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Fenômenos didáticos e a relação do saber
matemático em sala de aula
Prof. José Luiz Cavalcante (UEPB)
Prof. Marcus Bessa de Menezes (UFCG-CDSA)
Prof. Fernando Emílio Leite de Almeida (IFPE – Pesqueira)
QUEM SOMOS?
Grupo de fenômenos didáticos na classe de Matemática (UFPE);
- Abraão Araújo – TAD
- Anna Paula – Contrato Didático
- Dilson Cavalcanti – Ensino da álgebra
- Fernando – Contrato Didático
- Lúcia Araújo – Metacognição
- Mônica Lins – Campos conceituais
- Regina Celi – Transcrição da Linguagem
- Zé Luiz – Teoria Antropológica do Didático
INTRODUÇÃO
Desafios da educação no Brasil
- A escola e sua estrutura
- Alunos desmotivados e desinteressados
- A necessidade de valorizar o professor
- Qualidade do livro didático
- Disciplina e violência na escola
Professor
(pólo pedagógico)
Aluno
(pólo psicológico)
Saber a ensinar
(pólo epistemológico)
Contrato Pedagógico
Relação ao saber do aluno :
Conhecimentos prévios;
Hipóteses acerca do novo
saber.
Mudança em relação ao
saber ao longo da relação
didática.
Relação ao saber do
professor : aspectos
epistemológicos e
afetivos Contrato
Didático
Transposição
Didática Interna
Saber científico
Transposição Didática Externa Epistemologia
do Saber;
Vigilância
Epistemológica
N O O S F E R A
Tempo
Contexto
Triângulo das Situações Didáticas
SALA DE AULA
OS ALUNOS
Quem são esses alunos? Escola – Educação Formal x Familiar
Que importância dão à Escola e ao saber?
- Utilização do saber
- Sala de aula: Ecossistema particular.
A Geração Superficial: O que a Internet está fazendo com nossos
cérebros? (Nicholas Carr)
OS ALUNOS
Alunos on-line (Blackberries e iPods; redes de wi-fi; Blogs e
microblogs; smartphones; pen drives; netbooks...). Quem resiste?
Fontes de saber:
- Facebook, twitter, google,...
- Memória artificial (taxistas britânicos, agenda telefônica)
A neuroplasticidade do cérebro (adaptação a novas tecnologias)
OS ALUNOS
Velocidade das informações Superficialidade sobre os
conteúdos.
Barnaby Rich, ano: 1600
“Uma das grandes doenças de nossa época é a infinidade de
livros, que exercem uma sobrecarga no mundo que não é
possível digerir a abundância de matéria fútil que todo dia é
chocada e divulgada”
Fenômenos didáticos e a relação do saber
matemático em sala de aula
TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO
Prof. José Luiz Cavalcante (UEPB)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
- TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA
Saber científico
Saber a ser ensinado
Noosfera
Saber preparado
Saber ensinado
Professor
Saber aprendido
Alunos
Tra
ns
po
siç
ão
Did
átic
a
Ex
tern
a
Tra
ns
po
siç
ão
Did
áti
ca
Inte
rna
Tra
ns
form
aç
ão
do
sa
be
r pe
lo
alu
no
A relação entre o professor x saber – “Núcleo duro”
da Transposição Didática Interna
“O saber ensinado deve parecer conforme o saber a
ensinar. Ou melhor, a questão de sua adequação, não
deve ser formulada. Ficção de identidade ou de
conformidade aceitável. O professor não existe,
porque o ensino não existe senão ao preço desta
ficção: esta vive dessa ficção, deve viver dessa
ficção.” (Chevallard, 1991).
TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA
“O saber, tal-como-é-ensinado, o saber ensinado, é
necessariamente distinto do saber-inicialmente-
designado-como-o-que-deve-ser-ensinado. Este é o
terrível segredo que o conceito de transposição
didática põe em perigo” (Chevallard, 1991).
A relevância do processo de Transposição Didática:
Vigilância Epistemológica
TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS - PROFESSOR
- Praxeologia do Professor (OM):
- subtipo de Tarefa T2: 0² bxax
abx
bax
bax
x
baxx
bxax
0
0
0)(
0²
TAREFA RESOLUÇÃO DO
PROFESSOR TÉCNICAS
ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T – Resolver uma equação do
2° grau
Tipo de Tarefa (T2)
ax² + bx = 0
TFE – Fatorar expressões,
colocando em evidencia o
fator comum.
PDM - Propriedade Distributiva
da Multiplicação;
PPN - Propriedade do Produto
Nulo;
POI - Propriedades das
operações inversas em R
(conjunto dos números reais)
ou leis da transposição de
termos.
SUBTÉCNICAS
ITFZ - Igualando os termos a
zero;
TTC - Transpondo termos,
invertendo as operações.
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS - PROFESSOR
- Praxeologia do Professor (OM):
- subtipo de Tarefa T3: 0)²( cax
acx
cax
cax
cax
cax
0
0
0)²(
TAREFA RESOLUÇÃO DO
PROFESSOR TÉCNICAS
ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T – Resolver uma equação do
2° grau
Tipo de Tarefa (T3)
(ax + c)² = 0
ERQ - Extrair a raiz quadrada
da equação.
PR – Propriedade da
Radiciação;
POI - Propriedades das
operações inversas em R
(conjunto dos números reais)
ou leis da transposição de
termos.
SUBTÉCNICAS
TTC - Transpondo termos,
invertendo as operações.
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS - PROFESSOR
- Praxeologia do Professor (OM):
- subtipo de Tarefa T4: 0))(( bxax
bx
bx
ax
ax
bxax
0
0
0))((
TAREFA RESOLUÇÃO DO
PROFESSOR TÉCNICAS
ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T – Resolver uma equação do
2° grau
Tipo de Tarefa (T4)
(x + a).(x + b) = 0
TPN – Produto nulo,
igualando os fatores à zero.
PPN - Propriedade do Produto
Nulo;
POI - Propriedades das
operações inversas em R
(conjunto dos números reais)
ou leis da transposição de
termos.
SUBTÉCNICAS
TTC - Transpondo termos,
invertendo as operações.
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS - PROFESSOR
- Praxeologia do Professor (OM):
- subtipo de Tarefa T8: 0² cbxax
a
acbbx
acb
cbxax
2
4²
4²
0²
TAREFA RESOLUÇÃO DO
PROFESSOR TÉCNICAS
ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T – Resolver uma equação do
2° grau
Tipo de Tarefa (T8)
ax² + bx + c = 0
CQ – Completar Quadrados;
BAS – Fórmula de Báskara.
POI - Propriedades das
operações inversas em R
(conjunto dos números reais)
ou leis da transposição de
termos;
PR – Propriedade da
radiciação.
SUBTÉCNICAS
DRE – Desenvolver ou reduzir
expressões;
TTC - Transpondo termos,
invertendo as operações.
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS - PROFESSOR
- Praxeologia do Professor (OD):
- Aulas:
Equações de segundo grau incompletas → completas
- As atividades matemáticas eram gradativas;
- Conhecimentos anteriores;
- Situações sistemáticas de treinamento.
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS ALUNO
- Praxeologia do Aluno:
- subtipo de Tarefa T2: 0² bxax
TAREFA RESOLUÇÃO DO ALUNO TÉCNICAS ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T1 – Resolver uma
equação do 2° grau
Tipo de Tarefa (T12)
ax² + bx = 0
Atividade solicitada
2x² - 8x = 0
STI – Substituir a incógnita por
valores numéricos e verificar a
igualdade (tentativa e erro).
PON - Propriedades das
operações numéricas.
SUBTÉCNICA
CVE - Calcular o valor de
expressões numéricas)
- 5 alunos utilizam a técnica de tentativa (encontram uma única raiz);
- 3 alunos utilizam a técnica de transposição de termos (encontram uma única
raiz);
- 10 alunos utilizaram a Bháskara;
- Nenhum aluno acompanhou a técnica utilizada pelo Professor (Fatoração,
colocando o termo comum em evidência)
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS ALUNO
- Praxeologia do Aluno:
- subtipo de Tarefa T3: 0)²( cax
TAREFA RESOLUÇÃO DO ALUNO TÉCNICAS ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T1 – Resolver uma equação
do 2° grau
Tipo de Tarefa (T13)
(ax + c)² = 0
Atividade solicitada
(2x + 5)² = 0
TPN – Técnica produto nulo
(mentalmente).
POI - Propriedades das
operações inversas em R
(conjunto dos números reais)
ou leis da transposição de
termos.
- 17 alunos optaram por Bháskara;
- 2 alunos utilizaram a técnica de desmembrar a potência para obter o produto
nulo;
- 4 alunos acompanham a técnica eleita pelo Professor (extração da raiz
quadrada)
- O status da fórmula de Bháskara.
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS ALUNO
- Praxeologia do Aluno:
- subtipo de Tarefa T4: 0))(( bxax
TAREFA RESOLUÇÃO DO ALUNO TÉCNICAS ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T1 – Resolver uma equação
do 2° grau
Tipo de Tarefa (T4)
(x + a).(x + b) = 0
Atividade solicitada
(x - 8).(x + 4) = 0
BAS – Fórmula de Báskara. POI - Propriedades das
operações inversas em R
(conjunto dos números reais)
ou leis da transposição de
termos;
PR – Propriedade da
radiciação.
SUBTÉCNICAS
DRE – Desenvolver ou
reduzir expressões;
TTC - Transpondo termos,
invertendo as operações.
- 17 alunos optaram por Bháskara (única opção, diferente, apresentada pelos
alunos);
- 5 alunos utilizam a mesma técnica do Professor (Produto nulo);
- Apesar de, aparentemente, ser mais simples a utilização dá técnica
apresentada pelo Professor, os alunos fazem uma opção por outro caminho.
ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS ALUNO
- Praxeologia do Aluno:
- subtipo de Tarefa T8: 0² cbxax
TAREFA RESOLUÇÃO DO ALUNO TÉCNICAS ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS
T1 – Resolver uma equação
do 2° grau
Tipo de Tarefa (T18)
ax² + bx +c = 0
Atividade solicitada
(x + 4)(x – 7) = 5x + 5
FAT – Fatoração de um
trinômio do segundo grau.
(Cálculo mental)
POI - Propriedades das
operações inversas em R
(conjunto dos números reais)
ou leis da transposição de
termos;
PON - Propriedades das
operações numéricas
SUBTÉCNICAS
TTC – Transpondo termos,
invertendo as operações;
DRE – Desenvolver ou reduzir
expressões.
- Foi o subtipo em que os alunos mais seguiram a técnica apresentada pelo
Professor;
- 1 aluno utilizou a técnica de fatoração (soma e produto das raízes);
- 5 alunos fizeram por tentativa (valores baixos dos coeficientes, encontram
uma única raiz).
CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO
- Refletir sobre os limites do saber-fazer (savoir-faire),
avançando no domínio matemático teórico.
- Identificar as diferentes formas de realização de uma
tarefa executadas pelo professor e pelo aluno.
- Fazer um mapeamento de uma possível construção do
conhecimento matemático.
- Desafios para o Professor
- Aprofundamento em Pesquisas - Educação Matemática
- Utilização equivocada de jogos matemáticos
- Contextualização (o conhecimento envolve uma relação
entre o sujeito e o objeto)
- Equívocos sobre a Resolução de problemas
- A concepção do professor sobre ensinar e aprender
- O uso de novas tecnologias
PONTOS A SEREM DISCUTIDOS
- Desafios para o Professor
- Fenômenos Didáticos
- Expectativas do professor em relação ao aluno (Contrato)
- Relação do Professor com o saber em jogo
- Gestão do tempo
- Transformação do saber (Transposição)
PONTOS A SEREM DISCUTIDOS
- Avaliação
- O que avaliar? Como avaliar? (Contrato de Avaliação)
- Autonomia dos alunos
QUESTÕES SOBRE AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA
ABAIXO TEMOS DOIS ITENS DE AVALIAÇÃO EM LARGA
ESCALA E SEUS RESPECTIVOS PERCENTUAIS DE ACERTOS
(QUESTÕES ESPELHO DO SAEPE, PROVA PARA ALUNOS DO
5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL):
A) Qual é o resultado da adição 829 + 357 ?
Percentual de acertos: 78%.
B) Um trem transportou 829 passageiros na primeira viagem e
357 passageiros na segunda viagem. Quantos passageiros foram
transportados nessas duas viagens?
Percentual de acertos: 29%.
Que análise você faria desses resultados?
Podemos afirmar que o processo de avaliação está
presente no cotidiano da vida humana. Avaliamos o que
comemos e quanto comemos, por onde andamos e por quanto
tempo andamos, o que vestimos, enfim, estamos atribuindo
valores sejam eles qualitativos ou quantitativos em diversos
momentos da nossa vida. No entanto, apesar de parecer
paradoxal, Pavanello & Nogueira (2006) afirmam que ainda não
temos um consenso do que seria o modo correto de avaliar e qual
o nível de exigência em uma avaliação.
QUESTÕES SOBRE AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA
QUESTÕES SOBRE AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA
- Professores ainda afirmam que a matemática não tem meio
termo, cada pergunta só tem uma única resposta;
- Aluno como um sujeito ativo na construção do conhecimento, e
que pode organizar de forma particular esse conhecimento
(Transposição Didática);
- Para buscar uma “conformidade”, o aluno pode, simplesmente,
repetir o que o professor faz em sala de aula.
QUESTÕES SOBRE AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA
- O fato de buscar essa uma “conformidade”, pode levar a um
pseudo-sucesso (Moretto, 2003);
- O aluno deve ter autonomia na resolução de suas atividades,
deve reconhecer o saber fora da sala de aula;
- O contrato didático estabelecido em sala de aula determina
como o saber será colocado em jogo.
QUESTÕES SOBRE AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA
- O Contrato da Avaliação (Menezes & Câmara, 2015) são dicas
e sinais do que será cobrado durante a avaliação;
- Esse tipo de contrato se estabelece de forma inconsciente. O
professor busca evitar o erro em sala de aula (Efeito Topázio);
- A forma de como trabalhar o ERRO em sala de aula.
QUESTÕES SOBRE O ERRO EM MATEMÁTICA
- A importância do Erro na aprendizagem da Matemática. Apagar
pode fazê-lo retornar;
- Raffaella Borasi, propõe alternativas para o uso dos erros no
processo de ensino e aprendizagem. Segundo ela, pode-se
remediar “falhas” detectadas nas respostas dos alunos,
descobrir novos conceitos a partir do aprofundamento de
estudos sobre erros cometidos ou pesquisar processos
cognitivos dos estudantes a partir de suas respostas.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
- Permitimos aos alunos uma autonomia na resolução de
problemas?
Questões a se pensar:
- Existe Ensino sem Aprendizagem?
- Como utilizar as novas tecnologias na construção de
conhecimento?
- Valorizamos as construções de nossos alunos?
- Qual o papel do Professor ‘nisso tudo’?