ベクトルと三角形の4心早見チャート · 2015. 5. 10. · 例題4 解答 3 a + b + c 3 1 m n m n a b c + + + + = × 3 1 3 m n na mb m n nc ma m n p q r nb mc ÷ ÷ ł

C

A

M

G

B1

2

重心(G)

垂心(H)

外心(O)

内心は△ABCの内接円の中心

外心は△ABCの外接円の中心

△ABCの垂心をHとするとき, が成り立つ。

△ABCの内心をIとするとき,

AH･BC = 0 BH･CA = 0 CH･AB = 0

が成り立つ。( aOA + bOB + cOC )OI = 1a + b + c

外心は△ABCの外接円の中心なのでが成り立つ。｜OA｜ =｜OB｜=｜OC｜

AO = xAB + y AC のxとyを求めるためには式が２つ必要！

点Gが△ABCの重心とすると

B C

G

A

1 1

1 22

2

垂心の位置ベクトルは垂直条件を2回使え！AH⊥BCを示すには,内積 AH･BC = 0

が成り立つ。AG AB AC31

+= )(

辺BCの中点をMとすると(図２参照)

また.重心の性質より

AM AB AC21 += )( ……①

AG AM32= ……② ①を②に代入

３点A( a ),B( b ),C( c )を頂点とする△ABCの重心をG( g )とすると

が成り立つ。33

OCOBOAcbag

++=

++=

位置ベクトルの基準点を重心Gにとると　であるから(POINT②参照) GG = 0g =

●A + ●B + ●C = 0 が成り立つとき,点●は△ABCの重心となっている。

E

D

F

B C

H

A

B C

A

O

B C

I

A

cb

a

OH = OA + OB + OC となるとき,点Hは△ABCの垂心となる。△ABCの外心をO,

点Hが△ABCの垂心であることを示すには,AH⊥BC,BH⊥CA,CH⊥ABを示せばよい。しかし,２本の垂線の交点として点Hの位置は定まるので,３つのうち２つを示せばよい。

定理 …… ３つの頂点から対辺に下ろした垂線の交点。

定理 …… ３つの辺の垂直２等分線の交点。

POINT②

POINT②

POINT②

POINT②

POINT③

POINT③

POINT③

POINT①

POINT①

POINT①

POINT①

GA + GB + GC = 0 が成り立つ。

図１

図２

実践例題「重心①」参照実践例題「重心①」参照

実践例題「重心②」参照実践例題「重心②」参照

実践例題「垂心①」参照実践例題「垂心①」参照

実践例題「垂心②」参照実践例題「垂心②」参照

実践例題「外心①」参照実践例題「外心①」参照

実践例題「重心②」参照実践例題「垂心②」参照

実践例題「外心③」参照実践例題「外心③」参照

実践例題「内心①」参照実践例題「内心①」参照

実践例題「内心②」参照実践例題「内心②」参照

そこで｜OA｜ =｜OB｜に着目して,2本の式を立てる。｜OA｜ =｜OC｜,

△ABCにおいて, ∠Aの2等分線とBCとの交点をDとすると A

B CD

★

★

▲

▲

角の2等分線の公式

AB : AC = BD : DC


内心Iは内角の2等分線の交点より「角の2等分線の公式」を２回使って求める。

定理 …… 3つの頂点と対辺の中点を結ぶ中線の交点。

内心(I) 定理 …… ３つの内角の２等分線の交点。

ベクトルと三角形の４心早見チャート

http://love-su-gaku.com/ Manabu Sato(C)2011

例題1

解答

重心の性質より

△ABCの重心をGとするとき,

辺BCの中点をMとすると

OA + OB + OC OG =3

となることを示せ。

……(証明終わり)OA + OB + OCOG =

3

=AG32

AM

=32

2AB + AC･

=3

AB + AC

AM =2

AB + AC

B C

G

A

M

1

2

OG − OA = 3 OB − OA + OC − OA

よって

始点をOに変換

AM =2

AB + ACを代入

ベクトルと三角形の４心実践例題重心①


例題2

解答

M

A

B C

GH

E

したがって,点Hは△ABCの垂心である。……(証明終わり)

したがって, E,G,H は一直線上にあり,EG : GH = 1 : 2である。……(証明終わり)

(１)

EA + EB + EC = EH となるように点Hをとると,点Hは△ABCの垂心であることを示せ。(２)

(２)

(３)

(１) GA + GB + GC = を示せ。0

GA + GB + GC

同様に

△ABCの重心をG,外心をE とする。

EA + EB + EC − EA=

EB + EC=

AH = EAEH −

EB + ECBCAH⋅ = )( EBEC )( −

0== −｜EC｜2 ｜EB｜2

EA + ECCABH ⋅ = )( ECEA )( −

0== −｜EA｜2 ｜EC｜2

3

1EH=

(３) E,G,H は一直線上にあり,EG : GH = 1 : 2であることを示せ。

OGOA )( − + OGOB )( − + OGOC )( − =

3 OGOA −+ OB + OC =

Gは△ABCの重心なので,

Gは△ABCの重心なので,

を代入して OA + OB + OC OG =3

EA + EB + EC EG =3

GA + GB + GC 0⋅3OA −+ OB + OC = = OA + OB + OC 3

AH⊥BC∴

BH⊥CA∴

G

H

E

2

1

点Hが△ABCの垂心であることを示すには,AH⊥BC,BH⊥CA,CH⊥ABであることを示せばよい。しかし,２本の垂線の交点として点Hの位置は定まるので,３つのうち２つを示せばよい。

外心は△ABCの外接円の中心なので｜EA｜ =｜EB｜=｜EC｜

a ･ a = a 2

a ･ a = a 2

EH = EA + EB + EC を代入

EH = EA + EB + EC を代入

始点をOに変換

始点をEに変換

始点をEに変換

始点をEに変換

……(証明終わり)

の始点をEにすると OA + OB + OC OG =3

ベクトルと三角形の４心実践例題重心②


例題3

解答

(１) cos∠BACを求めよ。

辺AB ,BC ,CAの長さがそれぞれ4, 5, 6である△ABC において,

重心をG,GからBCに下ろした垂線の足をHとする。このとき,次の問いに答えよ。

(２) BH : HC を求めよ。

AH = ACABt t )1(+ −

AGAH − − ACAB3

+ACABt t )1(+ −GH = =

− −+ ABAC3

2AB ACt )(=

16

9

642

5 64 222=

⋅⋅−+

=cos∠BAC

｜AB｜･｜AC｜AB･AC = =cos16

9=

2

2764 ⋅ ⋅∠BAC

0

｜AB − AC｜2= − +3 2t − ABAC )( − ABAC )(

｜CB｜2 ｜AC｜2 ｜AB｜2 ⋅t= − + +3 32 − AB AC

−AC AB )(⋅= − −+ABAC

3

2AB ACt )(

BH : HC = (1 − t ): t とおくと

……(答え)BH : HC = 19:1130

19:

30

11

30

19:

30

191 ==−

2

95253 +⋅−= t

= 162

8172253 +−+⋅− t

30

19=t∴

よって

GH⊥BC より

(１)

(２)

……(答え) 余弦定理より

内積

AG =3

AB + AC を代入(実践例題重心①参照)

nm

bmanp

++

=

２点A( a ),B( b )に対して,線分ABをm：nに内分する点をP( p )とすると

内分点の位置ベクトル

A

BH

G

C t

4

5

6

1 − t a ･ a = a 2

a ･ a = a 2

AB = 4, BC = 5, CA = 6, よりAB･AC =2

27

始点をAに変換

ベクトルと三角形の４心実践例題重心③


例題4

解答

3

cba ++=

))((

3

1

nm

cbanm

++++⋅=

3

1

3 nm

bman

nm

amcn

nm

cmbnrqp

++

++

++

++

=++

nm

bmanr

++

=

nm

amcnq

++

=

nm

cmbnp

++

=

△ABCの３辺BC,CA,ABをm：nに内分する点をそれぞれP,Q,Rとする。

△PQRの重心Gは△ABCの重心となることを証明せよ。

これは,△ABCの重心の位置ベクトルである。

頂点A,B,C,P,Q,Rの位置ベクトルをそれぞれ

とすると

ba pc rq, , , , ,

△PQRの重心の位置ベクトルは

△PQRの重心Gは△ABCの重心となる。……(証明終わり)

よって,

nm

bmanp

++

=



ベクトルと三角形の４心実践例題重心④


例題1

解答

同様に

60°

AH⊥BC より BCAH 0⋅ =

BH⊥AC より ACBH 0⋅ =

∠A = 60° ,AB = 3,AC = 2の△ABCの垂心をH とする。頂点A から辺BC に下ろした垂線の足をP と

するとき,ベクトルAH をAB ,AC 用いて表せ。

｜AB｜･｜AC｜AB･AC = 60cos °

3 ⋅ 2 ⋅ 2

31= =

9

1

3

2, == yx

とおくとAH = xAB + y AC

0=ABAC ))(( − xAB + y AC

AC 0⋅ =ABAH )( −

0ACAB ⋅ ACAB ⋅ =｜AB｜2 ｜AC｜2 − − + x x y y

3=ACAB ⋅3=｜AB｜ 2=｜AC｜

……(答え)9

1

3

2AH AB AC= +

3ACAB ⋅ =｜AC｜2 + x y

=AC)( xAB + y AC ACAB ⋅

0ACAH ⋅ ACAB ⋅ =−

3 9 0=− + x x 4 y 3− y

……①6 0=− + x y

よって

3 34 = + x y ……②

①,②を解いて

A

B CP

H3 2

⋅=⋅ cosθOA OBOBOA

始点をAに変換

始点をAに変換

を代入AH = xAB + y AC

を代入AH = xAB + y AC

, , を代入

3=｜AB｜ 2=｜AC｜,

a ･ a = a 2

a ･ a = a 2

を代入

ベクトルと三角形の４心実践例題垂心①


例題2

解答

(１)

(１)と同様に(２)

AH⊥BC であることを示せ。

OH = OA + OB + OC とするとき,△ABCの外心をO,

OH = OA + OB + OC を代入

｜OB｜ =｜OC｜より外心の性質より

(２) 点Hは△ABCの垂心であることを示せ。

よって,点Hは△ABCの垂心である。……（証明終わり）

BCAH⋅ = OAOH )( − OBOC )( −

OA + OB + OC= OA)( − OBOC )( −

= OCOB )( + OBOC )( −

となるので

= −｜OC｜2 ｜OB｜2

BCAH⋅ = 0

∴　AH⊥BC　……（証明終わり）

AH⊥BC,BH⊥CA,CH⊥AB

CABH⋅ = OBOH )( − OCOA )( −

OA + OB + OC= OB)( − OCOA )( −

= OCOA )( + OCOA )( −

= −｜OA｜2 ｜OC｜2 = 0

ABCH⋅ = OCOH )( − OAOB )( −

OA + OB + OC= OC)( − OAOB )( −

= OBOA )( + OAOB )( −

= 0= −｜OB｜2 ｜OA｜2

点Hが△ABCの垂心であることを示すには,AH⊥BC,BH⊥CA,CH⊥ABであることを示せばよい。しかし,２本の垂線の交点として点Hの位置は定まるので,３つのうち２つを示せばよい。ここでは一応３つ示した。

始点をOに変換

外心Oは,△ABCの外接円の中心なので

(１)

a ･ a = a 2

a ･ a = a 2

ベクトルと三角形の４心実践例題垂心②


例題3

解答

△OABにおいて垂心をH とし,OA = a ,OB = b ,とする。さらに,

とするとき,ベクトルOH をOA ,OB 用いて表せ。

5

1

5

3, == yx

……(答え)5

1

5

3OH OA OB= +

よって

①,②を解いて

)( + ybxa = ⋅ baa

)( + ybxa = ⋅ bab

22,2,3 ===a 2 − bab

22=2 − ba の両辺を２乗して

82 =2 − ba⇔

84422 =+⋅− baa b⇔

82434 =+−⋅ ⋅ ba⇔

=+ yx 2a ⋅ ba ⋅ ba⇔

2

3

2

33 =+ yx⇔

=+ xy 2b ⋅ ba ⋅ ba⇔

2

3

2

32 =+ xy⇔

……②34 =+ y3x⇔

2

3=⋅ ba∴

……①12 =+ yx∴

=⋅OH ⋅ baa より

+ ybxa=OH とおくと

=⋅OH ⋅ bab同様により

O

A B

H

3 2

を代入2,3 ==a b

内積の図形的意味

O

B

AH

のなす角をθ(鋭角)とすると

ここで,点Bから直線OAに下ろした垂線の足をHとすると

つまり,内積は図形的意味は「(OHの長さ)×(OAの長さ)」と考えることができる！

とOBOA


⋅=⋅ cosθOA OB

⋅= cosθOB OA

⋅= OH OA

OBOA

θ

これは内積の定義

OBのOA上への正射影の長さ

OH の OA 上への正射影の長さとb の OA 上への正射影の長さは等しいので２つの内積は等しいと考えることができる。(内積の図形的意味参照)

を代入OH = xa + y b

a ･ a = a 2

※本問は内積の図形的な意味を利用して解いた！

を代入OH = xa + y b

2

3=⋅ ba を代入2 ,=b

ベクトルと三角形の４心実践例題垂心③


例題1

解答

△ABCにおいて,外心をOとし,外接円の半径を1とする。

のとき,辺ABの長さを求めよ。

｜AB｜2 = ｜OB − OA｜2

｜6OC｜2 = ｜4OA + 5OB｜2

｜AB｜2 = 4

9

｜OA｜ =｜OB｜=｜OC｜ = 1

｜OA｜ =｜OB｜= 1 を代入

｜OA｜ =｜OB｜=｜OC｜ = 1 を代入

36｜OC｜2 = 16｜OA｜2+ 25｜OB｜2+ 40 OA ⋅ OB

=｜OB｜2 − 2OA ⋅OB +｜OA｜2

外接円の半径が1より

ここで,条件より

6OC = −(4OA + 5OB)

= 2 − 2 OA ⋅ OB……①

これを①に代入して

2

3よって ……(答え)AB =

全体を2乗して

8

1OA ⋅ OB = −∴

4OA + 5OB + 6OC = 0

4OA + 5OB + 6OC = 0

始点をOに変換

22222 2 bybaxyaxbyax +⋅+=+

内積の展開公式


内積の展開公式

ベクトルと三角形の４心実践例題外心①


例題2

解答

△ABCの外心Oから直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足を

それぞれ,P,Q,Rとするとき,

｜5OA｜2 = ｜4OB + 3OC｜2

25｜OA｜2 = 16｜OB｜2+ 9｜OC｜2+ 24 OB ⋅ OC

25｜OA｜2 − 16｜OA｜2− 9｜OA｜2= 24 OB ⋅ OC

(１)　OA,OB,OC の関係式を求めよ

(１) より

(２)　∠Aの大きさを求めよ。

｜OA｜ =｜OB｜=｜OC｜より

5OA = −(4OB + 3OC)

全体を2乗して

5OA + 4OB + 3OC = 0 ……(答え)

OP + 2OQ + 3OR = 0

0OB ⋅ OC =∴

が成立している。

°= 90∠BOC

=+×++×++ 02

32

22

OBOAOAOCOCOB

OP + 2OQ + 3OR = 0これらをに代入して

+=

2

OBOAOR

+=

2

OAOCOQ

+=

2

OCOBOP

, ,

(２)

(１)

0OB≠ 0OC ≠ より,

よって,円周角の定理より

……(答え)=∠A °= 45∠BOC2

1

P,Q,Rは,外心の定義より,BC,CA,ABの中点なので

B C

A

OR

P

Q


ベクトルと三角形の４心実践例題外心②


例題3

解答

辺AB,ACの長さがそれぞれ2,1であり,∠BAC = 30° である△ABCにおいて,外心をOとする。

点Oは外心なので

辺AB,ACの中点をそれぞれ,P,Qとおくと

(１)　内積 AB ⋅ AO,AC ⋅ AO の値を求めよ。

(２)　AO = xAB + y AC を満たす実数 x, y を求めよ。

=AQ=2

AB

2

ACAP ,

(１)

AB⊥PO より POAB 0⋅ =

0=APAO )(AB −⋅

｜AB｜2 2

AB2

21

=AOAB ⋅ APAB ⋅ = AB ⋅ = =

同様に AC⊥QO より QOAC 0⋅ =

0=AQAO )(AC −⋅

｜AC｜2 2

AC2

1

2

1=AOAC ⋅ AQAC ⋅ = AC ⋅ = =

より同様に2

1AOAC ⋅ =

2 1AB ⋅ AC = ⋅ ⋅ 330cos =°

……(答え)322,2

32 −=−= yx

AB ⋅ AO = AB ⋅ )( xAB + y AC

同様に AC ⋅ AO = AC ⋅ )( xAB + y AC

2AB ⋅ AC =｜AB｜2 + y x

2

1=AB ⋅ AC ｜AC｜2 + y x

よって 234 =+ yx ……①

よって2

13 =+ yx ……②

①,②を解いて

A

B C

O

P Q

30°

21

⋅=⋅ cosθAB ACACAB

始点をAに変換

始点をAに変換

を代入AO = xAB + y AC

(２)

AB = 2 より

AB = 2 より

AC = 1 より

よって

よって ……(答え)

……(答え)

2AB ⋅ AO =(１)より

a ･ a = a 2

AB ⋅ AC = 3AC = 1, より

ベクトルと三角形の４心実践例題外心③


例題4

解答

辺OA,OBの長さがそれぞれ4,6であり,∠AOB = 60° である△OABにおいて,外心をPとする。

ここで,内積の図形的意味より

外心Pから辺OA,OBに下ろした垂線の足をそれぞれ,D,Eとおくと,

D,Eは辺OA,OBの中点となるので

OP = xOA + y OB を満たす実数 x, y を求めよ。

=OE= 2 3OD ,

8= = =OAOP ⋅ OAOD⋅ 4 2⋅

18= = =OBOE⋅ 3 6⋅OBOP ⋅

8=OA⋅)( xOA + y OB

18=OB⋅)( xOA + y OB

①,②を解いて

A B

O

PD E

……(答え), 94

=y6

1=x

……①234 =+ yx⇔

81216 =+ yx⇔

8OA ⋅ OB =｜OA｜2 + y x⇔

18OA ⋅ OB =｜OB｜2 + x y⇔

183612 =+ yx⇔

……②362 =+ yx⇔

同様に

よって

｜OA｜2 8=｜OA｜｜OB｜ + y x⇔ 60cos °

60°

4

2 3

6

a ･ a = a 2

を代入OP = xOA + y OB

OA = 4, OB = 6 より

内積の図形的意味

O

B

AH

のなす角をθ(鋭角)とすると

ここで,点Bから直線OAに下ろした垂線の足をHとすると

つまり,内積は図形的意味は「(OHの長さ)×(OAの長さ)」と考えることができる！

とOBOA


⋅=⋅ cosθOA OB

⋅= cosθOB OA

⋅= OH OA

OBOA

θ

これは内積の定義

OBのOA上への正射影の長さ

を代入OP = xOA + y OB

※本問は内積の図形的な意味を利用して解いた！


ベクトルと三角形の４心実践例題外心④


例題1

解答

△ABCにおいて,AB = 3,BC = 2,CA = 4,△ABCの内心をIとし,内接円と辺BCとの接点をDと　する。このとき,次の問いに答えよ。

(１)

t 936 −=

t 432

2183529 222 ⋅−⋅+⋅−⋅=

{ } ABACACABABACt )()35()(9 −⋅−+−=

{ } ABACACtABt )()39()95( −⋅−+−=

ABACACtABt

)(9

)39()95(0 −⋅−+−=

ID⊥BC より

BCID0 ⋅=

ACtABt

9

)39()95( −+−=

AIADID −=

tACABtAD )1( +−=

｜BC｜2 = ｜AC − AB｜2

(２) AI を AB と AC を用いて表せ。(１) 内積を求めよ。ACAB ⋅

直線AIとBCとの交点をEとすると

BE : EC = AB : AC = 3 : 4

2:77

6:3 =AI : IE = AB : BE =

BCBE7

6

43

3=

+=∴

△ABEにおいて

BD : DC = t :(1 − t )とおくと

ACABABABACt 38592 2

−⋅+−−= AC2

ACABABBCt 38592 2

−⋅+−= AC2

(３) AD を AB と AC を用いて表せ。

(２)

(３)

= −tACABt)1( +− ACAB3

1

9

4 −

ACABAD4

1

4

3+= ……(答え)

ACABACAB

AEAI3

1

9

4

7

34

9

7

9

7+=

+⋅== ……(答え)よって

2

21=ACAB ⋅よって ……(答え)

t4

1=∴

よって

A

BD

E

I

C

3

4

2A

B D

I

C

3

t

4

1 − t

始点をAに変換

始点をAに変換

始点をAに変換

22222 2 bybaxyaxbyax +⋅+=+｜BC｜2 = ｜AC｜2 − 2AB⋅AC +｜AB｜2⇔

ACAB 92164 +⋅−=⇔ AB = 3, BC = 2, CA = 4 より

また

tACABtAD )1( +−= を代入


B CD

★

★

▲

▲


AB : AC = BD : DC


ベクトルと三角形の４心実践例題内心①


例題2

解答

△ABCの内心をI,AB = c,BC = a,CA = bとするとき,

∠ B の二等分線と AD の交点が I となるので

∠ A の二等分線と BC の交点を D とすると

A

B D

I

C

……(答え)cOCbOBaOA ++

=cba ++

bc

c OCb OBOD

++

=

bca

bccOCbOB

bcaOA

++++⋅++

=)(

abc

ODbcaOAOI

++++

=)(

)(

AI : ID =bc

ca ac =

+bc +⋅: :

BD : DC = c : b より

よって

OI を OA ,OB ,OC を用いて表せ。

c b

a

nm

bmanp

++

=



nm

bmanp

++

=




B CD

★

★

▲

▲


AB : AC = BD : DC


bc

caBD

+×=また

bc

c OCb OBOD

++

= を代入

ベクトルと三角形の４心実践例題内心②


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ベクトルと三角形の4心 早見チャート · 2015. 5. 10. · 例題4 解答 3 a + b + c 3 1 m n m n a b c + + + + = × 3 1 3 m n na mb m n nc ma m n p q r nb mc ÷ ÷ ł

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