Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 1. Αν

συμβολίζει τη συμμετρική διαφορά των γεγονότων Α και Β, δηλ.

΄ ΄ δείξτε ότι ισχύει

0 και

επαληθεύστε με αριθμητικό παράδειγμα ότι δεν ισχύει το αντίστροφο.

2. Για τα γεγονότα Α και Β δίνεται και . Να βρεθεί

η πιθανότητα να συμβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β και η πιθανότητα να συμβαίνει το πολύ ένα από τα Α, Β. Αν για ένα τρίτο γεγονός Γ γνωρίζουμε

και , να βρεθεί η πιθανότητα του γεγονότος ′ ′.

3. Δίνεται , και . Να δειχθεί ότι ΄ ΄

΄ ΄ . 4. Έστω 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,

4, 5, 6, 7, 8, 9 και 8, 9, 10 . Να γραφούν αναλυτικά τα γεγονότα: Από τα Α, Β, Γ συμβαίνουν (α) ακριβώς 1, (β) τουλάχιστον 2, (γ) όχι περισσότερα από 1. Έστω Δ, Ε και Ζ τα γεγονότα αυτά. Αν κάθε διψήφιος αριθμός του Ω εμφανίζεται με την ίδια πιθανότητα που είναι διπλάσια από την πιθανότητα που εμφανίζονται οι μονοψήφιοι του Ω, να βρεθούν οι πιθανότητες των Δ, Ε και Ζ. Στη συνέχεια να εκφραστεί με τη βοήθεια

βασικών πολυωνύμων γεγονότων των Α, Β και Γ το γεγονός (ΑÈΒΓ΄)΄ και

από την έκφραση αυτή να υπολογιστεί η πιθανότητά του. 5. Να εκφραστεί το γεγονός (ΑΒ΄Γ)(ΑΒ΄Γ) με τη βοήθεια των βασικών

πολυωνύμων των Α, Β και Γ . 6. Δείξτε , ότι δηλαδή ότι η σχέση

, ( )P ý θεωρούμενη ως μετρική έχει την τριγωνική ιδιότητα

7. Να δειχθεί η σχέση

∪ ∪

8. Έστω p1, p2 και p12 δοθέντες πραγματικοί αριθμοί. Δείξτε ότι η αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε να υπάρχουν γεγονότα Α και Β με P(A)=p1, P(B)=p2, P(AB)=p12, είναι:

1 2 12

1 12

2 12

12

1 0

0

0

0

p p p

p p

p p

p

- - + ³

- ³

- ³

³

9. α) Για τα γεγονότα Α, Β και Γ γνωρίζουμε τις πιθανότητες P(Α), P(Β), P(ΑΒ), P(ΑΓ), P(BΓ) και P(ΑΒΓ). Δείξτε ότι μπορούν να υπολογιστούν οι πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων και να βρεθούν:

i) ( )( )A B A B¢È È , ii) ( )( )A B BÈ ÈG , iii) ( )( )( )A B A A¢ ¢È ÈG ÈG

β) Στο παιχνίδι του μπριτζ οι τέσσερις παίκτες που συμβολίζονται με τα σημεία του ορίζοντα (Ν βορράς, S νότος, E ανατολή και W δύση) μοιράζονται και τα 52 χαρτιά της τράπουλας. Συμβολίζουμε Νk το γεγονός ότι ο βορράς έχει πάρει τουλάχιστον k άσους. Έστω Sk, Ek και Wk, τα ανάλογα γεγονότα για τους άλλους τρεις παίκτες. Βρέστε πόσους άσους έχει πάρει η δύση (W) σε μία παρτίδα που συνέβη το γεγονός: i) 1W ¢ , ii) 2 2N S, iii) 1 1 1N S E¢ ¢ ¢ , iv) 2 3W W- , v) 1 1 1 1N S E W , vi) 3 1N W , vii) ( )2 2 2N S EÈ . Να δικαιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντηση.

10.

11.

12.

13.

14.

15. Ρίχνουμε ένα κανονικό νόμισμα (με δύο όψεις Γ, Κ ) μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά Κ.

α) Ποιος είναι ο δειγματοχώρος Ω και τι πιθανότητα έχει καθένα από τα στοιχεία του; Δείξτε ότι ορίζεται από το πείραμα αυτό μια κατανομή πιθανότητας. β) Εκφράστε τα παρακάτω γεγονότα ως υποσύνολα του Ω και βρέστε τις πιθανότητές τους. Α={Τις πρώτες 10 ρίψεις δεν έρχεται Κ}, Β={Η πρώτη φορά που έρχεται Κ είναι σε περιττή ρίψη}.

16. 1.14

17.

18.

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

1. (2.3 βιβλίου) Οι αριθμοί {0,1,…,n} μετατίθενται τυχαία. Ποια η πιθανότητα η μετάθεση να περιέχει (α) την τριάδα (2,0,1); (β) Ποια η πιθανότητα στις τρεις πρώτες θέσεις να είναι το {0, 1, 2}; (γ) Ποια η πιθανότητα τα ψηφία 0,1,2 να χωρίζονται από άλλα ψηφία (ούτε δύο να μην είναι διαδοχικά);

2. (άσκ. 2.7 βιβλίου) 5-μελής επιτροπή επιλέγεται από 12 φοιτήτριες και 16 φοιτητές. (α) Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλ. τρεις φοιτητές στην επιτροπή; (β) Ποια η πιθανότητα ένας συγκεκριμένος φοιτητής και μια συγκεκριμένη φοιτήτρια που είναι ομοϊδεάτες να επιλεγούν και οι δύο στην επιτροπή; (γ) Ποια η πιθανότητα η επιτροπή να έχει τρεις φοιτητές και δύο φοιτήτριες, αλλά ένας συγκεκριμένος φοιτητής και μια συγκεκριμένη φοιτήτρια που είναι αντίπαλοι να μην επιλεγούν και οι δύο, αλλά μόνο ένας από τους δύο, στην επιτροπή;

3. Θεωρείστε ένα κατάλογο με 3.000.000 καταγραφές οι οποίες αριθμούνται από το 1 έως το 3 000 000. Διαλέγουμε στην τύχη μία από αυτές (δηλαδή θεωρούμε ότι όλες οι καταγραφές μπορούν να επιλεγούν με την ίδια πιθανότητα 1/3000000). Ποια είναι τότε η πιθανότητα να έχει η επιλογή μας πρώτο ψηφίο το 1;

4. Ποια η πιθανότητα τα Χριστούγεννα να πέσουν Κυριακή; ( Στα 400 χρόνια από 1601 μέχρι 2000 βρίσκουμε τα Χριστούγεννα να είναι Κυριακή 58 φορές, Δευτέρα 56 φορές, Τρίτη 58 φορές, Τετάρτη 57 φορές, Πέμπτη 57 φορές, Παρασκευή 58 φορές, Σάββατο 56 φορές)

5. (άσκ. 2.14) Κάλπη περιέχει 5 άσπρες και 8 μαύρες μπάλες, κατά τα άλλα όμοιες. Βγάζω μία-μία χωρίς επανάθεση, ανακατεύοντας κάθε φορά, ώσπου να μείνουν μπάλες ίδιου χρώματος. (α) Ποια η πιθανότητα να μείνουν μόνο άσπρες μπάλες με την 10η μπάλα που θα βγάλουμε; (β) ποια η πιθανότητα να μείνουν μόνο άσπρες μπάλες;

6. (άσκ. 2.15) Μοιράζονται 5 φύλλα από τράπουλα 52 φύλλων. Η σειρά δεν ενδιαφέρει. Ποια η πιθανότητα: (α) Full House (3 φύλλα ενός είδους και 2 άλλου είδους), (β) 4 φύλλα ενός είδους (γ) Φλός Ρουαγιάλ (Flush Royal), δηλ. 10, J,D,R,A ίδιου χρώματος, (δ) Στρέιτ (κέντα) δηλ. 5 διαδοχικά φύλλα οποιουδήποτε χρώματος, (ε) Φλος (5 φύλλα ίδιου χρώματος)

7. Με πόσους τρόπους σχηματίζεται η λέξη ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ από το διπλανό σχήμα;

8. α) Αφού ανακατέψουμε καλά μία τράπουλα 52 φύλλων, παίρνουμε τυχαία ένα φύλλο. Αν A είναι το γεγονός να έχουμε πάρει μία φιγούρα (δηλ. "Βαλέ", "Ντάμα" ή "Ρήγα") και Β το γεγονός να έχουμε πάρει κόκκινο "9", μαύρο "10" ή κόκκινο "Βαλέ", να βρεθεί η πιθανότητα ∪ . β) Ποια η πιθανότητα με το έκτο φύλλο που θα τραβήξουμε από την προηγούμενη τράπουλα, να συμπληρώσουμε τρία "σπαθιά", όταν τραβάμε τα φύλλα διαδοχικά και χωρίς επανάθεση;

9. Γραμματέας έγραψε 6 γράμματα και 6 φάκελα που αντιστοιχούν στα γράμματα. Δεν πρόσεξε όμως και έβαλε κατά τύχη τα γράμματα μέσα στα φάκελα. Ποια η πιθανότητα κανένα γράμμα να μη μπήκε στο σωστό φάκελο; Ακριβώς ένα να μπήκε σωστά;

Π Ι Ι Θ Θ Θ Α Α Α Α Ν Ν Ν Ν Ν Ο Ο Ο Ο Ο Ο Τ Τ Τ Τ Τ Η Η Η Η Τ Τ Τ Ε Ε Σ

10. Ράβδος μήκους 1 τέμνεται τυχαία σε 2 τμήματα. Το μεγαλύτερο από αυτά τέμνεται τυχαία σε 2 τμήματα. Ποια η πιθανότητα το μεγαλύτερο από τα τρία

τμήματα που σχηματίστηκαν να είναι μεγαλύτερο του ;

11. Οριζόντιο τραπέζι καλύφθηκε με ορθογώνια παραλληλόγραμμα διαστάσεων α×β όπως στο σχήμα. Ένα νόμισμα με διάμετρο 2r μικρότερη από τον ελάχιστο από τους αριθμούς α, β ρίχνεται τυχαία στο τραπέζι.

12. Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους α και Μ το μέσον του. Παίρνουμε τυχαία ένα σημείο στο ΑΜ και ένα άλλο στο ΜΒ. Ποια η πιθανότητα η απόστασή τους να είναι μικρότερη του α/3;

13. Σε ένα πείραμα τύχης διαλέγουμε τυχαία ένα σημείο στο μοναδιαίο τετράγωνο (0x1, 0y1). Αν η τεταγμένη του σημείου (x,y) που επιλέγεται είναι μικρότερη του τετραγώνου της τετμημένης του, δηλαδή αν yx2, θα λέμε ότι το σημείο έχει την ιδιότητα Α. α) Δείξτε ότι, η πιθανότητα το σημείο να έχει την ιδιότητα Α, είναι ίση με 1/3. β) Διαλέγουμε διαδοχικά 5 τέτοια σημεία. Ποια η πιθανότητα: (i) ακριβώς δύο από αυτά να έχουν την ιδιότητα Α; (ii) Το δεύτερο που θα ικανοποιεί την ιδιότητα Α να είναι το 5ο που θα διαλέξουμε;

14. Διαλέγουμε τυχαία δύο πραγματικούς αριθμούς στο διάστημα [0, n], ανεξάρτητα τον ένα από τον άλλο. Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Το γινόμενο των δύο αριθμών να είναι μεγαλύτερο του n2/4. β) Οι δύο αριθμοί να διαφέρουν περισσότερο από n/2, όταν είναι γνωστό ότι το άθροισμά τους είναι αριθμός ανάμεσα στο n/2 και το n. (Δίνεται ln2=0.693)

Ασκήσεις Κεφαλαίου 3 1. (Άσκηση από εξετάσεις) Από μία τράπουλα παίρνουμε 4 κόκκινα χαρτιά

(καρρά ή κούπες) και 4 μαύρα (σπαθιά ή μπαστούνια) σχηματίζοντας μια δεσμίδα 8 χαρτιών. Κάνουμε το εξής πείραμα τύχης: Ανακατεύουμε καλά τη δεσμίδα και διαλέγουμε ένα ζευγάρι χαρτιά με τυχαίο τρόπο. α) Ποια η πιθανότητα τα χαρτιά που διαλέξαμε να έχουν διαφορετικό χρώμα; β) Ανακατεύουμε καλά τη δεσμίδα που απέμεινε (μετά την επιλογή των δύο χαρτιών) και διαλέγουμε πάλι ένα ζευγάρι χαρτιά με τυχαίο τρόπο. Ποια η πιθανότητα και πάλι τα χαρτιά που διαλέξαμε να έχουν διαφορετικό χρώμα; (δεν ξέρουμε τι επιλέχτηκε την πρώτη φορά).

r

βα

γ) Ποια η πιθανότητα να διαλέξουμε τη δεύτερη φορά δύο διαφορετικά χαρτιά, όταν και την πρώτη είχαμε διαλέξει διαφορετικά;

δ) Γενικεύσατε τα (α), (β) και (γ) για την περίπτωση που έχουμε χρησιμοποιήσει n κόκκινα και n μαύρα χαρτιά, 2n26.

ε) Εξετάστε εάν είναι ανεξάρτητα ή όχι τα γεγονότα «διαλέγουμε διαφορετικά χρώματα στην πρώτη εξαγωγή», «διαλέγουμε διαφορετικά χρώματα στη δεύτερη εξαγωγή». Εφαρμογή με όλη την τράπουλα.

2. Τρία σακούλια περιέχουν αντίστοιχα o 20 άσπρες και 5 κόκκινες κάρτες,

o 2 άσπρες και 98 κόκκινες κάρτες και

o 4 άσπρες και 6 κόκκινες κάρτες.

Οι κάρτες είναι κατά τα άλλα όμοιες, όπως και τα σακούλια. (α) Ποια η πιθανότητα αν επιλέξω τυχαία ένα σακούλι και βγάλω τυχαία μία κάρτα, να είναι η κάρτα άσπρη. (β) Αν ξέραμε ότι ήταν άσπρη η κάρτα που βγήκε ποια η πιθανότητα να βγήκε από το πρώτο σακούλι;

3. Ένα αυτόματο μηχάνημα τοποθετεί σε αδιαφανές δοχείο 5 όμοια σφαιρίδια, κάποια από τα οποία είναι κόκκινα, ενώ τα υπόλοιπα είναι πράσινα. Ένας παίκτης Χ παίζει με τον παίκτη Α το εξής παιχνίδι: Ο Χ διαλέγει ένα σφαιρίδιο και ο Α μαντεύει το χρώμα. Αν μαντέψει σωστά κερδίζει, αλλιώς χάνει. Ο παίκτης Α πριν απαντήσει ζητάει από τον Χ να καταγράψει το χρώμα που έβγαλε και να επανατοποθετήσει το σφαιρίδιο στο δοχείο. Στη συνέχεια βγάζει ο Α τυχαία ένα σφαιρίδιο και αν είναι κόκκινο μαντεύει ότι και ο Χ έβγαλε κόκκινο, ενώ αν φέρει πράσινο μαντεύει ότι και ο Χ έφερε πράσινο. Δείξτε ότι η στρατηγική αυτή είναι ευνοϊκή για τον παίκτη Α, ανεξάρτητα από το πλήθος των κόκκινων σφαιριδίων που υπάρχουν στο δοχείο.

4. α) Αν και να δειχτεί ότι: |

β) Αν | | τότε Α, Β ανεξάρτητα.

5. Ένα κουτί περιέχει 5 αντικείμενα, εκ των οποίων κάποια είναι ελαττωματικά. Γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε πλήθος από τα αντικείμενα να είναι ελαττωματικά έχει την ίδια πιθανότητα με οποιοδήποτε άλλο πλήθος. Διαλέγουμε ένα αντικείμενο και βρίσκεται ελαττωματικό. Ποια υπόθεση για το πλήθος των ελαττωματικών είναι η πιθανότερη;

6. Τέσσερα άτομα παίζουν "πόκερ", (παίρνουν δηλ. από 5 χαρτιά στην αρχή του παιχνιδιού). Ένας από τους παίκτες παίρνει τα χαρτιά 2, 3, 4, 6, και 8. Θέλει να πετάξει το 8 και να πάρει άλλο χαρτί με την ελπίδα να του έρθει 5, οπότε θα κάνει "κέντα". (α) Ποια η πιθανότητα να πετύχει, αν γνωρίζουμε ότι οι υπόλοιποι παίκτες έχουν ήδη πάρει (i) ένα 5, (ii) κανένα 5;

(β) Από ποιον τύπο μπορεί να υπολογιστεί η προηγούμενη πιθανότητα αν δεν γνωρίζουμε πόσα 5 πήραν οι συμπαίκτες του; (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα στο (β).

7. Έστω τρία γεγονότα Α, Β και Γ τέτοια ώστε: , | ,

| , , ∪ και .

i) Εξετάστε αν τα γεγονότα Α, Γ είναι ανεξάρτητα και αν το Γ είναι υπογεγονός του Α.

ii) Υπολογίστε τις πιθανότητες ΄ ΄ και ΄| ΄

8. Από πίνακες επιβίωσης γνωρίζουμε ότι από 100000 γυναίκες οι 85365 έζησαν τουλάχιστον μέχρι τα 60 ενώ οι 53150 έζησαν τουλάχιστον μέχρι τα 80. Γνωρίζοντας ότι μια γυναίκα είναι 60 χρονών, βρέστε την πιθανότητα να ζήσει περισσότερο από 80 χρόνια.

9. Σε ένα πείραμα τύχης διαλέγουμε τυχαία ένα σημείο στο τετράγωνο 01, 0 1 . Αν η τεταγμένη του σημείου (x,y) που επιλέγεται είναι μικρότερη του τετραγώνου της τετμημένης του, δηλαδή αν , θα λέμε ότι το σημείο έχει την ιδιότητα Α ή ότι πραγματοποιείται το γεγονός Α. Αν

1θα λέμε ότι το σημείο έχει την ιδιότητα Β ή ότι πραγματοποιείται το γεγονός Β. Σχεδιάστε κατάλληλα χωρία που παριστάνουν τα γεγονότα Α και Β. Εξετάστε αν τα γεγονότα Α, Β είναι ανεξάρτητα και βρέστε την πιθανότητα | ΄ .

10. Γράψαμε τα γράμματα της λέξης ΤΕΜΝΩ ανά ένα σε μία κάρτα και τα βάλαμε στο σακούλι Α. Κάναμε το ίδιο για τα γράμματα της λέξης ΚΑΤΑΤΡΕΧΩ και τα βάλαμε στο σακούλι Β. (i) Ανακατεύουμε καλά τα σακούλια και παίρνουμε μία κάρτα από το καθένα. Ποια η πιθανότητα να βγάλουμε ίδια γράμματα; (ii) Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το σακούλι Α και τη βάζουμε στο σακούλι Β χωρίς να δούμε ποιο γράμμα περιέχει. Μετά βγάζουμε μία κάρτα από το σακούλι Β. Ποια η πιθανότητα να βγει το γράμμα Τ;

11. Για την πιο δίκαιη μοιρασιά της βασιλόπιτας, που είχε μέσα της ένα χρυσό φλουρί, ο πρόεδρος ενός συλλόγου 12 ατόμων σκέφτηκε το εξής: Έδωσε στον καθένα από τα 12 μέλη μια σημαιούλα με οδοντογλυφίδα όπου έγραψαν το όνομά τους, χώρισε τη βασιλόπιτα σε 12 ίσα μέρη και ζήτησε από τα μέλη να κάνουν μία σειρά και να επιλέξουν καρφώνοντας τη σημαιούλα τους σε ένα από τα διαθέσιμα μέχρι εκείνη τη στιγμή κομμάτια. Ο πρόεδρος διάλεξε πρώτος. Αν μπορούσες να επιλέξεις τη σειρά σου τι θα προτιμούσες να είσαι 2ος, 6ος ή 12ος; Δικαιολογείστε την απάντηση υπολογίζοντας κάθε φορά την πιθανότητα να κερδίσετε.

Ασκήσεις Κεφαλαίου 4

1. (4.3) Η σ.π.π. μιας τ.μ. είναι   ,0

   00

α) Να βρεθεί το λ ώστε

1 1 . β) Να βρεθεί 2| 1 2. (4.9) Ένα νόμισμα ρίχνεται 5 φορές. Αν Χ είναι το πλήθος εμφάνισης του

διατεταγμ. ζεύγους ΚΓ να βρεθεί η κατανομή της Χ, η ΕΧ και η VarX

3. α) Δείξτε ότι η συνάρτηση, 0

( )0(1 ) ,

x

x

p e xf x

xp e

,όπου λ>0 και

0<p<1 είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τ.μ. για κάθε p και κάθε λ και να παρασταθεί γραφικά. β) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής της Χ και να γίνει η γραφική της παράσταση. γ) Να βρεθεί η 1 1 και η 1 1| 0

4. Δίνεται η συνάρτηση κατανομής 0,

 1 ⁄ ,  

00

α) Δείξτε ότι η  F(x) είναι συνάρτηση κατανομής για οποιαδήποτε τιμή του α. β) Βρέστε τις πιθανότητες  P(X a)£ και 2 |P(X a X a)£ ³   και τη μέση τιμή της Χ. γ) Παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 4 από την

κατανομή Χ. Βρέστε την πιθανότητα μία τουλάχιστον από τις 4

παρατηρήσεις να είναι μεγαλύτερη του α. (Δίνεται 0.5 0.6065e- = ).

5. Η τ.μ. Χ έχει συνάρτηση κατανομής 2

2

0 1(1 ) / 2 1 0

( )0 11 (1 ) / 2

11

X

xx x

F xxx

x

Βρέστε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.μ. και να δείξετε ότι ικανοποιεί τις βασικές ιδιότητες μιας συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας.

6. H συνεχής τ.μ. Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

,

0,  

  1 2ώ

i. Βρέστε την παράμετρο c και τη συνάρτηση κατανομής . ii. Κάντε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων , . iii. Βρέστε τις πιθανότητες 1.5 , 1.5| 1.2 . Πως μπορεί

να παρασταθεί η πρώτη πιθανότητα στο γράφημα της ; iv. Υπολογίστε τη μέση τιμή και τη διασπορά της .

7. Ένα εμπορικό κέντρο έχει δύο εισόδους τις Ι και ΙΙ. Τρεις άνθρωποι μπαίνουν στο εμπορικό κέντρο στις 9:00 π.μ. ανεξάρτητα ο καθένας από τους άλλους διαλέγοντας τυχαία μια από τις δύο εισόδους. Έστω Χ από αυτούς μπήκαν από την είσοδο Ι. Να βρεθούν (α) η συνάρτηση πιθανότητας (β) η συνάρτηση κατανομής (γ) η πιθανογεννήτρια και από αυτήν η και η .

8. Έστω η συνεχής τ.μ. Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

| |,  ∞ ∞

α) Να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.μ. Υ=Χ2 και να επαληθεύσετε ότι είναι πράγματι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διασπορά της Υ καθώς και η διασπορά της Χ.

9. Ο χρόνος CPU (σε ώρες) που χρησιμοποιεί μια εταιρία κάθε εβδομάδα είναι τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

 3

644 , 0 4

        0,            ύ

α) Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά του εβδομαδιαίου χρόνου CPU.

β) Εάν ο χρόνος CPU στοιχίζει στην εταιρία 200 € /ώρα να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά του εβδομαδιαίου κόστους για χρόνο CPU.

γ) Περιμένετε συχνά το εβδομαδιαίο κόστος για χρόνο CPU να ξεπερνά τα 600 €; Γιατί;

10. Κάποιος πωλητής λιανικής ενός προϊόντος πετρελαίου, πουλά μία ποσότητα Χ του προϊόντος κάθε μέρα. Η σ.π.π. της Χ η οποία θεωρούμε ότι μετράται σε εκατοντάδες γαλόνια, είναι:

3

8 0 2

0, ύ

α) Να βρεθεί η πιθανότητα ο πωλητής να πουλήσει από 125 μέχρι 175 γαλόνια σε μια ημέρα. Πόσες μέρες το μήνα (30 μέρες) αναμένει ο πωλητής να πουλά από 125 μέχρι 175 γαλόνια; β) Το κέρδος του πωλητή είναι 5 λεπτά ανά γαλόνι αν πουλήσει μέχρι 100 γαλόνια την ημέρα και 8 λεπτά ανά γαλόνι αν πουλήσει πάνω από 100 γαλόνια την ημέρα. Να βρεθεί το αναμενόμενο κέρδος του πωλητή για κάθε ημέρα.

11. Οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν από κοινού κατανομή αυτήν που δίνεται στο διπλανό πίνακα. Να βρεθούν: α) Η πιθανότητα ³1 και £0 . β) Οι περιθώριες κατανομές των X και Y. γ) Η συνδιασπορά των και . Τι συμπεραίνουμε; Εξηγήστε. δ) Βρέστε την κατανομή της .

12. H τ.μ. Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας    √

, όταν 0 και 0

αλλού. α) Να υπολογιστούν (χωρίς χρήση τυπολογίου), η μέση τιμή και η ροπογεννήτρια της . β) Να βρεθεί η κατανομή της τ.μ. 2√

13. Η τ.μ. ακολουθεί κατανομή Laplace δηλ. | |,  ∞ ∞.

Να βρεθούν: α) η συνάρτηση κατανομής της και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των και . β) η πιθανότητα | | 1 . γ) η μέση τιμή και η διασπορά της .

14. Για την κλήρωση ενός δώρου μοιράζουμε 100 λαχεία αριθμημένα από 00 μέχρι 99. α) Θέσατε Χ την τυχαία μεταβλητή που δίνει το πρώτο ψηφίο του λαχνού και Υ αυτήν που δίνει το δεύτερο ψηφίο. Υπολογίστε τις πιθανογεννήτριες των τ.μ. και . β) Υπολογίστε την πιθανογεννήτρια του αθροίσματος . γ) Ποια η πιθανότητα το άθροισμα των ψηφίων ενός λαχνού που επιλέγεται στην τύχη να είναι 6 ή 12;

15. Ρίχνουμε δύο κανονικά ζάρια. Θέτουμε Χ=0 αν το άθροισμα των δύο ζαριών είναι 5 ή λιγότερο, Χ=1 αν το άθροισμα είναι 6, 7 ή 8 και Χ=2 αν το άθροισμα είναι 9, 10, 11 ή 12: α) Να βρείτε τη συνάρτηση πιθανότητας της Χ, τη μέση τιμή της και τη διασπορά της. β) Να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Ζ= (Χ-1)2 . γ) Να βρεθεί η πιθανογεννήτρια της Χ

16. Από μία τράπουλα 52 φύλλων τραβάμε δύο φύλλα. Έστω X η τυχαία μεταβλητή που δίνει το πλήθος από τις φιγούρες και Y η τ.μ. που δίνει το πλήθος των καρό. Να βρεθούν α) η από κοινού συνάρτηση κατανομής β) οι περιθώριες ως προς X και Y και γ) να υπολογισθεί η συνδιασπορά των X και Y.

17. Παίρνουμε τυχαία έναν από τους ακεραίους 1, 2, 3, 4. Εξαιρώντας τους μικρότερους από τον αριθμό που επιλέξαμε επιλέγουμε ένα δεύτερο αριθμό από τους υπόλοιπους, π.χ. αν επιλέξουμε την πρώτη φορά τον αριθμό 3, τότε τη δεύτερη φορά εξαιρούμε τους 1, 2 και επιλέγουμε κάποιον από τους 3, 4. Έστω Χ η τ.μ. που δίνει τον πρώτο αριθμό που Υ η τ.μ. που δίνει το άθροισμα

yj

xi -1 0 1 2

-1 0 1/36 1/6 1/12

0 1/18 0 1/18 0

1 0 1/36 1/6 1/12

2 1/12 0 1/12 1/6

των δύο αριθμών. Θεωρήστε ότι τα απλά ενδεχόμενα στο πείραμα αυτό είναι ισοπίθανα. α) Να γράψετε σ’ ένα πίνακα διπλής εισόδου τις από κοινού πιθανότητες της διδιάστατης τ.μ. (Χ,Υ) και να βρείτε τις περιθώριες κατανομές των Χ, Υ. β) Να βρεθεί ο πίνακας διασπορών-συνδιασπορών

των Χ, Υ.