Fenomenul de Oboseala in Cazul Arborilor Si Osiilor

CFMEN - OSII SI ARBORI

ARBORI ŞI OSII

DEFINIRE. CLASIFICARE. CARACTERIZARE

Osiile, sunt organe de maşini cu mişcare de rotaţie sau fixe destinate numai susţinerii unor organe de maşini în mişcare de rotaţie,

fiind supuse solicitării de încovoiere.

Arborii, sunt organe de maşini cu mişcare de rotaţie destinate să susţină alte organe de maşini (roţi dinţate, roţi de lanţ, roţi de curea,

semicuplaje etc.), avînd rolul de a transmite momente de torsiune în lungul axei lor. Spre deosebire de osii, fiind supuse în principal la

solicitării compuse de torsiune (răsucire) cu încovoiere.

Arborii şi osiile au şi rolul de a prelua şi transmite forţele şi momentele organelor de maşini montate

pe acestea. Pentru aceasta, ele sunt fixate cu ajutorul lagarelor, ce pot fi cu rostogolire sau cu alunecare.

Geometric, arborii pot fi mai simpli sau mai complecşi. În general se pot distinge anumite părţi

componente ale unui arbore (fig. 5.1) cum ar fi: corpul arborelui (a); porţiunile de calare (b), pe care se

fixează organele care vor lucra pe aceşti arbori; porţiunile de reazem (c) numite şi fusurile arborelui,fiind

suprafeţele de fixare prin intermediul sistemelor de lăgăruire.

Porţiunile de calare sunt zonele pe care se montează organele de maşini susţinute de arbore.

Acestea se pot executa cu suprafeţe cilindrice sau conice. Cele mai utilizate sunt porţiunile de calare cu

suprafaţă cilindrică, mai uşor de prelucrat. Suprafeţele conice se utilizează pentru porţiunile de calare pe

care au loc montări şi demontări frecvente

ale organele de maşini susţinute de arbore

(roţi de schimb etc.) şi când se impune o

rigiditate mare a asamblării şi o centrare

foarte precisă a acestora.

Porţiunile de reazem (fusurile) sunt

zonele de sprijin ale arborelui în lagărele cu rostogolire sau cu alunecare. De regulă, acestea sunt

dispuse în apropierea capetelor arborilor şi pot fi executate cu suprafeţe cilindrice, conice sau sferice.

Pentru lagărele cu rostogolire, fusurile se execută cilindrice relativ scurte – în cazul montării unui

singur rulment cu corpurile de rostogolire dispuse pe un rând, sau mai lungi – în cazul montării a doi

rulmenţi sau a unui rulment având corpurile de rostogolire dispuse pe două sau mai multe rânduri.

Diametrele acestor fusuri se aleg după diametrul interior al rulmentului. Uneori, fusurile arborelui se

Fig. 5.1 Părţile componente ale unui arbore


execută conice având conicitatea egală cu cea a alezajului rulmenţilor oscilanţi cu bile sau cu role butoi,

rumenţilor cu role cilindrice de mărime mare etc.

Pentru lagărele cu alunecare, fusurile se execută cilindrice, conice sau sferice, cele mai utilizate fiind

fusurile cilindrice care au diametrul mai mic decât al treptei alăturate, pentru simplificarea montajului şi

pentru obţinerea de umeri de sprijin pentru fixarea axială a lagărelor. Fusurile conice se folosesc pentru a

avea posibilitatea reglării jocului din lagăr – prin deplasarea axială a arborelui – iar cele sferice doar în

cazul unor arbori elastici, cu deformaţii de încovoiere foarte mari.

Clasificarea arborilor şi osiilor, pe baza principalelor criterii de clasificare, este prezentată în tabelul

5.1 [23].

Tabelul 5.1

Criteriul de clasificare Tipul arborilor

Forma axei geometrice Arbori drepţi Arbori cotiţi Arbori flexibili

Destinaţia Arbori de transmisie Arbori principali ai maşinilor unelte

Secţiunea arborelui pe

lungime Arbori cu secţiune constantă

Arbori cu secţiune variabilă în

trepte

Forma secţiunii transversale Arbori cu secţiune plină Arbori cu secţiune tubulară

Forma suprafeţei exterioare Arbori netezi Arbori canelaţi

Rigiditatea Arbori rigizi Arbori elastici

Numărul reazemelor Arbori static determinaţi

(cu două reazeme)

Arbori static nedeterminaţi

(cu mai mult de două reazeme)

Poziţia axei geometrice Arbori orizontali Arbori înclinaţi Arbori verticali

Criteriul de clasificare Tipul osiilor

Natura mişcării Osii fixe Osii rotitoare

Forma axei geometrice Osii drepte Osii curbate

Forma secţiunii transversale Osii cu secţiunea plină Osii cu secţiunea tubulară

Numărul reazemelor Osii static determinate

(cu două reazeme)

Osii static nedeterminate

(cu mai mult de două reazeme)

Poziţia axei geometrice Osii orizontale Osii înclinate sau verticale

Observaţie: Cu caractere aldine s-au notat arborii şi osiile care vor fi tratate în acest curs


Arborii drepţi sunt frecvent utilizaţi în transmisiile mecanice, secţiunea transversală a acestora, pe

lungime, putând fi constantă (fig.5.2, a) sau variabilă (fig. 5.2, b…e), depinzând de repartiţia sarcinilor

(momente de torsiune, momente de încovoiere, forţe axiale etc.) în lungul axei lor şi de tehnologia de

execuţie şi de montaj aleasă. Arborii cu secţiune constantă se utilizează când sunt solicitaţi numai la

torsiune, momentul de torsiune fiind constant pe întreaga lungime a arborelui. Când arborii sunt solicitaţi

la torsiune şi încovoiere, se utilizează secţiunea variabilă în trepte, aceasta asigurând următoarele

avantaje: apropierea arborelui de o grindă de egală rezistenţă la încovoiere, prezenţa unor umeri de

sprijin pentru fixarea axială a organelor de maşini susţinute, montajul uşor al acestor organe de maşini

fără deteriorarea altor suprafeţe ale arborelui. În cazul arborilor de dimensiuni mari, unele trepte de

trecere se execută conice, arborele

apropiindu-se şi mai mult de o grindă de

egală rezistenţă la încovoiere,

Arborii netezi (fig. 5.2, b) se

folosesc în construcţia reductoarelor, iar

arborii canelaţi (fig. 5.2, c) se folosesc în

construcţia cutiilor de viteze, a cutiilor de

distribuţie, a diferenţialelor

autovehiculelor etc.

Arborii tubulari (fig. 5.2, d) se

folosesc când se impun condiţii severe

de greutate (când diametrul interior al

arborelui tubular este jumătate din cel

exterior, greutatea acestuia se

micşorează cu 25%, iar rezistenţa la

încovoiere cu numai 6,25% [16]) sau

atunci când este necesară trecerea prin

arbore a unui alt arbore (exemple: arborii

coaxiali ai unor cutii de viteze planetare;

arborii cutiilor de viteze cu axe fixe ale unor

a

b

Fig. 5.3 Osii

a

b

c

d Fig. 5.2 Arbori drepţi


tractoare prin interiorul cărora trece arborele prizei de putere).

Principalele domenii de folosire a arborilor drepţi sunt: reductoarele de turaţii cu axe fixe,

transmisiile automobilelor, tractoarelor, maşinilor agricole, utilaje tehnologice, maşinilor unelte, toate

transmisiile cu angrenaje etc.

Osiile fixe pot fi cu axa geometrică dreaptă (fig. 5.3, a) sau curbată şi se întâlnesc la maşini de

ridicat, la susţinerea roţilor intermediare, respectiv la punţile nemotoare ale autovehiculelor. Osiile

rotitoare (fig. 5.3, b) au, de regulă, axa geometrică dreaptă şi secţiunea aproape constantă pe toată

lungimea şi se rotesc împreună cu organele de maşini susţinute. Se întâlnesc, cu precădere, la

vagoanele de cale ferată.

5.1. MATERIALE ŞI TEHNOLOGIE

Materialele din care se execută arborii drepţi şi osiile se aleg funcţie de condiţiile de rezistenţă şi

rigiditate impuse, de natura organelor de maşini susţinute şi de tipul lagărelor (cu alunecare sau cu

rostogolire).

Arborii drepţi şi osiile se execută, de regulă, din oţeluri carbon sau aliate, iar în cazul unor dimensiuni

foarte mari din fontă. Oţelurile aliate se recomandă în cazul când pinionul este executat din astfel de

oţeluri şi este corp comun cu arborele, la turaţii de funcţionare foarte ridicate, în cazul arborilor puternic

solicitaţi şi cu restricţii de gabarit, la osiile autovehiculelor etc.

Pentru arborii drepţi şi osii, se recomandă:

• oţeluri de uz general pentru construcţii (OL 42, OL 50, OL 60 STAS 500/2), pentru arborii care nu

necesită tratament termic;

• oţeluri carbon de caliate de îmbunătăţire (OLC 45, OLC 60 STAS 880) sau oţeluri aliate de

îmbunătăţire (40 Cr 10, 41 CrNi 12 etc. STAS 791), pentru arbori puternic solicitaţi şi/sau durată

mare de funcţionare impusă lagărelor sau canelurilor;

• oţeluri carbon de calitate de cementare (OLC 10, OLC 15 STAS 880) sau oţeluri aliate de

cementare (13 CrNi 30, 28 TiMnCr 12 etc. STAS 791), pentru arbori puternic solicitaţi şi pentru

arbori care funcţionează la turaţii ridicate.

Semifabricatele pentru arbori şi osii pot fi: bare laminate, pentru diametre sub 140 mm; bare laminate

cu forjare ulterioară; bare laminate cu matriţare ulterioară, în cazul producţiei de de serie mare;


semifabricate turnate, în cazul arborilor şi osiilor de dimensiuni foarte mari. Execuţia arborilor din bare

laminate cu forjare sau matriţare ulterioară conduce la obţinerea unui semifabricat apropiat de forma

finală a arborelui – cu importante economii de material, manoperă şi energie – şi la realizarea unui fibraj

continuu care urmăreşte forma arborelui, cu efect direct asupra măririi rezistenţei acestuia.

Tehnologia de fabricaţie a arborilor şi osiilor constă în: strunjirea suprafeţelor cilindrice sau conice şi

a filetelor, frezarea canalelor de pană sau a canelurilor – operaţii executate înainte de tratamentul termic

– rectificarea fusurilor, a porţiunilor de calare, a suprafeţelor canelurilor – operaţii executate după

tratamentul termic.

Tratamentele termice sau termochimice aplicate depind de materialul din care se execută arborii,

putând fi: îmbunătăţire sau îmbunătăţire şi călire superficială a fusurilor, canelurilor, porţiunilor de calare

etc.; cementare urmată de călire a fusurilor, porţiunilor de calare şi a canelurilor; nitrurare etc.

Protejarea arborilor navali ce lucrează în medii puternic corozive (placări cu fibra de sticlă, cu

vopseluri şi materiale speciale.

5.2. STABILIREA PUNCTELOR DE APLICAŢIE ALE FORŢELOR ŞI MOMENTELOR CARE

ECHIVALEAZĂ LEGATURILE ARBORILOR CU ORGANELE FIXATE PE ELE ŞI ALE

REACŢIUNILOR DIN LAGĂRE

5.2.1. Stabilirea punctelor de aplicaţie ale forţelor şi momentelor care echivalează legaturile arborilor

cu organele fixate pe ele

Asupra unui arbore acţionează forţe – provenite de la roţile de transmisie montate pe acesta (roţi

dinţate, roţi de curea, roţi de lanţ etc.) sau de la manivelele unor mecanisme – numite forţe exterioare.

Aceste forţe acţionează în plane normale pe axa arborelui sau în plane axiale fiind paralele cu axa

arborelui. Forţele normale sunt forţele tangenţiale şi radiale din angrenaje, forţele din transmisiile prin

curele sau lanţ, forţele din manivelele mecanismelor etc. şi se transmit arborelui prin contactul dintre

butuc şi arbore. Forţele axiale provin în general din angrenaje (forţele axiale care apar la angrenajele

cilindrice cu dantură înclinată, conice, melcate etc.) şi se transmit arborelui prin intermediul umerilor sau a

unor inele de sprijin.


Forţele exterioare acţionează asupra

arborilor într-un singur plan – forţele din

transmisiile prin curea sau prin lanţ – sau în două

plane perpendiculare – forţele din angrenaje

(forţele tangenţiale acţionează într-un plan, iar

forţele radiale şi cele axiale în celălalt plan).

Relaţiile de determinare a mărimilor forţelor

exterioare sunt prezentate la capitolele respective

(angrenaje, transmisii prin curele, transmisii prin lanţ etc.) [5, 11]. Pe lângă mărimea forţelor exterioare,

pentru întocmirea schemei de calcul al arborelui, interesează şi punctul de aplicaţie al acestor forţe.

Forţele exterioare se transmit acestuia prin presiuni de contact, cu distribuţie neuniformă, între

arbore şi organele de maşini susţinute de acesta. Pentru simplificarea calculelor, aceste presiuni se

înlocuiesc cu forţe concentrate, care sunt

chiar forţele exterioare. Modul de stabilire a

punctelor de aplicaţie a sarcinilor exterioare,

pentru calcule uzuale, este prezentat în [23]:

fig.5.5, pentru o roată de curea sau de lanţ;

fig. 5.6, pentru roţi dinţate cilindrice cu

dantură dreaptă (a) sau înclinată (b); fig. 5.7,

pentru o roată cu dantură conică.

Pentru calcule mai precise, forţele

exterioare normale pe axa arborelui se pot

modela prin două sarcini concentrate, de mărime egală cu 0,5 din valoarea forţei exterioare, dispuse

fiecare la distanţa (0,2…0,3) din lăţimea roţii faţă de lagăre.

Fig. 5.5 Forţe exterioare provenite de la roţi de curea sau lanţ

Fig. 5.6 Forţe exterioare provenite de la Fig. 5.7 Forţe exterioare provenite

roţi dinţate cilindrice de la roţi dinţate conice


5.2.2. Stabilirea punctelor de aplicaţie ale reacţiunilor din lagăre

Pe lângă forţele exterioare, asupra unui arbore dintr-o transmisie mecanică acţionează şi forţe de

reacţiune (reacţiunile din lagăre). Aceste forţe sunt, de fapt, rezultantele presiunii de contact – cu

distribuţie neuniformă – dintre fusurile arborelui şi lagărele acestuia. Pentru simplificarea calculelor,

aceste presiuni se înlocuiesc cu forţe concentrate (reacţiuni în lagăre).

Determinarea mărimii reacţiunilor din reazeme se face funcţie de schema de încărcare a arborelui cu

forţe exterioare şi de distanţele dintre forţele exterioare şi dintre acestea şi reacţiunile din lagăre.

Stabilirea distanţelor se face funcţie de punctele de aplicaţie ale forţelor exterioare, dar şi de punctele de

Fig. 5.10 Punct de aplicaţie a

reacţiunii pentru doi rulmenţi radiali

montaţi în acelaşi lagăr

Fig. 5.11 Puncte de aplicaţie ale reacţiunilor pentru doi rulmenţi radial-axiali montaţi în acelaşi lagăr

Fig. 5.8 Puncte de aplicaţie ale reacţiunilor Fig. 5.9 Puncte de aplicaţie ale reacţiunilor pentru rulmenţii radiali pentru rulmenţii radial-axiali


Fig. 5.12 Punct de aplicaţie a

reacţiunii pentru lagăre cu

alunecare

aplicaţie ale reacţiunilor din cuple, care sunt funcţie de tipul lagărului. Modul

de stabilire a punctelor de aplicaţie ale reacţiunilor în funcţie de tipul

lagărului – cu rostogolire sau cu alunecare – este prezentat în: fig. 5.8,

pentru rulmenţi radiali cu bile sau cu role cilindrice, dispuse pe un rând; fig.

5.9, pentru rulmenţi radial-axiali cu bile sau cu role conice dispuse pe un

rând; fig. 5.10, pentru doi rulmenţi radiali cu bile montaţi în acelaşi lagăr; fig.

5.11, pentru doi rulmenţi radiali-axiali cu bile sau cu role conice, dispuşi în

“X” (aranjament DF, spate în spate), în “O” (aranjament DB, faţă în faţă) sau

în tandem (aranjament DT); fig. 5.12, pentru un lagăr cu alunecare.

Lăţimile rulmenţilor B (v. fig. 5.10) şi distanţa de la marginea rulmentului la punctul de aplicaţie a

reacţiunii a (v. fig. 5.9 şi 5.11) se iau din catalogul de rulmenţi, iar distanţa a2 (v. fig. 5.11) se determină

constructiv funcţie de distanţa a şi de lăţimea inelelor distanţiere dintre rulmenţi.

Distanţa a1 (v. fig. 5.11), care stabileşte deplasarea axială a punctului de aplicaţie a reacţiunii, în

cazul montării rulmenţilor radial-axiali cu bile sau cu role conice dispuşi în O (aranjament DB, faţă în faţă),

se determină, pe baza figurii 5.13, după indicaţiile date în continuare.

• Se întocmeşte schema de calcul considerând că punctul de aplicaţie al reacţiunii '

BR este la

mijlocul distanţei dintre rulmenţi (punctul B’ din fig. 5.14, a).

• Se întocmeşte schema de calcul prin încărcarea arborelui cu forţele exterioare în cele două

plane, orizontal (H) şi vertical (V). Se determină mărimile reacţiunilor '

BHR , respectiv '

BVR din

cele două plane caracteristice şi apoi reacţiunea din punctul B’, ( ) ( )2'2

''

BVBHBRRR += .

• Se determină forţa axială suplimentară Y

RF

B

a

'

'5,0= , Y fiind factorul axial care se ia din

catalogul de rulmenţi.

• În funcţie de tipul rulmenţilor radial-axiali, cu bile sau cu role conice, şi de raportul '

aaFF , din

fig. 5.13 [110] se determină raportul 21

aa şi cunoscând distanţa a2, se calculează distanţa a1.

• Se determină distanţa 1

'all −= stabilindu-se poziţia punctului de aplicaţie al reacţiunii RB. Cu

distanţa dintre reacţiuni, se recalculează reacţiunile RA şi RB.


Fig. 5.14 Schema de calcul a reacţiunilor din lagăre, pentru un montaj care cuprinde rulmenţi radial-axiali

în aranjament DB, sau ,,X’’


5.3. CALCULUL ARBORILOR

5.3.1. Solicitările arborilor şi ciclurile de variaţie ale acestora

Sub acţiunea forţelor exterioare şi a momentelor de torsiune pe care le transmit, arborii sunt solicitaţi

la torsiune, încovoiere şi tracţiune sau compresiune. Aceste solicitări acţionează simultan, deci arborii

sunt supuşi la solicitări compuse. Ca urmare a acestor solicitări, în interiorul arborelui apar tensiuni

interne – normale sau tangenţiale – şi tensiuni de suprafaţă – de strivire – între arbore şi organele de

maşini susţinute.

Principalele solicitări sunt solicitarea de torsiune şi cea de încovoiere. Aceste solicitări pot duce la

ruperea statică a arborilor, iar variaţia acestora după cicluri de solicitare diferite pot duce la ruperea

arborelui prin oboseala materialului, în zonele cu concentratori de tensiune.

5.3.1.1. Solicitări variabile ale arborilor funcţionând în regim staţionar

Acest regim este cel mai frecvent întâlnit, care generează fenomenul de oboseală a materialului

arborelui datorită duratelor de timp de functionare mari şi foarte mari. În acest regim, turaţia si sarcinile

ca mărimi vectoriale ce solicit arborele sunt relative constante, sau variaţiile nesenmificative valoric şi

ca durată.

În fig.5.15. sunt descrise două situatiifrecvent întâlnite in practică. In cazul a, este cazul de

funcţionare a arborilor dublu rezemaţi, solicitaţi de o forţă radială constantă în direcţie sens şi modul.

a

b

Fig. 5.15 Variaţia tensiunilor de încovoiere datorită rotaţiei arborelui


Conform figurii, arborele suferă o încovoiere, în urma căreia, în condiţii statice, fibra periferică

superioară A a arborelui, este supusă compresiunii, iar fibra inferioară B, la întindere. La o rotaţie cu

180 de grade a arborelui, fibra A a materialului trece de la o compresie maximă, la o întindere maximă,

iar fibra B invers. Ciclul acesta se repetă pe totă durata cînd arborele se roteşte cu o anumită turaţie. În

acest regim funcţionează arborii reductoarelor de turaţie, cutiilor de viteze, de distribuţie şi transmisiile

centrale ale autovehiculelor, transmisiilor maşinilor unelte, axele cu came etc. Ca urmare a acestui mod de

funcţionare, tensiunea de încovoiere variază după un ciclu alternant simetric (fig. 5.15), iar fibrele arborelui

sunt supuse alternativ la compresiune (fibra A) sau la tracţiune (fibra B).

În cazul solicitărilor compuse întâlnite în cazul arborilor, tensiunile de torsiune, pot fi constante

(exemplu: arborii transmisiilor de acţionare a ventilatoarelor şi pompelor de debit şi presiune constante,

cu rare întreruperi în funcţionare) sau variabile, după un ciclu variabil (exemplu: arborii transmisiilor

care funcţionează cu încărcări şi descărcări frecvente sau cu opriri dese) sau alternant simetric

(exemplu: arborii amplasaţi după cutia de viteze din transmisiile tractoarelor industriale sau de

îmbunătăţiri funciare, tractoare care funcţionează cu schimburi frecvente ale sensului de deplasare,

înainte şi înapoi), sau alternant asimetric in cazul axelor cu came ale motoarelor cu ardere internă.

În cazul din fig.515b, ete cazul unei roţi dinţate cu dantură înclinată, montată încastrată în

capătul arborelui respectiv. Se observă că, de această dată sensul de rotaţie modifică regimul de oscilaţie

al stării de solicitare al fibrelor arborelui, conform cu stările de tensiuni reprezentate grafic.


5.3.1.2. Aspecte ale efectelor solicitarilor la oboseală si concentratorilor de efort, asupra

structurii arborilor

Schiţele ciclurilor de variaţie a tensiunilor de încovoiere şi de torsiune şi caracteristicile acestor cicluri

sunt prezentate în tabelul 5.1

tabelul 5.1

5.3.2. Calculul de rezistenţă al arborilor

Pentru a prelua tensiunile de interior (de torsiune şi de încovoiere) diversele diametre ale arborelui

se determină din condiţii de rezistenţă sau din condiţii constructive. Pentru a rezista la solicitări variabile

(oboseală), datorită variaţiei tensiunilor de încovoiere şi/sau de torsiune, secţiunile cu concentratori de

tensiuni se verifică prin calcule la solicitări variabile.

În continuare, se prezintă etapele şi recomandările pentru calculul arborilor.

5.3.2.1. Calculul de predimensionare

Predimensionarea are drept scop determinarea preliminară a diametrului arborelui, necesar la

întocmirea schemei subansamblului arbore – organe de maşini susţinute şi de rezemare şi la întocmirea

schemei de calcul la solicitări compuse. Predimensionarea se face din condiţia de rezistenţă la solicitarea


de torsiune, utilizând o rezistenţă admisibilă convenţională, care prin valorile reduse acceptate

evidenţiază faptul că arborele este solicitat şi la încovoiere.

În cazul arborilor plini, diametrul se determină cu relaţia

33

2,0

16

at

t

at

tMM

dτ

≈

πτ

= , (5.1)

iar în cazul arborilor tubulari, cu relaţia

34

13

4

1 12,01

16

at

t

at

t

d

d

M

d

d

Md

τ

−

≈

τ

−π

= , (5.2)

alegându-se, iniţial, raportul dintre diametrul interior d1 şi cel exterior d al arborelui din intervalul

8,0...3,01=dd [16]. Diametrele obţinute se rotunjesc la valori întregi.

Tensiunea admisibilă convenţională se alege din intervalul 50...10=τat

MPa, valorile mai mari

se recomandă în cazul arborilor scurţi, iar valorile mai mici în cazul arborilor lungi. În cazul unor arbori

foarte rigizi şi la care deformaţiile de încovoiere nu conduc la funcţionări incorecte ale ansamblului

respectiv (de exemplu, arborele de ieşire din reductoarele cu două sau trei trepte), se pot lua şi valori mai

mari pentru rezistenţa admisibilă convenţională la torsiune, 55...50=τat

MPa. Pentru arborii

reductoarelor cu două trepte, se recomandă următoarele valori pentru rezistenţele admisibile

convenţionale la torsiune: 15...10=τat

MPa, pentru arborele de intrare; 35...20=τat

MPa, pentru

arborele intermediar; 55...40=τat

MPa, pentru arborele de ieşire.


5.3.2.2. Calculul la solicitări compuse

Pentru calculul la solicitări compuse, arborele trebuie reprezentat sub formă unei grinzi, pe două

reazeme, încărcată cu forţele exterioare provenite de la organele de maşini susţinute de acesta.

Pentru a întocmi această schemă de calcul, este necesar să se realizeze schiţa subansamblului

arbore – organe de maşini susţinute – lagăre cu rulmenţi, schiţă care se întocmeşte numai după ce

Fig. 5.16 Schiţa subansamblului arborilor de intrare şi intermediar ai unui reductor cilindric cu două

trepte


s-a efectuat calculul angrenajelor, s-au ales preliminar rulmenţii şi sistemul de etanşare. La

întocmirea schiţei subansamblului (spre exemplificare, în fig. 5.16 se prezintă arborii de intrare şi

intermediar ai unui reductor cilindric orizontal cu două trepte) se ţine seama de următoarele:

� diametrul obţinut la predimensionare este diametrul porţiunii de calare a roţii, pentru arborele

intermediar şi cel de ieşire, şi diametrul de lângă pinion pentru arborele de intrare;

� la stabilirea diametrelor treptelor arborelui se ţine seama de mărimea umerilor de sprijin pentru

organele de maşini susţinute (roţi dinţate, roţi de curea, roţi de lanţ, semicuplaje etc.), de

diametrul impus de sistemul de etanşare (ales din standardul etanşării respective), de diametrele

interioare ale rulmenţilor (alese din catalogul de rulmenţi);

lungimile diferitelor porţiuni ale arborelui se stabilesc ţinând seama de lăţimile roţilor dinţate (stabilite

din calculul de rezistenţă al angrenajelor celor două trepte), lăţimile sistemului de etanşare şi ale

rulmenţilor, precum şi distanţele;

� dintre roţi sau dintre roţi şi marginile carcasei etc.

Pe baza schemei din fig. 5.16, rezultă distanţele dintre punctele de aplicaţie ale forţelor exterioare şi

dintre acestea şi punctele de aplicaţie ale reacţiunilor din lagăre, pentru arborele intermediar: în care T şi

a sunt dimensiuni ale rulmenţilor, alese din catalogul de rulmenţi, funcţie de tipodimensiunea rulmenţilor;

x = 0…5 mm, distanţa dintre marginea interioară a carcasei şi rulmenti; y = 5…10 mm, distanţa dintre roţi

şi marginea interioară a carcasei; z = 10…15 mm, respectiv z = 40…50 mm, distanţa dintre două roţi,

pentru un reductor obişnuit, respectiv pentru un reductor coaxial. Rezultă lungimea dintre punctele de

aplicaţie ale reacţiunilor din lagăre, egală cu lungimea de calcul a arborelui 321llll ++= .

Schema de calcul la solicitări compuse se obţine prin încărcarea grinzii cu forţele exterioare şi

cele din reazeme (reacţiuni). Pentru un arbore dintr-o transmisie cu roţi dinţate, forţele din angrenaje

acţionează în două plane, orizontal şi vertical, rezultând două scheme de calcul. Pentru arborele

intermediar al unui reductor cu două trepte, cilindric orizontal, schema de calcul este prezentată în fig.

5.17 (grinzile încărcate cu forţele exterioare care acţionează asupra roţii conduse a treptei I (indice 2),

respectiv forţele exterioare care acţionează asupra pinionului treptei a II-a (indice 3), schemele de calcul

cu reacţiunile din lagăre (indice H, pentru planul orizontal, respectiv indice V, pentru planul vertical),

diagramele de momente încovoietoare în cele două plane). Forţele axiale din lagăre produc momente

încovoietoare concentrate, determinate cu relaţiile

2;

2

3

33

2

22

w

ai

w

ai

dFM

dFM == . (5.4)


În cazul în care asupra capetelor arborilor de intrare sau de ieşire acţionează forţe provenite din

transmisii prin curele sau prin lanţ, arborii trebuie încărcaţi şi cu aceste forţe, corespunzător planului şi

sensului de acţionare a forţei respective.

După întocmirea schemei de calcul, se trece la determinarea reacţiunilor. Iniţial, se determină

reacţiunile din cele două plane, orizontal şi vertical, prin scrierea ecuaţiilor de momente în cele două

lagăre.

Fig. 5.17 Schema de calcul la solicitări compuse pentru arborele intermediar al unui reductor cu două

trepte, cilindric obişnuit

Ecuaţia de momente în punctul D, pentru planul orizontal, este

( ) 0122333=++−−+ lFMllFMlR

ririCH, (5.5)

rezultând reacţiunea din lagărul C

l

MM

l

lF

l

llFR

ii

rrCH

321

2

3

3

+

−−

−

= , (5.6)

iar ecuaţia de momente în punctul C, pentru acelaşi plan orizontal, este

( ) 0333122=++−−+− lFMllFMlR

ririDH, (5.7)


rezultând reacţiunea din lagărul D

l

MM

l

llF

l

lFR

ii

rrDH

321

2

3

3

+

+

−

−= . (5.8)

Procedând în mod analog, rezultă reacţiunile în lagărele C şi D în plan vertical

.

;

1

2

3

3

1

2

3

3

l

llF

l

lFR

l

lF

l

llFR

ttDV

ttCV

−−=

+

−

=

(5.9)

Reacţiunile totale din lagărele C şi D se obţin prin însumarea geometrică a reacţiunilor din cele

două plane, orizontal şi vertical, rezultând

;22

CVCHCRRR +=

22

DVDHDRRR += . (5.10)

Acestea sunt forţele radiale cu care se vor calcula rulmenţii din cele două lagăre.

Din echilibrul axial al arborelui, rezultă reacţiunea axială care acţionează în lagărul D

23 aaDaFFF −= . (5.11)

În continuare, se trasează diagrama forţelor axiale şi diagrama de momente încovoietoare – în

planul orizontal – diagrama de momente de torsiune şi diagrama de momente încovoietoare – în planul

vertical (v. fig. 5.17) şi se stabilesc secţiunile periculoase ( secţiunile 2 şi 3 ale arborelui intermediar

reprezentat în fig. 5.17).

Solicitările din cele două secţiuni periculoase 2 şi 3 sunt:

• compresiune dată de forţa Fa3, tensiunile produse fiind

2

3

3

32

2

3

2

4;

4

d

F

d

Fa

c

a

c

π

=σ

π

=σ ; (5.12)

• torsiune dată de momentul de torsiune Mt

3

3

23

2

2

16;

16

d

M

d

M

W

M t

t

t

p

t

tπ

=τ

π

==τ ; (5.13)

• încovoiere dată de momentele încovoietoare maxime, obţinute prin însumarea geometrică a

momentelor încovoietoare maxime din cele două plane, orizontal şi vertical; rezultând

3

2

max2

2

2

max2

2

max2max2

16;

d

M

W

MMMM

i

z

i

iViHii

π

==σ+= , (5.14)

pentru secţiunea 2, respectiv

3

3

max3

3

2

max3

2

max3max3

16;

d

MMMM

i

iViHii

π

=σ+= . (5.15)


Acţionând simultan cele două tensiuni, normale şi tangenţiale, calculul la solicitări compuse constă în

determinarea unei tensiuni echivalente

( ) ( )22

, 4tctie

ατ+σ+σ=σ (5.16)

unde α este un coeficient prin care ciclul de variaţie al tensiunii de torsiune τt (constant, pulsator sau

alternant simetric) este echivalat cu ciclul de variaţie alternant simetric, caracteristic tensiunii de

încovoiere σi. Valorile coeficientului α se determină cu relaţia

IIIIIIai

IIIai

,,

σ

σ

=α , (5.17)

în care IIIIIIai ,,

σ reprezintă rezistenţa admisibilă la încovoiere a materialului arborelui după ciclul

constant (I), pulsator (II) sau alternant simetric (III). Valori orientative pentru rezistenţele admisibile la

încovoiere, pentru arbori din oţel, pentru cele trei cicluri de solicitare, se dau în lucrările [6, 14, 23].

Cu tensiunile stabilite, se poate verifica arborele la solicitări compue sau se poate redimensiona

arborele.

• Pentru verificarea arborelui la solicitări compuse, în secţiunile periculoase, trebuie să se

îndeplinească condiţia

IIIaieσ≤σ . (5.18)

Dacă nu se îndeplineşte această condiţie sau dacă diferenţa dintre aceste tensiuni este prea

mare, se recomandă dimensionarea arborelui la solicitări compuse.

• Pentru dimensionarea arborelui la solicitări compuse, se impune condiţia IIIaie

σ=σ şi ţinând

seama că zpWW 2= şi considerând σtc = 0, se obţine modulul de rezistenţă necesar la

încovoiere

( )IIIai

red

ti

IIIai

znec

MMMW

σ

=α+

σ

=22

max

1, (5.19)

respectiv diametrul necesar al arborelui

33

1,0

32

IIIai

red

IIIai

red

nec

MMd

σ

≈

πσ

= . (5.20)

În funcţie de diametrul obţinut din calculul de dimensionare, se modifică dimensiunile arborelui.


5.3.2.3. Verificarea la solicitări variabile

Scopul calculului la solicitări variabile este de a evita ruperea arborilor prin oboseala materialului şi

constă în determinarea unui coeficient de siguranţa – în secţiunile în care există concentratori de tensiuni

(salturi de diametre, degajări, canale de pană, caneluri, filete, ajustaje presate etc.) – şi compararea

acestuia cu un coeficient de siguranţă considerat admisibil, determinat experimental.

Coeficienţii de siguranţă la oboseală se calculează în funcţie de solicitările arborilor din secţiunea cu

concentrator de tensiune după una din metodele elaborate în cadrul disciplinei de Rezistenţa Materialelor

(metoda Serensen, metoda Soderberg, metoda Buzdugan etc.). Cea mai utilizată este metoda

Serensen, pe baza căreia sunt prezentate relaţiile pentru calculul coeficienţilor de siguranţă la

oboseală:

a

v

k

cc ≥

σγε

β

σ=

σσ

σ

−

σ

1,

pentru secţiunile solicitate numai la încovoiere;




pentru secţiunile solicitate numai la încovoiere;



(5.21)


a

mv

k

cc ≥

τψ+τγε

β

τ=

τ

ττ

τ

−

τ

1 , unde 0

012

τ

τ−τ=ψ

−

τ, (5.22)

pentru secţiunile solicitate numai la torsiune;

ac

cc

cc

c ≥

+

=22

τσ

τσ , (5.23)

pentru secţiunile solicitate simultan la încovoiere şi torsiune, cσ şi cτ determinându-se cu relaţiile (5.21) şi

(5.22).

Semnificaţiile termenilor utilizaţi în relaţiile (5.21) şi (5.22) sunt prezentate în continuare.

� Tensiunile σ-1, σ0, τ -1 şi τ 0 reprezintă tensiunile de rupere prin oboseală pentru solicitarea de

încovoiere (σ) sau pentru cea de torsiune (τ ) corespunzătoare ciclului de solicitare alternant simetric (τ -

1) sau pulsator (τ 0), determinate în funcţie de materialul arborelui [7, 23].

� Tensiunile σv, σm, τ v şi τm (v. tabelul 5.2) sunt determinate de mărimea solicitării efective şi de

caracteristica ciclului de variaţie a acesteia.

� Coeficienţii βkσ, εσ şi γσ, respectiv βkτ, ετ şi γτ [7, 16, 23], sunt coeficienţi de corecţie care ţin

seama de faptul că tensiunile de oboseală, determinate pe epruvete standard, trebuie corectate în funcţie

de formele concrete ale arborelui – tipuri de concentratori, dimensiuni, calitate a suprafeţei şi tratament

termic diferite faţă de cele ale epruvetei. Coeficienţii de concentrare a tensiunii βkσ şi βkτ se aleg în funcţie

de tipul şi dimensiunile concentratorului de tensiuni (canal de pană, trecere de secţiune, filet etc) şi de

materialul arborelui. Coeficienţii dimensionali εσ şi ετ ţin seama de diametrul arborelui şi de materialul

acesuia. Coeficienţii de calitate a suprafeţei γσ şi γτ depind de modul de prelucrare a suprafeţei şi de

tratamentul termic aplicat.

Rezistenţa la oboseală a arborilor este dată de mărimea coeficientului de siguranţă determinat cu

una din relaţiile (5.21), (5.22) sau (5.23). Umărind aceste relaţii se poate observa că mărirea rezistenţei la

oboseală poate fi realizată prin: alegerea unui material cu caracteristici mecanice mai bune (prin

creşterea tensiunilor σ-1, σ0, τ -1 şi τ 0, sau prin micşorarea concentratorilor de tensiuni (modificarea

coeficienţilor βkσ, εσ şi γσ, respectiv βkτ, ετ şi γτ).

Cel mai întâlnit procedeu utilizat pentru mărirea rezistenţei la oboseală este micşorarea

concentratorului de tensiuni prin măsuri constructive.





În cazul trecerilor de diametre care nu sunt utilizate ca umeri de sprijin pentru organele de maşini montate

pe arbore, se recomandă [14, 23, 32, 33] următoarele soluţii (fig.5.18):

� rază de racordare cât mai mare (fig. 5.18, a), două raze de racordare diferite (fig. 5.18, b),

racordare de formă eliptică (fig. 5.18, c) în cazul arborilor foarte solicitaţi;

� teşirea capătului de diametru mai mare (fig. 5.18, d), teşire urmată de racordare (fig. 5.18, e) la

salturi mari de diametre;

� rază de racordare combinată cu canal de descărcare (fig. 5.18, f);

� gaură interioară în porţiunea de arbore cu diametru mai mare (fig. 5.18, g).

a b c

d e f g

Fig. 5.18 Măsuri constructive pentru reducerea concentratorului de tensiuni la trecere de

diametru fără rezemare

Dacă trecerea de diametru este utilizată pentru rezemarea axială a unor organe de maşini sau

dacă treapta de diametru mai mic trebuie rectificată, se recomandă una din următoarele soluţii:

� cu canal de trecere executat la capătul treptei cu diametru mai mic (fig. 5.19, a), dimensiunile

acestuia fiind b = 2,5…3 mm şi t = 0,25…0,5 mm, pentru d ≤ 50 mm, respectiv, b = 4…5 mm şi t

= 0,5…1 mm, pentru d > 50 mm, mărirea lăţimii b (fig. 5.19, b) reducând concentratorul de

tensiuni;

� cu degajare interioară în umărul de sprijin (fig. 5.19, c), mai greu de executat dar fără să reducă

diametrul treptei mici;

� cu canal de trecere combinat cu degajare interioară (fig. 5.19, d);

� cu rază de racordare căt mai mare (fig. 5.19, e şi f), caz în care alezajul piesei sprijinită axial

necesită o teşire sau o rază de racordare mărită, uneori utilizându-se piese intermediare (fig.

5.19, f).


a b c

d e f

Fig. 5.19 Măsuri constructive pentru reducerea concentratorului de tensiuni la trecere de

diametru, pentru umăr de sprijin

În cazul canalelor de pană sau a canelurilor practicate în arbori, se recomandă:

� canalele de pană să fie executate cu freză deget – cu capetele rotunjite (fig. 5.20, a), deoarece

reprezintă un concentrator de tensiuni mai redus decât canalele de pană executate cu freză disc

rotunjite (fig. 5.20, b);

� diametrul exterior al porţiunii canelate să fie egal cu diametrul arborelui (fig. 5.20, c), iar trecerea

de la partea canelată la cea necanelată să se facă prin raze mari de racordare.

a b c

Fig. 5.20 Forme constructive pentru canale de pană sau caneluri practicate în arbore

La marginile porţiunilor de sprijin al organelor de maşini, pe arbori apar concentrări de tensiuni care

pot fi diminuate prin următoarele măsuri constructive:

� mărirea diametrului porţiunii de sprijin (fig. 5.21, a);

� rotunjirea sau teşirea alezajului din butuc (fig. 5.21, b);

� executarea unor canale de degajare în arbore (fig. 5.21, c);

� mărirea elasticităţii butucului prin formele constructive prezentate în fig. 5.21, d sau e;

� combinarea unor soluţii prezentate anterior (fig. 5.21, f).


Toate măsurile prezentate anterior îmbunătăţesc rezistenţa la oboseală a arborilor prin micşorarea

coeficienţilor βkσ şi βkτ. Pentru mărirea rezistenţei la oboseală se mai poate acţiona, prin tratamente

mecanice, termice sau termochimice sau prin micşorarea rugozităţii suprafeţelor, pentru mărirea

coeficienţilor de calitate a suprafeţei γσ şi γτ.

a b c

d e f

Fig. 5.21 Măsuri constructive pentru reducerea concentratorului de tensiuni de la marginile

porţiunilor de sprijin, pe arbore

5.3.3. Verificarea arborelui la deformaţii

Sub acţiunea sarcinilor exterioare, arborii suferă deformaţii de încovoiere şi de torsiune. Calculul

arborelui la deformaţii este un calcul de verificare, efectuat în scopul preîntâmpinării funcţionării

necorespunzătoare a organelor de maşini susţinute şi a lagărelor.

Verificarea arborelui la deformaţii de încovoiere constă în stabilirea deformaţiilor efective (săgeţi în

dreptul forţelor exterioare şi unghiuri de rotire în lagăre) şi compararea acestora cu deformaţiile maxime

admise.

Deformaţiile se determină prin una din metodele cunoscute din Rezistenţa materialelor, metode

bazate pe ecuaţia fibrei medii deformate (integrarea analitică a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii

deformate, metoda grinzilor fictive, metoda ecuaţiei celor două rotiri şi a celor două săgeţi, metoda

ecuaţiei celor trei săgeţi) sau pe expresiile energiei de deformaţie, bazate pe ecuaţia Mohr-Maxwell,

teorema lui Castiliano, teorema lui Betti; metoda Mohr-Maxwell-Vereşceaghin etc.


În cazul în care forţele exterioare acţionează în două plane perpendiculare, se determină separat

deformaţiile din cele două plane, orizontal (δH, φH ) şi vertical (δV, φV ), deformaţiile totale obţinându-se

prin însumarea geometrică a deformaţiilor din cele două plane.

22

VHδ+δ=δ ; 22

VHϕ+ϕ=ϕ . (5.24)

Deformaţiile efective de încovoiere ale arborilor trebuie să fie mai mici decât deformaţiile admisibile

(δ ≤ δa; φ ≤ φa), care depind de condiţiile de funcţionare ale ansamblului din care face parte arborele.

Pentru evitarea modificării exagerate a jocurilor din angrenaje, săgeţile în dreptul roţilor dinţate se

limitează la valori admisibile δa = (0,01…0,03)m, unde m este modulul danturii. Pentru funcţionarea

corespunzătoare a lagărelor, unghiurile de rotire din lagăre se limitează la valorile admisibile dependente

de tipul lagărului (lagăr cu alunecare, lagăr cu rulmenţi radiali cu bile sau role cilindrice, lagăr cu rulmenţi

oscilanţi etc.).

Documents

Fenomenul de Oboseala in Cazul Arborilor Si Osiilor