DISEÑO DE MECANISMOS FLEXIBLES USANDO EL METODO DE OPTIMIZACION TOPOLOGICA

FERNANDO TAMAYO POTES

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE ENERGETICA Y MECANICA PROGRAMA DE INGENIERIA MECANICA

SANTIAGO DE CALI 2013

DISEÑO DE MECANISMOS FLEXIBLES USANDO EL METODO DE OPTIMIZACION TOPOLOGICA

FERNANDO TAMAYO POTES

Proyecto de grado para optar al titulo de Ingeniero mecánico

Director EDIGUER ENRIQUE FRANCO GUZMAN

Doctor en Ciencias

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE ENERGETICA Y MECANICA PROGRAMA DE INGENIERIA MECANICA

SANTIAGO DE CALI 2013

3

Nota de aceptación:

Aprobado por el comité de grado en cumplimiento de los requisitos exigidos por la Universidad Autónoma de Occidente para optar al titulo de Ingeniero mecánico. Ing. MAURICIO BARRERA Jurado Ing. EMERSON ESCOBAR Jurado

Santiago de Cali, 13 de Marzo de 2013

4

AGRADECIMIENTOS

A mis abuelos por haberme apoyado en todo momento, por su motivación, que permitieron convertirme en una persona de bien. A mis familiares y a todos aquellos que participaron directa o indirectamente en la elaboración de esta tesis.

Y a todos mis profesores por impulsar mi formación profesional, en especial al Doctor Ediguer E. Franco Guzmán, por compartir sus conocimientos, experiencia, parte de su valioso tiempo en la elaboración de este proyecto.

5

CONTENIDO

Pág. RESUMEN 11 INTRODUCCION 13 1. OPTIMIZACION TOPOLOGICA 16 1.1 TIPOS DE OPTIMIZACION 16 1.2 OPTIMIZACION TOPOLOGICA DE ESTRUCTURAS CONTINUA S 17

1.3 OPTIMIZACION TOPOLOGICA DE ESTRUCTURAS DISCRETA S 17

1.4 CONCEPTOS DEL METODO DE OPTIMIZACION TOPOLOGICA 18

1.4.1 Dominio extendido fijo 18 1.4.2 Parametrizacion del diseño 18

1.5 METODO DE DENSIDADES 19 1.6 DEFINICION DEL PROBLEMA 20

2. FORMULACION DEL PROBLEMA DE ELEMENTOS FINITOS 23 2.1 TENSION PLANA 23 2.2 DEFORMACION PLANA 24

2.3 ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS 25

2.4 DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO 28

2.5 RELACION DEFORMACION-DESPLAZAMIENTOS NODALES 31

6

2.6 RELACION TENSION-DESPLAZAMIENTOS NODALES 33

2.7 RELACION FUERZA-DESPLAZAMIENTOS NODALES 34

3. IMPLEMENTACION NUMERICA 37 3.1 MATRIZ DE RIGIDEZ 37 3.2 PROGRAMACION LINEAL SECUENCIAL 39

3.3 FILTRO 42

4. RESULTADOS 44 4.1 VARIACION DE LA FRACCION DE VOLUMEN 44 4.2 EJEMPLO DE MECANISMOS FLEXIBLES 47 4.2.1 Mecanismos con zona no optimizable 47 4.2.2 Mecanismos tipo pinza 48 4.2.3 Mecanismo inversor 49 4.2.4 Mecanismo tipo pinza invertida 51 4.2.5 Mecanismo tipo pinza con fuerza en el medio 5 2 4.3 ANALISIS DEL DESPLAZAMIENTO DE SALIDA 53 4.4 OTROS RESULTADOS 56 5. PROTOTIPOS 58 6. CONCLUSIONES 61 7. TRABAJOS FUTUROS 62 BIBLIOGRAFIA 63

7

ANEXOS 67

8

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Problema de diseño básico de mecanismos f lexibles; Invertir el desplazamiento. Izquierda: El problema de diseño básico y a la derecha: Modelo resorte y carga para el actuad or de entrada y la pieza. 14 Figura 2. Tipos de optimización topológica (a) Opti mización paramétrica (b) Optimización de forma (c) Optimizac ión topológica. 16 Figura 3. Estado de tensión plana. 23 Figura 4. Estado de deformación plana. 24 Figura 5. Elemento rectangular de cuatro nodos a) C aso regular y b) Caso irregular. 25 Figura 6. Sistema de coordenadas elemento rectangul ar de cuatro nodos. 26 Figura 7. Elemento rectangular de cuatro nodos: (a) desplazamientos nodales (b) fuerzas nodales. 26 Figura 8. Problema de elementos finitos. 37 Figura 9. Radio de influencia del filtro ���� = � (izquierda) y ���� =�. derecha). 43 Figura 10. Topología del mecanismo de la pinza con diferentes valores de volumen de fracción. 45

Figura 11. Dominio inicial del mecanismo con zona n o optimizable. 47

Figura 12. Topología obtenida del mecanismo con zon a no optimizable. 47

Figura 13. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza . 48

9

Figura 14. Mecanismo tipo pinza: (a) Topología obte nida y (b) mecanismo deformado. 49

Figura 15. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza . 50

Figura 16. Mecanismo inversor: (a) topología obteni da (b) mecanismo deformado. 50

Figura 17. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza invertida. 51

Figura 18. Mecanismo tipo pinza invertida: (a) topo logía obtenida y (b) mecanismo deformado. 52

Figura 19. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza con fuerza aplicada en el medio. 52

Figura 20. Mecanismo tipo pinza con fuerza aplicada en el medio: (a) topología obtenida y (b) mecanismo deformado. 53

Figura 21. Desplazamientos de entrada vs salida. 54

Figura 22. Desplazamientos del mecanismo inversor c on un desplazamiento de entrada de 1 mm. 55

Figura 23. Desplazamientos del mecanismo inversor c on un desplazamiento de entrada de 10 mm. 56

Figura 24. Distribución de esfuerzos (Von mises) de l mecanismo inversor. 57

Figura 25. Distribución de esfuerzos (Von mises) de l mecanismo tipo pinza con fuerza aplicada en el medio. 57

Figura 26. Distribución de esfuerzos (Von mises) de l mecanismo tipo pinza. 58

Figura 27. (a) Vectorizacion de la topología del me canismo tipo pinza (b) Prototipo del mecanismo tipo pinza. 59

Figura 28. (a) Vectorizacion de la topología del me canismo inversor (b) Prototipo del mecanismo inversor. 59

Figura 29. (a) Vectorizacion de la topología del me canismo tipo pinza invertida (b) Prototipo del mecanismo tipo pi nza invertida. 60

10

LISTA DE ANEXOS

Anexo A. Código 67

11

RESUMEN

En este trabajo se hace un análisis de la síntesis de mecanismos flexibles usando el método de la optimización topológica (OT). La OT es un método relativamente nuevo que mezcla elementos finitos y algoritmos numéricos de optimización no lineal y multivariada para la síntesis automática de topologías óptimas. Estas topologías óptimas púeden ser estructuras de máxima rigidez con mínimo peso, mecanismos flexibles, micromecanismos de accionamiento termo-mecánico, metamateriales, entre otros. El trabajo inicia con la recopilación de la información relacionada con los diferentes métodos de optimización topológica, como son el criterio de optimalidad, el modelo SIMP (Solid Isotropic Material with Penalty). También sobre métodos de elementos finitos, necesarios para la solución de este tipo de problemas, esto permitirá adquirir el conocimiento teórico y la destreza necesaria para abordar el problema de OT. Simultáneamente, se analizarán los método del criterio de optimalidad y la programación lineal secuencial (PLS), usados para solucionar el problema de optimización. Luego se realizarán análisis por elementos finitos de problemas simples, como el cálculo de esfuerzos en dominios unidimensionales y bidimensionales, usando los elementos rectangulares de cuatro nodos y los triangulares de tres nodos. Una vez dominados estos conceptos, se procederá a la implementación del código en Matlab. Se realizará una verificación del funcionamiento del código, solucionando problemas con soluciones conocidas reportadas en la literatura, como por ejemplo, el mecanismo inversor y el gripper (pinza). Una vez se compruebe el correcto funcionamiento del código, se usará para la síntesis de mecanismos flexibles en dominios bidimensionales, analizando el efecto de los parámetros de cálculo sobre el mecanismo final Finalmente, se diseñará y construirá un mecanismo flexible que reemplace un mecanismo de eslabones y juntas existente. Este mecanismo será diseñado por OT, Se interpretará y analizará con un software de análisis por elementos finitos como Ansys para corroborar el resultado obtenido y fabricado en la máquina de corte por láser usando algún material polimérico, como PVC o acrílico.

12

Palabras Claves: Optimización topológica, mecanismo flexibles, elementos finitos

13

INTRODUCCION Los mecanismos flexibles (Compliant mechanisms) son un tipo de mecanismo donde el movimiento se logra aprovechando la flexibilidad de sus componentes, a diferencia de los mecanismos convencionales conformados por eslabones unidos por medio de juntas móviles que permiten movimiento (HOWELL, 2001). Las ventajas de los mecanismos flexibles son la reducción del número de piezas necesarias para el funcionamiento del mecanismo, facilitan el diseño de mecanismos a pequeña escala y, debido a la ausencia de juntas, no requieren lubricación. Sin embargo, al momento de diseñar un mecanismo flexible se debe tener un especial cuidado con los esfuerzos generados para evitar la fatiga del material (BENDSØE y SIGMUND, 2003). La optimización topológica (OT) es un método matemático que permite obtener una topología óptima dependiendo del estado de carga y ciertas condiciones de frontera. El método de optimización topológica distribuye el material en el interior de un dominio fijo de tal manera que maximice o minimice una determinada propiedad, representada en una función objetivo. La optimización topológica combina métodos de optimización (ZHOU y ROZVANY, 1995; BENDSØE y SIGMUNG, 1999) con el método de elementos finitos (MEF) (BATHE, 1996) para obtener topologías óptimas. La optimización topológica es utilizada principalmente en problemas de diseño mecánico y de estructuras (BENDSØE y KIKUSHI, 1988), diseño de mecanismos flexibles (ZHEN, et al., 2006), sistemas micro-electromecánicos (MEMS) (SIGMUND, 2001a, 2001b). En los últimos años, esta técnica está siendo usada en el área de la transferencia de calor (BRUNS, 2007) y en el estudio de la dinámica de fluidos, con fluidos newtonianos y no-newtonianos (PINGEN y MAUTE, 2010). Los problemas de optimización topología de mecanismos flexibles se pueden solucionar, suponiendo que el accionador de entrada está basado en un actuador lineal, los esfuerzos pueden ser modelados por un resorte con rigidez �� y una

14

fuerza ��. Una alternativa a el esfuerzo lineal basado en un actuador, puede ser modelado por una fuerza �� y un resorte no lineal que tiene una rigidez muy pequeña hasta el máximo valor de desplazamiento ��� y una rigidez muy alta después de ��� de modo que se impide un desplazamiento adicional (Ver figura No.1). Figura 1. Problema de diseño básico de mecanismos f lexibles; Invertir el desplazamiento. Izquierda: El problema de diseño bá sico y a la derecha: Modelo resorte y carga para el actuador de entrada y la pieza.

Fuente: Adaptado de BENDSØE y SIGMUND, 2003. El objetivo de los problemas de optimización es maximizar el desplazamiento ���� (Fuerza o trabajo), realizado en una pieza de trabajo, el cual es modelado por un resorte con rigidez ���(BENDSØE y SIGMUND, 2003). En la actualidad se requiere la fabricación de mecanismos cada vez más pequeños, siendo necesarias nuevas técnicas de diseño y fabricación. En el caso del diseño de mecanismos flexibles, micro-electro-mecanismos, micro actuadores piezoeléctricos, etc., lo que se busca es obtener mecanismos que realicen las mismas funciones de los mecanismos convencionales pero en un tamaño reducido. Como a escala pequeña la fabricación de juntas y eslabones es muy difícil, los mecanismos flexibles son una mejor opción y la Optimización Topológica (OT) proporciona una técnica robusta y automática para sintetizar este tipo de mecanismos.

15

El diseño de mecanismos flexibles es un proceso complicado donde intervienen temas como el análisis y síntesis de mecanismos, la deflexión de elementos sometidos a grandes deformaciones, además de la interacción de estos dos temas en situaciones complejas. Se debe recordar que para grandes deformaciones, las ecuaciones lineales, estudiadas en los cursos básicos de mecánica de materiales, no son válidas, siendo necesarios métodos de la mecánica no lineal (HOWELL, 2001).

16

1. OPTIMIZACIÓN TOPOLÓGICA 1.1 TIPOS DE OPTIMIZACION La optimización estructural busca la mejor distribución de material de manera que no se comprometa las propiedades mecánicas de la estructura, dependiendo de la variable de diseño y los atributos a controlar existen tres tipos de optimización: optimización paramétrica (OP), optimización de forma (OF) y optimización topológica (OT). La figura 2 muestra esquemáticamente los tipos de optimización estructural. Figura 2. Tipos de optimización topológica (a) Opti mización paramétrica (b) Optimización de forma (c) Optimización topológica.

(a)

(b)

(c)

Fuente: Adaptado de BENDSØE y SIGMUND, 2003. La optimización paramétrica es la técnica más sencilla, consiste en hacer una discretizacion con elementos estructurales, por ejemplo elementos tipo beam o viga, y evaluar una función objetivo o de costo para encontrar las características

17

geométricas, área transversal, longitud, radios de entalle, etc., con el fin de optimizar una o varias propiedades mecánicas de la estructura. La optimización de forma busca determinar el perfil óptimo, introduciendo variaciones de contorno para una topología dada de la estructura, es decir, parametrizando el contorno con curvas, arcos, rectas, líneas, en donde los nodos del contorno son las variables de diseño. Estas variaciones de frontera no son sencillas por lo cual se necesita algún método de elementos finitos para el enmallado, también se debe tener especial cuidado con las variaciones del límite permisible. Y por último se tiene la optimización topológica, en la cual se considera un elemento mecánico como un cuerpo ocupando un dominio continuo de material. Este dominio inicial o de referencia también contiene las cargas aplicadas y a las condiciones de frontera. El algoritmo de OT distribuye el material en el dominio inicial, quitándolo de unas partes y dejándolo en otras, optimizando alguna característica mecánica modelada por la función objetivo. 1.2 OPTIMIZACION TOPOLOGICA DE ESTRUCTURAS CONTINUA S En la optimización topológica de estructuras continuas, la forma de los límites exteriores e internos y el número de orificios interiores están optimizados simultáneamente con respecto a un objetivo de diseño predefinido. Se supone que la carga está prescrita y que cierta cantidad de material estructural se especifica dentro de un dominio determinado de diseño, con las condiciones de contorno dadas (ESCHENAUER y OLHOFF, 2001; BENDSØE y KIKUCHI, 1988). 1.3 OPTIMIZACION TOPOLOGICA DE ESTRUCTURAS DISCR ETAS La optimización topológica de estructuras discretas ocurre cuando se tienen estructuras cuya discretización es un dominio finito y numerable, un ejemplo de esto son las optimizaciones obtenidas a partir de dominios discretizados por barras o cerchas, en donde se tiene un sin número de posibilidades de solución,

18

pero a partir de métodos numéricos como el criterio de optimalidad (ROZVANY y ZHOU, 1991), se eliminan las cerchas o barras que no se necesitan, para obtener una topología de la estructura optima, con el fin de optimizar la variables del dominio (Área transversal, longitud). 1.4 CONCEPTOS DEL METODO DE OPTIMIZACIÓN TOPOLÓGICA 1.4.1 Dominio extendido fijo. Un dominio extendido fijo, es un espacio en el cual tenemos cierta cantidad de material, en este espacio el algoritmo de optimización topológica construye la estructura; este dominio de forma fija, está limitado por los puntos de apoyo de la estructura, puntos donde son colocadas las cargas, los cuales intervienen en el diseño de la estructura. 1.4.2 Parametrización del diseño. Al momento de diseñar estructuras por medio de optimización topología, lo que se busca es una distribución óptima de material isotrópico en el dominio. Una vez se realiza la discretización por medio de elementos finitos lo que se obtiene son representaciones de la geometría por medio de pixeles, los cuales representan la presencia (negro) o ausencia (blanco) de material. Por consiguiente es necesario plantear una ecuación que contenga el modelo de material, esta ecuación es una representación de una función discreta ����, definida en cada punto del dominio como: ���� = � 1��� ∈ �0��� ∈ �\�� (1.1)

Donde ��, es la región donde hay presencia de material dentro del dominio (�), Si el material es isotrópico, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera: ��� = ���� ! (1.2)

19

En el cual !, es el tensor de rigidez para un material isotrópico. Una vez se tiene formulada una distribución, las variables obtenidas serán del tipo discretas y estas deberán remplazarse por variables continuas, para así obtener la solución del problema. 1.5 METODO DE LAS DENSIDADES El modelo de material que se utilizará en este trabajo es el método de densidades SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization), este método define el valor de las densidades dentro del dominio (�), el cual está dado por la siguiente ecuación: ��� = "���# !$%&%$ > 1 (1.3) Donde "��� es una variable continua llamada “pseudo-densidad”, que representa la ausencia o presencia de material. Cada elemento finito tiene relacionada una pseudo-densidad, que en conjunto son las variables de diseño o de proyecto del problema de optimización. El volumen total de material en el dominio de diseño se evalúa como:

()* = + "���,�- $%&%0 ≥ "��� ≥ 1/)0� ∈ � (1.4)

El factor de penalización $, con valor $ > 1 tiene como finalidad reducir los valores intermedios de densidades las cuales son desfavorables, ya que el valor de rigidez obtenido es relativamente pequeño comparado con el volumen de material, y !, son las propiedades del material las cuales son dadas para un material isotrópico.

20

1.6 DEFINICION DEL PROBLEMA En los problemas de optimización topológica se busca distribuir de la manera más eficientemente posible el material dentro del dominio de diseño, maximizando alguna propiedad mecánica, como, por ejemplo, la rigidez en el caso de una estructura o el desplazamiento en cierta dirección en el caso de un mecanismo flexible, fuerza o el trabajo. Existen dos enfoques básicos para abordar el problema: método de la energía y el método de los adjuntos. En el método de la energía se maximiza la energía de deformación en el dominio sometido a determinadas restricciones y cargas que fijan el punto en el cual se desplaza y se ancla el mecanismo. En el método de los adjuntos se maximiza directamente el desplazamiento en un punto determinado del dominio. En este trabajo se analiza la síntesis de mecanismos flexibles usando OT por medio del método de los adjuntos. La definición del problema de optimización para la síntesis de mecanismos flexibles usando el método de los adjuntos es la siguiente:

1%�: ���� " ��345)%:6� =

78�"� ≤ (,;�<= 0 < "?�� ≤ "� ≤ 1,� = 1, … , A

(1.5)

Esta definición tiene las tres partes que conforman un problema de optimización: función objetivo, variables de proyecto y restricciones. La función objetivo, que debe ser maximizada, es el desplazamiento en el punto de salida del mecanismo �����) y se definen como: ���� = *B� (1.6)

21

Donde * es un vector con valor de 1 en el grado de libertad correspondiente al punto de salida y 0 en los otros lugares; � es el campo vectorial de desplazamiento (conjunto de todos los desplazamientos globales). Las variables de proyecto son las pseudo-densidades �"��, que en conjunto forman un campo escalar. La solución del problema consiste en hallar el conjunto de pseudo-densidades que maximizan la función objetivo cumpliendo las restricciones establecidas. Las restricciones, como su nombre lo indica, establecen una serie de reglas sobre los valores que pueden tomar las variables de proyecto, es decir, limitan el dominio de cálculo. La primera restricción �6� = � establece el equilibrio estático de la estructura, donde 6 es la matriz de rigidez global, � son los desplazamientos globales y es el vector fuerza. La segunda restricción�∑ 8�"� ≤ (�;�<= establece la restricción en el volumen final de la estructura (como fracción del volumen total), donde 8� es el volumen ocupado por el elemento finito, "� es la pseudo-densidad del elemento y ( es la fracción de volumen deseado en la estructura final. Finalmente, la tercera restricción �0 < "?�� ≤ "� ≤ 1� acota los posibles valores que pueden tomar las variables de proyecto. Teóricamente, las variables de proyecto pueden tomar valores entre 0 (ausencia de material) y 1 (presencia de material). Sin embargo, en la práctica existen limitaciones que obligan a implementar la solución de manera diferente. Primero, la solución del problema con variables discretas que solamente tomen los valores 0 y 1 es muy complicada y las técnicas disponibles fallan con un número tan grande de variables de proyecto, por tanto, el problema debe plantearse con variables de proyecto reales continuas en el intervalo entre 0 y 1. Segundo, valores nulos (0) de las variables de proyecto implican ceros en la diagonal principal de la matriz de rigidez, creando sistemas de ecuaciones singulares. Para evitar este problema, las pseudo-densidades se restringen a tomar un valor mínimo �"?��� que muy pequeño pero mayor que cero. El problema planteado en la ecuación 1.5 es un problema de optimización no lineal multivariado. Existen varios métodos de solución, los más comunes son: criterio de optimalidad (OC) (HASSANI y HINTON, 1997), programación lineal secuencial (PLS) (XU y ZAHO, 2008) y asíntotas móviles (MMA) (CHIKERMANE y CHANG, 1996)El OC es el método más sencillo, sin embargo, solamente es útil con los

22

problemas de OT más simples, como el problema de máxima rigidez con restricción de volumen o el diseño de mecanismos flexibles. Para problemas más complejo, especialmente aquellos con fenómenos acoplados, por ejemplo mecanismos con accionamiento electro-termo-mecánico, el PLS y el MMA son las mejores opciones. Es este trabajo se usa el PLS como método de solución del problema de optimización.

23

2. FORMULACION DEL PROBLEMA DE ELEMENTOS FINITOS 2.1. TENSION PLANA El estado de tensión plana se presenta cuando solo existen dos componentes de esfuerzos normales, un esfuerzo normal en x (DE), y otra en la dirección y (DF), y

una componente de esfuerzo cortante en la dirección x-y (GEF), las componentes

de esfuerzos en la dirección z (espesor), no son tomadas en cuenta para este tipo de análisis, ya que las dimensiones en esta dirección comparada con las otras dos son mucho más pequeñas, entonces, DH = GEH =GFH = 0, como los ejemplos que

se muestra en la figura No.3. Figura 3. Estado de tensión plana.

Fuente: Adaptado de BATHE, K.J., 1996. Para este caso, la matriz de material, que representa la rigidez en la relación tensión-deformación para un material isotropico (ver ecuación 2.27), viene dado por la siguiente expresión:

24

I = 1 J 8K L1 8 08 1 00 0 �1 J 8�2 N 2.1

Donde , es el modulo de elasticidad y 8, el módulo de Poisson del material. 2.2. DEFORMACION PLANA En el estado de deformación plana, no se toman en cuenta los efectos de las componentes OH = PEH = PFH = 0, esto se debe a que las dimensiones en el eje

prismático (eje z), es mucho más grande que las otras dos dimensiones (eje x-y), entonces el elemento está sujeto solo a dos componentes de deformación plana OE, OF y una componente de deformación cortante PEF.

Figura 4. Estado de deformación plana.

Fuente: Adaptado de BATHE, K.J., 1996. Para el estado de deformación plana la expresión de la matriz de material es la siguiente:

25

I = �1 Q 8��1 J 28� L�1 J 8� 8 08 �1 J 8� 00 0 �1 J 28�2 N 2.2

2.3 ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS En este trabajo, para el análisis por elementos finitos se usa el elemento rectangular de cuatro nodos con lados paralelos a los ejes x y y (coordenadas globales), como se muestra en la figura 5. A continuación se muestra de manera detallada la deducción de la matriz de rigidez del elemento, usando interpolación lineal que permite la integración analítica y la obtención de una expresión cerrada para la matriz de rigidez. Figura 5. Elemento rectangular de cuatro nodos a) C aso regular b) Caso irregular.

Fuente: Adaptado de CHAVES, E., MINGUEZ, R. 2010. Para comenzar se debe seleccionar el sistema de coordenadas, así como identificar el número de nodos del elemento y el número de grados de libertad por nodo. El sistema de coordenadas y la numeración de los nodos la cual debe ser en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se muestra en la figura 6.

26

Figura 6. Sistema de coordenadas elemento rectangul ar de cuatro nodos.

Fuente: Adaptado de CHAVES, E., MINGUEZ, R. 2010. Los desplazamientos nodales vienen representados por el vector R��S�T, el cual consta de dos componentes, una componente asociada a la traslación horizontal �� y otra vertical 8U (ver figura 7a). Por tanto, el número de grados de libertad

(NGDL) es de dos para cada nodo (8 en total). Las fuerzas nodales V SE��S�W se

expresan de la misma manera, en función de las componentes horizontal (�) y vertical (X), respectivamente (ver figura 7b). Figura 7. Elemento rectangular de cuatro nodos: (a) Fuerzas nodales (b) Desplazamientos nodales.

(a) (b)

Fuente: Adaptado de CHAVES, E., MINGUEZ, R. 2010.

27

En este caso la representación matricial de estos desplazamientos y fuerzas externas nodales vienen dados por las siguientes expresiones:

R��S�T =

YZZZZ[ZZZZ\�=�S�8=�S��K�S�8K�S��]�S�8]�S���̂S�8 �̂S�_ZZ

ZZ̀ZZZZa

; V SE��S�W =

YZZZZ[ZZZZ\ E=�S� F=�S� EK�S� FK�S� E]�S� F]�S� E�̂S� F�̂S�_Z

ZZZ̀ZZZZa

(2.3)

Las funciones de interpolación, también llamadas funciones de forma, permiten hallar el valor de los desplazamientos en cualquier punto del elemento en función de los desplazamientos nodales: ���, X� = b= Q bK� Q b]X Q b^�X 8��, X� = bc Q bd� Q beX Q bf�X

(2.4)

Donde ���, X� y 8��, X�son los desplazamientos horizontal y vertical, respectivamente, en el punto de coordenadas �, X, los coeficientes b� son constantes a determinar. La representación de estas ecuaciones en forma matricial es la siguiente:

guuuu��, X�i = ����, X�8��, X�j = klmgbi = n1 � X0 0 0 �X 0 00 1 � 0 0X �XoYZZ[ZZ\b=bKb]b^bcbdbebf_ZZ̀ZZa

(2.5)

28

2.4 DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO Es necesario representar los desplazamientos dentro del elemento (guuuu��, X�i) en función de los desplazamientos nodales (R��S�T). Primero se escriben las funciones de interpolación para los desplazamientos nodales: ���=, X=� = �=�S� = b= Q bK�= Q b]X= Q b^�=X= 8��=, X=� = 8=�S� = bc Q bd�= Q beX= Q bf�=X= ���K, XK� = �K�S� = b= Q bK�K Q b]XK Q b^�KXK 8��K, XK� = 8K�S� = bc Q bd�K Q beXK Q bf�KXK ���], X]� = �]�S� = b= Q bK�] Q b]X] Q b^�]X] 8��], X]� = 8]�S� = bc Q bd�] Q beX] Q bf�]X] ���^, X^� = ��̂S� = b= Q bK�^ Q b]X^ Q b^�^X^ 8��^, X^� = 8 �̂S� = bc Q bd�^ Q beX^ Q bf�^X^

(2.6)

Donde ���, X�� son las coordenadas de los nodos. La cual en su representación matricial quedaría de la siguiente manera:

YZZZZ[ZZZZ\�=�S�8=�S��K�S�8K�S��]�S�8]�S���̂S�8 �̂S�_ZZ

ZZ̀ZZZZa=pqqqqqqr10101010

�=0�K0�]0�0̂

X=0XK0X]0X0̂

�=X=0�KXK0�]X]0�^X^0

01010101

0�=0�K0�]0�^

0X=0XK0X]0X^

0�=X=0�KXK0�]X]0�^X^sttttttu

YZZ[ZZ\b=bKb]b^bcbdbebf_ZZ̀ZZa

(2.7)

En forma compacta: R��S�T = kvmgbi (2.8)

29

Como se observa en la Figura 6, las coordenadas de los nodos son: �= = 0 X= = 0 �K = % XK = 0 �] = % X] = w �^ = 0 X^ = w

(2.9)

Reemplazando estos valores en la matriz kvm, obtenemos:

YZZZZ[ZZZZ\�=�S�8=�S��K�S�8K�S��]�S�8]�S���̂S�8 �̂S�_ZZ

ZZ̀ZZZZa=pqqqqqqr10101010

00%0%000

0000w0w0

0000%w000

01010101

000%0%00

00000w0w

00000%w00 sttttttu

YZZ[ZZ\b=bKb]b^bcbdbebf_ZZ̀ZZa

(2.10)

Ya obtenida la matriz kvm, podemos hallar los coeficientes b, como: gbi = kvmx=R��S�T (2.11)

30

Donde la inversa de la matriz kvm es igual a:

kvmx= =

pqqqqqqqqqqqqqqr 1 0 0 0 0 0 0 0J1% 0 1% 0 0 0 0 0J1w 0 0 0 0 0 1w 01%w 0 J 1%w 0 1%w 0 J 1%w 00 1 0 0 0 0 0 00 J 1% 0 1% 0 0 0 00 J1w 0 0 0 0 0 1w0 1%w 0 J 1%w 0 1%w 0 J 1%wst

tttttttttttttu

(2.12)

Ahora que tenemos la matriz en términos del ancho (a) y el alto (b) del rectángulo. Reemplazando la ecuación 2.11 en la ecuación 2.5 se obtiene: guuuu��, X�i = klmkvmx=R��S�T (2.13) Entonces, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera guuuu��, X�i = kAmR��S�T (2.14)

Donde kAm = klmkvmx= es la matriz que contiene las funciones de forma, la cual nos proporciona los desplazamientos en cualquier punto dentro del elemento. Esta matriz se denomina matriz de interpolación:

31

kAm = nA= 0 AK 0 A] 0 A^ 00 A= 0 AK 0 A] 0 A^o (2.15)

Dónde: A= = 1%w �%w J w� J %X Q �X� AK = 1%w �w� J �X� A] = �X%w

A^ = 1%w �%X J �X� (2.16)

2.5 RELACION DEFORMACION-DESPLAZAMIENTOS NODALES Para relacionar las deformaciones con los desplazamientos, se pueden usar las expresiones de la teoría de elasticidad lineal, la cual puede ser aplicada a problemas de esfuerzo plano, así como a problemas de deformación plana:

gO��, X�i = y OEOFPEFz = YZZ[ZZ\ {�{�{8{X{�{X Q {8{�_ZZ̀

ZZa (2.17)

32

La forma matricial de la ecuación es:

y OEOFPEFz = pqqqqqr {{� 00 {{X{{X {{�stt

tttu����, X�8��, X�j (2.18)

Sustituyendo la ecuación 2.15 y 2.16 en la 2.18 se tiene:

y OEOFPEFz = pqqqqqr {{� 00 {{X{{X {{�stt

tttunA= 0 AK 0 A] 0 A^ 00 A= 0 AK 0 A] 0 A^o R��S�T (2.19)

Realizando la operación matricial se obtiene:

y OEOFPEFz = pqqqqqr{A={� 0 {AK{� 0 {A]{� 0 {A^{� 00 {A={X 0 {AK{X 0 {A]{X 0 {A^{X{A={X {A={� {AK{X {AK{� {A]{X {A]{� {A^{X {A^{� stt

tttuR��S�T (2.20)

Que de manera compacta se representa como: gO��, X�i = k|mR��S�T 2.21

33

La matriz k|m contiene las derivadas de las funciones de interpolación. Como: {A={� = X J w%w {A={X = � J %%w {AK{� = w J X%w {AK{X = J �%w {A]{� = X%w{A]{X = �%w {A^{� = J X%w{A^{X = % J �%w

(2.22)

La matriz k|m queda:

k|m = 1%w }�X J w� 0 �w J X� 0 X 0 JX 00 �� J %� 0 J� 0 � 0 �% J ���� J %� �X J w� J� �w J X� � X �% J �� JX ~ (2.23)

2.5. RELACION TENSION-DESPLAZAMIENTOS NODALES Si se considera un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico, la relación tensión-deformación está dada por: gD��, X�i = kImgO��, X�i 2.24 Donde kIm es la matriz constitutiva elástica o matriz de material, la cual modela las propiedades elásticas del material. Sustituyendo la ecuación 2.21 en la 2.24 se tiene: gD��, X�i = kImk|mR��S�T 2.25

34

Con la cual podemos expresar las tensiones en cualquier punto del elemento. 2.6 RELACION FUERZA-DESPLAZAMIENTOS NODALES Los problemas de elementos finitos, en los cuales se supone un comportamiento lineal elástico, son representados por la siguiente ecuación: V SE��S�W = ��S��R��S�T (2.26)

Donde la fuerza externa del elemento SE��S� viene dada como el producto entre la matriz de rigidez del elemento S y el desplazamiento del elemento �S. Debido a la

relación entre la fuerza SE��S� y los desplazamientos ��S� se puede obtener el valor

de la matriz de rigidez del elemento �S�, aplicando el principio del trabajo virtual. Este principio supone unos desplazamientos nodales virtuales (���S�) en los nodos del elemento de tal manera que el trabajo externo total es: �SE� = R���S�TBV SE��S�W (2.27)

Este trabajo total externo ��SE�� debe ser igual al trabajo interno total, el cual se obtiene con la siguiente expresión:

���� = + gO�̅�, X�iBgD��, X�i� ,( (2.28)

Donde D son las tensiones internas y O ̅las deformaciones virtuales. Relacionando las deformaciones virtuales �O�̅ con los desplazamientos nodales virtuales ����S�� se tiene:

35

gO�̅�, X�i = k|mR���S�T (2.29) Donde [|] es la matriz de las derivadas de las funciones de forma. Para obtener las tensiones internas (D) se procede de la misma manera. Considerando un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico, la relación tensión deformación es: gD��, X�i = kImgO�̅�, X�i (2.30) Sustituyendo la ecuación de las deformaciones virtuales �gO�̅�, X�i� en la ecuación de las tensiones internas �gD��, X�i� obtenemos: gD��, X�i = kImk|mR��S�T (2.31) Ya definidas las deformaciones virtuales (gO�̅�, X�i) y las tensiones internas (gD��, X�i), se reemplazan en la ecuación de trabajo interno:

���� = + Vk|mR���S�TWB kImk|mR��S�T� ,(

���� = + R���S�TBk|mBkImk|mR��S�T� ,(

(2.32)

Debido a que los desplazamientos nodales virtuales (���S�) y los desplazamientos nodales (��S�) no dependen de x y y pueden salir de la integral:

���� = R���S�TB �+ k|mBkImk|m� ,(� R��S�T (2.33)

36

Igualando el trabajo externo con el trabajo interno se tiene:

R���S�TBV SE��S�W = R���S�TB �+ k|mBkImk|m� ,(� R��S�T V SE��S�W = �+ k|mBkImk|m� ,(� R��S�T (2.34)

De esta manera obtenemos la matriz de rigidez del elemento: V SE��S�W = ��S��R��S�T

(2.36)

��S�� = + k|mBkImk|m� ,( (2.35)

Para un espesor �5� constante, la integral queda de la siguiente manera: ��S�� = 5 + + k|mBkImk|mE<�

E<! ,�,XF<�F<! (2.36)

37

3. IMPLEMENTACION NUMÉRICA

3.1. MATRIZ DE RIGIDEZ El método de elementos finitos consiste en discretizar un dominio continuo en

subdominios o subproblemas conecatados entre si formando una malla, como se

muestra en la Figura 8. El número de subproblemas depende del número de

elementos que se utilice para discretizar el dominio. La solución del problema es la

solución simultánea de todos los subproblemas reducidos a un sistema de

ecuaciones lineales las cuales son de fácil solución por medio del computador. Figura 8. Problema de elementos finitos.

Un problema de elementos finitos está regido por la siguiente ecuación: kmg�i = g i (3.1) Donde km, la matriz de rigidez global, la cual es la suma de todas las matrices de rigidez de los elementos, g�i es el vector de desplazamientos y g i es el vector de las fuerzas externas. La matriz km se obtiene mediante la suma coherente de

38

todas las matrices de rigidez de los elementos, este proceso se conoce como “ensamble de la matriz de rigidez global” es igual a:

km =7���S��;�<= � = 1,2,3, … , A. (3.2)

Donde A es el número total de elementos finitos usados en la discretizacion del

dominio, ���S�� es la matriz de rigidez de cada elemento, la cual viene dada por la

expresión 2.36 deducida en el capítulo anterior. El elemento usado en este trabajo para solucionar el problema de tensión plana fue el elemento rectangular de cuatro nodos, el cual es un rectángulo con los cuatro lados iguales y de valor unitario (% = w = / = 1�. El espesor en este caso se considera unitario �5 = 1)ya que el problema es estrictamente bidimensional y el espesor únicamente afecta la magnitud de los desplazamientos, pero no su distribución. El análisis mecánico se realiza asumiendo un estado de tensión plana. Por tanto, la matriz de rigidez del elemento que resulta de la integración de la ecuación anterior es:

��S�� = 1 J 8Kpqqqqqqqr= K ] ^ c d e f= f e d c ^ ]= d e ^ c K= f ] K c= K ] ^= f e= d=st

ttttttu (3.3)

Dónde: = = 12 J 86K = 18 Q 88] = J14 J 812^ = J18 Q 388 (3.4)

39

c = J14 Q 812d = J18 J 88e = 86f = 18 J 388

Donde y 8, son el módulo de elasticidad y el coeficiente de poisson, respectivamente. 3.2. PROGRAMACION LINEAL SECUENCIAL Para poder solucionar el problema de optimización formulado en la ecuación 1.5 se usa la programación lineal secuencial (PLS). La PLS busca determinar los valores de las variables de proyecto ��=, �K, … , ��� que minimicen o maximicen una función objetivo, sujeta a ciertas restricciones, las cuales también son funciones de las variables �=, �K, … , ��, La PLS se usa cuando la función objetivo o alguna de las restricciones no son lineales con respecto a las variables de proyecto. El problema se soluciona por medio de una secuencia de problemas de programación lineal (PL). La forma general de un problema de PL es de la siguiente manera: 1%�����%&: ��� = /=�= Q /K�K Q⋯Q /��� � ��345)%:�=��� = %==�= Q %=K�K Q⋯Q %=��� ≤ w= �K��� = %K=�= Q %KK�K Q⋯Q %K��� ≥ wK...�?��� = %?=�= Q %?K�K Q⋯Q %?��� = wK�U ≥ 0�1 ≤ 3 ≤ 0�

(3.5)

Donde �=, �K, … , ��, son las variables del proyecto, ���es la función objetivo, ����son las restricciones. Debido a que la función objetivo del problema de optimización topológica no es una función lineal con relación a las variables del proyecto, Las cuales son

40

pseudo-densidades en cada punto del dominio, esta debe ser linealizada. Esto se puede hacer usando la expansión en serie de Taylor de la funcion objetivo. Para una funcion de una sola variable la expansión en serie de Taylor se expresa de la siguiente forma:

��� = ��!� Q { {�� = �!�� J �!� Q {K {�K� = �! �� J �!�K2! Q ⋯Q {� {��� = �! �� J �!��0! (3.6)

Para funciones con más de una variable, la serie de Taylor es:

��=, �K, … �U� = ��!� Q { {�=� = �!��= J �!=� Q ⋯Q

Q {� {�=�� = �!��= J �!=��0! Q { {�K� = �!��K J �!K� Q ⋯Q

Q {� {�K�� = �!��K J �!K��0! Q ⋯Q { {�U� = �!��U J �!U� Q ⋯Q

Q {� {�U�� = �!��U J �!U��0!

(3.7)

Expandiendo la función objetivo del problema de optimización topológica en serie de Taylor tomando únicamente los dos primeros términos (termino constante y lineal), se tiene:

/���S����� = /! Q { {"=" = "=!�"= J "=!� Q { {"K" = "K!�"K J "K!� Q ⋯Q { {"�" = "�!�"� J "�!� (3.8)

41

Donde "=!, "K!…"�! es el conjunto de valores iniciales de las variables del proyecto, las cuales son de libre elección,/! = /�"=!, "K!…"�!�, es la función objetivo evaluada en los valores iniciales de las variables del proyecto. Al resolver la ecuación anterior, los valores constantes de la ecuación pueden ser retirados de la ecuación ya que estos no influyen en el proceso de optimización. Entonces la función a ser usada en la programación lineal es:

/���S����� = "= {/{"=" = "= Q "K {/{"K" = "K Q⋯Q "� {/{"�" = "� (3.9)

Como el número de variables de proyecto �0� es igual al número de elementos finitos usados en la discretizacion del dominio �A� podemos escribir la ecuación anterior como:

/���S����� =7"� {/{"�" = "�;�<= (3.10)

Como la PLS soluciona los problemas de optimización no-lineal haciendo una secuencia de subproblemas lineales que se resuelven por PL, es necesario restringir las variables de proyecto de cada subproblema lineal entre dos limites móviles, un límite superior y otro inferior. De esta manera, la LP encuentre una solución con una valor óptimo en el rango restringido y esta solución se usa en siguiente iteración, hasta obtener la correcta convergencia de la solución. Cabe resaltar que la correcta selección del límite móvil es de gran importancia, pues si el valor es demasiado grande la solución puede oscilar entre el punto óptimo sin llegar a encontrarlo y si es muy pequeño el cálculo puede tomar demasiado tiempo. Lo usual es incluir una rutina que va reduciendo el valor del límite móvil a medida que avanza la simulación.

42

Entonces la expresión que se obtiene una vez se aplique la serie de Taylor de primer grado a la función objetivo del problema de optimización topológica es:

1%�:/���S����� =7"� {/{"�" = "� =;�<= 7$"�#x=���B�S���;

�<= "� " ��345)%:6�"��� =

78�"� ≤ (,;S<=

"?�� ≤ �1 J *?���"� ≤ "� ≤ �1 J *?���"� ≤ 1, � = 1,… ,A

(3.11)

3.3. FILTRO La implementación de un filtro es indispensable en el código de optimización topológica, pues permite controlar las variaciones en las variables de proyecto cuando se presenta el problema de inestabilidades de tipo tablero de ajedrez. El código utilizado en este trabajo fue el propuesto por Bendsoe y Sigmund (BENDSØE y SIGMUND, 2003). El filtro opera sobre la sensibilidad de la función objetivo (derivada de la función objetivo con respecto a las variables de proyecto), modificando la sensibilidad de un elemento especifico, el cual es fijado, basándose en un promedio ponderado de los elementos circundantes. El filtro de la sensibilidad se escribe como: , ,"� = 1"∑ ���;�<= 7���;

�<= " , ," (3.13)

Donde A es el número total de elementos de la malla y ��� es el operador de convolucion (Factor de ponderación), definido como:

43

��� = &?�� J ,��5�, ��,g� ∈ A�,��5�, �� ≤ &?��i, = 1,… ,A. (3.13) El operador ,��5�, �� es definido como la distancia entre el centro del elemento y el centro del � J 4���) elemento. El operador de convolucion ��� es cero fuera del área del filtro. El operador de convolucion para el � J 4���) elemento, decae linealmente con la distancia desde el elemento , cuando el valor del radio &?�� se aproxima a cero, converge al valor de la sensibilidad original y todas las sensibilidades son las mismas cuando el valor de &?��, tiende a infinito. Para entender mejor, supóngase un dominio de 20 x 10 elementos en el cual tenemos dos radios de influencia del filtro, un &?�� = 1, y otro de &?�� = 3.5, Entre mayor sea este valor mayor es la influencia de este sobre más elementos, como se muestra en la figura 9, a diferencia de valores pequeños en el cual solo abarca pocos elementos. Figura 9. Radio de influencia del filtro ���� = � (izquierda) y ���� = �. derecha).

44

4. RESULTADOS

4.1. VARIACIÓN DE LA FRACCIÓN DE VOLÚMEN

Para analizar el efecto que tiene la fracción de volumen sobre la topología final del mecanismo, se consideró el problema de la pinza con el dominio inicial mostrado en la figura 10. En este problema se usó solamente la mitad del dominio de cálculo, debido a la simetría del mecanismo en la dirección horizontal. Esto reduce a la mitad el número de elementos finitos requeridos, reduciendo considerablemente el costo computacional. El punto donde se aplica la fuerza es �� y el desplazamiento deseado es ����. �� y ��� son los valores de la rigidez ficticia que se usan para limitar los desplazamientos, pues estos pueden crecer sin control hasta que el algoritmo falla (divergencia). Los valores de �� y ��� afectan la relación entre el desplazamiento de salida y el de la entrada y se implementan en el algoritmo sumándole en cada iteración el valor de la rigidez global en el grado de libertad respectivo. En este trabajo, la rigidez ficticia tomó valores entre 0,1X1,0A/��K. La fracción de volumen es un parámetro de gran importancia al momento de obtener la topología final, ya que dé él depende la cantidad de material en el mecanismo final. Para un valor de 0 tendríamos, teóricamente, ausencia total de material en todo el dominio y para un valor de 1 tendríamos, teóricamente presencia de material en todo el dominio, es decir, como si ningún proceso de optimización se hubiera realizado. Valores altos de la fracción de volumen generan mecanismos robustos. El dominio fue discretizado con 120 x 60 (120 elementos en la horizontal por 60 elementos en la vertical), para un total de 7200 elementos. Los valores de la fracción de volumen (()* &%/) variaron entre ()* &%/ = 0,1 hasta ()* &%/ = 0.7. El factor de penalización y el radio del filtro fueron penalización $ = 3, y &?�� = 2.

45

Figura 10. Topología del mecanismo de la pinza con diferentes valores de volumen de fracción.

Dominio inicial

()* &%/ = 0.1 ()* &%/ = 0.2 ()* &%/ = 0.3

()* &%/ = 0.4 ()* &%/ = 0.5 ()* &%/ = 0.6

()* &%/ = 0.7

46

Como se observa en la figura 10, y como se mencionaba anteriormente, para valores muy pequeños de volumen de fracción, la cantidad de material dentro del dominio es poca, como por ejemplo la topología obtenida con un valor de 8)* &%/ = 0.1, donde el mecanismo es muy delgado comparado con los otros mecanismos con un valor de volfrac mucho mayor 8)* &%/ = 0.7, cabe resaltar que la distribución del material está predominantemente en la parte derecha del mecanismo que es en la cual está el desplazamiento de salida ����, y se logra ver una especia de juntas en las cuales casi no hay presencia de material y no varía conforme se va aumentando el 8)* &%/ como se ve en la figura 1, esto se debe a que en esta parte es donde el mecanismo se deforma con el fin de obtener la salida deseada, que para este caso es un desplazamiento, ya que si estas juntas son demasiado robustas el mecanismo no realizaría la función. La figura 10 muestra los mecanismos sintetizados para diferentes valores de ()* &%/. Para valores pequenos de ()* &%/ se obtiene poca cantidad de material dentro del dominio, como por ejemplo la topología obtenida con un valor de ()* &%/ = 0.1, donde el mecanismo es muy delgado comparado con los otros mecanismos con un valor de ()* &%/ mayor. Se puede ver que el algoritmo distribuye el material principalmente en la parte derecha del mecanismo, en las partes donde se esperaría movimiento de cuerpo rígido. A la izquierda del mecanismo se logra ver una especie de juntas en las cuales casi no hay presencia de material y que varían poco cuando aumenta el ()* &%/. Esto se debe a que estas juntas proporcionan la flexibilidad necesaria para que el mecanismo se mueva. Queda claro que si el mecanismo se fuese a fabricar con eslabones en estos mismos lugares se colocarían las juntas rotatorias. Si estas juntas son demasiado robustas el mecanismo no realizaría la función.

47

4.2. EJEMPLO DE MECANISMOS FLEXIBLES

4.2.1 Mecanismo con zona no optimizable. En la figura 11 se muestra el dominio inicial del mecanismo flexible, el cual está representado por la mitad de este debido a la simetría que este tiene en la dirección horizontal. Los puntos donde se aplica la fuerza y los desplazamientos deseados se muestran también en la figura 11. La discretizacion del dominio se realizó con 120 x60 elementos finitos. Los parámetros de la simulación fueron ()* &%/ = 0.30, factor de penalización $ = 3 y un &?�� = 3.

Figura 11. Dominio inicial del mecanismo con zona n o optimizable.

Figura 12. Topología obtenida del mecanismo con zon a no optimizable.

48

Como se puede observar en la figura 12, de la topología del mecanismo obtenida es que en la zona donde aparece el rectángulo y en la esquina superior izquierda que es donde se encuentran los apoyos, es donde se colocó material para que estas parte no fuera optimizada, esto quiere decir que esta parte es donde el material no quiere que sea retirado, es decir que el valor de las pseudo-densidades dentro de esta área se iguala a uno ("� = 1). También se puede realizar lo contrario que es no colocar material en el caso que necesitemos que en esta parte no halla presencia de material, esto se logra haciendo que las pseudo-densidades sean cero ("� = 0), en teoría, porque en el código los valores que se colocan tienen que ser aproximados a cero ya que si no se hace esto el código generaría un error, entonces el valor que se coloca es de 0.001.

4.2.2 Mecanismo tipo pinza. En la figura 13 se muestra el dominio inicial del mecanismo flexible. Los puntos donde se aplica la fuerza y los desplazamientos deseados se muestran también en la figura 14. La discretizacion del dominio se realizó con 120 x60 elementos finitos. Los parámetros de la simulación fueron ()* &%/ = 0.30, factor de penalización $ = 3 y un &?�� = 2, para su posterior análisis, se realizó la vectorizacion de la imagen en un software de diseño gráfico vectorial (Corel Draw).

Figura 13. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza .

El mecanismo flexible obtenido se muestra en la figura 14a. Para este mecanismo se verificó su funcionamiento usando el software comercial para análisis por

49

elementos finitos Ansys, corroborando que los desplazamientos obtenidos son realmente los esperados. La figura 14b muestra el mecanismo sintetizado en su estado inicial y deformado, donde se puede ver claramente que la aplicación de la fuerza horizontal en el punto de entrada genera un movimiento vertical en el punto de salida, es decir, la pinza se cierra.

Figura 14. Mecanismo tipo pinza: (a) Topología obte nida y (b) mecanismo deformado.

(a) (b)

La simulación en Ansys se realizó usando el modelo de elasticidad lineal, el cual es válido solamente para pequeñas deformaciones. Este enfoque proporciona una idea clara de la manera como se deforma el mecanismo y de los puntos de concentración de esfuerzos. Sin embargo, las magnitudes de los desplazamientos y las tensiones mecánicas obtenidas no son realistas, pues se trata de un problema de grandes deformaciones y, dependiendo en gran medida del material, también puede ser un problema de elasticidad no lineal.

4.2.3 Mecanismo inversor. En la figura 15 se muestra el dominio inicial del mecanismo inversor, que debido a la simetría se puede reducir la mitad. Los puntos donde se aplica la fuerza, y los desplazamientos deseados se muestran también en la figura. La discretizacion del dominio se realizó con 120 x60 elementos finitos. Los parámetros de la simulación fueron ()* &%/ = 0.30, factor de penalización $ = 3 y un &?�� = 3.

50

Figura 15. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza .

El mecanismo flexible obtenido se muestra en la figura 16a. Para este mecanismo también se verifico su funcionamiento usando Ansys. En la figura 16b se muestra el mecanismo en sus estados inicial y deformado, donde se puede ver que el mecanismo se deforma de la manera esperada, es decir, el punto de salida se mueve a la izquierda cuando se aplica una fuerza horizontal hacia la derecha del punto de entrada.

Figura 16. Mecanismo inversor: (a) topología obteni da y (b) mecanismo deformado.

(a) (b)

51

4.2.4 Mecanismo tipo pinza invertida. En la figura 17 se muestra el dominio inicial, también reducido a la mitad debido a la simetría. Los puntos donde se aplica la fuerza y los desplazamientos deseados se muestran también en la figura. La discretizacion del dominio se realizó con 120x60 elementos finitos. Los parámetros de la simulación fueron ()* &%/ = 0.30, factor de penalización $ = 3 y un &?�� = 2.

Figura 17. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza invertida.

El resultado obtenido se muestra en la figura 18a y la verificación de la deformación usando Ansys se puede ver en la figura 18b. Claramente se obtiene el desplazamiento deseado en el punto de salida. Esta pinza puede usarse, por ejemplo, en un robot para sujetar alguna pieza o producto por medio de un agujero.

52

Figura 18. Mecanismo tipo pinza invertida: (a) topo logía obtenida y (b) mecanismo deformado.

(a) (b)

4.2.5 Mecanismo tipo pinza con fuerza aplicada e n el medio. En la figura 19 se muestra el dominio inicial del mecanismo flexible, reducido a la mitad debido a la simetría. Los puntos donde se aplica la fuerza y los desplazamientos deseados se muestran también en la figura. La discretización del dominio se realizó con 80x40 elementos finitos. Los parámetros de la simulación fueron ()* &%/ = 0.20, factor de penalización $ = 3 y un &?�� = 3.

Figura 19. Dominio inicial del mecanismo tipo pinza con fuerza aplicada en el medio.

53

La optimización que se obtuvo de este dominio en la mostrada en la figura 20a y la verificación de su funcionamiento usando Ansys en la figura 20b. Se puede ver que le mecanismo se deforma de la manera esperada, además, se puede ver como en el lado izquierdo fue eliminado casi todo el material, dejando únicamente el requerido para el soporte del mecanismo. Esto se debe a que todo el material por debajo del soporte es redundante, es decir, está sometido a un esfuerzo mecánico muy pequeño, por tanto, el algoritmo lo elimina.

Figura 20. Mecanismo tipo pinza con fuerza aplicada en el medio: (a) topología obtenida y (b) mecanismo deformado.

(a) (b)

4.3 ANALISIS DEL DESPLAZAMIENTO DE SALIDA

Para diseñar un mecanismo flexible por medio de la técnica de optimización topológica, es necesario maximizar el desplazamiento a la salida del mecanismo, como se mencionó en la Sección 1.6. En esta sección se realizó un análisis en Ansys del mecanismo inversor de la Figura 16 con el fin de conocer cuáles son los desplazamientos a la salida en función de un desplazamiento prescrito en la entrada. Para este fin, se repitió la simulación para desplazamientos de entrada entre 0 y 10 mm, los valores de los desplazamientos obtenidos se pueden ver la Figura 21.

54

Figura 21. Desplazamientos de entrada vs salida.

En el gráfico del desplazamiento de salida en función del desplazamiento de entrada muestra un claro comportamiento lineal, tal como era esperado. El valor del desplazamiento a la salida es 1.249 veces el valor de la entrada, lo cual nos indica que el mecanismo “amplifica” el valor de la entrada, lo cual es importante en ciertas aplicaciones, como unos micromecanismos que se encargan de amplificar el rango útil de un actuador, por ejemplo, de un actuado piezoeléctrico que genera unos desplazamientos muy pequeños. En las figuras 22 y 23 se pueden observar gráficamente los desplazamientos (la norma de los desplazamientos horizontal y vertical en cada punto del mecanismo) para los valores de entrada de 1 y 10 mm, respectivamente. Se puede ver que los dos campos son idénticos y al multiplicar por 10 la entrada se obtiene la misma salida multiplicada por 10, como se espera de un análisis lineal. Estos resultados son cualitativos, pues las deformaciones son grandes, además, para materiales poliméricos, como los usados en este trabajo, la relación tensión-deformación es no lineal y, además, es dependiente de la velocidad de carga. Por tanto, el análisis correcto de estos mecanismos no es trivial, siendo requeridas técnicas de análisis

0

1,249

2,498

3,748

4,997

6,246

7,495

8,745

9,994

11,243

12,492

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

De

spla

zam

ien

to S

ali

da

(m

m)

Desplazamiento entrada (mm)

Desplazamiento Entrada vs Salida

Desplazamiento Salida

55

para grandes deformaciones y modelos de material más sofisticados. Este tema queda fuera del ámbito de este trabajo.

Figura 22. Desplazamientos del mecanismo inversor c on un desplazamiento de entrada de 1 mm.

56

Figura 23. Desplazamientos del mecanismo inversor c on un desplazamiento de entrada de 10 mm.

4.4 OTROS RESULTADOS

En las figuras de la 24 a la 26 se muestran la distribución de esfuerzos en varios mecanismos, calculados usando el software de elementos finitos Ansys. Este análisis se permite localizar los puntos donde se encuentran la mayor concentración de esfuerzos, los cuales están presentes en las juntas las cuales permiten el movimiento del mecanismo. Los valores obtenidos en este análisis son cualitativos.

57

Figura 24. Distribución de esfuerzos (Von mises) de l mecanismo inversor.

Figura 25. Distribución de esfuerzos (Von mises) de l mecanismo tipo pinza con fuerza aplicada en el medio.

58

Figura 26. Distribución de esfuerzos (Von mises) de l mecanismo tipo pinza.

5. PROTOTIPOS

Los prototipos presentados a continuación fueron interpretados por medio de un software de diseño gráfico vectorial (Corel Draw), como se mencionó anteriormente con la finalidad de obtener una imagen vectorizada que permita el posterior análisis en un software de elementos finitos como Ansys y para su posterior fabricación en un cortador láser. El material utilizado para la fabricación de los mecanismos fue acrílico el cual cuenta con una densidad de 1200 kg/m3. Los prototipos son mostrados a continuación:

59

Figura 27. (a) vectorizacion de la topología del me canismo tipo pinza y (b) prototipo del mecanismo tipo pinza.

(a) (b)

Figura 28. (a) vectorizacion de la topología del me canismo inversor y (b) prototipo del mecanismo inversor.

(a) (b)

60

Figura 29. (a) vectorizacion de la topología del me canismo tipo pinza invertida (b) prototipo del mecanismo tipo pinza in vertida.

(a) (b)

61

6. CONCLUSIONES

En este trabajo fue implementado el método de optimización topológica para el diseño de mecanismos flexibles en dominios bidimensionales, basado en el modelo de material SIMP y el método de solución de la matriz adjunta. Fueron discutidos los conceptos teórico relevantes a este tema y se desarrolló un código en Matlab para solucionar el problema. Con este código se analizó el efecto que tiene algunos parámetros como la fracción de volumen en la topología final del mecanismo, el cual es un parámetro que influye fuertemente en la cantidad de material final del mecanismo. Esta técnica mostró ser muy efectiva en el diseño de mecanismos flexibles complejos, donde el uso de juntas y pasadores se hace muy complicado. Fue posible comprobar que a partir de dominios rectangulares se pueden sintetizar una gran variedad de mecanismos. Parámetros como la localización de los apoyos, los puntos de entrada y de salida, la dirección de los desplazamientos, las áreas no optimizables, las rigideces ficticias, la fracción de volumen, entre otros, constituyen un conjunto inmenso de parámetros que le dan flexibilidad a la técnica. El análisis de esfuerzos y deformaciones de los mecanismos flexibles sintetizados en este trabajo es un tema complicado que requiere técnicas de análisis como grandes deformaciones y modelos de material no lineales. Análisis mediante modelos lineales simples son útiles para analizar, de manera cualitativa, la deformación del mecanismo y los puntos de concentración de esfuerzos, que permiten anticipar los puntos más probables de falla mecánica. A pesar de que las topologías obtenidas son complejas, actualmente se cuenta con métodos de fabricación modernos, como corte automatizado por láser o prototipado rápido, entre otros, que permiten la fabricación de piezas complejas a costos realmente bajos.

62

7. TRABAJOS FUTUROS

Debido al alto costo computacional que implica obtener una pieza por medio del algoritmo de optimización, es necesario desarrollar un algoritmo más eficiente, el cual reduzca el tiempo de calculo que implica esta operación, esto se puede lograr usando lenguajes de programación como C/C++, Fortran, o programación paralela con la arquitectura CUDA de la Nvidia. Otra recomendación es la de desarrollar un algoritmo que permita la vectorización de la imagen directamente en el algoritmo de optimización topológica, ya que la interpretación de los resultados resulta algo complicado de hacer, debido a que la imagen que se obtiene es por lo general un archivo del tipo jpg, bmp, gif, etc, los cuales son archivos tipo imagen que no permiten la interpretación en un software de elementos finitos y hace que la técnica no sea tan precisa. También es recomendable realizar una interfaz gráfica la cual permita que más gente, con menos experiencia en programación pueda desarrollar mecanismos por medio de esta técnica. Implementar un algoritmo que solucione problemas de optimización topológica en dominios tridimensionales y la síntesis de mecanismos de accionamiento termo-mecánico. Es necesario establecer una metodología de análisis por elementos finitos que permita obtener valores realistas de esfuerzo y deformación para mecanismos flexibles, especialmente para aquellos fabricados de material polimérico.

63

BIBLIOGRAFIA BATHE, K.J., 1996, “Finite Element Procedures”, Prentice Hall, New Jersey. BENDSØE, M.P., SIGMUND, O., 2003, “Topology Optimization: Theory, Methods and Applications”, Springer, Berlin, Heidelberg, New York. BENDSØE, M.P., KIKUCHI, N., 1988, “Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization method”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 71, pp. 197-224. BENDSØE, M.P., 1989, “Optimal Shape design as a Material Distribution Problem”, Structural Optimization, 1, pp. 193-202. BRUNS, T.E., 2007, “Topology Optimization of Convection-Dominated, Steady-State Heat Transfer Problems”, International Journal of Heat and Mass Transfer, 50, pp. 2859-2873. CARBONARI, R, C., 2003, “Projeto de Atuadores Piezelétricos Flextensionais Usando o Método de Otimização Topológica”, Dissertação Mestre, Universidade de Sao Paulo. CHAVES, E., MINGUEZ, R. 2010, “Mecánica computacional en la ingeniería con aplicaciones en Matlab”, Universidad de Castilla – La mancha, España CHIKERMANE, H., CHANG, G, H., 1996, “Structural Optimization Using a New Local Approximation Method”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 39, pp 829-846.

64

DANTZIG, G, B., 1963, “Linear Programming and Extensions”, Princeton, New Jersey. DE LIMA, C, R., 2002, “Projeto de Mecanismos Flexíveis Usando o Método de Otimização Topológica”, Dissertação Mestre, Universidade de Sao Paulo. ESCHENAUER, H, A., OLHOFF, N., 2001, “Topology Optimization of Continuum Structures: A Review”, Applied Mechanics Review, Vol. 54, No. 4. HIBBELER, R, C., 2006, “Mecánica de Materiales”, Pearson Educación, México. HOWELL, L.L., 2001, “Compliant Mechanisms”, John Wiley & Sons Inc., New York. KOLMAN, B., HILL, D, R., 2006, “Algebra lineal”, Pearson Educación, México. MENDEZ, G, A., 2009, “Desarrollo de Algoritmo para la Integración de la Optimización Topológica y la Optimización de Forma en Estructuras”, Tesis de Maestría, Universidad Nacional de Colombia. MEZA, C, A., 2012, “Optimización topológica en el diseño de elementos estructurales mecánicos”, Trabajo de Grado, Universidad Autónoma de Occidente. MONTEALEGRE, R, W., NISHIWAKI, S., NELLI, S, E, C., 2010, “Design of Compliant Mechanisms Considering Thermal Effect Compensation and Topology Optimization”, Finite Elements in Analysis and Design, 46, pp. 1049-1060.

65

PINGEN, G., MAUTE, K., 2010, “Optimal Design for Non-Newtonian Flows Using a Topology Optimization Approach”, Computer and Mathematics whit Applications, 59, pp. 2340-2350. ROZVANY, G.I.N., 2011, “A Review of New Fundamental Principles in Exact Topology Optimization”, Computer Methods in Mechanics. SIGMUNG, O., 2001a, “Design of Multiphysics Actuators Using Topology Optimization – Part I: One-Material Structures”, Computer Methods Applied Mechanics and Engineering, 190, pp. 6577-6604. SIGMUNG, O., 2001b, “Design of Multiphysics Actuators Using Topology Optimization – Part I: Two-Material Structures”, Computer Methods Applied Mechanics and Engineering, 190, pp. 6605-6627. TOVAR, A., 2005, “Optimización Topológica con la Técnica de los Autómatas Celulares Híbridos”, Revista Internacional de Métodos Numéricos para Calculo y Diseño en Ingeniería, Vol. 21, 4, pp. 365-383. WEISSTER, E, W., “Taylor series” [En linea] [Consultado 20 de Diciembre de 2012]. Disponible en internet: http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html XU, C., ZHAO, H., 2008, ”A sequential Linear Programming Method for Generalized Linear Complementarity Problem”, International Mathematical Forum, 3, 2008, No. 13, pp 623-630. ZHEN, L., YIXIAN, D., LIPING, C., JINGZHOU, Y., ABDEL-MALEK, K., 2006, “Continuum Topology Optimization for Monolithic Compliant Mechanisms of Micro-Actuators”, Acta Mechanica Solida Sinica, Vol. 19, No. 1. ZHOU, M., ROZVANY, G.I.N., 1995, “An Improved Approximation Technique for the DCOC Method of Sizing optimization”, Computer and Structures, Vol. 60, No. 5, pp. 763-769.

66

ZHOU, M., ROZVANY, G.I.N., 1996, “An Improved Approximation Technique for The DCOC Method of Sizing Optimization”, Computer and Structures, Vol. 60, No. 5, pp. 763-769.

67

ANEXOS

Anexo A: Código

Código principal Este código genera la topología del mecanismo mostrado en la figura 11. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE% %DPTO. DE ENERGETICA Y MECANICA % %PROGRAMA DE ING. MECANICA % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Programa optimización topológica %Escrito por Fernando Tamayo %Fecha 5 Diciembre de 2012 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Dominio Nelx = 120; Nely = 60; Nel = Nelx*Nely; Ngdl = 2*(Nelx+1)*(Nely+1); % Propiedades fisicas del material E = 1; nu = 0.4; % Parametros de la optimizacion volfrac = 0.30; p = 3; rmin = 2; % Limite movil lmov = 0.2; % Variables de diseno x = ones(Nelx,Nely)*volfrac; % Cargas R = [1 1 0]; % Restricciones Ressim = zeros(Nelx+1,3); for (k=1:Nelx+1) Ressim(k,1) = k;

68

Ressim(k,2) = 0; Ressim(k,3) = 1; end Res = [ (Nelx+1)*(Nely)+1 1 1 Ressim ]; % Rigidez ficticia Ks = [ 1 0.1 0 (Nelx+1)*(Nely/3) 0 0.1]; % Conectividad Con = conec(Nelx,Nely); % Vector l l = zeros(Ngdl,1); l(2*((Nelx+1)*(Nely/3))) = -1; %%%%%%%%%%%%%%% LOOP %%%%%%%%%%%%%%% c = 0; DFobj = zeros(Nelx,Nely); Niter = 150; count = 1; for iter=1:Niter % MEF KE = kq4(E,nu); Ue = zeros(8,1); lame = zeros(8,1); DFobj = zeros(Nelx,Nely); % Vector de desplazamientos y vector adjunto [U lam] = femproc_mf_adj(Nelx,Nely,Con,E,nu,R,R es,x,p,Ks,l); c = l'*U; Fobj(iter) = c; for k=1:Nel Ue(1) = U(2*Con(k,1)-1); Ue(2) = U(2*Con(k,1)); Ue(3) = U(2*Con(k,2)-1); Ue(4) = U(2*Con(k,2)); Ue(5) = U(2*Con(k,3)-1); Ue(6) = U(2*Con(k,3)); Ue(7) = U(2*Con(k,4)-1); Ue(8) = U(2*Con(k,4)); lame(1) = lam(2*Con(k,1)-1); lame(2) = lam(2*Con(k,1));

69

lame(3) = lam(2*Con(k,2)-1); lame(4) = lam(2*Con(k,2)); lame(5) = lam(2*Con(k,3)-1); lame(6) = lam(2*Con(k,3)); lame(7) = lam(2*Con(k,4)-1); lame(8) = lam(2*Con(k,4)); DFobj(k) = DFobj(k) + p*x(k)^(p-1)*( lame'* KE*Ue ); end disp(strcat( 'Iter--> ' ,num2str(iter), '/' ,num2str(Niter), ' | ' , 'Fobj=' ,num2str(c), ' | ' , 'lmov=' ,num2str(lmov))) c = 0; DFobj = filtersen(Nelx,Nely,DFobj,x,rmin); if (count < 20) count = count + 1; else lmov = lmov/3; count = 1; end % Zona no optimizable x( ((Nelx)-Nelx/3):(Nelx) , 1:Nely/3 ) = 0.001; x( ((Nelx)-Nelx/3):(Nelx) , (Nely/3):(Nely/3+1) ) = 1.0; x( 1:4 , (Nely-4):(Nely) ) = 1.0; x = linproc(Nelx,Nely,x,DFobj,volfrac,lmov); subplot(1,2,1) colormap(gray); imagesc([flipud(-x');-x']); axi s equal ; axis tight ; axis off ; drawnow; subplot(1,2,2) plot(Fobj); xlabel( 'Iter #' ); ylabel( 'Fobj' ); grid; drawnow; end Matriz de rigidez del elemento %Matriz de rigidez del elemento function KE = kq4(E,nu) k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 -1/4 +nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8]; KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7 ) k(8) k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4 ) k(3)

70

k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5 ) k(2) k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2 ) k(5) k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3 ) k(4) k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8 ) k(7) k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1 ) k(6) k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6 ) k(1)]; Conectividad %Conectividad del elemento function con = conec(Nelx,Nely) Nel = Nelx*Nely; rowend = 0; elcount = 1; for k=1:Nel+Nely rowend = rowend + 1; if rowend <= Nelx con(elcount,1:4) = [k k+1 ((Nelx+1)+(k+ 1)) ((Nelx+1)+(k))]; elcount = elcount + 1; else rowend = 0; end end Ensamble de la matriz de rigidez global %Ensamble de la matriz de rigidez global function [U lam] = femproc_mf_adj(Nelx,Nely,Con,E,nu,R,Res, x,p,Ks,l) Nel = Nelx*Nely; Ngdl = 2*(Nelx+1)*(Nely+1); Kg = sparse(Ngdl,Ngdl); Ke = Kg; Kel = kq4(E,nu); for k=1:Nel Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,1)-1) = Kel(1,1); Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,1)) = Kel(1,2); Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,2)-1) = Kel(1,3);

71

Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,2)) = Kel(1,4); Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,3)-1) = Kel(1,5); Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,3)) = Kel(1,6); Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,4)-1) = Kel(1,7); Ke(2*Con(k,1)-1,2*Con(k,4)) = Kel(1,8); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,1)-1) = Kel(2,1); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,1)) = Kel(2,2); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,2)-1) = Kel(2,3); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,2)) = Kel(2,4); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,3)-1) = Kel(2,5); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,3)) = Kel(2,6); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,4)-1) = Kel(2,7); Ke(2*Con(k,1),2*Con(k,4)) = Kel(2,8); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,1)-1) = Kel(3,1); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,1)) = Kel(3,2); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,2)-1) = Kel(3,3); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,2)) = Kel(3,4); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,3)-1) = Kel(3,5); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,3)) = Kel(3,6); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,4)-1) = Kel(3,7); Ke(2*Con(k,2)-1,2*Con(k,4)) = Kel(3,8); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,1)-1) = Kel(4,1); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,1)) = Kel(4,2); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,2)-1) = Kel(4,3); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,2)) = Kel(4,4); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,3)-1) = Kel(4,5); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,3)) = Kel(4,6); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,4)-1) = Kel(4,7); Ke(2*Con(k,2),2*Con(k,4)) = Kel(4,8); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,1)-1) = Kel(5,1); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,1)) = Kel(5,2); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,2)-1) = Kel(5,3); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,2)) = Kel(5,4); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,3)-1) = Kel(5,5); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,3)) = Kel(5,6); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,4)-1) = Kel(5,7); Ke(2*Con(k,3)-1,2*Con(k,4)) = Kel(5,8); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,1)-1) = Kel(6,1); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,1)) = Kel(6,2); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,2)-1) = Kel(6,3); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,2)) = Kel(6,4); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,3)-1) = Kel(6,5); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,3)) = Kel(6,6); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,4)-1) = Kel(6,7); Ke(2*Con(k,3),2*Con(k,4)) = Kel(6,8); Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,1)-1) = Kel(7,1); Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,1)) = Kel(7,2);

72

Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,2)-1) = Kel(7,3); Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,2)) = Kel(7,4); Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,3)-1) = Kel(7,5); Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,3)) = Kel(7,6); Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,4)-1) = Kel(7,7); Ke(2*Con(k,4)-1,2*Con(k,4)) = Kel(7,8); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,1)-1) = Kel(8,1); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,1)) = Kel(8,2); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,2)-1) = Kel(8,3); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,2)) = Kel(8,4); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,3)-1) = Kel(8,5); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,3)) = Kel(8,6); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,4)-1) = Kel(8,7); Ke(2*Con(k,4),2*Con(k,4)) = Kel(8,8); Kg = Kg + Ke*x(k)^p; Ke = Ke*0; end % restricciones Sr = size(Res); for k=1:Sr(1) if Res(k,2) == 1 Kg(2*Res(k,1)-1,:) = 0; Kg(:,2*Res(k,1)-1) = 0; Kg(2*Res(k,1)-1,2*Res(k,1)-1) = 1; end if Res(k,3) == 1 Kg(2*Res(k,1),:) = 0; Kg(:,2*Res(k,1)) = 0; Kg(2*Res(k,1),2*Res(k,1)) = 1; end end % Rigidez ficticia Kr = size(Ks); for k=1:Kr(1) Kg(2*Ks(k,1)-1,2*Ks(k,1)-1) = Kg(2*Ks(k,1)- 1,2*Ks(k,1)-1) + Ks(k,2); Kg(2*Ks(k,1),2*Ks(k,1)) = Kg(2*Ks(k,1),2*Ks (k,1)) + Ks(k,3); end % Calculo del vector adjunto lam = Kg\l; % Cargas Cr = size(R); F = zeros(Ngdl,1); for k=1:Cr F(2*R(k,1)-1) = R(k,2);

73

F(2*R(k,1)) = R(k,3); end % Solucion del sistema U = Kg\F; Filtro (Tomado de BENDSOE y SIGMUND, 2003) %Filtro function dcn = filtersen(Nelx,Nely,dc,x,rmin) dcn = zeros(Nelx,Nely); for k=1:Nelx for l=1:Nely x0 = (k-0.5); y0 = (l-0.5); sum = 0.0; for m=1:Nelx for n=1:Nely x1 = (m-0.5); y1 = (n-0.5); H = rmin-sqrt((x1-x0)^2+(y1-y0) ^2); sum = sum + max(0,H); dcn(k,l) = dcn(k,l) + max(0 ,H)*x(m,n)*dc(m,n); end end dcn(k,l) = dcn(k,l)/(x(k,l)*sum); end end Programación lineal secuencial %Linealizacion function xo = linproc(Nelx,Nely,x,DF,volfrac,lm) Nel = Nelx*Nely; xmin = 0.001; F2 = reshape(x.*DF,1,Nel); x = reshape(x,1,Nel); for (k=1:Nel)

74

if ( (x(k)+lm*x(k)) > 1.0) ub(k) = 1.0; else ub(k) = (x(k)+lm*x(k)); end if ((x(k)-lm*x(k)) < xmin) lb(k) = xmin; else lb(k) = (x(k)-lm*x(k)); end end options = optimset( 'MaxIter' ,150); xo = linprog(F2,x/Nel,volfrac,[],[],lb,ub,[],op tions); xo = reshape(xo,Nelx,Nely);