parede slida (hiptese). Com isso:
O fluxo de calor : =
( )
Com a espessura da camada limite trmica onde prevalece a conduo.
72
Na regio onde h variao de velocidade (transferncia de calor por troca de massa de fluidos) prevalece a conveco:
=
Igualando as equao de troca de calor para a camada hidrodinmica:
( ) =
=
O coeficiente convectivo ou pelcula inversamente proporcional espessura da camada limite trmica o que justifica o aumento da velocidade de escoamento para melhorar a eficincia de troca de calor.
73
Coeficiente convectivo local e mdio
Considerando uniforme a temperatura na superfcie e havendo ocorrer transferncia de calor por conveco:
A taxa de transferncia de calor pode ser obtida pela integrao do fluxo de calor ao longo de toda a superfcie:
= "
Ento podemos escrever a lei de resfriamento de Newton como:
= s h pode variar em funo da rea, ento:
74
Define-se um valor mdio do coeficiente convectivo: A taxa total por conveco fica:
= ( ) Igualando as equaes de conveco:
s = ( )
=1
s
Para uma placa plana podemos simplificar a equao anterior (h ir varia apenas com a distncia da extremidade at L) assim o comprimento da extremidade constante:
=1
0 .
75
Determinao do coeficiente de pelcula ou convectivo: As variveis associadas transferncia de calor por conveco so: 1) Dimenso de troca de calor Dtr; 2) Propriedades fsica do fluido: viscosidade , massa especfica , calor especfico cp; condutividade trmica k; coeficiente de expanso volumtrica . 3) Estado de movimento do fluido: Velocidade u; acelerao da gravidade g; diferena de temperatura . Ento, h uma funo complexa do forma:
= ( , , , , , , , ) ????? Muitas variveis
76
A transferncia de calor por conveco um processo complexo devido s variveis envolvidas no coeficiente pelcula ou coeficiente convectivo h. Assim so feitas condies de contorno e uso de equaes empricas adimensionais para determinao do coeficiente convectivo: Equaes adimensionais em transferncia de calor: Numero de Nusselt(Nu): representa a relao entre o fluxo de calor por conveco e o fluxo de calor por conduo no prprio fluido.
=
Nmero de Prandtl(Pr): envolve apenas propriedades do fluido e representa a razo entre a difuso de quantidade de movimento e a difuso de calor.
=
Nmero de Grashof(Gr): inter-relaciona as foras de empuxo provocadas por efeito trmico e as foras viscosas. Tem a mesma funo do numero de Reynolds para a conveco forada.
=3
2
77
Nmero de Reynolds: resultante da razo entre as foras de inrcia, que tendem a manter o movimento, e as foras viscosas que tendem a impedir o movimento. Ele mede o regime de escoamento atravs de um valor crtico que separa o escoamento: - Laminar: amortecimento das perturbaes por prevalecimento das foras viscosas; do - Turbulento: em que prevalece as foras de inrcia que amplificam as perturbaes introduzindo o modelo catico de escoamento.
=
78
A determinao de h feita atravs de casos particulares usando equaes empricas e anlise dimensional. Para conveco forada regime laminar a equao :
= , Onde: Nu denominada de Nmero de Nusselt
=
Re o nmero de Reynolds
=
Pr o nmero de Prandtl
=
D dimetro
Regime turbulento: = 0,023. 0,8.
Onde: n=0,3 para fluido resfriando n=0,4 para fluido aquecendo
79
Para conveco Natural a equao :
= , Onde: Nu denominada de Nmero de Nusselt
=
(para configurao radial); =
(para configurao plana)
L comprimento da superfcie
Pr o nmero de Prandlt
=
Gr o nmero de Grashof
Gr=..
D dimetro
80
Exemplo 13
O coeficiente de transferncia de calor por conveco local dado pela relao:
= a0,1
Onde a um coeficiente (W/m1,9K) e x(m) a distncia da aresta frontal da placa.
Encontre uma expresso para a razo entre o coeficiente de transferncia de calor mdio em uma placa de comprimento x e o coeficiente de transferncia de calor local hx em x.
81
Exemplo 17:
Em uma placa plana de 150 x 100 mm, eletricamente aquecida, a mxima temperatura no centro da placa 135C. Para este caso especfico o nmero de Grashof 2,2x107 e o nmero de Prandtl 0,7. Sabe-se que a equao emprica para conveco natural em uma placa plana :
Nu=0,555.Gr1/4.Pr1/4
Calcule o fluxo de calor, para ambos os lados da placa, para o ar atmosfrico sabendo que kar=0,026 Kcal/hmC, considere a temperatura do ar como sendo de 25C.
82
O coeficiente pelcula dado pela relao de Nusselt:
Nu=0,555.Gr1/4.Pr1/4=
placa plana
Portanto:
=0,555. 2,2107
14. 0,7
14 . 0,026103
0,15
=34,60 .0,026103
0,15=0,899103
0,15= 6,0103/2C
O fluxo de calor ser obtido pela lei de resfriamento de Newton:
= . . ; como o problema pede para os dois lados da placa:
= . 2. = 6,0103. 2. (0,10,15).(135-25)
=19,80x103 cal/h=~82,37 kJ/h
0,15m
q'
q'
0,10m
Escoamento Ts= 135C; T= 25C Gr = 2,2x107
Pr = 0,7 kar=0,026 Kcal/hmC
83