Feuille de travaux dirigés - CEREMADE - UMR7534legendre/enseignement/td_ananum... · étape les opérations e ectuées sur les lignes de la matrice factorisée. Exercice 6 (factorisation

Université Paris-Dauphine Méthodes numériquesDépartement MIDO année /DE MI2E deuxième année

Feuille de travaux dirigés

Méthode d'élimination de Gauss

Exercice 1. Résoudre par la méthode d'élimination de Gauss, en donnant l'expression de toutesles matrices et seconds membres intermédiaires, le système Ax = b, avec

A =

2 −1 4 04 −1 5 1−2 2 −2 30 3 −9 4

et b =

81633

.

Répondre à la même question avec

A =

5 2 15 −6 2−4 2 1

et b =

121

.

Exercice 2. On considère le système linéaire Ax = b avec

A =

1 0 6 28 0 −2 −22 9 1 32 1 −3 10

et b =

6−2−8−4

.

1. Est-il possible d'utiliser la méthode d'élimination de Gauss (sans échange) pour la résolutionde ce système linéaire ?

2. Trouver une permutation de A, de la forme PAQ, sur laquelle on peut réaliser l'élimination.Comment transforme-t-elle le système linéaire ?

Exercice 3. Soit la matrice

U =

2 1 0 00 4 1 00 0 3 10 0 0 1

.

Calculer son inverse en résolvant le système matriciel UX = I4 dans lequel X désigne une matricecarrée d'ordre 4 par la méthode d'élimination de Gauss�Jordan.

Exercice 4. Donner une formulation matricielle (c'est-à-dire en termes d'un produit de matrices)de la réduction à la forme échelonnée de la matrice

A =

1 1 3 0 0 24 6 5 2 2 04 2 4 1 3 42 2 0 3 3 8

par la méthode d'élimination de Gauss.

1

Exercice 5. On considère le système linéaire (S) Ax = b avec

A =

2 4 20 4 42 0 20 1 8

.

1. En utilisant la méthode d'élimination de Gauss�Jordan, déterminer le système sous formeéchelonnée réduite équivalent à (S).

2. Préciser le rang et la dimension du noyau de la matrice échelonnée réduite obtenue et endéduire ceux de la matrice A.

3. Déterminer une base de l'espace image et du noyau de la matrice A.

4. Quelle(s) condition(s) doit véri�er le vecteur b pour que le système (S) ait une solution ?

2



Méthodes de factorisation pour la résolution de systèmes linéaires

Exercice 1. On considère le système linéaire Ax = b avec

A =

2 −1 4 04 −1 5 1−2 2 −2 30 3 −9 4

et b =

591−2

.

1. Calculer la factorisation LU de la matrice A.

2. Résoudre le système linéaire en utilisant la factorisation trouvée à la question précédente.

3. Calculer le déterminant de la matrice A.

Exercice 2. Déterminer les factorisations LU des matrices

A =

2 2 1−2 6 41 0 2

, B =

1 0 1 02 4 5 10 4 0 41 0 0 2

, C =

a a a aa b b ba b c ca b c d

,

en précisant à chaque étape les matrices intervenant dans le procédé de factorisation.

Exercice 3 (factorisation LU d'une matrice bande). On dit qu'une matrice est une matricebande si elle n'admet que des éléments non nuls sur un � certain nombre � de diagonales autour dela diagonale principale. Plus précisément, une matrice A de Mm,n(R) de largeur de bande valant2p+ 1 est telle qu'il existe un entier naturel p tel que aij = 0 pour |i− j| > p.Montrer que la factorisation LU préserve la structure des matrices bandes au sens suivant : soit Aune matrice carrée d'ordre n admettant une factorisation LU, alors

aij = 0 pour |i− j| > p⇒ lij = 0 pour i− j > p et uij = 0 pour j − i > p.

Exercice 4 (factorisation LU d'une matrice tridiagonale). Soit

A =

a1 c1d2 a2 c2

. . .. . .

. . .

dn−1 an−1 cn−1dn an

une matrice tridiagonale d'ordre n.

1. Véri�er que si A admet une factorisation LU alors les matrices L et U sont de la forme

L =

1l2 1

. . .. . .

ln 1

et U =

u1 c1

. . .. . .

un−1 cn−1un

.

1

2. Montrer que les coe�cients ui, 1 ≤ i ≤ n, et lj , 2 ≤ j ≤ n, satisfont les relations

u1 = a1, li =diui−1

, ui = ai − lici−1, 2 ≤ i ≤ n.

3. Obtenir les formules découlant de l'utilisation de cette factorisation pour la résolution dusystème linéaire Ax = b, avec b de Rn donné.

4. Donner le nombre d'opérations nécessaires pour la résolution de ce système.

Exercice 5 (factorisation LU d'une matrice à diagonale strictement dominante). SoitA une matrice carrée d'ordre n à diagonale strictement dominante par lignes, c'est-à-dire véri�antles conditions

|aii| >n∑j=1

j 6=i

|aij |, 1 ≤ i ≤ n.

Le but de cet exercice est de montrer qu'une telle matrice est inversible et qu'elle admet unefactorisation LU.

1. Montrer, en raisonnant par l'absurde, qu'une matrice carrée d'ordre n à diagonale strictementdominante par lignes est inversible.

2. Soit A une matrice carrée d'ordre n inversible. Montrer que A admet une factorisation LUsi et seulement si AT admet une factorisation LU.

3. Soit A une matrice carrée d'ordre n, que l'on partitionne en quatre blocs de la manièresuivante :

A =

(a wT

v A1

),

avec a = a11 ∈ R, v ∈ Rn−1, w ∈ Rn−1 et A1 une matrice carrée d'ordre n−1. En e�ectuantun produit par blocs, véri�er alors que

A =

(1 0Tva In−1

)(1 0T

0 B

)(a wT

0 In−1

), avec B = A1 −

1

avwT ,

où 0 désigne le vecteur nul de Rn−1.4. Montrer que si la matrice B admet une factorisation LU, alors A également.

5. Dans cette question, on suppose que la matrice A est à diagonale strictement dominante parcolonnes.

a. En utilisant la décomposition et les notations introduites dans la question précédente,Montrer que

n−1∑i=1i 6=j

|vi| < |a| − |vj |, 1 ≤ j ≤ n− 1,

puis quen−1∑i=1i6=j

|(A1)ij | < |(A1)jj | − |wj |, 1 ≤ j ≤ n− 1,

et en�n quen−1∑i=1i6=j

|bij | ≤n−1∑i=1i6=j

|(A1)ij |+|wj ||a|

n−1∑i=1i 6=j

|vi|, 1 ≤ j ≤ n− 1.

En déduire que la matrice B est à diagonale strictement dominante par colonnes.

2

b. En raisonnant par récurrence, montrer que A admet alors une factorisation LU.

6. En supposant à présent que la matrice A est à diagonale strictement dominante par lignes,déduire des questions précédentes qu'elle admet une factorisation LU.

7. On considère les trois matrices suivantes

A =

4 1 1 11 4 1 11 1 4 11 1 1 4

, B =

1 2 3 00 −1 0 40 0 2 30 0 0 1

, C =

4 1 1 11 4 1 1−1 1 0 03 −3 0 0

.

Déterminer, en justi�ant très simplement la réponse, lesquelles de ces matrices admettentune factorisation LU et, le cas échéant, calculer leur factorisation LU en précisant à chaqueétape les opérations e�ectuées sur les lignes de la matrice factorisée.

Exercice 6 (factorisation de Cholesky). Une matrice symétrique d'ordre n dé�nie positiveest une matrice symétrique d'ordre n telle que

∀v ∈ Rn, vTAv ≥ 0, et vTAv = 0⇒ v = 0.

Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A admet une factorisation de Cholesky s'il existeune matrice triangulaire inférieure inversible B à diagonale principale strictement positive telleque

A = BBT .

1. Montrer que si A est symétrique dé�nie positive alors A est inversible.

2. Montrer que si A admet une factorisation de Cholesky alors A est une matrice symétriquedé�nie positive.

3. Montrer que si A admet une factorisation de Cholesky alors A admet une factorisationLDLT . En déduire que si A admet une factorisation de Cholesky, cette factorisation estunique dès lors que les coe�cients diagonaux de B sont strictement positifs.

Dans toute la suite, on suppose que A est une matrice symétrique d'ordre n dé�nie positive.

4. Dans cette question, on veut prouver que la matrice A admet une factorisation de Choleskypar un raisonnement par récurrence.

a. Pour n > 1, écrire la matrice A sous la forme

A =

(An−1 l

lT ann

),

où l ∈ Rn−1, ann ∈ R et An−1 est une matrice symétrique d'ordre n − 1. Montrer queAn−1 est dé�nie positive.

b. On suppose que An−1 admet une décomposition de Cholesky, c'est-à-dire qu'il existe unematrice triangulaire inférieure inversible Bn−1 telle que An−1 = Bn−1Bn−1

T . Montrerque l'on peut déterminer de manière unique m ∈ Rn−1 et b ∈ R, b > 0, tels que

B =

(Bn−1 0mT b

)et A = BBT .

c. En déduire que A admet une factorisation de Cholesky.

5. Écrire l'algorithme permettant de calculer les coe�cients de la matrice B.

6. Comparer le nombre d'opérations nécessaires à la résolution d'un système linéaire à matricesymétrique dé�nie positive par la méthode de Cholesky avec celui de la méthode d'éliminationde Gauss.

3

7. Application : déterminer la factorisation de Cholesky des matrices suivantes :1 0 3 20 4 2 03 2 11 72 0 7 21

,

1 2 3 42 5 1 103 1 35 54 10 5 45

et

1 −1 3 1−1 5 −7 −43 −7 14 41 −4 4 8

.

Exercice 7. On considère la matrice

A =

ε 1 21 3 12 1 3

d'un système linéaire Ax = b, avec ε ∈ R.

1. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre ε la matrice A est symétrique dé�nie positive.

2. On suppose tout d'abord que ε = 0. On veut résoudre le système Ax = b par une méthodedirecte ; quelle factorisation de la matrice A envisager dans ce cas ?

3. On suppose maintenant que ε = 2.

a. Véri�er que la matrice A est dé�nie positive et en calculer la factorisation de Cholesky.

b. En supposant que b =(1 1 1

)T, résoudre le système linéaire Ax = b en utilisant la

factorisation calculée à la question précédente.

Exercice 8 (factorisation QR). Soit A une matrice réelle d'ordre n inversible.

1. Montrer qu'il existe une matrice R triangulaire supérieure à diagonale strictement positivetelle que

ATA = RTR.

2. En déduire qu'il existe une matrice orthogonale Q, c'est-à-dire véri�ant QTQ = QQT = In,telle que

A = QR. (1)

3. Montrer que la décomposition (1) est unique.

4. On note (aj)1≤j≤n les colonnes de la matrice A, (qj)1≤j≤n celles de Q et on pose R =(rij)1≤i,j≤n.

a. Montrer que aj =∑jk=1 rkjqk, j = 1, . . . , n.

b. En déduire qu'obtenir la factorisation (1) équivaut à construire une base orthonormale àpartir de la famille {aj}1≤j≤n.

4



Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires

Exercice 1 (normes matricielles subordonnées). Soit n un entier strictement positif. Onnote Mn(C) l'anneau des matrices d'ordre n à coe�cients complexes et on rappelle qu'une normematricielle sur Mn(C) est une application véri�ant les propriétés suivantes :

• ∀A ∈Mn(C), ‖A‖ ≥ 0 et ‖A‖ = 0⇔ A = 0,• ∀α ∈ C, ∀A ∈Mn(C), ‖αA‖ = |α|‖A‖,• ∀A ∈Mn(C), ∀B ∈Mn(C), ‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖,• ∀A ∈Mn(C), ∀B ∈Mn(C), ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖.Pour toute norme vectorielle ‖ · ‖p, p = 1, 2, . . . ,∞, sur Cn, on dé�nit la norme matricielle

subordonnée associée par

∀A ∈Mn(C), ‖A‖p = supx∈Cnx 6=0

‖Ax‖p‖x‖p

.

Pour toute matrice A de Mn(C), montrer les propriétés suivantes :

1. ‖A‖p ≥ ρ(A), où ρ(A) = max{|λ| |λ ∈ σ(A)} est le rayon spectral de A,

2. ‖A‖1 = max1≤j≤n

(∑ni=1 |aij |),

3. ‖A‖∞ = max1≤i≤n

(∑nj=1 |aij |

),

4. ‖A‖2 = ‖UA‖2 = ‖AU‖2 = ‖U∗AU‖2 pour toute matrice unitaire U (c'est-à-dire telle queUU∗ = In),

5. ‖A‖2 = ‖A∗‖2 =√ρ(A∗A).

Exercice 2 (rayon spectral et série de Neumann). Soit A ∈ Mn(R) et ‖ · ‖ une normematricielle. Montrer que

1. on a ρ(A) < 1 si et seulement si Ak tend vers 0 lorsque k tend vers l'in�ni,

2. si ρ(A) < 1, alors les matrices In −A et In +A sont inversibles,

3. la série de terme général Ak converge (vers (In −A)−1) si et seulement si ρ(A) < 1.

Exercice 3 (convergence de méthodes itératives pour les matrices à diagonale stricte-ment dominante). Soit A = (aij)1≤i,j≤n une matrice carrée d'ordre n à diagonale strictementdominante par lignes, c'est-à-dire véri�ant la condition

|aii| >n∑j=1

j 6=i

|aij |, 1 ≤ i ≤ n.

Montrer alors que la matrice A est inversible et que les méthodes de Jacobi et de Gauss�Seidel,utilisées pour la résolution du système Ax = b, avec b un vecteur donné, convergent toutes deux.

Exercice 4. On considère la matrice carrée d'ordre 3 suivante

A =

4 −1 0−1 4 −10 −1 4

.

1

1. Étudier la convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss�Seidel pour cette matrice.

2. Véri�er que ρ(BGS) = ρ(BJ)2, où BGS et BJ désignent respectivement les matrices d'itéra-tion des méthodes de Gauss�Seidel et de Jacobi. Laquelle de ces deux méthodes converge leplus rapidement ?

Exercice 5. On considère les méthodes de Jacobi et Gauss�Seidel pour la résolution d'un systèmelinéaire Ax = b de matrice

A =

α 0 10 α 01 0 α

.

Étudier la convergence de ces deux méthodes en fonction de la valeur du paramètre réel α.

Exercice 6. Soit α et β deux réels. On considère les matrices

Aα =

2 α 0α 2 α0 α 2

et Cβ =

1 β ββ 1 ββ β 1

.

1. Pour quelles valeurs de α (resp. β) la matrice Aα (resp. Cβ) est-elle dé�nie positive ?

2. Écrire la matrice d'itération de la méthode de Jacobi associée à Aα (resp. Cβ). Pour quellesvaleurs de α (resp. β) cette méthode converge-t-elle ?

3. Écrire la matrice d'itération de la méthode de Gauss�Seidel associée à Aα et calculer sonrayon spectral. Pour quelles valeurs de α a-t-on convergence de cette méthode ?

Exercice 7. Le but de cet exercice est de montrer (par des exemples) qu'on ne peut établir unrésultat général de comparaison de convergence entre les méthodes de Gauss�Seidel et de Jacobi.

1. Soit

A =

1 2 −21 1 12 2 1

.

Montrer que ρ(BJ) < 1 < ρ(BGS), où BGS et BJ désignent les matrices d'itération desméthodes de Gauss�Seidel et de Jacobi respectivement.

2. Soit maintenant

A =

2 −1 12 2 2−1 −1 2

.

Montrer que ρ(BGS) < 1 < ρ(BJ).

Exercice 8 (une méthode de relaxation).On considère pour la résolution d'un système linéaireAx = b, avec A une matrice inversible dont les éléments diagonaux sont tous non nuls, la méthodeitérative dé�nie par la relation de récurrence

∀k ∈ N, (D − E)x(k+ 12 ) = Fx(k) + b et x(k+1) = ω x(k+ 1

2 ) + (1− ω)x(k),

où ω est un paramètre réel, D est la partie diagonale de A, E est la partie triangulaire inférieurestricte (i.e., sans la diagonale) de −A et F est la partie triangulaire supérieure stricte (i.e., sansla diagonale) de −A.

1. Réécrire cette méthode itérative sous la forme

x(k+1) = B(ω)x(k) + c(ω),

en explicitant la matrice d'itération B(ω) et le vecteur c(ω). Véri�er que l'on retrouve laméthode de Gauss�Seidel lorsque ω = 1.

2

2. Soit maintenant

A =

(2 10 5

)et b =

(11

).

Donner les valeurs du paramètre ω pour lesquelles la méthode itérative est convergente dansce cas.

Exercice 9. Soit A une matrice carrée d'ordre 3 telle que A = I3 − E − F avec

E =

0 −2 0−1 0 00 0 0

et F =

0 0 00 0 0−1 −1 0

.

1. Montrer que A est inversible.

2. Soit 0 < ω < 2. Montrer que la matrice1

ωI3 − E est inversible si et seulement si ω 6=

√2

2.

3. Pour 0 < ω < 2, ω 6=√

2

2, on considère, pour la résolution de Ax = b, la méthode itérative

dé�nie par

x(0) ∈ R3 et, ∀k ∈ N,(

1

ωI3 − E

)x(k+1) =

(F +

1− ωω

I3

)x(k) + b,

et on pose L(ω) =

(1

ωI3 − E

)−1(F +

1− ωω

I3

). Calculer, en fonction de ω, les valeurs

propres de L(ω) et son rayon spectral.

4. Pour quelles valeurs de ω cette méthode converge-t-elle ?

5. Déterminer ω0 ∈]0, 2[ véri�ant ρ(L(ω0)) = min{ρ(L(ω)) |ω ∈]0, 2[, ω 6=

√22

}.

Exercice 10 (méthode de Richardson). Pour résoudre le système linéaire Ax = b, on considèrela suite construite par la méthode de Richardson stationnaire, encore connue sous le nom deméthode du gradient à pas �xe, dé�nie par la relation de récurrence

x(0) ∈ Rn donné et, ∀k ∈ N,x(k+1) = x(k) + α (b−Ax(k)),

avec α un réel non nul.

1. Montrer que, si la méthode converge, la limite x de la suite(x(k)

)k∈N véri�e Ax = b.

2. Montrer que, si

A =

1 1 22 1 13 2 3

,

il n'existe pas de α non nul tel que la méthode converge.

3. Discuter la convergence de la méthode lorsque A est une matrice symétrique dé�nie positive.

Exercice 11 (convergence de la méthode de Richardson pour une matrice symétriquedé�nie positive). On suppose l'espace vectoriel Rn muni du produit scalaire euclidien, noté (· , ·),et de la norme associée ‖v‖2 = (v,v)

1/2. Soit A une matrice symétrique d'ordre n véri�ant

∃c > 0, ∀v ∈ Rn, (Av,v) ≥ c ‖v‖22.

1. Montrer que kerA = {0}. En déduire que, pour tout b ∈ Rn, le système linéaire Ax = badmet une unique solution.

3

2. On �xe α > 0 et on construit la suite(x(k)

)k∈N de Rn véri�ant

x(0) ∈ Rn donné et, ∀k ∈ N, x(k+1) = x(k) + α(b−Ax(k)).

On note r(k) = b−Ax(k) le résidu à l'étape k.

a. Montrer que, ∀k ∈ N, r(k+1) = (In − αA)r(k), puis que r(k) = (In − αA)kr(0).

b. Soit x ∈ Rn tel que ‖x‖2 = 1. Montrer que

‖(In − αA)x‖22 ≤ α2‖A‖22 − 2cα+ 1.

c. En déduire que ‖In − αA‖2 < 1 pour α appartenant à un intervalle bien choisi.

3. Déduire de la question précédente une condition nécessaire sur α pour que la suite(x(k)

)k∈N

converge vers la solution de Ax = b.

4



Méthodes de résolution des équations non linéaires

Exercice 1 (vitesse de convergence de la méthode de la fausse position). Soit [a, b] unintervalle non vide de R et f une application continue de [a, b] dans R, telle que f(a)f(b) < 0. Laméthode de la fausse position appliquée à la recherche d'un zéro de f est obtenue en remplaçantdans l'algorithme de la méthode de dichotomie le point milieu x(k) = 1

2 (a(k) + b(k)) par l'abscissedu point d'intersection de la droite passant par les points (a(k), f(a(k))) et (b(k), f(b(k))) avec l'axedes abscisses.

1. Déterminer x(k) en fonction de a(k), f(a(k)), b(k) et f(b(k)).

2. Pour étudier la vitesse de convergence de cette méthode, on fait les hypothèses additionnellesque f est deux fois continûment dérivable sur [a, b] et que les dérivées f ′ et f ′′ ne s'annulentpas sur cet intervalle, de telle sorte que ξ soit un zéro simple de f . Dans ces conditions, lasuite (x(k))k∈N construite par la méthode converge vers ξ.

a. Montrer que, pour tout x ∈ [a, b], il existe θ ∈ [a, b] tel que

f(x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) +

1

2(x− a)(x− b)f ′′(θ).

Indication : on pourra introduire, pour x �xé dans ]a, b[ et tout t dans [a, b], la fonction

auxiliaire

φ(t) = f(t)− p(t)− f(x)− p(x)

(x− a)(x− b)(t− a)(t− b), avec p(x) = f(a) +

f(b)− f(a)

b− a(x− a),

et utiliser le théorème de Rolle.

b. En appliquant le résultat précédent au point ξ et à l'intervalle [a(k), b(k)], montrer qu'ilexiste θ(k) ∈ [a(k), b(k)] tel que

f(b(k))− f(a(k))

b(k) − a(k)(ξ − x(k)) = −1

2(ξ − a(k))(ξ − b(k))f ′′(θ(k)).

c. En déduire que, ∀k ∈ N, il existe η(k) ∈ [a(k), b(k)] tel que

ξ − x(k) = −1

2(ξ − a(k))(ξ − b(k))f

′′(θ(k))

f ′(η(k)).

d. On suppose à présent que, ∀x ∈ [a, b], f ′(x) > 0 et f ′′(x) > 0. Montrer que, ∀k ∈ N,b(k+1) = b et a(k+1) = x(k). Étudier alors le comportement de la suite

(|x(k+1)−ξ||x(k)−ξ|

)k∈N

lorsque k tend vers l'in�ni.

Exercice 2 (étude de convergence de la méthode de point �xe). Soit [a, b] un intervallenon vide de R et g une application continue de [a, b] dans lui-même.

1. Montrer que g possède au moins un point �xe ξ dans l'intervalle [a, b].

1

2. On suppose à présent que la fonction g est continûment dérivable dans un voisinage I =[ξ − h, ξ + h] de ξ et que, uniquement dans cette question, |g′(ξ)| < 1. On va montrerque la suite dé�nie par

∀k ∈ N, x(k+1) = g(x(k))

converge vers ξ dès que l'initialisation x(0) est su�samment proche de ξ. On dit alors que ξest un point �xe attractif de g.a. Montrer qu'il existe 0 < δ ≤ h tel que

∀x ∈ Iδ = [ξ − δ, ξ + δ], |g′(x)− g′(ξ)| ≤ 1

2(1− |g′(ξ)|) .

b. En déduire qu'il existe une constante 0 < L < 1 telle que, ∀x ∈ Iδ, |g′(x)| ≤ L.c. En déduire que si x(k) ∈ Iδ, alors

|x(k+1) − ξ| ≤ L |x(k) − ξ|,

et que, si x(0) ∈ Iδ, alors

∀k ∈ N, x(k) ∈ Iδ et |x(k) − ξ| ≤ Lk |x(0) − ξ|.

d. En conclure que la suite (x(k))k∈N converge vers ξ.3. On suppose dans cette question que |g′(ξ)| > 1. En s'inspirant des étapes de la question

précédente, montrer qu'il existe δ > 0 tel que pour k su�samment grand, x(k) n'appartientpas à Iδ. En déduire que la suite (x(k))k∈N ne peut a priori converger vers ξ, quelle que soitl'initialisation x(0) 6= ξ. On dit alors que ξ est un point �xe 1 répulsif de g.

4. Application. Étudier les méthodes de point �xe associées aux fonctions suivantes :

g1(x) = ln(1 + x) + 0, 2, g2(x) =1

2(x2 + c), avec 0 ≤ c < 1, et g3(x) = − ln(x).

Exercice 3. On souhaite calculer le zéro de la fonction f(x) = x3 − 2 par une méthode de point�xe utilisant la fonction

g(x) =(

1− ω

3

)x+ (1− ω)x3 +

2ω

3x2+ 2(ω − 1),

ω étant un paramètre réel.

1. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre ω le zéro de la fonction f est-il un point �xe de laméthode ?

2. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre ω la convergence de la méthode est-elle d'ordre supé-rieur à un ?

3. Existe-t-il une valeur du paramètre ω telle que l'ordre de la méthode soit supérieur à deux ?

Exercice 4 (étude de convergence de la méthode de Newton�Raphson vers un zérosimple). Soit f une fonction deux fois continûment dérivable sur l'intervalle [a, b] ⊂ R, à valeursdans R, et ξ un zéro simple de f , c'est-à-dire tel que f(ξ) = 0 et f ′(ξ) 6= 0, contenu dans [a, b].

On se propose de déterminer le zéro ξ par la méthode de Newton�Raphson, c'est-à-dire en tantque limite de la suite récurrente dé�nie par

∀k ∈ N, x(k+1) = x(k) − f(x(k))

f ′(x(k))= g(x(k)),

l'initialisation x(0) étant donnée. Le réel ξ étant aussi un point �xe de la fonction φ, on rappelleque l'ordre de convergence d'une méthode itérative de la forme x(k+1) = g(x(k)) est égal à r, avecr ≥ 1, s'il existe, pour k su�samment grand, une constante C > 0 telle que

|x(k+1) − ξ| ≤ C|x(k) − ξ|r.

1. En e�et, si x(0) = ξ, alors la suite (x(k))k∈N est constante et vaut ξ.

2

1. Montrer que, pour x(k) su�samment proche de ξ, k ∈ N, on a

ξ − x(k+1) = −1

2

1

f ′(x(k))f ′′(x(k) + θ(ξ − x(k))

)(ξ − x(k))2, 0 < θ < 1,

et en conclure que l'ordre de convergence de la méthode de Newton�Raphson est deux.

2. En déduire qu'il existeK > 0 telle que si |x(0)−ξ| ≤ K, alors la méthode de Newton�Raphsonconverge.

Exercice 5 (exemple de divergence de la méthode de Newton�Raphson). On considèrela fonction f(x) = arctan(x), qui a pour zéro ξ = 0.

1. Écrire l'équation de récurrence de la méthode de Newton�Raphson utilisée pour approcherle zéro de f . On notera g la fonction dont ξ est le point �xe ainsi dé�nie.

2. Montrer que si

arctan(|x|) > 2 |x|1 + x2

alors |g(x)| > |x|.3. Étudier l'application x 7→ (1 + x2) arctan(x)− 2x sur [0,+∞[. En déduire que si

arctan(|x|) > 2 |x|1 + x2

alors

arctan(|g(x)|) > 2 |g(x)|1 + g(x)2

.

4. En conclure que si

arctan(|x(0)|) > 2 |x(0)|1 + (x(0))2

alorslim

k→+∞|x(k)| = +∞.

Exercice 6 (étude de convergence de la méthode de Newton�Raphson vers un zéromultiple). Soit f une fonction m+ 1 fois continûment dérivable (m ≥ 2) dans l'intervalle [a, b] etξ un zéro multiple de f d'ordre m, c'est-à-dire tel que

f(ξ) = f ′(ξ) = · · · = f (m−1)(ξ) = 0 et f (m)(ξ) 6= 0,

contenu dans [a, b]. On cherche à appliquer la méthode de Newton�Raphson pour approcher ξ, endé�nissant la suite (x(k))k∈N par

∀k ∈ N, x(k+1) = x(k) − f(x(k))

f ′(x(k))= g(x(k)),

l'initialisation x(0) étant donnée. On note que la fonction g n'est pas dé�nie au point ξ.

1. Montrer alors que l'on peut prolonger g par continuité et que la fonction ainsi obtenue estdérivable au voisinage de ξ, telle que

g′(ξ) = 1− 1

m.

2. En déduire qu'il existe une constante K > 0 telle que si |x(0) − ξ| ≤ K alors la méthode deNewton�Raphson converge et que cette convergence est linéaire.

3

3. On suppose la valeur de l'entier m connue a priori. On a alors recours à la méthode modi�ée,dé�nie par

∀k ∈ N, x(k+1) = x(k) −m f(x(k))

f ′(x(k)),

avec x(0) donné. Quel est l'ordre de convergence de cette nouvelle méthode ?

Exercice 7 (étude de la méthode de Héron pour le calcul de√

2). Pour calculer√

2, onpropose de construire une suite récurrente dé�nie par

x(0) = 1 et, ∀k ∈ N, x(k+1) =1

2

(x(k) +

2

x(k)

).

1. Étudier la fonction g(x) =1

2

(x+

2

x

)sur R∗+ et tracer son graphe.

2. Construire graphiquement les premiers termes de la suite (x(k))k∈N.

3. Véri�er que g est une application contractante de [1, 2] dans lui-même. En déduire que lasuite (x(k))k∈N est convergente et déterminer sa limite.

4. Pour quelles valeurs de l'initialisation x(0) la suite (x(k))k∈N est-elle convergente ?

5. Montrer que la convergence de cette méthode est quadratique. Que dire d'autre ?

4



Interpolation polynomiale

Exercice 1. Construire le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré un, noté Π1f , d'unefonction f dé�nie et continue sur l'intervalle [−1, 1], interpolée aux n÷uds −1 et 1. Montrer que,si f est de classe C 2 sur [−1, 1], on a alors

∀x ∈ [−1, 1], |f(x)−Π1f(x)| ≤ M2

2(1− x2) ≤ M2

2,

où M2 = maxx∈[−1,1]

|f ′′(x)|. Donner un exemple de fonction pour laquelle cette inégalité est une éga-

lité.

Exercice 2. Écrire le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré un, noté Π1f , de la fonctionf : x 7→ x3, interpolée aux n÷uds 0 et a. Montrer que, pour tout x appartenant à ]0, a[, il existeun point c ∈ [0, a] tel que

f(x)−Π1f(x) =f ′′(c)

2x(x− a),

et établir que c = 13 (x+ a).

Considérer ensuite la fonction f : x 7→ (2x− a)4 et montrer que, dans ce cas, il y a deux valeurspossibles pour c. Les déterminer.

Exercice 3. Soit n un entier positif. Étant donnés n + 2 n÷uds distincts xi, i = 0, . . . , n + 1,et n + 2 valeurs yi, i = 0, . . . , n + 1, on note Π0,...,n le polynôme d'interpolation de Lagrange dedegré n associé à l'ensemble de points {(xi, yi)}i=0,...,n et Π1,...,n+1 le polynôme d'interpolation deLagrange de degré n associé à l'ensemble de points {(xi, yi)}i=1,...,n+1. On pose

p(x) =(x− x0) Π1,...,n+1(x)− (x− xn+1) Π0,...,n(x)

xn+1 − x0.

Montrer que p est le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré n + 1 associé aux points{(xi, yi)}i=0,...,n+1.

Exercice 4 (forme de Newton du polynôme d'interpolation). Soit n un entier strictementpositif. Étant donné n + 1 n÷uds distincts xi, i = 0, . . . , n, et n + 1 valeurs yi, i = 0, . . . , n, onnote Πj , j ∈ {0, . . . , n}, le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré j associé aux points{(xi, yi)}i=0,...,j .

1. On poseΠn(x) = Πn−1(x) + qn(x).

Montrer que qn(x) = an ωn(x), où an est un coe�cient à expliciter et ωn(x) =∏n−1i=0 (x−xi).

La constante an est appelée ne di�érence divisée de Newton et sera notée [x0, . . . , xn]y dansla suite de l'exercice.

2. On pose [x0]y = y0 et ω0 ≡ 1. Montrer que

Πn(x) =

n∑k=0

[x0, . . . , xk]y ωk(x),

où [x0, . . . , xk]y est la ke di�érence divisée de Newton. Cette écriture est appelée forme de

Newton du polynôme d'interpolation.

1

3. Montrer que

Πn(x) =

n∑i=0

ωn+1(x)

(x− xi)ω′n+1(xi)yi,

et en déduire que

[x0, . . . , xn]y =

n∑i=0

yiω′n+1(xi)

.

4. Obtenir en�n la formule de récurrence permettant le calcul des di�érences divisées :

[x0, . . . , xn]y =[x1, . . . , xn]y − [x0, . . . , xn−1]y

xn − x0.

Peut-on en déduire un avantage de la forme de Newton du polynôme d'interpolation sur laforme de Lagrange ?

Exercice 5 (polynômes de Tchebychev et meilleurs points d'interpolation). Soit n ∈ N.Le but de cet exercice est de montrer que les points x0, . . . , xn appartenant à un intervalle [a, b]et minimisant 1

supx∈[a,b]

|ωn+1(x)| = supx∈[a,b]

∣∣∣∣∣n∏k=0

(x− xk)

∣∣∣∣∣sont reliés aux racines d'un polynôme particulier, dit de Tchebychev. Quitte à e�ectuer un change-ment de variable a�ne, on peut supposer que [a, b] = [−1, 1]. Pour tout x dans l'intervalle [−1, 1],on pose alors Tn(x) = cos(n arccos(x)).

1. Montrer que Tn(cos(x)) = cos(nx) et que l'on a la relation de récurrence

Tn+2(x) = 2xTn+1(x)− Tn(x).

2. Pour n ∈ N∗, en déduire que le polynôme Tn est de degré n, que son monôme de plus hautdegré est 2n−1xn et que ses racines sont les nombres xk = cos

(2k+12n π

), k = 0, . . . , n− 1 (Tn

est alors appelé le nepolynôme de Tchebychev).

3. Montrer que la fonction Tn admet sur [−1, 1] des extrema locaux aux points x′k = cos(knπ),

k = 0, . . . , n, et que Tn(x′k) = (−1)k.

4. Montrer alors que

supx∈[−1,1]

∣∣∣∣∣n∏k=0

(x− xk)

∣∣∣∣∣ ≤ supx∈[−1,1]

|Q(x)|,

pour tout polynôme Q normalisé de degré n+ 1, les points xk, k = 0, . . . , n, étant les racinesdu polynôme Tn+1.

1. Cette quantité apparaît dans l'erreur d'interpolation E(x) = f(x)−Πnf(x), mesurée en norme de la conver-gence uniforme, d'une fonction de classe Cn+1 sur [a, b].

2



Formules de quadrature

Exercice 1. On considère la formule de quadrature sur l'intervalle [−1, 1] donnée par

∀f ∈ C 0([−1, 1]), Iap(f) = α0 f

(−1

2

)+ α1 f(0) + α2 f

(1

2

).

1. Déterminer α0, α1 et α2 de sorte que la formule soit exacte pour tout polynôme de degréinférieur ou égal à deux.

2. Quel est le degré d'exactitude de la formule ainsi obtenue ?

Exercice 2. Étant donnés deux points x0 et x1 dans l'intervalle [−1, 1] tels que x0 < x1 et deuxréels α0 et α1, on considère la formule de quadrature suivante sur l'intervalle [−1, 1] :

∀f ∈ C 0([−1, 1]), Iap(f) = α0 f(x0) + α1 f(x1).

Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs x0, x1, α0 et α1 conduisant à une formule dequadrature de degré d'exactitude le plus élevé possible.

1. Construire les polynômes de Lagrange l0 et l1 associés aux points x0 et x1.

2. Déterminer les poids α0 et α1 tels que la formule soit exacte pour ces deux polynômes. Endéduire qu'elle est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à un.

3. Déterminer une relation entre les n÷uds x0 et x1 pour que la formule soit exacte pour toutpolynôme de degré inférieur ou égal à deux.

4. Répondre à la même question pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à trois.

5. Montrer que le degré d'exactitude de la formule de quadrature est au plus égal à trois.Indication : on pourra utiliser le polynôme ω(x) = ((x− x0)(x− x1))2.

6. En déduire la formule de quadrature à deux n÷uds sur l'intervalle [−1, 1] et de degré d'exac-titude égal à trois.

Exercice 3 (erreur pour la formule de quadrature de Simpson). Soit [a, b] un intervallefermé, borné et non vide de R et f une application de [a, b] dans R. La formule de Simpson est uneformule de quadrature interpolatoire pour laquelle une approximation de l'intégrale de la fonctionf entre a et b est obtenue en remplaçant f par son polynôme d'interpolation de Lagrange de degrédeux aux n÷uds x0 = a, x1 = a+b

2 et x2 = b, noté Π2f .

1. Dé�nir et expliciter le polynôme d'interpolation Π2f , puis déterminer

I2(f) =

∫ b

a

Π2f(x) dx =

2∑i=0

αi f(xi).

2. On suppose maintenant que f ∈ C 4([a, b]) et on introduit l'erreur de quadrature E2(f) =∫ b

a

(f(x)−Π2f(x)) dx. On va montrer que

E2(f) = − (b− a)5

2880f (4)(c), avec c ∈]a, b[.

1

Pour t appartenant à [−1, 1], on pose F (t) = f(a+b2 + b−a

2 t)et

G(t) =

∫ t

−tF (u) du− t

3[F (−t) + 4F (0) + F (t)] .

a. Montrer que E2(f) = 12 (b− a)G(1).

b. Soit H(t) = G(t)− t5G(1). Montrer qu'il existe ζ ∈]− 1, 1[ tel que H ′′′(ζ) = 0.

c. En déduire qu'il existe ξ ∈]− ζ, ζ[ tel que

H ′′′(ζ) = −2ζ2

3

[F (4)(ξ) + 90G(1)

],

et, par suite, que

G(1) = − 1

90F (4)(ξ) = − (b− a)4

1440f (4)(c),

avec c ∈]a, b[.

3. Quel est le degré d'exactitude de cette formule de quadrature ?

Exercice 4 (erreur de quadrature et noyau de Peano). Soit k ∈ N. On note Pk l'ensembledes fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à k.

1. Soit une fonction f ∈ C 0([−1, 1]). On note Π2f ∈ P2 le polynôme d'interpolation de Lagrangede f aux points −1, 0 et 1. Donner l'expression des polynômes de Lagrange li, i = 0, 1, 2,tels que

Π2f(x) = f(−1) l0(x) + f(0) l1(x) + f(1) l2(x).

En déduire les valeurs des poids αi, i = 0, 1, 2, telles que la formule de quadrature

I2(f) = α0 f(−1) + α1 f(0) + α2 f(1), (2)

approchant l'intégrale de f entre −1 et 1, soit exacte pour tout polynôme de degré inférieurou égal à deux.

2. On suppose que f ∈ P3 et on note s ∈ P3 le polynôme tel que

f(x) = Π2f(x) + s(x).

Montrer que s est de la forme

s(x) = a(x2 − 1)x, a ∈ R,

et en déduire que la formule (2) est en fait exacte pour tout polynôme de degré inférieur ouégal à trois.

3. On supposera dans toute la suite que f ∈ C 4([−1, 1]) et on rappelle que, par la formule deTaylor avec reste intégral, on a, ∀x ∈ [−1, 1],

f(x) = p(x) +1

6

∫ 1

−1f (4)(t)(x− t)3+ dt,

avec p ∈ P3 et où

(x− t)+ =

{x− t si t ≤ x0 si t > x

.

En déduire dans ce cas que l'erreur E2(f) de la formule de quadrature s'écrit

E2(f) =1

6

∫ 1

−1K(t)f (4)(t) dt,

où K est une fonction dé�nie sur [−1, 1] dont on précisera l'expression générale 1.

1. La fonction K est le noyau de Peano associée à la formule de quadrature considérée.

2

4. On admet le fait que la fonction K est paire. Calculer explicitement K(t) pour t ∈ [0, 1] etmontrer que l'on trouve

K(t) =

{− 1

12 (1− t)3(1 + 3t) si 0 ≤ t ≤ 1

K(−t) si − 1 ≤ t ≤ 0.

5. Véri�er que la fonction K ne change pas de signe sur l'intervalle [−1, 1], puis utiliser lethéorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu'il existe ξ ∈ [−1, 1] tel que

E2(f) =1

6f (4)(ξ)

∫ 1

−1K(t) dt.

En déduire en�n l'expression

E2(f) = −f(4)(ξ)

90.

6. On considère maintenant l'intervalle symétrique [−h, h], avec h > 0. Déduire de ce quiprécède une formule de quadrature∫ h

−hf(x) dx = b1 f(−h) + b2 f(0) + b3 f(h) + E2,h(f),

pour toute fonction f continue sur [−h, h], exacte pour tout polynôme de degré inférieur ouégal à trois et dont on déterminera l'erreur de quadrature E2,h(f) lorsque f ∈ C 4([−h, h]).Indication : on pourra introduire la fonction g, dé�nie sur [−1, 1] par g(u) = f(hu).

3


Annales

Contrôle continu du 6 avril 2010

Exercice 1 (propriétés des matrices de Householder). Soit n un entier strictement positifet v un vecteur non nul de Rn. On appelle matrice de Householder associée au vecteur v la matricedé�nie par

H(v) = In − 2vvT

vTv.

1. Montrer qu'une matrice de Householder est symétrique et orthogonale.

2. Soit ei, i ∈ {1, . . . , n}, un vecteur de la base canonique de Rn et x un vecteur de Rn tel quex 6= ±‖x‖2 ei. Montrer que

H(x± ‖x‖2 ei)x = ∓‖x‖2 ei.

Exercice 2 (méthode de Richardson stationnaire). Pour résoudre le système linéaire Ax = b,où A est une matrice d'ordre n inversible et b un vecteur de Rn, on considère la méthode itérativedé�nie de la manière suivante

x(0) ∈ Rn donné et, ∀k ∈ N, x(k+1) = x(k) + α(b−Ax(k)

),

avec α un réel non nul, appelée méthode de Richardson stationnaire.

1. Quelle est la limite, quand elle existe, de la suite (x(k))k∈N dé�nie ci-dessus ?

2. Montrer que la relation de récurrence de cette méthode itérative est de la forme

∀k ∈ N, Mx(k+1) = Nx(k) + b,

avec A = M −N . Donner alors l'expression de la matrice d'itération, que l'on notera Bα, dela méthode.

3. On suppose dans cette question que A est une matrice symétrique dé�nie positive.

a. Donner, en la démontrant, une condition nécessaire et su�sante sur α pour que la méthodeconverge.

b. Tracer le graphe de la fonction de R\{0} dans [0,+∞[ dé�nie par α 7→ |1 − αλ|, avecλ > 0. En déduire le graphe de la fonction α 7→ ρ(Bα) en fonction des valeurs de λ1 etde λn, qui désignent respectivement la plus petite et la plus grande valeur propre de lamatrice A.

c. Montrer alors que le paramètre optimal αopt assurant la convergence la plus rapide de laméthode est

αopt =2

λ1 + λn.

Combien vaut ρ(Bαopt) ?

d. On �xe à présent

A =

3 0 − 12

0 1 0− 1

2 0 3

et b =

515

.

1

i. Calculer le paramètre αopt et la valeur de ρ(Bαopt) dans ce cas.

ii. Pour toute valeur de α telle que la méthode de Richardson stationnaire est conver-gente, on peut établir que

∀k ∈ N, ‖x(k) − x‖A ≤ ρ(Bα)k ‖x(0) − x‖A,

avec ‖v‖A = (vTAv)1/2. En supposant que x(0) est tel que ‖x(0) − x‖A = 1 et queα = αopt, estimer le nombre minimal d'itérations qu'il est nécessaire d'e�ectuer pourque l'erreur ‖x(k) − x‖A soit inférieure à 10−8.

4. On suppose dans cette question que la matrice A est à diagonale strictement dominante parlignes et à coe�cients diagonaux strictement positifs. Montrer que la méthode de Richardsonstationnaire converge si

0 < α ≤ 1

max1≤i≤n aii

Indication : on pourra se servir de la norme ‖B‖∞ = max1≤i≤n∑nj=1 |bij |.

Examen du 8 juin 2010

Exercice 3 (méthode babylonienne). Le but de cet exercice est d'étudier une méthode, appa-remment déjà connue des babyloniens vers 1700 av. J.-C. (voir la tablette d'argile Yale BabylonianCollection no 7289), pour calculer la racine carrée d'un réel a strictement positif. On considèrepour cela la méthode itérative dé�nie de la manière suivante :

x(0) ∈ R∗+ et , ∀k ∈ N, x(k+1) =1

2

(x(k) +

a

x(k)

).

1. Montrer que la suite (x(k))k∈N ainsi construite est bien dé�nie, c'est-à-dire que, ∀k ∈ N,x(k) > 0.

2. Montrer que l'on a

∀k ∈ N, x(k+1) −√a =

1

2x(k)

(x(k) −

√a)2.

En déduire que, si x(0) 6=√a, alors, ∀k ∈ N∗, x(k) >

√a.

3. On suppose que x(0) 6=√a. Montrer que la suite (x(k))k∈N∗ est strictement décroissante. En

déduire qu'elle converge et que sa limite est nécessairement√a.

4. Déterminer les zéros de la fonction f(x) = x2− a. Quel lien peut-on faire entre l'applicationf et la méthode que l'on vient d'étudier ?

Exercice 4 (formule de quadrature). Soit a un réel �xé tel que 0 < a ≤ 1. Pour toute fonctionf continue sur l'intervalle [−1, 1], on considère la formule de quadrature suivante :∫ 1

−1f(x) dx ≈ αa f(−a) + βa f(0) + γa f(a). (3)

On rappelle que le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le plus grand entier r ≥ 0pour lequel cette formule intègre exactement tout polynôme de degré inférieur ou égal à r.

1. Déterminer, en fonction de a, les poids de quadrature αa, βa et γa de manière à ce que ledegré d'exactitude de la formule (3) soit égal à deux.

2. Véri�er que la formule ainsi obtenue intègre exactement les polynômes de degré trois.

3. Quelle formule de quadrature retrouve-t-on pour le choix a = 1 ?

2

4. Déterminer à présent a dans ]0, 1] pour que le degré d'exactitude de la formule (3) soit égal àquatre. Véri�er que la formule alors obtenue est encore exacte pour les polynômes de degrécinq.

Exercice 5 (accélération de Chebyshev d'une méthode itérative). Plusieurs questions de

cet exercice sont indépendantes ou peuvent être traitées en admettant les résultats des questions

les précédant.

Le but de cet exercice est d'étudier une procédure d'accélération de la convergence d'uneméthode itérative de résolution d'un système linéaire. On utilise pour cela les polynômes de Che-byshev, dé�nis par

∀n ∈ N∗, ∀t ∈ R, T0(t) = 1, T1(t) = t, Tn+1(t) = 2t Tn(t)− Tn−1(t).

On rappelle que le polynôme Tn est de degré n, a pour racines les points ξk = cos(2k+12n π

),

0 ≤ k ≤ n− 1, et atteint n+ 1 valeurs extrémales Tn(ζj) = (−1)j , avec ζj = cos(jπn

), 0 ≤ j ≤ n,

sur l'intervalle [−1, 1].Dans toute la suite, on désigne par Pn l'ensemble des polynômes p, de degré inférieur ou égal

à n, tels que p(1) = 1.

Première partie. Soit 0 < a < 1.

1. Montrer que, ∀n ∈ N, Tn(1a

)6= 0.

2. On pose à présent

∀t ∈ R, Tn(t) =Tn(ta

)Tn(1a

) .Montrer que Tn appartient à Pn et déterminer les couples (tj , Tn(tj)), 0 ≤ j ≤ n, avectj ∈ [−a, a], tels que |Tn(tj)| soit maximal.

3. Soit p ∈ Pn tel quemax

t∈[−a,a]|p(t)| < max

t∈[−a,a]|Tn(t)|.

Montrer que le polynôme q = Tn − p s'annule en n+ 1 points distincts.Indication : considérer les valeurs de q aux points tj , j = 0, . . . , n.

4. En déduire que

infp∈Pn

{max

t∈[−a,a]|p(t)|

}= maxt∈[−a,a]

|Tn(t)|.

Seconde partie. Pour résoudre le système linéaire Ax = c, avec A une matrice réelle d'ordrem inversible et c un vecteur de Rm, on a recours à la méthode itérative

∀k ∈ N, x(k+1) = B x(k) + c,

le vecteur x(0) étant choisi arbitrairement, avec B = Im −A.1. À quelle condition, nécessaire et su�sante, sur la matrice B cette méthode converge-t-elle ?

2. On suppose la condition de la question précédente satisfaite. Pour accélérer cette convergence,on construit, à partir de la suite (x(k))k∈N, une suite (y(k))k∈N de Rm en posant

y(k) =

k∑i=0

αi,kx(i),

les coe�cients réels αi,k, 0 ≤ i ≤ k, k ∈ N, véri�ent, ∀k ∈ N,∑ki=0 αi,k = 1 et sont à

déterminer � au mieux �. Pour cela, on dé�nit le polynôme pk de Pk par pk(t) =∑ki=0 αi,kt

i

et on pose e(k) = x(k) − x et ε(k) = y(k) − x. Montrer que, ∀k ∈ N, e(k) = Bke(0), puis queε(k) = pk(B) e(0).

3

3. On suppose désormais que B est une matrice symétrique, de valeurs propres notées λi, 1 ≤i ≤ m, et de rayon spectral ρ(B) = max

1≤i≤m|λi|, pour laquelle on a l'estimation ρ(B) . r < 1.

En notant que ‖pk(B)‖2 = max1≤i≤m

|pk(λi)| et en utilisant des résultats du cours et de la

première partie, justi�er le choix

∀k ∈ N∗, pk(t) =Tk(tr

)Tk(1r

) .Montrer en particulier que la suite (y(k))k∈N converge vers x plus rapidement que la suite(x(k))k∈N.


∀k ∈ N∗, Tk+1

(1

r

)ε(k+1) =

2

rTk

(1

r

)Bε(k) − Tk−1

(1

r

)ε(k−1).

5. Déduire de cette dernière égalité que

y(k+1) = ω(k+1)(By(k) + c) + (1− ω(k+1))y(k−1),

avec ω(k+1) =2Tk

(1r

)r Tk+1

(1r

) = 1 +Tk−1

(1r

)Tk+1

(1r

) .Examen d'appel du 1er septembre 2010

Exercice 6 (erreur d'interpolation). Soit [a, b] un intervalle non vide et borné de R, n unentier naturel non nul et f une fonction de classe C n+1 sur [a, b]. On considère un ensemble{xi}0≤i≤n de n + 1 points distincts contenus dans [a, b] et on note Πnf le polynôme d'interpo-lation de Lagrange de degré n de la fonction f aux points xi, 0 ≤ i ≤ n. On veut établir lerésultat suivant sur l'erreur d'interpolation : pour tout point x de [a, b], il existe un point ξ dans] min{x0, . . . , xn, x},max{x0, . . . , xn, x}[ tel que

f(x)−Πnf(x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!ωn+1(x), (4)

avec ωn+1(x) =∏nj=0(x− xj).

1. Que se passe-t-il dans l'égalité (4) si x = xi pour 0 ≤ i ≤ n ?2. On suppose désormais que x est distinct des points xi, i = 0, . . . , n, et l'on introduit la

fonction auxiliaire

ϕ(t) = f(t)−Πnf(t)− f(x)−Πnf(x)

ωn+1(x)ωn+1(t), ∀t ∈ R.

Montrer que cette fonction s'annule n+ 2 fois sur [a, b].

3. En utilisant le théorème de Rolle de manière répétée, montrer alors que la (n + 1)edérivéede ϕ s'annule. Conclure.

4. En déduire la majoration uniforme

‖f −Πnf‖∞ ≤‖f (n+1)‖∞

(n+ 1)!‖ωn+1‖∞,

où, pour toute fonction g dé�nie sur [a, b], on note ‖g‖∞ = supx∈[a,b]

|g(x)|.

4

5. Pour f(x) = ex, montrer quelim

n→+∞‖f −Πnf‖∞ = 0.

Exercice 7 (méthodes itératives instationnaires). Plusieurs questions de cet exercice sontindépendantes ou peuvent être traitées en admettant les résultats des questions les précédant.

Soit A une matrice réelle d'ordre n inversible. Le but de cet exercice est d'étudier une famille deméthodes itératives pour la résolution du système linéaire Ax = b, où b est un vecteur donné deRn. Pour cela, on considère une matrice M réelle d'ordre n inversible, telle qu'un système linéairel'ayant pour matrice soit � facile � à résoudre, et une méthode itérative de la forme

∀k ∈ N, M(x(k+1) − x(k)) = α(k)r(k), x(0) donné, (5)

où le vecteur r(k) = b−Ax(k) désigne le résidu à l'itération k et les coe�cients α(k), k ∈ N, sontdes réels non nuls à déterminer.

Première partie.

1. Montrer qu'en posant, ∀k ∈ N, z(k) = 1α(k) (x(k+1)−x(k)), la méthode dé�nie par (5) s'écrit

∀k ∈ N,

M z(k) = r(k),x(k+1) = x(k) + α(k)z(k),r(k+1) = r(k) − α(k)A z(k),

(6)

ce qui fournit une manière simple de l'implémenter en pratique.

2. Montrer que, si le coe�cient α(k) ne dépend pas de k (i.e., ∀k ∈ N, α(k) = α), alors on a

∀k ∈ N,x(k+1) = B x(k) + c, (7)

avec B = In − αM−1A la matrice d'itération de la méthode et c un vecteur de Rn que l'ondéterminera.

3. Montrer que, si la suite (x(k))k∈N dé�nie par (7) converge, alors sa limite est la solution dusystème Ax = b.

4. Montrer en�n que les méthodes de Jacobi, de Gauss�Seidel et de sur-relaxation successive(SOR) vues en cours sont des méthodes de la forme (7). On explicitera pour cela la ma-trice M , en fonction des termes de la décomposition 1 A = D − E − F , et le coe�cient αcorrespondant à chacune d'elles.

Seconde partie. On suppose à partir de maintenant que M est une matrice symétrique dé�niepositive. On peut alors dé�nir un produit scalaire sur Rn par

∀u ∈ Rn, ∀v ∈ Rn, (u,v)M = (M u,v),

où (· , ·) désigne le produit scalaire euclidien sur Rn, et on note, ∀u ∈ Rn, ‖u‖M =√

(u,u)M lanorme vectorielle qui lui est associée. On va à présent s'intéresser à la détermination du coe�cientα(k) à chaque itération.

1. En supposant que le vecteur z(k), k ∈ N, n'est pas nul, étudier, en se servant des relations(6), l'application α(k) 7→ ‖z(k+1)‖2M et montrer qu'il existe une valeur de α(k) pour laquellela quantité ‖z(k+1)‖2M est minimale. Expliciter cette valeur, qui sera celle utilisée dans lasuite.

1. On rappelle que, dans cette décomposition, D est la matrice diagonale dont les coe�cients sont les coe�cientsdiagonaux de A, dij = aijδij , E est la matrice triangulaire inférieure de coe�cients eij = −aij si i > j et 0autrement, et F est la matrice triangulaire supérieure telle que fij = −aij si i < j et 0 autrement, avec 1 ≤ i, j ≤ n.

5


∀k ∈ N, ‖z(k)‖2M − ‖z(k+1)‖2M =(A z(k), z(k))2

(M−1A z(k), Az(k)).

3. En déduire que la suite (‖z(k)‖M )k∈N converge.

4. Montrer que

∀z ∈ Rn, (A z, z) =1

2((A+AT ) z, z) et (M−1A z, Az) ≤ ‖ATM−1A‖2 ‖z‖22,

où AT désigne la matrice transposée de A et où ‖ · ‖2 désigne indi�éremment la normeeuclidienne sur Rn ou la norme matricielle qui lui est subordonnée.

5. On suppose désormais que la matrice A + AT est dé�nie positive, de telle sorte qu'il existeune constante β > 0 telle que, ∀z ∈ Rn, (A z, z) ≥ β ‖z‖22. Montrer 2 l'existence d'uneconstante γ > 0 telle que, ∀z ∈ Rn,

(A z, z)2

(M−1A z, Az)≥ γ ‖z‖2M .

6. Déduire des questions 2, 3 et 5 que la suite (z(k))k∈N converge vers 0 et que la suite (x(k))k∈Ndé�nie par (5) converge vers la solution du système Ax = b.

Contrôle continu du 26 mars 2013

Exercice 8 (recherche des valeurs propres d'une matrice par la méthode LR). Onrappelle que des matrices carrées A et B sont dites semblables s'il existe une matrice P inversibletelle que

A = PBP−1.

1. Montrer que des matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.

Dans cet exercice, on va considérer l'usage de la factorisation LU pour la recherche des valeurspropres d'une matrice. Soit A une matrice d'ordre n réelle inversible, dont les valeurs propres sontréelles et de valeurs absolues distinctes, telles que

|λ1| > |λ2| > · · · > |λn|.

Il existe donc (au moins) une matrice inversible P telle que

A = PΛP−1 avec Λ =

λ1 . . .

λn

.

On suppose de plus que P et P−1 admettent chacune une factorisation LU, c'est-à-dire qu'il existedes matrices triangulaires inférieures L et M et des matrices triangulaires supérieures U et V ,ayant les propriétés usuelles, telles que

P = LU et P−1 = MV.

En supposant que toutes les factorisations nécessaires à sa mise en ÷uvre sont possibles, onpropose alors l'algorithme suivant, portant le nom de méthode LR :

• On pose A(1) = A.

2. On rappelle que toutes les normes sur Rn sont équivalentes. En particulier, il existe des constantes strictementpositives c1 et c2 telles que, ∀u ∈ Rn, c1 ‖u‖2 ≤ ‖u‖M ≤ c2 ‖u‖2.

6

• Pour toutes les valeurs successives de k ∈ N∗, on e�ectue la factorisation LU de A(k),A(k) = L(k)U (k), et on pose A(k+1) = U (k)L(k).

Dans toute la suite, on pose, pour k ∈ N∗,

L(k) = L(1) . . . L(k) et U (k) = U (k) . . . U (1).

2. Pour k ∈ N∗, montrer que A(k+1) =(L(k)

)−1A(k)L(k), puis que A(k+1) =

(L(k)

)−1AL(k).

En déduire que les matrices de la suite (A(k))k∈N∗ ont les mêmes valeurs propres que A.

Pour k ∈ N∗, on note Λk =

λ1k

. . .

λnk

et Λ−k =

λ1−k

. . .

λn−k

.3. Pour k ∈ N∗, exprimer les éléments de la matrice ΛkMΛ−k en fonction de ceux de M et des

valeurs propres de A, puis montrer que ΛkMΛ−k = In + E(k), avec limk→+∞E(k) = 0.

4. En utilisant queAk = PΛkP−1, déduire de la question précédente queAk = L(In+F (k))R(k),avec limk→+∞ F (k) = 0 et R(k) une matrice triangulaire supérieure dont on donnera l'ex-pression.

5. Pour k ∈ N∗, montrer en raisonnant par récurrence que L(k)U (k) = Ak.

6. Pour k ∈ N∗, on pose à présent T (k) = R(k)(U (k)

)−1. En utilisant les deux dernières questions

et en remarquant que la matrice (In+F (k)) est inversible pour k su�samment grand, montrerque limk→+∞ T (k) = In.

7. Déduire des questions précédentes que la suite(L(k)

)k∈N∗ converge vers L, puis que la suite(

L(k))k∈N∗ converge vers In.

8. En utilisant l'expression de R(k), établir que T (k)U (k) = UΛU−1T (k−1) et en déduire que lasuite

(U (k)

)k∈N∗ est convergente.

9. Conclure que la suite(A(k)

)k∈N∗ converge vers une matrice triangulaire supérieure dont les

éléments diagonaux sont les valeurs propres de A.

Exercice 9. On considère la matrice

A =

3 1 0 0 01 2 1 0 00 2 3 1 00 0 1 4 30 0 0 1 1

.

1. Déterminer la factorisation LU de la matrice A et en déduire que le système linéaire Ax = b,avec b ∈ R5, admet une unique solution x.

On souhaite utiliser la méthode de Gauss�Seidel pour calculer une approximation de la solutionx. On note (x(k))k∈N la suite produite par la méthode à partir d'une initialisation x(0).

2. Écrire le système linéaire donnant x(k+1) en fonction x(k) pour k ∈ N.3. Pour tout k ∈ N, on pose e(k) = x(k) − x. Déterminer une constante C appartenant à [0, 1[

telle que∀k ∈ N, ‖e(k+1)‖∞ ≤ C ‖e(k)‖∞.

En déduire que la méthode est convergente.

4. Déterminer la matrice d'itération BGS de la méthode et calculer 3 ‖BGS‖∞. Retrouver laconclusion de la question précédente.

3. On rappelle que, pour toute matrice B d'ordre n, on a ‖B‖∞ = max1≤i≤n

∑nj=1|bij |.

7

Exercice 10 (dé�ation de Wielandt). Soit A une matrice symétrique inversible d'ordre ndont on note λi, i = 1, . . . , n, les valeurs propres (comptées avec leurs multiplicités algébriquesrespectives) et vi, i = 1, . . . , n, les vecteurs propres associés. Étant donné un entier j comprisentre 1 et n, on considère la modi�cation suivante de la matrice A :

A = A− vjujT ,

où uj un vecteur véri�ant ujTvj = λj .

1. Calculer le produit Avj .

2. Pour tout i ∈ {1, . . . , n}\{j}, calculer le produit A(vi + αi vj), avec αi ∈ R. Pour quellevaleur de αi le vecteur (vi + αi vj) est-il un vecteur propre de A ?

3. Déduire des questions précédentes quels sont les valeurs propres et les vecteurs propresassociés de la matrice A.

4. Que se passe-t-il pour le choix uj = λjvj

‖vj‖22?


Exercice 11 (formes barycentriques du polynôme d'interpolation de Lagrange). Le butde cet exercice est d'établir deux formes de représentation alternatives, dites barycentriques, du po-lynôme d'interpolation de Lagrange Πn associés aux points deux à deux distincts {(xi, yi)}i=0,...,n,n ∈ N, dont les n÷uds xi, i = 0, . . . , n, sont deux à deux distincts.

1. À partir de la forme de Lagrange de Πn, montrer que

Πn(x) = ωn+1(x)

n∑i=0

wix− xi

yi,

où ωn+1 désigne le polynôme de Newton associé aux n÷uds xi, i = 0, . . . , n, et où l'on a posé

wi =1

n∏j=0

j 6=i

(xi − xj), i = 0, . . . , n.

2. Montrer quen∑i=0

li(x) = 1,

où les fonctions li, i = 0, . . . , n, constituent la famille des polynômes de Lagrange associésaux n÷uds {xi}i=0,...,n. En déduire alors que

Πn(x) =

n∑i=0

wix− xi

yi

n∑i=0

wix− xi

.

Exercice 12. Soit la fonction f(x) = ex − 2. On rappelle que e ' 2, 71828182846.

1. Montrer que cette fonction dé�nit une bijection sur l'intervalle [0, 1] et en déduire qu'ellepossède un unique zéro ξ dans cet intervalle.

2. Donner l'approximation de ξ (on ne demande pas de fournir une valeur numérique) obtenue

8

a. après trois itérations de la méthode de Newton�Raphson à partir de l'initialisation x(0) =0,

b. en se servant d'un procédé d'interpolation quadratique inverse utilisant les n÷uds x0 = 0,x1 = 1

2 et x2 = 1, c'est-à-dire en remplaçant la fonction réciproque de f sur l'intervalle[0, 1] par son polynôme d'interpolation de Lagrange aux points {(f(xi), xi)}i=0,...,2.

Exercice 13. Soit f une fonction de classe C 1 sur l'intervalle [0, 1]. Pour l'approximation del'intégrale

I(f) =

∫ 1

0

f(t) dt,

on considère la formule de quadrature

Iap(f) = α0 f(0) + α1 f′(0) + α2 f

′(η),

où le n÷ud η appartient à ]0, 1] et les poids α0, α1 et α2 sont des réels.

1. Déterminer les valeurs des paramètres η, α0, α1 et α2 pour que cette formule de quadraturesoit exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à trois.

2. Les valeurs des paramètres étant ainsi �xées, calculer l'erreur de quadrature pour f(x) = x4

et en déduire le degré d'exactitude de la formule.

Exercice 14. Le but de ce problème est d'étudier une méthode itérative de résolution d'un systèmelinéaire Ax = b, avec A une matrice symétrique dé�nie positive que l'on suppose pouvoir s'écrire

A = M −N = P −Q,

les matrices M et P étant inversibles. À partir d'une initialisation x(0) arbitraire, on considère laméthode dé�nie par les relations de récurrence

∀k ∈ N, M x(k+ 12 ) = N x(k) + b, P x(k+1) = Qx(k+ 1

2 ) + b.

Dans la suite, on pose, pour tout k ∈ N,

e(k) = x(k) − x, ε(k) = M−1A e(k), e(k+12 ) = x(k+ 1

2 ) − x et ε(k+12 ) = M−1A e(k+

12 ),

et l'on désigne par ‖·‖A la norme associée au produit scalaire dé�ni par la matrice A, i.e. ‖u‖2A =(Au,u).

1. Montrer que les matrices M +NT et P +QT sont des matrices symétriques.

2. Véri�er que, ∀k ∈ N, ε(k) = e(k) − e(k+12 ).

3. Montrer que, ∀k ∈ N, ‖e(k+ 12 )‖2A − ‖e(k)‖2A = −

((M +NT ) ε(k), ε(k)

).

4. En déduire que l'on a aussi, ∀k ∈ N, ‖e(k+1)‖2A − ‖e(k+12 )‖2A = −

((P +QT ) ε(k+

12 ), ε(k+

12 )).

On suppose à partir de maintenant que les matrices symétriques M +NT et P +QT sont dé�niespositives.

5. Montrer que la suite(‖e(k)‖2A

)k∈N converge. On note ` sa limite.

6. En déduire que la suite(‖e(k+ 1

2 )‖2A)k∈N est convergente, de limite égale à `.

7. En déduire que la suite(ε(k)

)k∈N converge, vers une limite nulle.

8. En conclure que la méthode est convergente.

9

Examen d'appel du 28 août 2013

Exercice 15. Soit n un entier strictement plus grand que 1, α un nombre réel donné et A(α) lamatrice d'ordre n suivante

A(α) =

1 α . . . . . . α

α. . .

. . ....

.... . .

. . .. . .

......

. . .. . . α

α . . . . . . α 1

.

1. Montrer que le polynôme caractéristique de la matrice d'ordre n

C(α) =

0 α . . . . . . α

α. . .

. . ....

.... . .

. . .. . .

......

. . .. . . α

α . . . . . . α 0

est pC(α)(λ) = det(C(α)− λ In) = (−λ+ (n− 1)α)(−λ− α)n−1.

2. En déduire quelles sont les valeurs propres de la matrice A(α).

3. À quelle condition, portant sur le réel α, la matrice A(α) admet-elle une factorisation deCholesky ?

On suppose à partir de maintenant que la condition obtenue dans la question précédente estsatisfaite et l'on note B(α) la matrice triangulaire inférieure issue de la factorisation de Choleskyde A(α).

4. Donner le système d'équations satisfaites par les coe�cients bij(α), 1 ≤ j ≤ i ≤ n, de B(α).

5. Quel est le coût de la résolution du système linéaire A(α)x = b, avec b un vecteur de Rn,par cette méthode de factorisation ?

Exercice 16 (algorithme de Neville). Soit un entier positif n, n + 1 n÷uds distincts xi,i = 0, . . . , n, et n + 1 valeurs yi, i = 0, . . . , n. Étant donnés m + 1 indices distincts i0, . . . , im,0 ≤ m ≤ n, à valeurs dans {0, . . . , n}, on note Πi0,...,im le polynôme d'interpolation de Lagrangede degré m associé à l'ensemble de points {(xik , yik)}k=0,...,m.

1. On suppose que n ≥ 1. Pour tout 1 ≤ m ≤ n, montrer que

∀x ∈ R, Πi0,...,im(x) =(x− xi0) Πi1,...,im(x)− (x− xim) Πi0,...,im−1

(x)

xim − xi0.

2. En notant que, ∀z ∈ R, Πi(z) = yi, i = 0, . . . , n, déduire de la question précédente unprocédé permettant d'évaluer le polynôme d'interpolation Π0,...,n en tout point z di�érentd'un des n÷uds d'interpolation, basé sur le calcul de proche en proche des valeurs au point zde polynômes d'interpolation de degré croissant (on pourra utiliser un tableau pour organiserles calculs a�n d'expliquer son principe).

Exercice 17. Soit f une fonction continue. On considère l'utilisation d'une formule de quadraturede la forme

Iap(f) = α1 f(x1) + α2 f(x2),

où α1 et α2 sont les poids et x1 et x2 les n÷uds de la formule, pour le calcul de l'intégrale pondérée

I(f) =

∫ π2

−π2f(x) cos(x) dx.

10

1. Montrer, au moyen d'un contre-exemple simple, que le degré d'exactitude (par rapport à f)de cette formule ne peut être supérieur ou égal à quatre.Indication : on pourra considérer un polynôme dont les racines sont les n÷uds x1 et x2.

2. Déterminer les valeurs des poids et des n÷uds de la formule pour que son degré d'exactitude(par rapport à f) soit égal à trois.

Exercice 18. Soit n un entier strictement positif, A et B deux matrices réelles d'ordre n, a et bdeux vecteurs de Rn. On considère la méthode itérative basée sur les deux relations de récurrencesuivantes :

∀k ∈ N, x(k+1) = B y(k) + a, y(k+1) = Ax(k) + b, (8)

les initialisations x(0) et y(0) étant données.

1. Avec quels systèmes linéaires cette méthode est-elle consistante ?

2. Déterminer une condition nécessaire et su�sante de convergence de la méthode.

3. Pour tout k ∈ N, on pose z(k) =(

x(k)

y(k)

)∈ R2n. Montrer que les relations (8) peuvent s'écrire

∀k ∈ N, z(k+1) = C z(k) + c,

où C et c sont respectivement une matrice d'ordre 2n et un vecteur de R2n que l'on explici-tera.

4. Montrer que ρ(C)2 = ρ(AB), où ρ(C) et ρ(AB) désignent respectivement les rayons spec-traux des matrices C et AB.

On considère maintenant la modi�cation suivante de la précédente méthode :

∀k ∈ N, x(k+1) = B y(k) + a, y(k+1) = Ax(k+1) + b. (9)

5. Donner une condition nécessaire et su�sante de convergence de cette nouvelle méthode.

6. Montrer que les relations (9) équivalent à

∀k ∈ N, z(k+1) = D z(k) + d,

où D est une matrice d'ordre 2n et d un vecteur de R2n à expliciter.

7. Montrer que ρ(D) = ρ(AB).

On appelle taux de convergence asymptotique d'une méthode itérative de matrice d'itération M lenombre

R(M) = − ln(ρ(M)),

et l'on note e(k) le vecteur d'erreur de cette méthode à la keitération, k ∈ N.

8. Montrer que le nombre m d'itérations nécessaires pour réduire l'erreur initiale d'un facteur

ε > 0, i.e., le plus petit entier m tel que ‖e(m)‖‖e(0)‖ ≤ ε, véri�e

m ≥ − ln(ε)

R(M).

9. En utilisant le taux de convergence asymptotique introduit ci-dessus, comparer la vitesse deconvergence des méthodes itératives dé�nies par (8) et (9).

11

Contrôle continu du 7 avril 2014

Exercice 19 (méthode de Bareiss). Une matrice carrée A d'ordre n est dite de Toeplitz s'ilexiste au plus 2n − 1 scalaires distincts a−n+1, . . . , a0, . . . , an−1 tels que aij = aj−i, 1 ≤ i, j ≤ n,c'est-à-dire

A =

a0 a1 a2 . . . an−1a−1 a0 a1 . . . an−2...

. . .. . .

. . ....

a−n+2 . . . a−1 a0 a1a−n+1 . . . a−2 a−1 a0

.

Une telle matrice est persymétrique, c'est-à-dire que ses coe�cients sont symétriques par rapportà l'antidiagonale de la matrice et qu'elle véri�e par conséquent l'égalité

A = JnATJn,

où Jn est la matrice de permutation d'ordre n telle que

Jn =

0 . . . 0 1... . .

.. ..

0

0 . ..

. .. ...

1 0 . . . 0

.

La méthode de Bareiss permet d'e�ectuer la résolution d'un système linéaire dont la matrice estde Toeplitz en la ramenant à celle d'un système triangulaire équivalent. Pour cela 4, elle construit,à partir de A(0) = A, deux familles de matrices (A(−k))0≤k≤n−1 et (A(k))0≤k≤n−1, telles que lamatrice A(−k) (resp. A(k)), 1 ≤ k ≤ n − 1, a des éléments nuls sur les k premières diagonalessituées au-dessous (resp. au-dessus) de la diagonale principale, les dernières (resp. premières) n−klignes de cette matrice formant une matrice rectangulaire ayant encore une structure de Toeplitz.

Pour obtenir A(−k) (resp. A(k)), 1 ≤ k ≤ n− 1, on modi�e seulement les lignes k+ 1 à n (resp.1 à n − k) de la matrice A(−k+1) (resp. A(k−1)), l'algorithme de la méthode prenant la forme :pour k = 1, . . . , n− 1,

a(−k)i = a

(−k+1)i −m(−k) a

(k−1)i+k , m(−k) =

a(−k+1)−k

a(k−1)0

, i = −n+ 1, . . . ,−k− 1, 0, . . . , n− 1− k, (10)

a(k)i = a

(k−1)i −m(k) a

(−k)i−k , m

(k) =a(k−1)k

a(−k)0

, i = −n+ 1 + k, . . . ,−1, k + 1, . . . , n− 1. (11)

L'objectif de cet exercice est de montrer que cette méthode fournit la factorisation LU d'unematrice de Toeplitz, à un coût moindre que celui reposant sur l'élimination de Gauss sans échange.Dans toute la suite, la matrice de Toeplitz A d'ordre n est supposée telle que toutes ses sous-matrices principales extraites sont inversibles.

1. E�ectuer le compte du nombre d'opérations arithmétiques (additions et soustractions, mul-tiplications, divisions) que nécessite la méthode dé�nie par (10) et (11).

On réinterprète respectivement (10) et (11) d'un point de vue matriciel par

A(−k) = A(−k+1) −m(−k) Z(−k)A(k−1), A(k) = A(k−1) −m(k) Z(k)A(−k), k = 1, . . . , n− 1,

avec Z(±k) des matrices d'ordre n dé�nies 5 par z(±k)ij = δi±k,j , 1 ≤ i, j ≤ n. On pose alors

A(±k) = M (±k)A, k = 1, . . . , n− 1,

et M (0) = In.

4. On ne considère ici que les modi�cations de la matrice du système linéaire et pas celles du vecteur au secondmembre.

5. On remarquera que la multiplication par la gauche par Z(k) (resp. Z(−k)), 1 ≤ k ≤ n − 1, d'une matriced'ordre n décale les lignes de cette matrice de k positions vers le haut (resp. le bas).

12

2. Donner les relations de récurrences satisfaites par les familles (M (±k))1≤k≤n−1. En déduirela structure des matricesM (k) etM (−k), 1 ≤ k ≤ n−1. Que valent les coe�cients diagonauxdes matrices M (−k) ?

3. Déduire de la précédente question que (M (−n+1))−1 = L et A(−n+1) = U , où les matrices Let U sont celles de la factorisation LU de A.

On observe en�n que les coe�cients diagonaux de la matrice A(n−1) sont tous égaux à a0.

4. Soit U et L les matrices de la factorisation UL 6 de A. Montrer que U = a0(M (n−1))−1 etL = a0

−1A(n−1).

5. En utilisant la propriété de persymétrie et les deux factorisations de A introduites, montrerque L = a0

−1JnA(n−1)Jn.

Exercice 20. Soit un entier naturel n > 1. On considère la matrice d'ordre n− 1

An = n2

2 −1 0 . . . 0

−1. . .

. . .. . .

...

0. . .

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . . −1

0 . . . 0 −1 2

,

issue de la discrétisation par di�érences �nies de l'équation de Laplace, posée sur l'intervalle [0, 1]et complétée par des conditions aux limites de Dirichlet.

On veut tout d'abord calculer les valeurs propres de la matrice An et, accessoirement, les vecteurspropres associés. Soit v ∈ Rn−1 un vecteur propre associé à une valeur propre λ de An.

1. Montrer que les composantes de v véri�ent la relation de récurrence

−vi+1 +

(2− λ

n2

)vi − vi−1 = 0, 1 ≤ i ≤ n− 1, (12)

avec v0 = vn = 0.

2. En cherchant les solutions de (12) sous la forme vi = sin(i α), 0 ≤ i ≤ n, avec α un nombreréel à déterminer, obtenir 7 que

λj = 4n2(

sin

(j π

2n

))2

, (vj)i = sin(ijπ

n

), i = 1, . . . , n− 1, 1 ≤ j ≤ n− 1,

où le nombre réel λj désigne une valeur propre de An et le vecteur vj est un vecteur propreassocié à λj .

3. En déduire que la matrice An est inversible.

On se propose à présent de comparer des méthodes itératives pour la résolution d'un systèmelinéaire ayant An pour matrice. On note (x(k))k∈N la suite des approximations de la solution xconstruites par la méthode considérée et, pour tout k ∈ N, e(k) = x(k)−x l'erreur de cette méthodeà l'itération k.

4. Déterminer les valeurs propres de la matrice d'itération BJ de la méthode de Jacobi à partirde celles de An et trouver que ρ(BJ) = cos

(πn

), où ρ(BJ) est le rayon spectral de BJ . En

déduire que cette méthode est convergente.

6. Cela signi�e que l'on a A = UL, avec U une matrice triangulaire supérieure et L une matrice triangulaireinférieure dont tous les coe�cients diagonaux valent 1. Cette décomposition de la matrice A existe et est uniquesous les mêmes conditions que pour la factorisation LU.

7. On rappelle les formules de trigonométrie suivantes : sin(a + b) + sin(a − b) = 2 sin(a) cos(b) et cos(2a) =1− 2(sin(a))2.

13

5. La matrice BJ étant ici symétrique, on a la relation

∀k ∈ N, ‖e(k)‖2 ≤ ρ(BJ)k‖e(0)‖2.

En supposant pour simpli�er que ‖e(0)‖2 = 1 et en utilisant un développement limité 8 deρ(BJ), obtenir (en fonction de n) un minorant approché du nombre minimal d'itérations k0à e�ectuer pour avoir

∀k ≥ k0, ‖e(k)‖2 ≤ ε, (13)

avec ε une tolérance �xée.

6. En utilisant les résultats de la question 4 et du cours, déterminer le rayon spectral de lamatrice d'itération BGS de la méthode de Gauss�Seidel et en déduire que cette méthode estconvergente. Reprendre ensuite la précédente question pour cette méthode.

7. En utilisant les résultats de la question 2 et du cours, donner une condition nécessaireet su�sante sur la valeur du paramètre de relaxation ω de la méthode de sur-relaxationsuccessive (SOR) pour que cette dernière méthode soit convergente.

8. La matrice An étant tridiagonale symétrique dé�nie positive, la valeur optimale ω0 du pa-ramètre de la méthode SOR vaut

ω0 =2

1 +√

1− ρ(Bj)2=

2

1 + sin(πn )

et on a alors ρ(BSOR(ω0)) = ω0 − 1. Déterminer 9 un minorant (en fonction de n) approchédu nombre minimal d'itérations k0 à e�ectuer avec cette méthode pour avoir (13).

9. On choisit n = 100 et ε = 10−4. En utilisant que π ≈ 3, 14 et ln(ε) ≈ −11, 5, calculer desvaleurs approchées de l'entier k0 pour chacunes des trois méthodes considérées plus haut.


Exercice 21 (algorithme de Björk�Pereyra). Étant donné n + 1 réels distincts x0, . . . , xn,n ≥ 0, la matrice de Vandermonde V associée à ces réels est la matrice d'ordre n+ 1 de la forme

V =

1 x0 . . . x0

n

1 x1 . . . x1n

......

...1 xn . . . xn

n

.

Les matrices de ce type sont notoirement mal conditionnées, ce qui pose problème pour la résolutionnumérique des systèmes linéaires de Vandermonde par des méthodes directes, les solutions calculéesétant entâchées d'importantes erreurs. On se propose dans cet exercice de retrouver une méthodede résolution alternative, à la fois peu a�ectée par le mauvais conditionnement et plus e�cacequ'une méthode directe.

1. Quel est le lien entre la matrice de Vandermonde V et le polynôme d'interpolation de La-grange Πn associé aux n÷uds x0, . . . , xn et à des valeurs y0, . . . , yn (on précisera quellereprésentation du polynôme est utilisée) ?

2. Rappeler la forme de Newton de Πn.

3. Pour k = 0, . . . , n, i = k, . . . , n, on pose c(k)i = [xi−k, . . . , xi]y. Sachant que c(0)i = [xi]y = yi,

i = 0, . . . , n, on rappelle que le calcul des di�érences divisées se fait selon la formule derécurrence

c(k)i =

c(k−1)i − c(k−1)i−1xi − xi−k

, k = 1, . . . , n, i = k, . . . , n.

8. On rappelle que, au voisinage de 0, on a cos(x) = 1− x2

2+O(x4) et ln(1− x) = −x+O(x2).

9. On rappelle que, au voisinage de 0, on a sin(x) = x+O(x3) et 11+x

= 1− x+O(x2).

14

En notant que [x0, . . . , xk]y = c(k)k , k = 0, . . . , n, donner le nombre d'opérations arithmé-

tiques nécessaires au calcul de toutes les di�érences divisées apparaissant dans la forme deNewton de Πn à partir de la donnée des couples (xi, yi), i = 0, . . . , n.

4. On introduit la famille de polynômes p(k), k = 0, . . . , n, dé�nie par

p(0)(x) = c(n)n , p(k)(x) = c(n−k)n−k + (x− xn−k)p(k−1)(x), k = 1, . . . , n.

a. Montrer que p(n) = Πn.

b. En écrivant que p(k)(x) = a(k)0 + · · · + a

(k)k xk, k = 0, . . . , n, montrer que les coe�cients

a(k)i , k = 0, . . . , n, i = 0, . . . , k, sont donnés par les relations de récurrence

a(k)0 = c

(n−k)n−k − xn−ka

(k−1)0 , a

(k)i = a

(k−1)i−1 − xn−ka(k−1)i , i = 1, . . . , k − 1,

a(k)k = a

(k−1)k−1 , k = 1, . . . , n.

c. En déduire un procédé de calcul des coe�cients de Πn dans la base canonique à partirde la donnée des di�érences divisées de la forme de Newton de ce même polynôme etindiquer son coût en termes d'opérations arithmétiques.

5. Proposer un algorithme pour la résolution du système linéaire V a = y utilisant la forme deNewton du polynôme d'interpolation de Lagrange. Comment son coût en termes d'opérationsarithmétiques se compare-t-il à celui d'une méthode directe et que dire du stockage de lamatrice V ?

Exercice 22 (méthode de Newton�Schulz).

1. Soit un réel a strictement positif. On cherche dans cette partie à calculer 1a au moyen de la

méthode de Newton�Raphson.

a. Montrer que la méthode de Newton�Raphson, appliquée à une fonction f que l'on préci-sera (et dont 1

a est un zéro), s'écrit

x(0) donné et, ∀k ∈ N, x(k+1) = x(k)(2− a x(k)

).

b. Montrer que la suite (x(k))k∈N ainsi dé�nie véri�e

limk→+∞

x(k) =

{1a si x(0) ∈

]0, 2a

[,

−∞ si x(0) ∈]−∞, 0[∪]2a ,+∞

[.

2. On cherche maintenant à calculer l'inverse d'une matrice réelle par la méthode de Newton�Raphson.

a. Montrer que l'ensemble GLn(R) des matrices réelles inversibles d'ordre n (dit groupegénéral linéaire) est un ouvert de l'ensemble Mn(R) des matrices réelles d'ordre n.

Soit T l'application dé�nie de GLn(R) dans GLn(R) par T (X) = X−1. On admet que T estdérivable et que sa di�érentielle en X est donnée par DT (X)H = −X−1HX−1.b. Soit A une matrice d'ordre n ≥ 1 inversible. Donner 10 la relation de récurrence satisfaite

par la suite de matrices (X(k))k∈N obtenue par application de la méthode de Newton�Raphson à la recherche du zéro de la fonction f de Mn(R) dans Mn(R) dé�nie parf(X) = X−1 −A.

10. On remarquera que, par dé�nition de la méthode, la suite (X(k))k∈N est construite par la relation

∀k ∈ N, Df(X(k))(X(k+1) −X(k)

)= −f(X(k)).

15

c. Montrer en�n que la suite (X(k))k∈N véri�e

∀k ∈ N, In −AX(k+1) = (In −AX(k))2.

En déduire que cette suite converge vers A−1 si et seulement si ρ(In −AX(0)) < 1.

Exercice 23 (règle du trapèze pour l'intégrale d'une fonction convexe). On souhaitecalculer une valeur approchée de l'intégrale

I(f) =

∫ b

a

f(x) dx,

où [a, b] est un intervalle borné et non vide de R et f est une fonction continue et convexe sur[a, b].

1. Montrer 11 que l'on a dans ce cas f(x) ≤ Π1f(x), ∀x ∈ [a, b], où Π1f est le polynômed'interpolation de Lagrange de la fonction f associé aux n÷uds x0 = a et x1 = b.

2. En se servant de cette observation, expliquer pourquoi la règle du trapèze composée fourniratoujours, c'est-à-dire quel que soit le nombre de sous-intervalles utilisés pour subdiviser [a, b],une approximation par excès de la valeur de l'intégrale I(f).

3. On choisit f(x) = 1x , a = 1 et b = 2. Trouver une approximation de ln(2) en appliquant la

règle du trapèze composée à deux sous-intervalles au calcul approché de I(f).

4. Si la fonction f est de classe C 2, on rappelle que l'erreur de quadrature de la règle du

trapèze composée à m sous-intervalles a pour expression Em,1(f) = − (b−a)312m2 f

′′(ξ), avecξ ∈]a, b[. Donner une estimation du nombre de sous-intervalles à utiliser pour obtenir uneerreur absolue inférieure ou égale à 10−8 pour les choix de la question précédente.

Examen d'appel du 1er septembre 2014

Exercice 24 (méthode de point �xe). Soit l'application f de R dans R dé�nie par f(x) =

ex2 − 4x2.

1. Situer les zéros de f en donnant quatre intervalles disjoints contenant chacun un et un seulzéro. Montrer qu'un de ces zéros, que l'on notera ξ, est compris entre 0 et 1.

2. On veut approcher ξ par la méthode de point �xe de fonction g(x) = 12 e

x2

2 et d'initialisationx(0) ∈]0, 1[. Étudier la convergence de cette méthode, en donnant le cas échéant son ordre.

Exercice 25 (méthode du gradient à pas constant). On cherche à résoudre le système linéaireAx = b, où A est une matrice symétrique, dé�nie positive d'ordre n et b est un vecteur de Rn,tous deux donnés, par une méthode itérative dite de gradient à pas constant. Celle-ci s'appuie surla relation de récurrence suivante

∀k ∈ R, r(k) = b−Ax(k), x(k+1) = x(k) + α r(k),

avec α est un réel constant, l'initialisation x(0) étant arbitrairement choisie.

1. On note, ∀k ∈ R,, e(k) = x(k) − x l'erreur de la méthode à l'étape k. Montrer que

∀k ∈ R, e(k) = (In − αA)k e(0).

2. Soient 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn les valeurs propres de la matrice A. Montrer que la méthodeconverge si et seulement si 0 < α < 2

λn.

11. On rappelle que la fonction f véri�e notamment

∀t ∈ [0, 1], f(ta+ (1− t)b) ≤ t f(a) + (1− t) f(b).

16

3. En observant que la plus grande des valeurs absolues |1− αλi|, i = 1, . . . , n est donnée soitpar |1− αλ1|, soit par |1− αλn|, montrer que le meilleur choix pour le réel α en termes devitesse de convergence de la méthode est

αopt =2

λn + λ1.

Quelle est alors la valeur du rayon spectral de la matrice d'itération de la méthode ?

Exercice 26 (phénomène de Runge). L'objectif de cet exercice est de montrer, en se servantd'un contre-exemple dû à Runge, qu'il n'y a généralement pas de convergence simple de la suite despolynômes d'interpolation de Lagrange d'une fonction associés à des points équidistribués lorsquele nombre de points d'interpolation tend vers l'in�ni.Note : les questions principales du problème peuvent être traitées de manière indépendante enadmettant les résultats des questions qui les précèdent. Il n'y a, à aucun moment, besoin d'expliciterle polynôme d'interpolation considéré.

1. Soit [a, b] un intervalle fermé borné de R et g une fonction à valeurs réelles, de classe C 2 sur[a, b]. On rappelle que l'erreur de quadrature de la règle du point milieu est donnée par∫ b

a

g(x) dx− (b− a)g

(a+ b

2

)=

(b− a)3

24g′′(η), η ∈]a, b[.

En faisant appel à la règle du point milieu composée à m sous-intervalles de longueurs égales,montrer qu'il existe une constante M > 0 telle que∣∣∣∣∣

∫ b

a

g(x) dx− (b− a)

m

m∑k=1

g

(a+ (b− a)

2k − 1

2m

)∣∣∣∣∣ ≤ M

24

(b− a)3

m2.

On considère à présent la fonction f(x) = 1λ2+x2 , λ étant un réel strictement positif, sur l'intervalle

[−1,+1] et un entier naturel n impair, c'est-à-dire que n = 2m− 1, m ∈ N∗. On dé�nit les n÷udsxk = 2k+1

2m − 1, 0 ≤ k ≤ 2m− 1, et on note alors Πnf le polynôme d'interpolation de Lagrange def associé à ces points.

2. On va tout d'abord établir une expression pour l'erreur d'interpolation de la fonction f . Pourcela, on introduit la fonction polynomiale q(x) = 1− (λ2 + x2) Πnf(x).

a. Établir, en utilisant les propriétés du polynôme d'interpolation de Lagrange, que

q(x) = (αx+ β)

2m−1∏k=0

(x− xk),

où α et β sont des réels que l'on ne cherchera pas à déterminer pour l'instant.

b. Montrer ensuite que x2m−k−1 = −xk, 0 ≤ k ≤ 2m−1, et en déduire que∏2m−1k=0 (x−xk) =∏m−1

k=0 (x2 − xk2).

c. En remarquant que q(iλ) = q(−iλ) = 1, où i2 = −1, obtenir alors que

q(x) =

m−1∏k=0

x2 − xk2

−λ2 − xk2.

d. Établir en�n la formule suivante pour l'erreur d'interpolation en tout point x de l'intervalle[−1, 1],

f(x)−Πnf(x) = (−1)mf(x)

m−1∏k=0

x2 − xk2

λ2 + xk2.

17

3. On veut dans cette pénultième question obtenir à partir de l'expression ci-dessus un équi-valent asymptotique de l'erreur au point x = 1 quand l'entier n, ou, de manière équivalente,l'entier m, tend vers l'in�ni.

a. Montrer 12 que

m−1∏k=0

(1− xk2) =1

(2m)2m

2m∏j=1

(2j − 1) =(4m)!

(4m)2m(2m)!,

puis obtenir, en utilisant la formule de Stirling 13, l'équivalent asymptotique

m−1∏k=0

(1− xk2) ∼m→+∞

√2

(2

e

)2m

.

b. En posant a = −1, b = 0 et g(x) = ln(λ2 + x2), montrer à l'aide de la première questionque 14

m−1∏k=0

(λ2 + xk2) ∼

m→+∞

( √λ2 + 1

e1−λ arctan( 1λ )

)2m

.

c. En déduire un équivalent asymptotique de |f(1)−Πnf(1)| lorsque m tend vers l'in�ni.

4. Déduire de la question précédente que, pour λ su�samment petit, on a

limn→+∞

‖f −Πnf‖∞ = limn→+∞

maxx∈[−1,1]

|f(x)−Πnf(x)| = +∞.

Contrôle continu du 31 mars 2015

Exercice 27 (factorisation LU d'une matrice de Hessenberg). Une matrice carrée A d'ordren est dite de Hessenberg supérieure si ses éléments sont tels que aij = 0 si i > j + 1, c'est-à-dire

A =

a11 a12 . . . . . . a1n

a21 a22...

0 a32. . .

......

. . .. . .

. . ....

0 . . . 0 ann−1 ann

.

Dans tout cet exercice, on considère une telle matrice, que l'on suppose de plus inversible. Dansun premier temps, on fait l'hypothèse qu'elle admet une factorisation LU sans que l'on ait besoind'e�ectuer des échange de lignes.

1. Énoncer une condition nécessaire et su�sante sur la matrice A pour que cette hypothèse soitvéri�ée.

2. Donner, en le justi�ant, un algorithme de factorisation LU tirant parti de la structure par-ticulière de la matrice A. Indiquer le nombre d'opérations arithmétiques requises par sonexécution et le comparer à celui de la factorisation d'une matrice quelconque.

12. On fera le changement de variable j = 2m− k et on utilisera que∏2m

j=1(2j − 1)∏2m

j=1(2j) = (4m)!.

13. On rappelle que cette formule donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand cet entiertend vers l'in�ni et s'écrit n! ∼

n→+∞

√2πn

(ne

)n.

14. On notera que ∫ 0

−1ln(λ2 + x2) dx = ln(λ2 + 1)− 2 + 2λ arctan

(1

λ

).

18

À partir de maintenant, on suppose seulement que A est une matrice de Hessenberg supérieured'ordre n inversible.

3. Que dire de l'application d'une stratégie de pivot total lors de la factorisation de la matriceA en rapport avec le précédent algorithme ? De l'application d'une stratégie de pivot partiel ?Laquelle de ces stratégies a-t-on alors intérêt à privilégier ?

4. Calculer la factorisation LU de la matrice

A =

1 4 2 33 4 1 70 2 3 40 0 1 3

.

Exercice 28 (méthode de sur-relaxation successive symétrique). On considère la méthodeitérative de résolution d'un système linéaire de matrice d'ordre n inversible A ayant tous sescoe�cients diagonaux non nuls et de vecteur second membre b dé�nie de la manière suivante :étant donné un réel ω strictement positif et un vecteur x(0), calculer

∀k ∈ N, (D − ωE)x(k+ 12 ) = (ω F + (1− ω)D)x(k) + ω b, (14)

(D − ω F )x(k+1) = (ωE + (1− ω)D)x(k+ 12 ) + ω b, (15)

où les matrices D, E et F sont issues de la décomposition A = D − E − F , avec D contenant lapartie diagonale de A, −E contenant la partie triangulaire inférieure stricte (i.e., sans la diagonale)de A et −F contenant la partie triangulaire supérieure stricte (i.e., sans la diagonale) de A.

1. En comparant ces deux relations de récurrence avec celle de la méthode de sur-relaxationsuccessive (que l'on rappellera pour ce faire), expliquer en quoi cette méthode présente une� symétrie �.

2. Réécrire la relation de récurrence de cette méthode sous la forme

∀k ∈ N, x(k+1) = Bx(k) + c,

en explicitant la matrice d'itération B et le vecteur c.

3. On va dans cette question montrer que la matrice d'iteration B de cette méthode est sem-blable à une matrice symétrique, c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible P telle quela matrice PBP−1 est symétrique, si la matrice A est symétrique.

a. Montrer que les matrices (In − ωD−1E)−1 et ωD−1E + (1 − ω) In commutent pour leproduit matriciel.

b. En déduire que la matrice (In−ωD−1ET )B(In−ωD−1ET )−1 est symétrique si F = ET

et conclure.

c. Que peut-on dire des valeurs propres de la matrice B dans ce cas ?

4. En utilisant un résultat du cours, énoncer une condition nécessaire sur le paramètre ω pourque la méthode soit convergente.

5. Montrer que l'on peut encore écrire les relations (14) et (15) sous la forme :

∀k ∈ N, x(k+ 12 ) = x(k) + ω (D−1Ex(k+ 1

2 ) − x(k) +D−1Fx(k) +D−1b),

x(k+1) = x(k+ 12 ) + ω (D−1Fx(k+1) − x(k+ 1

2 ) +D−1Ex(k+ 12 ) +D−1b).

En déduire alors que, une fois passée la première étape (c'est-à-dire pour k = 0) et moyennantle stockage d'un vecteur additionnel en mémoire, le coût d'une double étape de la méthodepeut être rendu voisin de celui d'une étape de la méthode de sur-relaxation successive.

19

Exercice 29 (méthode de la puissance avec décalage). Soit A une matrice d'ordre n diago-nalisable dont les valeurs propres λi, i = 1, . . . , n, sont réelles et distinctes, numérotées de manièreà avoir

λ1 < λ2 < · · · < λn.

Une variante de la méthode de la puissance consiste à appliquer cette dernière à la matrice A−µ In,avec µ un réel, dont le spectre est constitué des valeurs propres de A décalées du facteur −µ. Onparle alors de méthode de la puissance avec décalage. On cherche ici à utiliser cette technique pouraccélérer la convergence de la méthode de la puissance en choisissant judicieusement la valeur duparamètre µ.

1. Rappeler la quantité dont dépend la vitesse de convergence de la méthode de la puissance.

On �xe la valeur du paramètre µ.

2. Quelle valeur propre de la matrice A la méthode de la puissance avec translation peut-ellealors permettre d'approcher ?

On suppose à présent que le paramètre µ est choisi de façon à ce que λn − µ soit la plus grandevaleur propre en valeur absolue de la matrice A− µ In.

3. Montrer que la deuxième plus grande valeur propre en valeur absolue est donnée soit parλn−1 − µ soit par λ1 − µ.

4. En déduire que la méthode de la puissance avec translation permet dans ce cas d'approcherλn et converge le plus rapidement possible pour le choix

µ =λ1 + λn−1

2.


Exercice 30 (recherche de zéro). Soit f l'application de R dans R dé�nie par f(x) = exp(x2)−4x2. On se propose dans cet exercice d'approcher l'un des zéros réels de f .

1. Déterminer quatre intervalles disjoints de R contenant chacun un et un seul zéro de f .Montrer que l'un (et un seul) de ces zéros est compris entre 0 et 1.

2. Montrer que la suite construite par la méthode de point �xe dé�nie par l'application g(x) =√exp(x2)

2 et l'initialisation x(0) ∈]0, 1[ est convergente. Quel est son ordre de convergence ?

3. Donner la relation de récurrence dé�nissant la méthode de Newton�Raphson pour la re-cherche de zéros de f .

4. En justi�ant la réponse, indiquer laquelle de la méthode de Newton�Raphson ou de la mé-thode de point �xe introduite plus haut est a priori la plus e�cace.

Exercice 31 (erreur d'interpolation). Soit [a, b] un intervalle non vide borné de R, n un entiernaturel, x0, . . . , xn n+ 1 points distincts de [a, b] et f une fonction réelle dé�nie et de classe C n+1

sur [a, b]. On désigne par Πnf le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f aux n÷udsx0, . . . , xn et par li, i = 0, . . . , n, les polynômes de Lagrange associés à ces mêmes n÷uds.

1. Montrer que

∀x ∈ R,n∑i=0

li(x) = 1.

2. Montrer ensuite que

∀k ∈ {1, . . . , n}, ∀x ∈ R,n∑i=0

(xi − x)kli(x) = 0.

20

3. En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral

f(y) = f(x) +

n∑j=1

(y − x)j

j!f (j)(x) +

∫ y

x

(y − t)n

n!f (n+1)(t) dt,

en déduire l'égalité suivante pour l'erreur d'interpolation

∀x ∈]a, b[, f(x)−Πnf(x) =

n∑i=0

[∫ x

xi

(xi − t)n

n!f (n+1)(t) dt

]li(x).

Exercice 32 (règle du trapèze composée pour le calcul d'intégrales de fonctions pé-riodiques). Pour approcher la valeur de l'intégrale d'une fonction f dé�nie et continue sur unintervalle [a, b] (non vide et borné) de R, la règle du trapèze composée consiste à subdiviser [a, b]en m sous-intervalles de longueur H = b−a

m et à utiliser sur chacun d'entre eux la règle du trapèze.En posant xj = a+ j H, j = 0, . . . ,m, on obtient ainsi la formule de quadrature suivante :

Im,1(f) = H

(1

2f(x0) + f(x1) + · · ·+ f(xm−1) +

1

2f(xm)

).

Le but de cet exercice est d'établir une propriété remarquable de cette formule de quadraturelorsqu'on l'applique à l'évaluation de l'intégrale d'une fonction régulière et périodique sur [a, b].

1. Soit n ∈ N. On suppose dans cette partie que g est une fonction de classe C n+1 sur l'intervalle[0, 1].

a. Montrer que ∫ 1

0

g(u) du =1

2(g(0) + g(1))−

∫ 1

0

(u− 1

2

)g′(u) du.

b. En raisonnant par récurrence, montrer que

∀k ∈ {0, . . . , n},∫ 1

0

g(u) du =1

2(g(0) + g(1))+

k∑i=1

αi

∫ 1

0

g(i)(u) du+

∫ 1

0

pk+1(u) g(k+1)(u) du,

où la suite de réels 15 (αi)i=1,...,k et la suite de polynômes (pi)i=1,...,k+1 sont dé�nies parles relations de récurrence

p1(u) = −(u− 1

2

), ∀i ∈ {1, . . . , k}, αi =

∫ 1

0

pi(u) du et pi+1(u) =

∫ u

0

(αi − pi(v)) dv.

c. Montrer, toujours par un raisonnement par récurrence, que

∀i ∈ {1, . . . , k}, αi = (−1)iαi et, ∀i ∈ {1, . . . , k+ 1}, ∀u ∈ [0, 1], pi(u) = (−1)i pi(1− u).

d. En déduire que∫ 1

0

g(u) du =1

2(g(0) + g(1)) +

bn/2c∑i=1

α2i

∫ 1

0

g(2i)(u) du+

∫ 1

0

pn+1(u) g(n+1)(u) du,

où bn2 c est la partie entière de n2 .

e. Pour m ∈ N∗ et ϕ ∈ C n+1([0,m]), obtenir alors que∫ m

0

ϕ(t) dt =

m−1∑j=0

1

2(ϕ(j) + ϕ(j + 1))+

bn/2c∑i=0

α2i

∫ m

0

ϕ(2i)(t) dt+

∫ m

0

pn+1(t)ϕ(n+1)(t) dt.

où pn+1 est la fonction dé�nie par pi(t) = pi(t− btc), où btc est la partie entière de t.

15. On remarquera que la somme∑k

i=1 αi

∫ 10 f

(i)(u) du est nulle si k = 0

21

2. En utilisant le résultat de la question précédente et en posant ϕ(t) = f(a + tH), où f estune fonction de classe C n+1 sur [a, b], montrer que

∫ b

a

f(x) dx = Im,1(f) +

bn/2c∑i=1

α2iH2i

∫ b

a

f (2i)(x) dx+Hn+1

∫ b

a

pn+1

(x− aH

)f (n+1)(x) dx.

3. Montrer en�n que, si f est périodique de période b − a, alors il existe une constante C,indépendante de H et dont on donnera une majoration, telle que∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x) dx− Im,1(f)

∣∣∣∣∣ ≤ C Hn+1.

4. (question subsidiaire, absente de l'examen) Utiliser la formule établie dans la question2 pour montrer que

n∑k=1

k3 =

(n(n+ 1)

2

)2

.

Examen du 1er septembre 2015

Exercice 33 (factorisation LU et remplissage). Soit n un entier naturel non nul. On considèreune matrice A réelle carrée d'ordre n ayant la structure suivante

A =

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 0 . . . 0

a31 0 a33. . .

......

.... . .

. . . 0an1 0 . . . 0 ann

,

c'est-à-dire dans laquelle seules la première ligne, la première colonne et la diagonale principalecontiennent des éléments a priori non nuls, dite pour cette raison en pointe de �èche (arrowheadmatrix en anglais). Dans toute la suite, on suppose que la matrice A est inversible, de termesdiagonaux tous non nuls. On considère également la matrice de permutation d'ordre n

P =

0 1 0 . . . 0

0 0 1. . .

......

. . .. . . 0

0. . . 1

1 0 . . . . . . 0

.

1. On suppose dans cette question que la matrice A admet une factorisation LU sans qu'il yait besoin de changer de pivot. Déterminer dans ce cas, en raisonnant par récurrence sur lasuite de matrices A(k), 0 ≤ k ≤ n − 1, produite par la méthode d'élimination de Gauss, lesstructures respectives des matrices L et U obtenues à l'issue de la factorisation, ainsi qu'unordre du nombre d'opérations nécessaires pour les obtenir.

2. Expliciter la matrice PAPT .

3. Montrer que cette dernière matrice admet une factorisation LU. Reprendre alors la premièrequestion en considérant PAPT à la place de A.

4. Est-il préférable de factoriser A ou PAPT ? Pour quelle(s) raison(s) ?

22

5. Montrer que la matrice

A =

4 −1 −1 −1−1 2 0 0−1 0 2 0−1 0 0 2

.

est inversible et calculer sa factorisation LU, après avoir justi�é que celle-ci existe. Calculerensuite la factorisation de la matrice PAPT correspondante.

Exercice 34 (méthode de Newton�Raphson améliorée). Soit f une fonction réelle dé�niesur R et de classe C 3, possédant un zéro simple ξ (c'est-à-dire tel que f(ξ) = 0 et f ′(ξ) 6= 0). Soitϕ une fonction réelle dé�nie sur R et de classe C 1, telle que ϕ(ξ) = ξ. On considère la méthodede point �xe dé�nie par

x(0) donné et, ∀k ∈ N, x(k+1) = g(x(k)), où g(x) = x− f(x)

f ′(ϕ(x)).

1. Pour un certain réel ε > 0 �xé, montrer qu'il existe un réel α > 0 tel que, pour tout réel xde l'intervalle B(ξ, α) = [ξ−α, ξ+α], |f ′(ϕ(x))| ≥ ε, et que la fonction g est une applicationcontractante sur B(ξ, α). En déduire que, si l'initialisation x(0) appartient à B(ξ, α), la suite(x(k))k∈N construite par la méthode est bien dé�nie et converge vers ξ.

2. On suppose à présent que x(0) est choisi dans B(ξ, α), que la fonction ϕ′ est lipschitziennede constante K et que ϕ′(ξ) = 1

2 . On va montrer que la convergence de la suite (x(k))k∈Nest au moins cubique.a. Pour tout entier naturel k, établir tout d'abord, par une formule de Taylor�Lagrange à

l'ordre un, qu'il existe un réel η(k) compris entre x(k) et ξ tel que l'on a

x(k+1) − ξ = (x(k) − ξ)

(1−

f ′(ξ) + 12 (x(k) − ξ)f ′′(η(k))f ′(ϕ(x(k)))

).

b. Pour tout entier naturel k, obtenir ensuite, par une formule de Taylor�Lagrange à l'ordrezéro, qu'il existe un réel µ(k) compris entre ϕ(x(k)) et ξ tel que l'on a

x(k+1) − ξ =(x(k) − ξ)f ′(ϕ(x(k)))

((ϕ(x(k))− ϕ(ξ)

)f ′′(µ(k))− 1

2(x(k) − ξ)f ′′(η(k))

).

c. Pour tout entier naturel k, montrer en�n que l'on a |ϕ(x(k))−ϕ(ξ)| ≤ |x(k)−ξ|(12 +K |x(k) − ξ|

),

et en déduire que

∀k ∈ N, |x(k+1) − ξ| ≤ |x(k) − ξ|3

ε

(1

2sup

x∈B(ξ,α)

|f ′′′(x)|+K supx∈B(ξ,α)

|f ′′(x)|

).

3. (question subsidiaire, absente de l'examen) Soit un réel β > 0 tel que, ∀x ∈]ξ−β, ξ+β[,f ′(x) 6= 0. Montrer que si l'on prend

∀x ∈]ξ − β, ξ + β[, ϕ(x) = x− 1

2

f(x)

f ′(x),

alors la convergence de la suite (x(k))k∈N est au moins cubique.

Exercice 35 (degré d'exactitude maximal). Soit n un entier naturel et [a, b] un intervallenon vide borné de R. On considère une formule de quadrature interpolatoire sur [a, b] à n + 1n÷uds distincts, ces derniers étant choisis de manière à atteindre le degré d'exactitude le plusgrand possible. Dans la suite, on note respectivement αi et xi, i = 0, . . . , n, les poids et n÷uds decette formule, qui est donc donnée par

∀f ∈ C 0([a, b],R), In(f) =

n∑i=0

αi f(xi).

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1. Rappeler le résultat du cours relatif au degré d'exactitude minimal d'une formule de qua-drature interpolatoire à n+ 1 n÷uds.

Soit m un entier strictement positif et la condition

∀q ∈ Pm−1,∫ b

a

ωn+1(x)q(x) dx = 0,

où ωn+1(x) =∏ni=0(x − xi) est le polynôme de Newton associé aux n + 1 n÷uds de quadrature

de la formule et Pm−1 désigne l'ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal àm− 1.

2. Montrer cette condition est nécessaire pour que la formule de quadrature soit de degréd'exactitude égal à n+m.

3. Montrer qu'elle est également su�sante.

4. En raisonnant par l'absurde, en déduire que m ≤ n+ 1 et que le degré d'exactitude maximal

de la formule vaut par conséquent 2n+ 1.

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Documents

Feuille de travaux dirigés - CEREMADE - UMR7534legendre/enseignement/td_ananum... · étape les opérations e ectuées sur les lignes de la matrice factorisée. Exercice 6 (factorisation